Ճիշտ ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրում: Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում Կոտորակային - ռացիոնալ ֆունկցիա Ամենապարզը

Ֆունկցիաների ամենակարևոր դասերից մեկը, որի ինտեգրալներն արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով, ռացիոնալ ֆունկցիաների դասն է։

Սահմանում 1. Ձևի ֆունկցիա որտեղ
- աստիճանների բազմանդամներnԵվմկոչվում է ռացիոնալ: Մի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա, այսինքն. բազմանդամ, ուղղակիորեն ինտեգրվում է: Կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալը կարելի է գտնել տերմինների տարրալուծմամբ, որոնք ստանդարտ ձևով վերածվում են հիմնական աղյուսակային ինտեգրալների։

Սահմանում 2. Կոտորակ
ճիշտ է կոչվում, եթե համարիչի աստիճանըnպակաս, քան հայտարարի հզորությունըմ.

Այն կոտորակը, որտեղ համարիչի աստիճանը մեծ կամ հավասար է հայտարարի աստիճանին, կոչվում է ոչ պատշաճ:

Ցանկացած ոչ պատշաճ կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես բազմանդամի և պատշաճ կոտորակի գումար: Դա արվում է բազմանդամը բազմանդամի վրա բաժանելով, ինչպես թվերը բաժանելը։

Օրինակ.
Եկեք պատկերացնենք մի կոտորակ

որպես բազմանդամի և պատշաճ կոտորակի գումար.

3

3

3

x - 1
Առաջին ժամկետը
քանորդում ստացվում է առաջատար անդամը բաժանելու արդյունքում , բաժանված առաջատար տերմինով X
բաժանարար Հետո մենք բազմապատկում ենք մեկ բաժանարարի համար x-1

և ստացված արդյունքը հանվում է շահաբաժինից. Անավարտ գործակցի մնացած անդամները գտնված են նույն կերպ։

Բաժանելով բազմանդամները՝ ստանում ենք.

Այս գործողությունը կոչվում է ամբողջ մասի ընտրություն:

Սահմանում 3. Ամենապարզ կոտորակները հետևյալ տեսակների պատշաճ ռացիոնալ կոտորակներն են.

Ի.
II.

(K=2, 3, ...):
III.

որտեղ է քառակուսի եռանկյունը
IV.
որտեղ K=2, 3, ...; քառակուսի եռանկյուն

իրական արմատներ չունի:
ա) ընդլայնել հայտարարը
ամենապարզ իրական գործոնների մեջ (ըստ հանրահաշվի հիմնարար թեորեմի, այս ընդլայնումը կարող է պարունակել ձևի գծային երկանդամներ
և քառակուսի եռանդամներ

արմատներ չունենալով);
բ) գրի՛ր տրված կոտորակի տարրալուծման սխեման պարզ կոտորակների գումարի. Ընդ որում, ձևի յուրաքանչյուր գործոն համապատասխանում էկ

I և II տեսակների բաղադրիչներ.
ձևի յուրաքանչյուր գործոնին

Ցանկացած ոչ պատշաճ կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես բազմանդամի և պատշաճ կոտորակի գումար: Դա արվում է բազմանդամը բազմանդամի վրա բաժանելով, ինչպես թվերը բաժանելը։

համապատասխանում է III և IV տեսակների տերմիններին.
Գրե՛ք կոտորակի ընդլայնման սխեման

ամենապարզների գումարին:

գ) կատարել ստացված ամենապարզ կոտորակների գումարումը.
Գրե՛ք ստացված և սկզբնական կոտորակների համարիչների հավասարությունը.

դ) գտնել համապատասխան ընդլայնման գործակիցները.

Ցանկացած պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրումը տարրալուծումից հետո նրա ամենապարզ պայմանների մեջ հանգեցնում է հետևյալ տեսակներից մեկի ինտեգրալների որոնմանը.

(համապատասխանում էԵվ ե =2, 3, …).

Ինտեգրալի հաշվարկ վերածվում է III բանաձևի.

ինտեգրալ - II բանաձևին.

ինտեգրալ կարելի է գտնել քառակուսի եռանկյուն պարունակող ֆունկցիաների ինտեգրման տեսության մեջ նշված կանոնով. - 4-րդ օրինակում ստորև ներկայացված վերափոխումների միջոցով:

Օրինակ 1.

