Ինչպե՞ս գտնել տեղաշարժի մոդուլը ֆիզիկայում (Գուցե կա ինչ-որ ունիվերսալ բանաձև): Վեկտորներ և գործողություններ վեկտորների վրա Ինչ է վեկտորի վեկտորը

Միավոր վեկտոր- Սա վեկտոր, որի բացարձակ արժեքը (մոդուլը). մեկին հավասար. Միավոր վեկտորը նշելու համար մենք կօգտագործենք e-ն, եթե տրված է վեկտոր Ա, ապա դրա միավորի վեկտորը կլինի վեկտորը Աե. Այս միավորի վեկտորն ուղղված է նույն ուղղությամբ, ինչ որ ինքնին Ա, և դրա մոդուլը հավասար է մեկին, այսինքն՝ a e = 1։

Ակնհայտորեն, Ա= ա Աե (ա - վեկտորային մոդուլ Ա). Սա բխում է այն կանոնից, որով կատարվում է սկալարի վեկտորով բազմապատկելու գործողությունը։

Միավոր վեկտորներհաճախ կապված է կոորդինատային համակարգի կոորդինատային առանցքների հետ (մասնավորապես, դեկարտյան կոորդինատային համակարգի առանցքների հետ): Սրանց ուղղությունները վեկտորներհամընկնում են համապատասխան առանցքների ուղղություններին, և դրանց սկզբնաղբյուրը հաճախ զուգակցվում է կոորդինատային համակարգի սկզբնավորման հետ։

Հիշեցնեմ, որ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգՏիեզերքում ավանդաբար կոչվում է փոխադարձ ուղղահայաց առանցքների եռյակը, որոնք հատվում են մի կետում, որը կոչվում է կոորդինատների սկզբնավորում: Կոորդինատային առանցքներսովորաբար նշվում են X, Y, Z տառերով և կոչվում են համապատասխանաբար աբսցիսայի առանցք, օրդինատների առանցք և կիրառական առանցք: Ինքը՝ Դեկարտը, օգտագործել է միայն մեկ առանցք, որի վրա գծագրվել են աբսցիսներ։ Օգտագործման արժանիք համակարգերկացինները պատկանում են նրա ուսանողներին. Հետևաբար արտահայտությունը Դեկարտյան կոորդինատային համակարգպատմականորեն սխալ. Ավելի լավ է խոսել ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգկամ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ. Այնուամենայնիվ, մենք չենք փոխի ավանդույթները և ապագայում կենթադրենք, որ դեկարտյան և ուղղանկյուն (ուղղանկյուն) կոորդինատային համակարգերը նույնն են։

Միավոր վեկտոր X առանցքի երկայնքով ուղղված , նշվում է ես, միավոր վեկտոր, ուղղված Y առանցքի երկայնքով, նշվում է ժ, Ա միավոր վեկտոր, ուղղված Z առանցքի երկայնքով, նշվում է կ. Վեկտորներ ես, ժ, կկոչվում են օրթս(նկ. 12, ձախ), ունեն միայնակ մոդուլներ, այսինքն
i = 1, j = 1, k = 1:

Կացինները և միավոր վեկտորներ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգորոշ դեպքերում նրանք ունեն տարբեր անուններ և նշանակումներ: Այսպիսով, աբսցիսային առանցքը X կարելի է անվանել շոշափող առանցք, և նրա միավոր վեկտորը նշվում է. τ (հունարեն փոքրատառ tau), օրդինատների առանցքը նորմալ առանցքն է, որի միավորի միավորը նշվում է n, կիրառական առանցքը երկնորմալ առանցքն է, նրա միավոր վեկտորը նշվում է բ. Ինչու՞ փոխել անունները, եթե էությունը մնում է նույնը:

Բանն այն է, որ, օրինակ, մեխանիկայի մեջ, մարմինների շարժումն ուսումնասիրելիս, շատ հաճախ օգտագործվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը։ Այսպիսով, եթե կոորդինատային համակարգն ինքնին անշարժ է, և շարժվող օբյեկտի կոորդինատների փոփոխությունը հետևվում է այս անշարժ համակարգում, ապա սովորաբար առանցքները նշանակվում են X, Y, Z և դրանց միավոր վեկտորներհամապատասխանաբար ես, ժ, կ.

Բայց հաճախ, երբ օբյեկտը շարժվում է ինչ-որ կորագիծ ճանապարհով (օրինակ, շրջանագծով), ավելի հարմար է դիտարկել այս օբյեկտի հետ շարժվող կոորդինատային համակարգում մեխանիկական գործընթացները: Հենց այդպիսի շարժվող կոորդինատային համակարգի համար օգտագործվում են առանցքների և դրանց միավոր վեկտորների այլ անվանումներ։ Պարզապես այդպես է: Այս դեպքում X առանցքը շոշափելիորեն ուղղված է այն կետի հետագծին, որտեղ այս պահինայս օբյեկտը գտնվում է. Եվ հետո այս առանցքն այլևս չի կոչվում X առանցք, այլ շոշափող առանցք, և դրա միավոր վեկտորն այլևս նշանակված չէ ես, Ա τ . Y առանցքն ուղղված է հետագծի կորության շառավղով (շրջագծում շարժման դեպքում՝ դեպի շրջանագծի կենտրոն)։ Եվ քանի որ շառավիղը շոշափողին ուղղահայաց է, առանցքը կոչվում է նորմալ առանցք (ուղղահայացն ու նորմալը նույնն են)։ Այս առանցքի միավոր վեկտորն այլևս չի նշվում ժ, Ա n. Երրորդ առանցքը (նախկինում Z) ուղղահայաց է նախորդ երկուսին: Սա օրթի հետ երկնորմալ է բ(նկ. 12, աջ): Ի դեպ, այս դեպքում այդպիսին ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգհաճախ կոչվում է «բնական» կամ բնական:

Երկրաչափության մեջ վեկտորը էվկլիդյան տարածության մեջ ուղղորդված հատված կամ դասավորված զույգ կետեր է։ Օրտոմ վեկտորնորմալացված վեկտորային տարածության կամ վեկտորի միավոր վեկտորն է, որի նորման (երկարությունը) հավասար է մեկի։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Երկրաչափության իմացություն.

