Գլանների բանաձևի կողային մակերեսը առցանց: Օրինակներ, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել մխոցի տարածքը

«Երկրաչափություն» գիտության անվանումը թարգմանվում է որպես «երկրաչափություն»։ Այն ծագել է հենց առաջին հնագույն հողերի կառավարիչների ջանքերով: Եվ դա տեղի ունեցավ այսպես. սուրբ Նեղոսի հեղեղումների ժամանակ ջրի հոսքերը երբեմն քշում էին ֆերմերների հողակտորների սահմանները, իսկ նոր սահմանները կարող էին չհամընկնել հին սահմանների հետ: Հարկերը գյուղացիները վճարում էին փարավոնի գանձարան՝ հողահատկացման չափին համաչափ։ Արտահոսքից հետո նոր սահմաններում վարելահողերի տարածքների չափագրման աշխատանքներում ներգրավվել են հատուկ մարդիկ։ Իրենց գործունեության արդյունքում էր, որ 2011թ նոր գիտություն, որը մշակվել է Հին Հունաստան. Այնտեղ այն ստացավ իր անունը և գործնականում ձեռք բերեց ժամանակակից տեսք. Հետագայում տերմինը դարձավ հարթ և եռաչափ ֆիգուրների գիտության միջազգային անվանում։

Պլանաչափությունը երկրաչափության ճյուղ է, որը զբաղվում է ուսումնասիրությամբ հարթ գործիչներ. Գիտության մեկ այլ ճյուղ է ստերեոմետրիան, որն ուսումնասիրում է տարածական (ծավալային) պատկերների հատկությունները։ Նման թվերը ներառում են այս հոդվածում նկարագրվածը `մխոց:

Ներսում գլանաձև առարկաների առկայության օրինակներ առօրյա կյանքշատ. Գրեթե բոլոր պտտվող մասերը՝ լիսեռներ, թփեր, մատյաններ, առանցքներ և այլն, ունեն գլանաձև (շատ ավելի քիչ հաճախ՝ կոնաձև) ձև։ Մխոցը լայնորեն կիրառվում է նաև շինարարության մեջ՝ աշտարակներ, հենասյուներ, դեկորատիվ սյուներ։ Եվ նաև սպասք, փաթեթավորման որոշ տեսակներ, տարբեր տրամագծերի խողովակներ։ Եվ վերջապես՝ հայտնի գլխարկները, որոնք վաղուց դարձել են տղամարդու էլեգանտության խորհրդանիշ։ Ցուցակը անվերջ շարունակվում է:

Գլանի սահմանումը որպես երկրաչափական պատկեր

Մխոցը (շրջանաձև գլան) սովորաբար կոչվում է երկու շրջանակներից բաղկացած գործիչ, որոնք, ցանկության դեպքում, համակցվում են զուգահեռ թարգմանության միջոցով: Այս շրջանակները մխոցի հիմքերն են։ Բայց համապատասխան կետերը միացնող գծերը (ուղիղ հատվածները) կոչվում են «գեներատորներ»:

Կարևոր է, որ մխոցի հիմքերը միշտ հավասար լինեն (եթե այս պայմանը չկատարվի, ապա մենք ունենք. կտրված կոն, ցանկացած այլ բան, բայց ոչ գլան) և գտնվում են զուգահեռ հարթություններ. Շրջանակների վրա համապատասխան կետերը միացնող հատվածները զուգահեռ են և հավասար։

Անսահման թվով բաղադրիչների բազմությունը ոչ այլ ինչ է, քան կողային մակերեսգլան - այս երկրաչափական գործչի տարրերից մեկը: Դրա մյուս կարևոր բաղադրիչը վերը քննարկված շրջանակներն են։ Դրանք կոչվում են հիմքեր:

Բալոնների տեսակները

Գլանների ամենապարզ և ամենատարածված տեսակը շրջանաձև է: Այն ձևավորվում է երկու կանոնավոր շրջանակներով, որոնք գործում են որպես հիմքեր։ Բայց նրանց փոխարեն կարող են լինել այլ թվեր։

Գլանների հիմքերը կարող են ձևավորել (շրջանակներից բացի) էլիպսներ և այլ փակ պատկերներ։ Բայց պարտադիր չէ, որ մխոցը փակ ձև ունենա: Օրինակ, մխոցի հիմքը կարող է լինել պարաբոլա, հիպերբոլա կամ մեկ այլ բաց ֆունկցիա: Նման մխոցը բաց կլինի կամ կտեղակայվի:

Ըստ հիմքերը կազմող բալոնների թեքության անկյունի՝ դրանք կարող են լինել ուղիղ կամ թեք։ Ուղիղ գլանների համար գեներատորները խիստ ուղղահայաց են հիմքի հարթությանը: Եթե ​​այս անկյունը տարբերվում է 90°-ից, ապա մխոցը թեքված է:

Ինչ է հեղափոխության մակերեսը

Ուղղակի շրջանաձև գլան, անկասկած, ճարտարագիտության մեջ օգտագործվող ամենատարածված պտտվող մակերեսն է: Երբեմն տեխնիկական պատճառներով օգտագործվում են կոնաձև, գնդաձև և որոշ այլ տեսակի մակերեսներ, սակայն բոլոր պտտվող լիսեռների, առանցքների և այլնի 99%-ը։ պատրաստվում են բալոնների տեսքով. Որպեսզի ավելի լավ հասկանանք, թե ինչ է հեղափոխության մակերեսը, կարող ենք դիտարկել, թե ինչպես է ձևավորվում բալոնը:

Ասենք կա որոշակի ուղիղ գիծ ա, գտնվում է ուղղահայաց: ABCD-ն ուղղանկյուն է, որի կողմերից մեկը (AB հատվածը) գտնվում է գծի վրա ա. Եթե ​​ուղղանկյունը պտտենք ուղիղ գծի շուրջը, ինչպես ցույց է տրված նկարում, ծավալը, որը նա կզբաղեցնի պտտվելիս, կլինի մեր պտտման մարմինը՝ H = AB = DC բարձրությամբ և R = AD = BC շառավղով աջ շրջանաձև գլան:

Այս դեպքում պատկերը պտտելու արդյունքում՝ ուղղանկյուն, ստացվում է գլան։ Եռանկյունը պտտելով կարելի է կոն ստանալ, կիսաշրջանը պտտելով՝ գնդակ և այլն։

Մխոցի մակերեսի մակերեսը

Սովորական աջ շրջանաձև գլանի մակերեսը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել հիմքերի և կողային մակերեսների մակերեսները:

Նախ, եկեք տեսնենք, թե ինչպես է հաշվարկվում կողային մակերեսը: Սա մխոցի շրջագծի և մխոցի բարձրության արտադրյալն է: Շրջագիծն իր հերթին հավասար է համընդհանուր թվի արտադրյալի կրկնակիին Պշրջանագծի շառավղով։

Հայտնի է, որ շրջանագծի մակերեսը հավասար է արտադրյալին Պմեկ քառակուսի շառավղով: Այսպիսով, ավելացնելով կողային մակերեսի որոշման բանաձևերը բազայի տարածքի կրկնակի արտահայտությամբ (դրանցից երկուսը կա) և կատարելով պարզ հանրահաշվական փոխակերպումներ, մենք ստանում ենք մակերեսը որոշելու վերջնական արտահայտությունը. մխոցի տարածքը.

Ֆիգուրի ծավալի որոշում

Մխոցի ծավալը որոշվում է ըստ ստանդարտ սխեմայի. հիմքի մակերեսը բազմապատկվում է բարձրությամբ:

Այսպիսով, վերջնական բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը. ցանկալի արժեքը սահմանվում է որպես մարմնի բարձրության արտադրյալ համընդհանուր թվով. Պև հիմքի շառավիղի քառակուսիով։

Ստացված բանաձեւը, պետք է ասել, կիրառելի է ամենաանսպասելի խնդիրների լուծման համար։ Նույն կերպ, ինչպես մխոցի ծավալը, օրինակ, որոշվում է էլեկտրական լարերի ծավալը: Սա կարող է անհրաժեշտ լինել լարերի զանգվածը հաշվարկելու համար:

Բանաձևի միակ տարբերությունն այն է, որ մեկ մխոցի շառավիղի փոխարեն կա լարերի շղթայի տրամագիծը կիսով չափ բաժանված, և մետաղալարերի թելերի քանակը հայտնվում է արտահայտության մեջ: Ն. Նաև բարձրության փոխարեն օգտագործվում է մետաղալարի երկարությունը։ Այսպիսով, «գլանի» ծավալը հաշվարկվում է ոչ միայն մեկով, այլ հյուսի լարերի քանակով:

Նման հաշվարկները հաճախ պահանջվում են գործնականում: Ի վերջո, ջրի տարաների զգալի մասը պատրաստվում է խողովակի տեսքով։ Եվ հաճախ անհրաժեշտ է լինում բալոնի ծավալը հաշվարկել նույնիսկ տնային տնտեսությունում։

Սակայն, ինչպես արդեն նշվեց, գլանաձեւը կարող է տարբեր լինել: Իսկ որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է հաշվել, թե որքան է թեքված գլանի ծավալը։

Տարբերությունն այն է, որ բազայի մակերեսը բազմապատկվում է ոչ թե գեներատորի երկարությամբ, ինչպես ուղիղ մխոցի դեպքում, այլ հարթությունների միջև եղած հեռավորությամբ՝ նրանց միջև կառուցված ուղղահայաց հատվածով:

Ինչպես երևում է նկարից, այդպիսի հատված արտադրանքին հավասարգեներատրիցայի երկարությունը՝ ըստ հարթության գեներատորի թեքության անկյան սինուսի:

Ինչպես կառուցել գլան մշակում

Որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է կտրել բալոնային թևը: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս այն կանոնները, որոնցով բլանկ է կառուցվում տվյալ բարձրությամբ և տրամագծով մխոցի արտադրության համար:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ գծագիրը ցուցադրված է առանց կարերի:

Տարբերությունները թեքված գլանների միջև

Եկեք պատկերացնենք որոշակի ուղիղ գլան, որը մի կողմից սահմանափակված է գեներատորներին ուղղահայաց հարթությամբ: Բայց մյուս կողմից մխոցը սահմանափակող հարթությունը գեներատորներին ուղղահայաց չէ և առաջին հարթությանը զուգահեռ չէ։

Նկարը ցույց է տալիս թեքված գլան: Ինքնաթիռ Աորոշակի անկյան տակ, որը տարբերվում է 90°-ից մինչև գեներատորները, հատում է նկարը:

Այդպիսին երկրաչափական ձևպրակտիկայում ավելի հաճախ հանդիպում են խողովակաշարերի միացումների (արմունկների) տեսքով։ Բայց կան նույնիսկ շինություններ, որոնք կառուցված են թեքված գլանով։

Շեղված գլանների երկրաչափական բնութագրերը

Շեղված մխոցի հարթություններից մեկի թեքությունը մի փոքր փոխում է նման գործչի մակերեսի և ծավալի հաշվարկման կարգը:

Մխոցի մակերեսը: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք մակերեսի հետ կապված խնդիրներին: Բլոգն արդեն լուսաբանել է պտտվող մարմնի հետ կապված առաջադրանքներ, ինչպիսին է կոնը: Մխոցը նույնպես պատկանում է պտտման մարմիններին։ Ի՞նչ է ձեզ անհրաժեշտ և պետք իմանալ բալոնի մակերեսի մասին: Եկեք նայենք մխոցի զարգացմանը.

Վերին և ստորին հիմքերը երկու հավասար շրջանակներ են.

Կողային մակերեսը ուղղանկյուն է: Ընդ որում, այս ուղղանկյան մի կողմը հավասար է գլանի բարձրությանը, իսկ մյուսը՝ հիմքի շրջագծին։ Հիշեցնեմ, որ շրջանագծի շրջագիծը հետևյալն է.

Այսպիսով, մխոցի մակերեսի բանաձևը հետևյալն է.

* Այս բանաձևը սովորելու կարիք չկա: Բավական է իմանալ շրջանագծի տարածքի և դրա շրջագծի երկարության բանաձևերը, այնուհետև միշտ կարող եք գրել նշված բանաձևը: Դա հասկանալը կարևոր է։ Դիտարկենք առաջադրանքները.

Մխոցի հիմքի շրջագիծը 3 է: Կողմնակի մակերեսը 6 է: Գտե՛ք մխոցի բարձրությունը և մակերեսը (ենթադրենք, որ Pi-ն 3,14 է և արդյունքը կլորացրեք մինչև տասներորդական):

Մխոցի ընդհանուր մակերեսը.