ա) գործակցի հայտարարը.

բ) գրեք ինտեգրանդը տերմինների բաժանելու դիագրամ.

գ) կատարել պարզ կոտորակների գումարում.

Գրենք կոտորակների համարիչների հավասարությունը.

դ) գոյություն ունի A, B, C անհայտ գործակիցները գտնելու երկու եղանակ:

Երկու բազմանդամները հավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց գործակիցները հավասար են նույն հզորություններին , բաժանված առաջատար տերմինով, այնպես որ կարող եք ստեղծել հավասարումների համապատասխան համակարգը։ Սա լուծման մեթոդներից մեկն է։

Գործակիցները ժամը

ազատ անդամներ (գործակիցը ժամը ):4A=8.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք A=2, B=1, C= - 10.

Մեկ այլ մեթոդ՝ մասնավոր արժեքներ, կքննարկվի հետևյալ օրինակում.

ե) գտնված արժեքները փոխարինել տարրալուծման սխեմայի մեջ.

Ստացված գումարը փոխարինելով ինտեգրալ նշանի տակ և ինտեգրելով յուրաքանչյուր անդամ առանձին՝ մենք գտնում ենք.

Օրինակ 2.

Ինքնությունը հավասարություն է, որը վավեր է դրանում ներառված անհայտների ցանկացած արժեքի համար: Սրա հիման վրամասնավոր արժեքի մեթոդ. , բաժանված առաջատար տերմինովԿարող է տրվել

ցանկացած արժեք: Հաշվարկների համար ավելի հարմար է վերցնել այն արժեքները, որոնք անհետանում են հավասարության աջ կողմում գտնվող ցանկացած տերմին: Թող x = 0 . Հետո 1 = Ա 0(0+2)+Վ (0-1)(0+2).

0 (0-1)+С Նմանապես համար x = - 2 մենք ունենք 1= - 2V*(-3 ), ժամը x = 1 մենք ունենք.

1 = 3 Ա

Հետևաբար,

Օրինակ 3.

ցանկացած արժեք: Հաշվարկների համար ավելի հարմար է վերցնել այն արժեքները, որոնք անհետանում են հավասարության աջ կողմում գտնվող ցանկացած տերմին: Թողդ) նախ մենք օգտագործում ենք մասնակի արժեքի մեթոդը: . Հետո , Հետո.

1, A = 1 ժամը x = - 2 - x = - 1 1+4+2+1 = - B(1+1+1) կամ, 6 = - 3 Վ.

B = - 2 , բաժանված առաջատար տերմինով C և D գործակիցները գտնելու համար անհրաժեշտ է ստեղծել ևս երկու հավասարումներ։ Դա անելու համար դուք կարող եք վերցնել ցանկացած այլ արժեք , Օրինակ x = 1 Եվ x = 2 , բաժանված առաջատար տերմինով. Դուք կարող եք օգտագործել առաջին մեթոդը, այսինքն. հավասարեցնել գործակիցները ցանկացած նույնական հզորությունների դեպքում , օրինակ, երբ

Եվ.Մենք ստանում ենք

1 = A+B+C և 4 = C + Դ, - ՄԵՋ.Իմանալով A = 1, . = 0 .

B = -2

, մենք կգտնենք C = 2

Այսպիսով, երկու մեթոդները կարող են համակցվել գործակիցները հաշվարկելիս:
Վերջին ինտեգրալը
մենք առանձին-առանձին գտնում ենք նոր փոփոխականի նշման մեթոդի մեջ նշված կանոնի համաձայն:

=

Եկեք հայտարարի մեջ ընտրենք կատարյալ քառակուսի.

ասենք

Հետո

Մենք ստանում ենք.

Փոխարինելով նախորդ հավասարության մեջ՝ մենք գտնում ենք

Օրինակ 4.

Գտեք

բ)

Երրորդ ինտեգրալում մենք փոխարինում ենք փոփոխականը.

(Փոխակերպումները կատարելիս մենք օգտագործել ենք եռանկյունաչափության բանաձևը

Գտեք ինտեգրալները.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Ինքնաթեստի հարցեր.

Այս ռացիոնալ կոտորակներից որո՞նք են ճիշտ.

