Պյութագորասյան թվեր. Պյութագորասյան եռյակներ Պյութագորասյան եռյակները կարելի է գտնել բանաձևով

Պյութագորասյան թվերի եռյակներ

Ստեղծագործական աշխատանք

ուսանող 8 «Ա»դաս

ՄԱՈՒ «Թիվ 1 գիմնազիա»

Սարատովի Օկտյաբրսկի շրջան

Պանֆիլով Վլադիմիր

Ղեկավար՝ բարձրագույն կարգի մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Գրիշինա Իրինա Վլադիմիրովնա

Բովանդակություն

Ներածություն…………………………………………………………………………………………… 3

Տեսական մասաշխատանք

Գտնելով Պյութագորասի հիմնական եռանկյունը

(հին հինդուների բանաձևերը) ………………………………………………………………………………

Աշխատանքի գործնական մասը

Պյութագորասյան եռյակներ կազմելը տարբեր ձևերով…………………………………………………………………………

Պյութագորասի եռանկյունների կարևոր հատկությունը…………………………………………………………………

Եզրակացություն……………………………………………………………………………………………………..

Գրականություն………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ներածություն

Դրանում ուսումնական տարինՄաթեմատիկայի դասերին մենք ուսումնասիրեցինք երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից մեկը՝ Պյութագորասի թեորեմը: Պյութագորասի թեորեմը կիրառվում է երկրաչափության մեջ ամեն քայլափոխի, այն լայն կիրառություն է գտել գործնականում և առօրյա կյանքում։ Բայց, բացի բուն թեորեմից, մենք ուսումնասիրեցինք նաև Պյութագորասի թեորեմին հակառակ թեորեմը: Այս թեորեմի ուսումնասիրության հետ կապված մենք ծանոթացանք Պյութագորասի թվերի եռյակներին, այսինքն. 3 բնական թվերի հավաքածուներովա , բ Եվգ , որի համար հարաբերությունը վավեր է. = + . Նման հավաքածուները ներառում են, օրինակ, հետևյալ եռյակները.

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Անմիջապես ինձ մոտ հարցեր առաջացան՝ քանի՞ Պյութագորասյան եռյակ կարող եք գտնել: Ինչպե՞ս դրանք կազմել:

Մեր երկրաչափության դասագրքում Պյութագորասի թեորեմին հակադարձ թեորեմը ներկայացնելուց հետո մի կարևոր նկատառում արվեց. կարելի է ապացուցել, որ ոտքերը.Ա Եվբ և հիպոթենուզաՀետ Ուղղանկյուն եռանկյունները, որոնց կողմերի երկարությունները արտահայտված են բնական թվերով, կարելի է գտնել բանաձևերով.

Ա = 2 կմն b = k( - ) c = k( + , (1)

Որտեղկ , մ , n – ցանկացած բնական թվեր ևմ > n .

Բնականաբար, հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս ապացուցել այս բանաձեւերը։ Եվ արդյոք միայն այս բանաձևերի միջոցով կարելի է կազմել Պյութագորասի եռյակներ:

Իմ աշխատանքում ես փորձել եմ պատասխանել իմ մեջ ծագած հարցերին։

Աշխատանքի տեսական մասը

Գտնելով Պյութագորասի հիմնական եռանկյունը (հին հինդուական բանաձևեր)

Նախ մենք ապացուցում ենք բանաձևերը (1).

Նշենք ոտքերի երկարությունը ըստX Եվժամը , և հիպոթենուսի երկարությունը միջովզ . Պյութագորասի թեորեմի համաձայն մենք ունենք հավասարություն.+ = .(2)

Այս հավասարումը կոչվում է Պյութագորասյան հավասարում։ Պյութագորասի եռանկյունների ուսումնասիրությունը հանգում է բնական թվերով (2) հավասարման լուծմանը։

Եթե ​​Պյութագորասի որոշակի եռանկյան յուրաքանչյուր կողմը մեծացվի նույնքան անգամ, ապա մենք ստանում ենք նոր ուղղանկյուն եռանկյունի, որը նման է այսին, որի կողմերը արտահայտված են բնական թվերով, այսինքն. կրկին Պյութագորասի եռանկյունին:

Բոլոր նմանատիպ եռանկյունների մեջ կա ամենափոքրը, հեշտ է կռահել, որ դա կլինի եռանկյուն, որի կողմերըX Եվժամը արտահայտված փոխադարձ պարզ թվերով

(GCD (x, y )=1).

Այս անվանենք Պյութագորասի եռանկյունինհիմնական .

Գտեք Պյութագորասի հիմնական եռանկյունները:

Թող եռանկյունի (x , y , զ ) Պյութագորասի հիմնական եռանկյունն է։ ԹվերX Եվժամը համեմատաբար պարզ են, և, հետևաբար, երկուսն էլ չեն կարող հավասար լինել: Եկեք ապացուցենք, որ նրանք երկուսն էլ չեն կարող տարօրինակ լինել։ Դա անելու համար նշեք, որԿենտ թվի քառակուսին 8-ի բաժանելիս թողնում է 1 մնացորդ: Իրականում ցանկացած կենտ բնական թիվ կարող է ներկայացվել որպես2 կ -1 , Որտեղկ պատկանում էՆ .

Այստեղից. = -4 կ +1 = 4 կ ( կ -1)+1.

Թվեր( կ -1) Եվկ – անընդմեջ, դրանցից մեկը պարտադիր հավասար է։ Հետո արտահայտությունըկ ( կ -1) բաժանված2 , 4 կ ( կ -1) բաժանվում է 8-ի, ինչը նշանակում է թիվը 8-ի բաժանելիս մնացորդը 1 է:

Երկու կենտ թվերի քառակուսիների գումարը 8-ի բաժանելիս տալիս է 2-ի մնացորդ, հետևաբար, երկու կենտ թվերի քառակուսիների գումարը զույգ թիվ է, բայց ոչ 4-ի բազմապատիկ, հետևաբար այս թիվը.չի կարող լինել քառակուսի բնական թիվ.

Այսպիսով, հավասարությունը (2) չի կարող տեղի ունենալ, եթեx Եվժամը երկուսն էլ տարօրինակ են:

Այսպիսով, եթե Պյութագորասի եռանկյունին (x, y, զ ) - հիմնական, ապա թվերի շարքումX Եվժամը մեկը պետք է լինի զույգ, մյուսը՝ կենտ։ Թող y թիվը զույգ լինի: ԹվերX Եվզ տարօրինակ (կենտզ հետևում է հավասարությունից (2)):

From Eq.+ = մենք դա ստանում ենք= ( զ + x )( զ - x ) (3).

Թվերզ + x Եվզ - x քանի որ երկու կենտ թվերի գումարն ու տարբերությունը զույգ թվեր են, և հետևաբար (4).

զ + x = 2 ա , զ - x = 2 բ , ՈրտեղԱ Եվբ պատկանելՆ .

զ + x =2 ա , զ - x = 2 բ ,

զ = ա+բ , x = ա - բ. (5)

Այս հավասարություններից բխում է, որա Եվբ փոխադարձաբար պարզ թվեր են:

Սա ապացուցենք հակասությամբ վիճելով։

Թող GCD (ա , բ )= դ , Որտեղդ >1 .

Հետոդ զ Եվx , և հետևաբար թվերըզ + x Եվզ - x . Այնուհետև, հիմնվելով հավասարության վրա (3) կլինի թվի բաժանարար . Այս դեպքումդ կլինի թվերի ընդհանուր բաժանարարժամը ԵվX , բայց թվերըժամը ԵվX պետք է լինի համեմատաբար պարզ:

Թիվժամը , ինչպես հայտնի է, հավասար է, հետևաբարy = 2c , ՈրտեղՀետ - բնական թիվ. Հավասարությունը (3) հիմնված է հավասարության վրա (4) ունի հետևյալ ձևը. =2a*2 բ , կամ =աբ.

Թվաբանությունից հայտնի է, որեթե երկուսի արտադրյալը փոխադարձ է պարզ թվերբնական թվի քառակուսին է, ապա այս թվերից յուրաքանչյուրը նաև բնական թվի քառակուսին է:

Նշանակում է,ա = Եվբ = , Որտեղմ Եվn համեմատաբար պարզ թվեր են, քանի որ դրանք համապարփակ թվերի բաժանարարներ ենԱ Եվբ .

Հավասարության հիման վրա (5) ունենք.

զ = + , x = - , = աբ = * = ; գ = մն

Հետոy = 2 մն .

Թվերմ Եվn , որովհետեւ համեմատաբար պարզ են և չեն կարող նույնիսկ լինել միաժամանակ: Բայց դրանք չեն կարող միաժամանակ տարօրինակ լինել, քանի որ այս դեպքումx = - կլիներ հավասարաչափ, ինչը անհնար է: Այսպիսով, թվերից մեկըմ կամn զույգ է, իսկ մյուսը՝ կենտ: Ակնհայտորեն,y = 2 մն Բաժանվում է 4-ի: Հետևաբար, Պյութագորասի յուրաքանչյուր հիմնական եռանկյունում առնվազն մեկը բաժանվում է 4-ի: Հետևաբար, չկան Պյութագորասյան եռանկյուններ, որոնց բոլոր կողմերը պարզ թվեր են:

Ստացված արդյունքները կարող են արտահայտվել հետևյալ թեորեմի տեսքով.

Բոլոր հիմնական եռանկյունները, որոնցումժամը զույգ թիվ է՝ ստացված բանաձևից

x = - , y =2 մն , զ = + ( մ > n ), Որտեղմ Եվn – համապարփակ թվերի բոլոր զույգերը, որոնցից մեկը զույգ է, մյուսը` կենտ (կարևոր չէ, թե որը): Պյութագորասի յուրաքանչյուր հիմնական եռյակ (x, y, զ ), որտեղժամը – նույնիսկ, որոշվում է եզակիորեն այս կերպ.

