Ինչպես բազմապատկել 2x2 մատրիցները: Մատրիցային բազմապատկում. Մատրիցային հզորացում

Այսպիսով, նախորդ դասում մենք նայեցինք մատրիցների գումարման և հանման կանոններին: Սրանք այնքան պարզ գործողություններ են, որ ուսանողների մեծամասնությունը դրանք հասկանում է բառացիորեն անմիջապես:

Այնուամենայնիվ, դուք շուտ եք ուրախանում: Անվճարն ավարտվեց. անցնենք բազմապատկմանը: Անմիջապես կզգուշացնեմ. երկու մատրիցաների բազմապատկումն ամենևին էլ նույն կոորդինատներով բջիջներում թվերի բազմապատկում չէ, ինչպես կարող եք մտածել: Այստեղ ամեն ինչ շատ ավելի զվարճալի է: Եվ մենք ստիպված կլինենք սկսել նախնական սահմանումներից։

Համապատասխան մատրիցներ

Մատրիցայի ամենակարևոր բնութագրիչներից մեկը դրա չափն է: Մենք արդեն հարյուր անգամ խոսել ենք այս մասին. $A=\left[ m\times n \right]$ նշումը նշանակում է, որ մատրիցն ունի ուղիղ $m$ տողեր և $n$ սյունակներ։ Մենք նաև արդեն քննարկել ենք, թե ինչպես չշփոթել տողերը սյունակների հետ։ Հիմա այլ բան է կարևոր։

Սահմանում. $A=\left[ m\times n \right]$ և $B=\left[n\times k \right]$ ձևի մատրիցներ, որոնցում առաջին մատրիցում սյունակների թիվը համընկնում է տողերի քանակի հետ։ երկրորդում կոչվում են հետևողական։

Եվս մեկ անգամ. առաջին մատրիցում սյունակների թիվը հավասար է երկրորդի տողերի թվին: Այստեղից մենք միանգամից երկու եզրակացություն ենք ստանում.

1. Մեզ համար կարևոր է մատրիցների հերթականությունը։ Օրինակ՝ $A=\left[ 3\times 2 \right]$ and $B=\left[ 2\times 5 \right]$ մատրիցները համահունչ են (առաջին մատրիցում 2 սյունակ, երկրորդում՝ 2 տող) , բայց հակառակը — $B=\left[ 2\times 5 \right]$ and $A=\left[ 3\times 2 \right]$ մատրիցներն այլևս համահունչ չեն (առաջին մատրիցի 5 սյունակները 3 տող չեն։ երկրորդում):
2. Հետևողականությունը կարելի է հեշտությամբ ստուգել՝ մեկը մյուսի հետևից գրելով բոլոր չափերը: Օգտագործելով նախորդ պարբերության օրինակը. «3 2 2 5» - մեջտեղում նույն թվերը, ուստի մատրիցները համահունչ են: Բայց «2 5 3 2»-ը համահունչ չեն, քանի որ մեջտեղում տարբեր թվեր կան:

Բացի այդ, Captain Obviousness-ը կարծես ակնարկում է, որ նույն չափի $\left[ n\times n \right]$ քառակուսի մատրիցները միշտ համահունչ են:

Մաթեմատիկայի մեջ, երբ կարևոր է առարկաների թվարկման հերթականությունը (օրինակ, վերը քննարկված սահմանման մեջ կարևոր է մատրիցների հերթականությունը), մենք հաճախ խոսում ենք դասավորված զույգերի մասին։ Մենք նրանց հանդիպեցինք դեռ դպրոցում: Կարծում եմ, որ անհասկանալի է, որ $\left(1;0 \right)$ և $\left(0;1 \right)$ կոորդինատները սահմանում են: տարբեր կետերինքնաթիռում.

Այսպիսով, կոորդինատները նույնպես դասավորված զույգեր են, որոնք կազմված են թվերից: Բայց ոչինչ չի խանգարում ձեզ նման զույգ պատրաստել մատրիցներից: Այնուհետև կարող ենք ասել. «$\left(A;B \right)$ մատրիցների դասավորված զույգը համահունչ է, եթե առաջին մատրիցում սյունակների թիվը համընկնում է երկրորդի տողերի քանակի հետ»:

Ուրեմն ի՞նչ։

Բազմապատկման սահմանում

Դիտարկենք երկու հետևողական մատրիցներ՝ $A=\left[ m\times n \right]$ և $B=\left[n\times k \right]$: Եվ մենք նրանց համար սահմանում ենք բազմապատկման գործողությունը։

Սահմանում. Երկու համընկնող մատրիցների արտադրյալը $A=\left[ m\times n \right]$ and $B=\left[n\times k \right]$ նոր մատրիցն է $C=\left[ m\times k \ right] $, որի տարրերը հաշվարկվում են բանաձևով.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+(a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \վերջ (հավասարեցնել)\]

Նման արտադրանքը նշվում է ստանդարտ ձևով՝ $C=A\cdot B$։

Նրանք, ովքեր առաջին անգամ են տեսնում այս սահմանումը, անմիջապես ունենում են երկու հարց.

1. Սա ի՞նչ կատաղի խաղ է։
2. Ինչու է այդքան դժվար:

Դե, առաջին բաները: Սկսենք առաջին հարցից. Ի՞նչ են նշանակում այս բոլոր ցուցանիշները: Իսկ ինչպե՞ս չսխալվել իրական մատրիցներով աշխատելիս։

Նախ նկատում ենք, որ $((c)_(i;j))$-ի հաշվարկման երկար տողը (ինդեքսների միջև հատուկ դրել եմ կետ-ստորակետ, որպեսզի չշփոթվեմ, բայց կարիք չկա դրանք դնել. բոլորը - ես ինքս հոգնել եմ սահմանման մեջ բանաձևը մուտքագրելուց) իրականում հանգում է մի պարզ կանոնի.

1. Վերցրեք $i$th տողը առաջին մատրիցում;
2. Վերցրեք $j$th սյունակը երկրորդ մատրիցում;
3. Մենք ստանում ենք թվերի երկու հաջորդականություն. Մենք այս հաջորդականության տարրերը բազմապատկում ենք նույն թվերով, իսկ հետո ավելացնում ստացված արտադրյալները։

Այս գործընթացը հեշտ է հասկանալ նկարից.

Երկու մատրիցների բազմապատկման սխեմա

Եվս մեկ անգամ. առաջին մատրիցում ամրագրում ենք $i$ տողը, երկրորդ մատրիցում՝ $j$ սյունակում, նույն թվերով էլեմենտները բազմապատկում ենք, այնուհետև ավելացնում ենք ստացված արտադրյալները. ստանում ենք $((c)_(ij))$։ . Եվ այսպես շարունակ բոլոր $1\le i\le m$-ի և $1\le j\le k$-ի համար: Նրանք. Նման «այլասերումներ» ընդհանուր առմամբ կլինեն $m\ անգամ k$:

Փաստորեն, մենք արդեն հանդիպել ենք մատրիցային բազմապատկման մեջ դպրոցական ծրագիր, միայն խիստ կրճատված տեսքով։ Թող վեկտորները տրվեն.

\[\ begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \աջ); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));(y)_(b));((z)_(b)) \աջ): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այնուհետև նրանց սկալյար արտադրյալը կլինի հենց զույգ արտադրյալների գումարը.

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(բ))+((զ)_(ա))\cdot ((զ)_(բ))\]

Հիմնականում, երբ ծառերն ավելի կանաչ էին, իսկ երկինքը՝ ավելի պայծառ, մենք պարզապես $\overrightarrow(a)$ տողի վեկտորը բազմապատկեցինք $\overrightarrow(b)$ սյունակի վեկտորով:

Այսօր ոչինչ չի փոխվել։ Պարզապես այժմ այս տողերի և սյունակների վեկտորներն ավելի շատ են:

Բայց բավական տեսություն! Դիտարկենք իրական օրինակներ։ Եվ եկեք սկսենք ամենապարզ դեպքից՝ քառակուսի մատրիցներից:

Քառակուսի մատրիցային բազմապատկում

Առաջադրանք 1. Կատարե՛ք բազմապատկում.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Այսպիսով, մենք ունենք երկու մատրիցա՝ $A=\left[ 2\times 2 \right]$ և $B=\left[ 2\times 2 \right]$: Պարզ է, որ դրանք համահունչ են (նույն չափի քառակուսի մատրիցները միշտ համահունչ են): Այսպիսով, մենք կատարում ենք բազմապատկում.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \ սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \աջ)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \աջ)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ վերջ (զանգված)\աջ]: \վերջ (հավասարեցնել)\]

Վե՛րջ:

Պատասխան՝ $\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]$:

Առաջադրանք 2. Կատարե՛ք բազմապատկում.

\[\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Կրկին, հետևողական մատրիցներ, ուստի մենք կատարում ենք հետևյալ գործողությունները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ ձախ(-3 \աջ) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \աջ) \\ 2\cdot 9+6\cdot \ ձախ (-3 \աջ) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \աջ) \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ ] . \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, արդյունքը զրոներով լցված մատրից է

Պատասխան՝ $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ end (matrix) \right]$:

Վերոնշյալ օրինակներից ակնհայտ է, որ մատրիցային բազմապատկումն այնքան էլ բարդ գործողություն չէ։ Առնվազն 2-ից 2 քառակուսի մատրիցների համար:

Հաշվարկների ընթացքում մենք կազմեցինք միջանկյալ մատրիցա, որտեղ մենք ուղղակիորեն նկարագրեցինք, թե որ թվերն են ներառված կոնկրետ բջիջում: Սա հենց այն է, ինչ պետք է արվի իրական խնդիրներ լուծելիս։

Մատրիցային արտադրանքի հիմնական հատկությունները

Մի խոսքով. Մատրիցային բազմապատկում.