2. Ճի՞շտ է գրված կոտորակը պարզ կոտորակների գումարի քայքայելու գծապատկերը:

Ռացիոնալ ֆունկցիան ձևի կոտորակն է, որի համարիչը և հայտարարը բազմանդամներ են կամ բազմանդամների արտադրյալներ։

Օրինակ 1. Քայլ 2.

.

Մենք չորոշված ​​գործակիցները բազմապատկում ենք բազմանդամներով, որոնք այս առանձին կոտորակի մեջ չեն, բայց ստացված այլ կոտորակներում են.

Մենք բացում ենք փակագծերը և սկզբնական ինտեգրանդի համարիչը հավասարեցնում ենք ստացված արտահայտությանը.

Հավասարության երկու կողմերում մենք փնտրում ենք x-ի նույն հզորությամբ անդամներ և դրանցից կազմում հավասարումների համակարգ.

.

Մենք ջնջում ենք բոլոր x-երը և ստանում հավասարումների համարժեք համակարգ.

.

Այսպիսով, ինտեգրանդի վերջնական ընդլայնումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ հետևյալն է.

.

Օրինակ 2. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Այժմ մենք սկսում ենք փնտրել անորոշ գործակիցներ: Դա անելու համար մենք ֆունկցիայի արտահայտության մեջ բնօրինակ կոտորակի համարիչը հավասարեցնում ենք կոտորակների գումարը ընդհանուր հայտարարի կրճատելուց հետո ստացված արտահայտության համարիչին.

Այժմ դուք պետք է ստեղծեք և լուծեք հավասարումների համակարգ: Դա անելու համար մենք ֆունկցիայի սկզբնական արտահայտության համարիչում համապատասխան աստիճանի հավասարեցնում ենք փոփոխականի գործակիցները և նախորդ քայլում ստացված արտահայտության համանման գործակիցները.

Մենք լուծում ենք ստացված համակարգը.

Այսպիսով, այստեղից

.

Հետևաբար, Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

Մենք սկսում ենք փնտրել անորոշ գործակիցներ։ Դա անելու համար մենք ֆունկցիայի արտահայտության մեջ բնօրինակ կոտորակի համարիչը հավասարեցնում ենք կոտորակների գումարը ընդհանուր հայտարարի կրճատելուց հետո ստացված արտահայտության համարիչին.

Ինչպես նախորդ օրինակներում, մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ.

Կրճատում ենք x-երը և ստանում հավասարումների համարժեք համակարգ.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

ասենք Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Նախորդ օրինակներից մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է սկզբնական կոտորակի համարիչը հավասարեցնել համարիչի արտահայտությանը, որը ստացվել է կոտորակը պարզ կոտորակների գումարի քայքայելուց և այս գումարը ընդհանուր հայտարարի բերելուց հետո։ Հետևաբար, զուտ վերահսկողության նպատակով մենք ներկայացնում ենք ստացված հավասարումների համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

Օրինակ 5. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Այս գումարը մենք ինքնուրույն կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի` այս արտահայտության համարիչը հավասարեցնելով սկզբնական կոտորակի համարիչին: Արդյունքը պետք է լինի հետևյալ հավասարումների համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 6. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

Այս գումարով մենք կատարում ենք նույն գործողությունները, ինչպես նախորդ օրինակներում: Արդյունքը պետք է լինի հետևյալ հավասարումների համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 7. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Ստացված գումարի հետ որոշակի գործողություններից հետո պետք է ստացվի հավասարումների հետևյալ համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 8. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Եկեք որոշ փոփոխություններ կատարենք այն գործողություններում, որոնք արդեն հասցվել են ավտոմատացման՝ հավասարումների համակարգ ստանալու համար։ Կա արհեստական ​​տեխնիկա, որը որոշ դեպքերում օգնում է խուսափել ավելորդ հաշվարկներից։ Կոտորակների գումարը բերելով ընդհանուր հայտարարի, ստանում ենք և հավասարեցնելով այս արտահայտության համարիչը սկզբնական կոտորակի համարիչին՝ ստանում ենք.

Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում Կոտորակային - ռացիոնալ ֆունկցիա Ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակները Ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումը պարզ կոտորակների ինտեգրում Պարզ կոտորակների ընդհանուր կանոն Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման համար.

n աստիճանի բազմանդամ: Կոտորակային - ռացիոնալ ֆունկցիա Կոտորակային - ռացիոնալ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որը հավասար է երկու բազմանդամների հարաբերությանը։ Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է պատշաճ, եթե համարիչի աստիճանը փոքր է հայտարարի աստիճանից, այսինքն՝ m։< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Կոտորակային - ռացիոնալ ֆունկցիա Կրճատել ոչ պատշաճ կոտորակը ճիշտ ձևով. 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակները Ձևի ճիշտ ռացիոնալ կոտորակներ. Դրանք կոչվում են տեսակների ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակներ: կացին A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումը պարզ կոտորակների Թեորեմ. Ցանկացած պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ, որի հայտարարը գործոնացված է. կարող է ներկայացվել, ընդ որում, յուրօրինակ ձևով պարզ կոտորակների գումարի տեսքով՝ s k qxpxxxxxx: Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11) (qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումը պարզ կոտորակների Բացատրենք թեորեմի ձևակերպումը հետևյալ օրինակներով. A, B, C, D... անորոշ գործակիցները գտնելու համար օգտագործվում է երկու մեթոդ՝ գործակիցների համեմատման մեթոդ և մեթոդ. փոփոխականի մասնակի արժեքներ. Դիտարկենք առաջին մեթոդը՝ օգտագործելով օրինակ: 3 2)3) (2 (4 xx x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1 (1 xx Nx. M) 1 (3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2)1) (4(987 xxx xx 4 x

Ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումը պարզ կոտորակների Ներկայացրե՛ք կոտորակը որպես պարզ կոտորակների գումար. Եկեք ամենապարզ կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի Հավասարեցրեք ստացված և սկզբնական կոտորակների համարիչները Հավասարեցրեք գործակիցները նույն հզորությամբ x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52) (1()1) (()52 (2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Ամենապարզ կոտորակների ինտեգրումը Գտնենք ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրալները. Դիտարկենք 3-րդ տիպի կոտորակների ինտեգրումը օրինակով: dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. A k

Պարզ կոտորակների ինտեգրումdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1 (3 2 dt t t 9 23 2 9 tdtt3 2 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Պարզ կոտորակների ինտեգրում Այս տիպի ինտեգրալը՝ օգտագործելով փոխարինումը. կրճատվում է երկու ինտեգրալների գումարով: Առաջին ինտեգրալը հաշվարկվում է՝ t ներմուծելով դիֆերենցիալ նշանի տակ: Երկրորդ ինտեգրալը հաշվարկվում է կրկնության բանաձևով.

Պարզ կոտորակների ինտեգրում a = 1; k = 3 323)1 (t dt tarctg t dt 1 21)1) (12 (2222 322 1 21222 t t t dt) 1 (22 1 2 2 t t tarctg 2223) 1) (13 (2232 332 t t t dt) (4)1(

Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման ընդհանուր կանոն Եթե կոտորակը սխալ է, ապա այն ներկայացրեք որպես բազմանդամի և պատշաճ կոտորակի գումար: Պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի հայտարարը ֆակտորացնելով, այն ներկայացրեք որպես չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումար: Ամբողջացնել բազմանդամը և ստացված պարզ կոտորակների գումարը:

Օրինակ Եկեք կոտորակը դնենք ճիշտ ձևով: dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 428 x 2 x 2 105 23 48 2 x x

Օրինակ Եկեք գործոնացնենք ճիշտ կոտորակի հայտարարը. Ներկայացնենք կոտորակը որպես պարզ կոտորակների գումար։ Գտնենք չորոշված ​​գործակիցները՝ օգտագործելով xxx xx 23 2 2 48 2 2)1 (48 xx xx 2 փոփոխականի մասնակի արժեքների մեթոդը։ )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1 (xx Cxx. Bxx. A 48)1 ()1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx. xx 23 2 2 48 2)1 (3 1 124 xxx

Օրինակ dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

«Մաթեմատիկոսը, ինչպես նկարիչը կամ բանաստեղծը, օրինաչափություններ է ստեղծում: Եվ եթե նրա օրինաչափությունները ավելի կայուն են, ապա միայն այն պատճառով, որ դրանք կազմված են գաղափարներից... Մաթեմատիկոսի օրինաչափությունները, ինչպես նկարչի կամ բանաստեղծի նախշերը, պետք է գեղեցիկ լինեն. Գաղափարները, ինչպես գույները կամ բառերը, պետք է համապատասխանեն միմյանց: Գեղեցկությունն առաջին պահանջն է՝ աշխարհում տեղ չկա տգեղ մաթեմատիկայի համար».

