«Get a A» տեսադասընթացը ներառում է հաջողության համար անհրաժեշտ բոլոր թեմաները միասնական պետական ​​քննություն հանձնելըմաթեմատիկայից 60-65 միավորով. Մաթեմատիկայի պրոֆիլի միասնական պետական ​​քննության 1-13-րդ առաջադրանքները ամբողջությամբ։ Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական միասնական պետական ​​քննություն հանձնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք միասնական պետական ​​քննություն հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Պետական ​​միասնական քննության նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար։ Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության 1-ին մասի (առաջին 12 խնդիրների) և 13-րդ (եռանկյունաչափության) առաջադրանքները լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ 100 բալանոց ուսանողը, ոչ հումանիտար առարկան առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Արագ ուղիներՊետական ​​միասնական քննության լուծումները, ծուղակները և գաղտնիքները. FIPI Task Bank-ի 1-ին մասի բոլոր ընթացիկ առաջադրանքները վերլուծվել են: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է 2018 թվականի միասնական պետական ​​քննության պահանջներին։

Դասընթացը պարունակում է 5 մեծ թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներ. Բառի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող ալգորիթմներ խնդիրների լուծման համար: Երկրաչափություն. տեսություն, տեղեկատու նյութ, բոլոր տեսակի միասնական պետական ​​քննական առաջադրանքների վերլուծություն. Ստերեոմետրիա. Բարդ լուծումներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, զարգացում տարածական երևակայություն. Եռանկյունաչափությունը զրոյից մինչև խնդիր 13. Հասկանալը` խճճվելու փոխարեն: Բարդ հասկացությունների հստակ բացատրություններ: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Լուծման հիմքը բարդ առաջադրանքներՊետական ​​միասնական քննության 2 մաս.

Միջին հանրակրթական

UMK գիծ G. K. Muravina. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկզբունքներ (10-11) (խորը)

UMK Merzlyak գիծ. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ (10-11) (U)

Մաթեմատիկա

Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության նախապատրաստում (պրոֆիլի մակարդակ) առաջադրանքներ, լուծումներ և բացատրություններ.

Ուսուցչի հետ վերլուծում ենք առաջադրանքները և լուծում օրինակներ

Քննական թուղթ պրոֆիլի մակարդակտևում է 3 ժամ 55 րոպե (235 րոպե):

Նվազագույն շեմ- 27 միավոր:

Քննական թերթիկը բաղկացած է երկու մասից, որոնք տարբերվում են բովանդակությամբ, բարդությամբ և առաջադրանքների քանակով։

Աշխատանքի յուրաքանչյուր մասի որոշիչ հատկանիշը առաջադրանքների ձևն է.

• 1-ին մասը պարունակում է 8 առաջադրանք (առաջադրանքներ 1-8) կարճ պատասխանով՝ ամբողջ թվի կամ վերջավոր թվի տեսքով։ տասնորդական;
• Մաս 2-ը պարունակում է 4 առաջադրանք (առաջադրանքներ 9-12) կարճ պատասխանով՝ ամբողջ թվի կամ վերջնական տասնորդական կոտորակի տեսքով և 7 առաջադրանք (առաջադրանքներ 13–19) մանրամասն պատասխանով (լուծման ամբողջական գրառում՝ հիմնավորմամբ։ ձեռնարկված գործողություններ):

Պանովա Սվետլանա Անատոլևնա, դպրոցի բարձրագույն կարգի մաթեմատիկայի ուսուցիչ, աշխատանքային ստաժ 20 տարի.

«Որպեսզի ստանանք դպրոցի վկայական, շրջանավարտը պետք է անցնի երկու պարտադիր քննությունմիասնական պետական ​​քննության տեսքով, որոնցից մեկն էլ մաթեմատիկան է։ Զարգացման հայեցակարգին համապատասխան մաթեմատիկական կրթությունՎ Ռուսաստանի ԴաշնությունՄաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունը բաժանված է երկու մակարդակի՝ հիմնական և մասնագիտացված: Այսօր մենք կդիտարկենք պրոֆիլի մակարդակի տարբերակները»:

Առաջադրանք թիվ 1- ստուգում է միասնական պետական ​​քննության մասնակիցների՝ տարրական մաթեմատիկայի 5-9-րդ դասարանների ընթացքում ձեռք բերված հմտությունները կիրառելու ունակությունը, գործնական գործունեություն. Մասնակիցը պետք է ունենա հաշվողական հմտություններ, կարողանա աշխատել ռացիոնալ թվերի հետ, կարողանա կլորացնել տասնորդականները և կարողանա չափման մեկ միավորը փոխարկել մյուսին:

Օրինակ 1.Այն բնակարանում, որտեղ ապրում է Պետրոսը, տեղադրվել է հոսքաչափ սառը ջուր(հաշվիչ): Մայիսի 1-ին հաշվիչը ցույց է տվել 172 խմ սպառում։ մ ջուր, իսկ հունիսի 1-ին՝ 177 խմ. մ., ինչքա՞ն պետք է վճարի Պիտերը սառը ջրի համար, եթե գինը 1 խմ է։ մ սառը ջուրը 34 ռուբլի 17 կոպեկ՞։ Պատասխանեք ռուբլով:

Լուծում:

1) Գտեք ամսական ծախսվող ջրի քանակը.

177 - 172 = 5 (խորանարդ մ)

2) Եկեք պարզենք, թե որքան գումար են նրանք վճարելու վատնված ջրի համար.

34,17 5 = 170,85 (ռուբ)

Պատասխան. 170,85.

Առաջադրանք թիվ 2- ամենապարզ քննական առաջադրանքներից մեկն է: Շրջանավարտների մեծամասնությունը հաջողությամբ հաղթահարում է այն, ինչը վկայում է ֆունկցիայի հասկացության սահմանման իմացության մասին: Առաջադրանքի տեսակը թիվ 2 ըստ պահանջների կոդավորչի առաջադրանք է ձեռք բերված գիտելիքների և հմտությունների գործնական գործունեության մեջ օգտագործելու և. առօրյա կյանք. Թիվ 2 առաջադրանքը բաղկացած է մեծությունների միջև տարբեր իրական հարաբերությունների նկարագրությունից, կիրառումից և դրանց գրաֆիկների մեկնաբանությունից: Թիվ 2 առաջադրանքը ստուգում է աղյուսակներում, դիագրամներում և գծապատկերներում ներկայացված տեղեկատվությունը հանելու ունակությունը: Շրջանավարտները պետք է կարողանան որոշելու ֆունկցիայի արժեքը փաստարկի արժեքից՝ ֆունկցիան ճշտելու տարբեր ձևերով և նկարագրելու ֆունկցիայի վարքն ու հատկությունները՝ հիմնվելով դրա գրաֆիկի վրա: Դուք նաև պետք է կարողանաք գտնել ամենամեծ կամ ամենափոքր արժեքըև կառուցել ուսումնասիրված ֆունկցիաների գրաֆիկները: Կատարված սխալները պատահական են խնդրի պայմանները կարդալիս, դիագրամը կարդալիս:

#ԳՈՎԱԶԴ_ՏԵՂԱԴՐԵԼ#

Օրինակ 2.Նկարը ցույց է տալիս հանքարդյունաբերական ընկերության մեկ բաժնետոմսի փոխարժեքի փոփոխությունը 2017 թվականի ապրիլի առաջին կեսին։ Ապրիլի 7-ին գործարարը ձեռք է բերել այս ընկերության 1000 բաժնետոմս։ ապրիլի 10-ին վաճառել է իր գնած բաժնետոմսերի երեք քառորդը, իսկ ապրիլի 13-ին վաճառել է մնացած բաժնետոմսերը։ Որքա՞ն է կորցրել գործարարն այս գործողությունների արդյունքում։

Լուծում:

2) 1000 · 3/4 = 750 (բաժնետոմս) - կազմում են գնված բոլոր բաժնետոմսերի 3/4-ը:

6) 247500 + 77500 = 325000 (ռուբ.) - գործարարը վաճառելուց հետո ստացել է 1000 բաժնետոմս։

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (ռուբ.) - գործարարը պարտվել է բոլոր գործողությունների արդյունքում.

Պատասխան. 15000.

Առաջադրանք թիվ 3- առաջադրանք է հիմնական մակարդակառաջին մասը ստուգում է «Պլանաչափություն» դասընթացի բովանդակության համաձայն երկրաչափական պատկերներով գործողություններ կատարելու ունակությունը: Առաջադրանք 3-ը ստուգում է վանդակավոր թղթի վրա գործչի մակերեսը հաշվարկելու ունակությունը, անկյունների աստիճանի չափումները, պարագծերը հաշվարկելու ունակությունը և այլն:

Օրինակ 3.Գտեք վանդակավոր թղթի վրա պատկերված ուղղանկյունի մակերեսը՝ 1 սմ x 1 սմ բջջի չափով (տես նկարը): Պատասխանեք քառակուսի սանտիմետրերով:

Լուծում:Տվյալ գործչի մակերեսը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել Peak բանաձևը.

Տրված ուղղանկյան մակերեսը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք Peak-ի բանաձևը.

Ս= B +	Գ
	2

որտեղ B = 10, G = 6, հետևաբար

Ս = 18 +	6
	2

Պատասխան. 20.

Կարդացեք նաև՝ Ֆիզիկայի միասնական պետական ​​քննություն՝ տատանումների վերաբերյալ խնդիրների լուծում

Առաջադրանք թիվ 4- «Հավանականությունների տեսություն և վիճակագրություն» դասընթացի նպատակը: Փորձարկվում է ամենապարզ իրավիճակում իրադարձության հավանականությունը հաշվարկելու ունակությունը:

Օրինակ 4.Շրջանակի վրա նշված են 5 կարմիր և 1 կապույտ կետեր։ Որոշեք, թե որ բազմանկյուններն են ավելի մեծ՝ բոլոր գագաթներով կարմիր, թե՞ կապույտ գագաթներով: Ձեր պատասխանում նշեք, թե քանիսն են ավելի շատ, քան մյուսները:

Լուծում: 1) Օգտագործենք միացությունների քանակի բանաձևը nտարրեր ըստ կ:

որի գագաթները բոլորը կարմիր են:

3) Մեկ հնգանկյուն բոլոր գագաթներով կարմիր:

4) 10 + 5 + 1 = 16 բազմանկյուն բոլոր կարմիր գագաթներով:

որոնք ունեն կարմիր գագաթներ կամ մեկ կապույտ գագաթով:

որոնք ունեն կարմիր գագաթներ կամ մեկ կապույտ գագաթով:

8) Մեկ վեցանկյուն կարմիր գագաթներով և մեկ կապույտ գագաթներով:

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 բազմանկյուն բոլոր գագաթներով կարմիր կամ մեկ կապույտ գագաթով:

10) 42 – 16 = 26 բազմանկյուն՝ օգտագործելով կապույտ կետը:

11) 26 – 16 = 10 բազմանկյուն – քանի՞ ավելի շատ բազմանկյուն կա, որոնց գագաթներից մեկը կապույտ կետ է, քան այն բազմանկյունները, որոնցում բոլոր գագաթները միայն կարմիր են:

Պատասխան. 10.

Առաջադրանք թիվ 5- առաջին մասի հիմնական մակարդակը ստուգում է ամենապարզ հավասարումները (իռացիոնալ, էքսպոնենցիալ, եռանկյունաչափական, լոգարիթմական) լուծելու ունակությունը:

Օրինակ 5.Լուծեք 2 3 + հավասարումը x= 0,4 5 3 + x .

Լուծում.Այս հավասարման երկու կողմերը բաժանեք 5 3 +-ի X≠ 0, մենք ստանում ենք

2 3 + x	= 0,4 կամ		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

որտեղից հետևում է, որ 3 + x = 1, x = –2.

Պատասխան. –2.

Առաջադրանք թիվ 6պլանաչափության մեջ գտնել երկրաչափական մեծություններ (երկարություններ, անկյուններ, մակերեսներ), իրական իրավիճակների մոդելավորում երկրաչափության լեզվով։ Կառուցված մոդելների ուսումնասիրություն՝ օգտագործելով երկրաչափական հասկացություններ և թեորեմներ: Դժվարությունների աղբյուրը, որպես կանոն, պլանաչափության անհրաժեշտ թեորեմների անտեղյակությունն է կամ ոչ ճիշտ կիրառումը։

Եռանկյունի մակերեսը ABCհավասար է 129-ի։ ԴԵ– կողքին զուգահեռ միջին գիծ ԱԲ. Գտեք տրապեզոիդի տարածքը ԱԲԵԴ.

Լուծում.Եռանկյուն CDEնման է եռանկյունին CABերկու անկյան տակ, քանի որ անկյունը գագաթին Գընդհանուր, անկյուն СDEհավասար անկյան CABորպես համապատասխան անկյուններ ԴԵ || ԱԲհատված A.C.. Որովհետև ԴԵպայմանով եռանկյան միջին ուղիղն է, ապա միջին գծի հատկությամբ | ԴԵ = (1/2)ԱԲ. Սա նշանակում է, որ նմանության գործակիցը 0,5 է։ Նման թվերի տարածքները կապված են որպես նմանության գործակցի քառակուսի, հետևաբար

Հետևաբար, Ս ԱԲԵԴ = Ս Δ ABC – Ս Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Առաջադրանք թիվ 7- ստուգում է ածանցյալի կիրառումը ֆունկցիայի ուսումնասիրության մեջ. Հաջող իրականացումը պահանջում է ածանցյալ հասկացության իմաստալից, ոչ ֆորմալ իմացություն:

Օրինակ 7.Ֆունկցիայի գրաֆիկին y = զ(x) աբսցիսային կետում x 0-ով գծված է շոշափող, որն ուղղահայաց է սույն գրաֆիկի (4; 3) և (3; –1) կետերով անցնող ուղիղին: Գտեք զ′( x 0).

Լուծում. 1) Օգտագործենք երկու տրված կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը և գտնենք (4; 3) և (3; –1) կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը:

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (–1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, որտեղ կ 1 = 4.

2) Գտե՛ք շոշափողի թեքությունը կ 2, որը ուղղահայաց է y = 4x- 13, որտեղ կ 1 = 4, ըստ բանաձևի.

3) Շոշափող անկյունը շոշափման կետում ֆունկցիայի ածանցյալն է: Նշանակում է, զ′( x 0) = կ 2 = –0,25.

Պատասխան. –0,25.

Առաջադրանք թիվ 8- ստուգում է քննության մասնակիցների գիտելիքները տարրական ստերեոմետրիայի, մակերևույթի մակերեսները և թվերի ծավալները գտնելու բանաձևեր կիրառելու կարողությունը, դիեզրային անկյունները, համեմատել նմանատիպ պատկերների ծավալները, կարողանալ գործողություններ կատարել երկրաչափական պատկերներով, կոորդինատներով և վեկտորներով և այլն:

Գնդի շուրջը շրջագծված խորանարդի ծավալը 216 է։ Գտի՛ր ոլորտի շառավիղը։

Լուծում. 1) Վխորանարդ = ա 3 (որտեղ Ա– խորանարդի եզրի երկարությունը), հետևաբար

Ա 3 = 216

Ա = 3 √216

2) Քանի որ գունդը գրված է խորանարդի մեջ, նշանակում է, որ գնդիկի տրամագծի երկարությունը հավասար է խորանարդի եզրի երկարությանը, հետևաբար. դ = ա, դ = 6, դ = 2Ռ, Ռ = 6: 2 = 3.

Առաջադրանք թիվ 9- շրջանավարտը պահանջում է հանրահաշվական արտահայտությունները փոխակերպելու և պարզեցնելու հմտություններ: Բարձրացված դժվարության մակարդակի թիվ 9 առաջադրանք՝ կարճ պատասխանով։ Պետական ​​միասնական քննության «Հաշվարկներ և փոխակերպումներ» բաժնի առաջադրանքները բաժանված են մի քանի տեսակների.

թվային փոխարկումներ ռացիոնալ արտահայտություններ;

հանրահաշվական արտահայտությունների և կոտորակների փոխակերպում;

թվային/տառային իռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպում;

գործողություններ աստիճաններով;

լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպում;

1. թվային/տառային եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպում։

Օրինակ 9.Հաշվե՛ք tanα-ն, եթե հայտնի է, որ cos2α = 0,6 և

3պ	< α < π.
4

Լուծում. 1) Եկեք օգտագործենք կրկնակի արգումենտի բանաձևը՝ cos2α = 2 cos 2 α – 1 և գտնենք

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Սա նշանակում է tan 2 α = ± 0,5:

3) Ըստ պայմանի

3պ	< α < π,
4

սա նշանակում է α-ն երկրորդ քառորդի և tgα անկյունն է< 0, поэтому tgα = –0,5.

Պատասխան. –0,5.

#ԳՈՎԱԶԴ_ՏԵՂԱԴՐԵԼ# Առաջադրանք թիվ 10- ստուգում է ուսանողների վաղ ձեռք բերած գիտելիքներն ու հմտությունները գործնական գործունեության և առօրյա կյանքում օգտագործելու կարողությունը: Կարելի է ասել, որ դրանք ֆիզիկայի խնդիրներ են, և ոչ թե մաթեմատիկայի, այլ պայմանում տրված են բոլոր անհրաժեշտ բանաձևերն ու մեծությունները։ Խնդիրները կրճատվում են գծային կամ քառակուսի հավասարում, կամ գծային կամ քառակուսային անհավասարություն. Ուստի անհրաժեշտ է կարողանալ լուծել նման հավասարումներ և անհավասարություններ և որոշել պատասխանը։ Պատասխանը պետք է տրվի որպես ամբողջ թիվ կամ վերջավոր տասնորդական կոտորակ:

Զանգվածի երկու մարմին մ= 2-ական կգ, շարժվելով նույն արագությամբ v= 10 մ/վ՝ միմյանց նկատմամբ 2α անկյան տակ: Նրանց բացարձակ ոչ առաձգական բախման ժամանակ արձակված էներգիան (ջոուլներով) որոշվում է արտահայտությամբ Ք = մվ 2 մեղք 2 α. Ո՞ր ամենափոքր 2α անկյան տակ (աստիճաններով) պետք է շարժվեն մարմինները, որպեսզի բախման արդյունքում արձակվի առնվազն 50 ջոուլ։
Լուծում.Խնդիրը լուծելու համար մենք պետք է լուծենք Q ≥ 50 անհավասարությունը 2α ∈ (0°; 180°) միջակայքի վրա։

մվ 2 մեղք 2 α ≥ 50

2 10 2 մեղք 2 α ≥ 50

200 մեղք 2 α ≥ 50

Քանի որ α ∈ (0°; 90°), մենք միայն կլուծենք

Անհավասարության լուծումը գրաֆիկորեն ներկայացնենք.

Քանի որ α ∈ (0°; 90°) պայմանով նշանակում է 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Առաջադրանք թիվ 11- բնորոշ է, բայց դժվար է ստացվում ուսանողների համար: Դժվարության հիմնական աղբյուրը մաթեմատիկական մոդելի կառուցումն է (հավասարում կազմելը): Թիվ 11 առաջադրանքը ստուգում է բառային խնդիրներ լուծելու կարողությունը:

Օրինակ 11.Գարնանային արձակուրդներին 11-րդ դասարանի աշակերտ Վասյան պետք է լուծեր 560 պրակտիկայի խնդիր՝ միասնական պետական ​​քննությանը պատրաստվելու համար։ Մարտի 18-ին՝ դպրոցի վերջին օրը, Վասյան 5 խնդիր է լուծել. Հետո ամեն օր նույնքան խնդիր էր լուծում, քան նախորդ օրը։ Որոշեք, թե քանի խնդիր է լուծել Վասյան ապրիլի 2-ին՝ արձակուրդների վերջին օրը։

Լուծում:Նշենք ա 1 = 5 - խնդիրների քանակը, որոնք Վասյան լուծեց մարտի 18-ին, դ- Վասյայի կողմից լուծված առաջադրանքների ամենօրյա քանակը, n= 16 – մարտի 18-ից ապրիլի 2-ը ներառյալ օրերի քանակը, Ս 16 = 560 - առաջադրանքների ընդհանուր քանակը, ա 16 - խնդիրների քանակը, որոնք Վասյան լուծեց ապրիլի 2-ին: Իմանալով, որ ամեն օր Վասյան նախորդ օրվա համեմատ նույն թվով խնդիրներ է լուծել, կարող ենք գումարը գտնելու բանաձևեր օգտագործել. թվաբանական առաջընթաց:

560 = (5 + ա 16) 8,

5 + ա 16 = 560: 8,

5 + ա 16 = 70,

ա 16 = 70 – 5

ա 16 = 65.

Պատասխան. 65.

Առաջադրանք թիվ 12- ստուգել ուսանողների կարողությունը գործառույթների հետ գործողություններ կատարելու, ածանցյալը կիրառելու գործառույթի ուսումնասիրության համար:

Գտեք ֆունկցիայի առավելագույն կետը y= 10 լն ( x + 9) – 10x + 1.

Լուծում: 1) Գտեք ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը. x + 9 > 0, x> –9, այսինքն՝ x ∈ (–9; ∞):

2) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

4) Գտնված կետը պատկանում է (–9; ∞) միջակայքին։ Եկեք որոշենք ֆունկցիայի ածանցյալի նշանները և նկարում պատկերենք ֆունկցիայի վարքագիծը.

Ցանկալի առավելագույն միավոր x = –8.

Անվճար ներբեռնեք մաթեմատիկայի աշխատանքային ծրագիրը ուսումնական նյութերի շարքի համար Գ.Կ. Մուրավինա, Կ.Ս. Մուրավինա, Օ.Վ. Մուրավինա 10-11 Ներբեռնեք անվճար ուսուցողական նյութեր հանրահաշիվից

Առաջադրանք թիվ 13-Բարդության մակարդակի բարձրացում` մանրամասն պատասխանով, փորձարկելով հավասարումներ լուծելու կարողությունը, առաջադրանքների շարքում ամենահաջող լուծվածը` բարդության բարձր մակարդակի մանրամասն պատասխանով:

ա) Լուծե՛ք 2log 3 2 հավասարումը (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

բ) Գտե՛ք այս հավասարման բոլոր արմատները, որոնք պատկանում են հատվածին:

Լուծում:ա) Թող log 3 (2cos x) = տ, ապա 2 տ 2 – 5տ + 2 = 0,

	մատյան 3 (2cos x) =	2	⇔		2 cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ քանի որ |կազմ x| ≤ 1,
	մատյան 3 (2cos x) =	1			2 cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

ապա cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2պ կ
		6
	x = –	π	+ 2պ կ, կ ∈ Զ
		6

բ) Գտեք հատվածի վրա ընկած արմատները:

Նկարը ցույց է տալիս, որ տվյալ հատվածի արմատները պատկանում են

11պ	Եվ	13պ	.
6		6

Պատասխան.Ա)	π	+ 2պ կ; –	π	+ 2պ կ, կ ∈ Զ; բ)	11պ	;	13պ	.
	6		6		6		6

Առաջադրանք թիվ 14- Ընդլայնված մակարդակը վերաբերում է երկրորդ մասի առաջադրանքներին՝ մանրամասն պատասխանով: Առաջադրանքը ստուգում է երկրաչափական պատկերներով գործողություններ կատարելու ունակությունը: Առաջադրանքը պարունակում է երկու կետ. Առաջին կետում առաջադրանքը պետք է ապացուցվի, իսկ երկրորդ կետում՝ հաշվարկված։

Գլանի հիմքի շրջանագծի տրամագիծը 20 է, գլանի գեներատրիքսը՝ 28։ Հարթությունը հատում է իր հիմքը 12 և 16 երկարության ակորդներով։ Ակորդների միջև հեռավորությունը 2√197 է։

ա) Ապացուցեք, որ մխոցի հիմքերի կենտրոններն ընկած են այս հարթության մի կողմում:

բ) Գտե՛ք անկյունը այս հարթության և մխոցի հիմքի հարթության միջև։

Լուծում:ա) 12 երկարությամբ ակորդը գտնվում է բազային շրջանագծի կենտրոնից = 8 հեռավորության վրա, իսկ 16 երկարությամբ ակորդը նույնպես գտնվում է 6 հեռավորության վրա: Հետևաբար, հարթության վրա դրանց ելուստների միջև հեռավորությունը հավասար է. հիմքերին զուգահեռբալոնները կամ 8 + 6 = 14 կամ 8 − 6 = 2 են:

Այնուհետեւ ակորդների միջեւ հեռավորությունը կա՛մ է

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ըստ պայմանի՝ իրականացվել է երկրորդ դեպքը, երբ ակորդների ելուստներն ընկած են գլանային առանցքի մի կողմում։ Սա նշանակում է, որ առանցքը չի հատվում տրված ինքնաթիռըմխոցի ներսում, այսինքն, հիմքերը ընկած են դրա մի կողմում: Այն, ինչ պետք էր ապացուցել.

բ) Հիմքերի կենտրոնները նշանակենք O 1 և O 2: Հիմքի կենտրոնից 12 երկարության ակորդով գծենք ուղղահայաց կիսորդ այս ակորդին (այն ունի 8 երկարություն, ինչպես արդեն նշվեց), իսկ մյուս հիմքի կենտրոնից դեպի մյուս ակորդը։ Նրանք ընկած են նույն β հարթության վրա՝ այս ակորդներին ուղղահայաց։ Ավելի փոքր ակորդի միջնակետը B, ավելի մեծը՝ A և A-ի պրոյեկցիան երկրորդ հիմքի վրա անվանենք՝ H (H ∈ β): Այնուհետև AB,AH ∈ β և հետևաբար AB,AH ուղղահայաց են ակորդին, այսինքն՝ հիմքի հատման ուղիղ գիծը տվյալ հարթության հետ։

Սա նշանակում է, որ պահանջվող անկյունը հավասար է

∠ABH = արկտան	Ա.Հ.	= արկտան	28	= arctg14.
	Բ.Հ.		8 – 6

Առաջադրանք թիվ 15- բարձրացված բարդության մակարդակը մանրամասն պատասխանով, ստուգում է անհավասարությունները լուծելու ունակությունը, որն առավել հաջողությամբ լուծվում է բարդության բարձր մակարդակի մանրամասն պատասխանով առաջադրանքների շարքում:

Օրինակ 15.Լուծել անհավասարություն | x 2 – 3x| մատյան 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Լուծում:Այս անհավասարության սահմանման տիրույթը միջակայքն է (–1; +∞): Առանձին դիտարկենք երեք դեպք.

1) Թող x 2 – 3x= 0, այսինքն. X= 0 կամ X= 3. Այս դեպքում այս անհավասարությունը ճշմարիտ է դառնում, հետևաբար, այս արժեքները ներառված են լուծման մեջ:

2) Թող հիմա x 2 – 3x> 0, այսինքն. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Ավելին, այս անհավասարությունը կարող է վերագրվել որպես ( x 2 – 3x) մատյան 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 և բաժանիր դրական արտահայտությամբ x 2 – 3x. Մենք ստանում ենք մատյան 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 կամ x≤ –0,5. Հաշվի առնելով սահմանման տիրույթը՝ ունենք x ∈ (–1; –0,5].

3) Վերջապես, հաշվի առեք x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3): Այս դեպքում սկզբնական անհավասարությունը կվերագրվի (3 x – x 2) մատյան 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Դրական 3-ի բաժանելուց հետո x – x 2, մենք ստանում ենք մատյան 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Հաշվի առնելով տարածաշրջանը՝ ունենք x ∈ (0; 1].

Ստացված լուծույթները համադրելով՝ ստանում ենք x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Պատասխան. (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Առաջադրանք թիվ 16- առաջադեմ մակարդակը վերաբերում է երկրորդ մասի առաջադրանքներին՝ մանրամասն պատասխանով: Առաջադրանքը ստուգում է երկրաչափական պատկերներով, կոորդինատներով և վեկտորներով գործողություններ կատարելու ունակությունը: Առաջադրանքը պարունակում է երկու կետ. Առաջին կետում առաջադրանքը պետք է ապացուցվի, իսկ երկրորդ կետում՝ հաշվարկված։

IN հավասարաչափ եռանկյուն A գագաթնակետում 120° անկյունով ABC, գծված է BD կիսորդ: DEFH ուղղանկյունը գրված է ABC եռանկյան մեջ այնպես, որ FH կողմը ընկած է BC հատվածի վրա, իսկ E գագաթը՝ AB հատվածի վրա: ա) Ապացուցեք, որ FH = 2DH: բ) Գտեք DEFH ուղղանկյան մակերեսը, եթե AB = 4:

Լուծում:Ա)

1) ΔBEF – ուղղանկյուն, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, ապա EF = BE 30° անկյան հակառակ ընկած ոտքի հատկությամբ:

2) Թող EF = DH = x, ապա BE = 2 x, BF = x√3 ըստ Պյութագորասի թեորեմի.

3) Քանի որ ΔABC հավասարաչափ է, նշանակում է ∠B = ∠C = 30˚:

BD-ն ∠B-ի կիսորդն է, ինչը նշանակում է ∠ABD = ∠DBC = 15˚:

4) Հաշվի առնենք ΔDBH – ուղղանկյուն, քանի որ DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) Ս DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2 (3 – √3 )

Ս DEFH = 24 – 12√3:

Պատասխան. 24 – 12√3.

Առաջադրանք թիվ 17- առաջադրանք մանրամասն պատասխանով, այս առաջադրանքը ստուգում է գիտելիքների և հմտությունների կիրառումը գործնական գործունեության և առօրյա կյանքում, մաթեմատիկական մոդելներ կառուցելու և ուսումնասիրելու ունակությունը: Այս առաջադրանքը տնտեսական բովանդակությամբ տեքստային խնդիր է:

Օրինակ 17.Չորս տարով նախատեսվում է բացել 20 միլիոն ռուբլու ավանդ։ Բանկը յուրաքանչյուր տարվա վերջում ավանդն ավելացնում է 10%-ով՝ տարեսկզբի չափի համեմատ։ Բացի այդ, երրորդ և չորրորդ տարիների սկզբին ներդրողը տարեկան համալրում է ավանդը Xմիլիոն ռուբլի, որտեղ X - ամբողջհամարը։ Գտեք ամենաբարձր արժեքը X, որի դեպքում բանկը չորս տարվա ընթացքում ավանդին կհատկացնի 17 միլիոն ռուբլիից պակաս:

Լուծում:Առաջին տարվա վերջում ներդրումը կկազմի 20 + 20 · 0,1 = 22 միլիոն ռուբլի, իսկ երկրորդի վերջում `22 + 22 · 0,1 = 24,2 միլիոն ռուբլի: Երրորդ տարվա սկզբին ներդրումը (միլիոն ռուբլով) կկազմի (24,2 +): X), իսկ վերջում՝ (24.2 + X) + (24,2 + X)· 0.1 = (26.62 + 1.1 X). Չորրորդ տարվա սկզբին ներդրումը կլինի (26.62 + 2.1 X), իսկ վերջում՝ (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0.1 = (29.282 + 2.31 X). Ըստ պայմանի, դուք պետք է գտնեք ամենամեծ x ամբողջ թիվը, որի համար անհավասարությունը պահպանվում է

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Այս անհավասարության ամենամեծ ամբողջական լուծումը 24 թիվն է։

Պատասխան. 24.

