Որպեսզի մեկ հարթություն անցնի տարածության ցանկացած երեք կետերի միջով, անհրաժեշտ է, որ այդ կետերը չընկնեն նույն ուղիղ գծի վրա:

Դեկարտյան ընդհանուր կոորդինատային համակարգում դիտարկենք M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) կետերը։

Որպեսզի M(x, y, z) կամայական կետը ընկնի M 1, M 2, M 3 կետերի հետ նույն հարթությունում, անհրաժեշտ է, որ վեկտորները լինեն համահավասար։

(
) = 0

Այսպիսով,

Երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը.

Հարթության հավասարումը, որը տրված է հարթությանը երկու կետ և վեկտոր:

Տրված լինեն M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) կետերը և վեկտորը.
.

Տրված M 1 և M 2 կետերով անցնող հարթության և վեկտորին զուգահեռ կամայական M (x, y, z) կետի համար ստեղծենք հավասարում. .

Վեկտորներ
և վեկտոր
պետք է լինի համակողմանի, այսինքն.

(
) = 0

Հարթության հավասարում.

Մեկ կետ և երկու վեկտոր օգտագործող հարթության հավասարումը.

ինքնաթիռին համագիծ:

Թող տրվի երկու վեկտոր
Եվ
, համակողմանի հարթություններ. Այնուհետև հարթությանը պատկանող M(x, y, z) կամայական կետի համար՝ վեկտորները
պետք է լինի համահունչ:

Հարթության հավասարում.

Հարթության հավասարումը ըստ կետի և նորմալ վեկտորի .

Թեորեմ. Եթե ​​տարածության մեջ տրված է M կետ 0 (X 0 , յ 0 , զ 0 ), ապա M կետով անցնող հարթության հավասարումը 0 նորմալ վեկտորին ուղղահայաց (Ա, Բ, Գ) ունի ձև.

Ա(x – x 0 ) + Բ(y – y 0 ) + Գ(զ – զ 0 ) = 0.

Ապացույց. Հարթությանը պատկանող M(x, y, z) կամայական կետի համար մենք կազմում ենք վեկտոր։ Որովհետև վեկտոր նորմալ վեկտորն է, ապա այն ուղղահայաց է հարթությանը և, հետևաբար, ուղղահայաց է վեկտորին
. Այնուհետև սկալյար արտադրանքը

= 0

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հարթության հավասարումը

Թեորեմն ապացուցված է.

Հարթության հավասարումը հատվածներով.

Եթե ​​Ax + Bi + Cz + D = 0 ընդհանուր հավասարման մեջ երկու կողմերը բաժանում ենք (-D)

,

փոխարինելով
, ստանում ենք հարթության հավասարումը հատվածներով.

a, b, c թվերը հարթության հատման կետերն են համապատասխանաբար x, y, z առանցքների հետ։

Ինքնաթիռի հավասարումը վեկտորի տեսքով.

Որտեղ

- ընթացիկ կետի շառավիղի վեկտորը M(x, y, z),

Միավոր վեկտոր, որն ունի ուղղահայաց ուղղություն, որը իջել է սկզբնակետից հարթության վրա:

,  և  այս վեկտորի կողմից կազմված անկյուններն են x, y, z առանցքներով:

p-ն այս ուղղահայաց երկարությունն է:

Կոորդինատներում այս հավասարումը նման է.

xcos + ycos + zcos - p = 0:

Հեռավորությունը կետից մինչև ինքնաթիռ:

M 0 (x 0, y 0, z 0) կամայական կետից Ax+By+Cz+D=0 հարթությունից հեռավորությունը հավասար է.

Օրինակ.Գտե՛ք հարթության հավասարումը, իմանալով, որ P(4; -3; 12) կետը սկզբնակետից դեպի այս հարթությունն ընկած ուղղահայաց հիմքն է:

Այսպիսով, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Օրինակ.Գտե՛ք P(2; 0; -1) երկու կետերով անցնող հարթության հավասարումը և

Q(1; -1; 3) ուղղահայաց հարթությանը 3x + 2y – z + 5 = 0:

Նորմալ վեկտոր դեպի հարթություն 3x + 2y – z + 5 = 0
ցանկալի հարթությանը զուգահեռ:

Մենք ստանում ենք.

Օրինակ.Գտե՛ք A(2, -1, 4) կետերով անցնող հարթության հավասարումը և

B(3, 2, -1) հարթությանը ուղղահայաց X + ժամը + 2զ – 3 = 0.

Ինքնաթիռի պահանջվող հավասարումն ունի ձև՝ Ա x+Բ y+C զ+ D = 0, նորմալ վեկտոր այս հարթության համար (A, B, C): Վեկտոր
(1, 3, -5) պատկանում է ինքնաթիռին։ Մեզ տրված հարթությունը՝ ցանկալիին ուղղահայաց, ունի նորմալ վեկտոր (1, 1, 2): Որովհետև A և B կետերը պատկանում են երկու հարթություններին, իսկ հարթությունները փոխադարձաբար ուղղահայաց են, ապա

Այսպիսով, նորմալ վեկտորը (11, -7, -2): Որովհետև A կետը պատկանում է ցանկալի հարթությանը, ապա դրա կոորդինատները պետք է բավարարեն այս հարթության հավասարումը, այսինքն. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21։

Ընդհանուր առմամբ ստանում ենք հարթության հավասարումը` 11 x - 7y – 2զ – 21 = 0.

Օրինակ.Գտե՛ք հարթության հավասարումը, իմանալով, որ P(4, -3, 12) կետը սկզբնակետից դեպի այս հարթությունն ընկած ուղղահայաց հիմքն է:

Գտնելով նորմալ վեկտորի կոորդինատները
= (4, -3, 12): Ինքնաթիռի պահանջվող հավասարումն ունի ձև՝ 4 x – 3y + 12զ+ D = 0. D գործակիցը գտնելու համար մենք P կետի կոորդինատները փոխարինում ենք հավասարման մեջ.

16 + 9 + 144 + D = 0

Ընդհանուր առմամբ, մենք ստանում ենք պահանջվող հավասարումը. 4 x – 3y + 12զ – 169 = 0

Օրինակ.Տրված են բուրգի գագաթների կոորդինատները՝ A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Գտե՛ք A 1 A 2 եզրի երկարությունը:

Գտեք անկյունը A 1 A 2 և A 1 A 4 եզրերի միջև:

Գտե՛ք անկյունը A 1 A 4 եզրի և A 1 A 2 A 3 երեսի միջև:

Սկզբում մենք գտնում ենք A 1 A 2 A 3 դեմքի նորմալ վեկտորը Ինչպես վեկտորային արտադրանքվեկտորներ
Եվ
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Գտնենք նորմալ վեկտորի և վեկտորի անկյունը
.