1. Ոչ կոմուտատիվ՝ $A\cdot B\ne B\cdot A$ ընդհանուր դեպքում: Կան, իհարկե, հատուկ մատրիցներ, որոնց համար հավասարությունը $A\cdot B=B\cdot A$ (օրինակ, եթե $B=E$ նույնականացման մատրիցն է), բայց դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում դա չի գործում։ ;
2. Ասոցիատիվ՝ $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$: Այստեղ տարբերակներ չկան. մոտակայքում կանգնածմատրիցները կարելի է բազմապատկել՝ առանց անհանգստանալու, թե ինչն է այս երկու մատրիցներից ձախ և աջ:
3. Բաշխված՝ $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ և $\left(A+B \աջ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (արտադրանքի ոչ փոխադարձության պատճառով անհրաժեշտ է առանձին նշել աջ և ձախ բաշխվածությունը:

Եվ հիմա - ամեն ինչ նույնն է, բայց ավելի մանրամասն:

Մատրիցային բազմապատկումը շատ առումներով նման է դասական թվերի բազմապատկմանը: Բայց կան տարբերություններ, որոնցից ամենակարեւորն այն է Մատրիցային բազմապատկումը, ընդհանուր առմամբ, ոչ կոմուտատիվ է.

Եկեք նորից նայենք խնդրի 1-ի մատրիցներին: Մենք արդեն գիտենք դրանց ուղղակի արտադրյալը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Բայց եթե փոխենք մատրիցները, ապա կստանանք բոլորովին այլ արդյունք.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ վերջ (մատրիցան) )\աջ]\]

Ստացվում է, որ $A\cdot B\ne B\cdot A$: Բացի այդ, բազմապատկման գործողությունը սահմանված է միայն $A=\left[m\times n \right]$ և $B=\left[n\times k \right]$ հետևողական մատրիցների համար, բայց ոչ ոք չի երաշխավորել, որ դրանք կմնան հետևողական, եթե դրանք փոխանակվեն: Օրինակ, $\left[ 2\times 3 \right]$ և $\left[ 3\times 5 \right]$ մատրիցները բավականին համահունչ են նշված հերթականությամբ, բայց նույն մատրիցները $\left[ 3\ անգամ 5: \right] $ և $\left[ 2\ անգամ 3 \right]$ գրված հակառակ հերթականությամբ այլևս չեն համապատասխանում: Տխուր. :(

Քառակուսի մատրիցների շարքում տրված չափը$n$ միշտ կլինեն այնպիսիք, որոնք տալիս են նույն արդյունքը և՛ ուղիղ, և՛ հակառակ հերթականությամբ բազմապատկելիս: Թե ինչպես կարելի է նկարագրել բոլոր նման մատրիցները (և քանիսն են ընդհանուր առմամբ) դա թեմա է առանձին դաս. Այդ մասին այսօր չենք խոսի:)

Այնուամենայնիվ, մատրիցային բազմապատկումը ասոցիատիվ է.

\[\ ձախ (A\cdot B \աջ)\cdot C=A\cdot \ձախ (B\cdot C \աջ)\]

Հետևաբար, երբ անհրաժեշտ է միանգամից մի քանի մատրիցներ անընդմեջ բազմապատկել, ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ դա անել անմիջապես. միանգամայն հնարավոր է, որ հարակից որոշ մատրիցներ, երբ բազմապատկվեն, հետաքրքիր արդյունք տան: Օրինակ՝ զրոյական մատրիցա, ինչպես վերը քննարկված խնդիր 2-ում:

Իրական խնդիրներում ամենից հաճախ մենք պետք է բազմապատկենք քառակուսի մատրիցներ՝ $\left[ n\time n \աջ]$: Բոլոր նման մատրիցների բազմությունը նշանակվում է $((M)^(n))$-ով (այսինքն $A=\left[n\times n \right]$ և \ նիշերը նույնն են), և դա կլինի: անպայմանորեն պարունակում է $E$ մատրիցա, որը կոչվում է նույնականացման մատրիցա:

Սահմանում. $n$ չափի ինքնության մատրիցը $E$ մատրից է, որը հավասար է $A=\left[n\times n \right]$ ցանկացած քառակուսի մատրիցի համար.