Առաջադրանք թիվ 18- բարդության բարձր մակարդակի առաջադրանք՝ մանրամասն պատասխանով: Այս առաջադրանքը նախատեսված է դիմորդների մաթեմատիկական պատրաստվածության բարձրացված պահանջներով բուհերում մրցակցային ընտրության համար: Բարդության բարձր մակարդակի առաջադրանքը ոչ թե լուծման մեկ մեթոդի կիրառման, այլ համակցման խնդիր է տարբեր մեթոդներ. 18-րդ առաջադրանքը հաջողությամբ կատարելու համար, բացի ամուր մաթեմատիկական գիտելիքներից, անհրաժեշտ է նաև մաթեմատիկական մշակույթի բարձր մակարդակ:

Ինչի վրա աանհավասարությունների համակարգ

	x 2 + y 2 ≤ 2այ – ա 2 + 1
	y + ա ≤ |x| – ա

ուղիղ երկու լուծում ունի՞

Լուծում:Այս համակարգը կարող է վերաշարադրվել ձևով

	x 2 + (y– ա) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – ա

Եթե ​​հարթության վրա գծենք առաջին անհավասարության լուծումների բազմությունը, ապա կստանանք 1 շառավղով շրջանագծի (սահմանով) ինտերիեր, որի կենտրոնը գտնվում է (0, Ա). Երկրորդ անհավասարության լուծումների բազմությունը հարթության այն մասն է, որը գտնվում է ֆունկցիայի գրաֆիկի տակ. y = | x| – ա, իսկ վերջինս ֆունկցիայի գրաֆիկն է
y = | x| , տեղափոխվել է ներքև Ա. Այս համակարգի լուծումը անհավասարություններից յուրաքանչյուրի լուծումների բազմությունների հատումն է։

Հետևաբար, այս համակարգը կունենա երկու լուծում միայն Նկ. 1.

Շրջանակի շփման կետերը գծերի հետ կլինեն համակարգի երկու լուծումները։ Ուղիղ գծերից յուրաքանչյուրը թեքված է դեպի առանցքները 45° անկյան տակ։ Այսպիսով, դա եռանկյուն է PQR- ուղղանկյուն հավասարաչափ: Կետ Քունի կոորդինատներ (0, Ա), և կետը Ռ– կոորդինատներ (0, – Ա). Բացի այդ, հատվածները PRԵվ PQհավասար է 1-ի հավասար շրջանագծի շառավղին։ Սա նշանակում է

Քր= 2ա = √2, ա =	√2	.
	2

Պատասխան. ա =	√2	.
	2

Առաջադրանք թիվ 19- բարդության բարձր մակարդակի առաջադրանք՝ մանրամասն պատասխանով: Այս առաջադրանքը նախատեսված է դիմորդների մաթեմատիկական պատրաստվածության բարձրացված պահանջներով բուհերում մրցակցային ընտրության համար: Բարդության բարձր մակարդակի առաջադրանքը խնդիր է ոչ թե լուծման մեկ մեթոդի կիրառման, այլ տարբեր մեթոդների համակցության վրա: 19-րդ առաջադրանքը հաջողությամբ կատարելու համար դուք պետք է կարողանաք լուծում փնտրել՝ հայտնիներից ընտրելով տարբեր մոտեցումներ և փոփոխելով ուսումնասիրված մեթոդները:

Թող Սնգումար nթվաբանական առաջընթացի պայմաններ ( a p). Հայտնի է, որ Ս ն + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

ա) Ներկայացրե՛ք բանաձևը nայս առաջընթացի եռամսյակը:

բ) Գտե՛ք ամենափոքր բացարձակ գումարը Ս ն.

գ) Գտե՛ք ամենափոքրը n, որի ժամանակ Ս նկլինի ամբողջ թվի քառակուսին:

Լուծումա) Ակնհայտ է, որ a n = Ս ն – Ս ն– 1. Օգտագործելով այս բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ս ն = Ս (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

Ս ն – 1 = Ս (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Նշանակում է, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Բ) Քանի որ Ս ն = 2n 2 – 25n, ապա հաշվի առեք ֆունկցիան Ս(x) = | 2x 2 – 25x|. Դրա գրաֆիկը կարելի է տեսնել նկարում:

Ակնհայտ է, որ ամենափոքր արժեքը ձեռք է բերվում ֆունկցիայի զրոներին ամենամոտ գտնվող ամբողջ թվային կետերում: Ակնհայտորեն սրանք կետեր են X= 1, X= 12 և X= 13. Քանի որ, Ս(1) = |Ս 1 | = |2 – 25| = 23, Ս(12) = |Ս 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, Ս(13) = |Ս 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, ապա ամենափոքր արժեքը 12 է:

գ) Նախորդ պարբերությունից հետևում է, որ Սնդրական՝ սկսած n= 13. Քանի որ Ս ն = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), ապա ակնհայտ դեպքը, երբ այս արտահայտությունը կատարյալ քառակուսի է, իրականացվում է, երբ n = 2n– 25, այսինքն՝ ժ n= 25.

Մնում է ստուգել արժեքները 13-ից 25-ը.

Ս 13 = 13 1, Ս 14 = 14 3, Ս 15 = 15 5, Ս 16 = 16 7, Ս 17 = 17 9, Ս 18 = 18 11, Ս 19 = 19 13, Ս 20 = 20 13, Ս 21 = 21 17, Ս 22 = 22 19, Ս 23 = 23 21, Ս 24 = 24 23:

Ստացվում է, որ ավելի փոքր արժեքների համար nամբողջական քառակուսի չի ստացվում:

Պատասխան.Ա) a n = 4n- 27; բ) 12; գ) 25.

________________

*2017 թվականի մայիսից «ԴՐՈՖԱ-ՎԵՆՏԱՆԱ» միավորված հրատարակչական խումբը մտնում է Ռուսական դասագրքերի կորպորացիայի մեջ։ Կորպորացիան ներառում է նաև Astrel հրատարակչությունը և LECTA թվային կրթական հարթակը։ Ալեքսանդր Բրիչկին, Ռուսաստանի Դաշնության կառավարությանն առընթեր ֆինանսական ակադեմիայի շրջանավարտ, տնտեսական գիտությունների թեկնածու, ԱՀԳ ղեկավար. նորարարական նախագծեր«ԴՐՈՖԱ» հրատարակչություն թվային կրթության ոլորտում ( էլեկտրոնային ձևերդասագրքեր, Ռուսական էլեկտրոնային դպրոց, թվային կրթական հարթակ LECTA): Մինչ DROFA հրատարակչությանը միանալը նա զբաղեցնում էր EKSMO-AST հրատարակչական հոլդինգի ռազմավարական զարգացման և ներդրումների գծով փոխնախագահի պաշտոնը։ Այսօր Ռուսաստանի Դասագրքերի հրատարակչական կորպորացիան ունի Դաշնային ցուցակում ներառված դասագրքերի ամենամեծ պորտֆելը` 485 վերնագիր (մոտ 40%, չհաշված դասագրքերը: ուղղիչ դպրոց). Կորպորացիայի հրատարակչություններին են պատկանում ռուսական դպրոցներում ֆիզիկայի, գծագրության, կենսաբանության, քիմիայի, տեխնոլոգիայի, աշխարհագրության, աստղագիտության ամենատարածված դասագրքերի հավաքածուները՝ գիտելիքների ոլորտներ, որոնք անհրաժեշտ են երկրի արտադրողական ներուժի զարգացման համար: Կորպորացիայի պորտֆելը ներառում է դասագրքեր և ուսումնական նյութերՀամար տարրական դպրոց, կրթության ոլորտում արժանացել է նախագահի մրցանակի։ Սրանք առարկայական ոլորտների դասագրքեր և ձեռնարկներ են, որոնք անհրաժեշտ են Ռուսաստանի գիտական, տեխնիկական և արտադրական ներուժի զարգացման համար:

Այս հոդվածը ներկայացնում է մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության 2-րդ մասի 9-12 առաջադրանքների վերլուծությունը մասնագիտացված մակարդակով մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի դաստիարակից: Ուսուցչի տեսադասը՝ առաջարկվող առաջադրանքների վերլուծությամբ, պարունակում է մանրամասն և հասկանալի մեկնաբանություններ դրանցից յուրաքանչյուրի վերաբերյալ: Եթե ​​նոր եք սկսել պատրաստվել մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը, ապա այս հոդվածը կարող է շատ օգտակար լինել ձեզ համար։

9. Գտի՛ր արտահայտության իմաստը

Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները, որոնց մանրամասն կարող եք ծանոթանալ վերը նշված վիդեո ձեռնարկում, մենք փոխակերպում ենք արտահայտությունը.

10. Զսպանակային ճոճանակը տատանվում է կետով Տ= 16 վ. Կախովի քաշը մ= 0,8 կգ: Բեռի շարժման արագությունը ժամանակի ընթացքում փոխվում է բանաձևի համաձայն . Միաժամանակ մ/վ. Կինետիկ էներգիայի որոշիչ բանաձևը (ջոուլներով) հետևյալն է մվերցված կիլոգրամներով, վայրկյանում մետրերով: Որքա՞ն է բեռի կինետիկ էներգիան ջոուլում մեկնարկից 10 վրկ. տատանողական շարժում?

Տատանողական շարժումն սկսելուց 10 վրկ բեռի շարժման արագությունը հավասար կլինի.

Այդ դեպքում կինետիկ էներգիան ժամանակի այս պահին հավասար կլինի.

Ջ.

Թող x- մեկ կոնֆետի գինը, և y- շոկոլադի գինը. Հետո 6 սառնաշաքարն արժեր 6 x, իսկ շոկոլադե սալիկի արժեքի 2%-ը հավասար է 0,02-ի y. Քանի որ հայտնի է, որ 6 սառնաշաքարն արժե 2%-ով ավելի քիչ, քան շոկոլադե սալիկը, առաջին հավասարումը գործում է. x + 0,02y = y, որից մենք ստանում ենք դա x = 0,98/6 y = 98/600 y = 49/300 y. Իր հերթին 9 լոլիպոսն արժե 9 x, այսինքն՝ 9·49/300 y = 49/300 y = 1,47 y. Առաջադրանքը հանգում է նրան, թե քանի տոկոսով է 1,47 yավելի քան y. Եթե yկազմում է 100%, ապա 1,47 yկազմում է 1,47·100% = 147%: Այսինքն՝ 1,47 yավելի քան y 47%-ով։

12. Գտե՛ք ֆունկցիայի նվազագույն կետը:

1) DL-ը տրվում է անհավասարությամբ՝ title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="23" width="106" style="vertical-align: -5px;"> (так выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше нуля), откуда получаем, что .!}

2) Մենք փնտրում ենք ֆունկցիայի ածանցյալը: Մանրամասն նկարագրության համար, թե ինչպես է հաշվարկվում այս ֆունկցիայի ածանցյալը, տես վերևի տեսանյութը: Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է.

3) Արժեքների որոնում x, որի համար ածանցյալը հավասար է 0-ի կամ գոյություն չունի։ Այն գոյություն չունի , քանի որ այս դեպքում հայտարարը գնում է զրոյի: Ածանցյալը դրվում է զրոյի, երբ.

Հեղինակ ԲաղմենովանԹ.Ա. մաթեմատիկայի ուսուցիչՌոստովի մարզի Նովոչերկասկ քաղաքի MBOU թիվ 14 միջնակարգ դպրոց.

Միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելիս ածանցյալ գործիքների օգտագործման հետ կապված խնդիրներ լուծելիս հանդիպում է մեծ բազմազանությունառաջադրանքներ, ինչը հուշում է առաջադրանքները խմբերի բաժանելու անհրաժեշտությունը, որն ուղեկցվում է տեսական նյութ«Ածանցյալ» թեմայով:

Դիտարկենք մաթեմատիկայի պրոֆիլային մակարդակի «Ածանցյալ» թեմայով թիվ 7 առաջադրանքների օրինակները՝ դրանք բաժանելով խմբերի։

1 . Թող f(x) ֆունկցիան շարունակական լինի [ ինտերվալի վրա ա ; բ ] և տարբերակելի է (a;b) միջակայքում: Այդ դեպքում, եթե ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից մեծ է բոլոր x-ի համար, որոնք պատկանում են [ ա ; բ ], ապա ֆունկցիան մեծանում է [-ով ա ; բ ], և եթե ֆունկցիայի ածանցյալը փոքր է զրոյից, ապա այն նվազում է այս հատվածում։

Օրինակներ.

1)

Լուծում.

Կետերում և կետերում ֆունկցիան նվազում է, հետևաբար այդ կետերում ֆունկցիայի ածանցյալը բացասական է։

Պատասխան՝ 2.

2)

Լուծում.

(-2;2), (6;10) ինտերվալներում ֆունկցիայի ածանցյալը բացասական է, հետևաբար, ֆունկցիան նվազում է այս միջակայքերի վրա. Երկու ինտերվալների երկարությունը 4 է։

Պատասխան՝ 4.

3)

Լուծում.

Սեգմենտի վրա ֆունկցիայի ածանցյալը դրական է, հետևաբար ֆունկցիան մեծանում է այս միջակայքում, հետևաբար ֆունկցիան ընդունում է իր ամենափոքր արժեքը 3-րդ կետում։

Պատասխան՝ 3.

4)

Լուծում.

[-2;3] միջակայքում ֆունկցիայի ածանցյալը բացասական է, հետևաբար ֆունկցիան նվազում է այս միջակայքում, հետևաբար ֆունկցիան ստանում է իր ամենամեծ արժեքը -2 կետում։

Պատասխան՝ -2.

2 . Եթե ​​մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը նշանը փոխում է «-»-ից «+», ապա սա ֆունկցիայի նվազագույն կետն է. եթե մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը նշանը փոխում է «+»-ից «-»-ի, ապա դա ֆունկցիայի առավելագույն կետն է:

Օրինակ՝

Լուծում.

x=3 կետում; x=13 ֆունկցիայի ածանցյալը նշանը փոխում է «-»-ից «+»-ի, հետևաբար սրանք ֆունկցիայի նվազագույն կետերն են:

Պատասխան՝ 2.

3. Վիճակը ( x )=0 է անհրաժեշտ պայմանտարբերակելի ֆունկցիայի ծայրահեղություն զ ( x ). Քանի որ Ox առանցքի հետ ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկի հատման կետերում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի, ապա այդ կետերը ծայրամասային կետեր են։

Օրինակ՝

Լուծում.

Ox առանցքի հետ ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկի հատման կետերը տրված հատվածը 4, հետևաբար կա 4 ծայրահեղ կետ:

Պատասխան՝ 4.

4 . Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերում։ Այս խնդրի դեպքում սրանք այն կետերն են, որտեղ ֆունկցիան աճողից անցնում է նվազման կամ հակառակը:

Օրինակ՝

Լուծում.

Կետերում ածանցյալը զրո է:

Պատասխան՝ 4.

5. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը մի կետում, սա նշանակում է գտնել Ox առանցքին կամ Ox առանցքին զուգահեռ շոշափողի թեքության անկյան շոշափողը։ Եթե ​​շոշափողի թեքության անկյունը Ox առանցքին սուր է, ապա անկյան շոշափողը դրական է, եթե շոշափողի թեքության անկյունը բութ է, ապա անկյան շոշափողը բացասական է.

Օրինակ՝

Լուծում.

Կառուցենք ուղղանկյուն եռանկյուն, որում հիպոթենուսը ընկած կլինի շոշափողի վրա, իսկ ոտքերից մեկը ընկած կլինի Ox առանցքի կամ Ox առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի վրա, այնուհետև կհաշվենք ոտքերի երկարությունները և կհաշվենք շոշափողը: սուր անկյան տակ ուղղանկյուն եռանկյուն. Հակառակ կողմը հավասար է 2-ի, կից կողմը հավասար է 8-ի, հետևաբար ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան շոշափողը հավասար է 0,25-ի։ Ox առանցքի նկատմամբ շոշափողի թեքության անկյունը բութ է, հետևաբար շոշափողի թեքության անկյան շոշափողը բացասական է, հետևաբար ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը կետում -0,25 է։

Պատասխան՝ - 0,25:

6. 1) Զուգահեռ ուղիղների անկյունային գործակիցները հավասար են.

2) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը զ ( x y = զ ( x ) կետում (; զ ()).

Օրինակ.

Լուծում.

Ուղիղ գծի թեքությունը 2. Քանի որֆունկցիայի ածանցյալի արժեքըզ( x) մի կետում հավասար է ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությանըy= զ( x) կետում (;զ()), ապա գտնում ենք այն կետերը, որոնցում գործում է ֆունկցիայի ածանցյալըզ( x) հավասար է 2-ի։Այս գրաֆիկի վրա կա 4 այդպիսի կետ, հետևաբար, այն կետերի քանակը, որոնցում շոշափվում է ֆունկցիայի գրաֆիկըզ( x) զուգահեռ է տրված ուղղին կամ համընկնում է նրա հետ, հավասար է 4-ի:

Պատասխան՝ 4.

Օգտագործված գրականություն.

Kolyagin Yu., Tkacheva M. V., Fedorova N. E. et al. և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը (հիմնական և առաջադեմ մակարդակ): 10 դասարան - Պայծառություն. 2014 թ

Միասնական պետական ​​քննություն. 4000 խնդիր մաթեմատիկայի պատասխաններով. Բոլոր առաջադրանքները «Փակ հատված» են: Հիմնական և պրոֆիլային մակարդակ: Խմբագրվել է I. V. Yashchenko - M.: Հրատարակչություն «Քննություն», - 2016. - 640 էջ.