-4 – 4 = -8.

Վեկտորի և հարթության միջև ցանկալի անկյունը  հավասար կլինի  = 90 0 - :

Գտեք դեմքի մակերեսը A 1 A 2 A 3:

Գտեք բուրգի ծավալը:

Գտե՛ք A 1 A 2 A 3 հարթության հավասարումը:

Օգտագործենք երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարման բանաձևը.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Համակարգչային տարբերակը օգտագործելիս « Մաթեմատիկայի բարձրագույն դասընթացԴուք կարող եք գործարկել մի ծրագիր, որը կլուծի վերը նշված օրինակը բուրգի գագաթների ցանկացած կոորդինատների համար:

Ծրագիրը սկսելու համար կրկնակի սեղմեք պատկերակի վրա.

Ծրագրի բացվող պատուհանում մուտքագրեք բուրգի գագաթների կոորդինատները և սեղմեք Enter։ Այսպիսով, բոլոր որոշման կետերը կարելի է ձեռք բերել մեկ առ մեկ:

Ծրագիրը գործարկելու համար ձեր համակարգչում պետք է տեղադրված լինի Maple ծրագիրը ( Waterloo Maple Inc.) ցանկացած տարբերակի, սկսած MapleV Release 4-ից:

Կարող է նշվել տարբեր ձևերով (մեկ կետ և վեկտոր, երկու կետ և վեկտոր, երեք կետ և այլն): Հենց դա հաշվի առնելով է, որ ինքնաթիռի հավասարումը կարող է ունենալ տարբեր տեսակներ. Նաև ենթակա է որոշակի պայմաններհարթությունները կարող են լինել զուգահեռ, ուղղահայաց, հատվող և այլն: Այս մասին մենք կխոսենք այս հոդվածում: Կսովորենք, թե ինչպես ստեղծել հարթության ընդհանուր հավասարում և այլն։

Հավասարման նորմալ ձև

Ենթադրենք կա R 3 տարածություն, որն ունի ուղղանկյուն XYZ կոորդինատային համակարգ։ Սահմանենք α վեկտորը, որից կազատվի ելակետ O. α վեկտորի վերջի միջով գծում ենք P հարթություն, որն ուղղահայաց կլինի նրան:

P-ի կամայական կետը նշանակենք Q = (x, y, z): Պ տառով ստորագրենք Q կետի շառավիղի վեկտորը։ Այս դեպքում α վեկտորի երկարությունը հավասար է р=IαI և Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ):

Սա միավոր վեկտոր է, որն ուղղված է դեպի կողմը, ինչպես α վեկտորը: α, β և γ այն անկյուններն են, որոնք ձևավորվում են համապատասխանաբար Ʋ վեկտորի և տիեզերական առանցքների դրական ուղղությունների միջև, համապատասխանաբար, x, y, z: Ցանկացած QϵП կետի պրոյեկցիան Ʋ վեկտորի վրա է հաստատուն արժեք, որը հավասար է p-ի՝ (p,Ʋ) = p(p≥0):

Վերոնշյալ հավասարումը իմաստ ունի, երբ p=0: Միակ բանն այն է, որ P հարթությունն այս դեպքում կհատի O կետը (α = 0), որը կոորդինատների սկզբնավորումն է, իսկ O կետից արձակված միավոր վեկտորը Ʋ ուղղահայաց կլինի P-ին, չնայած իր ուղղությանը, որը. նշանակում է, որ Ʋ վեկտորը որոշվում է նշանին ճշգրիտ: Նախորդ հավասարումը մեր հարթության P-ի հավասարումն է՝ արտահայտված վեկտորի տեսքով։ Բայց կոորդինատներում այն ​​կունենա հետևյալ տեսքը.

P-ն այստեղ մեծ է կամ հավասար է 0-ի: Մենք գտել ենք հարթության հավասարումը տարածության մեջ նորմալ ձևով:

Ընդհանուր հավասարում

Եթե ​​կոորդինատներով հավասարումը բազմապատկենք ցանկացած թվով, որը հավասար չէ զրոյի, ապա կստանանք այս մեկին համարժեք հավասարում` սահմանելով հենց այդ հարթությունը: Այն այսպիսի տեսք կունենա.

Այստեղ A, B, C թվեր են, որոնք միաժամանակ տարբերվում են զրոյից: Այս հավասարումը կոչվում է ընդհանուր հարթության հավասարում։

Ինքնաթիռների հավասարումներ. Հատուկ դեպքեր

Հավասարում մեջ ընդհանուր տեսարանհնարավորության դեպքում կարող է փոփոխվել լրացուցիչ պայմաններ. Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը:

Ենթադրենք, որ A գործակիցը 0 է: Սա նշանակում է, որ այս հարթությունը զուգահեռ է տրված Ox առանցքին: Այս դեպքում կփոխվի հավասարման ձևը՝ Ву+Cz+D=0։

Նմանապես, հավասարման ձևը կփոխվի հետևյալ պայմաններում.

• Նախ, եթե B = 0, ապա հավասարումը կփոխվի Ax + Cz + D = 0, որը ցույց կտա զուգահեռություն Oy առանցքի հետ:
• Երկրորդ, եթե C=0, ապա հավասարումը կվերածվի Ax+By+D=0, որը ցույց կտա զուգահեռություն տվյալ Oz առանցքի հետ:
• Երրորդ, եթե D=0, ապա հավասարումը կունենա Ax+By+Cz=0, ինչը կնշանակի, որ հարթությունը հատում է O-ն (սկիզբը):
• Չորրորդ, եթե A=B=0, ապա հավասարումը կփոխվի Cz+D=0, որը կփաստի Oxy-ին զուգահեռ:
• Հինգերորդ, եթե B=C=0, ապա հավասարումը դառնում է Ax+D=0, ինչը նշանակում է, որ Oyz-ի հարթությունը զուգահեռ է:
• Վեցերորդ՝ եթե A=C=0, ապա հավասարումը կունենա Ву+D=0 ձև, այսինքն՝ զուգահեռություն կհաղորդի Oxz-ին։

Հավասարումների տեսակը հատվածներում

Այն դեպքում, երբ A, B, C, D թվերը տարբերվում են զրոյից, ապա (0) հավասարման ձևը կարող է լինել հետևյալը.

x/a + y/b + z/c = 1,

որոնցում a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C:

Արդյունքում մենք ստանում ենք, որ այս հարթությունը կհատի Ox առանցքը (a,0,0), Oy - (0,b,0), իսկ Oz - (0,0,c): )

Հաշվի առնելով x/a + y/b + z/c = 1 հավասարումը, դժվար չէ տեսողականորեն պատկերացնել հարթության դիրքը տվյալ կոորդինատային համակարգի նկատմամբ։