Նման մատրիցը միշտ նույն տեսքն ունի՝ նրա հիմնական անկյունագծում կան մեկը, իսկ մյուս բջիջներում՝ զրոներ:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & A\cdot \ձախ (B+C \աջ)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \ձախ (A+B \աջ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այլ կերպ ասած, եթե ձեզ անհրաժեշտ է մեկ մատրիցը բազմապատկել մյուս երկուսի գումարով, կարող եք այն բազմապատկել այս «մյուս երկուսից» յուրաքանչյուրով և ավելացնել արդյունքները: Գործնականում մենք սովորաբար պետք է կատարենք հակառակ գործողությունը. մենք նկատում ենք նույն մատրիցը, հանում այն ​​փակագծերից, կատարում ենք գումարում և դրանով իսկ պարզեցնում ենք մեր կյանքը:

Ծանոթագրություն. բաշխվածությունը նկարագրելու համար մենք պետք է գրեինք երկու բանաձև՝ որտեղ գումարը երկրորդ գործոնում է և որտեղ գումարը առաջինում: Դա տեղի է ունենում հենց այն պատճառով, որ մատրիցային բազմապատկումը ոչ կոմուտատիվ է (և ընդհանրապես, ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվում կան շատ զվարճալի բաներ, որոնք նույնիսկ մտքով չեն անցնում սովորական թվերի հետ աշխատելիս): Իսկ եթե, օրինակ, պետք է քննության ժամանակ գրի առնել այս հատկությունը, ապա անպայման գրեք երկու բանաձեւերը, հակառակ դեպքում ուսուցիչը կարող է մի փոքր զայրանալ։

Լավ, սրանք բոլորը քառակուսի մատրիցների մասին հեքիաթներ էին: Ինչ վերաբերում է ուղղանկյուններին:

Ուղղանկյուն մատրիցների դեպք

Բայց ոչինչ, ամեն ինչ նույնն է, ինչ քառակուսիների մոտ:

Առաջադրանք 3. Կատարե՛ք բազմապատկում.

\[\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) \սկիզբ (մատրիցան) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ վերջ (մատրիցան) & \սկիզբ (մատրիցան) 4 \\ 5 \\ 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \ \\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Մենք ունենք երկու մատրիցա՝ $A=\left[ 3\times 2 \right]$ and $B=\left[ 2\times 2 \right]$: Գրենք անընդմեջ չափերը ցույց տվող թվերը.

Ինչպես տեսնում եք, կենտրոնական երկու թվերը համընկնում են։ Սա նշանակում է, որ մատրիցները համահունչ են և կարող են բազմապատկվել: Ավելին, ելքում մենք ստանում ենք $C=\left[ 3\times 2 \right]$ մատրիցը:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) \սկիզբ (մատրիցան) 5 \\ 2 \\ 3 \\\վերջ (մատրիցան) & \սկիզբ (մատրիցան) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \ end (matrix) \\\ end (matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ end (array) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \աջ)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \աջ)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \աջ)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\ վերջ (զանգված) \աջ]: \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ամեն ինչ պարզ է՝ վերջնական մատրիցն ունի 3 տող և 2 սյունակ։ Բավական $=\ձախ[ 3\անգամ 2 \աջ]$։

Պատասխան՝ $\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\վերջ (զանգված) & \ սկիզբ (մատրիցան) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ վերջ (մատրիցան) \\\ վերջ (զանգված) \աջ]$:

Հիմա եկեք նայենք լավագույններից մեկին վերապատրաստման առաջադրանքներնրանց համար, ովքեր նոր են սկսում աշխատել մատրիցներով: Դրանում պետք է ոչ միայն բազմապատկել մի քանի երկու տախտակ, այլ նախ որոշել՝ արդյոք նման բազմապատկումը թույլատրելի է:

Խնդիր 4. Գտեք մատրիցների բոլոր հնարավոր զույգ արտադրյալները.

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\ end (matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ end (matrix) \\\ end (matrix) \ right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end (matrix) \աջ]$:

Լուծում. Նախ, եկեք գրենք մատրիցների չափերը.

\;\ B = \ ձախ[ 4 \ անգամ 2 \ աջ]; \ C = \ ձախ[ 2 \ անգամ 2 \ աջ] \]

Մենք գտնում ենք, որ $A$ մատրիցը կարող է հաշտվել միայն $B$ մատրիցի հետ, քանի որ $A$-ի սյունակների թիվը 4 է, և միայն $B$-ն ունի այս թվով տողեր։ Այսպիսով, մենք կարող ենք գտնել ապրանքը.

\\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Ընթերցողին առաջարկում եմ ինքնուրույն կատարել միջանկյալ քայլերը։ Միայն նշեմ, որ ավելի լավ է նախապես որոշել ստացված մատրիցայի չափը, նույնիսկ նախքան որևէ հաշվարկ.

\\cdot \ձախ[ 4\ անգամ 2 \աջ]=\ձախ[ 2\ անգամ 2 \աջ]\]

Այսինքն՝ մենք պարզապես հանում ենք «տարանցիկ» գործակիցները, որոնք ապահովում էին մատրիցների հետևողականությունը։

Ի՞նչ այլ տարբերակներ են հնարավոր: Իհարկե, կարելի է գտնել $B\cdot A$, քանի որ $B=\left[ 4\ անգամ 2 \right]$, $A=\left[ 2\ անգամ 4 \right]$, այնպես որ պատվիրված զույգը $\ left(B ;A \right)$-ը համահունչ է, և արտադրանքի չափը կլինի.

\\cdot \ձախ[ 2\ անգամ 4 \աջ]=\ձախ[ 4\ անգամ 4 \աջ]\]

Մի խոսքով, ելքը կլինի $\left[ 4\ անգամ 4 \right]$ մատրիցը, որի գործակիցները հեշտությամբ կարելի է հաշվարկել.

\\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Ակնհայտորեն, դուք կարող եք նաև համաձայնել $C\cdot A$-ի և $B\cdot C$-ի հետ, և վերջ: Հետևաբար, մենք պարզապես գրում ենք ստացված արտադրանքները.

Հեշտ էր:)

Պատասխան՝ $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\ end (array) \աջ]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\ end (array) \աջ]$:

Ընդհանուր առմամբ, ես բարձր խորհուրդ եմ տալիս այս առաջադրանքը կատարել ինքներդ: Եվ ևս մեկ նմանատիպ առաջադրանք, որը գտնվում է տնային աշխատանք. Այս պարզ թվացող մտքերը կօգնեն ձեզ կիրառել մատրիցային բազմապատկման բոլոր հիմնական փուլերը:

Բայց պատմությունն այսքանով չի ավարտվում. Անցնենք բազմապատկման հատուկ դեպքերին :)

Տողերի և սյունակների վեկտորներ

Ամենատարածված մատրիցային գործողություններից մեկը բազմապատկումն է մատրիցով, որն ունի մեկ տող կամ մեկ սյունակ:

Սահմանում. Սյունակի վեկտորը $\left[ m\times 1 \right]$ չափի մատրից է, այսինքն. բաղկացած է մի քանի տողից և միայն մեկ սյունակից:

Շարքի վեկտորը $\left[ 1\times n \right]$ չափի մատրից է, այսինքն. բաղկացած մեկ տողից և մի քանի սյունակից:

Փաստորեն, մենք արդեն հանդիպել ենք այդ օբյեկտներին։ Օրինակ՝ $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ կարծրամետրիայի սովորական եռաչափ վեկտորը ոչ այլ ինչ է, քան տողի վեկտոր։ Տեսական տեսանկյունից տողերի և սյունակների միջև տարբերություն գրեթե չկա: Դուք միայն պետք է զգույշ լինեք շրջապատող բազմապատկիչ մատրիցների հետ համակարգելիս:

Առաջադրանք 5. Կատարե՛ք բազմապատկում.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Այստեղ մենք ունենք համընկնող մատրիցների արտադրյալը՝ $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$: Եկեք գտնենք այս կտորը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \աջ)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \աջ) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \\ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Պատասխան՝ $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\ end(array) \right]$:

Առաջադրանք 6. Կատարե՛ք բազմապատկում.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\վերջ(զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Կրկին ամեն ինչ համահունչ է՝ $\ ձախ[ 1\ անգամ 3 \աջ]\cdot \ձախ[ 3\ անգամ 3 \աջ]=\ձախ[ 1\ անգամ 3 \աջ]$: Մենք հաշվում ենք արտադրանքը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\վերջ(զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35) (ժ)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)( ) r)) 5 & -19 & 5 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Պատասխան՝ $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$:

Ինչպես տեսնում եք, երբ մենք բազմապատկում ենք տողի վեկտորը և սյունակի վեկտորը քառակուսի մատրիցով, արդյունքը միշտ բերում է նույն չափի տող կամ սյունակ: Այս փաստը բազմաթիվ կիրառություններ ունի՝ սկսած գծային հավասարումների լուծումից մինչև կոորդինատների բոլոր տեսակի փոխակերպումներ (որոնք, ի վերջո, նույնպես հասնում են հավասարումների համակարգերի, բայց եկեք չխոսենք տխուր բաների մասին):

Կարծում եմ՝ այստեղ ամեն ինչ ակնհայտ էր։ Անցնենք այսօրվա դասի վերջին հատվածին։

Մատրիցային հզորացում

Բազմապատկման բոլոր գործողություններից առանձնահատուկ ուշադրության է արժանի աստիճանականացումը. սա այն դեպքում, երբ մենք մի քանի անգամ բազմապատկում ենք նույն առարկան ինքն իրենով: Մատրիցները բացառություն չեն.

Նման աշխատանքները միշտ համաձայնեցվում են.

\\cdot \left[ n\times n \աջ]=\ձախ[n\ անգամ n \աջ]\]

Եվ դրանք նշանակված են ճիշտ այնպես, ինչպես սովորական աստիճանները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Առաջին հայացքից ամեն ինչ պարզ է. Տեսնենք, թե ինչ տեսք ունի սա գործնականում.

Առաջադրանք 7. Բարձրացրեք մատրիցը նշված հզորությանը.