Թվերմ Եվn երկուսն էլ չեն կարող լինել զույգ կամ երկուսն էլ կենտ, քանի որ այս դեպքերում

x = կլիներ հավասարաչափ, ինչը անհնար է: Այսպիսով, թվերից մեկըմ կամn զույգ է, իսկ մյուսը՝ կենտ (y = 2 մն բաժանվում է 4-ի):

Աշխատանքի գործնական մասը

Պյութագորասյան եռյակներ կազմելը տարբեր ձևերով

Հինդուիստների բանաձեւերումմ Եվn – համեմատաբար պարզ են, բայց կարող են լինել կամայական հավասարության թվեր, և դրանք օգտագործելով պյութագորասյան եռյակներ կազմելը բավականին դժվար է: Ուստի փորձենք այլ մոտեցում գտնել Պյութագորասյան եռյակներ կազմելու հարցում։

= - = ( զ - y )( զ + y ), ՈրտեղX - տարօրինակ,y - նույնիսկ,զ - տարօրինակ

v = զ - y , u = զ + y

= ուլտրամանուշակագույն , Որտեղu - տարօրինակ,v - կենտ (coprime)

Որովհետեւ երկու կենտ համապարփակ թվերի արտադրյալը բնական թվի քառակուսին է, ապաu = , v = , Որտեղկ Եվլ – համեմատաբար պարզ, կենտ թվեր:

զ - y = զ + y = կ 2 , որտեղից, գումարելով հավասարությունները և մեկից հանելով մյուսը, ստանում ենք.

2 զ = + 2 y = - այն է

z = y = x = kl

կ

լ

x

y

զ

37

9

1

9

40

41 (սզրոներ)*(100…0 (սզրոներ) +1)+1 =200…0 (s-1զրոներ) 200…0 (s-1զրոներ) 1

Պյութագորասյան եռանկյունների կարևոր հատկությունը

Թեորեմ

Հիմնական Պյութագորասի եռանկյունու մեջ ոտքներից մեկը պարտադիր է բաժանվում 4-ի, ոտքներից մեկը պարտադիր է բաժանվում 3-ի, իսկ Պյութագորասի եռանկյունու մակերեսը պարտադիր է 6-ի բազմապատիկ:

Ապացույց

Ինչպես գիտենք, Պյութագորասի յուրաքանչյուր եռանկյունում առնվազն մեկը բաժանվում է 4-ի:

Փաստենք, որ ոտքերից մեկը նույնպես բաժանվում է 3-ի։

Սա ապացուցելու համար ենթադրենք, որ Պյութագորասի եռանկյունում (x , y , զ x կամy 3-ի բազմապատիկ.

Այժմ մենք ապացուցում ենք, որ Պյութագորասի եռանկյան մակերեսը բաժանվում է 6-ի։

Պյութագորասի յուրաքանչյուր եռանկյուն ունի 6-ի բաժանվող բնական թվով արտահայտված տարածք: Սա հետևում է այն փաստին, որ ոտքերից առնվազն մեկը բաժանվում է 3-ի, իսկ ոտքերից առնվազն մեկը բաժանվում է 4-ի: Եռանկյան մակերեսը , որը որոշվում է ոտքերի կես արտադրյալով, պետք է արտահայտվի 6-ի բաժանվող թվով։

Եզրակացություն

Ընթացքի մեջ է

- ապացուցված են հին հինդուների բանաձևերը

- ուսումնասիրություն է իրականացվել Պյութագորասի եռյակների թվի վերաբերյալ (դրանցից անսահման շատ են)

- նշված են Պյութագորասի եռյակները գտնելու մեթոդները

- ուսումնասիրվել են Պյութագորասի եռանկյունների որոշ հատկություններ

Ինձ համար դա շատ էր հետաքրքիր թեմաև իմ հարցերի պատասխանները գտնելը դարձավ շատ հետաքրքիր գործունեություն. Ապագայում ես նախատեսում եմ դիտարկել Պյութագորասի եռյակների կապը Ֆիբոնաչիի հաջորդականության և Ֆերմայի թեորեմի հետ և իմանալ Պյութագորասի եռանկյունների շատ այլ հատկություններ:

գրականություն

Լ.Ս. Աթանասյան «Երկրաչափություն. 7-9 դասարաններ» Մ.: Կրթություն, 2012 թ.

Վ. Սիերպինսկի «Պյութագորասյան եռանկյուններ» Մ.: Ուչպեդգիզ, 1959 թ.

Սարատով

2014

Բեսկրովնի Ի.Մ. 1

1 ՕԱՕ Անգստրեմ-Մ

Աշխատանքի նպատակն է մշակել a2+b2=c2 ձևի պյութագորասյան եռյակների հաշվարկման մեթոդներ և ալգորիթմներ։ Վերլուծության գործընթացն իրականացվել է սկզբունքներին համապատասխան համակարգված մոտեցում. Մաթեմատիկական մոդելների հետ մեկտեղ օգտագործվել են գրաֆիկական մոդելներ, որոնք ցուցադրում են Պյութագորասի եռյակի յուրաքանչյուր անդամ կոմպոզիտային քառակուսիների տեսքով, որոնցից յուրաքանչյուրը բաղկացած է միավոր քառակուսիներից։ Հաստատվել է, որ Պյութագորասի եռյակների անսահման բազմությունը պարունակում է անսահման թիվենթաբազմություններ, որոնք առանձնանում են b–c արժեքների տարբերությամբ: Առաջարկվում է այս տարբերության ցանկացած կանխորոշված ​​արժեքով Պյութագորասի եռյակների ձևավորման ալգորիթմ: Ցույց է տրվում, որ Պյութագորասի եռյակները գոյություն ունեն 3≤a ցանկացած արժեքի համար

Պյութագորասյան եռյակներ

համակարգի վերլուծություն

մաթեմատիկական մոդել

գրաֆիկական մոդել

1. Անոսով Դ.Ն. Հայացք մաթեմատիկայի և դրանից մի բան: – M.: MTsNMO, 2003. – 24 p.: ill.

2. Eyerland K., Rosen M. Դասական ներածություն ժամանակակից թվերի տեսությանը: - Մ.: Միր, 1987:

3. Բեսկրովնի Ի.Մ. Համակարգի վերլուծություն և ինֆորմացիոն տեխնոլոգիակազմակերպություններում: Ուսուցողական. – M.: RUDN, 2012. – 392 p.

4. Սայմոն Սինգհ. Մեծ թեորեմՖերմա.

5. Fermat P. Ուսումնասիրություններ թվերի տեսության և դիոֆանտինի վերլուծության մեջ: - Մ.: Նաուկա, 1992:

6. Յապտրո. Ucoz, Հասանելի է՝ http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5:

Պյութագորասի եռյակները երեք ամբողջ թվերից բաղկացած խումբ են, որոնք բավարարում են պյութագորասի x2 + y2 = z2 հարաբերակցությունը: Ընդհանուր առմամբ, սա Դիոֆանտին հավասարումների հատուկ դեպք է, այն է՝ հավասարումների համակարգ, որտեղ անհայտների թիվը ավելի մեծ է, քան հավասարումների թիվը։ Նրանք հայտնի են շատ վաղուց՝ սկսած Բաբելոնի ժամանակներից, այսինքն՝ Պյութագորասից շատ առաջ։ Եվ նրանք ստացան իրենց անունը այն բանից հետո, երբ Պյութագորասը նրանց հիման վրա ապացուցեց իր հայտնի թեորեմը: Այնուամենայնիվ, ինչպես հետևում է բազմաթիվ աղբյուրների վերլուծությունից, որոնցում այս կամ այն ​​չափով շոշափվում է Պյութագորասի եռյակների հարցը, այս եռյակների առկա դասերի և դրանց ձևավորման հնարավոր ուղիների հարցը դեռ ամբողջությամբ չի բացահայտվել:

Այսպիսով, Սայմոն Սինգհի գրքում ասվում է. «Պյութագորասի աշակերտներն ու հետևորդները ... պատմեցին աշխարհին այսպես կոչված Պյութագորասի երեք բանալիները գտնելու գաղտնիքը»: Այնուամենայնիվ, դրան հետևելով կարդում ենք. - «Պյութագորացիները երազում էին գտնել Պյութագորասի այլ եռյակներ, այլ քառակուսիներ, որոնցից կարելի էր ծալել երրորդ մեծ քառակուսին: ...Քանի որ թվերն ավելանում են, Պյութագորասի եռյակները գնալով ավելի քիչ են տարածված և դառնում ավելի ու ավելի դժվար գտնելը: Պյութագորացիները նման եռյակներ գտնելու մեթոդ են հորինել և, օգտագործելով այն, ապացուցել են, որ պյութագորասյան եռյակները անսահման շատ են»։

Վերոնշյալ մեջբերումում ընդգծված են շփոթություն առաջացնող բառերը. Ինչու՞ «Պյութագորասները երազում էին գտնել…», եթե նրանք «մեթոդ էին հորինել նման եռյակներ գտնելու համար...», և ինչու մեծ թվեր«Նրանց գտնելն ավելի ու ավելի դժվար է դառնում…»

Ընթացքի մեջ է հայտնի մաթեմատիկոսԴ.Վ. Անոսով, պահանջվող պատասխանը կարծես թե տրվել է. - «Կան բնական (այսինքն՝ դրական ամբողջ թվեր) x, y, z թվերի եռյակներ, ինչպիսիք են.

x2 + y2 = z2. (1)

…հնարավո՞ր է բնական թվերով գտնել x2+y2=z2 հավասարման բոլոր լուծումները: …Այո: Պատասխանը հետևյալն է. յուրաքանչյուր նման լուծում կարող է ներկայացվել ձևով

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

որտեղ l, m, n բնական թվեր են, m>n-ով կամ նմանատիպ ձևով, որում x-ը և y-ը փոխանակվում են: Մենք կարող ենք մի փոքր ավելի հակիրճ ասել, որ x, y, z-ն (2)-ից բոլոր հնարավոր բնական l-ով և m > n-ով բոլոր հնարավոր լուծումներն են (1)-ի մինչև x և y-ի փոխակերպումը: Օրինակ՝ եռապատիկը (3, 4, 5) ստացվում է l=1, m=2, n=1-ով։ ... Ըստ երեւույթին, բաբելոնացիները գիտեին այս պատասխանը, բայց թե ինչպես են նրանք հասել դրան, հայտնի չէ»:

Հայտնի է, որ մաթեմատիկոսները շատ խիստ են վերաբերվում իրենց ձևակերպումների խստությանը: Բայց այս մեջբերումում նման խստություն չկա։ Ուրեմն ի՞նչ կոնկրետ՝ գտե՞լ, թե՞ պատկերացնել: Ակնհայտ է, որ դրանք բոլորովին այլ բաներ են։ Ստորև բերված է «թարմ թխված» եռյակների տող (ստացված ստորև նկարագրված մեթոդով).