Նորմալ վեկտորային կոորդինատներ

P հարթության նորմալ վեկտորը n ունի կոորդինատներ, որոնք գործակիցներ են ընդհանուր հավասարումտրված հարթության, այսինքն՝ n (A, B, C):

Նորմալ n-ի կոորդինատները որոշելու համար բավական է իմանալ տվյալ հարթության ընդհանուր հավասարումը։

Հատվածներում հավասարում օգտագործելիս, որն ունի x/a + y/b + z/c = 1 ձև, ինչպես ընդհանուր հավասարումը, կարող եք գրել տվյալ հարթության ցանկացած նորմալ վեկտորի կոորդինատները՝ (1/a): + 1/b + 1/ With):

Հարկ է նշել, որ նորմալ վեկտորն օգնում է լուծել մի շարք խնդիրներ: Ամենատարածվածները ներառում են խնդիրներ, որոնք ներառում են հարթությունների ուղղահայացության կամ զուգահեռության ապացուցում, հարթությունների կամ հարթությունների և ուղիղ գծերի միջև անկյուններ գտնելու խնդիրներ:

Հարթության հավասարման տեսակը՝ ըստ կետի և նորմալ վեկտորի կոորդինատների

Տրված հարթությանը ուղղահայաց n ոչ զրոյական վեկտորը կոչվում է նորմալ տվյալ հարթության համար։

Ենթադրենք, որ կոորդինատային տարածությունում (ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ) տրված են Oxyz.

• Mₒ կետ կոորդինատներով (xₒ,yₒ,zₒ);
• զրո վեկտոր n=A*i+B*j+C*k.

Անհրաժեշտ է հավասարություն ստեղծել հարթության համար, որը կանցնի նորմալ n-ին ուղղահայաց Mₒ կետով:

Մենք ընտրում ենք տարածության ցանկացած կամայական կետ և նշում այն ​​M (x y, z): Թող ցանկացած M կետի (x,y,z) շառավիղի վեկտորը լինի r=x*i+y*j+z*k, իսկ Mₒ կետի շառավիղը (xₒ,yₒ,zₒ)՝ rₒ=xₒ*: i+yₒ *j+zₒ*k. M կետը կպատկանի տրված հարթությանը, եթե MₒM վեկտորը ուղղահայաց է n վեկտորին: Եկեք գրենք ուղղանկյունության պայմանը՝ օգտագործելով սկալյար արտադրյալը.

[MₒM, n] = 0:

Քանի որ MₒM = r-rₒ, ինքնաթիռի վեկտորային հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Այս հավասարումը կարող է ունենալ մեկ այլ ձև. Դրա համար օգտագործվում են սկալյար արտադրյալի հատկությունները, և հավասարման ձախ կողմը փոխակերպվում է:

= - . Եթե ​​այն նշանակենք c-ով, ապա կստանանք հետևյալ հավասարումը. - c = 0 կամ = c, որն արտահայտում է հարթությանը պատկանող տրված կետերի շառավղային վեկտորների նորմալ վեկտորի վրա կանխատեսումների հաստատունությունը:

Այժմ մենք կարող ենք ստանալ մեր հարթության վեկտորային հավասարումը գրելու կոորդինատային ձևը = 0: Քանի որ r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, և n = A*i+B *j+С*k, ունենք.

Ստացվում է, որ մենք ունենք նորմալ n-ին ուղղահայաց կետով անցնող հարթության հավասարում.

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Հարթության հավասարման տեսակը՝ ըստ հարթության երկու կետերի և վեկտորի կոորդինատների

Սահմանենք երկու կամայական կետեր M′ (x′,y′,z′) և M″ (x″,y″,z″), ինչպես նաև a (a′,a″,a‴) վեկտորը:

Այժմ մենք կարող ենք հավասարություն ստեղծել տրված հարթության համար, որը կանցնի գոյություն ունեցող M′ և M″ կետերով, ինչպես նաև ցանկացած M կետով, որի կոորդինատները (x, y, z) զուգահեռ են տրված a վեկտորին:

Այս դեպքում M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) և M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) վեկտորները պետք է համահունչ լինեն վեկտորի հետ: a=(a′,a″,a‴), ինչը նշանակում է, որ (M′M, M″M, a)=0:

Այսպիսով, մեր հարթության հավասարումը տիեզերքում կունենա հետևյալ տեսքը.

Երեք կետերը հատող հարթության հավասարման տեսակը

Ենթադրենք, ունենք երեք կետ՝ (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), որոնք չեն պատկանում նույն տողին: Անհրաժեշտ է գրել տրված երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը։ Երկրաչափության տեսությունը պնդում է, որ նման ինքնաթիռ իսկապես գոյություն ունի, բայց այն միակն է և եզակի։ Քանի որ այս հարթությունը հատում է կետը (x′,y′,z′), դրա հավասարման ձևը կլինի հետևյալը.

Այստեղ A, B, C-ն միաժամանակ տարբերվում են զրոյից: Նաև տրված հարթությունը հատում է ևս երկու կետ՝ (x″,y″,z″) և (x‴,y‴,z‴): Այս առումով պետք է պահպանվեն հետևյալ պայմանները.

Այժմ մենք կարող ենք ստեղծել միատարր համակարգ u, v, w անհայտներով. Մեր մեջկամ z հանդես է գալիս որպես կամայական կետ, որը բավարարում է (1) հավասարումը: Հաշվի առնելով (1) և (2) և (3) հավասարումների համակարգը, վերը նկարում նշված հավասարումների համակարգը բավարարվում է N (A,B,C) վեկտորով, որը ոչ տրիվիալ է: Այդ իսկ պատճառով այս համակարգի որոշիչը հավասար է զրոյի։

Հավասարումը (1), որը մենք ստացել ենք, հարթության հավասարումն է: Այն անցնում է ճշգրիտ 3 կետով, և դա հեշտ է ստուգել: Դա անելու համար մենք պետք է ընդլայնենք մեր որոշիչն առաջին շարքի տարրերի մեջ: Որոշիչի գոյություն ունեցող հատկություններից հետևում է, որ մեր հարթությունը միաժամանակ հատում է ի սկզբանե տրված երեք կետերը (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Այսինքն՝ մենք լուծել ենք մեզ հանձնարարված խնդիրը։

Երկկողմանի անկյուն հարթությունների միջև

Երկկողմանի անկյունը ներկայացնում է տարածական երկրաչափական պատկեր, որը ձևավորվում է մեկ ուղիղ գծից դուրս եկող երկու կիսահեծաններով։ Այլ կերպ ասած, սա տարածության այն մասն է, որը սահմանափակվում է այս կիսալաններով։

Ենթադրենք, մենք ունենք երկու հարթություն հետևյալ հավասարումներով.