Գ.Հ.Հարդի

Առաջին գլխում նշվեց, որ կան բավականին պարզ ֆունկցիաների հակաածանցյալներ, որոնք այլևս չեն կարող արտահայտվել տարրական ֆունկցիաների միջոցով: Այս առումով հսկայական գործնական նշանակություն են ստանում ֆունկցիաների այն դասերը, որոնց մասին կարելի է ճշգրիտ ասել, որ դրանց հակաածանցյալները տարրական ֆունկցիաներ են։ Գործառույթների այս դասը ներառում է ռացիոնալ գործառույթներ, որը ներկայացնում է երկու հանրահաշվական բազմանդամների հարաբերությունը։ Շատ խնդիրներ հանգեցնում են ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրմանը: Հետեւաբար, շատ կարեւոր է, որ կարողանանք ինտեգրել նման գործառույթները:

2.1.1. Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիաներ

Ռացիոնալ կոտորակ(կամ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա) երկու հանրահաշվական բազմանդամների հարաբերությունն է.

որտեղ և են բազմանդամներ:

Հիշեցնենք, որ բազմանդամ (բազմանդամ, ամբողջ ռացիոնալ գործառույթը) nրդ աստիճանկոչվում է ձևի ֆունկցիա

Որտեղ - իրական թվեր. Օրինակ՝

- առաջին աստիճանի բազմանդամ;

– չորրորդ աստիճանի բազմանդամ և այլն:

Ռացիոնալ կոտորակը (2.1.1) կոչվում է ճիշտ, եթե աստիճանը ցածր է աստիճանից , այսինքն. n<մ, հակառակ դեպքում կոտորակը կոչվում է սխալ.

Ցանկացած անպատշաճ կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես բազմանդամի (ամբողջական մաս) և պատշաճ կոտորակի (կոտորակային մասի) գումար։Անպատշաճ կոտորակի ամբողջ և կոտորակային մասերի բաժանումը կարելի է կատարել «անկյունով» բազմանդամները բաժանելու կանոնով։

Օրինակ 2.1.1.Առանձնացրե՛ք հետևյալ ոչ պատշաճ ռացիոնալ կոտորակների ամբողջական և կոտորակային մասերը.

Ա) , բ) .

Լուծում . ա) Օգտագործելով «անկյունային» բաժանման ալգորիթմը, մենք ստանում ենք

Այսպիսով, մենք ստանում ենք

.

բ) Այստեղ մենք օգտագործում ենք նաև «անկյունային» բաժանման ալգորիթմը.

Արդյունքում մենք ստանում ենք

.

Եկեք ամփոփենք. Ընդհանուր դեպքում ռացիոնալ կոտորակի անորոշ ինտեգրալը կարող է ներկայացվել որպես բազմանդամի և պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրալների գումար։ Բազմանդամների հակաածանցյալներ գտնելը դժվար չէ։ Հետևաբար, հաջորդում մենք հիմնականում կդիտարկենք պատշաճ ռացիոնալ կոտորակները:

2.1.2. Ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակները և դրանց ինտեգրումը

Ճիշտ ռացիոնալ կոտորակների շարքում առանձնանում են չորս տեսակ, որոնք դասակարգվում են որպես ամենապարզ (տարրական) ռացիոնալ կոտորակները.

3) ,

4) ,

որտեղ է ամբողջ թիվ, , այսինքն. քառակուսի եռանկյուն իրական արմատներ չունի:

1-ին և 2-րդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրումը մեծ դժվարություն չի ներկայացնում.

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Այժմ դիտարկենք 3-րդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրումը, բայց 4-րդ տիպի կոտորակներ չենք դիտարկի։

Սկսենք ձևի ինտեգրալներից

.