Հրահանգներ

Նախ անհրաժեշտ է հաշվարկել երկարությունը վեկտոր. Ինչպես հայտնի է, երկարությունը (մոդուլը) վեկտորհավասար է կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատին: Տրված է վեկտոր՝ a(3, 4) կոորդինատներով: Ապա դրա երկարությունը |ա| = (9 + 16)^1/2 կամ |a|=5.

Օրթ գտնելու համար վեկտորա, պետք է յուրաքանչյուրը բաժանել իր երկարությամբ։ Արդյունքը կլինի վեկտոր, որը կոչվում է ուղղանկյուն կամ միավոր վեկտոր: Համար վեկտոր a(3, 4) ort-ը կլինի a(3/5, 4/5) վեկտորը: Վեկտոր a`-ը կլինի միավորի համար վեկտորԱ.

Ստուգելու համար, թե արդյոք ort-ը ճիշտ է հայտնաբերվել, կարող եք անել հետևյալը. Եկեք ստուգենք, արդյոք ort a`-ը ճիշտ է գտնվել: Երկարություն վեկտոր a`-ը հավասար է՝ a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1: Այսպիսով, երկարությունը վեկտոր a`-ը հավասար է մեկի, ինչը նշանակում է, որ միավորի վեկտորը ճիշտ է գտնվել:

Վերջապես ձեռքս ընկավ մի ընդարձակ և երկար սպասված թեմայի վրա վերլուծական երկրաչափություն. Նախ՝ մի փոքր բարձրագույն մաթեմատիկայի այս բաժնի մասին... Անշուշտ, այժմ հիշում եք դպրոցական երկրաչափության դասընթացը բազմաթիվ թեորեմներով, դրանց ապացույցներով, գծագրերով և այլն: Ինչ թաքցնել, ուսանողների զգալի մասի համար չսիրված և հաճախ անհասկանալի թեմա: Վերլուծական երկրաչափությունը, տարօրինակ կերպով, կարող է ավելի հետաքրքիր և մատչելի թվալ: Ի՞նչ է նշանակում «վերլուծական» ածականը: Անմիջապես մտքիս են գալիս երկու սեղմված մաթեմատիկական արտահայտություններ՝ «լուծման գրաֆիկական մեթոդ» և « վերլուծական մեթոդլուծումներ»։ Գրաֆիկական մեթոդ, իհարկե, կապված է գրաֆիկների և գծագրերի կառուցման հետ։ Վերլուծականնույնը մեթոդներառում է խնդիրների լուծում հիմնականումհանրահաշվական գործողությունների միջոցով: Այս առումով, վերլուծական երկրաչափության գրեթե բոլոր խնդիրների լուծման ալգորիթմը պարզ է և թափանցիկ, հաճախ բավական է ուշադիր կիրառել անհրաժեշտ բանաձևերը, և պատասխանը պատրաստ է: Ոչ, իհարկե, մենք ընդհանրապես չենք կարողանա դա անել առանց գծագրերի, և բացի այդ, նյութը ավելի լավ հասկանալու համար ես կփորձեմ դրանք մեջբերել անհրաժեշտությունից դուրս:

Երկրաչափության դասերի նորաբաց դասընթացը տեսականորեն ավարտված չէ, այն ուղղված է գործնական խնդիրների լուծմանը. Դասախոսություններիս մեջ կներառեմ միայն այն, ինչը, իմ տեսանկյունից, կարևոր է գործնական առումով։ Եթե ​​որևէ ենթաբաժնի վերաբերյալ ավելի ամբողջական օգնության կարիք ունեք, խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ բավականին մատչելի գրականությունը.

1) Մի բան, որին, առանց կատակի, մի քանի սերունդ ծանոթ է. Երկրաչափության դպրոցական դասագիրք, հեղինակներ – Լ.Ս. Աթանասյանը և ընկերությունը. Դպրոցական հանդերձարանի այս կախիչն արդեն անցել է 20 (!) վերահրատարակություն, ինչը, իհարկե, սահմանը չէ։

2) Երկրաչափություն 2 հատորով. Հեղինակներ Լ.Ս. Աթանասյան, Բազիլև Վ.Տ.. Սա գրականություն է ավագ դպրոց, ձեզ հարկավոր կլինի առաջին հատորը. Հազվադեպ հանդիպող առաջադրանքները կարող են ընկնել իմ աչքից, և ուսումնական ձեռնարկանգնահատելի օգնություն կտրամադրի։

Երկու գրքերն էլ կարելի է անվճար ներբեռնել առցանց: Բացի այդ, դուք կարող եք օգտագործել իմ արխիվը պատրաստի լուծումներով, որոնք կարող եք գտնել էջում Ներբեռնեք օրինակներ բարձրագույն մաթեմատիկայից .

Գործիքների շարքում ես կրկին առաջարկում եմ իմ սեփական մշակումը. ծրագրային փաթեթ վերլուծական երկրաչափության մեջ, ինչը մեծապես կհեշտացնի կյանքը և շատ ժամանակ կխնայի։

Ենթադրվում է, որ ընթերցողը ծանոթ է հիմնական երկրաչափական հասկացություններին և պատկերներին՝ կետ, ուղիղ, հարթություն, եռանկյուն, զուգահեռագիծ, զուգահեռ գագաթ, խորանարդ և այլն։ Ցանկալի է հիշել որոշ թեորեմներ, գոնե Պյութագորասի թեորեմը, բարև կրկնողներին)

Եվ հիմա մենք կդիտարկենք հաջորդաբար՝ վեկտորի հասկացությունը, վեկտորներով գործողություններ, վեկտորային կոորդինատներ։ Խորհուրդ եմ տալիս շարունակել կարդալ ամենակարևոր հոդվածը Վեկտորների կետային արտադրյալ , և նաև Վեկտորների վեկտոր և խառը արտադրյալ . Տեղական առաջադրանքն ավելորդ չի լինի. Այս առումով հատվածի բաժանում. Վերոնշյալ տեղեկատվության հիման վրա կարող եք տիրապետել հարթության մեջ գծի հավասարումը Հետ լուծումների ամենապարզ օրինակներ , ինչը թույլ կտա սովորել լուծել երկրաչափական խնդիրներ . Հետևյալ հոդվածները նույնպես օգտակար են. Ինքնաթիռի հավասարումը տարածության մեջ , Տիեզերքում գծի հավասարումներ , Հիմնական խնդիրներ ուղիղ գծերի և հարթությունների վրա, անալիտիկ երկրաչափության այլ ճյուղեր։ Բնականաբար, ճանապարհին կդիտարկվեն ստանդարտ առաջադրանքներ։

Վեկտորի հայեցակարգ. Ազատ վեկտոր

Նախ, եկեք կրկնենք վեկտորի դպրոցական սահմանումը: Վեկտորկանչեց ուղղորդվածհատված, որի համար նշվում են դրա սկիզբը և ավարտը.

Այս դեպքում հատվածի սկիզբը կետն է, հատվածի վերջը՝ կետը։ Վեկտորն ինքնին նշանակվում է . Ուղղությունէական է, եթե սլաքը տեղափոխեք հատվածի մյուս ծայրը, դուք ստանում եք վեկտոր, և սա արդեն կա բոլորովին այլ վեկտոր. Վեկտոր հասկացությունը հարմար է նույնացնել ֆիզիկական մարմնի շարժման հետ՝ պետք է համաձայնեք, ինստիտուտի դռներից մտնելը կամ ինստիտուտի դռներից դուրս գալը բոլորովին այլ բաներ են։

Հարմար է հարթության կամ տարածության առանձին կետեր համարել այսպես կոչված զրոյական վեկտոր. Նման վեկտորի համար վերջն ու սկիզբը համընկնում են։

!!! Նշում. Այստեղ և հետագա, կարող եք ենթադրել, որ վեկտորները գտնվում են նույն հարթության մեջ կամ կարող եք ենթադրել, որ դրանք տեղակայված են տարածության մեջ. ներկայացված նյութի էությունը վավեր է և՛ հարթության, և՛ տարածության համար:

Նշումներ:Շատերն անմիջապես նկատեցին նշման մեջ առանց նետի փայտը և ասացին, որ վերևում կա նաև սլաք: Ճիշտ է, կարելի է սլաքով գրել՝ , բայց դա նույնպես հնարավոր է մուտքը, որը ես կօգտագործեմ ապագայում. Ինչո՞ւ։ Ըստ երևույթին, այս սովորությունը ձևավորվել է պրակտիկ պատճառներով, իմ հրաձիգները դպրոցում և համալսարանում շատ տարբեր չափերի են եղել և բրդոտ: IN ուսումնական գրականություներբեմն նրանք ընդհանրապես չեն անհանգստանում սեպագիր գրավորությամբ, այլ ընդգծում են տառերը՝ թավերով՝ դրանով իսկ ակնարկելով, որ սա վեկտոր է:

Դա ոճաբանություն էր, իսկ այժմ վեկտորներ գրելու եղանակների մասին.

1) Վեկտորները կարող են գրվել երկու մեծատառ լատինատառով.
եւ այլն։ Այս դեպքում առաջին տառը Պարտադիրնշանակում է վեկտորի սկզբի կետը, իսկ երկրորդ տառը՝ վեկտորի վերջնակետը։

2) Վեկտորները գրվում են նաև փոքր լատինատառ տառերով.
Մասնավորապես, հակիրճության համար մեր վեկտորը կարող է վերանշանակվել որպես փոքր Լատինական տառ.

Երկարությունկամ մոդուլՈչ զրոյական վեկտորը կոչվում է հատվածի երկարություն: Զրոյական վեկտորի երկարությունը զրո է։ Տրամաբանական.

Վեկտորի երկարությունը նշվում է մոդուլի նշանով.

Մենք կսովորենք, թե ինչպես գտնել վեկտորի երկարությունը (կամ կկրկնենք այն՝ կախված նրանից, թե ով) մի փոքր ուշ։

Սա բոլոր դպրոցականներին ծանոթ տարրական տեղեկատվություն էր վեկտորների մասին։ Վերլուծական երկրաչափության մեջ այսպես կոչված ազատ վեկտոր.

Պարզ ասած - վեկտորը կարելի է գծագրել ցանկացած կետից:

Մենք սովոր ենք նման վեկտորները անվանել հավասար (հավասար վեկտորների սահմանումը կներկայացնենք ստորև), բայց զուտ մաթեմատիկական տեսանկյունից դրանք ՆՈՒՅՆ ՎԵԿՏՈՐՆ են կամ. ազատ վեկտոր. Ինչու՞ անվճար: Որովհետև խնդիրների լուծման ընթացքում կարող եք «կցել» այս կամ այն ​​«դպրոցական» վեկտորը հարթության կամ տարածության ՑԱՆԿԱՑԱԾ կետին, որը ձեզ անհրաժեշտ է։ Սա շատ հիանալի հատկություն է: Պատկերացրեք կամայական երկարության և ուղղության ուղղորդված հատվածը. այն կարելի է «կլոնավորել» անսահման թվով անգամ և տարածության ցանկացած կետում, իրականում այն ​​գոյություն ունի ԱՄԵՆ ՈՒՐ: Ուսանողական այսպիսի արտահայտություն կա. «Յուրաքանչյուր դասախոս վեկտորի մասին պախարակում է»: Ի վերջո, դա պարզապես սրամիտ հանգ չէ, ամեն ինչ գրեթե ճիշտ է. այնտեղ նույնպես կարելի է ուղղորդված հատված ավելացնել: Բայց մի շտապեք ուրախանալ, հաճախ տառապում են հենց իրենք՝ ուսանողները =)

Այսպիսով, ազատ վեկտոր- Սա շատերը նույնական ուղղված հատվածներ: Պարբերության սկզբում տրված վեկտորի դպրոցական սահմանումը. «Ուղղորդված հատվածը կոչվում է վեկտոր...», ենթադրում է. կոնկրետուղղորդված հատված՝ վերցված տվյալ բազմությունից, որը կապված է հարթության կամ տարածության որոշակի կետի հետ։

Հարկ է նշել, որ ֆիզիկայի տեսակետից ազատ վեկտոր հասկացությունն ընդհանուր առմամբ ճիշտ չէ, և կարևոր է կիրառման կետը։ Իսկապես, նույն ուժի ուղիղ հարվածը քթին կամ ճակատին, որը բավական է իմ հիմար օրինակը զարգացնելու համար, տարբեր հետևանքներ է առաջացնում։ Այնուամենայնիվ, անազատվեկտորներ հանդիպելև դուք տեղյակ եք վիշմատից (մի գնացեք այնտեղ :)):

Գործողություններ վեկտորներով. Վեկտորների համայնություն

IN դպրոցական դասընթացերկրաչափություն, դիտարկվում են վեկտորներով մի շարք գործողություններ և կանոններ. գումարում ըստ եռանկյունու կանոնի, գումարում ըստ զուգահեռագծի կանոնի, վեկտորի տարբերության կանոն, վեկտորի բազմապատկում թվով, վեկտորների սկալյար արտադրյալ և այլն։Որպես ելակետ կրկնենք երկու կանոն, որոնք հատկապես կարևոր են վերլուծական երկրաչափության խնդիրների լուծման համար։

Եռանկյունի կանոնի միջոցով վեկտորներ ավելացնելու կանոնը

Դիտարկենք երկու կամայական ոչ զրոյական վեկտորներ և.

Դուք պետք է գտնեք այս վեկտորների գումարը: Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ բոլոր վեկտորները համարվում են ազատ, մենք մի կողմ ենք դնում վեկտորը վերջվեկտոր:

Վեկտորների գումարը վեկտորն է: Կանոնն ավելի լավ հասկանալու համար խորհուրդ է տրվում ներառել ֆիզիկական իմաստԹող որոշ մարմին շարժվի վեկտորի երկայնքով, այնուհետև վեկտորի երկայնքով: Այնուհետև վեկտորների գումարը ստացված ուղու վեկտորն է՝ սկիզբը մեկնման կետում և վերջը՝ ժամանման կետում: Նմանատիպ կանոն ձևակերպված է ցանկացած թվով վեկտորների գումարի համար: Ինչպես ասում են, մարմինը կարող է գնալ շատ թեքված զիգզագի երկայնքով, կամ միգուցե ավտոպիլոտով` ստացված գումարի վեկտորի երկայնքով:

Ի դեպ, եթե վեկտորը հետաձգվի ից սկսվել էվեկտոր, ապա ստանում ենք համարժեքը զուգահեռագծի կանոնվեկտորների ավելացում.

Նախ՝ վեկտորների համակողմանիության մասին։ Երկու վեկտորները կոչվում են համագիծ, եթե նրանք ընկած են նույն կամ զուգահեռ գծերի վրա։ Կոպիտ ասած՝ խոսքը զուգահեռ վեկտորների մասին է։ Բայց դրանց առնչությամբ միշտ օգտագործվում է «collinear» ածականը։

Պատկերացրեք երկու համագիծ վեկտոր: Եթե ​​այս վեկտորների սլաքներն ուղղված են նույն ուղղությամբ, ապա այդպիսի վեկտորները կոչվում են համահեղինակ. Եթե ​​սլաքները ուղղված են տարբեր ուղղություններով, ապա վեկտորները կլինեն հակառակ ուղղություններ.

Նշումներ:վեկտորների համակցվածությունը գրվում է սովորական զուգահեռականության նշանով.

ԱշխատանքըԹվի վրա ոչ զրոյական վեկտորն այն վեկտորն է, որի երկարությունը հավասար է, իսկ վեկտորները և ուղղորդված են դեպի և հակառակ ուղղությամբ:

Վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնն ավելի հեշտ է հասկանալ նկարի օգնությամբ.

Դիտարկենք ավելի մանրամասն.

1) ուղղություն. Եթե ​​բազմապատկիչը բացասական է, ապա վեկտորը փոխում է ուղղությունըդեպի հակառակը.

2) երկարությունը. Եթե ​​բազմապատկիչը պարունակվում է կամ , ապա վեկտորի երկարությունը նվազում է. Այսպիսով, վեկտորի երկարությունը վեկտորի երկարության կեսն է: Եթե ​​բազմապատկիչի մոդուլը մեկից մեծ է, ապա վեկտորի երկարությունը ավելանում էերբեմն.

3) Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բոլոր վեկտորները համակողմանի են, մինչդեռ մի վեկտորն արտահայտվում է մյուսի միջոցով, օրինակ՝ . Ճիշտ է նաև հակառակըԵթե ​​մի վեկտորը կարող է արտահայտվել մյուսի միջոցով, ապա այդպիսի վեկտորները անպայման համագիծ են: Այսպիսով. եթե վեկտորը բազմապատկենք թվով, կստանանք համագիծ(բնօրինակի համեմատ) վեկտոր.

4) վեկտորները համահեղինակված են. Վեկտորները և նաև համատեղ ուղղորդված են: Առաջին խմբի ցանկացած վեկտոր հակառակ ուղղված է երկրորդ խմբի ցանկացած վեկտորի նկատմամբ:

Ո՞ր վեկտորներն են հավասար:

Երկու վեկտոր հավասար են, եթե նույն ուղղությամբ են և ունեն նույն երկարությունը . Նկատի ունեցեք, որ համակողմանիությունը ենթադրում է վեկտորների համակողմանիություն: Սահմանումը կլիներ ոչ ճշգրիտ (ավելորդ), եթե ասեինք. «Երկու վեկտորները հավասար են, եթե դրանք համակողմանի են, համակողմանի են և ունեն նույն երկարությունը»:

Ազատ վեկտորի հայեցակարգի տեսանկյունից հավասար վեկտորները նույն վեկտորն են, ինչպես քննարկվել է նախորդ պարբերությունում։

Վեկտորային կոորդինատները հարթության վրա և տարածության մեջ

Առաջին կետը հարթության վրա վեկտորները դիտարկելն է: Եկեք պատկերենք դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ և գծագրենք այն կոորդինատների սկզբնաղբյուրից միայնակվեկտորներ և.

Վեկտորներ և ուղղանկյուն. Ուղղանկյուն = Ուղղահայաց: Խորհուրդ եմ տալիս կամաց-կամաց ընտելանալ տերմիններին. զուգահեռության և ուղղահայացության փոխարեն օգտագործում ենք համապատասխանաբար բառերը. համակցվածությունԵվ ուղղանկյունություն.

Նշանակում:Վեկտորների ուղղանկյունությունը գրվում է սովորական ուղղահայացության նշանով, օրինակ՝ .

Դիտարկվող վեկտորները կոչվում են կոորդինատային վեկտորներկամ օրթս. Այս վեկտորները ձևավորվում են հիմքինքնաթիռում. Թե ինչ է հիմքը, կարծում եմ, ինտուիտիվորեն պարզ է շատերի համար, ավելին մանրամասն տեղեկություններկարելի է գտնել հոդվածում Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորների հիմքը Պարզ խոսքերով, կոորդինատների հիմքը և ծագումը սահմանում են ամբողջ համակարգը. սա մի տեսակ հիմք է, որի վրա եռում է լիարժեք և հարուստ երկրաչափական կյանք:

Երբեմն կառուցված հիմքը կոչվում է օրթոնորմալհարթության հիմքը՝ «օրթո» - քանի որ կոորդինատների վեկտորները ուղղանկյուն են, «նորմալացված» ածականը նշանակում է միավոր, այսինքն. հիմքի վեկտորների երկարությունները հավասար են մեկի։

Նշանակում:հիմքը սովորաբար գրվում է փակագծերում, որի ներսում խիստ հաջորդականությամբթվարկված են հիմքի վեկտորները, օրինակ՝ . Կոորդինատների վեկտորներ դա արգելված էվերադասավորել.

Ցանկացածհարթության վեկտոր միակ ճանապարհըարտահայտված որպես.
, Որտեղ - թվերորոնք կոչվում են վեկտորի կոորդինատներըայս հիմքում։ Եվ ինքնին արտահայտությունը կանչեց վեկտորի տարրալուծումհիմքով .

Մատուցվող ընթրիք.

Սկսենք այբուբենի առաջին տառից. Գծանկարը հստակ ցույց է տալիս, որ վեկտորը հիմքի բաժանելիս օգտագործվում են հենց նոր քննարկվածները.
1) վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնը՝ և ;
2) վեկտորների գումարում ըստ եռանկյունու կանոնի՝ .

Այժմ մտովի գծեք վեկտորը հարթության ցանկացած այլ կետից: Ակնհայտ է, որ նրա քայքայումը «անխնա կհետևի նրան»։ Ահա, վեկտորի ազատությունը. վեկտորը «ամեն ինչ տանում է իր հետ»: Այս հատկությունը, իհարկե, ճիշտ է ցանկացած վեկտորի համար: Ծիծաղելի է, որ հիմքը (անվճար) վեկտորները պետք չէ գծագրել սկզբնաղբյուրից, օրինակ, ներքևի ձախ կողմում, իսկ մյուսը վերևի աջ կողմում, և ոչինչ չի փոխվի: Ճիշտ է, դա անելու կարիք չկա, քանի որ ուսուցիչը նույնպես ինքնատիպություն կցուցաբերի և ձեզ «վարկ» կտա անսպասելի վայրում:

Վեկտորները ճիշտ պատկերում են վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնը, վեկտորը համակողմանի է բազային վեկտորի հետ, վեկտորն ուղղված է բազային վեկտորի հակառակը: Այս վեկտորների համար կոորդինատներից մեկը հավասար է զրոյի, դուք կարող եք մանրակրկիտ գրել այսպես.


Իսկ հիմքի վեկտորները, ի դեպ, այսպիսին են՝ (իրականում արտահայտվում են իրենց միջոցով)։

Եվ վերջապես. , . Ի դեպ, ի՞նչ է վեկտորային հանումը, և ինչու ես չխոսեցի հանման կանոնի մասին: Ինչ-որ տեղ ներսում գծային հանրահաշիվ, չեմ հիշում որտեղ, ես նկատեցի, որ հանումը գումարման հատուկ դեպք է։ Այսպիսով, «de» և «e» վեկտորների ընդլայնումները հեշտությամբ գրվում են որպես գումար. . Հետևեք գծագրին, որպեսզի տեսնեք, թե այս իրավիճակներում որքան հստակ է աշխատում վեկտորների հին լավ գումարումը, ըստ եռանկյունու կանոնի:

Ձևի դիտարկված տարրալուծումը երբեմն կոչվում է վեկտորային տարրալուծում օրթ համակարգում(այսինքն՝ միավոր վեկտորների համակարգում): Բայց սա վեկտոր գրելու միակ միջոցը չէ, տարածված է հետևյալ տարբերակը.

Կամ հավասար նշանով.

Հիմքի վեկտորներն իրենք գրված են հետևյալ կերպ

Այսինքն՝ վեկտորի կոորդինատները նշվում են փակագծերում։ Գործնական խնդիրներում օգտագործվում են նշագրման բոլոր երեք տարբերակները։

Ես կասկածում էի խոսելու մասին, բայց ամեն դեպքում կասեմ. վեկտորի կոորդինատները չեն կարող վերադասավորվել. Խստորեն առաջին տեղումմենք գրում ենք կոորդինատը, որը համապատասխանում է միավորի վեկտորին, խստորեն երկրորդ տեղումմենք գրում ենք կոորդինատը, որը համապատասխանում է միավորի վեկտորին: Իրոք, և երկու տարբեր վեկտորներ են:

Մենք պարզեցինք ինքնաթիռի կոորդինատները: Հիմա եկեք նայենք վեկտորներին եռաչափ տարածության մեջ, այստեղ գրեթե ամեն ինչ նույնն է: Դա պարզապես կավելացնի ևս մեկ կոորդինատ: Դժվար է եռաչափ նկարներ անելը, ուստի ես կսահմանափակվեմ մեկ վեկտորով, որը պարզության համար մի կողմ կդնեմ ծագումից.

Ցանկացածվեկտոր եռաչափ տարածությունԿարող է միակ ճանապարհըընդլայնել օրթոնորմալ հիմունքներով.
, որտեղ են վեկտորի (թվի) կոորդինատները այս հիմքում։

Օրինակ նկարից. . Տեսնենք, թե այստեղ ինչպես են աշխատում վեկտորի կանոնները: Նախ՝ վեկտորը բազմապատկելով թվով (կարմիր սլաք), (կանաչ սլաք) և (ազնվամորու սլաք): Երկրորդ, ահա մի քանի, այս դեպքում երեք, վեկտորներ ավելացնելու օրինակ. Գումարի վեկտորը սկսվում է սկզբնական մեկնման կետից (վեկտորի սկզբում) և ավարտվում վերջնակետում (վեկտորի վերջում):

Եռաչափ տարածության բոլոր վեկտորները, բնականաբար, նույնպես ազատ են։

Հարթ գործի նման, բացի գրավորից լայնորեն կիրառվում են փակագծերով տարբերակները՝ կամ .

Եթե ​​ընդլայնման մեջ բացակայում է մեկ (կամ երկու) կոորդինատային վեկտոր, ապա դրանց տեղում զրոներ են դրվում։ Օրինակներ.
վեկտոր (մանրամասն ) – գրենք;
վեկտոր (մանրամասն) – գրել;
վեկտոր (մանրամասն ) – գրենք։

Հիմնական վեկտորները գրված են հետևյալ կերպ.

Սա, հավանաբար, ամբողջ նվազագույնն է տեսական գիտելիքներ, անհրաժեշտ անալիտիկ երկրաչափության խնդիրների լուծման համար։ Կարող են լինել շատ տերմիններ և սահմանումներ, ուստի խորհուրդ եմ տալիս, որ թեյնիկները նորից կարդան և ըմբռնեն այս տեղեկատվությունը: Եվ ցանկացած ընթերցողի համար օգտակար կլինի ժամանակ առ ժամանակ անդրադառնալ հիմնական դասին՝ նյութն ավելի լավ յուրացնելու համար։ Համագծայինություն, ուղղանկյունություն, օրթոնորմալ հիմք, վեկտորային տարրալուծում - այս և այլ հասկացությունները հաճախ կկիրառվեն ապագայում: Կցանկանայի նշել, որ կայքի նյութերը բավարար չեն երկրաչափության տեսական թեստ կամ կոլոքվիում անցնելու համար, քանի որ ես ուշադիր ծածկագրում եմ բոլոր թեորեմները (և առանց ապացույցների)՝ ի վնաս գիտական ​​ոճներկայացում, բայց գումարած թեմայի ձեր ըմբռնման համար: Մանրամասն տեսական տեղեկատվություն ստանալու համար խնդրում ենք խոնարհվել պրոֆեսոր Աթանասյանի առաջ։

Եվ մենք անցնում ենք գործնական մասին.

Անալիտիկ երկրաչափության ամենապարզ խնդիրները.
Գործողություններ վեկտորների հետ կոորդինատներում

Խիստ նպատակահարմար է սովորել, թե ինչպես լուծել առաջադրանքները, որոնք կքննարկվեն լիովին ավտոմատ կերպով, և բանաձևերը անգիր անել, նույնիսկ պետք չէ միտումնավոր հիշել, նրանք իրենք կհիշեն =) Սա շատ կարևոր է, քանի որ անալիտիկ երկրաչափության այլ խնդիրները հիմնված են ամենապարզ տարրական օրինակների վրա, և ձանձրալի կլինի հավելյալ ժամանակ հատկացնել լոմբարդ ուտելու վրա։ . Շապիկի վերևի կոճակները կապելու կարիք չկա։

Նյութի ներկայացումը կանցնի զուգահեռ ընթացքով՝ և՛ հարթության, և՛ տիեզերքի համար: Այն պատճառով, որ բոլոր բանաձեւերը... ինքներդ կտեսնեք։

Ինչպե՞ս գտնել վեկտոր երկու կետից:

Եթե ​​հարթության երկու կետերը տրված են, ապա վեկտորն ունի հետևյալ կոորդինատները.

Եթե ​​տարածության երկու կետ տրված է, ապա վեկտորն ունի հետևյալ կոորդինատները.

Այսինքն՝ վեկտորի վերջի կոորդինատներիցպետք է հանել համապատասխան կոորդինատները վեկտորի սկիզբը.

Զորավարժություններ:Նույն կետերի համար գրի՛ր վեկտորի կոորդինատները գտնելու բանաձևերը։ Բանաձևեր դասի վերջում.

Օրինակ 1

Տրված են հարթության երկու կետերը և . Գտեք վեկտորի կոորդինատները

Լուծում:համապատասխան բանաձևի համաձայն.

Որպես այլընտրանք, կարող է օգտագործվել հետևյալ գրառումը.

Էսթետները կորոշեն սա.

Անձամբ ես սովոր եմ ձայնագրության առաջին տարբերակին։

Պատասխան.

Ըստ պայմանի, պետք չէր գծագիր կառուցել (որը բնորոշ է վերլուծական երկրաչափության խնդիրներին), բայց դեբիլների համար որոշ կետեր պարզաբանելու համար ես չեմ ծուլանա.

Դուք անպայման պետք է հասկանաք կետային կոորդինատների և վեկտորի կոորդինատների միջև տարբերությունը:

Կետերի կոորդինատները– սրանք սովորական կոորդինատներ են ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում: Միավորներ դրեք կոորդինատային հարթությունԿարծում եմ՝ բոլորը կարող են դա անել 5-6-րդ դասարանից սկսած։ Յուրաքանչյուր կետ ինքնաթիռում խիստ տեղ ունի, և դրանք ոչ մի տեղ չեն կարող տեղափոխվել։

Վեկտորի կոորդինատները– սա դրա ընդլայնումն է ըստ հիմքի, տվյալ դեպքում։ Ցանկացած վեկտոր ազատ է, ուստի ցանկության դեպքում կամ անհրաժեշտության դեպքում մենք հեշտությամբ կարող ենք այն հեռացնել հարթության այլ կետից: Հետաքրքիր է, որ վեկտորների համար ընդհանրապես պետք չէ կառուցել առանցքներ կամ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, ձեզ հարկավոր է միայն հիմք, այս դեպքում՝ հարթության օրթոնորմալ հիմք:

Կետերի կոորդինատների և վեկտորների կոորդինատների գրառումները կարծես նման են՝ , և կոորդինատների նշանակությունըբացարձակապես տարբեր, և դուք պետք է լավ գիտակցեք այս տարբերությունը: Այս տարբերությունը, իհարկե, վերաբերում է նաև տիեզերքին։

Տիկնայք և պարոնայք, եկեք լցնենք մեր ձեռքերը.

Օրինակ 2

ա) Միավորներ և տրված են. Գտեք վեկտորներ և.
բ) Տրված են միավորներ Եվ . Գտեք վեկտորներ և.
գ) Միավորներ և տրված են: Գտեք վեկտորներ և.
դ) Տրված են միավորներ: Գտեք վեկտորներ .

Երևի բավական է։ Սրանք օրինակներ են անկախ որոշում, աշխատեք չանտեսել դրանք, դա կտա արդյունք ;-): Նկարներ անելու կարիք չկա։ Լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում:

Ի՞նչն է կարևոր անալիտիկ երկրաչափության խնդիրներ լուծելիս:Կարևոր է չափազանց զգույշ լինել՝ խուսափելու համար «երկուսին գումարած երկու հավասար է զրոյի» վարպետ սխալը թույլ չտալու համար: Անմիջապես ներողություն եմ խնդրում, եթե ինչ-որ տեղ սխալ եմ թույլ տվել =)

Ինչպե՞ս գտնել հատվածի երկարությունը:

Երկարությունը, ինչպես արդեն նշվել է, նշվում է մոդուլի նշանով։

Եթե ​​հարթության երկու կետերը տրված են և , ապա հատվածի երկարությունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

Եթե ​​տրված են երկու կետ տարածության մեջ, ապա հատվածի երկարությունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

Նշում. Բանաձևերը ճիշտ կմնան, եթե համապատասխան կոորդինատները փոխվեն՝ և , բայց առաջին տարբերակը ավելի ստանդարտ է։

Օրինակ 3

Լուծում:համապատասխան բանաձևի համաձայն.

Պատասխան.

Պարզության համար ես նկար կկատարեմ

Հատված - սա վեկտոր չէ, և, իհարկե, դուք չեք կարող այն տեղափոխել որևէ տեղ: Բացի այդ, եթե նկարում եք մասշտաբով՝ 1 միավոր: = 1 սմ (երկու նոթատետրային բջիջ), ապա ստացված պատասխանը կարելի է ստուգել սովորական քանոնով՝ ուղղակիորեն չափելով հատվածի երկարությունը։

Այո, լուծումը կարճ է, բայց դրա մեջ կան ևս մի քանիսը կարևոր կետերոր ուզում եմ պարզաբանել.

Նախ, պատասխանում մենք դնում ենք չափը՝ «միավոր»: Վիճակը չի ասում, թե ինչ է դա, միլիմետր, սանտիմետր, մետր կամ կիլոմետր: Հետևաբար, մաթեմատիկորեն ճիշտ լուծումը կլինի ընդհանուր ձևակերպումը. «միավորներ» - կրճատված որպես «միավորներ»:

Երկրորդ, կրկնենք դպրոցական նյութը, որն օգտակար է ոչ միայն դիտարկված առաջադրանքի համար.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ կարևոր տեխնիկական տեխնիկա – բազմապատկիչը արմատի տակից հեռացնելը. Հաշվարկների արդյունքում մենք ունենք արդյունք, և լավ մաթեմատիկական ոճը ներառում է գործակիցը արմատի տակից հանելը (եթե հնարավոր է): Ավելի մանրամասն, գործընթացը նման է հետևյալին. . Անշուշտ, պատասխանը թողնելն այնպիսին, ինչպիսին կա, սխալ չի լինի, բայց անշուշտ թերացում և ծանրակշիռ փաստարկ կլինի ուսուցչի կողմից:

Ահա այլ սովորական դեպքեր.

Հաճախ արմատից բավական է մեծ թվով, Օրինակ . Ի՞նչ անել նման դեպքերում: Օգտագործելով հաշվիչը՝ ստուգում ենք՝ արդյոք թիվը բաժանվում է 4-ի: Այո, այն ամբողջությամբ բաժանվեց, այսպես. . Կամ գուցե թիվը կրկին կարելի է բաժանել 4-ի? . Այսպիսով. . Թվի վերջին թվանշանը կենտ է, ուստի երրորդ անգամ 4-ի բաժանելն ակնհայտորեն չի աշխատի: Փորձենք բաժանել ինը. Արդյունքում.
Պատրաստ.

Եզրակացություն:եթե արմատի տակ մենք ստանում ենք մի թիվ, որը չի կարող արդյունահանվել որպես ամբողջություն, ապա մենք փորձում ենք արմատի տակից հանել գործակիցը - հաշվիչի միջոցով ստուգում ենք, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 4, 9, 16, 25, 36, 49 և այլն:

Որոշման ընթացքում տարբեր առաջադրանքներարմատները սովորական են, միշտ փորձեք արմատից դուրս հանել գործոնները, որպեսզի խուսափեք ավելի ցածր գնահատականից և ավելորդ խնդիրներից՝ ձեր լուծումները վերջնական տեսքի բերելու համար՝ հիմնվելով ուսուցչի մեկնաբանությունների վրա:

Կրկնենք նաև քառակուսի արմատները և այլ ուժերը.

Դիպլոմներով գործողությունների կանոններ ընդհանուր տեսարանկարելի է գտնել դպրոցական դասագիրքհանրահաշիվում, բայց, կարծում եմ, բերված օրինակներից ամեն ինչ կամ գրեթե ամեն ինչ արդեն պարզ է։

Տիեզերքում հատվածով անկախ լուծման առաջադրանք.

Օրինակ 4

Միավորներ և տրվում են: Գտեք հատվածի երկարությունը:

Լուծումը և պատասխանը՝ դասի վերջում։

Ինչպե՞ս գտնել վեկտորի երկարությունը:

Եթե ​​տրված է հարթ վեկտոր, ապա դրա երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

Եթե ​​տրված է տիեզերական վեկտոր, ապա դրա երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով .

Կամ միավորի վեկտորը (նորմալացված վեկտորային տարածության միավոր վեկտորը) վեկտոր է, որի նորմը (երկարությունը) հավասար է մեկի։ Միավոր վեկտոր ... Վիքիպեդիա

- (ort) վեկտոր, որի երկարությունը հավասար է ընտրված սանդղակի միավորին... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

- (ort), վեկտոր, որի երկարությունը հավասար է ընտրված սանդղակի միավորին։ * * * ՄԻԱՎՈՐ ՎԵԿՏՈՐԻ ՄԻԱՎՈՐ ՎԵԿՏՈՐ (ort), վեկտոր, որի երկարությունը հավասար է ընտրված սանդղակի միավորին... Հանրագիտարանային բառարան

Օրտ, վեկտոր, որի երկարությունը հավասար է ընտրված սանդղակի միավորին։ Ցանկացած վեկտոր a կարելի է ձեռք բերել որոշ E.v-ից: e՝ բազմապատկելով λ թվով (սկալար), այսինքն՝ a = λe: Տես նաև Վեկտորային հաշվարկ... Մեծ Խորհրդային հանրագիտարան

- (ort), վեկտոր, որի երկարությունը հավասար է ընտրված սանդղակի միավորին... Բնական գիտություն. Հանրագիտարանային բառարան

Օրթ. Վիքիբառարանում կա «օրթ» հոդված Օրթ կամ Օրթ երկգլխանի շունը, Տիֆոնի և Էխիդնայի սերունդը, Կերբերոսի եղբայրը: Օրթ ... Վիքիպեդիա

Ա; մ [գերմաներեն] Օրտ] 1. Հորն. Հորիզոնական ստորգետնյա հանքի բացվածք, որն ուղղակիորեն մուտք չունի մակերեսին: 2. մաթ. Վեկտոր, որի երկարությունը հավասար է մեկի: * * * միավորի վեկտոր I (հունարեն orthós straight-ից), նույնն է, ինչ միավոր վեկտորը։ II (գերմաներեն... ... Հանրագիտարանային բառարան