Մենք գիտենք, որ N=(A,B,C) և N1=(A1,B1,C1) վեկտորները ուղղահայաց են ըստ տրված ինքնաթիռներ. Այս առումով, φ անկյունը N և N1 վեկտորների միջև հավասար է անկյան (երկկողմանի), որը գտնվում է այս հարթությունների միջև: Կետային արտադրանքը ունի ձև.

NN¹=|N||N¹|cos φ,

հենց այն պատճառով

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)):

Բավական է հաշվի առնել, որ 0≤φ≤π.

Փաստորեն, երկու հարթություններ, որոնք հատվում են, կազմում են երկու անկյուն (երկանկյուն) φ 1 և φ 2: Նրանց գումարը հավասար է π (φ 1 + φ 2 = π): Ինչ վերաբերում է նրանց կոսինուսներին, ապա դրանց բացարձակ արժեքները հավասար են, բայց դրանք տարբերվում են նշանով, այսինքն՝ cos φ 1 = -cos φ 2: Եթե ​​(0) հավասարման մեջ A, B և C-ն փոխարինենք համապատասխանաբար -A, -B և -C թվերով, ապա ստացված հավասարումը կորոշի նույն հարթությունը, միակը՝ φ անկյունը cos հավասարման մեջ։ φ= NN 1 /|. N||N 1 | կփոխարինվի π-φ.

Ուղղահայաց հարթության հավասարումը

Այն հարթությունները, որոնց միջև անկյունը 90 աստիճան է, կոչվում են ուղղահայաց: Օգտագործելով վերը ներկայացված նյութը, մենք կարող ենք գտնել մեկին ուղղահայաց հարթության հավասարումը: Ենթադրենք, ունենք երկու հարթություն՝ Ax+By+Cz+D=0 և A¹x+B1y+C¹z+D=0: Կարելի է ասել, որ դրանք ուղղահայաց կլինեն, եթե cosφ=0։ Սա նշանակում է, որ NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0:

Զուգահեռ հարթության հավասարում

Երկու հարթությունները, որոնք ընդհանուր կետեր չեն պարունակում, կոչվում են զուգահեռ:

Պայմանն (նրանց հավասարումները նույնն են, ինչ նախորդ պարբերությունում) այն է, որ N և N1 վեկտորները, որոնք ուղղահայաց են դրանց, համագիծ են։ Սա նշանակում է, որ համապատասխանության հետևյալ պայմանները բավարարված են.

A/A¹=B/B¹=C/C¹:

Եթե ​​համաչափության պայմանները երկարացվեն՝ A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

սա ցույց է տալիս, որ այս ինքնաթիռները համընկնում են: Սա նշանակում է, որ Ax+By+Cz+D=0 և A¹x+B1y+C¹z+D¹=0 հավասարումները նկարագրում են մեկ հարթություն։

Ինքնաթիռի հեռավորությունը կետից

Ենթադրենք, ունենք P հարթություն, որը տրված է (0) հավասարմամբ։ Անհրաժեշտ է գտնել դեպի այն հեռավորությունը (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ կոորդինատներով կետից: Դա անելու համար հարկավոր է P հարթության հավասարումը նորմալ ձևի բերել.

(ρ,v)=р (р≥0).

Այս դեպքում ρ (x, y, z) P-ի վրա գտնվող մեր Q կետի շառավղային վեկտորն է, p-ը զրոյական կետից ազատված P-ի ուղղահայաց երկարությունն է, v-ն միավոր վեկտորն է, որը գտնվում է ուղղությունը ա.

P-ին պատկանող Q = (x, y, z) ինչ-որ կետի ρ-ρº շառավղային վեկտորի տարբերությունը, ինչպես նաև տվյալ կետի շառավիղը Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) այնպիսի վեկտոր է. բացարձակ արժեքը, որի պրոյեկցիայի վրա v-ի վրա հավասար է d հեռավորությունը, որը պետք է գտնել Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ)-ից մինչև P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, բայց

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Այսպիսով, ստացվում է

d=|(ρ 0 ,v)-ր|.

Այսպիսով, մենք կգտնենք ստացված արտահայտության բացարձակ արժեքը, այսինքն՝ ցանկալի դ.

Օգտագործելով պարամետրային լեզուն, մենք ստանում ենք ակնհայտ.

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²):

Եթե սահմանված կետ Q 0-ը գտնվում է P հարթության մյուս կողմում, ինչպես կոորդինատների սկզբնաղբյուրը, ապա ρ-ρ 0-ի և v վեկտորի միջև, հետևաբար, գտնվում է.

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Այն դեպքում, երբ Q 0 կետը կոորդինատների սկզբնավորման հետ միասին գտնվում է P-ի նույն կողմում, ապա ստեղծված անկյունը սուր է, այսինքն.

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Արդյունքում ստացվում է, որ առաջին դեպքում (ρ 0 ,v)>р, երկրորդում (ρ 0 ,v)<р.

Շոշափող հարթությունը և դրա հավասարումը

Մº շփման կետում մակերևույթին շոշափող հարթությունը հարթություն է, որը պարունակում է բոլոր հնարավոր շոշափողները մակերևույթի այս կետով գծված կորերին:

Այս տեսակի մակերևույթի հավասարման դեպքում F(x,y,z)=0 շոշափողի հարթության հավասարումը Mº(xº,yº,zº) շոշափող կետում կունենա հետևյալ տեսքը.

F x (xº, yº, zº) (x- xº) + F x (xº, yº, zº) (y- yº) + F x (xº, yº, zº) (z-zº) = 0.

Եթե ​​նշեք մակերեսը հստակ z=f (x,y) ձևով, ապա շոշափող հարթությունը կնկարագրվի հետևյալ հավասարմամբ.

z-zº =f(xº, yº) (x- xº) + f (xº, yº) (y- yº):

Երկու հարթությունների հատում

Կոորդինատային համակարգում (ուղղանկյուն) գտնվում է Oxyz-ը, տրված են երկու հարթություններ П′ և П″, որոնք հատվում են և չեն համընկնում։ Քանի որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տեղակայված ցանկացած հարթություն որոշվում է ընդհանուր հավասարմամբ, մենք կենթադրենք, որ P′ և P″ տրված են A′x+B′y+C′z+D′=0 և A″x հավասարումներով: +B″y+ С″z+D″=0. Այս դեպքում մենք ունենք P' հարթության նորմալ n' (A', B', C') և P″ հարթության նորմալ n″ (A″,B″,C″): Քանի որ մեր հարթությունները զուգահեռ չեն և չեն համընկնում, այդ վեկտորները համակողմանի չեն: Օգտագործելով մաթեմատիկայի լեզուն՝ այս պայմանը կարող ենք գրել հետևյալ կերպ՝ n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR: Թող ուղիղ գիծը, որը գտնվում է P′-ի և P″-ի հատման կետում, նշանակվի a տառով, այս դեպքում a = P′ ∩ P″:

a-ն ուղիղ գիծ է, որը բաղկացած է P′ և P″ (ընդհանուր) հարթությունների բոլոր կետերից: Սա նշանակում է, որ a ուղիղին պատկանող ցանկացած կետի կոորդինատները պետք է միաժամանակ բավարարեն A′x+B′y+C′z+D′=0 և A″x+B″y+C″z+D″=0 հավասարումները: . Սա նշանակում է, որ կետի կոորդինատները կլինեն հետևյալ հավասարումների համակարգի մասնակի լուծումը.