Տրված են հիմքի շրջագիծը և մխոցի կողային մակերեսը։ Այսինքն, մեզ տրվում է ուղղանկյունի և նրա կողմերից մեկի տարածքը, մենք պետք է գտնենք մյուս կողմը (սա մխոցի բարձրությունն է).

Շառավիղը պահանջվում է, և այնուհետև մենք կարող ենք գտնել նշված տարածքը:

Հիմքի շրջագիծը հավասար է երեքի, այնուհետև գրում ենք.

Այսպիսով

Կլորացնելով մինչև տասներորդականը՝ ստանում ենք 7.4։

Պատասխան՝ h = 2; S = 7.4

Մխոցի կողային մակերեսը 72 Pi է, իսկ հիմքի տրամագիծը՝ 9։ Գտե՛ք մխոցի բարձրությունը։

Միջոցներ

Պատասխան՝ 8

Մխոցի կողային մակերեսը 64 Pi է, իսկ բարձրությունը՝ 8։ Գտեք հիմքի տրամագիծը:

Մխոցի կողային մակերեսը հայտնաբերվում է բանաձևով.

Տրամագիծը հավասար է երկու շառավիղների, ինչը նշանակում է.

Պատասխան՝ 8

27058. Մխոցի հիմքի շառավիղը 2 է, իսկ բարձրությունը՝ 3։ Գտե՛ք մխոցի կողային մակերեսը բաժանված Pi-ով։

27133. Գլանի հիմքի շրջագիծը 3 է, բարձրությունը՝ 2։ Գտե՛ք գլանակի կողային մակերեսի մակերեսը։

Դպրոցում ուսումնասիրված պտտման մարմիններն են՝ գլան, կոն և գունդ։

Եթե ​​մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության խնդրի դեպքում անհրաժեշտ է հաշվարկել կոնի ծավալը կամ ոլորտի մակերեսը, համարեք ձեզ հաջողակ։

Կիրառել բանաձևեր գլանների, կոնի և գնդերի ծավալի և մակերեսի համար: Դրանք բոլորն էլ մեր աղյուսակում են։ Սովորեք անգիր: Այստեղից է սկսվում ստերեոմետրիայի իմացությունը:

Երբեմն լավ է նկարել տեսարանը վերևից: Կամ, ինչպես այս խնդրի դեպքում, ներքեւից։

2. Քանի անգամ է ճիշտ նկարագրված կոնի ծավալը քառանկյուն բուրգ, ավելի մեծ է, քան այս բուրգում գրված կոնի ծավալը։

Դա պարզ է. նկարեք տեսարանը ներքևից: Մենք տեսնում ենք, որ ավելի մեծ շրջանագծի շառավիղը անգամ ավելի մեծ է, քան փոքրի շառավիղը։ Երկու կոնների բարձրությունները նույնն են: Հետեւաբար, ավելի մեծ կոնի ծավալը երկու անգամ ավելի մեծ կլինի:

Մեկ այլ կարևոր կետ. Հիշեք, որ Բ մասի խնդիրներում Պետական ​​միասնական քննության տարբերակներՄաթեմատիկայում պատասխանը գրվում է որպես ամբողջ թիվ կամ վերջավոր թիվ տասնորդական. Ուստի Բ մասում որևէ կամ ձեր պատասխանում չպետք է լինի։ Թվի մոտավոր արժեքը նույնպես փոխարինելու կարիք չկա։ Այն անպայման պետք է փոքրանա: Հենց դրա համար է, որ որոշ խնդիրների դեպքում առաջադրանքը ձևակերպվում է, օրինակ, հետևյալ կերպ.

Էլ որտե՞ղ են օգտագործվում հեղափոխության մարմինների ծավալի և մակերեսի բանաձևերը: Իհարկե, C2 (16) խնդրի մեջ։ Մենք ձեզ նույնպես կպատմենք այդ մասին։

Գոյություն ունի մեծ թվովբալոնի հետ կապված խնդիրներ. Դրանցում պետք է գտնել մարմնի շառավիղն ու բարձրությունը կամ նրա հատվածի տեսակը։ Բացի այդ, երբեմն անհրաժեշտ է հաշվարկել մխոցի տարածքը և դրա ծավալը:

Ո՞ր մարմինն է գլան:

Ի գիտություն դպրոցական ծրագիրուսումնասիրված է շրջանաձև գլան, այսինքն՝ հիմքի վրա։ Բայց առանձնանում է նաև այս գործչի էլիպսաձև տեսքը։ Անվանումից պարզ է դառնում, որ դրա հիմքը կլինի էլիպս կամ օվալ։

Գլանն ունի երկու հիմք. Նրանք հավասար են միմյանց և միացված են հատվածներով, որոնք միավորում են հիմքերի համապատասխան կետերը։ Նրանք կոչվում են գլանի գեներատորներ: Բոլոր գեներատորները միմյանց զուգահեռ են և հավասար: Դրանք կազմում են մարմնի կողային մակերեսը։

Ընդհանուր առմամբ, գլան է թեքված մարմին. Եթե ​​գեներատորները հիմքերի հետ ուղիղ անկյուն են կազմում, ապա մենք խոսում ենք ուղիղ գործչի մասին։

Հետաքրքիր է, որ շրջանաձև մխոցը հեղափոխության մարմին է: Այն ստացվում է իր կողմերից մեկի շուրջ ուղղանկյունը պտտելով։

Մխոցի հիմնական տարրերը

Մխոցի հիմնական տարրերն այսպիսի տեսք ունեն.

1. Բարձրություն. Դա մխոցի հիմքերի միջև ամենակարճ հեռավորությունն է։ Եթե ​​այն ուղիղ է, ապա բարձրությունը համընկնում է գեներատորի հետ։
2. Շառավիղ. Համընկնում է այն մեկի հետ, որը կարելի է նկարել հիմքում:
3. Առանցք. Սա ուղիղ գիծ է, որը պարունակում է երկու հիմքերի կենտրոնները: Առանցքը միշտ զուգահեռ է բոլոր գեներատորներին: Ուղիղ գլանով այն ուղղահայաց է հիմքերին։
4. Առանցքային հատված. Այն ձևավորվում է, երբ մխոցը հատում է առանցք պարունակող հարթությունը։
5. Շոշափող հարթություն. Այն անցնում է գեներատորներից մեկով և ուղղահայաց է առանցքային հատվածին, որը գծված է այս գեներատրիցով:

Ինչպե՞ս է մխոցը կապված իր մեջ գրված կամ շուրջը նկարագրված պրիզմայի հետ:

Երբեմն կան խնդիրներ, որոնցում անհրաժեշտ է հաշվարկել մխոցի տարածքը, բայց դրա հետ կապված պրիզմայի որոշ տարրեր հայտնի են: Ինչպե՞ս են այս թվերը կապված:

Եթե ​​պրիզմա մակագրված է գլան, ապա դրա հիմքերը հավասար բազմանկյուններ են: Ընդ որում, դրանք մակագրված են գլանի համապատասխան հիմքերում։ Պրիզմայի կողային եզրերը համընկնում են գեներատորների հետ։

Նկարագրված պրիզման իր հիմքում ունի կանոնավոր բազմանկյուններ։ Դրանք նկարագրված են գլանի շրջանակների շուրջ, որոնք նրա հիմքերն են։ Ինքնաթիռները, որոնք պարունակում են պրիզմայի երեսները, դիպչում են գլանին իրենց գեներատորների երկայնքով:

Կողային մակերեսի և աջ շրջանաձև մխոցի հիմքի վրա

Եթե ​​դուք բացեք կողային մակերեսը, ապա կստանաք ուղղանկյուն: Նրա կողմերը կհամընկնեն գեներատրիքսին և հիմքի շրջագծին: Ահա թե ինչու կողային տարածքբալոնը հավասար կլինի այս երկու մեծությունների արտադրյալին: Եթե ​​գրեք բանաձևը, կստանաք հետևյալը.

S կողմ = l * n,

որտեղ n-ը գեներատորն է, l-ը շրջագիծն է:

Ավելին, վերջին պարամետրը հաշվարկվում է բանաձևով.

l = 2 π * r,

այստեղ r-ը շրջանագծի շառավիղն է, π «pi» թիվը հավասար է 3,14-ի:

Քանի որ հիմքը շրջան է, դրա մակերեսը հաշվարկվում է հետևյալ արտահայտությամբ.

S հիմնական = π * r 2:

Աջ շրջանաձև գլանի ամբողջ մակերեսի վրա

Քանի որ այն ձևավորվում է երկու հիմքով և կողային մակերեսով, անհրաժեշտ է ավելացնել այս երեք քանակությունը։ Այսինքն, մխոցի ընդհանուր մակերեսը հաշվարկվելու է բանաձևով.

S հարկ = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Հաճախ այն գրվում է այլ ձևով.

S հարկ = 2 π * r (n + r).

Թեք շրջանաձև գլանի տարածքների վրա

Ինչ վերաբերում է հիմքերին, ապա բոլոր բանաձեւերը նույնն են, քանի որ դրանք դեռ շրջաններ են։ Բայց կողային մակերեսն այլևս ուղղանկյուն չի տալիս։

Թեք մխոցի կողային մակերեսի տարածքը հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր է բազմապատկել գեներատորի արժեքները և հատվածի պարագիծը, որը ուղղահայաց կլինի ընտրված գեներատորին:

Բանաձևն այսպիսի տեսք ունի.

S կողմ = x * P,

որտեղ x-ը մխոցի գեներատորի երկարությունն է, P-ը հատվածի պարագիծն է:

Ի դեպ, ավելի լավ է ընտրել այնպիսի հատված, որ ձևավորի էլիպս։ Այնուհետեւ նրա պարագծի հաշվարկները կպարզեցվեն։ Էլիպսի երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով, որը տալիս է մոտավոր պատասխան։ Բայց հաճախ դա բավարար է դպրոցական դասընթացի առաջադրանքների համար.

l = π * (a + b),

որտեղ «a»-ն և «b»-ն էլիպսի կիսաառանցքներն են, այսինքն՝ հեռավորությունը կենտրոնից մինչև նրա ամենամոտ և ամենահեռավոր կետերը:

Ամբողջ մակերեսի մակերեսը պետք է հաշվարկվի հետևյալ արտահայտությամբ.

S հարկ = 2 π * r 2 + x * R.

Որո՞նք են աջ շրջանաձև գլանի որոշ հատվածներ:

Երբ հատվածն անցնում է առանցքի միջով, դրա մակերեսը որոշվում է որպես գեներատորի արտադրյալ և հիմքի տրամագիծ: Դա բացատրվում է նրանով, որ այն ունի ուղղանկյունի ձև, որի կողմերը համընկնում են նշանակված տարրերի հետ։

Գլանի խաչմերուկի տարածքը գտնելու համար, որը զուգահեռ է առանցքայինին, ձեզ հարկավոր է նաև ուղղանկյունի բանաձև: Այս իրավիճակում նրա կողմերից մեկը դեռ կհամընկնի բարձրության հետ, իսկ մյուսը հավասար կլինի հիմքի ակորդին։ Վերջինս համընկնում է բազայի երկայնքով հատվածի գծի հետ:

Երբ հատվածը ուղղահայաց է առանցքին, այն նման է շրջանագծի: Ավելին, նրա մակերեսը նույնն է, ինչ գործչի հիմքը:

Հնարավոր է նաև հատվել առանցքի ինչ-որ անկյան տակ։ Այնուհետեւ խաչմերուկի արդյունքում ստացվում է օվալ կամ դրա մի մասը:

Նմուշի խնդիրներ

Առաջադրանք թիվ 1.Տրվում է ուղիղ գլան, որի հիմքի մակերեսը 12,56 սմ 2 է: Անհրաժեշտ է հաշվարկել մխոցի ընդհանուր մակերեսը, եթե դրա բարձրությունը 3 սմ է:

Լուծում. Դուք պետք է օգտագործեք բանաձևը ամբողջական տարածքշրջանաձև ուղիղ գլան: Բայց դրա վրա բացակայում են տվյալներ, մասնավորապես բազայի շառավիղը։ Բայց շրջանագծի տարածքը հայտնի է: Այստեղից հեշտ է հաշվարկել շառավիղը։

Պարզվում է, որ այն հավասար է գործակիցի քառակուսի արմատին, որը ստացվում է հիմքի տարածքը պ-ով բաժանելով: 12.56-ը 3.14-ի բաժանելուց հետո ստացվում է 4: Քառակուսի արմատ 4-ից դա 2 է: Հետևաբար, շառավիղը կունենա հենց այս արժեքը:

Պատասխան՝ S հատակ = 50,24 սմ 2:

Առաջադրանք թիվ 2. 5 սմ շառավղով գլան կտրված է առանցքին զուգահեռ հարթությամբ։ Հատվածից մինչև առանցք հեռավորությունը 3 սմ է: Գլանների բարձրությունը 4 սմ է:

Լուծում. Խաչաձեւ կտրվածքը ուղղանկյուն է։ Նրա մի կողմը համընկնում է գլանի բարձրության հետ, իսկ մյուսը հավասար է ակորդին։ Եթե ​​առաջին քանակությունը հայտնի է, ապա պետք է գտնել երկրորդը։

Դա անելու համար պետք է լրացուցիչ շինարարություն կատարվի: Հիմքում մենք նկարում ենք երկու հատված: Նրանք երկուսն էլ կսկսվեն շրջանագծի կենտրոնում: Առաջինը կավարտվի ակորդի կենտրոնում և հավասար հայտնի հեռավորությունըդեպի առանցքը. Երկրորդը ակորդի վերջում է։

Դուք կստանաք ուղղանկյուն եռանկյուն: Դրանում հայտնի են հիպոթենուսը և ոտքից մեկը։ Հիպոթենուսը համընկնում է շառավղով: Երկրորդ ոտքը հավասար է ակորդի կեսին։ Անհայտ ոտքը, որը բազմապատկվում է 2-ով, կտա ցանկալի ակորդի երկարությունը: Եկեք հաշվարկենք դրա արժեքը:

Անհայտ ոտքը գտնելու համար հարկավոր է քառակուսի դնել հիպոթենուսը և հայտնի ոտքը, առաջինից հանել երկրորդը և վերցնել քառակուսի արմատը: Քառակուսիները 25 և 9 են: Նրանց տարբերությունը 16 է: Քառակուսի արմատը վերցնելուց հետո մնում է 4-ը:

Ակորդը հավասար կլինի 4 * 2 = 8 (սմ): Այժմ դուք կարող եք հաշվարկել խաչմերուկի տարածքը `8 * 4 = 32 (սմ 2):

Պատասխան՝ S խաչը հավասար է 32 սմ 2:

Առաջադրանք թիվ 3.Անհրաժեշտ է հաշվարկել մխոցի առանցքային խաչմերուկի տարածքը: Հայտնի է, որ դրանում գրված է 10 սմ եզրով խորանարդ։

Լուծում. Գլանի առանցքային հատվածը համընկնում է ուղղանկյունի հետ, որն անցնում է խորանարդի չորս գագաթներով և պարունակում է նրա հիմքերի անկյունագծերը։ Խորանարդի կողմը մխոցի գեներատրիքսն է, իսկ հիմքի անկյունագիծը համընկնում է տրամագծի հետ։ Այս երկու քանակությունների արտադրանքը կտա այն տարածքը, որը դուք պետք է պարզեք խնդրի մեջ:

Տրամագիծը գտնելու համար հարկավոր է օգտագործել այն գիտելիքը, որ խորանարդի հիմքը քառակուսի է, իսկ նրա անկյունագիծը կազմում է հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյուն. Դրա հիպոթենուսը պատկերի ցանկալի անկյունագիծն է:

Այն հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր է Պյութագորասի թեորեմի բանաձևը. Պետք է քառակուսի դնել խորանարդի կողմը, այն բազմապատկել 2-ով և վերցնել քառակուսի արմատը։ Տասը երկրորդ ուժին հարյուր է։ 2-ով բազմապատկվածը երկու հարյուր է: 200-ի քառակուսի արմատը 10√2 է։

Հատվածը կրկին ուղղանկյուն է՝ 10 և 10√2 կողմերով։ Դրա տարածքը կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել՝ բազմապատկելով այս արժեքները:

Պատասխանել. S հատված = 100√2 սմ 2:

Դիտարկենք R շառավղով և h բարձրությամբ պտտվող գլան (նկ. 383): Այս մխոցի հիմքում մենք գրում ենք կանոնավոր բազմանկյուն(նկ. 383-ում՝ վեցանկյուն) և դրա օգնությամբ կկառուցենք մխոցում մակագրված կանոնավոր պրիզմա։ Նույն կերպ, դուք կարող եք նկարագրել կանոնավոր պրիզմաները մխոցի շուրջ կամայականությամբ մեծ թվովկողային եզրեր.

Ըստ սահմանման, մխոցի կողային մակերևույթի տարածքը համարվում է այն սահմանը, որին գծված և շրջագծված կանոնավոր պրիզմաների կողային մակերեսների մակերեսները ձգտում են, քանի որ դրանց կողային երեսների թիվն անսահման կրկնապատկվում է (կամ ընդհանուր առմամբ մեծանում է): ).

Այժմ մենք կապացուցենք, որ նման սահման կա։ Եթե ​​հիմք ընդունենք կանոնավոր եռանկյունու վրա կառուցված ներգծված կանոնավոր պրիզմա, ապա դրա կողային մակերեսի համար կունենանք արտահայտությունը, որտեղ է մխոցի հիմքի շրջանագծի մեջ ներգծված կանոնավոր եռանկյան պարագիծը։ ժամը . Նկարագրված պրիզմայի համար ճիշտ նույն հաշվարկը տալիս է նույն արդյունքը։ Այսպիսով, պտտման գլանների կողային մակերեսի մակերեսը արտահայտվում է բանաձևով

Մխոցի կողային մակերեսը հավասար է գեներատորի երկարության և հիմքի պարագծի (այսինքն՝ շրջագծի) արտադրյալին։

Խնդիր 1. Գլանի վերին և ստորին հիմքերի տրամագծորեն հակառակ A և B կետերը միացնող հատվածը 10 սմ է և 60° անկյան տակ թեքված է հիմքի հարթությանը։ Գտեք մխոցի կողային մակերեսի տարածքը:

Լուծում. L հատվածի միջով գծենք գլանային հիմքին ուղղահայաց հարթություն: Եռանկյունից մենք ունենք

որտեղ մենք գտնում ենք մխոցի կողային մակերեսի համար

Խնդիր 2. ABC եռանկյուն, որի A և B գագաթները մխոցի ստորին հիմքի տրամագծի ծայրերն են, իսկ C գագաթը նրան ուղղահայաց վերին հիմքի տրամագծի վերջն է՝ a կողմով հավասարաչափ,

Գտեք մխոցի կողային և ընդհանուր մակերեսների մակերեսը: Լուծում. Գլանի հիմքի շառավիղը հավասար է ABC եռանկյան բարձրությունը (նկ. 385) հավասար է, իսկ գլանների գեներատրիսը հաշվարկվում է որպես.

Այսպիսով, մխոցի կողային մակերեսը հավասար է

իսկ ընդհանուր մակերեսը (հավասար է կողային մակերեսի և գլանների երկու հիմքերի մակերեսի գումարին) հավասար է.

Զորավարժություններ

1. Կողային երեսների անկյունագծերը ուղղանկյուն զուգահեռականթեքված է հիմքի հարթությանը համապատասխանաբար հավասար անկյուններով: Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունագծի նույն հարթության թեքության անկյունը:

2. Ուղիղ զուգահեռականում հիմքի սուր անկյունը հավասար է a-ի, իսկ հիմքի կողմերից մեկը՝ a-ի: Այս կողմով և վերին հիմքի հակառակ եզրով գծված հատվածը ունի Q մակերես, և դրա հարթությունը թեքված է դեպի հիմքի հարթությունը անկյան տակ: Գտե՛ք զուգահեռականի ծավալը և ընդհանուր մակերեսը:

3. Թեք եռանկյուն պրիզմայի հիմքը հավասարաչափ ուղղանկյուն եռանկյուն է, իսկ կողային եզրերից մեկի ելքը հիմքի հարթության վրա համընկնում է եռանկյան ոտքերից մեկի միջին մ-ի հետ։ Գտե՛ք կողային կողերի թեքության անկյունը հիմքի հարթության նկատմամբ, եթե պրիզմայի ծավալը հավասար է V-ի։

4. Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայում հիմքի կողքով գծված են երկու հատված՝ 1) վերին հիմքի հակառակ կողմը պարունակող, 2) վերին հիմքի կենտրոնը պարունակող։ Պրիզմայի ո՞ր բարձրության վրա է ամենամեծ արժեքը հատվածի հարթությունների միջև ընկած անկյունը և ինչի՞ն է այն հավասար այս դեպքում: