Շրջանագիծ կոորդինատային հարթության վրա: Հարթության կետերի դեկարտյան կոորդինատները: Շրջանակի հավասարում Տեղաշարժված շրջան

Եթե ​​միավորի թվի շրջանակը տեղադրեք կոորդինատային հարթության վրա, ապա կարող եք գտնել դրա կետերի կոորդինատները: Թվային շրջանագիծը տեղադրվում է այնպես, որ դրա կենտրոնը համընկնում է հարթության սկզբնակետին, այսինքն՝ O կետին (0; 0):

Սովորաբար միավորի համարանիշի վրա նշվում են շրջանագծի սկզբնակետին համապատասխան կետերը

• քառորդներ - 0 կամ 2π, π/2, π, (2π)/3,
• միջին քառորդներ - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• եռամսյակների երրորդներ - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6:

Կոորդինատային հարթության վրա, դրա վրա միավորի շրջանագծի վերը նշված դիրքով, կարող եք գտնել շրջանագծի այս կետերին համապատասխան կոորդինատները:

Քառորդների ծայրերի կոորդինատները շատ հեշտ է գտնել։ Շրջանակի 0 կետում x կոորդինատը 1 է, իսկ y կոորդինատը 0 է: Մենք այն կարող ենք նշել որպես A (0) = A (1; 0):

Առաջին եռամսյակի վերջը կգտնվի դրական y առանցքի վրա։ Հետեւաբար, B (π/2) = B (0; 1):

Երկրորդ եռամսյակի ավարտը բացասական կիսաառանցքի վրա է՝ C (π) = C (-1; 0):

Երրորդ եռամսյակի վերջ՝ D ((2π)/3) = D (0; -1):

Բայց ինչպե՞ս գտնել քառորդների միջնակետերի կոորդինատները: Դա անելու համար կառուցեք ուղղանկյուն եռանկյուն: Նրա հիպոթենուսը շրջանագծի կենտրոնից (կամ սկզբնակետից) հատված է մինչև քառորդ շրջանի միջին կետը: Սա շրջանագծի շառավիղն է։ Քանի որ կա միավոր շրջան, հիպոթենուսը հավասար է 1-ի: Այնուհետև գծեք ուղղահայաց շրջանագծի մի կետից ցանկացած առանցքի: Թող այն լինի դեպի x առանցքը: Ստացվում է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի ոտքերի երկարությունները շրջանագծի կետի x և y կոորդինատներն են։

Քառորդ շրջանագիծը 90º է: Իսկ կես քառորդը 45º է: Քանի որ հիպոթենուզը գծված է դեպի քառակուսի միջին կետը, հիպոթենուսի և սկզբնակետից ձգվող ոտքի միջև անկյունը 45º է: Բայց ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը 180º է: Հետևաբար, հիպոթենուսի և մյուս ոտքի միջև անկյունը նույնպես մնում է 45º: Սա հանգեցնում է հավասարաչափ ուղղանկյուն եռանկյունի:

Պյութագորասի թեորեմից ստանում ենք x 2 + y 2 = 1 2 հավասարումը: Քանի որ x = y և 1 2 = 1, հավասարումը պարզեցնում է x 2 + x 2 = 1: Լուծելով այն, մենք ստանում ենք x = √½ = 1/√2 = √2/2:

Այսպիսով, M 1 (π/4) կետի կոորդինատները = M 1 (√2/2; √2/2):

Մյուս քառորդների միջնակետերի կետերի կոորդինատներում միայն նշանները կփոխվեն, իսկ արժեքների մոդուլները կմնան նույնը, քանի որ ուղղանկյուն եռանկյունը միայն կշրջվի: Մենք ստանում ենք.
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Շրջանակի քառորդների երրորդ մասերի կոորդինատները որոշելիս կառուցվում է նաև ուղղանկյուն եռանկյուն։ Եթե ​​վերցնենք π/6 կետը և x-ի առանցքին ուղղահայաց գծենք, ապա հիպոթենուսի և x-ի առանցքի վրա ընկած ոտքի միջև անկյունը կլինի 30º: Հայտնի է, որ 30º անկյան դիմաց ընկած ոտքը հավասար է հիպոթենուսի կեսին: Սա նշանակում է, որ մենք գտել ենք y կոորդինատը, այն հավասար է ½-ի:

Իմանալով հիպոթենուսի և մեկի ոտքի երկարությունները՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, մենք գտնում ենք մյուս ոտքը.
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Այսպիսով, T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½):

Առաջին քառորդի երկրորդ երրորդի կետի համար (π/3) ավելի լավ է y առանցքի առանցքին ուղղահայաց գծել։ Այնուհետև սկզբնակետի անկյունը նույնպես կլինի 30º: Այստեղ x կոորդինատը հավասար կլինի ½, իսկ y, համապատասխանաբար, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2):

Երրորդ եռամսյակների այլ կետերի համար կփոխվեն կոորդինատային արժեքների նշանները և կարգը: Բոլոր կետերը, որոնք ավելի մոտ են x առանցքին, կունենան մոդուլի x կոորդինատային արժեք, որը հավասար է √3/2: Այն կետերը, որոնք ավելի մոտ են y առանցքին, կունենան մոդուլի y արժեք, որը հավասար է √3/2:
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Սահմանում 1. Թվային առանցք ( թվային գիծ, ​​կոորդինատային գիծ) Ox-ը այն ուղիղ գիծն է, որի վրա ընտրված է O կետը ծագումը (կոորդինատների ծագումը)(նկ.1), ուղղություն

Օ → x

նշված է որպես դրական ուղղությունև նշվում է հատված, որի երկարությունը վերցված է երկարության միավոր.

Սահմանում 2. Այն հատվածը, որի երկարությունը ընդունվում է որպես երկարության միավոր, կոչվում է մասշտաբ:

Թվային առանցքի յուրաքանչյուր կետ ունի կոորդինատ, որը իրական թիվ է: O կետի կոորդինատը զրո է։ Ox ճառագայթի վրա ընկած կամայական A կետի կոորդինատը հավասար է OA հատվածի երկարությանը:

Թվային առանցքի A կետի կամայական կետի կոորդինատը, որը չի ընկած Ox ճառագայթի վրա, բացասական է, իսկ բացարձակ արժեքով հավասար է OA հատվածի երկարությանը: Սահմանում 3.Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ Oxy հարթության վրա զանգահարել երկու փոխադարձաբարուղղահայաց թվային առանցքներ Ox և Oy հետնույն սանդղակը Եվընդհանուր հղման կետ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ(նկ. 2):

Նշում. Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգը Oxy, որը ցույց է տրված Նկար 2-ում, կոչվում է ճիշտ կոորդինատային համակարգ, ի տարբերություն ձախ կոորդինատային համակարգեր, որում Ox ճառագայթի պտույտը Oy ճառագայթի նկատմամբ 90° անկյան տակ կատարվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ։ Այս ուղեցույցում մենք մենք համարում ենք միայն աջակողմյան կոորդինատային համակարգեր, առանց կոնկրետ նշելու։

Եթե ​​հարթության վրա մտցնենք ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատների Oxy համակարգ, ապա հարթության յուրաքանչյուր կետ ձեռք կբերի երկու կոորդինատ – abscissaնույն սանդղակը օրդ, որոնք հաշվարկվում են հետևյալ կերպ. Թող A-ն լինի կամայական կետ հարթության վրա: Ա կետից գցենք ուղղահայացները Ա.Ա. 1 և Ա.Ա. 2 դեպի ուղիղ գծեր Ox և Oy, համապատասխանաբար (նկ. 3):

Սահմանում 4. Ա կետի աբսցիսան կետի կոորդինատն է Ա Ox թվային առանցքի վրա 1, A կետի օրդինատը կետի կոորդինատն է Ա 2 թվային առանցքի վրա Oy.

Նշանակում Կետի կոորդինատները (աբսցիսսա և օրդինատ):Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում A-ն սովորաբար նշվում է Oxy (նկ. 4): Ա(x;y) կամ Ա = (x; y).

Նշում. O կետը, որը կոչվում է ծագում, ունի կոորդինատներ Օ(0 ; 0) .

Սահմանում 5. Oxy ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում Ox թվային առանցքը կոչվում է աբսցիսային առանցք, իսկ Oy թվային առանցքը օրդինատների առանցք (նկ. 5):

Սահմանում 6. Յուրաքանչյուր ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ հարթությունը բաժանում է 4 քառորդների (քառորդների), որոնց համարակալումը ներկայացված է Նկար 5-ում։

Սահմանում 7. Այն հարթությունը, որի վրա տրված է ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգը, կոչվում է կոորդինատային հարթություն.

Նշում. Աբսցիսայի առանցքը կոորդինատային հարթության վրա նշված է հավասարման միջոցով y= 0, օրդինատների առանցքը տրված է կոորդինատային հարթության վրա հավասարման միջոցով x = 0.

Հայտարարություն 1. Հեռավորությունը երկու կետերի միջևկոորդինատային հարթություն

Ա 1 (x 1 ;y 1) նույն սանդղակը Ա 2 (x 2 ;y 2)

հաշվարկված ըստ բանաձևի

Ապացույց . Դիտարկենք 6-րդ նկարը:

Վերլուծական երկրաչափությունը ապահովում է երկրաչափական խնդիրների լուծման միասնական տեխնիկա: Դա անելու համար բոլոր տրված և փնտրվող կետերը և տողերը վերագրվում են մեկ կոորդինատային համակարգին:

Կոորդինատային համակարգում յուրաքանչյուր կետ կարող է բնութագրվել իր կոորդինատներով, իսկ յուրաքանչյուր ուղիղ՝ երկու անհայտ ունեցող հավասարմամբ, որի գրաֆիկն է այս ուղիղը։ Այսպիսով, երկրաչափական խնդիրը վերածվում է հանրահաշվականի, որտեղ հաշվարկման բոլոր մեթոդները լավ մշակված են։

Շրջանագիծը կետերի երկրաչափական տեղն է, որն ունի մեկ հատուկ հատկություն (շրջանի յուրաքանչյուր կետ հավասար հեռավորության վրա է մեկ կետից, որը կոչվում է կենտրոն): Շրջանակի հավասարումը պետք է արտացոլի այս հատկությունը և բավարարի այս պայմանը:

Շրջանակի հավասարման երկրաչափական մեկնաբանությունը շրջանագծի գիծն է։

Եթե ​​շրջանագիծ եք դնում կոորդինատային համակարգում, ապա շրջանագծի բոլոր կետերը բավարարում են մեկ պայման՝ նրանցից մինչև շրջանագծի կենտրոն հեռավորությունը պետք է լինի նույնը և հավասար շրջանագծին:

Շրջանագիծ՝ կենտրոնով մի կետում Ա և շառավիղը Ռ տեղադրել այն կոորդինատային հարթությունում:

Եթե ​​կենտրոնը կոորդինացնում է (ա;բ) , և շրջանագծի ցանկացած կետի կոորդինատները (x;y) , ապա շրջանագծի հավասարումն ունի ձև.

Եթե ​​շրջանագծի շառավիղի քառակուսին հավասար է շրջանագծի և նրա կենտրոնի ցանկացած կետի համապատասխան կոորդինատների տարբերությունների քառակուսիների գումարին, ապա այս հավասարումը հարթ կոորդինատային համակարգում շրջանագծի հավասարումն է:

Եթե ​​շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է սկզբնակետին, ապա շրջանագծի շառավիղի քառակուսին հավասար է շրջանագծի ցանկացած կետի կոորդինատների քառակուսիների գումարին։ Այս դեպքում շրջանագծի հավասարումը ստանում է ձև.

Հետևաբար, ցանկացած երկրաչափական պատկեր՝ որպես կետերի տեղանք, որոշվում է իր կետերի կոորդինատները միացնող հավասարմամբ։ Ընդհակառակը, կոորդինատներին առնչվող հավասարումը X նույն սանդղակը ժամը , սահմանեք ուղիղը որպես հարթության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղանք, որոնց կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումը։

Շրջանակի հավասարման վերաբերյալ խնդիրների լուծման օրինակներ

Առաջադրանք. Գրի՛ր տրված շրջանագծի հավասարումը

Գրե՛ք O (2;-3) կետում կենտրոն ունեցող շրջանագծի հավասարումը և 4 շառավիղը:

Լուծում.
Դառնանք շրջանագծի հավասարման բանաձևին.
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Փոխարինենք արժեքները բանաձևի մեջ.
Շրջանակի շառավիղը R = 4
Շրջանակի կենտրոնի կոորդինատները (ըստ պայմանի)
a = 2
b = -3

Մենք ստանում ենք.
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
կամ
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16:

Առաջադրանք. Կետը պատկանո՞ւմ է շրջանագծի հավասարմանը:

Ստուգեք, արդյոք կետը պատկանում է A (2;3)շրջանագծի հավասարում (x - 2) 2 +(y+3) 2 = 16 .

Լուծում.
Եթե ​​կետը պատկանում է շրջանագծի, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են շրջանագծի հավասարումը։
Ստուգելու համար, թե արդյոք տրված կոորդինատներով կետը պատկանում է շրջանագծին, կետի կոորդինատները փոխարինի՛ր տվյալ շրջանագծի հավասարմամբ։

Հավասարման մեջ ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
Ըստ պայմանի փոխարինենք Ա(2;3) կետի կոորդինատները, այսինքն
x = 2
y=3

Ստուգենք ստացված հավասարության ճշմարտացիությունը
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 հավասարությունը կեղծ է

Այսպիսով, տրված կետը չի պատկանումտրված շրջանագծի հավասարումը.