Արդյունքում պարզվում է, որ այս հավասարումների համակարգի (ընդհանուր) լուծումը կորոշի գծի յուրաքանչյուր կետի կոորդինատները, որոնք հանդես կգան որպես P′-ի և P″-ի հատման կետ և կորոշեն ուղիղ գիծը: a Օքսիզ (ուղղանկյուն) կոորդինատային համակարգում տարածության մեջ։

Հարթության ընդհանուր հավասարումը ստանալու համար վերլուծենք տվյալ կետով անցնող հարթությունը։

Թող տիեզերքում մեզ արդեն հայտնի լինեն երեք կոորդինատային առանցքներ. Եզ, ՕյԵվ Օզ. Թղթի թերթիկը պահեք այնպես, որ այն հարթ մնա: Ինքնաթիռը լինելու է հենց թերթիկը և դրա շարունակությունը բոլոր ուղղություններով։

Թող Պկամայական ինքնաթիռ տիեզերքում. Նրան ուղղահայաց յուրաքանչյուր վեկտոր կոչվում է նորմալ վեկտոր այս ինքնաթիռին: Բնականաբար, խոսքը ոչ զրոյական վեկտորի մասին է։

Եթե ​​ինքնաթիռի որևէ կետ հայտնի է Պև դրա համար ինչ-որ նորմալ վեկտոր, ապա այս երկու պայմաններով հարթությունը տիեզերքում ամբողջությամբ որոշվում է(տվյալ կետի միջով կարող եք նկարել տվյալ վեկտորին ուղղահայաց մեկ հարթություն): Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը կլինի.

Այսպիսով, պայմանները, որոնք սահմանում են հարթության հավասարումը. Ինքներդ ստանալու համար հարթության հավասարումը, ունենալով վերը նշված ձևը, նստիր ինքնաթիռ Պկամայական կետ Մ փոփոխական կոորդինատներով x, y, զ. Այս կետը պատկանում է ինքնաթիռին միայն այն դեպքում, եթե վեկտոր ուղղահայաց վեկտորին(նկ. 1): Դրա համար, ըստ վեկտորների ուղղահայացության պայմանի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այդ վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար լինի զրոյի, այսինքն.

Վեկտորը նշված է պայմանով. Մենք գտնում ենք վեկտորի կոորդինատները՝ օգտագործելով բանաձևը :

.

Այժմ, օգտագործելով վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձևը , մենք արտահայտում ենք սկալյար արտադրյալը կոորդինատային ձևով.

Քանի որ կետը M(x; y; z)կամայականորեն ընտրվում է հարթության վրա, այնուհետև վերջին հավասարումը բավարարվում է հարթության վրա գտնվող ցանկացած կետի կոորդինատներով Պ. Մի կետի համար Ն, չպառկած տվյալ հարթության վրա, այսինքն. խախտված է հավասարությունը (1).

Օրինակ 1.Գրի՛ր կետով անցնող և վեկտորին ուղղահայաց հարթության հավասարումը:

Լուծում. Եկեք օգտագործենք բանաձևը (1) և նորից նայենք դրան.

Այս բանաձեւում թվերը Ա , ԲԵվ Գվեկտորի կոորդինատները և թվերը x0 , y0 Եվ զ0 - կետի կոորդինատները.

Հաշվարկները շատ պարզ են. մենք այս թվերը փոխարինում ենք բանաձևով և ստանում

Մենք բազմապատկում ենք այն ամենը, ինչ պետք է բազմապատկվի և ավելացնում ենք միայն թվեր (որոնք տառեր չունեն): Արդյունք:

.

Այս օրինակում հարթության պահանջվող հավասարումը պարզվեց, որ արտահայտված է առաջին աստիճանի ընդհանուր հավասարմամբ փոփոխական կոորդինատների նկատմամբ x, y, zինքնաթիռի կամայական կետ.

Այսպիսով, ձևի հավասարում

կանչեց ընդհանուր հարթության հավասարումը .

Օրինակ 2.Կառուցեք ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում հավասարմամբ տրված հարթություն .

Լուծում. Հարթությունը կառուցելու համար անհրաժեշտ և բավարար է իմանալ դրա ցանկացած երեք կետերը, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա, օրինակ՝ հարթության հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։

Ինչպե՞ս գտնել այս կետերը: Գտնել առանցքի հետ հատման կետը Օզ, դուք պետք է փոխարինեք X-ի և Y-ի զրոները խնդրի դրույթում տրված հավասարման մեջ. x = y= 0. Հետևաբար մենք ստանում ենք զ= 6. Այսպիսով, տրված հարթությունը հատում է առանցքը Օզկետում Ա(0; 0; 6) .

Նույն կերպ մենք գտնում ենք հարթության առանցքի հետ հատման կետը Օյ. ժամը x = զ= 0 մենք ստանում ենք y= −3, այսինքն՝ կետը Բ(0; −3; 0) .

Եվ վերջապես մենք գտնում ենք մեր հարթության առանցքի հատման կետը Եզ. ժամը y = զ= 0 մենք ստանում ենք x= 2, այսինքն, մի կետ Գ(2; 0; 0) . Մեր լուծման մեջ ստացված երեք կետերի հիման վրա Ա(0; 0; 6) , Բ(0; −3; 0) և Գ(2; 0; 0) կառուցիր տրված հարթությունը:

Եկեք հիմա դիտարկենք ընդհանուր հարթության հավասարման հատուկ դեպքեր. Սրանք այն դեպքերն են, երբ (2) հավասարման որոշ գործակիցներ դառնում են զրո։

1. Երբ D= 0 հավասարումը սահմանում է սկզբնակետով անցնող հարթություն, քանի որ կետի կոորդինատները 0 (0; 0; 0) բավարարում է այս հավասարումը:

2. Երբ A= 0 հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ հարթություն Եզ, քանի որ այս հարթության նորմալ վեկտորը ուղղահայաց է առանցքին Եզ(դրա պրոյեկցիան առանցքի վրա Եզհավասար է զրոյի): Նմանապես, երբ B= 0 ինքնաթիռ առանցքին զուգահեռ Օյ, և երբ C= 0 ինքնաթիռ առանցքին զուգահեռ Օզ.

3. Երբ A=D= 0 հավասարումը սահմանում է առանցքի միջով անցնող հարթություն Եզ, քանի որ այն զուգահեռ է առանցքին Եզ (A=D= 0): Նմանապես, ինքնաթիռն անցնում է առանցքի միջով Օյ, և հարթությունը առանցքի միջով Օզ.

4. Երբ A=B= 0 հավասարումը սահմանում է կոորդինատային հարթությանը զուգահեռ հարթություն xOy, քանի որ այն զուգահեռ է առանցքներին Եզ (Ա= 0) և Օյ (Բ= 0): Նմանապես, հարթությունը զուգահեռ է հարթությանը յՕզ, իսկ ինքնաթիռը ինքնաթիռն է xOz.

5. Երբ A=B=D= 0 հավասարումը (կամ z = 0) սահմանում է կոորդինատային հարթությունը xOy, քանի որ այն զուգահեռ է հարթությանը xOy (A=B= 0) և անցնում է ծագման միջով ( D= 0): Նմանապես, հավասար. y =Տիեզերքում 0-ը սահմանում է կոորդինատային հարթությունը xOz, և հավասարումը x = 0 - կոորդինատային հարթություն յՕզ.

Օրինակ 3.Ստեղծեք հարթության հավասարումը Պ, անցնելով առանցքով Օյև ժամանակաշրջան:

Լուծում. Այսպիսով, ինքնաթիռն անցնում է առանցքի միջով Օյ. Հետևաբար, նրա հավասարման մեջ y= 0 և այս հավասարումն ունի ձև. Գործակիցները որոշելու համար ԱԵվ Գօգտվենք այն հանգամանքից, որ կետը պատկանում է հարթությանը Պ .

Հետևաբար, նրա կոորդինատների շարքում կան այնպիսիք, որոնք կարող են փոխարինվել հարթության հավասարման մեջ, որը մենք արդեն ստացել ենք (): Եկեք նորից նայենք կետի կոորդինատներին.

Մ0 (2; −4; 3) .

Նրանց թվում x = 2 , զ= 3. Մենք դրանք փոխարինում ենք ընդհանուր հավասարման մեջ և ստանում մեր կոնկրետ դեպքի հավասարումը.

2Ա + 3Գ = 0 .

Թողնել 2 Ահավասարման ձախ կողմում տեղափոխել 3 Գդեպի աջ կողմ, և մենք ստանում ենք

Ա = −1,5Գ .

Գտնված արժեքի փոխարինում Ահավասարման մեջ, մենք ստանում ենք

կամ .

Սա օրինակի պայմանում պահանջվող հավասարումն է:

Ինքներդ լուծեք հարթության հավասարման խնդիրը, այնուհետև նայեք լուծմանը

Օրինակ 4.Սահմանեք հարթություն (կամ հարթություններ, եթե մեկից ավելի) կոորդինատային առանցքների կամ կոորդինատային հարթությունների նկատմամբ, եթե հարթությունը (հարթությունները) տրված է հավասարմամբ:

Թեստերի ժամանակ առաջացող տիպիկ խնդիրների լուծումները կան «Խնդիրները հարթության վրա. զուգահեռություն, ուղղահայացություն, երեք հարթությունների հատում մեկ կետում» դասագրքում։

Երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը

Ինչպես արդեն նշվեց, հարթություն կառուցելու համար անհրաժեշտ և բավարար պայման, բացի մեկ կետից և նորմալ վեկտորից, նաև երեք կետերն են, որոնք չեն գտնվում նույն գծի վրա։

Թող տրվեն երեք տարբեր կետեր և , չպառկելով նույն գծի վրա: Քանի որ նշված երեք կետերը չեն գտնվում միևնույն գծի վրա, վեկտորները համակողմանի չեն, և, հետևաբար, հարթության ցանկացած կետ գտնվում է կետերի հետ նույն հարթության մեջ, և եթե և միայն, եթե վեկտորները, և համակողմանի, այսինքն. հետո և միայն այն ժամանակ, երբ այս վեկտորների խառը արտադրանքըհավասար է զրոյի:

Օգտագործելով կոորդինատներում խառը արդյունքի արտահայտությունը, մենք ստանում ենք հարթության հավասարումը

(3)

Որոշիչը բացահայտելուց հետո այս հավասարումը դառնում է (2) ձևի հավասարում, այսինքն. ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը.

Օրինակ 5.Գրե՛ք նույն ուղիղ գծի վրա չգտնվող երեք տրված կետերով անցնող հարթության հավասարումը.

և որոշել ուղիղի ընդհանուր հավասարման հատուկ դեպքը, եթե այդպիսիք կան:

Լուծում. Ըստ բանաձևի (3) ունենք.

Նորմալ հարթության հավասարում. Հեռավորությունը կետից ինքնաթիռ

Ինքնաթիռի նորմալ հավասարումը նրա հավասարումն է՝ գրված ձևով

Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Ցանկացած կետով կարելի է անսահման թվով ուղիղ գծեր գծել։

Ցանկացած երկու չհամընկնող կետերի միջով կարելի է մեկ ուղիղ գիծ գծել:

Հարթության մեջ երկու տարբեր ուղիղներ կամ հատվում են մեկ կետում կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

Եռաչափ տարածության մեջ երկու տողերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.

• գծերը հատվում են;

• գծերը զուգահեռ են;

• ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող— Առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ ուղիղ գիծ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում)։

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում.

Սահմանում. Ինքնաթիռի ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է սահմանվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

և մշտական Ա, Բմիաժամանակ հավասար չեն զրոյի. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է գեներալ

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, ԲԵվ ՀԵՏՀնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ուղիղ գիծ է անցնում ծագման միջով

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = C = 0, A ≠0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

. A = C = 0, B ≠0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և նորմալ վեկտորից:

Սահմանում. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

հավասարմամբ տրված ուղիղին ուղղահայաց

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Լուծում. A = 3 և B = -1-ով կազմենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: Գտեք C գործակիցը.

Փոխարինենք տրված Ա կետի կոորդինատները ստացված արտահայտության մեջ, հետևաբար՝ 3 - 2 + C = 0

C = -1. Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)Եվ M2 (x 2, y 2, z 2),Հետո գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի: Միացված է

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

Եթե x 1 ≠ x 2Եվ x = x 1, Եթե x 1 = x 2 .

Կոտորակ = kկանչեց լանջին ուղիղ.

Օրինակ. Գտե՛ք A(1, 2) և B(3, 4) կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը։

Լուծում. Կիրառելով վերը գրված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարում` օգտագործելով կետ և թեքություն:

Եթե ​​ուղիղի ընդհանուր հավասարումը Ax + Wu + C = 0հանգեցնել՝

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և ուղղության վեկտորից:

Նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը դիտարկող կետի հետ անալոգիայով կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր:

Սահմանում. Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2), որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aα 1 + Bα 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր.

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A(1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում. Մենք կփնտրենք ցանկալի գծի հավասարումը հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է բավարարեն հետևյալ պայմանները.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x = 1, y = 2մենք ստանում ենք C/A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ах + Ву + С = 0 С≠0, ապա բաժանելով -С-ի, ստանում ենք.

կամ որտեղ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է.

ուղիղ առանցքով Օ,Ա բ- գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը Օ՜

Օրինակ. Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտեք այս ուղիղի հավասարումը հատվածներով:

C = 1, , a = -1, b = 1:

Գծի նորմալ հավասարում.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը Ax + Wu + C = 0բաժանել ըստ թվի որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ μ*C< 0.

r- սկզբնակետից ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

Ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ. Տրված է գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0. Պահանջվում է տարբեր տեսակի հավասարումներ գրելու համար

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղղի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ամեն ուղիղ գիծ չէ, որ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելով։

Հարթության վրա ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում. Եթե ​​տրված է երկու տող y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս տողերի միջև ընկած սուր անկյունը

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2. Երկու ուղիղ ուղղահայաց են

Եթե k 1 = -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղղակի Ax + Wu + C = 0Եվ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0զուգահեռ, երբ գործակիցները համաչափ են

A 1 = λA, B 1 = λB. Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված կետով ուղղահայաց տրված ուղիղին անցնող ուղիղի հավասարումը.

Սահմանում. Մի կետով անցնող գիծ M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Թեորեմ. Եթե ​​տրվում է միավոր M (x 0, y 0),ապա ուղիղ գծի հեռավորությունը Ax + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց. Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկած ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը ՄԵվ Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1Եվ 1-ինկարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով ուղղահայաց անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

տրված ուղիղ գիծ. Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Ինքնաթիռի հավասարում. Ինչպե՞ս գրել ինքնաթիռի հավասարումը:
Ինքնաթիռների փոխադարձ դասավորություն. Առաջադրանքներ

Տարածական երկրաչափությունը շատ ավելի բարդ չէ, քան «հարթ» երկրաչափությունը, և մեր թռիչքները տիեզերքում սկսվում են այս հոդվածից: Թեման տիրապետելու համար պետք է լավ հասկանալ վեկտորներ, բացի այդ, նպատակահարմար է ծանոթ լինել ինքնաթիռի երկրաչափությանը. կլինեն շատ նմանություններ, շատ նմանություններ, ուստի տեղեկատվությունը շատ ավելի լավ կմարսվի: Իմ դասերի շարքում 2D աշխարհը բացվում է հոդվածով Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա. Բայց հիմա Բեթմենը թողել է հարթ հեռուստացույցի էկրանը և մեկնարկում է Բայկոնուր տիեզերակայանից:

Սկսենք գծագրերից և նշաններից: Սխեմատիկորեն, հարթությունը կարելի է գծել զուգահեռագծի տեսքով, որը ստեղծում է տարածության տպավորություն.

Ինքնաթիռը անսահման է, բայց մենք հնարավորություն ունենք պատկերելու դրա միայն մի հատվածը։ Գործնականում զուգահեռագիծից բացի գծվում է նաև օվալ կամ նույնիսկ ամպ։ Տեխնիկական պատճառներով ինձ համար ավելի հարմար է ինքնաթիռը պատկերել հենց այս ձևով և հենց այս դիրքով։ Իրական ինքնաթիռները, որոնք մենք կդիտարկենք գործնական օրինակներով, կարող են տեղակայվել ցանկացած ձևով. մտովի վերցրեք նկարը ձեր ձեռքերում և պտտեք այն տարածության մեջ՝ ինքնաթիռին տալով ցանկացած թեքություն, ցանկացած անկյուն:

Նշանակումներինքնաթիռները սովորաբար նշվում են փոքր հունարեն տառերով, ըստ երևույթին, որպեսզի չշփոթեն դրանք ուղիղ գիծ հարթության վրակամ հետ ուղիղ գիծ տարածության մեջ. Ես սովոր եմ օգտագործել տառը: Գծանկարում «սիգմա» տառն է, և ամենևին անցք չէ։ Չնայած, որ անցած ինքնաթիռը, իհարկե, բավականին զվարճալի է:

Որոշ դեպքերում հարմար է օգտագործել նույն հունարեն տառերը ավելի ցածր մակագրություններով՝ ինքնաթիռներ նշանակելու համար, օրինակ՝ .

Ակնհայտ է, որ ինքնաթիռը եզակիորեն սահմանվում է երեք տարբեր կետերով, որոնք չեն գտնվում նույն գծի վրա: Հետևաբար, ինքնաթիռների եռատառ նշանակումները բավականին տարածված են՝ դրանց պատկանող կետերով, օրինակ և այլն։ Հաճախ տառերը փակցվում են փակագծերում. , որպեսզի ինքնաթիռը չշփոթի մեկ այլ երկրաչափական պատկերի հետ։

Փորձառու ընթերցողների համար կտամ արագ մուտքի ընտրացանկ:

• Ինչպե՞ս ստեղծել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և երկու վեկտոր:
• Ինչպե՞ս ստեղծել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և նորմալ վեկտոր:

եւ մենք չենք թուլանա երկար սպասումներով:

Ընդհանուր հարթության հավասարում

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը ունի ձև, որտեղ գործակիցները միաժամանակ հավասար չեն զրոյի:

Մի շարք տեսական հաշվարկներ և գործնական խնդիրներ վավեր են ինչպես սովորական օրթոնորմալ հիմքի, այնպես էլ տարածության աֆինական հիմքի համար (եթե յուղը նավթ է, վերադարձեք դասին Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորների հիմքը) Պարզության համար մենք կենթադրենք, որ բոլոր իրադարձությունները տեղի են ունենում օրթոնորմալ հիմունքներով և դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգով:

Հիմա եկեք մի փոքր կիրառենք մեր տարածական երևակայությունը: Լավ է, եթե ձերը վատն է, հիմա մենք այն մի փոքր կզարգացնենք: Նույնիսկ նյարդերի վրա խաղալը մարզումներ է պահանջում:

Ամենաընդհանուր դեպքում, երբ թվերը հավասար չեն զրոյի, հարթությունը հատում է բոլոր երեք կոորդինատային առանցքները։ Օրինակ, այսպես.

Եվս մեկ անգամ կրկնում եմ, որ ինքնաթիռը անվերջ շարունակվում է բոլոր ուղղություններով, և մենք հնարավորություն ունենք պատկերելու դրա միայն մի մասը։

Դիտարկենք հարթությունների ամենապարզ հավասարումները.

Ինչպե՞ս հասկանալ այս հավասարումը: Մտածեք դրա մասին. «Z»-ը ՄԻՇՏ հավասար է զրոյի «X»-ի և «Y»-ի ցանկացած արժեքի համար: Սա «հայրենի» կոորդինատային հարթության հավասարումն է։ Իրոք, պաշտոնապես հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ. , որտեղից դուք կարող եք պարզ տեսնել, որ մեզ չի հետաքրքրում, թե ինչ արժեքներ են վերցնում «x» և «y», կարևոր է, որ «z»-ը հավասար է զրոյի:

Նմանապես.
– կոորդինատային հարթության հավասարումը.
– կոորդինատային հարթության հավասարումը.

Մի փոքր բարդացնենք խնդիրը, դիտարկենք հարթություն (այստեղ և պարբերության հետագա հատվածում ենթադրում ենք, որ թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի)։ Վերաշարադրենք հավասարումը ձևով՝ . Ինչպե՞ս հասկանալ դա: «X»-ը ՄԻՇՏ է, «Y»-ի և «Z»-ի ցանկացած արժեքի համար, որը հավասար է որոշակի թվի: Այս հարթությունը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը։ Օրինակ, ինքնաթիռը զուգահեռ է հարթությանը և անցնում է կետով:

Նմանապես.
– հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը.
– հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը:

Ավելացնենք անդամներ՝ . Հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ. Ի՞նչ է դա նշանակում։ «X»-ը և «Y»-ը կապվում են այն հարաբերակցությամբ, որը հարթության մեջ գծում է որոշակի ուղիղ գիծ (դուք կիմանաք. հարթության մեջ գծի հավասարումը?): Քանի որ «z»-ը կարող է լինել ցանկացած, այս ուղիղ գիծը «կրկնօրինակվում է» ցանկացած բարձրության վրա: Այսպիսով, հավասարումը սահմանում է կոորդինատային առանցքին զուգահեռ հարթություն

Նմանապես.
– հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքին.
– հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքին:

Եթե ​​ազատ անդամները զրոյական են, ապա ինքնաթիռներն ուղղակիորեն կանցնեն համապատասխան առանցքներով։ Օրինակ, դասական «ուղիղ համամասնությունը». Հարթության մեջ ուղիղ գիծ քաշեք և մտովի բազմապատկեք այն վեր ու վար (քանի որ «Z»-ը ցանկացած է): Եզրակացություն՝ հավասարմամբ սահմանված հարթությունն անցնում է կոորդինատային առանցքով։

Մենք ավարտում ենք վերանայումը `ինքնաթիռի հավասարումը անցնում է ծագման միջով. Դե, այստեղ միանգամայն ակնհայտ է, որ կետը բավարարում է այս հավասարումը։

Եվ վերջապես, գծագրում ներկայացված դեպքը. – ինքնաթիռը բարեկամական է բոլոր կոորդինատային առանցքների հետ, մինչդեռ միշտ «կտրում» է եռանկյունին, որը կարող է տեղակայվել ութ օկտանտներից որևէ մեկում։

Գծային անհավասարություններ տարածության մեջ

Տեղեկատվությունը հասկանալու համար անհրաժեշտ է լավ ուսումնասիրել գծային անհավասարություններ հարթության մեջ, քանի որ շատ բաներ նման կլինեն։ Պարբերությունը կունենա համառոտ ակնարկ՝ մի քանի օրինակներով, քանի որ նյութը գործնականում բավականին հազվադեպ է:

Եթե ​​հավասարումը սահմանում է հարթություն, ապա անհավասարությունները
հարցնել կիսատ տարածություններ. Եթե ​​անհավասարությունը խիստ չէ (ցանկում վերջին երկուսը), ապա անհավասարության լուծումը, բացի կիսատատությունից, ներառում է նաև հենց հարթությունը։

Օրինակ 5

Գտեք հարթության միավորի նորմալ վեկտորը .

ԼուծումՄիավոր վեկտորը այն վեկտորն է, որի երկարությունը մեկ է: Նշենք այս վեկտորը . Բացարձակապես պարզ է, որ վեկտորները համակողմանի են.

Նախ՝ հարթության հավասարումից հանում ենք նորմալ վեկտորը՝ .

Ինչպե՞ս գտնել միավորի վեկտորը: Միավոր վեկտորը գտնելու համար անհրաժեշտ է ամենբաժանեք վեկտորի կոորդինատը վեկտորի երկարությամբ.

Եկեք վերագրենք նորմալ վեկտորը ձևով և գտնենք դրա երկարությունը.

Ըստ վերը նշվածի.

Պատասխանել:

Ստուգում. այն, ինչ պահանջվում էր ստուգել:

Դասի վերջին պարբերությունը ուշադիր ուսումնասիրած ընթերցողները հավանաբար նկատել են դա միավորի վեկտորի կոորդինատները հենց վեկտորի ուղղության կոսինուսներն են:

Եկեք ընդմիջենք առկա խնդրից. երբ ձեզ տրվում է կամայական ոչ զրոյական վեկտոր, և ըստ պայմանի պահանջվում է գտնել դրա ուղղության կոսինուսները (տե՛ս դասի վերջին խնդիրները Վեկտորների կետային արտադրյալ), այնուհետև դուք, փաստորեն, գտնում եք միավորի վեկտորը, որը համակողմանի է այս մեկին: Իրականում երկու առաջադրանք մեկ շիշում:

Միավոր նորմալ վեկտորը գտնելու անհրաժեշտությունը առաջանում է մաթեմատիկական անալիզի որոշ խնդիրներում։

Մենք հասկացել ենք, թե ինչպես կարելի է որսալ նորմալ վեկտոր, հիմա եկեք պատասխանենք հակառակ հարցին.

Ինչպե՞ս ստեղծել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և նորմալ վեկտոր:

Նորմալ վեկտորի և կետի այս կոշտ կառուցվածքը քաջ հայտնի է տախտակին: Խնդրում ենք ձեռքը առաջ ձգել և մտովի ընտրել տարածության կամայական կետ, օրինակ՝ փոքրիկ կատու բուֆետում: Ակնհայտ է, որ այս կետով դուք կարող եք նկարել ձեր ձեռքին ուղղահայաց մեկ հարթություն:

Վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող հարթության հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.