Համակարգի զանգված: Զանգվածի կենտրոն Զանգվածի կենտրոնի որոշում Նյութական կետերի զանգվածների ինչ գումարի զանգվածի բանաձև

Մեխանիկական համակարգ

Մեխանիկական համակարգը նյութական կետերի մի շարք է.- շարժվել ըստ դասական մեխանիկայի օրենքների. և - փոխազդեցություն միմյանց և այս հավաքածուում չընդգրկված մարմինների հետ:

Քաշը

Զանգվածը բնության մեջ դրսևորվում է մի քանի ձևով.

Պասիվ գրավիտացիոն զանգվածցույց է տալիս, թե ինչ ուժով է մարմինը փոխազդում արտաքին գրավիտացիոն դաշտերի հետ - փաստորեն, այս զանգվածը հիմք է հանդիսանում ժամանակակից չափագիտության մեջ կշռման միջոցով զանգվածը չափելու համար:

Ակտիվ գրավիտացիոն զանգվածցույց է տալիս, թե ինչպիսի գրավիտացիոն դաշտ է ստեղծում այս մարմինն ինքն իրեն՝ գրավիտացիոն զանգվածները հայտնվում են համընդհանուր ձգողության օրենքում։

Իներտ զանգվածբնութագրում է մարմինների իներցիան և հայտնվում է Նյուտոնի երկրորդ օրենքի ձևակերպումներից մեկում։ Եթե ​​կամայական ուժը վիներցիալ հղման համակարգում հավասարապես արագացնում է տարբեր սկզբնական անշարժ մարմիններ, ապա այդ մարմիններին տրվում է նույն իներցիոն զանգվածը:

Գրավիտացիոն և իներցիոն զանգվածները հավասար են միմյանց (մեծ ճշգրտությամբ՝ մոտ 10−13, փորձարարական, իսկ ֆիզիկական տեսությունների մեծ մասում, այդ թվում՝ փորձնականորեն հաստատված բոլորը, ճշգրիտ), հետևաբար, այն դեպքում, երբ մենք չենք խոսում « նոր ֆիզիկա», նրանք ուղղակի խոսում են զանգվածի մասին՝ չնշելով, թե որն է նկատի ունեն։

Դասական մեխանիկայի մեջ մարմինների համակարգի զանգվածը հավասար էնրա բաղկացուցիչ մարմինների զանգվածների գումարը։ Հարաբերական մեխանիկայի մեջ զանգվածը հավելյալ ֆիզիկական մեծություն չէ, այսինքն՝ համակարգի զանգվածը ընդհանուր դեպքում հավասար չէ բաղադրիչների զանգվածների գումարին, այլ ներառում է կապող էներգիա և կախված է շարժման բնույթից։ միմյանց համեմատած մասնիկներ

Զանգվածի կենտրոն - (մեխանիկայի մեջ) երկրաչափական կետ, որը բնութագրում է մարմնի կամ մասնիկների համակարգի շարժումը որպես ամբողջություն։ Այն նույնական չէ ծանրության կենտրոն հասկացության հետ (թեև ամենից հաճախ այն համընկնում է):

Դասական մեխանիկայում նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնի (իներցիայի կենտրոնի) դիրքը որոշվում է հետևյալ կերպ.

որտեղ է զանգվածի կենտրոնի շառավիղի վեկտորը, շառավիղի վեկտորն է եսՀամակարգի րդ կետ, - զանգված եսրդ կետ.

Զանգվածի շարունակական բաշխման դեպքում.

որտեղ է համակարգի ընդհանուր զանգվածը, ծավալն է և խտությունը: Զանգվածի կենտրոնն այսպիսով բնութագրում է զանգվածի բաշխումը մարմնի կամ մասնիկների համակարգի վրա։

Կարելի է ցույց տալ, որ եթե համակարգը բաղկացած է ոչ թե նյութական կետերից, այլ զանգվածներով ընդլայնված մարմիններից, ապա նման համակարգի զանգվածի կենտրոնի շառավղային վեկտորը կապված է մարմինների զանգվածի կենտրոնների շառավղային վեկտորների հետ: հարաբերություն:

Այլ կերպ ասած, ընդլայնված մարմինների դեպքում բանաձևը վավեր է, որի կառուցվածքը համընկնում է նյութական կետերի համար օգտագործվող բանաձևի հետ:

Մեխանիկայի մեջ!!!

Զանգվածի կենտրոն հասկացությունը լայնորեն կիրառվում է մեխանիկայի և ֆիզիկայի մեջ։

Կոշտ մարմնի շարժումը կարելի է համարել որպես զանգվածի կենտրոնի շարժման և նրա զանգվածի կենտրոնի շուրջ մարմնի պտտվող շարժման սուպերպոզիցիա։ Այս դեպքում զանգվածի կենտրոնը շարժվում է այնպես, ինչպես կշարժվեր նույն զանգվածով, բայց անսահման փոքր չափսերով (նյութական կետ) մարմինը։ Վերջինս, մասնավորապես, նշանակում է, որ Նյուտոնի բոլոր օրենքները կիրառելի են այս շարժումը նկարագրելու համար։ Շատ դեպքերում դուք կարող եք ամբողջությամբ անտեսել մարմնի չափն ու ձևը և հաշվի առնել միայն նրա զանգվածի կենտրոնի շարժումը:

Հաճախ հարմար է դիտարկել փակ համակարգի շարժումը զանգվածի կենտրոնի հետ կապված հղման շրջանակում: Նման հղման համակարգը կոչվում է զանգվածային համակարգ (C-system) կամ իներցիայի կենտրոն: Դրանում փակ համակարգի ընդհանուր իմպուլսը միշտ մնում է հավասար զրոյի, ինչը հնարավորություն է տալիս պարզեցնել նրա շարժման հավասարումները։

Միատարր պատկերների զանգվածի կենտրոններ

Սեգմենտը ունի միջին.

Բազմանկյունների համար (ինչպես պինդ հարթ պատկերներ, այնպես էլ շրջանակներ).

Զուգահեռագիծն ունի իր անկյունագծերի հատման կետը:

Եռանկյունն ունի միջնագծերի հատման կետ ( ցենտրոիդ).

Կանոնավոր բազմանկյունն ունի պտտման համաչափության կենտրոն։

Կիսաշրջանն ունի կետ, որը բաժանում է ուղղահայաց շառավիղը շրջանագծի կենտրոնից 4:3π հարաբերությամբ:

Իմպուլս = Իմպուլս

Համակարգի շարժման մեծությունը (համակարգի իմպուլս).

Շարժման քանակություն (մարմնի իմպուլս)- վեկտոր ֆիզիկական մեծություն, որը հավասար է մարմնի զանգվածի և դրա արագության արտադրյալին.

Իմպուլսը (շարժման քանակությունը) մարմնի կամ մարմինների համակարգի շարժման ամենահիմնական բնութագրիչներից է։

Եկեք գրենք Նյուտոնի II օրենքը այլ ձևով՝ հաշվի առնելով այդ արագացումը Հետո հետևաբար

Ուժի արտադրյալը և դրա գործողության ժամանակը հավասար են մարմնի իմպուլսի աճին (նկ. 1).

Որտեղ է ուժի իմպուլսը, որը ցույց է տալիս, որ ուժի արդյունքը կախված է ոչ միայն դրա արժեքից, այլև գործողության տևողությունից:

Նկ.1

Համակարգի շարժման մեծությունը (իմպուլսը) կկոչվի վեկտորային մեծություն, որը հավասար է համակարգի բոլոր կետերի շարժման (իմպուլսների) մեծությունների երկրաչափական գումարին (հիմնական վեկտորին):(նկ.2):

Գծագրից պարզ է դառնում, որ, անկախ համակարգի կետերի արագությունների արժեքներից (եթե այդ արագությունները զուգահեռ չեն), վեկտորը կարող է վերցնել ցանկացած արժեք և նույնիսկ պարզվել, որ հավասար է զրոյի, երբ Վեկտորներից կառուցված բազմանկյունը փակվում է: Հետևաբար, մեծությունը չի կարող օգտագործվել համակարգի շարժման բնույթը լիովին դատելու համար:

Նկ.2

Եկեք գտնենք մի բանաձև, որը շատ ավելի հեշտ է դարձնում արժեքը հաշվարկելը և նաև հասկանալ դրա իմաստը:

Հավասարությունից

դրանից բխում է, որ

Երկու կողմերի ժամանակի ածանցյալը վերցնելով՝ ստանում ենք

Այստեղից մենք գտնում ենք, որ

համակարգի շարժման մեծությունը (իմպուլսը) հավասար է ամբողջ համակարգի զանգվածի և դրա զանգվածի կենտրոնի արագության արտադրյալին. . Այս արդյունքը հատկապես հարմար է օգտագործել կոշտ մարմինների շարժման մեծությունները հաշվարկելիս։

Բանաձևից պարզ է դառնում, որ եթե մարմինը (կամ համակարգը) շարժվում է այնպես, որ զանգվածի կենտրոնը մնա անշարժ, ապա մարմնի իմպուլսը զրո է։ Օրինակ՝ մարմնի զանգվածի կենտրոնով անցնող ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող իմպուլսը զրո կլինի։

Եթե ​​մարմնի շարժումը բարդ է, ապա արժեքը չի բնութագրի զանգվածի կենտրոնի շուրջ շարժման պտտվող մասը։ Օրինակ, պտտվող անիվի համար, անկախ նրանից, թե ինչպես է անիվը պտտվում իր զանգվածի կենտրոնի շուրջ ՀԵՏ.

Այսպիսով, Իմպուլսը բնութագրում է միայն համակարգի թարգմանական շարժումը։ Բարդ շարժման ժամանակ մեծությունը բնութագրում է համակարգի շարժման միայն փոխադրական մասը զանգվածի կենտրոնի հետ միասին:

Հիմնական կետը քանակն է stv dv համակարգի արտանետում (իմպուլս):

Համակարգի իմպուլսի (կամ կինետիկ մոմենտի) հիմնական պահը տվյալ կենտրոնի նկատմամբ ՄԱՍԻՆկոչվում է մեծություն, որը հավասար է այս կենտրոնի նկատմամբ համակարգի բոլոր կետերի շարժման մեծությունների մոմենտների երկրաչափական գումարին։

Համակարգի շարժման մեծությունների մոմենտները կոորդինատային առանցքների նկատմամբ որոշվում են նույն կերպ.

Այս դեպքում դրանք միաժամանակ ներկայացնում են վեկտորի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա:

Ինչպես համակարգի իմպուլսը նրա թարգմանական շարժման հատկանիշն է, համակարգի իմպուլսի հիմնական պահը համակարգի պտտման շարժման հատկանիշն է։

Նկ.6

Հասկանալ քանակի մեխանիկական նշանակությունը Լ 0 և ունենանք խնդիրների լուծման համար անհրաժեշտ բանաձևերը, մենք հաշվում ենք ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի անկյունային իմպուլսը (նկ. 6): հանգում է նրա կանխատեսումների որոշմանը:

Եկեք նախ գտնենք հավելվածների համար ամենակարևոր բանաձևը, որը որոշում է քանակը Լ z, այսինքն. Պտտվող մարմնի կինետիկ պահը պտտման առանցքի շուրջ:

Մարմնի ցանկացած կետի համար, որը գտնվում է պտտման առանցքից հեռավորության վրա, արագությունը հավասար է . Հետևաբար, այս կետի համար. Այնուհետև ամբողջ մարմնի համար, փակագծերից հանելով ω ընդհանուր գործոնը, ստանում ենք

Արժեքը փակագծերում ներկայացնում է մարմնի իներցիայի պահը առանցքի նկատմամբ զ. Վերջապես գտնում ենք

Այսպիսով, Պտտվող մարմնի կինետիկ մոմենտը պտտման առանցքի նկատմամբ հավասար է այս առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահի և մարմնի անկյունային արագության արտադրյալին։

Եթե ​​համակարգը բաղկացած է մի քանի մարմիններից, որոնք պտտվում են նույն առանցքի շուրջ, ապա ակնհայտորեն կլինի

Հեշտ է տեսնել բանաձևերի անալոգիան և. կինետիկ մոմենտը հավասար է իներցիայի պահի (մարմնի իներցիան պտտվող շարժման ժամանակ բնութագրող արժեք) և անկյունային արագության արտադրյալին։

Այս բաժնում մենք մանրամասնորեն կքննարկենք իրականում զուգահեռ ուժերի համակարգի հատուկ դեպքը: Մասնավորապես, ցանկացած նյութական մարմին կամ նյութական կետերի համակարգ (դիսկրետ մասնիկներ), որոնք գտնվում են Երկրի վրա, ենթակա են գրավիտացիայի ազդեցության: Հետևաբար, նման մեխանիկական համակարգերի յուրաքանչյուր մասնիկի վրա ազդում է իր ձգողական ուժը: Խստորեն ասած՝ այս բոլոր ուժերն ուղղված են մեկ կետի՝ դեպի Երկրի կենտրոն։ Բայց քանի որ երկրային մարմինների չափերը շատ փոքր են՝ համեմատած Երկրի շառավիղի հետ (ենթադրում ենք, որ ծավալները, որոնցում պարունակվում են դիսկրետ մասնիկներ, նույնպես փոքր են), ապա բարձր ճշգրտությամբ այդ ուժերը կարելի է զուգահեռ համարել։ Պարբերությունը նվիրված է ուժերի այս համակարգը հաշվի առնելուն։

Տեսակարար կշիռը

Ընտրենք տարրական մասնիկ մարմնի մեջ այնքան փոքր ծավալով, որ նրա դիրքը կարելի է որոշել մեկ շառավղով վեկտորով

կոչվում է տեսակարար կշիռ, իսկ մեծություն

Մարմնի խտությունը.

SI միավորների համակարգում տեսակարար կշիռն ունի չափ

և խտությունը

Ընդհանուր առմամբ, տեսակարար կշիռը և խտությունը մարմնի կետերի կոորդինատների ֆունկցիաներ են։ Եթե ​​դրանք բոլոր կետերի համար նույնն են, ապա մարմինը կոչվում է միատարր:

Ձգողության բոլոր տարրական ուժերի արդյունքը հավասար է դրանց գումարին և ներկայացնում է մարմնի քաշը: Այս զուգահեռ ուժերի կենտրոնը կոչվում է մարմնի ծանրության կենտրոն։

Ակնհայտ է, որ մարմնի ծանրության կենտրոնի դիրքը կախված չէ տարածության մեջ մարմնի կողմնորոշումից: Այս պնդումը հետևում է նախորդ դիտողությունից, որ զուգահեռ ուժերի կենտրոնը չի փոխում իր դիրքը, երբ բոլոր ուժերը պտտվում են նույն անկյունով իրենց կիրառման կետերի շուրջ:

Բանաձևեր, որոնք որոշում են մարմնի ծանրության կենտրոնները և դիսկրետ մասնիկների համակարգը

Մարմնի ծանրության կենտրոնը որոշելու համար մենք այն բաժանում ենք բավականին փոքր մասնիկների՝ . Նրանցից յուրաքանչյուրին մենք կիրառում ենք ձգողականության ուժ, որը հավասար է

Այս զուգահեռ ուժերի արդյունքը հավասար է մարմնի քաշին, որը մենք նշում ենք

Մարմնի ծանրության կենտրոնի շառավղային վեկտորը, որը մենք նշում ենք -ով, որոշվում է նախորդ պարբերության բանաձևերով՝ որպես զուգահեռ ուժերի կենտրոն։ Այսպիսով, մենք կունենանք

Եթե ​​որոշված ​​է դիսկրետ մասնիկների համակարգի ծանրության կենտրոնը, ապա մասնիկի տեսակարար կշիռը՝ V, նրա ծավալն է՝ մասնիկի դիրքը որոշող շառավիղի վեկտորը։ Վերջին բանաձևը որոշում է այս դեպքում դիսկրետ մասնիկների համակարգի զանգվածի կենտրոնը:

Եթե ​​մեխանիկական համակարգը մասնիկների շարունակական հավաքածուով ձևավորված մարմին է, ապա վերջին բանաձևերի գումարի սահմաններում դրանք վերածվում են ինտեգրալների և մարմնի ծանրության կենտրոնի շառավղային վեկտորը կարող է հաշվարկվել բանաձևով.

որտեղ ինտեգրալները տարածվում են մարմնի ողջ ծավալի վրա։

Եթե ​​մարմինը միատարր է, ապա վերջին բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

որտեղ V-ն ամբողջ մարմնի ծավալն է:

Այսպիսով, երբ մարմինը միատարր է, նրա ծանրության կենտրոնը որոշելը վերածվում է զուտ երկրաչափական խնդրի։ Այս դեպքում մենք խոսում ենք ծավալի ծանրության կենտրոնի մասին։

Մարմնի զանգվածի կենտրոն

Ծանրության կենտրոնի ներդրված հայեցակարգը իմաստ ունի միայն Երկրի մակերեսին մոտ գտնվող մարմինների համար (Երկրի չափի համեմատ փոքր): Միաժամանակ, ծանրության կենտրոնի կոորդինատների հաշվարկման մեթոդը թույլ է տալիս այն օգտագործել մարմնում նյութի բաշխումը բնութագրող կետի կոորդինատները հաշվարկելու համար։ Դա անելու համար պետք է հաշվի առնել ոչ թե մասնիկների քաշը, այլ դրանց զանգվածը։ Ծավալ ունեցող մարմնի յուրաքանչյուր մասնիկ ունի զանգված

և նախկինում ստացված բանաձևով փոխարինելով՝ հասնում ենք հավասարության.

որը սահմանում է մի կետ, որը կոչվում է մարմնի զանգվածի կենտրոն կամ իներցիայի կենտրոն։

Եթե ​​համակարգը բաղկացած է նյութական կետերից, որոնց զանգվածները, ապա համակարգի զանգվածի կենտրոնը հայտնաբերվում է բանաձևով.

որտեղ է ամբողջ համակարգի զանգվածը: Մարմնի զանգվածի կենտրոնի շառավղային վեկտորը կախված է O կոորդինատների սկզբնաղբյուրի ընտրությունից: Եթե որպես կոորդինատների սկզբնակետ ընտրվի հենց իներցիայի կենտրոնը, ապա այն հավասար կլինի զրոյի.

Զանգվածի կենտրոն հասկացությունը կարող է ներկայացվել անկախ ծանրության կենտրոն հասկացությունից։ Դրա շնորհիվ այն վերաբերում է ցանկացած մեխանիկական համակարգերի:

Ստատիկ պահեր

Արտահայտությունները կոչվում են, համապատասխանաբար, մարմնի քաշի, ծավալի և զանգվածի ստատիկ պահեր O կետի նկատմամբ: Եթե որպես կետ ընտրենք մարմնի զանգվածի կենտրոնը (կոորդինատների ծագումը), ապա մարմնի ստատիկ պահերը. զանգվածի կենտրոնի նկատմամբ հավասար կլինի զրոյի, որը հետագայում բազմիցս կօգտագործվի:

Զանգվածի կենտրոնի հաշվարկման մեթոդներ

Բարդ ձևի մարմնի դեպքում, վերը տրված ընդհանուր բանաձևերի միջոցով զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները որոշելը սովորաբար ենթադրում է տքնաջան հաշվարկներ։ Որոշ դեպքերում դրանք կարող են զգալիորեն պարզեցնել, եթե օգտագործեք հետևյալ մեթոդները.

1) Սիմետրիայի մեթոդ. Թող մարմինը ունենա նյութական համաչափության կենտրոն: Սա նշանակում է, որ այս կենտրոնից քաշված զանգվածով և շառավղով վեկտորով յուրաքանչյուր մասնիկ համապատասխանում է նույն զանգվածով և շառավղով վեկտորով մասնիկին: Այս դեպքում մարմնի զանգվածի ստատիկ պահը կվերանա և

Հետևաբար, զանգվածի կենտրոնն այս դեպքում կհամընկնի մարմնի նյութական համաչափության կենտրոնի հետ։ Միատարր մարմինների համար դա նշանակում է, որ զանգվածի կենտրոնը համընկնում է մարմնի ծավալի երկրաչափական կենտրոնի հետ։ Եթե ​​մարմինն ունի նյութական համաչափության հարթություն, ապա զանգվածի կենտրոնն այս հարթությունում է։ Եթե ​​մարմինը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ, ապա զանգվածի կենտրոնն այս առանցքի վրա է։

Ծանրության կենտրոն(կամ զանգվածի կենտրոն) որոշակի մարմնի այն կետն է, որն ունի հատկություն, որ եթե մարմինը կասեցվի այս կետից, այն կպահպանի իր դիրքը։

Ստորև մենք դիտարկում ենք երկչափ և եռաչափ խնդիրներ՝ կապված զանգվածի տարբեր կենտրոնների որոնման հետ՝ հիմնականում հաշվողական երկրաչափության տեսանկյունից:

Ստորև քննարկված լուծումներում կարելի է առանձնացնել երկու հիմնական. փաստ. Առաջինն այն է, որ նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնը հավասար է դրանց կոորդինատների միջինին՝ վերցված դրանց զանգվածներին համաչափ գործակիցներով։ Երկրորդ փաստն այն է, որ եթե իմանանք երկու չհատվող գործիչների զանգվածի կենտրոնները, ապա նրանց միավորման զանգվածի կենտրոնը կգտնվի այս երկու կենտրոնները միացնող հատվածի վրա, և այն կբաժանի այն նույն հարաբերությամբ, ինչ զանգվածի զանգվածը։ երկրորդ ցուցանիշը վերաբերում է առաջինի զանգվածին:

Երկչափ պատյան՝ բազմանկյուններ

Փաստորեն, երկչափ գործչի զանգվածի կենտրոնի մասին խոսելիս կարող ենք նկատի ունենալ հետևյալ երեքից մեկը. առաջադրանքներ:

• Կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնը, այսինքն. ամբողջ զանգվածը կենտրոնացած է միայն բազմանկյան գագաթներում։
• Շրջանակի զանգվածի կենտրոնը, այսինքն. Բազմանկյունի զանգվածը կենտրոնացած է նրա պարագծի վրա։
• Պինդ գործչի զանգվածի կենտրոնը, այսինքն. Բազմանկյունի զանգվածը բաշխված է նրա ամբողջ տարածքում։

Այս խնդիրներից յուրաքանչյուրն ունի ինքնուրույն լուծում և ստորև կքննարկվի առանձին:

Կետային համակարգի զանգվածի կենտրոն

Սա երեք խնդիրներից ամենապարզն է, և դրա լուծումը նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնի հայտնի ֆիզիկական բանաձևն է.

որտեղ են կետերի զանգվածները, արդյո՞ք դրանց շառավղային վեկտորները (նշելով դրանց դիրքը ծագման նկատմամբ) և հանդիսանում է զանգվածի կենտրոնի ցանկալի շառավղային վեկտորը:

Մասնավորապես, եթե բոլոր կետերն ունեն նույն զանգվածը, ապա զանգվածի կենտրոնի կոորդինատներն են թվաբանական միջինկետերի կոորդինատները. Համար եռանկյունայս կետը կոչվում է ցենտրոիդև համընկնում է միջնամասերի հատման կետին.

Համար ապացույցԱյս բանաձևերը բավական են հիշելու համար, որ հավասարակշռությունը ձեռք է բերվում մի կետում, որտեղ բոլոր ուժերի մոմենտների գումարը հավասար է զրոյի: Այս դեպքում դա վերածվում է պայմանի, որ կետի նկատմամբ բոլոր կետերի շառավղային վեկտորների գումարը, բազմապատկված համապատասխան կետերի զանգվածներով, հավասար է զրոյի.

և այստեղից արտահայտվելով՝ ստանում ենք պահանջվող բանաձևը.

Շրջանակի զանգվածի կենտրոն

Բայց հետո պոլիգոնի յուրաքանչյուր կողմը կարող է փոխարինվել մեկ կետով՝ այս հատվածի կեսը (քանի որ համասեռ հատվածի զանգվածի կենտրոնը այս հատվածի միջինն է), այս հատվածի երկարությանը հավասար զանգվածով։

Այժմ մենք խնդիր ունենք նյութական կետերի համակարգի վերաբերյալ, և դրա վրա կիրառելով նախորդ պարբերության լուծումը՝ գտնում ենք.

որտեղ է բազմանկյան i-րդ կողմի միջնակետը, i-րդ կողմի երկարությունն է, պարագիծն է, այսինքն. կողմերի երկարությունների գումարը.

Համար եռանկյունկարելի է ցույց տալ հետևյալ հայտարարությունը. այս կետն է բիսեկտոր հատման կետեռանկյունի, որը ձևավորվում է սկզբնական եռանկյունու կողմերի միջնակետերով: (դա ցույց տալու համար անհրաժեշտ է օգտագործել վերը նշված բանաձևը, այնուհետև նկատել, որ կիսատները բաժանում են ստացված եռանկյունու կողմերը նույն հարաբերակցությամբ, ինչ այս կողմերի զանգվածի կենտրոնները):

Պինդ գործչի զանգվածի կենտրոն

Մենք հավատում ենք, որ զանգվածը բաշխվում է միատեսակ գործչի վրա, այսինքն. Նկարի յուրաքանչյուր կետում խտությունը հավասար է նույն թվին:

Եռանկյունի պատյան

Ենթադրվում է, որ եռանկյունու համար պատասխանը նույնն է լինելու ցենտրոիդ, այսինքն. կետը, որը ձևավորվում է գագաթների կոորդինատների միջին թվաբանականով.

Եռանկյունի գործ՝ ապացույց

Այստեղ մենք տալիս ենք տարրական ապացույց, որը չի օգտագործում ինտեգրալների տեսությունը։

Արքիմեդն առաջինն էր, ով տվեց նման զուտ երկրաչափական ապացույց, բայց այն շատ բարդ էր՝ մեծ թվով երկրաչափական կոնստրուկցիաներով։ Այստեղ բերված ապացույցը վերցված է Ապոսթոլ Մնացականյանի «Հեշտ ճանապարհ գտնել կենտրոնական կենտրոնները» հոդվածից։

Ապացույցը հանգում է նրան, որ ցույց է տալիս, որ եռանկյան զանգվածի կենտրոնը գտնվում է միջնորներից մեկի վրա. Կրկնելով այս գործընթացը ևս երկու անգամ, մենք դրանով ցույց կտանք, որ զանգվածի կենտրոնը գտնվում է միջնամասերի հատման կետում, որը կենտրոնական է:

Եկեք այս եռանկյունը բաժանենք չորսի, միացնելով կողմերի միջնակետերը, ինչպես ցույց է տրված նկարում.

Ստացված չորս եռանկյունները նման են գործակից ունեցող եռանկյունին:

Թիվ 1 և թիվ 2 եռանկյունները միասին կազմում են զուգահեռագիծ, որի զանգվածի կենտրոնը գտնվում է նրա անկյունագծերի հատման կետում (քանի որ սա սիմետրիկ է երկու անկյունագծերի նկատմամբ և, հետևաբար, նրա կենտրոնը զանգվածը պետք է ընկած լինի երկու անկյունագծերից յուրաքանչյուրի վրա): Կետը գտնվում է թիվ 1 և թիվ 2 եռանկյունների ընդհանուր կողմի մեջտեղում, ինչպես նաև գտնվում է եռանկյան միջնագծի վրա.

Թող վեկտորը լինի թիվ 1 եռանկյան գագաթից գծված վեկտորը, իսկ վեկտորը լինի այն վեկտորը, որը գծված է դեպի այն կետը (որը, հիշեցնենք, այն կողմի կեսն է, որի վրա այն ընկած է) :

Մեր նպատակն է ցույց տալ, որ վեկտորները և համագիծ են:

Նշենք թիվ 3 և թիվ 4 եռանկյունների զանգվածի կենտրոնները և այն կետերը։ Այնուհետև, ակնհայտորեն, այս երկու եռանկյունների բազմության զանգվածի կենտրոնը կլինի այն կետը, որը հատվածի կեսն է։ Ընդ որում, վեկտորը կետից կետ համընկնում է վեկտորի հետ։

Եռանկյան զանգվածի ցանկալի կենտրոնը գտնվում է հատվածի միացնող կետերի մեջտեղում և (քանի որ մենք եռանկյունը բաժանել ենք հավասար տարածքների երկու մասի՝ թիվ 1-թիվ 2 և թիվ 3-թիվ 4).

Այսպիսով, գագաթից դեպի կենտրոնական վեկտորը . Մյուս կողմից, քանի որ Թիվ 1 եռանկյունը նման է գործակից ունեցող եռանկյունին, ապա նույն վեկտորը հավասար է . Այստեղից մենք ստանում ենք հավասարումը.

որտեղ մենք գտնում ենք.

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ վեկտորները և վեկտորները միաձույլ են, ինչը նշանակում է, որ ցանկալի կենտրոնաձևը գտնվում է գագաթից բխող մեդիանայի վրա:

Ավելին, ճանապարհին մենք ապացուցեցինք, որ ցենտրոիդը բաժանում է յուրաքանչյուր մեդիան հարաբերության մեջ՝ հաշվելով գագաթից:

Բազմանկյուն գործ

Այժմ անցնենք ընդհանուր գործին, այսինքն. առիթին բազմանկյուն. Նրա համար նման պատճառաբանությունն այլևս կիրառելի չէ, ուստի մենք խնդիրը վերածում ենք եռանկյունի. այն է՝ բազմանկյունը բաժանում ենք եռանկյունների (այսինքն՝ եռանկյունավորում), գտնում ենք յուրաքանչյուր եռանկյան զանգվածի կենտրոնը, այնուհետև գտնում ենք եռանկյունու կենտրոնը։ արդյունքում ստացված եռանկյունների զանգվածի կենտրոնների զանգվածը:

Վերջնական բանաձևը հետևյալն է.

որտեղ է տրված բազմանկյունի եռանկյունու եռանկյունու կենտրոնը, եռանկյունի եռանկյան մակերեսն է, ամբողջ բազմանկյան մակերեսն է:

Ուռուցիկ բազմանկյունի եռանկյունաձևությունը չնչին խնդիր է. դրա համար, օրինակ, կարող եք վերցնել եռանկյուններ, որտեղ .

Բազմանկյուն գործ՝ այլընտրանքային ճանապարհ

Մյուս կողմից, վերը նշված բանաձեւի օգտագործումը այնքան էլ հարմար չէ ոչ ուռուցիկ բազմանկյուններ, քանի որ դրանց եռանկյունավորումն ինքնին հեշտ գործ չէ։ Բայց նման պոլիգոնների համար դուք կարող եք ավելի պարզ մոտեցում առաջարկել: Մասնավորապես, եկեք անալոգիա կազմենք այն բանի հետ, թե ինչպես կարող եք որոնել կամայական բազմանկյունի տարածքը. ընտրվում է կամայական կետ, այնուհետև ամփոփվում են այս կետով ձևավորված եռանկյունների և բազմանկյունի կետերի նշանների տարածքները. Նմանատիպ տեխնիկա կարող է օգտագործվել զանգվածի կենտրոնը գտնելու համար. միայն հիմա մենք կամփոփենք եռանկյունների զանգվածի կենտրոնները, որոնք վերցված են դրանց տարածքներին համաչափ գործակիցներով, այսինքն. Զանգվածի կենտրոնի վերջնական բանաձևը հետևյալն է.

որտեղ կա կամայական կետ, բազմանկյան կետերն են, եռանկյան կենտրոնն է, այս եռանկյան նշանավոր տարածքն է, ամբողջ բազմանկյան նշանավոր տարածքն է (այսինքն):

Եռաչափ պատյան՝ պոլիեդրա

Երկչափ դեպքի նման, 3D-ում մենք կարող ենք անմիջապես խոսել խնդրի չորս հնարավոր ձևակերպումների մասին.

• Կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնը` բազմանիստի գագաթները:
• Շրջանակի զանգվածի կենտրոնը պոլիէդրոնի եզրերն են։
• Մակերեւույթի զանգվածի կենտրոնը, այսինքն. զանգվածը բաշխվում է պոլիէդրոնի մակերեսի վրա։
• Պինդ պոլիէդրոնի զանգվածի կենտրոնը, այսինքն. զանգվածը բաշխված է պոլիէդրոնի ամբողջ տարածքում։

Կետային համակարգի զանգվածի կենտրոն

Ինչպես երկչափ դեպքում, մենք կարող ենք կիրառել ֆիզիկական բանաձևը և ստանալ նույն արդյունքը.

որը հավասար զանգվածների դեպքում վերածվում է բոլոր կետերի կոորդինատների միջին թվաբանականի։

Բազմանիդրային շրջանակի զանգվածի կենտրոն

Երկչափ գործի նման, մենք պարզապես պոլիէդրոնի յուրաքանչյուր եզրը փոխարինում ենք այս եզրի մեջտեղում գտնվող նյութական կետով և այս եզրի երկարությանը հավասար զանգվածով: Ստանալով նյութական կետերի խնդիրը՝ մենք հեշտությամբ գտնում ենք դրա լուծումը՝ որպես այս կետերի կոորդինատների կշռված գումար։

Պոլիեդրոնի մակերեսի զանգվածի կենտրոն

Բազմեյդրոնի մակերեսի յուրաքանչյուր դեմք երկչափ պատկեր է, որի զանգվածի կենտրոնը մենք գիտենք, թե ինչպես փնտրել: Գտնելով այս զանգվածի կենտրոնները և յուրաքանչյուր դեմք փոխարինելով իր զանգվածի կենտրոնով՝ մենք ստանում ենք նյութական կետերի խնդիր, որն արդեն իսկ հեշտ է լուծել։

Պինդ բազմանիստ զանգվածի կենտրոն

Տետրաեդրոնի դեպքը

Ինչպես երկչափ դեպքում, եկեք նախ լուծենք ամենապարզ խնդիրը՝ քառաեդրոնի խնդիրը:

Նշվում է, որ քառաեդրոնի զանգվածի կենտրոնը համընկնում է նրա միջնամասերի հատման կետի հետ (չորրախորշի միջնագիծը նրա գագաթից դեպի հակառակ երեսի զանգվածի կենտրոն քաշված հատվածն է. անցնում է գագաթով և եռանկյուն դեմքի միջնամասերի հատման կետով):

Ինչո՞ւ է սա այդպես։ Այստեղ երկչափ դեպքի նման դատողությունը ճիշտ է. եթե քառաեդրոնը կտրենք երկու քառաեդրի՝ օգտագործելով քառաեդրոնի գագաթով անցնող հարթություն և հակառակ երեսի որոշ միջնագիծ, ապա ստացված երկու քառանիստները կունենան նույն ծավալը (քանի որ. եռանկյուն երեսը միջնագծով կբաժանվի հավասար մակերեսով երկու եռանկյունու, և երկու քառանիստների բարձրությունը չի փոխվի): Այս փաստարկները մի քանի անգամ կրկնելով՝ մենք գտնում ենք, որ զանգվածի կենտրոնը գտնվում է քառաեդրոնների միջնամասերի հատման կետում:

Այս կետը` քառանիստի միջնամասերի հատման կետը, կոչվում է իր ցենտրոիդ. Կարելի է ցույց տալ, որ այն իրականում ունի կոորդինատներ, որոնք հավասար են քառանիստի գագաթների կոորդինատների միջին թվաբանականին.

(սա կարելի է եզրակացնել այն փաստից, որ ցենտրոիդը բաժանում է միջինները հարաբերակցությամբ)

Այսպիսով, քառանկյունի և եռանկյան դեպքերի միջև հիմնարար տարբերություն չկա. գագաթների միջին թվաբանականին հավասար կետը զանգվածի կենտրոնն է խնդրի երկու ձևակերպումներում. երկուսն էլ, երբ զանգվածները գտնվում են միայն գագաթներում, և երբ զանգվածները բաշխվում են ամբողջ տարածքում/ծավալով։ Փաստորեն, այս արդյունքը ընդհանրացվում է կամայական չափման՝ կամայականի զանգվածի կենտրոնի սիմպլեքս(պարզ) նրա գագաթների կոորդինատների միջին թվաբանականն է:

Կամայական պոլիէդրոնի դեպք

Այժմ անցնենք ընդհանուր գործին` կամայական բազմանկյունի դեպքին:

Կրկին, ինչպես երկչափ դեպքում, մենք այս խնդիրը հասցնում ենք արդեն լուծվածի. բազմանկյունը բաժանում ենք քառաեդրոնների (այսինքն՝ քառաեդրոնացնում ենք), գտնում ենք դրանցից յուրաքանչյուրի զանգվածի կենտրոնը և ստանում վերջնական պատասխանը։ խնդիրը հայտնաբերված կենտրոնների կշռված գումարի տեսքով wt.

Զանգվածի կենտրոնը մարմնի ներսում գտնվող երկրաչափական կետ է, որը որոշում է այս մարմնի զանգվածի բաշխումը։ Ցանկացած մարմին կարող է ներկայացվել որպես որոշակի քանակությամբ նյութական կետերի գումար: Այս դեպքում զանգվածի կենտրոնի դիրքը որոշում է շառավիղի վեկտորը:

Բանաձև 1 - զանգվածի վեկտորի կենտրոնի շառավիղ:

mi-ն այս կետի զանգվածն է:

ri-ն կետի շառավիղի վեկտորն է:

Եթե ​​գումարեք բոլոր նյութական կետերի զանգվածները, ապա կստանաք ամբողջ մարմնի զանգվածը: Զանգվածի կենտրոնի դիրքի վրա ազդում է մարմնի ծավալի վրա զանգվածի բաշխման միատեսակությունը: Զանգվածի կենտրոնը կարող է տեղակայվել ինչպես մարմնի ներսում, այնպես էլ դրանից դուրս։ Ենթադրենք, օղակի համար զանգվածի կենտրոնը գտնվում է շրջանագծի կենտրոնում: Որտեղ չկա նյութ: Ընդհանուր առմամբ, զանգվածի միատեսակ բաշխում ունեցող սիմետրիկ մարմինների համար զանգվածի կենտրոնը միշտ գտնվում է համաչափության կենտրոնում կամ նրա առանցքի վրա։

Նկար 1 - Սիմետրիկ մարմինների զանգվածի կենտրոններ:

Եթե ​​մարմնի վրա որոշակի ուժ կիրառվի, այն կսկսի շարժվել։ Պատկերացրեք սեղանի մակերեսին ընկած մատանի։ Եթե ​​դուք ուժ կիրառեք դրա վրա և պարզապես սկսեք հրել, ապա այն կսահի սեղանի մակերեսով: Բայց շարժման ուղղությունը կախված կլինի ուժի կիրառման վայրից:

Եթե ​​ուժն ուղղված է արտաքին եզրից դեպի կենտրոն՝ արտաքին մակերեսին ուղղահայաց, ապա օղակը կսկսի ուղղագիծ շարժվել սեղանի մակերեսի երկայնքով՝ ուժի կիրառման ուղղությամբ։ Եթե ​​օղակի արտաքին շառավիղին շոշափելիորեն կիրառվի ուժ, ապա այն կսկսի պտտվել իր զանգվածի կենտրոնի համեմատ: Այսպիսով, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ մարմնի շարժումը բաղկացած է զանգվածի կենտրոնի նկատմամբ փոխադրական և պտտվող շարժման գումարից: Այսինքն՝ ցանկացած մարմնի շարժում կարելի է նկարագրել նյութական կետի շարժումով, որը գտնվում է զանգվածի կենտրոնում և ունի ամբողջ մարմնի զանգվածը։

Նկար 2 - Օղակի թարգմանական և պտտվող շարժում:

Կա նաև ծանրության կենտրոն հասկացությունը։ Ընդհանուր առմամբ, սա նույնը չէ, ինչ զանգվածի կենտրոնը: Ծանրության կենտրոնը այն կետն է, որի նկատմամբ ընդհանուր ծանրության պահը զրո է: Եթե ​​պատկերացնում եք ձող, ասենք՝ 1 մետր երկարությամբ, 1 սմ տրամագծով, իսկ խաչմերուկով միատարր: Ձողի ծայրերում ամրացված են հավասար զանգվածի մետաղական գնդիկներ։ Այնուհետեւ այս ձողի զանգվածի կենտրոնը կլինի մեջտեղում: Եթե ​​այս ձողը տեղադրվի ոչ միատեսակ գրավիտացիոն դաշտում, ապա ծանրության կենտրոնը կտեղափոխվի դեպի ավելի մեծ դաշտի ուժ:

Նկար 3 - Մարմին ոչ միատեսակ և միատեսակ գրավիտացիոն դաշտում:

Երկրի մակերեսին, որտեղ ծանրության ուժը միատեսակ է, զանգվածի կենտրոնը գործնականում համընկնում է ծանրության կենտրոնի հետ։ Ցանկացած կայուն միասնական գրավիտացիոն դաշտի համար ծանրության կենտրոնը միշտ կհամընկնի զանգվածի կենտրոնի հետ:

Եթե ​​մենք չհանեինք, այլ ավելացնեինք հավասարումները (6.1), ապա մենք պարզապես կստանայինք իմպուլսի պահպանման օրենքը.

Այն կարող է վերագրվել զուտ ձևականորեն որպես որոշակի արագության ժամանակի հաստատունության օրենք Vc.

Անցնենք արագությամբ շարժվող հղման համակարգին (6.4): 1-ին և 2-րդ մասնիկների արագությունները փոխակերպվում են հետևյալ կերպ.

այսինքն նոր հղման համակարգում դրանք արտահայտվում են հարաբերական շարժման արագությամբ։ Եկեք Vc արագությունը կապենք որոշակի կետի շառավիղի վեկտորի հետ rՀետ:

Նկատի ունեցեք, որ սահմանումը (6.6) համընկնում է ծանրության կենտրոնի հայեցակարգի հետ, որը հայտնի է դպրոցական ֆիզիկայի դասընթացից: Սա ապացուցելու համար եկեք կոորդինատների ծագումը տեղափոխենք կետ rՀետ. Այնուհետև, ամբողջովին անալոգով (6.5) մենք ստանում ենք

Այսպիսով,

(ծանրության կենտրոնը որոշվում է զանգվածի և «ուսի» արտադրանքների հավասարությամբ): Բայց սահմանումները (6.4) և (6.6) ավելի ճիշտ և համընդհանուր են, քանի որ դրանք կարող են առանց որևէ խնդիրների ընդհանրացվել ցանկացած նյութական կետերի, հետևաբար նաև մակրոսկոպիկ մարմինների համար: C կետը մեխանիկայի և ընդհանրապես ֆիզիկայի մեջ սովորաբար կոչվում է նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոն կամ իներցիայի կենտրոն:

Թող որոշ իներցիոն կոորդինատային համակարգում շառավղային վեկտորների միջոցով նշվեն m 1, m 2, m N զանգվածների հետ փոխազդող նյութական կետերի դիրքերը t ժամանակի յուրաքանչյուր պահին: r 1 (տ), r 2 (տ), r N(t)

(տես նկ. 6.3 ա): Այդ դեպքում նյութական կետերի դիտարկված համակարգի զանգվածի կենտրոնն այնպիսի կետ է, որի շառավիղի վեկտորը Ռ r 1 (տ), r 2 (տ), r N (t) նյութական միավորներ ըստ

Մենք ընդգծում ենք, որ ընդհանուր դեպքում զանգվածի կենտրոնի դիրքը չի համընկնում համակարգի նյութական կետերից որևէ մեկի դիրքի հետ (տե՛ս նկ. 6.3 բ), թեև երբեմն դա կարող է տեղի ունենալ։

Բրինձ. 6.3, նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնն այնպիսի կետ է, որի շառավիղի վեկտորը Ռ c(t)-ն արտահայտվում է շառավղային վեկտորներով r 1 (տ), r 2 (տ), r N(t) նյութական միավորներ

Տարբերակենք հավասարության (6.7) ձախ և աջ կողմերը ժամանակի նկատմամբ։

Շառավիղի վեկտորի ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ, ըստ սահմանման, արագությունն է, ուստի արդյունքում մենք ստանում ենք.

որտեղ Vc-ը զանգվածի կենտրոնի արագությունն է, v 1, v 2, v N նյութական կետերի արագություններն են: m 1 v 1 in (6.8) մեծությունը առաջին նյութական կետի իմպուլսն է, m 2 V 2 երկրորդ կետի իմպուլսը և այլն։ Այսպիսով, արտահայտության գանգուր փակագծերում (6.8) գտնվում է դիտարկվող նյութական կետերի համակարգի իմպուլսների գումարը, այսինքն՝ ամբողջ համակարգի P իմպուլսը:

Հետևաբար, հավասարությունը (6.8) կարող է վերաշարադրվել P = (m 1 + m 2 + m N )V c: (6.9)

Հղման համակարգում, որտեղ զանգվածի կենտրոնը գտնվում է հանգստի վիճակում,

Եթե ​​մեզ չի հետաքրքրում նյութական կետերի հարաբերական շարժումը, այլ մեզ հետաքրքրում է համակարգի շարժումը որպես ամբողջություն, ապա ամբողջ համակարգը կարող է դիտարկվել որպես մեկ նյութական կետ, որը շարժվում է Vc արագությամբ և ունի P իմպուլս: Հիշենք, որ զանգվածը նյութական կետը, ըստ սահմանման, իմպուլսի և արագության համաչափության գործակիցն է: Հետևաբար, հավասարության մեջ համաչափության գործակիցը (6.9), որը փակցված է գանգուր փակագծերում, դիտարկվող համակարգի M զանգվածն է.

M = m 1 + m 2 + m N, (6.10)

այսինքն՝ նյութական կետերի համակարգի զանգվածը հավասար է այս կետերի զանգվածների գումարին։ Հարաբերությունը (6.10), ըստ որի բարդ մարմնի զանգվածը հավասար է նրա մասերի զանգվածների գումարին, մեզ ծանոթ և ակնհայտ է թվում։ Սակայն, ինչպես կտեսնենք ավելի ուշ, հարաբերական մեխանիկայում (այսինքն՝ ավելի ընդհանուր դեպքում) իրավիճակը բոլորովին այլ կլինի։ Նյուտոնյան մեխանիկայի սահմանափակող դեպքում հավասարությունը (6.10) որոշակի ֆիզիկական օրենքի հատուկ դեպք է՝ զանգվածի պահպանման օրենքը։

Արտաքին ուժերի բացակայության դեպքում, այսինքն՝ փակ համակարգի համար, համակարգի բոլոր մարմինների իմպուլսների գումարը կախված չէ ժամանակից. ապա (6.9)-ից հետևում է նյութական կետերի փակ համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման կարևոր հատկությունը.

այսինքն. նյութական կետերի փակ համակարգի զանգվածի կենտրոնը անշարժ է կամ շարժվում է միատեսակ և գծային, չնայած նյութական կետերից յուրաքանչյուրը կարող է կատարել բարդ շարժում։ Վերոհիշյալ պնդումը երբեմն կոչվում է թեորեմ զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին։

Այժմ մենք կապացուցենք կինետիկ էներգիայի հետևյալ կարևոր հատկությունը.

Նյութական կետերի համակարգի կինետիկ էներգիան T հավասար է համակարգի ողջ զանգվածի կինետիկ էներգիայի գումարին, որը մտավոր կենտրոնացած է իր զանգվածի կենտրոնում և շարժվում է դրա հետ, և նույն համակարգի T կինետիկ էներգիան իր հարաբերականում։ շարժումը հղումային համակարգի նկատմամբ՝ շարժվելով զանգվածի կենտրոնով :

որտեղ M = m 1 + m 2 + m N. Vc-ը սկզբնական հղման համակարգում զանգվածի կենտրոնի արագությունն է, v i-ը i-րդ նյութական կետի արագությունն է C կետի հետ միասին շարժվող հղման շրջանակի նկատմամբ: Նման համակարգը սովորաբար կոչվում է «զանգվածի կենտրոն» համակարգ: , «իներցիայի համակարգ» կամ պարզապես «c-system» . (Հղման համակարգը, որում դրված է խնդիրը, եթե այս համակարգը չի համընկնում c-համակարգի հետ, սովորաբար կոչվում է լաբորատոր տեղեկատու համակարգ կամ l-համակարգ):

Դա ապացուցելու համար մենք նախ ստանում ենք ավելի ընդհանուր կապ, որը կապում է կինետիկ էներգիան երկու հղման համակարգերում (տես նկ. 6.4): Հին համակարգի R i, V i և նոր համակարգում R i, V i կետերի կոորդինատների և արագությունների համար մենք գրում ենք գալիլիական փոխակերպումները.

որտեղ R-ը հին համակարգից նոր համակարգին անցնելու շառավղային վեկտորն է, իսկ V-ը, համապատասխանաբար, նոր համակարգի շարժման արագությունն է՝ համեմատած հին համակարգի:

Բրինձ. 6.4 Կոորդինատների միացում երկու ռեֆերենս համակարգերում

Այնուհետև կինետիկ էներգիան հին հղման համակարգում կարող է ներկայացվել որպես

(6.12)

(6.12)-ի աջ կողմը կարելի է ներկայացնել երեք գումարի տեսքով.

որտեղ P-ը նոր հղման համակարգում նյութական կետերի համակարգի ընդհանուր իմպուլսն է: Հարաբերությունները (6.13) սովորաբար կոչվում են Քենիգի թեորեմ: Եթե ​​նոր համակարգը համընկնում է q-համակարգի հետ, ապա դրա ընդհանուր իմպուլսը հավասար է զրոյի՝ V = Vc, ինչը նշանակում է, որ (6.11) հարաբերակցությունը գործում է։

Այս բաժինը եզրափակելու համար մենք նշում ենք երկու կարևոր հատկություն, որոնք բխում են զանգվածի կենտրոնի սահմանումից: Նախ, (6.7)-ի մասնիկները կարելի է միավորել ցանկացած խմբերի, օրինակ.

Այստեղից, ինչպես հեշտ է հասկանալ, հետևում է, որ մակրոսկոպիկ մարմինների ցանկացած համակարգի զանգվածի կենտրոնը կարելի է գտնել որպես նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոն՝ ենթադրելով, որ յուրաքանչյուր մարմնի զանգվածը կենտրոնացած է իր մեջ։ սեփական զանգվածի կենտրոն։

Եվ երկրորդը, դժվար չէ (6.7) գումարումից անցնել ինտեգրում, եթե հաշվարկենք նյութի խտության ρ(t) շարունակական բաշխմամբ մարմնի զանգվածի կենտրոնի դիրքը.