$((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))$

Լուծում. Դե լավ, եկեք կառուցենք: Նախ եկեք այն քառակուսի դարձնենք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ(մատրիցան) \աջ])^(2))=\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ(մատրիցան) \աջ])^(3))=((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]) ^ (3))\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ ( մատրիցա) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\ cdot \ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ (զանգված) (*(35) (r)) 1 & 3 \\ 0 և 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը:

Պատասխան՝ $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$:

Խնդիր 8. Բարձրացրեք մատրիցը նշված հզորությանը.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(10))\]

Լուծում. Պարզապես հիմա մի լացիր այն փաստի համար, որ «աստիճանը շատ մեծ է», «աշխարհն արդար չէ» և «ուսուցիչները լիովին կորցրել են իրենց ափերը»: Իրականում հեշտ է.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ(մատրիցան) \աջ])^(10))=((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]) ^ (3))\ cdot ((\ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ(մատրիցան) \աջ])^(3))\cdot ((\ ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \right]= \\ & =\left (\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ] \աջ)\cdot \ձախ (\ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ ] \աջ)= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\ ]

Ուշադրություն դարձրեք, որ երկրորդ տողում մենք օգտագործել ենք բազմապատկման ասոցիատիվությունը: Իրականում, մենք դա օգտագործել ենք նախորդ առաջադրանքում, բայց դա անուղղակի էր:

Պատասխան՝ $\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]$:

Ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա մատրիցայի հզորության բարձրացման մեջ: Վերջին օրինակը կարելի է ամփոփել.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(n))=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Այս փաստը հեշտ է ապացուցել մաթեմատիկական ինդուկցիայի կամ ուղղակի բազմապատկման միջոցով։ Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ հնարավոր է բռնել նման նախշեր, երբ բարձրանում է իշխանությունը: Հետևաբար, զգույշ եղեք. հաճախ մի քանի մատրիցներ «պատահական» բազմապատկելը պարզվում է ավելի հեշտ և արագ, քան ինչ-որ օրինաչափություններ փնտրելը:

Ընդհանրապես, մի ​​փնտրեք ավելի բարձր իմաստ այնտեղ, որտեղ չկա: Եզրափակելով, եկեք դիտարկենք ավելի մեծ մատրիցայի հզորությունը՝ այնքան, որքան $\ ձախ[ 3\ անգամ 3 \աջ]$։

Խնդիր 9. Բարձրացրեք մատրիցը նշված հզորության վրա.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))\]

Լուծում. Եկեք չփնտրենք նախշեր: Մենք աշխատում ենք առաջ.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))=(( \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(2))\cdot \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ վերջ (մատրիցան) \\աջ]\]

Նախ, եկեք քառակուսի դարձնենք այս մատրիցը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^( 2))=\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

Հիմա եկեք այն խորանարդի ձևավորենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^( 3))=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \cdot \left[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ( զանգված)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

վերջ։ Խնդիրը լուծված է։

Պատասխան՝ $\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]$:

Ինչպես տեսնում եք, հաշվարկների ծավալն ավելի մեծ է դարձել, բայց իմաստն ընդհանրապես չի փոխվել :)

Սա ավարտում է դասը: Հաջորդ անգամ մենք կքննարկենք հակադարձ գործողությունը. օգտագործելով գոյություն ունեցող արտադրանքը, մենք կփնտրենք սկզբնական գործոնները:

Ինչպես հավանաբար արդեն կռահեցիք, մենք կխոսենք հակադարձ մատրիցաև այն գտնելու մեթոդները:

1-ին կուրս, բարձրագույն մաթեմատիկա, սովորում մատրիցներև դրանց վերաբերյալ հիմնական գործողություններ: Այստեղ մենք համակարգում ենք հիմնական գործողությունները, որոնք կարելի է կատարել մատրիցներով: Որտեղի՞ց սկսել մատրիցների հետ ծանոթանալը: Իհարկե, ամենապարզ բաներից՝ սահմանումներ, հիմնական հասկացություններ և պարզ գործողություններ: Հավատացնում ենք, որ մատրիցաները կհասկանան բոլորը, ովքեր գոնե մի քիչ ժամանակ կհատկացնեն դրանց։

Մատրիցայի սահմանում

Մատրիցատարրերի ուղղանկյուն աղյուսակ է։ Դե, իսկ եթե պարզ լեզվով- թվերի աղյուսակ.

Սովորաբար մատրիցները նշվում են մեծատառերով լատինական տառերով. Օրինակ՝ մատրիցա Ա , մատրիցա Բ եւ այլն։ Մատրիցները կարող են լինել տարբեր չափերի՝ ուղղանկյուն, քառակուսի, կան նաև տողերի և սյունակների մատրիցներ, որոնք կոչվում են վեկտորներ։ Մատրիցայի չափը որոշվում է տողերի և սյունակների քանակով: Օրինակ՝ գրենք չափի ուղղանկյուն մատրիցա մ վրա n , Որտեղ մ – տողերի քանակը և n - սյունակների քանակը.

Նյութեր, որոնց համար i=j (a11, a22, .. ) կազմում են մատրիցայի հիմնական անկյունագիծը և կոչվում են շեղանկյուն:

Ի՞նչ կարող եք անել մատրիցներով: Ավելացնել/հանել, բազմապատկել թվով, բազմապատկել իրար մեջ, փոխադրել. Այժմ մատրիցների վրա այս բոլոր հիմնական գործողությունների մասին հերթականությամբ:

Մատրիցային գումարման և հանման գործողություններ

Եկեք անմիջապես զգուշացնենք, որ կարող եք ավելացնել միայն նույն չափի մատրիցներ: Արդյունքը կլինի նույն չափի մատրիցա: Մատրիցներ ավելացնելը (կամ հանելը) պարզ է. պարզապես անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց համապատասխան տարրերը . Օրինակ բերենք. Կատարենք երկու-երկու չափի A և B մատրիցների գումարում։

Հանումը կատարվում է անալոգիայով, միայն հակառակ նշանով։

Ցանկացած մատրիցա կարելի է բազմապատկել կամայական թվով։ Դա անելու համար պետք է դրա յուրաքանչյուր տարրը բազմապատկել այս թվով: Օրինակ, եկեք առաջին օրինակից A մատրիցը բազմապատկենք 5 թվով.

Մատրիցային բազմապատկման գործողություն

Ոչ բոլոր մատրիցները կարող են բազմապատկվել միասին: Օրինակ, մենք ունենք երկու մատրիցա՝ A և B: Դրանք կարելի է բազմապատկել միմյանցով միայն այն դեպքում, եթե A մատրիցայի սյունակների թիվը հավասար է B մատրիցի տողերի թվին: Այս դեպքում Ստացված մատրիցայի յուրաքանչյուր տարր, որը գտնվում է i-րդ շարքում և j-րդ սյունակում, հավասար կլինի համապատասխան տարրերի արտադրյալների գումարին. i-րդ ​​տողառաջին գործոնը և երկրորդի j-րդ սյունակը. Այս ալգորիթմը հասկանալու համար եկեք գրենք, թե ինչպես են երկու քառակուսի մատրիցները բազմապատկվում.

Եվ օրինակ իրական թվերով. Եկեք բազմապատկենք մատրիցները.

Մատրիցային փոխադրման գործողություն

Մատրիցային տրանսպոզիցիան գործողություն է, որտեղ համապատասխան տողերն ու սյունակները փոխանակվում են: Օրինակ, եկեք փոխակերպենք A մատրիցը առաջին օրինակից.

Մատրիցային որոշիչ

Որոշիչ, կամ որոշիչ, հիմնական հասկացություններից մեկն է գծային հանրահաշիվ. Ժամանակին մարդիկ եկան գծային հավասարումներ, և դրանց հետևում մենք պետք է որոշիչ գայինք։ Ի վերջո, այս ամենի հետ գործ ունենալը ձեզնից է կախված, հետևաբար, վերջին հրում:

Որոշիչը քառակուսի մատրիցայի թվային բնութագիր է, որն անհրաժեշտ է բազմաթիվ խնդիրներ լուծելու համար։
Ամենապարզ քառակուսի մատրիցի որոշիչը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել հիմնական և երկրորդական անկյունագծերի տարրերի արտադրյալների տարբերությունը:

Առաջին կարգի մատրիցի որոշիչը, այսինքն՝ բաղկացած մեկ տարրից, հավասար է այս տարրին։

Իսկ եթե մատրիցը լինի երեքը երեքի: Սա ավելի դժվար է, բայց դուք կարող եք կառավարել այն:

Նման մատրիցայի համար որոշիչի արժեքը հավասար է հիմնական անկյունագծի տարրերի արտադրյալների գումարին և հիմնական անկյունագծին զուգահեռ երես ունեցող եռանկյունների վրա ընկած տարրերի արտադրյալների գումարին, որից ստացվում է Երկրորդական անկյունագծի տարրերը և զուգահեռ երկրորդական անկյունագծով երեսով եռանկյունների վրա ընկած տարրերի արտադրյալը հանվում են:

Բարեբախտաբար, գործնականում հազվադեպ է անհրաժեշտ մեծ չափերի մատրիցների որոշիչները հաշվարկել:

Այստեղ մենք նայեցինք հիմնական գործողությունները մատրիցների վրա: Իհարկե, մեջ իրական կյանքդուք կարող եք երբեք չհանդիպել նույնիսկ մի ակնարկ մատրիցային համակարգհավասարումներ կամ, ընդհակառակը, բախվում են շատ ավելի բարդ դեպքերի, երբ դուք իսկապես պետք է ձեր ուղեղը լարել: Հենց նման դեպքերի համար են գործում ուսանողական մասնագիտական ​​ծառայություններ։ Խնդրեք օգնություն, ստացեք որակյալ և մանրամասն լուծում, վայելեք ձեր ուսումնական հաջողությունն ու ազատ ժամանակը։

Սա ամենատարածված մատրիցային գործողություններից մեկն է: Բազմապատկելուց հետո ստացված մատրիցը կոչվում է մատրիցների արտադրյալ։

Մատրիցային արտադրանք Ամ × nդեպի մատրիցա Բն × կկլինի մատրիցա սմ × կայնպիսին, որ մատրիցային տարրը Գ, գտնվում է ես-րդ գիծը և ժ-րդ սյունակը, այսինքն՝ տարրը գ ijհավասար է տարրերի արտադրյալների գումարին եսմատրիցայի րդ շարքը Ահամապատասխան տարրերին ժմատրիցային սյունակ Բ.

Գործընթացը մատրիցային բազմապատկումհնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե առաջին մատրիցայի սյունակների թիվը հավասար է երկրորդ մատրիցայի տողերի թվին:

Օրինակ՝
Հնարավո՞ր է մատրիցը բազմապատկել մատրիցով:

մ =n, ինչը նշանակում է, որ հնարավոր է բազմապատկել մատրիցային տվյալները։

Եթե ​​մատրիցները փոխանակվեն, ապա նման մատրիցներով բազմապատկումն այլևս հնարավոր չի լինի։

մ≠ nԱյսպիսով, բազմապատկումը չի կարող կատարվել.

Հաճախ դուք կարող եք առաջադրանքներ գտնել հնարքներով, երբ ուսանողին հարցնում են բազմապատկել մատրիցները, որի բազմապատկումն ակնհայտորեն անհնար է։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երբեմն դուք կարող եք բազմապատկել մատրիցները ցանկացած ձևով: Օրինակ, մատրիցների համար, և հնարավոր է որպես բազմապատկում MN, և բազմապատկում Ն.Մ.

Սա այնքան էլ բարդ գործողություն չէ։ Մատրիցային բազմապատկումն ավելի լավ է հասկանալ կոնկրետ օրինակներ, քանի որ միայն սահմանումը կարող է շատ շփոթեցնող լինել:

Սկսենք ամենապարզ օրինակից.

Պետք է բազմապատկել: Առաջին հերթին, մենք տալիս ենք այս դեպքի բանաձևը.

- Այստեղ հստակ օրինաչափություն կա.

Բազմապատկել .

Այս դեպքի բանաձևը հետևյալն է.

Մատրիցային բազմապատկում և արդյունք.

Արդյունքում, այսպես կոչված զրոյական մատրիցա.

Շատ կարևոր է հիշել, որ «տերմինների տեղերը վերադասավորելու կանոնը» այստեղ չի գործում, քանի որ գրեթե միշտ. MN≠ Ն.Մ.. Հետեւաբար, արտադրելով մատրիցային բազմապատկման գործողությունՈչ մի դեպքում չպետք է դրանք փոխանակվեն:

Հիմա եկեք նայենք երրորդ կարգի մատրիցների բազմապատկման օրինակներին.

Բազմապատկել վրա .

Բանաձևը շատ նման է նախորդներին.

Մատրիցային լուծում. .

Սա նույն մատրիցային բազմապատկումն է, երկրորդ մատրիցի փոխարեն վերցվում է միայն պարզ թիվ։ Ինչպես կարող եք կռահել, այս տեսակի բազմապատկումը շատ ավելի հեշտ է իրականացնել:

Մատրիցը թվով բազմապատկելու օրինակ.

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է, որպեսզի բազմապատկել մատրիցը թվով, մատրիցայի յուրաքանչյուր տարր պետք է հաջորդաբար բազմապատկվի նշված թվով։ Այս դեպքում՝ 3-ով:

Մեկ այլ օգտակար օրինակ.

- բազմապատկելով մատրիցը կոտորակային թվով:

Առաջին հերթին, մենք ձեզ ցույց կտանք, թե ինչ չի կարելի անել.

Մատրիցը կոտորակային թվով բազմապատկելիս պետք չէ կոտորակը մուտքագրել մատրիցա, քանի որ դա ի սկզբանե միայն ավելի է դժվարացնում: հետագա գործողություններըմատրիցով, երկրորդ՝ ուսուցչի համար դժվարացնում է լուծումը ստուգելը։

Եվ, ավելին, կարիք չկա մատրիցի յուրաքանչյուր տարր բաժանել -7-ով.

.

Այն, ինչ պետք է արվի այս դեպքում, մատրիցին մինուս ավելացնելն է.

.

Եթե ​​ունեիք օրինակ, որտեղ մատրիցայի բոլոր տարրերը առանց մնացորդի բաժանվում էին 7-ի, ապա կարող եք (և պետք է) բաժանել:

Այս օրինակում հնարավոր և անհրաժեշտ է մատրիցայի բոլոր տարրերը բազմապատկել ½-ով, քանի որ Մատրիցայի յուրաքանչյուր տարր առանց մնացորդի բաժանվում է 2-ի:

Նշում. բարձրագույն դպրոցի մաթեմատիկայի տեսության մեջ «բաժանում» հասկացություն չկա: «Սա բաժանված է դրա վրա» ասելու փոխարեն միշտ կարող եք ասել «սա բազմապատկած կոտորակի վրա»: Այսինքն՝ բաժանումը բազմապատկման հատուկ դեպք է։