Այս ինտեգրալը սովորաբար հաշվարկվում է հայտարարի կատարյալ քառակուսու մեկուսացման միջոցով: Արդյունքը հետևյալ ձևի աղյուսակի ինտեգրալն է

1+4+2+1 = - B(1+1+1) .

Օրինակ 2.1.2.Գտեք ինտեգրալները.

Ա) , բ) .

Լուծում . ա) Ընտրեք ամբողջական քառակուսի քառակուսի եռանկյունից.

Այստեղից մենք գտնում ենք

բ) Ամբողջական քառակուսին առանձնացնելով քառակուսի եռանկյունից՝ ստանում ենք.

Այսպիսով,

.

Ինտեգրալը գտնելու համար

Դուք կարող եք մեկուսացնել հայտարարի ածանցյալը համարիչում և ինտեգրալն ընդլայնել երկու ինտեգրալների գումարի մեջ. դրանցից առաջինը փոխարինելով գալիս է արտաքին տեսքին

,

իսկ երկրորդը՝ վերը քննարկվածին։

Օրինակ 2.1.3.Գտեք ինտեգրալները.

.

Լուծում . Նշենք, որ . Եկեք առանձնացնենք հայտարարի ածանցյալը համարիչում.

Առաջին ինտեգրալը հաշվարկվում է փոխարինման միջոցով :

Երկրորդ ինտեգրալում մենք ընտրում ենք կատարյալ քառակուսին հայտարարի մեջ

Ի վերջո, մենք ստանում ենք

2.1.3. Ռացիոնալ կոտորակի ճիշտ ընդլայնում
պարզ կոտորակների գումարի համար

Ցանկացած պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ կարելի է յուրօրինակ կերպով ներկայացնել որպես պարզ կոտորակների գումար: Դա անելու համար հայտարարը պետք է ֆակտորիզացվի: Բարձրագույն հանրահաշիվից հայտնի է, որ իրական գործակիցներով յուրաքանչյուր բազմանդամ

Այստեղ մենք մանրամասն լուծումներ ենք տալիս հետևյալ ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման երեք օրինակներին.
, , .

Օրինակ 1

Հաշվարկել ինտեգրալը.
.

Լուծում

Այստեղ ինտեգրալ նշանը ռացիոնալ ֆունկցիա է, քանի որ ինտեգրանդը բազմանդամների կոտորակ է։ Բազմանանդամի հայտարարի աստիճան ( 3 ) փոքր է համարիչի բազմանդամի աստիճանից ( 4 ) Հետեւաբար, նախ պետք է ընտրել կոտորակի ամբողջ մասը։

1. Ընտրենք կոտորակի ամբողջ մասը։ Բաժանել x 4 x-ի կողմից 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Այստեղից
.

2. Եկեք գործոնացնենք կոտորակի հայտարարը. Դա անելու համար հարկավոր է լուծել խորանարդային հավասարումը.
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Փոխարինենք x = 1 :
.

1 . 1 :

Այստեղից
.
Բաժանել x-ով -
.
Քառակուսային հավասարման լուծում.
Հավասարման արմատներն են՝ , .
.

3. Հետո

.

Բաժանենք կոտորակը ամենապարզ ձևի մեջ։
.
Այսպիսով, մենք գտանք.

Եկեք ինտեգրվենք.

Պատասխանել

Հաշվարկել ինտեգրալը.
.

Լուծում

Օրինակ 2 Այստեղ կոտորակի համարիչը զրո աստիճանի բազմանդամ է ( 1 = x 0 0 < 3 ) Հայտարարը երրորդ աստիճանի բազմանդամ է։ Քանի որ

1. , ապա կոտորակը ճիշտ է։ Բաժանենք այն պարզ կոտորակների։
.
Եկեք գործոնացնենք կոտորակի հայտարարը. Դա անելու համար դուք պետք է լուծեք երրորդ աստիճանի հավասարումը. 3 Ենթադրենք, որ այն ունի առնվազն մեկ ամբողջական արմատ։ Ապա դա թվի բաժանարար է
1, 3, -1, -3 .
Փոխարինենք x = 1 :
.

(անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը. 1 Այսպիսով, մենք գտանք մեկ արմատ x = .Բաժանել x 1 :

3 + 2 x - 3
.

x-ի վրա -
Այսպիսով, Քառակուսային հավասարման լուծում..
Գտե՛ք դիսկրիմինատորը՝ D = 1 2 - 4 3 = -11.< 0 Քանի որ Դ
.

2.
.
, ուրեմն հավասարումն իրական արմատներ չունի։ Այսպիսով, մենք ստացանք հայտարարի գործոնացումը.:
(2.1) .
Փոխարինենք x = 1 (x - 1) (x 2 + x + 3) 1 = 0 ,
.

. (2.1) Այնուհետև x - 0 :
Եկեք փոխարինենք;
.

x = (2.1) 1 = 3 A - C 2 :
;
Եկեք հավասարվենք;
.

.

3. Այսպիսով, մենք գտանք.
(2.2) .
գործակիցները x-ի համար

;
;
.

0 = A + B 2 .


.
Երկրորդ ինտեգրալը հաշվարկելու համար մենք ընտրում ենք հայտարարի ածանցյալը համարիչում և հայտարարը կրճատում ենք մինչև քառակուսիների գումարը։ Քառակուսային հավասարման լուծում.Հաշվիր I Քանի որ x հավասարումըչունի իրական արմատներ, ապա x

2 + x + 3 > 0 (2.2) :
.

Եկեք ինտեգրվենք.

.

Հաշվարկել ինտեգրալը.
.

Լուծում

Հետեւաբար, մոդուլի նշանը կարող է բաց թողնել: 3 Մենք առաքում ենք 4 Օրինակ 3 3 < 4 Այստեղ ինտեգրալ նշանի տակ բազմանդամների կոտորակն է։ Հետևաբար, ինտեգրանդը ռացիոնալ ֆունկցիա է։ Բազմանանդամի աստիճանը համարիչում հավասար է

1. .
.
Եկեք գործոնացնենք կոտորակի հայտարարը. Դա անելու համար դուք պետք է լուծեք երրորդ աստիճանի հավասարումը. 2 Ենթադրենք, որ այն ունի առնվազն մեկ ամբողջական արմատ։ Ապա դա թվի բաժանարար է
1, 2, -1, -2 .
Փոխարինենք x = -1 :
.

(անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը. -1 . Կոտորակի հայտարարի բազմանդամի աստիճանը հավասար է:


3 + 2 x - 3
.

.
.
Քանի որ 2 Ենթադրենք, որ այն ունի առնվազն մեկ ամբողջական արմատ։ Ապա դա թվի բաժանարար է
1, 2, -1, -2 .
Փոխարինենք x = -1 :
.

, ապա կոտորակը ճիշտ է։ Հետևաբար, այն կարող է քայքայվել պարզ կոտորակների։ Բայց դա անելու համար անհրաժեշտ է ֆակտորիզացնել հայտարարը: -1 Եկեք գործոնացնենք կոտորակի հայտարարը. Դա անելու համար հարկավոր է լուծել չորրորդ աստիճանի հավասարումը.
.

(-1) = x + 1 2 + 2 = 0 Այժմ մենք պետք է լուծենք երրորդ աստիճանի հավասարումը.
.

2. Եթե ​​ենթադրենք, որ այս հավասարումն ունի ամբողջ թվային արմատ, ապա այն թվի բաժանարար է
.
Այսպիսով, մենք գտանք մեկ այլ արմատ x = .:
(3.1) .
Փոխարինենք x = -1 Հնարավոր կլիներ, ինչպես նախորդ դեպքում, բազմանդամը բաժանել , բայց մենք կխմբավորենք տերմինները. 1 = 0 ,
.

Քանի որ x հավասարումը (3.1) :

;

.
Փոխարինենք x = -1 չունի իրական արմատներ, ապա մենք ստանում ենք հայտարարի ֆակտորիզացումը. 1 = 0 :
;
; .

. (3.1) Այնուհետև x - 0 :
Բաժանենք կոտորակը ամենապարզ ձևի մեջ։ Մենք փնտրում ենք ընդլայնում հետևյալ ձևով.;
.

x = (3.1) 1 = 3 A - C 3 :
;
Ազատվում ենք կոտորակի հայտարարից, բազմապատկում ենք;
.

(x + 1) 2 (x 2 + 2)
.

3. Այսպիսով, մենք գտանք.


.