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Կասկած չկա, որ այս եռյակներից յուրաքանչյուրը կարող է ներկայացվել (2) հարաբերության տեսքով, այնուհետև կարելի է հաշվարկել l, m, n արժեքները: Բայց սա այն բանից հետո, երբ հայտնաբերվել են եռյակների բոլոր արժեքները: Ի՞նչ անել մինչ այդ:

Չի կարելի բացառել, որ այս հարցերի պատասխանները վաղուց հայտնի են։ Բայց ինչ-ինչ պատճառներով դրանք դեռ չեն հայտնաբերվել։ Այսպիսով, այս աշխատանքի նպատակը Պյութագորասի եռյակների հայտնի օրինակների շարքի համակարգված վերլուծությունն է, եռյակների տարբեր խմբերում համակարգ ձևավորող հարաբերությունների որոնումը և այդ խմբերին բնորոշ համակարգային առանձնահատկությունների նույնականացումը և, այնուհետև, զարգացումը: պարզ արդյունավետ ալգորիթմներեռյակների հաշվարկ՝ նախապես սահմանված կոնֆիգուրացիայով: Կազմաձևով մենք հասկանում ենք եռակի մեջ ներառված մեծությունների միջև հարաբերությունները:

Որպես գործիքակազմ՝ մաթեմատիկական ապարատը կօգտագործվի այնպիսի մակարդակով, որը դուրս չի գա մաթեմատիկայի դասավանդման շրջանակներից: ավագ դպրոց, և համակարգի վերլուծություն՝ հիմնված նշված մեթոդների վրա:

Մոդելային շենք

Համակարգի վերլուծության տեսանկյունից, ցանկացած Պյութագորասի եռյակը համակարգ է, որը ձևավորվում է առարկաներից, որոնք երեք թվեր են և դրանց հատկությունները: Դրանց ամբողջությունը, որում առարկաները տեղադրվում են որոշակի հարաբերությունների մեջ և կազմում են մի համակարգ, որն ունի նոր հատկություններ, որոնք բնորոշ չեն ոչ առանձին օբյեկտներին, ոչ էլ դրանց որևէ այլ բազմությանը, որտեղ առարկաները տեղադրվում են այլ հարաբերություններում:

Հավասարման մեջ (1) համակարգի օբյեկտները բնական թվեր են, որոնք կապված են պարզ հանրահաշվական հարաբերություններով. հավասարության նշանից ձախ երկու թվերի գումարն է՝ բարձրացված 2-ի, աջում՝ երրորդ թիվը՝ նույնպես բարձրացված։ 2-ի աստիճանին: Առանձին թվեր, հավասարությունից ձախ, բարձրանալով մինչև 2-ի, նրանք որևէ սահմանափակում չեն դնում իրենց գումարման գործողության վրա. արդյունքում ստացված գումարը կարող է լինել ցանկացած բան: Բայց գումարման գործողությունից հետո դրված հավասարության նշանը համակարգային սահմանափակում է դնում այս գումարի արժեքի վրա՝ գումարը պետք է լինի այնպիսի թիվ, որ քառակուսի արմատ հանելու գործողության արդյունքը լինի բնական թիվ։ Բայց այս պայմանը չի բավարարվում հավասարության ձախ կողմում փոխարինված որևէ թվի համար։ Այսպիսով, հավասարության երկու անդամների և երրորդի միջև տեղադրված հավասար նշանը երեք անդամները վերածում է համակարգի: Այս համակարգի նոր առանձնահատկությունն է բնօրինակ թվերի արժեքների սահմանափակումների ներդրումը:

Նշման ձևի հիման վրա Պյութագորասի եռյակը կարելի է համարել որպես երկրաչափական համակարգի մաթեմատիկական մոդել, որը բաղկացած է երեք քառակուսիներից, որոնք փոխկապակցված են գումարման և հավասարության հարաբերություններով, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 1. Նկ. 1-ը դիտարկվող համակարգի գրաֆիկական մոդելն է, իսկ դրա բանավոր մոդելը հայտարարությունն է.

C կողմի երկարությամբ քառակուսու մակերեսը կարելի է առանց մնացորդի բաժանել երկու քառակուսիների՝ a և b երկարություններով, այնպես, որ դրանց մակերեսների գումարը հավասար լինի սկզբնական քառակուսու մակերեսին, այսինքն՝ բոլորը. երեք մեծություններ a, b և c կապված են հարաբերություններով

Քառակուսի տարրալուծման գրաֆիկական մոդել

Համակարգի վերլուծության կանոնների շրջանակներում հայտնի է, որ եթե մաթեմատիկական մոդելը պատշաճ կերպով արտացոլում է որոշակի երկրաչափական համակարգի հատկությունները, ապա այս համակարգի հատկությունների վերլուծությունն ինքնին թույլ է տալիս պարզաբանել նրա մաթեմատիկական մոդելի հատկությունները. ավելի խորը հասկանալ դրանք, պարզաբանել և, անհրաժեշտության դեպքում, կատարելագործել դրանք: Սա այն ճանապարհն է, որը մենք գնալու ենք։

Հստակեցնենք, որ համակարգային վերլուծության սկզբունքների համաձայն՝ գումարման և հանման գործողություններ կարող են իրականացվել միայն կոմպոզիտային օբյեկտների, այսինքն՝ տարրական օբյեկտների մի շարքից կազմված առարկաների վրա։ Հետևաբար, մենք ցանկացած քառակուսի կընկալենք որպես տարրական կամ միավոր քառակուսիների հավաքածուից կազմված գործիչ: Այնուհետև բնական թվերով լուծում ստանալու պայմանը համարժեք է միավոր քառակուսու անբաժանելիության պայմանի ընդունմանը։

Միավոր քառակուսին այն քառակուսին է, որի յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը հավասար է մեկի: Այսինքն, երբ միավոր քառակուսու մակերեսը որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ.

Քառակուսու քանակական պարամետրը նրա մակերեսն է, որը որոշվում է միավոր քառակուսիների քանակով, որոնք կարող են տեղադրվել տվյալ տարածքում։ x կամայական արժեք ունեցող քառակուսու համար x2 արտահայտությունը որոշում է x երկարության հատվածներով ձևավորված քառակուսու մակերեսը առանձին հատվածներ. Այս հրապարակի տարածքը կարող է տեղավորել x2 միավոր քառակուսիներ:

Վերոհիշյալ սահմանումները կարող են ընկալվել որպես չնչին և ակնհայտ, բայց դա այդպես չէ: Դ.Ն. Անոսովը տարբեր կերպ է սահմանում տարածքի հասկացությունը. Ինչո՞ւ ենք մենք վստահ, որ դա այդպես է։ ...Պատկերացնում ենք ինչ-որ միատարր նյութից կազմված ֆիգուր, ապա դրա մակերեսը համաչափ է իր պարունակած նյութի քանակին՝ զանգվածին։ Հասկանալի է նաև, որ երբ մարմինը բաժանում ենք մի քանի մասերի, նրանց զանգվածների գումարը հավասար է սկզբնական մարմնի զանգվածին: Սա հասկանալի է, քանի որ ամեն ինչ բաղկացած է ատոմներից և մոլեկուլներից, և քանի որ դրանց թիվը չի փոխվել, նրանց ընդհանուր զանգվածն էլ չի փոխվել... Չէ՞ որ իրականում միատարր նյութի զանգվածը համաչափ է դրա ծավալին; Սա նշանակում է, որ դուք պետք է իմանաք, որ տվյալ գործչի ձև ունեցող «թերթի» ծավալը համաչափ է իր տարածքին: Մի խոսքով, որ գործչի մակերեսը հավասար է նրա մասերի մակերեսների գումարին, դա պետք է ապացուցվի երկրաչափության մեջ։ Կիսելևի դասագրքում ազնվորեն որպես մի տեսակ ենթադրություն դրվեց այն տարածքի առկայությունը, որն ունի հենց այն սեփականությունը, որը մենք այժմ քննարկում ենք, և ասվեց, որ դա իրականում ճիշտ է, բայց մենք դա չենք ապացուցի։ Այսպիսով, Պյութագորասի թեորեմը, եթե ապացուցվի տարածքներով, զուտ տրամաբանական իմաստով կմնա ոչ ամբողջությամբ ապացուցված»:

Մեզ թվում է, որ վերը ներկայացված միավոր քառակուսու սահմանումները հանում են նշված Դ.Ն. Անոսովի անորոշություն. Ի վերջո, եթե քառակուսու և ուղղանկյունի մակերեսը որոշվում է դրանք լրացնող քառակուսիների գումարով, ապա երբ ուղղանկյունը բաժանվում է իրար կից կամայական մասերի, ուղղանկյան մակերեսը բնականաբար հավասար է. նրա բոլոր մասերի գումարին:

Ավելին, ներկայացված սահմանումները վերացնում են վերացական երկրաչափական պատկերների նկատմամբ «բաժանել» և «ավելացնել» հասկացությունների օգտագործման անորոշությունը: Իսկապես, ի՞նչ է նշանակում բաժանել ուղղանկյուն կամ որևէ այլ հարթ գործիչմասերի? Եթե ​​դա թղթի թերթիկ է, ապա այն կարելի է կտրել մկրատով։ Եթե ​​հողատարածք է, պարիսպ դիր։ Սենյակ - միջնորմ դնել: Իսկ եթե դա գծված քառակուսի է: Գծե՛ք բաժանարար գիծ և հայտարարե՛ք, որ քառակուսին բաժանված է։ Բայց, ի վերջո, խոսեց Դ.Ի. Մենդելեև. «Դու կարող ես ամեն ինչ հայտարարել, բայց դու գնա և ցույց արա»:

Իսկ առաջարկվող սահմանումներն օգտագործելիս «Բաժանել գործիչ» նշանակում է այս թիվը լրացնող միավոր քառակուսիների թիվը երկու (կամ ավելի) մասերի բաժանել: Այս մասերից յուրաքանչյուրի միավոր քառակուսիների թիվը որոշում է դրա տարածքը: Այս մասերին կարող են տրվել ցանկացած կոնֆիգուրացիա, բայց դրանց տարածքների գումարը միշտ հավասար կլինի բնօրինակ գործչի մակերեսին: Միգուցե մաթեմատիկոսներն այս փաստարկները սխալ համարեն, հետո մենք դրանք կընդունենք որպես ենթադրություն։ Եթե ​​նման ենթադրություններն ընդունելի են Կիսելյովի դասագրքում, ապա մեզ համար ամոթ կլինի նմանատիպ տեխնիկա չկիրառելը։

Համակարգի վերլուծության առաջին փուլը խնդրի իրավիճակի բացահայտումն է: Այս փուլի սկզբում հայտնաբերվել են մի քանի հարյուր Պյութագորասի եռյակներ տարբեր աղբյուրներ. Միևնույն ժամանակ, ուշադրություն հրավիրվեց այն փաստի վրա, որ հրապարակումների մեջ նշված Պյութագորասի եռյակների ամբողջ շարքը կարելի է բաժանել մի քանի խմբերի, որոնք տարբերվում են կազմաձևով: Որպես կոնկրետ կոնֆիգուրացիայի նշան, մենք կդիտարկենք սկզբնական և հանված քառակուսիների կողմերի երկարությունների տարբերությունը, այսինքն. c-b արժեքը. Օրինակ, հրապարակումները հաճախ որպես օրինակ ցույց են տալիս c-b=1 պայմանը բավարարող եռյակներ: Ենթադրենք, որ նման Պյութագորաս եռյակների ամբողջ հավաքածուն կազմում է մի շարք, որը մենք կանվանենք «դաս c-1», և մենք կվերլուծենք այս դասի հատկությունները:

Դիտարկենք նկարում ներկայացված երեք քառակուսիները, որտեղ c-ն կրճատվող քառակուսու կողմի երկարությունն է, b-ը հանված քառակուսու կողմի երկարությունն է, իսկ a-ն՝ դրանց տարբերությունից գոյացած քառակուսու կողմի երկարությունը: Նկ. 1 երևում է, որ հանված քառակուսու մակերեսը կրճատված քառակուսու տարածքից հանելիս, մնացորդը մնում է միավոր քառակուսիների երկու շերտ.

