Ապացույց.Եռանկյունի նախագծման տարածք:
ա) նախագծված ABC եռանկյան կողմերից մեկը, օրինակ՝ AC, թող զուգահեռ լինի l=α∩π ուղիղ գծին (նկ. 9) կամ ընկած լինի դրա վրա։

Ըստ երեք ուղղանկյունների թեորեմի՝ B 1 H 1 ուղիղը՝ BH ուղիղի ուղղանկյուն պրոյեկցիան, ուղղահայաց է l ուղղին, հետևաբար, B 1 H 1 հատվածը A 1 B 1 C 1 եռանկյան բարձրությունն է։ . Ահա թե ինչու. Այսպիսով, .
բ) Նախագծված ABC եռանկյան կողմերից ոչ մեկը զուգահեռ չէ ուղիղ l-ին (նկ. 10): Եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթով l ուղղին զուգահեռ գիծ գծեմ։ Այս գծերից մեկը գտնվում է մյուս երկուսի միջև (նկարում այն ​​m ուղիղն է), և, հետևաբար, ABC եռանկյունը բաժանում է ABD և ACD եռանկյունների՝ համապատասխանաբար BH և CE բարձրություններով, որոնք գծված են դեպի իրենց ընդհանուր կողմը AD (կամ դրա շարունակությունը): , որը զուգահեռ լ. Մ 1 ուղիղ - m ուղիղի ուղղանկյուն պրոյեկցիան - նաև բաժանում է A 1 B 1 C 1 եռանկյունը - ABC եռանկյան ուղղանկյուն պրոյեկցիան - A 1 B 1 D 1 և A 1 C 1 D 1 եռանկյունների, որտեղ. Հաշվի առնելով (9) և (10)-ը՝ ես ստանում եմ

Դիտարկենք ինքնաթիռ էջ և այն հատող ուղիղ գիծը . Թող Ա - տարածության կամայական կետ: Եկեք ուղիղ գիծ անցնենք այս կետի միջով , գծին զուգահեռ . Թող . Կետ կոչվում է կետի պրոյեկցիա Ադեպի ինքնաթիռ էջզուգահեռ նախագծով տրված ուղիղ գծով . Ինքնաթիռ էջ , որի վրա նախագծված են տարածության կետերը կոչվում է պրոյեկցիոն հարթություն։

p - նախագծման հարթություն;

- ուղղակի դիզայն; ;

; ; ;

Ուղղանկյուն ձևավորումզուգահեռ նախագծման հատուկ դեպք է: Ուղղանկյուն ձևավորումը զուգահեռ ձևավորում է, որտեղ նախագծման գիծը ուղղահայաց է նախագծման հարթությանը: Ուղղանկյուն ձևավորումը լայնորեն կիրառվում է տեխնիկական նկարչություն, որտեղ պատկերը նախագծված է երեք հարթության վրա՝ հորիզոնական և երկու ուղղահայաց:

Սահմանում: Կետի ուղղանկյուն պրոյեկցիա Մդեպի ինքնաթիռ էջկոչվում է հիմք Մ 1ուղղահայաց ՄՄ 1, իջել է կետից Մդեպի ինքնաթիռ էջ.

Նշանակում: , , .

ՍահմանումՖիգուրի ուղղանկյուն պրոյեկցիա Ֆդեպի ինքնաթիռ էջհարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնք պատկերի կետերի բազմության ուղղանկյուն ելուստներն են Ֆդեպի ինքնաթիռ էջ.

Ուղղանկյուն ձևավորումը, որպես զուգահեռ ձևավորման հատուկ դեպք, ունի նույն հատկությունները.

p - նախագծման հարթություն;

- ուղղակի դիզայն; ;

1) ;

2) , .

1. Զուգահեռ ուղիղների պրոյեկցիաները զուգահեռ են:

ՀԱՐԹ ՖԻԳՈՒՐԻ ՊՐՈԵԿՑԻՈՆ ՏԱՐԱԾՔ

ԹեորեմՀարթ բազմանկյունի պրոյեկցիայի մակերեսը որոշակի հարթության վրա հավասար է նախագծված բազմանկյունի մակերեսին՝ բազմապատկված բազմանկյան հարթության և պրոյեկցիոն հարթության միջև անկյան կոսինուսով:

Փուլ 1. Նախագծվող պատկերը ABC եռանկյուն է, որի AC կողմը գտնվում է պրոյեկցիոն հարթության վրա a (պրոյեկցիոն հարթությանը զուգահեռ):

Տրված է:

Ապացուցել:

Ապացույց:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Երեք ուղղահայացների թեորեմով;

ВД – բարձրություն; B 1 D - բարձրություն;

5. – երկփեղկ անկյան գծային անկյուն;

6. ; ; ; ;

Փուլ 2. Նախագծվող պատկերը ABC եռանկյուն է, որի կողմերից ոչ մեկը չի գտնվում պրոյեկցիոն հարթության վրա և զուգահեռ չէ դրան:

Տրված է:

Ապացուցել:

Ապացույց:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(1-ին փուլ);

5. ; ; ;

(1-ին փուլ);

Փուլ. Նախագծված պատկերը կամայական բազմանկյուն է:

Ապացույց:

Բազմանկյունը մեկ գագաթից գծված անկյունագծերով բաժանվում է վերջավոր թվով եռանկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրի համար թեորեմը ճշմարիտ է։ Հետևաբար, թեորեմը ճիշտ կլինի նաև բոլոր եռանկյունների մակերեսների գումարի համար, որոնց հարթությունները պրոյեկցիոն հարթության հետ կազմում են նույն անկյունը։

Մեկնաբանություն: Ապացուցված թեորեմը վավեր է ցանկացածի համար հարթ գործիչ, սահմանափակված փակ կորով։

Զորավարժություններ:

1. Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, որի հարթությունը անկյան տակ թեքված է դեպի պրոյեկցիոն հարթությունը, եթե նրա պրոյեկցիան կանոնավոր եռանկյունի է՝ a կողմով:

2. Գտեք եռանկյան մակերեսը, որի հարթությունը անկյան տակ թեքված է դեպի պրոյեկցիոն հարթությունը, եթե դրա պրոյեկցիան հավասարաչափ եռանկյուն 10 սմ կողմով և 12 սմ հիմքով։

3. Գտե՛ք այն եռանկյան մակերեսը, որի հարթությունը անկյան տակ թեքված է դեպի պրոյեկցիոն հարթությունը, եթե դրա ելուստը 9, 10 և 17 սմ կողմերով եռանկյունի է:

4. Հաշվե՛ք տրապեզիի մակերեսը, որի հարթությունը անկյան տակ թեքված է դեպի պրոյեկցիոն հարթությունը, եթե դրա պրոյեկցիան հավասարաչափ տրապիզոիդ է, որի ավելի մեծ հիմքը 44 սմ է, կողմը՝ 17 սմ, իսկ անկյունագիծը։ 39 սմ է։

5. Հաշվե՛ք 8 սմ կողմ ունեցող կանոնավոր վեցանկյան ելքի մակերեսը, որի հարթությունը անկյան տակ թեքված է դեպի պրոյեկցիոն հարթությունը:

6. 12 սմ կողմով և սուր անկյունով ռոմբը անկյուն է կազմում տվյալ հարթության հետ։ Հաշվեք ռոմբի ելքի մակերեսը այս հարթության վրա:

7. 20 սմ կողմով և 32 սմ անկյունագծով ռոմբը անկյուն է կազմում տվյալ հարթության հետ։ Հաշվեք ռոմբի ելքի մակերեսը այս հարթության վրա:

8. Հորիզոնական հարթության վրա հովանոցի ելուստը ուղղանկյուն է, որի կողմերը և . Գտեք հովանոցի մակերեսը, եթե կողային երեսները հավասար ուղղանկյուններ են՝ թեքված դեպի հորիզոնական հարթությունը անկյան տակ, և միջին մասըհովանոց - նախագծման հարթությանը զուգահեռ քառակուսի:

11. «Գծեր և հարթություններ տիեզերքում» թեմայով վարժություններ.

Եռանկյան կողմերը հավասար են 20 սմ, 65 սմ, 75 սմ եռանկյան ավելի մեծ անկյան գագաթից գծված է 60 սմ-ի ուղղահայաց ուղղահայաց դեպի ուղղահայաց եռանկյան ավելի մեծ կողմը.

2. Հարթությունից սմ հեռավորության վրա գտնվող կետից գծվում են երկու թեք՝ հարթության հետ հավասար անկյուններ կազմելով և նրանց միջև ուղիղ անկյուն։ Գտեք թեք հարթությունների հատման կետերի հեռավորությունը:

3. Կանոնավոր եռանկյան կողմը 12 սմ է, M կետն ընտրված է այնպես, որ M կետը միացնող հատվածները եռանկյան բոլոր գագաթներով անկյուններ կազմեն: Գտե՛ք M կետից մինչև եռանկյան գագաթները և կողմերը հեռավորությունը:

4. Քառակուսու կողմի միջով հարթություն է գծվում քառակուսու անկյունագծի նկատմամբ անկյան տակ: Գտե՛ք այն անկյունները, որոնցով քառակուսու երկու կողմերը թեքված են դեպի հարթությունը:

5. Isosceles ոտք ուղղանկյուն եռանկյունթեքված է հիպոթենուսի միջով անկյան տակ անցնող հարթությանը: Ապացուցեք, որ a հարթության և եռանկյան հարթության անկյունը հավասար է .

6. ABC և DBC եռանկյունների հարթությունների միջև երկանկյուն անկյունը հավասար է . Գտեք AD, եթե AB = AC = 5 սմ, BC = 6 սմ, BD = DC = սմ:

Թեստային հարցեր «Գծեր և հարթություններ տիեզերքում» թեմայով.

1. Թվարկե՛ք ստերեոմետրիայի հիմնական հասկացությունները: Ձևակերպե՛ք ստերեոմետրիայի աքսիոմները:

2. Ապացուցե՛ք աքսիոմներից հետևանքներ.

3. Որքա՞ն է երկու ուղիղների հարաբերական դիրքը տարածության մեջ: Տրե՛ք հատվող, զուգահեռ և թեք գծերի սահմանումներ:

4. Ապացուցե՛ք թեք գծերի նշանը:

5. Ո՞րն է ուղիղի և հարթության հարաբերական դիրքը: Տրե՛ք հատվող, զուգահեռ ուղիղների և հարթությունների սահմանումներ:

6. Ապացուցե՛ք ուղիղի եւ հարթության զուգահեռության նշանը:

7. Ո՞րն է երկու հարթությունների հարաբերական դիրքը:

8. Սահմանել զուգահեռ հարթություններ: Ապացուցեք նշանը, որ երկու հարթություններ զուգահեռ են: Զուգահեռ հարթությունների մասին թեորեմներ ասեք.

9. Սահմանեք ուղիղ գծերի միջև եղած անկյունը:

10. Ապացուցե՛ք ուղիղի եւ հարթության ուղղահայացության նշանը։

11. Սահմանել ուղղահայաց հիմքը, թեքության հիմքը, թեքվածի պրոյեկցիան հարթության վրա: Ձևակերպե՛ք մի կետից հարթության վրա ընկած ուղղահայաց և թեք գծերի հատկությունները:

12. Սահմանի՛ր ուղիղ գծի և հարթության անկյունը:

13. Ապացուցե՛ք երեք ուղղահայացների մասին թեորեմը:

14. Տրե՛ք երկանկյուն անկյան սահմանումներ, երկնիշ անկյան գծային անկյուն:

15. Ապացուցե՛ք երկու հարթությունների ուղղահայացության նշանը:

16. Սահմանեք երկու տարբեր կետերի հեռավորությունը:

17. Սահմանեք հեռավորությունը կետից մինչև ուղիղ:

18. Սահմանել հեռավորությունը կետից մինչև հարթություն:

19. Սահմանի՛ր ուղիղ գծի և դրան զուգահեռ հարթության հեռավորությունը:

20. Սահմանի՛ր զուգահեռ հարթությունների հեռավորությունը:

21. Սահմանի՛ր հատվող գծերի հեռավորությունը:

22. Սահմանի՛ր կետի ուղղանկյուն ելուստը հարթության վրա:

23. Սահմանի՛ր պատկերի ուղղանկյուն ելուստը հարթության վրա:

24. Ձևակերպի՛ր հարթության վրա պրոյեկցիաների հատկությունները:

25. Հարթ բազմանկյունի պրոյեկցիոն տարածքի վերաբերյալ թեորեմ ձևակերպեք և ապացուցեք:

IN վերջերս C2 առաջադրանքում կան խնդիրներ, որոնցում անհրաժեշտ է հարթությամբ կառուցել բազմանկյունի հատված և գտնել դրա մակերեսը։ Այս առաջադրանքն առաջարկվում է ցուցադրական տարբերակում: Հաճախ հարմար է խաչմերուկի տարածքը գտնել դրա ուղղանկյուն նախագծման տարածքի միջոցով: Ներկայացումը տալիս է նման լուծման բանաձև և մանրամասն վերլուծությունառաջադրանք, որն ուղեկցվում է մի շարք գծագրերով.

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

Օգտագործելու համար նախադիտումշնորհանդեսներ, ստեղծեք Google հաշիվ և մուտք գործեք այն՝ https://accounts.google.com

Սլայդի ենթագրեր.

Մաթեմատիկայի 2014 թվականի միասնական պետական ​​քննության նախապատրաստում. Գտնել խաչմերուկի տարածքը իր ուղղանկյուն նախագծման տարածքով: Առաջադրանք C2 Մաթեմատիկայի ուսուցիչ Կրասնոյարսկի Կնյազկինայի թիվ 143 միջնակարգ դպրոց MBOU T.V.

Դիտարկենք հետևյալ խնդրի լուծումը՝ Բ ուղղանկյուն զուգահեռական, . Զուգահեռի հատվածն անցնում է B և D կետերով և անկյուն է կազմում ABC հարթության հետ: Գտեք խաչմերուկի տարածքը: Հաճախ հարմար է խաչմերուկի տարածքը գտնել դրա ուղղանկյուն նախագծման տարածքի միջոցով: Եռանկյան մակերեսը նրա ուղղանկյուն պրոյեկցիայի տարածքով գտնելը հեշտությամբ պատկերված է հետևյալ նկարով.

CH-ը ABC եռանկյան բարձրությունն է, C'H-ը ABC եռանկյան բարձրությունն է, որը ABC եռանկյունու ուղղանկյուն ելուստն է: CHC ուղղանկյուն եռանկյունից ". ABC եռանկյան մակերեսը" եռանկյան մակերեսն է: ABC է Հետևաբար, ABC եռանկյան մակերեսը հավասար է ABC եռանկյան մակերեսին, որը բաժանված է ABC եռանկյան հարթությունների և ABC եռանկյան հարթությունների միջև անկյան կոսինուսով, որը ABC եռանկյան ուղղանկյուն պրոյեկցիան է:

Քանի որ ցանկացած բազմանկյունի մակերեսը կարող է ներկայացվել որպես եռանկյունների մակերեսների գումար, բազմանկյան մակերեսը հավասար է հարթության վրա նրա ուղղանկյուն ելքի մակերեսին, որը բաժանված է անկյան կոսինուսով: բազմանկյան հարթությունները և դրա պրոյեկցիան: Մենք օգտագործում ենք այս փաստը մեր խնդիրը լուծելու համար (տե՛ս սլայդ 2. Լուծման պլանը հետևյալն է. Ա) Կառուցեք բաժին: Բ) Գտեք նրա ուղղանկյուն ելուստը հիմքի հարթության վրա: Գ) Գտեք ուղղանկյուն պրոյեկցիայի տարածքը: Դ) Գտեք խաչմերուկի տարածքը:

1. Նախ պետք է կառուցենք այս բաժինը: Ակնհայտորեն, BD հատվածը պատկանում է հատվածի հարթությանը և բազային հարթությանը, այսինքն, այն պատկանում է հարթությունների հատման գծին.

Երկու հարթությունների միջև անկյունը երկու ուղղահայացների միջև ընկած անկյունն է, որոնք գծված են հարթությունների հատման գծի վրա և ընկած են այդ հարթություններում: Թող O կետը լինի հիմքի անկյունագծերի հատման կետը: OC – ուղղահայաց հարթությունների հատման գծին, որն ընկած է հիմքի հարթությունում.

2. Որոշիր ուղղահայաց դիրքը, որն ընկած է հատվածի հարթության մեջ: (Հիշեք, որ եթե ուղիղ գիծը ուղղահայաց է թեքության պրոյեկցիայի վրա, ապա այն նաև ուղղահայաց է թեքագծին: Մենք փնտրում ենք թեքագիծը իր պրոյեկցիայի միջոցով (OC) և պրոյեկցիայի և թեքության միջև եղած անկյունով) . Գտնենք COC 1 անկյան շոշափողը OC 1-ի և OC-ի միջև

Հետևաբար, կտրող հարթության և բազային հարթության միջև անկյունն ավելի մեծ է, քան OC 1-ի և OC-ի միջև: Այսինքն, հատվածը գտնվում է մոտավորապես այսպես. K-ն OP-ի և A1C1-ի հատման կետն է, LM||B1D1:

Այսպիսով, ահա մեր բաժինը. 3. Եկեք գտնենք BLMD հատվածի պրոյեկցիան բազային հարթության վրա: Դա անելու համար մենք գտնում ենք L և M կետերի կանխատեսումները:

Քառանկյուն BL ₁M1D – հատվածի պրոյեկցիան բազային հարթության վրա: 4. Գտե՛ք BL ₁M1D քառանկյան մակերեսը: Դա անելու համար BCD եռանկյան տարածքից հանեք L 1 CM1 եռանկյան մակերեսը: L 1CM1 եռանկյունը նման է BCD եռանկյունին: Գտնենք նմանության գործակիցը։

Դա անելու համար հաշվի առեք OPC և OKK1 եռանկյունները: Հետևաբար, L1CM1 եռանկյան մակերեսը BCD եռանկյան տարածքի 4/25 է (նման թվերի տարածքների հարաբերակցությունը հավասար է նմանության գործակցի քառակուսին) . Այնուհետև BL1M1D քառանկյան մակերեսը հավասար է BCD եռանկյան մակերեսի 1-4/25=21/25-ին և հավասար է.

5. Հիմա եկեք գտնենք 6-ը։ Եվ վերջապես ստանում ենք՝ Պատասխան՝ 112

Թեմայի վերաբերյալ՝ մեթոդական մշակումներ, ներկայացումներ և նշումներ

«Ինժեներական համակարգչային գրաֆիկա» առարկայի թեստային աշխատանքը բաղկացած է չորսից թեստային առաջադրանքներհամապատասխանություն սահմանելու համար: Առաջադրանքները կատարելու համար հատկացվում է 15-20 րոպե։...

Մաթեմատիկայի 2014 թվականի միասնական պետական ​​քննության նախապատրաստում. Ածանցյալների և հակաածանցյալների կիրառում (B8 նախատիպեր միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքների բաց բանկից)

Ներկայացում հետ կարճ դասընթաց B8 տարբեր նախատիպերի տեսություններ և լուծումներ բաց բանկՊետական ​​միասնական քննության առաջադրանքներ. Կարող է օգտագործվել ինտերակտիվ գրատախտակի կամ ուսանողների անհատական ​​համակարգիչների վրա՝ ինքնապատրաստման համար։

Մաթեմատիկայի 2014 թվականի միասնական պետական ​​քննության նախապատրաստում. C1 առաջադրանքի լուծում.

Նյութը տալիս է C1 առաջադրանքի լուծումներ (եռանկյունաչափական հավասարում) և ինտերվալին պատկանող արմատներ ընտրելու 4 եղանակ՝ եռանկյունաչափական շրջանի օգտագործում, ֆունկցիայի գրաֆիկի օգտագործում, թվարկում...