Որպեսզի այս մնացորդից քառակուսի ձևավորվի, պետք է կատարվի պայմանը

Այս հարաբերությունները հնարավորություն են տալիս որոշել եռյակի բոլոր անդամների արժեքները՝ օգտագործելով մեկ տրված c թիվը: Ամենափոքր c թիվը, որը բավարարում է (6) կապը c = 5 թիվն է: Այսպիսով, բոլորի երկարությունները երեք կողմքառակուսիներ բավարարող հարաբերություն (1): Հիշեցնենք, որ միջին քառակուսու կողմի b արժեքը

ընտրվել է այն ժամանակ, երբ մենք որոշեցինք ձևավորել միջին քառակուսիը՝ մեկով փոքրացնելով սկզբնական քառակուսու կողմը: Այնուհետև (5), (6) հարաբերություններից։ (7) մենք ստանում ենք հետևյալ կապը.

որից հետևում է, որ ընտրված c = 5 արժեքը եզակիորեն սահմանում է b = 4, a = 3 արժեքները:

Արդյունքում ստացվել են հարաբերություններ, որոնք թույլ են տալիս մեզ ներկայացնել «c - 1» դասի ցանկացած Պյութագորասյան եռյակ այնպիսի ձևով, որտեղ բոլոր երեք տերմինների արժեքները որոշվում են մեկ նշված պարամետրով՝ c-ի արժեքով.

Ավելացնենք, որ վերը նշված օրինակում 5 թիվը հայտնվել է որպես c-ի բոլոր հնարավոր արժեքների նվազագույնը, որի համար (6) հավասարումը լուծում ունի բնական թվերով: Նույն հատկությամբ հաջորդ թիվը 13-ն է, այնուհետև 25-ը, այնուհետև 41-ը, 61-ը, 85-ը և այլն: Ինչպես տեսնում եք, այս թվերի շարքում հարևան թվերի միջակայքերը արագորեն մեծանում են: Այսպիսով, օրինակ, վավեր արժեքից հետո հաջորդ վավեր արժեքն է, իսկ հետո՝ հաջորդ վավեր արժեքն է, այսինքն՝ վավեր արժեքն ավելի քան հիսուն միլիոն հեռու է նախորդից:

Այժմ պարզ է, թե որտեղից է գրքում այս արտահայտությունը. - «Քանի որ թվերն ավելանում են, Պյութագորասյան եռյակներն ավելի ու ավելի քիչ են տարածված, և նրանց գտնելն ավելի ու ավելի դժվար է դառնում…»: Սակայն այս հայտարարությունը չի համապատասխանում իրականությանը: Մնում է միայն նայել պյութագորասյան եռյակներին, որոնք համապատասխանում են c-ի հարևան արժեքների վերը նշված զույգերին, և մեկ հատկանիշ անմիջապես գրավում է աչքը՝ երկու զույգում էլ, որոնցում c-ի արժեքները բաժանված են այնպիսի մեծ ընդմիջումներով, ստացված արժեքները հարևան կենտ թվեր են: Իսկապես, առաջին զույգի համար մենք ունենք

իսկ երկրորդ զույգի համար

Այսպիսով, եռյակներն իրենք չեն, որ «ավելի հազվադեպ են դառնում», այլ c-ի հարակից արժեքների միջև ընդմիջումները մեծանում են: Պյութագորասյան եռյակներն իրենք, ինչպես ցույց կտանք ստորև, գոյություն ունեն ցանկացած բնական թվի համար:

Հիմա եկեք նայենք հաջորդ դասի եռյակներին՝ «դաս c-2»: Ինչպես երևում է Նկ. 1, երբ c կողմով քառակուսիից հանում ենք կողմ (c - 2) քառակուսի, մնացորդ է գոյանում երկու միավոր գծերի գումարի տեսքով։ Այս գումարի արժեքը որոշվում է հավասարմամբ.

(10) հավասարումից մենք ստանում ենք հարաբերություններ, որոնք սահմանում են «c-2» դասի եռյակների անվերջ բազմությունը.

Բնական թվերում (11) հավասարման լուծման առկայության պայմանը c-ի ցանկացած արժեք է, որի համար a-ն բնական թիվ է։ c-ի նվազագույն արժեքը, որի համար գոյություն ունի լուծում, c = 5 է: Այնուհետև եռյակների այս դասի «մեկնարկային» եռյակը որոշվում է a = 4, b = 3, c = 5 բազմությամբ: Այսինքն, կրկին դասական Ձևավորվում է եռակի 3, 4, 5, միայն այժմ հանված քառակուսու մակերեսը փոքր է մնացորդի մակերեսից։

Եվ վերջապես, մենք կվերլուծենք «s-8» դասի եռյակները: Եռյակների այս դասի համար, քառակուսու մակերեսը սկզբնական քառակուսու c2 տարածքից հանելիս, ստանում ենք.

Այնուհետև (12) հավասարումից հետևում է.

c-ի նվազագույն արժեքը, որում առկա է լուծումը, c = 13 է: Պյութագորասյան եռյակը այս արժեքով ստանում է 12, 5, 13 ձևը: Այս դեպքում կրկին հանված քառակուսու մակերեսը փոքր է, քան մնացածը. Իսկ նշումները վերադասավորելով՝ ստանում ենք եռակի 5, 12, 13, որն իր կազմաձևով պատկանում է «c - 1» դասին։ Թվում է, որ այլ հնարավոր կոնֆիգուրացիաների հետագա վերլուծությունը սկզբունքորեն նոր բան չի բացահայտի:

Հաշվարկված գործակիցների արդյունք

Նախորդ բաժնում վերլուծության տրամաբանությունը զարգացավ համակարգի վերլուծության պահանջներին համապատասխան իր հինգ հիմնական փուլերից չորսում՝ խնդրի իրավիճակի վերլուծություն, նպատակների ձևավորում, գործառույթների ձևավորում և կառուցվածքի ձևավորում: Այժմ ժամանակն է անցնել վերջին՝ հինգերորդ փուլին՝ ստուգելով իրագործելիությունը, այսինքն՝ ստուգելու, թե որքանով են հասել նպատակները: .

Աղյուսակը ներկայացված է ստորև: 1, որը ցույց է տալիս «c - 1» դասին պատկանող Պյութագորաս եռյակների արժեքները: Եռյակների մեծ մասը հայտնաբերվել է տարբեր հրապարակումներում, բայց 999, 1001 արժեքների համար եռյակներ չեն հայտնաբերվել հայտնի հրապարակումներում:

Աղյուսակ 1

«c-1» դասի Պյութագորաս եռյակներ

Կարելի է ստուգել, ​​որ բոլոր եռյակները բավարարում են հարաբերությունը (3): Այսպիսով, դրված նպատակներից մեկը ձեռք է բերվել. Նախորդ բաժնում ստացված (9), (11), (13) հարաբերությունները հնարավորություն են տալիս ձևավորել եռյակների անսահման բազմություն՝ նշելով մեկ պարամետր c - քառակուսի կողմը կրճատվում է: Սա, իհարկե, ավելի կառուցողական տարբերակ է, քան (2) հարաբերակցությունը, որն օգտագործելու համար պետք է կամայականորեն նշել l, m, n երեք թվեր, որոնք ունեն ցանկացած արժեք, ապա փնտրել լուծում՝ իմանալով միայն, որ վերջում Պյութագորասի եռապատիկը անպայման ձեռք կբերվի, իսկ որը նախապես անհայտ է։ Մեր դեպքում ձևավորվող եռակի կոնֆիգուրացիան նախապես հայտնի է և պետք է նշել միայն մեկ պարամետր: Բայց, ավաղ, այս պարամետրի յուրաքանչյուր արժեքի լուծում չկա: Եվ դուք պետք է նախապես իմանաք դրա թույլատրելի արժեքները: Այսպիսով, ստացված արդյունքը լավ է, բայց հեռու իդեալականից։ Ցանկալի է ստանալ այնպիսի լուծում, որ կամայականորեն տրված ցանկացած բնական թվի համար հնարավոր լինի հաշվարկել Պյութագորասի եռյակները։ Այդ նպատակով կվերադառնանք չորրորդ փուլին՝ ստացված մաթեմատիկական հարաբերությունների կառուցվածքի ձևավորմանը։

Քանի որ c-ի ընտրությունը որպես հիմնական պարամետր եռակի մնացած անդամները որոշելու համար անհարմար է ստացվել, պետք է փորձել մեկ այլ տարբերակ։ Ինչպես երևում է աղյուսակից. 1, a պարամետրի ընտրությունը որպես հիմք նախընտրելի է թվում, քանի որ այս պարամետրի արժեքները հաջորդական են կենտ բնական թվերի շարքում: Պարզ փոխակերպումներից հետո հարաբերությունները (9) բերում ենք ավելի կառուցողական ձևի.

Հարաբերությունները (14) թույլ են տալիս մեզ գտնել պյութագորասյան եռյակ a-ի ցանկացած կենտ արժեքի համար: Ավելին, b-ի արտահայտության պարզությունը թույլ է տալիս հաշվարկներ կատարել նույնիսկ առանց հաշվիչի։ Իրոք, ընտրելով, օրինակ, 13 թիվը, մենք ստանում ենք.

Իսկ 99 թվի համար մենք համապատասխանաբար ստանում ենք.

Հարաբերությունները (15) թույլ են տալիս մեզ ստանալ Պյութագորասի տողի բոլոր երեք անդամների արժեքները ցանկացած տրված n-ի համար՝ սկսած n=1-ից:

Այժմ դիտարկենք «c-2» դասի Պյութագորասի եռյակները: Աղյուսակում 2-ը որպես օրինակ ցույց է տալիս տասը նման եռյակ: Ավելին, հայտնի հրապարակումներում հայտնաբերվել է եռյակի միայն երեք զույգ՝ 8, 15, 23; 12, 35, 36; և 16, 63, 65. Սա բավական էր որոշելու համար, թե ինչ ձևով են դրանք ձևավորվում։ Մնացած յոթը հայտնաբերվել են նախկինում ստացված հարաբերություններից (11): Հաշվարկի հարմարության համար այս հարաբերակցությունները փոխակերպվեցին այնպես, որ բոլոր պարամետրերը արտահայտվեցին a արժեքով: (11)-ից ակնհայտորեն հետևում է, որ «c - 2» դասի բոլոր եռյակները բավարարում են հետևյալ հարաբերությունները.

աղյուսակ 2

«c-2» դասի Պյութագորաս եռյակներ

Ինչպես երևում է աղյուսակից. 2, «c - 2» դասի եռյակների ամբողջ անսահման հավաքածուն կարելի է բաժանել երկու ենթադասերի։ Եռյակների համար, որոնց a արժեքը առանց մնացորդի բաժանվում է 4-ի, b և c արժեքները կենտ են: Այնպիսի եռյակները, որոնց համար GCD = 1, կոչվում են պարզունակ: Եռյակների համար, որոնց a արժեքները ամբողջ թվերով չեն բաժանվում 4-ի, a, b, c եռակի բոլոր երեք անդամները զույգ են։

Այժմ եկեք անցնենք բացահայտված դասերից երրորդի` «c - 8» դասի վերլուծության արդյունքների քննարկմանը: Այս դասի համար հաշվարկված հարաբերությունները, որոնք ստացվել են (13-ից), ունեն ձև.

Հարաբերությունները (20), (21) ըստ էության նույնական են։ Տարբերությունը միայն գործողությունների հաջորդականության ընտրության մեջ է: Կամ, համաձայն (20), ընտրվում է a-ի ցանկալի արժեքը (այս դեպքում պահանջվում է, որ այդ արժեքը բաժանվի 4-ի), այնուհետև որոշվում են b և c արժեքները: Կամ ընտրվում է կամայական թիվ, այնուհետև (21) հարաբերություններից որոշվում են Պյութագորասի եռյակի բոլոր երեք անդամները։ Աղյուսակում Նկար 3-ը ցույց է տալիս Պյութագորասի մի շարք եռյակներ, որոնք հաշվարկված են այս կերպ: Այնուամենայնիվ, Պյութագորասի եռյակների արժեքները հաշվարկելը կարող է նույնիսկ ավելի պարզ լինել: Եթե ​​հայտնի է առնվազն մեկ արժեք, ապա բոլոր հետագա արժեքները որոշվում են շատ պարզ հետևյալ հարաբերություններով.

Աղյուսակ 3

Հարաբերության (22) վավերականությունը բոլորի համար կարելի է ստուգել՝ օգտագործելով աղյուսակի եռյակները: 2, և ըստ այլ աղբյուրների։ Որպես օրինակ՝ աղյուսակում. Շեղատառով 4-ը եռյակներ են Պյութագորասի եռյակների ընդարձակ աղյուսակից (10000 եռյակ)՝ հաշվարկված հիման վրա. համակարգչային ծրագիր(2) հարաբերությամբ, իսկ թավերով՝ եռյակներ, որոնք հաշվարկվում են (20) հարաբերությամբ։ Այս արժեքները նշված աղյուսակում չէին:

Աղյուսակ 4

«c-8» դասի Պյութագորաս եռյակներ

Ըստ այդմ, ձևի եռյակների համար կարող են օգտագործվել հետևյալ հարաբերությունները.

Եվ նման եռյակների համար<>, մենք ունենք հարաբերություն.

Հարկ է ընդգծել, որ վերը քննարկված եռյակների «c - 1», «c - 2», «c - 8» դասերը կազմում են տրված աղյուսակի առաջին հազար եռյակների ավելի քան 90%-ը։ Սա հիմք է տալիս ընկալել այս դասերը որպես հիմնական: Ավելացնենք, որ (22), (23), (24) հարաբերությունները բխեցնելիս մենք չենք օգտագործել թվերի տեսության մեջ ուսումնասիրված թվերի որևէ հատուկ հատկություն (պարզ, նույնական և այլն)։ Պյութագորասյան եռյակների ձևավորման բացահայտված օրինաչափությունները որոշվում են միայն այս եռյակներով նկարագրված երկրաչափական պատկերների համակարգային հատկություններով՝ քառակուսիներ, որոնք բաղկացած են միավոր քառակուսիներից։

Եզրակացություն

Այժմ, ինչպես Էնդրյու Ուայլսն ասաց 1993 թվականին. «Կարծում եմ, որ պետք է դադարեմ այնտեղ»։ Առաջադրված նպատակն ամբողջությամբ իրականացվել է. Ցույց է տրվում, որ մաթեմատիկական մոդելների հատկությունների վերլուծությունը, որոնց կառուցվածքը կապված է երկրաչափական պատկերների հետ, զգալիորեն պարզեցվում է, եթե վերլուծության գործընթացում, զուտ մաթեմատիկական հաշվարկների հետ մեկտեղ, նաև. երկրաչափական հատկություններուսումնասիրվող մոդելներ. Պարզեցում է ձեռք բերվում, մասնավորապես, շնորհիվ այն բանի, որ հետազոտողը «տեսնում է» ցանկալի արդյունքները` առանց մաթեմատիկական վերափոխումների:

Օրինակ՝ հավասարությունը

ակնհայտ է դառնում առանց ձախ կողմում վերափոխումների, պարզապես նայեք Նկ. 1, որը ցույց է տալիս այս հավասարության գրաֆիկական մոդելը:

Արդյունքում, վերլուծության հիման վրա ցույց է տրվել, որ կողմ ունեցող ցանկացած քառակուսու համար կարող են գտնել b և c կողմերով քառակուսիներ, որոնց համար հավասարություն է պահպանվում և ստացվում են հարաբերություններ, որոնք ապահովում են արդյունքների ստացումը նվազագույն քանակությամբ հաշվարկներով.

a-ի կենտ արժեքների համար,

և - նույնիսկ արժեքների համար:

Մատենագիտական ​​հղում

Բեսկրովնի Ի.Մ. ՊՅՈՒԹԱԳՈՐԱՅԻ ԵՌԱԿՆԵՐԻ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԱՅԻՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ // Ժամանակակից բարձր տեխնոլոգիաներ. – 2013. – No 11. – P. 135-142;
URL՝ http://site/ru/article/view?id=33537 (մուտքի ամսաթիվ՝ 03/20/2020): Ձեր ուշադրությանն ենք ներկայացնում «Բնական գիտությունների ակադեմիա» հրատարակչության հրատարակած ամսագրերը.

Բելոտելով Վ.Ա. Պյութագորասյան եռյակները և նրանց թիվը // Նեստերովի հանրագիտարան

Այս հոդվածը պատասխանն է մեկ պրոֆեսորի՝ շչիպաչին: Տեսեք, պրոֆեսոր, մեր գյուղում ոնց են անում։

Նիժնի Նովգորոդի մարզ, Զավոլժիե.

Պահանջում է դիոֆանտին հավասարումների լուծման ալգորիթմի (ARDE) և բազմանդամների առաջընթացների իմացություն։

ԵԹԵ-ը պարզ թիվ է:

SP-ն բաղադրյալ թիվ է։

Թող լինի կենտ թիվ N. Ցանկացած կենտ թվի համար, բացի մեկից, կարող եք ստեղծել հավասարում:

p 2 + N = q 2,

որտեղ р + q = N, q – р = 1:

Օրինակ, 21 և 23 թվերի համար հավասարումները կլինեն.

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Եթե ​​N-ը պարզ թիվ է, ապա այս հավասարումը եզակի է: Եթե ​​N թիվը բաղադրյալ է, ապա նմանատիպ հավասարումներ կարելի է կառուցել՝ օգտագործելով այս թիվը ներկայացնող զույգ գործոնները, ներառյալ 1 x N:

Վերցնենք N = 45 թիվը, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45:

Մտածում էի, թե արդյոք, կառչելով IF-ի և միջին միջակայքի այս տարբերությունից, հնարավոր կլինի՞ գտնել դրանց նույնականացման մեթոդ:

Ներկայացնենք մի քանի նշում.

Փոխենք ստորին հավասարումը, -

N = 2-ում – a 2 = (in – a)(in + a):

Եկեք խմբավորենք N-ի արժեքները ըստ b - a չափանիշի, այսինքն. Եկեք սեղան պատրաստենք:

N թվերն ամփոփվել են մատրիցով, -

Հենց այս առաջադրանքի համար մենք պետք է գործ ունենանք բազմանդամների և դրանց մատրիցների առաջընթացների հետ: Ամեն ինչ ապարդյուն ստացվեց. IF-ները հզոր պահեցին իրենց պաշտպանությունը: Աղյուսակ 1-ում մուտքագրենք սյունակ, որտեղ b - a = 1 (q - p = 1):

Եվս մեկ անգամ։ Աղյուսակ 2-ը ստացվել է IF-ի և MF-ի նույնականացման խնդիրը լուծելու փորձի արդյունքում: Աղյուսակից հետևում է, որ ցանկացած N թվի համար կա նույնքան հավասարումներ a 2 + N = 2-ում, քանի զույգ գործոնի կարելի է բաժանել N թիվը, ներառյալ 1 x N գործակիցը: Բացի այդ. N = ℓ 2 թվերը, որտեղ

ℓ - ԵԹԵ. N = ℓ 2-ի համար, որտեղ ℓ-ը հաճախականության փոխարկիչն է, կա եզակի հավասարում p 2 + N = q 2: Ի՞նչ հավելյալ ապացույցի մասին կարող է խոսք լինել, եթե աղյուսակում թվարկված են ավելի փոքր գործակիցները N կազմող գործոնների զույգերից՝ մեկից մինչև ∞։ Աղյուսակ 2-ը մենք կտեղադրենք կրծքավանդակի մեջ, իսկ կրծքավանդակը կթաքցնենք պահարանում:

Վերադառնանք հոդվածի վերնագրում նշված թեմային.

Այս հոդվածը պատասխանն է մեկ պրոֆեսորի՝ շչիպաչին:

Ես օգնություն խնդրեցի, ինձ անհրաժեշտ էին մի շարք համարներ, որոնք չկարողացա գտնել ինտերնետում: Ես բախվեցի այնպիսի հարցերի, ինչպիսիք են «ինչո՞ւ», «ցույց տուր ինձ մեթոդը»: Մասնավորապես, հարց կար այն մասին, թե արդյոք Պյութագորասի եռյակների շարքն անվերջ է, «ինչպե՞ս դա ապացուցել»։ Նա ինձ չօգնեց։ Տեսեք, պրոֆեսոր, մեր գյուղում ոնց են անում։

Վերցնենք Պյութագորասի եռյակների բանաձևը.

x 2 = y 2 + z 2. (1)

Եկեք այն անցնենք ARD-ի միջով:

Հնարավոր է երեք իրավիճակ.

I. x – կենտ թիվ,

y-ն զույգ թիվ է,

z-ն զույգ թիվ է:

Եվ կա x > y > z պայման:

II. x-ը կենտ թիվ է,

y-ն զույգ թիվ է,

z-ն կենտ թիվ է:

x > z > y.

III.x – զույգ թիվ,

y-ը կենտ թիվ է,

z-ն կենտ թիվ է:

x > y > z.

Սկսենք հերթականությամբ Ի-ից.

Ներկայացնենք նոր փոփոխականներ

Փոխարինենք (1) հավասարման մեջ։

Կրճատենք ավելի փոքր փոփոխականով 2γ:

(2α – 2γ + 2k + 1) 2 = (2β – 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2:

Եկեք կրճատենք 2β – 2γ փոփոխականը ավելի փոքր փոփոխականով՝ միաժամանակ ներմուծելով նոր պարամետր ƒ, -

(2α – 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Այնուհետեւ, 2α – 2β = x – y – 1:

Հավասարումը (2) կստանա հետևյալ ձևը՝

(x – y + 2ƒ + 2k) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Եկեք հրապարակենք այն -

(x – y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x – y) + (2ƒ + 2k) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x – y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x – y) – (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDE-ը պարամետրերի միջոցով տալիս է հավասարման առաջատար անդամների հարաբերությունները, ուստի մենք ստանում ենք (3) հավասարումը:

Լուծումներ ընտրելը լավ գաղափար չէ։ Բայց, նախ՝ գնալու տեղ չկա, երկրորդ՝ այս լուծումներից մի քանիսն են պետք, և մենք կարող ենք վերականգնել լուծումների անվերջ շարանը։

Երբ ƒ = 1, k = 1, մենք ունենք x – y = 1:

ƒ = 12, k = 16-ով ունենք x – y = 9:

ƒ = 4, k = 32-ի դեպքում մենք ունենք x – y = 25:

Ընտրելու համար կարող է երկար ժամանակ տևել, բայց ի վերջո շարքը կստանա այն ձևը.

x – y = 1, 9, 25, 49, 81, ….

Դիտարկենք II տարբերակը.

Եկեք նոր փոփոխականներ մտցնենք (1) հավասարման մեջ.

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2.

Կրճատենք ավելի փոքր փոփոխականով 2 β, -

(2α – 2β + 2k + 1) 2 = (2α – 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2.

Կրճատենք ավելի փոքր փոփոխականով 2α – 2β, –

(2α – 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2: (4)

2α – 2γ = x – z և այն փոխարինել (4) հավասարմամբ:

(x – z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x – z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x – z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x – z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1)(x – z) – (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4-ի դեպքում մենք ունենք x – z = 2:

ƒ = 8, k = 14-ի դեպքում մենք ունենք x – z = 8:

ƒ = 3, k = 24-ով ունենք x – z = 18:

x – z = 2, 8, 18, 32, 50, ….

Եկեք նկարենք trapezoid -

Գրենք բանաձևը.

որտեղ n=1, 2,... ∞.

Մենք չենք նկարագրի III դեպքը. այնտեղ լուծումներ չկան:

II պայմանի համար եռյակների հավաքածուն կլինի հետևյալը.

Հավասարումը (1) ներկայացված է x 2 = z 2 + y 2 պարզության համար:

I պայմանի համար եռյակների հավաքածուն կլինի հետևյալը.

Ընդհանուր առմամբ կան եռյակների 9 սյունակներ, որոնցից յուրաքանչյուրում կա հինգ եռյակ։ Իսկ ներկայացված սյունակներից յուրաքանչյուրը կարելի է գրել մինչև ∞։

Որպես օրինակ դիտարկենք վերջին սյունակի եռյակները, որտեղ x – y = 81:

x մեծությունների համար գրում ենք trapezoid, -

Եկեք գրենք բանաձևը.

y մեծությունների համար գրում ենք trapezoid, -

Եկեք գրենք բանաձևը.

z-ի արժեքների համար մենք գրում ենք trapezoid, -

Եկեք գրենք բանաձևը.

Որտեղ n = 1 ÷ ∞:

Ինչպես խոստացվել էր, x – y = 81 եռապատկերների շարքը թռչում է դեպի ∞:

Փորձ է արվել կառուցել մատրիցներ x, y, z արժեքների համար I և II դեպքերի համար:

Եկեք վերջին հինգ սյունակից վերևի տողերից գրենք x-ի արժեքները և կառուցենք trapezoid:

Չստացվեց, բայց օրինակը պետք է լինի քառակուսի: Ամեն ինչ կարգին պահելու համար պարզվեց, որ անհրաժեշտ էր միավորել I և II սյունակները։

II դեպքում y և z արժեքները կրկին փոխանակվում են:

Մեզ հաջողվեց միավորվել մեկ պատճառով՝ քարտերը լավ աշխատեցին այս առաջադրանքում՝ հաջողություն:

Այժմ դուք կարող եք գրել մատրիցները x, y, z-ի համար:

Վերին տողերից վերցնենք x արժեքները վերջին հինգ սյունակից և կառուցենք տրապիզոիդ:

Ամեն ինչ լավ է, մենք կարող ենք կառուցել մատրիցներ, և եկեք սկսենք z-ի մատրիցով:

Վազիր դեպի կրծքավանդակի պահարանը։

Ընդհանուր. Բացի միասնությունից, թվային տողի յուրաքանչյուր կենտ թիվ մասնակցում է պյութագորասյան եռյակների ձևավորմանը, որը հավասար է տվյալ N թիվը կազմող գործոնների զույգերի թվին, ներառյալ 1 x N գործոնը:

N = ℓ 2 թիվը, որտեղ ℓ-ը հաճախականության գործակիցն է, կազմում է մեկ Պյութագորասի եռակի, եթե ℓ-ը հաճախականության հաճախականությունն է, ապա ℓxℓ գործակիցների վրա եռապատիկ չկա:

Եկեք կառուցենք մատրիցներ x, y արժեքների համար:

Սկսենք աշխատել x-ի մատրիցով։ Դա անելու համար եկեք կոորդինատային ցանցը ձգենք IF-ի և MF-ի նույնականացման առաջադրանքից դրա վրա:

Ուղղահայաց տողերի համարակալումը նորմալացվում է արտահայտությամբ

Մենք կհեռացնենք առաջին սյունակը, քանի որ

Մատրիցը կունենա ձև.

Եկեք նկարագրենք ուղղահայաց շարքերը, -

Եկեք նկարագրենք «a»-ի գործակիցները.

Եկեք նկարագրենք անվճար պայմանները.

Եկեք ստեղծենք «x»-ի ընդհանուր բանաձևը.

Եթե ​​մենք նմանատիպ աշխատանք տանենք «y»-ի համար, ապա կստանանք.

Դուք կարող եք այս արդյունքին մոտենալ մյուս կողմից:

Վերցնենք հավասարումը -

a 2 + N = 2-ում:

Եկեք մի փոքր վերափոխենք այն,

N = 2-ում – a 2:

Եկեք հրապարակենք այն -

N 2 = 4-ում – 2-ը 2-ում a 2 + a 4-ում:

Հավասարման ձախ և աջ կողմերում մենք ավելացնում ենք 4վ 2 а 2 արժեքը, -

N 2 + 4b 2 a 2 = b 4 + 2b 2 a 2 + a 4.

Եւ, վերջապես, -

(2 + a 2-ում) 2 = (2va) 2 + N 2:

Պյութագորասյան եռյակները կազմված են հետևյալ կերպ.

Դիտարկենք օրինակ N = 117 թվով։

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117:

Աղյուսակ 2-ի ուղղահայաց սյունակները համարակալված են a – a արժեքներով, իսկ 3-րդ աղյուսակի ուղղահայաց սյունակները համարակալված են x – y արժեքներով:

x – y = (c – a) 2,

x = y + (c – a) 2.

Կազմենք երեք հավասարումներ.

(y + 1 2) 2 = y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 = y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 = y 2 + 117 2:

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117:

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13):

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117:

3-րդ և 39-րդ գործակիցները համապարփակ թվեր չեն, ուստի ստացվել է մեկ եռակի 9 գործակցով։

Եկեք պատկերենք վերևում գրվածը ընդհանուր խորհրդանիշներով.

Այս աշխատանքում ամեն ինչ, այդ թվում՝ թվով Պյութագորասի եռապատկերը հաշվարկելու օրինակ

N = 117, կապված է ավելի փոքր գործակցի հետ - ա. Բացահայտ խտրականություն՝ կապված + ա գործոնի հետ: Եկեք շտկենք այս անարդարությունը՝ ստեղծելով երեք հավասարումներ՝ + a գործակցով։

Վերադառնանք IF-ի և MF-ի նույնականացման հարցին։

Այս ուղղությամբ շատ բան է արվել, և այսօր առաջացել է հետևյալ գաղափարը՝ նույնականացման հավասարում, որը կարող է որոշել գործոնները, գոյություն չունի:

Ենթադրենք F = a,b (N) կապը գտնված է։

Կա մի բանաձեւ

Դուք կարող եք ազատվել b-ից F բանաձևով և կստանաք n-րդ աստիճանի միատարր հավասարում a-ի նկատմամբ, այսինքն. F = a (N):

Ցանկացած աստիճանի համար n տրված հավասարումըկա N թիվ, որն ունի m զույգ գործակիցներ, m > n-ի համար:

Եվ որպես հետևանք, n աստիճանի միատարր հավասարումը պետք է ունենա m արմատներ:

Այո, սա չի կարող լինել:

Այս աշխատանքում N թվերը դիտարկվել են x 2 = y 2 + z 2 հավասարման համար, երբ դրանք հավասարման մեջ z-ի փոխարեն են: Երբ N-ը x-ի փոխարեն է, սա այլ խնդիր է:

Հարգանքներով՝ Բելոտելով Վ.Ա.

«Տարածաշրջանային կրթական կենտրոն»

Մեթոդական մշակում

Օգտագործելով Պյութագորասի եռյակները լուծելիս

Պետական ​​միասնական քննության երկրաչափական խնդիրներ և եռանկյունաչափական առաջադրանքներ

Կալուգա, 2016 թ

I. Ներածություն

Պյութագորասի թեորեմը երկրաչափության հիմնական և, նույնիսկ կարելի է ասել, ամենակարևոր թեորեմներից մեկն է։ Դրա նշանակությունը կայանում է նրանում, որ երկրաչափության թեորեմների մեծ մասը կարելի է դուրս բերել դրանից կամ նրա օգնությամբ։ Պյութագորասի թեորեմը նույնպես ուշագրավ է, քանի որ ինքնին ամենևին էլ ակնհայտ չէ։ Օրինակ, հավասարաչափ եռանկյունու հատկությունները կարելի է տեսնել անմիջապես գծագրում: Բայց որքան էլ նայեք ուղղանկյուն եռանկյունին, երբեք չեք տեսնի, որ նրա կողմերի միջև կա այդպիսի պարզ հարաբերություն. a2+b2=գ2. Այնուամենայնիվ, Պյութագորասը չէր, ով հայտնաբերեց իր անունը կրող թեորեմը։ Դա հայտնի էր նույնիսկ ավելի վաղ, բայց թերևս միայն որպես չափումներից ստացված փաստ: Ենթադրաբար, Պյութագորասը գիտեր դա, բայց գտավ ապացույցներ:

Կան անթիվ բնական թվեր ա, բ, գ, բավարարելով հարաբերությունները a2+b2=գ2.. Նրանք կոչվում են Պյութագորասյան թվեր. Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ նման թվերը կարող են ծառայել որպես որոշակի ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի երկարություն՝ մենք դրանք կանվանենք Պյութագորասի եռանկյունիներ։

Աշխատանքի նպատակը.ուսումնասիրել Պյութագորասի եռյակների օգտագործման հնարավորությունը և արդյունավետությունը խնդիրների լուծման համար դպրոցական դասընթացմաթեմատիկա, միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներ.

Ելնելով աշխատանքի նպատակից՝ սահմանվում են. առաջադրանքներ:

Ուսումնասիրեք Պյութագորասի եռյակների պատմությունը և դասակարգումը: Վերլուծեք խնդիրները՝ օգտագործելով Պյութագորասի եռյակները, որոնք առկա են դպրոցական դասագրքերում և հայտնաբերված թեստային և չափման նյութերում միասնական պետական ​​քննության համար: Գնահատեք Պյութագորասի եռյակների և դրանց հատկությունների օգտագործման արդյունավետությունը խնդիրների լուծման համար:

Ուսումնասիրության օբյեկտՊյութագորասյան թվերի եռյակներ:

Ուսումնասիրության առարկաԵռանկյունաչափության և երկրաչափության դպրոցական դասընթացի խնդիրներ, որոնցում օգտագործվում են Պյութագորասի եռյակները:

Հետազոտության արդիականությունը. Պյութագորասի եռյակները հաճախ օգտագործվում են երկրաչափության և եռանկյունաչափության մեջ, դրանց իմացությունը կվերացնի հաշվարկների սխալները և կխնայի ժամանակը:

II. Հիմնական մասը. Խնդիրների լուծում՝ օգտագործելով Պյութագորաս եռյակները:

2.1. Պյութագորասյան թվերի եռակի աղյուսակ (ըստ Պերելմանի)

Պյութագորասյան թվերն ունեն ձև ա= m·n, , որտեղ m-ը և n-ը համեմատաբար պարզ կենտ թվեր են:

Պյութագորասյան թվերն ունեն մի շարք հետաքրքիր առանձնահատկություններ.

«Ոտքերից» մեկը պետք է լինի երեքի բազմապատիկ:

«Ոտքերից» մեկը պետք է լինի չորսի բազմապատիկ:

Պյութագորասյան թվերից մեկը պետք է լինի հինգի բազմապատիկ։

«Զվարճալի հանրահաշիվ» գիրքը պարունակում է պյութագորասյան եռյակների աղյուսակ, որը պարունակում է մինչև հարյուր թվեր, որոնք չունեն ընդհանուր գործոններ:

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Պյութագորասի եռյակների դասակարգումն ըստ Շուստրովի.

Շուստրովը հայտնաբերել է հետևյալ օրինաչափությունը Պյութագորասյան եռանկյուններբաշխված խմբերի, ապա կենտ x, զույգ y և z հիպոթենուսի համար վավեր են հետևյալ բանաձևերը.

x = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n · (n + 2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2, որտեղ N-ը ընտանիքի թիվն է, իսկ n-ը՝ ընտանիքի եռանկյունու սերիան:

Փոխարինելով ցանկացած դրական ամբողջ թվեր՝ սկսած մեկից, N և n-ի բանաձևում կարող եք ստանալ բոլոր հիմնական Պյութագորասի եռյակները, ինչպես նաև որոշակի տեսակի բազմապատիկները։ Դուք կարող եք պատրաստել Պյութագորասի բոլոր եռյակների սեղան յուրաքանչյուր ընտանիքի համար:

2.3. Պլանաչափության խնդիրներ

Դիտարկենք խնդիրներ երկրաչափության տարբեր դասագրքերից և պարզենք, թե որքան հաճախ են Պյութագորասի եռյակները հայտնվում այս առաջադրանքներում: Մենք չենք դիտարկի Պյութագորասյան եռյակների աղյուսակից երրորդ տարրը գտնելու աննշան խնդիրները, թեև դրանք հանդիպում են նաև դասագրքերում: Մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է այն խնդրի լուծումը, որի տվյալները արտահայտված չեն բնական թվերով, հասցնել Պյութագորասի եռյակների։

Եկեք նայենք 7-9-րդ դասարանների երկրաչափության դասագրքի խնդիրներին:

№ 000. Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսը՝ օգտագործելով ոտքերը Ա=, բ=.

Լուծում. Ոտքերի երկարությունները բազմապատկում ենք 7-ով, պյութագորասյան եռյակից ստանում ենք երկու տարր՝ 3 և 4։ Բացակայող տարրը 5-ն է, որը բաժանում ենք 7-ի։ Պատասխանել։

№ 000. ABCD ուղղանկյունում գտե՛ք BC, եթե CD=1,5, AC=2,5:

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Լուծում. Լուծեք ACD ուղղանկյուն եռանկյունը: Երկարությունները բազմապատկում ենք 2-ով, պյութագորասյան եռյակից ստանում ենք երկու տարր՝ 3 և 5, բացակայող տարրը 4-ն է, որը բաժանում ենք 2-ի։Պատասխան՝ 2։

Հաջորդ թիվը լուծելիս ստուգեք հարաբերակցությունը a2+b2=գ2Դա լիովին ընտրովի է, բավական է օգտագործել Պյութագորասի թվերը և դրանց հատկությունները:

№ 000. Պարզեք, թե արդյոք եռանկյունը ուղղանկյուն է, եթե նրա կողմերը արտահայտված են թվերով.

ա) 6,8,10 (Պյութագորասյան եռակի 3,4.5) – այո;

Ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններից մեկը պետք է բաժանվի 4-ի: Պատասխան՝ ոչ:

գ) 9,12,15 (Պյութագորաս եռակի 3,4.5) – այո;

դ) 10,24,26 (Պյութագորաս եռակի 5,12.13) – այո;

Պյութագորասյան թվերից մեկը պետք է լինի հինգի բազմապատիկ։ Պատասխան՝ ոչ։

է) 15, 20, 25 (Պյութագորասի եռակի 3,4.5) – այո։

Այս բաժնի երեսունինը առաջադրանքներից (Պյութագորասի թեորեմ) քսաներկուսը լուծվում են բանավոր՝ օգտագործելով պյութագորասյան թվերը և դրանց հատկությունների իմացությունը։

Դիտարկենք թիվ 000 առաջադրանքը («Լրացուցիչ առաջադրանքներ» բաժնից).

Գտե՛ք ABCD քառանկյան մակերեսը, որում AB=5 սմ, BC=13 սմ, CD=9 սմ, DA=15 սմ, AC=12 սմ:

Խնդրում մենք պետք է ստուգենք կապը a2+b2=գ2և ապացուցել, որ տրված քառանկյունը բաղկացած է երկու ուղղանկյուն եռանկյունից (հակադարձ թեորեմ): Իսկ Պյութագորասի եռյակների մասին գիտելիքները՝ 3, 4, 5 և 5, 12, 13, ձեզ փրկում են հաշվարկներից։

Ներկայացնում ենք մի քանի խնդիրների լուծումներ երկրաչափության դասագրքից 7-9-րդ դասարանների համար:

Խնդիր 156 (ը). Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերը 9 և 40 են: Գտե՛ք հիպոթենուսին գծված միջինը:

Լուծում . Հիպոթենուսի վրա գծված միջինը հավասար է դրա կեսին: Պյութագորասի եռյակը 9,40 և 41 է: Հետևաբար, միջինը 20,5 է:

Խնդիր 156 (i). Եռանկյան կողմերը հավասար են. Ա= 13 սմ, բ = 20 սմ և բարձրություն hս = 12 սմ Գտեք հիմքը Հետ.

Առաջադրանք ( KIMS միասնական պետական ​​քննություն) Գտե՛ք ABC սուր եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը, եթե BH բարձրությունը 12 է և հայտնի է, որ մեղք Ա=,մեղք С=ձախ»>

Լուծում.Լուծում ենք ∆ ASK ուղղանկյունը՝ sin A=, BH=12, հետևաբար՝ AB=13,AK=5 (Պյութագորասյան եռապատիկ 5,12,13): Լուծում ենք ուղղանկյուն ∆ ВСH՝ ВH =12, մեղք С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9. (Պյութագորաս եռակի 3,4,5): Շառավիղը գտնում ենք r ===4 բանաձևով: Պատասխան.4.

2.4. Պյութագորասի եռապատկերը եռանկյունաչափության մեջ

Հիմունքներ եռանկյունաչափական ինքնություն– Պյութագորասի թեորեմի հատուկ դեպք՝ sin2a + cos2a = 1; (ա/գ) 2 + (բ/գ)2 =1. Հետևաբար, որոշ եռանկյունաչափական խնդիրներ կարելի է հեշտությամբ լուծել բանավոր՝ օգտագործելով Պյութագորասի եռյակները:

Խնդիրներ, որոնցում անհրաժեշտ է գտնել մնացած գործառույթների արժեքները՝ օգտագործելով ֆունկցիայի տվյալ արժեքը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, կարելի է լուծել առանց քառակուսու և հանելու քառակուսի արմատ. Մորդկովիչի (թիվ 000-թիվ 000) դպրոցական հանրահաշվի դասագրքում (10-11) այս տիպի բոլոր առաջադրանքները կարող են լուծվել բանավոր՝ իմանալով միայն մի քանի պյութագորասյան եռյակներ. 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Դիտարկենք երկու խնդիրների լուծումներ.

թիվ 000 ա). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Լուծում. Պյութագորասի եռակի՝ 3, 4, 5. Հետևաբար, cos t = -3/5; tan t = -4/3,

Թիվ 000 բ). tan t = 2.4, π< t < 3π/2.

Լուծում. tg t = 2,4 = 24/10 = 12/5: Պյութագորաս եռակի 5,12,13. Հաշվի առնելով նշանները՝ մենք ստանում ենք sin t = -12/13, cos t = -5/13, cot t = 5/12:

3. Միասնական պետական ​​քննության թեստավորման և չափագրման նյութեր

ա) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

բ) մեղք (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

գ) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

դ) ctg (arccos 9/41) =9/40 (9, 40, 41)

ե) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1.

զ) ստուգեք հավասարությունը.

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2:

Լուծում. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

մեղք (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = մեղք (arсcos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Եզրակացություն

IN երկրաչափական խնդիրներհաճախ պետք է որոշել ուղղանկյուն եռանկյուններ, երբեմն մի քանի անգամ։ Առաջադրանքները վերլուծելուց հետո դպրոցական դասագրքերԵվ Պետական ​​միասնական քննության նյութեր, կարող ենք եզրակացնել, որ հիմնականում օգտագործվում են եռյակներ՝ 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; որոնք հեշտ է հիշել: Եռանկյունաչափական որոշ խնդիրներ լուծելիս դասական լուծումօգտագործելով եռանկյունաչափական բանաձևերիսկ մեծ թվով հաշվարկները ժամանակ են պահանջում, և Պյութագորասի եռյակների իմացությունը կվերացնի հաշվարկների սխալները և կխնայի ժամանակը միասնական պետական ​​քննության ավելի բարդ խնդիրների լուծման համար:

Մատենագիտություն

1. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-11 դասարաններ. Ժամը 14-ին Մաս 2. Խնդիրների գիրք համար ուսումնական հաստատություններ/ [եւ այլն]; խմբագրել է . – 8-րդ հրատ., ջնջված։ – M.: Mnemosyne, 2007. – 315 p. : հիվանդ.

2. Պերելմանի հանրահաշիվ. – D.: VAP, 1994. – 200 p.

3. Ռոգանովսկի. Դասագիրք. 7-9-րդ դասարանների համար. խորությամբ մաթեմատիկայի ուսումնասիրություն հանրակրթության մեջ. դպրոց ռուսերենից լեզու վերապատրաստում, - 3-րդ հրտ. - Մն.; Նար. Ասվետա, 2000. – 574 pp.: ill.

4. Մաթեմատիկա. Պատմության, մեթոդաբանության, դիդակտիկայի ընթերցող: / Կոմպ. . – Մ.: Հրատարակչություն URAO, 2001. – 384 p.

5. Ամսագիր «Մաթեմատիկան դպրոցում» թիվ 1, 1965 թ.

6. Միասնական պետական ​​քննության թեստավորման և չափագրման նյութեր.

7. Երկրաչափություն, 7-9. Դասագիրք. հանրակրթական հաստատությունների համար / և այլն - 13-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2003 թ. – 384 էջ. : հիվանդ.

8. Երկրաչափություն՝ Դասագիրք. 10-11-րդ դասարանների համար. միջին դպրոց/ և այլն – 2-րդ հրտ. – Մ.: Կրթություն, 1993, - 207 էջ: հիվանդ.

Պերելմանի հանրահաշիվ. – D.: VAP, 1994. – 200 p.

Ամսագիր «Մաթեմատիկան դպրոցում» թիվ 1, 1965 թ.

Երկրաչափություն, 7-9. Դասագիրք. հանրակրթական հաստատությունների համար / և այլն - 13-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2003 թ. – 384 էջ. : հիվանդ.

Ռոգանովսկի: Դասագիրք. 7-9-րդ դասարանների համար. խորությամբ մաթեմատիկայի ուսումնասիրություն հանրակրթության մեջ. դպրոց ռուսերենից լեզու վերապատրաստում, - 3-րդ հրտ. - Մն.; Նար. Ասվետա, 2000. – 574 pp.: ill.

Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-11 դասարաններ. 2 ժամվա ընթացքում Մաս 2. Խնդիրների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար / [և այլոց]; խմբագրել է . – 8-րդ հրատ., ջնջված։ – M.: Mnemosyne, 2007. – 315 p. ՝ հիւանդ., էջ 18։

Հատկություններ

Քանի որ հավասար. x 2 + y 2 = զ 2 միատարր, բազմապատկելիս x , yԵվ զնույն թվի համար դուք ստանում եք մեկ այլ Պյութագորասի եռյակ: Պյութագորասյան եռյակը կոչվում է պարզունակ, եթե այն հնարավոր չէ ստանալ այս կերպ, այսինքն՝ համապարփակ թվեր։

Օրինակներ

Պյութագորասի որոշ եռյակներ (տեսակավորված առավելագույն թվի աճման կարգով, ընդգծված պարզունակները).

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Ֆիբոնաչիի թվերի հատկությունների հիման վրա կարելի է դրանցից կազմել, օրինակ, Պյութագորասի հետևյալ եռյակները.

.

Պատմություն

Պյութագորասյան եռյակները հայտնի են շատ վաղուց։ Հայտնաբերվել է հին Միջագետքի տապանաքարերի ճարտարապետության մեջ հավասարաչափ եռանկյուն, կազմված է երկու ուղղանկյուն կողմերից՝ 9, 12 և 15 կանգուն։ Սնոֆրու փարավոնի բուրգերը (մ.թ.ա. XXVII դ.) կառուցվել են 20, 21 և 29 կողմերով եռանկյունիներով, ինչպես նաև 18, 24 և 30 տասնյակ եգիպտական ​​կանգուններով:

տես նաեւ

Հղումներ

• E. A. ԳորինՊարզ թվերի ուժերը պյութագորասյան եռապատիկներով // Մաթեմատիկական կրթություն. - 2008. - V. 12. - P. 105-125:

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ.

Տեսեք, թե ինչ են «Պյութագորասյան թվերը» այլ բառարաններում.

Բնական թվերի եռապատիկները այնպես, որ եռանկյունը, որի կողմերի երկարությունները համաչափ (կամ հավասար են) այս թվերին, ուղղանկյուն է, օրինակ. թվերի եռակի՝ 3, 4, 5... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

Բնական թվերի եռապատիկներ, ինչպիսիք են, որ եռանկյունը, որի կողմերի երկարությունները համամասնական են (կամ հավասար են) այս թվերին, ուղղանկյուն է, օրինակ՝ թվերի եռակի՝ 3, 4, 5: որ... ... Հանրագիտարանային բառարան

Բնական թվերի եռապատիկներ, այնպես որ եռանկյունը, որի կողմերի երկարությունները համամասնական են (կամ հավասար են) այս թվերին, ուղղանկյուն է: Ըստ Պյութագորասի թեորեմի հակադիր թեորեմի (տես Պյութագորասի թեորեմ), դրա համար բավական է, որ նրանք... ...

x, y, z x2+y 2=z2 հավասարումը բավարարող դրական ամբողջ թվերի եռապատիկները։ Այս հավասարման բոլոր լուծումները, հետևաբար բոլոր մասնակի թվերը, արտահայտվում են x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 բանաձևերով, որտեղ a և b կամայական դրական ամբողջ թվեր են (a>b): Պ.հ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Բնական թվերի եռապատիկներ, ինչպիսիք են, օրինակ, ուղղանկյուն եռանկյունը, որի կողմերի երկարությունները համաչափ (կամ հավասար են) այս թվերին: թվերի եռակի՝ 3, 4, 5... Բնական գիտություն. Հանրագիտարանային բառարան

Մաթեմատիկայի մեջ Պյութագորասյան թվերը (Պյութագորասի եռյակ) երեք ամբողջ թվերից բաղկացած բազմություն են, որոնք բավարարում են Պյութագորասի հարաբերությունները՝ x2 + y2 = z2: Բովանդակություն 1 Հատկություններ 2 Օրինակներ ... Վիքիպեդիա

Գծապատկերային թվերը մեկ կամ մյուսի հետ կապված թվերի ընդհանուր անվանումն են երկրաչափական պատկեր. Սա պատմական հայեցակարգվերադառնում է Պյութագորասին: Ենթադրաբար, «քառակուսի կամ խորանարդ» արտահայտությունը առաջացել է պատկերավոր թվերից։ Բովանդակություն... ...Վիքիպեդիա

Պատկերավոր թվերը որոշակի երկրաչափական գործչի հետ կապված թվերի ընդհանուր անվանումն են: Այս պատմական հայեցակարգը ծագել է Պյութագորասի ժամանակներից: Առանձնացվում են թվային թվերի հետևյալ տեսակները՝ Գծային թվերը այն թվերն են, որոնք հնարավոր չէ ֆակտորիզացնել, այսինքն՝ դրանց... ... Վիքիպեդիա

- «Պի պարադոքսը» կատակ է մաթեմատիկայի թեմայով, որը շրջանառվում էր ուսանողների շրջանում մինչև 80-ական թվականները (իրականում, մինչև միկրոհաշվիչների զանգվածային բաշխումը) և կապված էր եռանկյունաչափական գործառույթների հաշվարկների սահմանափակ ճշգրտության հետ և .. ... Վիքիպեդիա

- (հունարեն թվաբանություն, թվերի թվից) գիտություն թվերի մասին, հիմնականում բնական (դրական ամբողջ թվեր) թվերի և (ռացիոնալ) կոտորակների և դրանց վրա կատարվող գործողությունների մասին։ Բնական թվերի բավականաչափ զարգացած հայեցակարգի տիրապետում և կարողություն... ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

Գրքեր

• Արքիմեդի ամառ կամ Երիտասարդ մաթեմատիկոսների համագործակցության պատմություն. Երկուական թվային համակարգ, Բոբրով Սերգեյ Պավլովիչ. Երկուական թվային համակարգ, Հանոյի աշտարակ, ասպետի շարժում, կախարդական քառակուսիներ, թվաբանական եռանկյունի, պատկերավոր թվեր, համակցություններ, հավանականության հայեցակարգ, Mobius շերտ և Klein շիշ: