Ծայրերը զուգահեռ են դեմքերին: Ուղղանկյուն զուգահեռաբարձ - Գիտելիքի հիպերմարկետ: Թեմա՝ Ուղիների և հարթությունների զուգահեռություն

Զուգահեռագիծը քառանկյուն պրիզմա է, որի հիմքում զուգահեռներ են: Զուգահեռի բարձրությունը նրա հիմքերի հարթությունների միջև եղած հեռավորությունն է: Նկարում բարձրությունը ցույց է տրված հատվածով . Զուգահեռաբարձերի երկու տեսակ կա՝ ուղիղ և թեք։ Որպես կանոն, մաթեմատիկայի դասավանդողը սկզբում տալիս է պրիզմայի համապատասխան սահմանումները, այնուհետև դրանք փոխանցում զուգահեռականի վրա։ Մենք էլ նույնը կանենք։

Հիշեցնեմ, որ պրիզման կոչվում է ուղիղ, եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին, ապա պրիզման կոչվում է թեք։ Այս տերմինաբանությունը ժառանգված է նաև զուգահեռականի կողմից: Աջ զուգահեռականը ոչ այլ ինչ է, քան ուղիղ պրիզմայի տեսակ, որի կողային եզրը համընկնում է բարձրության հետ։ Պահպանվում են այնպիսի հասկացությունների սահմանումները, ինչպիսիք են դեմքը, եզրը և գագաթը, որոնք ընդհանուր են բազմաեզրերի ամբողջ ընտանիքի համար։ Հայտնվում է հակառակ դեմքերի հասկացությունը. Զուգահեռապատն ունի 3 զույգ հակադիր դեմքեր, 8 գագաթներ և 12 եզրեր:

Զուգահեռի շեղանկյունը (պրիզմայի անկյունագիծը) մի հատված է, որը միացնում է բազմանիստի երկու գագաթները և չի ընկած նրա երեսներից որևէ մեկի վրա։

Անկյունագծային հատված - զուգահեռանիստի հատված, որն անցնում է իր անկյունագծով և հիմքի անկյունագծով:

Թեք զուգահեռականի հատկությունները:
1) Նրա բոլոր երեսները զուգահեռականներ են, իսկ հակառակ երեսները՝ հավասար զուգահեռներ:
2)Զուգահեռապատիկի անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսվում են այս կետում:
3)Յուրաքանչյուր զուգահեռաբար բաղկացած է հավասար ծավալի վեց եռանկյունաձև բուրգերից: Դրանք աշակերտին ցույց տալու համար մաթեմատիկայի դասավանդողը պետք է իր անկյունագծով կտրի զուգահեռագծի կեսը և այն առանձին բաժանի 3 բուրգերի: Նրանց հիմքերը պետք է ընկած լինեն սկզբնական զուգահեռականի տարբեր երեսների վրա: Մաթեմատիկայի դասախոսը կգտնի այս հատկության կիրառումը վերլուծական երկրաչափության մեջ: Այն օգտագործվում է բուրգի ծավալը ցուցադրելու համար խառը աշխատանքվեկտորներ.

Զուգահեռաբարի ծավալի բանաձևեր:
1) որտեղ է հիմքի մակերեսը, h-ը բարձրությունն է:
2) զուգահեռականի ծավալը արտադրանքին հավասարխաչմերուկի մակերեսը մեկ կողային կողիկի համար:
Մաթեմատիկայի դաստիարակԻնչպես գիտեք, բանաձևը ընդհանուր է բոլոր պրիզմաների համար, և եթե դասավանդողն արդեն ապացուցել է դա, ապա իմաստ չունի նույն բանը կրկնել զուգահեռականի համար: Այնուամենայնիվ, միջին մակարդակի աշակերտի հետ աշխատելիս (բանաձևն օգտակար չէ թույլ աշակերտին), խորհուրդ է տրվում, որ ուսուցիչը վարվի ճիշտ հակառակը: Հանգիստ թողեք պրիզման և կատարեք զգույշ ապացուցում զուգահեռականի համար:
3) , որտեղ է զուգահեռականը կազմող վեց եռանկյուն բուրգերից մեկի ծավալը։
4) Եթե, ապա

Զուգահեռաբարի կողային մակերեսի մակերեսը նրա բոլոր երեսների մակերեսների գումարն է.
Զուգահեռապատիկի ընդհանուր մակերեսը նրա բոլոր երեսների մակերեսների գումարն է, այսինքն՝ հիմքի մակերեսը + երկու մակերեսները.

Թեք զուգահեռականով դաստիարակի աշխատանքի մասին:
Մաթեմատիկայի դասավանդողը հաճախ չի աշխատում հակված զուգահեռականի հետ կապված խնդիրների վրա: Միասնական պետական ​​քննությանը նրանց հայտնվելու հավանականությունը բավականին ցածր է, իսկ դիդակտիկան՝ անպարկեշտ վատ։ Թեքված զուգահեռականի ծավալի վերաբերյալ քիչ թե շատ պատշաճ խնդիրը լուրջ խնդիրներ է առաջացնում՝ կապված H կետի` նրա բարձրության հիմքի գտնվելու վայրը որոշելու հետ: Այս դեպքում մաթեմատիկայի դասավանդողին կարելի է խորհուրդ տալ զուգահեռաբար կտրել իր վեց բուրգերից մեկին (որի մասին մենք խոսում ենքթիվ 3 հատկության մեջ), փորձեք գտնել դրա ծավալը և բազմապատկել 6-ով։

Եթե ​​զուգահեռականի կողային եզրն ունի հիմքի կողմերի հետ հավասար անկյուններ, ապա H-ն ընկած է ABCD հիմքի A անկյան կիսադիրի վրա: Իսկ եթե, օրինակ, ABCD-ն ռոմբուս է, ապա

Մաթեմատիկայի դաստիարակի առաջադրանքներ:
1) Զուգահեռապատիկի երեսները հավասար են միմյանց 2 սմ կողմով և սուր անկյունով: Գտե՛ք զուգահեռականի ծավալը:
2) Թեք զուգահեռականի մեջ կողային եզրը 5 սմ է։ Նրան ուղղահայաց հատվածը 6սմ և 8սմ երկարությամբ փոխադարձաբար ուղղահայաց անկյունագծերով հաշվի՛ր զուգահեռականի ծավալը։
3) Թեք զուգահեռականում հայտնի է, որ, իսկ ABCD-ում հիմքը 2 սմ կողմով և անկյունով ռոմբ է: Որոշեք զուգահեռականի ծավալը:

Մաթեմատիկայի դասախոս Ալեքսանդր Կոլպակով

Դասի նպատակները.

1. Ուսումնական:

Ներկայացրե՛ք զուգահեռականի հասկացությունը և դրա տեսակները.
- ձևակերպել (օգտագործելով անալոգիան զուգահեռագծի և ուղղանկյունի հետ) և ապացուցել զուգահեռականի և խորանարդի հատկությունները.
- կրկնել տարածության մեջ զուգահեռության և ուղղահայացության հետ կապված հարցեր:

2. Զարգացնող:

Շարունակեք զարգացնել ուսանողների մոտ նման հմտություններ ճանաչողական գործընթացներորպես ընկալում, ըմբռնում, մտածողություն, ուշադրություն, հիշողություն;
- նպաստել աշակերտների տարրերի զարգացմանը ստեղծագործական գործունեությունորպես մտածողության որակներ (ինտուիցիա, տարածական մտածողություն);
- ուսանողների մոտ զարգացնել եզրակացություններ անելու կարողությունը, այդ թվում՝ անալոգիայի միջոցով, որն օգնում է հասկանալ երկրաչափության ներառարկայական կապերը:

3. Ուսումնական:

Նպաստել համակարգված աշխատանքի կազմակերպման և սովորությունների զարգացմանը.
- նպաստել գեղագիտական ​​հմտությունների ձևավորմանը նշումներ անելիս և նկարներ կատարելիս.

Դասի տեսակը՝ դասաուսումնական նոր նյութ (2 ժամ).

Դասի կառուցվածքը.

1. Կազմակերպչական պահ.
2. Գիտելիքների թարմացում.
3. Նոր նյութի ուսումնասիրություն.
4. Տնային առաջադրանքների ամփոփում և սահմանում:

Սարքավորումներ՝ ապացույցներով պաստառներ (սլայդներ), տարբեր երկրաչափական մարմինների մոդելներ, այդ թվում՝ բոլոր տեսակի զուգահեռականների, գրաֆիկական պրոյեկտոր։

Դասի առաջընթացը.

1. Կազմակերպչական պահ.

2. Գիտելիքների թարմացում.

Դասի թեմայի հաղորդակցում, ուսանողների հետ միասին ձևակերպում նպատակներն ու խնդիրները, ցույց տալով թեմայի ուսումնասիրության գործնական նշանակությունը, կրկնելով այս թեմային առնչվող նախկինում ուսումնասիրված խնդիրները.

3. Նոր նյութի ուսումնասիրություն.

3.1. Parallelepiped և դրա տեսակները.

Ցուցադրվում են զուգահեռականների մոդելներ՝ բացահայտելով դրանց առանձնահատկությունները, որոնք օգնում են ձևակերպել զուգահեռականի սահմանումը՝ օգտագործելով պրիզմա հասկացությունը:

Սահմանում:

զուգահեռկոչվում է պրիզմա, որի հիմքը զուգահեռագիծ է:

Կազմված է զուգահեռականի գծանկար (Նկար 1), թվարկված են զուգահեռականի տարրերը՝ որպես պրիզմայի հատուկ դեպք։ Սլայդ 1-ը ցուցադրված է:

Սահմանման սխեմատիկ նշում.

Սահմանումից եզրակացությունները ձևակերպվում են.

1) Եթե ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 պրիզմա է, իսկ ABCD՝ զուգահեռագիծ, ապա ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – զուգահեռ.

2) Եթե ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – զուգահեռ, ապա ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-ը պրիզմա է, իսկ ABCD-ը՝ զուգահեռագիծ:

3) Եթե ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-ը պրիզմա չէ կամ ABCD-ը զուգահեռագիծ չէ, ապա
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ոչ զուգահեռ.

4). Եթե ​​ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ոչ զուգահեռ, ապա ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-ը պրիզմա չէ կամ ABCD-ը զուգահեռագիծ չէ:

Այնուհետև դիտարկվում են զուգահեռականի հատուկ դեպքեր՝ դասակարգման սխեմայի կառուցմամբ (տես նկ. 3), ցուցադրվում են մոդելներ, ընդգծվում են ուղիղ և ուղղանկյուն զուգահեռականների բնորոշ հատկությունները և ձևակերպվում դրանց սահմանումները։

Սահմանում:

Զուգահեռակետը կոչվում է ուղիղ, եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին:

Սահմանում:

Զուգահեռականը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին, իսկ հիմքը ուղղանկյուն է (տես նկար 2):

Սահմանումները սխեմատիկ ձևով գրանցելուց հետո ձևակերպվում են դրանցից եզրակացություններ:

3.2. Զուգահեռաձիգների հատկությունները.

Փնտրեք պլանաչափական պատկերներ, որոնց տարածական անալոգները զուգահեռաբարձ և խորանարդ են (զուգահեռանկյուն և ուղղանկյուն): Այս դեպքում գործ ունենք ֆիգուրների տեսողական նմանության հետ։ Օգտագործելով եզրակացության կանոնը անալոգիայով, աղյուսակները լրացվում են:

Եզրակացության կանոն անալոգիայի միջոցով.

1. Ընտրեք նախկինում ուսումնասիրվածից թվեր գործիչ, այս մեկի նման:
2. Ձևակերպե՛ք ընտրված գործչի հատկությունը:
3. Ձևակերպե՛ք սկզբնական գործչի նմանատիպ հատկությունը:
4. Ապացուցել կամ հերքել ձեւակերպված պնդումը.

Հատկությունները ձևակերպելուց հետո դրանցից յուրաքանչյուրի ապացուցումն իրականացվում է հետևյալ սխեմայով.

• ապացույցների պլանի քննարկում;
• սլայդի ցուցադրում ապացույցներով (սլայդներ 2 – 6);
• Ուսանողները լրացնում են ապացույցները իրենց նոթատետրում:

3.3 Խորանարդը և նրա հատկությունները:

Սահմանում. Խորանարդը ուղղանկյուն զուգահեռաբարձ է, որի բոլոր երեք չափերը հավասար են:

Ուսանողները զուգահեռաբար զուգահեռաբար կատարում են սահմանման սխեմատիկ նշում, դրանից բխում են հետևանքներ և ձևակերպում խորանարդի հատկությունները:

4. Տնային առաջադրանքների ամփոփում և սահմանում:

Տնային աշխատանք.

1. Օգտագործելով 10-11-րդ դասարանների երկրաչափության դասագրքի դասի նշումները՝ Լ.Ս. Աթանասյանը և ուրիշներ, ուսումնասիրեք Գլուխ 1, §4, պարբերություն 13, Գլուխ 2, §3, պարբերություն 24:
2. Ապացուցե՛ք կամ հերքե՛ք աղյուսակի 2-րդ կետի զուգահեռականի հատկությունը:
3. Պատասխանեք անվտանգության հարցերին:

Թեստային հարցեր.

1. Հայտնի է, որ զուգահեռականի միայն երկու կողային երեսներն են ուղղահայաց հիմքին։ Ինչպիսի՞ զուգահեռականի:

2. Ուղղանկյուն ձևի քանի՞ կողային երես կարող է ունենալ զուգահեռաբարձը:

3. Հնարավո՞ր է զուգահեռաբար ունենալ միայն մեկ կողային դեմքով.

1) հիմքին ուղղահայաց.
2) ունի ուղղանկյան ձև.

4. Աջ զուգահեռականում բոլոր անկյունագծերը հավասար են: Արդյո՞ք այն ուղղանկյուն է:

5. Ճի՞շտ է արդյոք, որ աջ զուգահեռականում անկյունագծային հատվածներն ուղղահայաց են հիմքի հարթություններին:

6. Նշեք թեորեմը. թեորեմի հակադարձուղղանկյուն զուգահեռականի անկյունագծի քառակուսու մասին:

7. Ի՞նչ լրացուցիչ հատկանիշներով են տարբերվում խորանարդը ուղղանկյուն զուգահեռանիպեդից:

8. Արդյո՞ք զուգահեռ գագաթնակետը կլինի այն խորանարդը, որի գագաթներից մեկի բոլոր եզրերը հավասար են:

9. Նշե՛ք թեորեմը խորանարդի անկյունագծի քառակուսու վերաբերյալ խորանարդի դեպքի համար:

Այս դասում մենք կսահմանենք զուգահեռաբարձը, կքննարկենք դրա կառուցվածքը և դրա տարրերը (զուգահեռապատիկի անկյունագծերը, զուգահեռականի կողմերը և դրանց հատկությունները): Կդիտարկենք նաև զուգահեռագծի երեսների և անկյունագծերի հատկությունները: Հաջորդիվ մենք կլուծենք զուգահեռաբար հատվածի կառուցման բնորոշ խնդիր:

Թեմա՝ Ուղիների և հարթությունների զուգահեռություն

Դաս. Զուգահեռաբար. Զուգահեռապարկի դեմքերի և անկյունագծերի հատկությունները

Այս դասում մենք կսահմանենք զուգահեռաբարձը, կքննարկենք դրա կառուցվածքը, հատկությունները և տարրերը (կողմեր, անկյունագծեր):

Զուգահեռագիծը ձևավորվում է ABCD և A 1 B 1 C 1 D 1 երկու հավասար զուգահեռականներով, որոնք գտնվում են զուգահեռ հարթություններում: Նշում. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 կամ AD 1 (նկ. 1.):

2. «Բաց դաս» մանկավարժական գաղափարների փառատոն ()

1. Երկրաչափություն. 10-11 դասարաններ՝ դասագիրք աշակերտների համար ուսումնական հաստատություններ(հիմնական և պրոֆիլի մակարդակները) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-րդ հրատարակություն, շտկված և ընդլայնված - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: ill.

Առաջադրանքներ 10, 11, 12 էջ 50

2. Կառուցեք ուղղանկյուն զուգահեռանիստի հատված ABCDA1B1C1D1կետերով անցնող ինքնաթիռ.

ա) A, C, B1

բ) B1, D1իսկ կողոսկրի կեսը AA1.

3. Խորանարդի եզրը հավասար է a. Կառուցեք խորանարդի հատվածը մեկ գագաթից դուրս եկող երեք եզրերի միջնակետերով անցնող հարթությամբ և հաշվարկեք դրա պարագիծը և մակերեսը:

4. Ի՞նչ պատկերներ կարելի է ստանալ զուգահեռականի հարթության հետ հատվելու արդյունքում:

Այս դասում բոլորը կկարողանան ուսումնասիրել թեման « Ուղղանկյուն զուգահեռական« Դասի սկզբում մենք կկրկնենք, թե ինչ են կամայական և ուղիղ զուգահեռականները, հիշեք դրանց հակադիր դեմքերի և զուգահեռականի անկյունագծերի հատկությունները: Այնուհետև մենք կնայենք, թե ինչ է խորանարդը և կքննարկենք նրա հիմնական հատկությունները:

Թեմա՝ Ուղիների և հարթությունների ուղղահայացություն

Դաս՝ խորանարդ

Երկու հավասար ABCD և A 1 B 1 C 1 D 1 և չորս ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 զուգահեռականներից կազմված մակերեսը կոչվում է. զուգահեռ(նկ. 1):

Բրինձ. 1 Զուգահեռաբար

Այսինքն՝ մենք ունենք երկու հավասար զուգահեռներ ABCD և A 1 B 1 C 1 D 1 (հիմքեր), դրանք ընկած են զուգահեռ հարթություններում այնպես, որ AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 կողային եզրերը զուգահեռ են։ Այսպիսով, զուգահեռագծից կազմված մակերեսը կոչվում է զուգահեռ.

Այսպիսով, զուգահեռ գծի մակերեսը բոլոր զուգահեռականների գումարն է, որոնք կազմում են զուգահեռականի գագաթը։

1. Զուգահեռաբարի հակառակ երեսները զուգահեռ են և հավասար:

(ձևերը հավասար են, այսինքն՝ կարելի է համադրել համընկնելով)

Օրինակ.

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (ըստ սահմանման հավասար զուգահեռներ),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (քանի որ AA 1 B 1 B և DD 1 C 1 C զուգահեռականի հակառակ երեսներն են),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (քանի որ AA 1 D 1 D և BB 1 C 1 C զուգահեռականի հակառակ երեսներն են):

2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսվում են այս կետով:

Զուգահեռաբար AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B անկյունագծերը հատվում են մեկ O կետում, և յուրաքանչյուր անկյունագիծ կիսով չափ կիսվում է այս կետով (նկ. 2):

Բրինձ. 2 Զուգահեռ գծի անկյունագծերը հատվում են և կիսով չափ բաժանվում են հատման կետով:

3. Զուգահեռապատիկի հավասար և զուգահեռ եզրերի երեք քառապատիկ կա 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1:

Սահմանում. Զուգահեռակետը կոչվում է ուղիղ, եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին:

Թող AA 1 եզրը ուղղահայաց լինի հիմքին (նկ. 3): Սա նշանակում է, որ AA 1 ուղիղը ուղղահայաց է AD և AB ուղիղ գծերին, որոնք ընկած են հիմքի հարթությունում: Սա նշանակում է, որ կողային երեսները պարունակում են ուղղանկյուններ: Իսկ հիմքերը պարունակում են կամայական զուգահեռներ։ Նշենք ∠BAD = φ, անկյունը φ կարող է լինել ցանկացած:

Բրինձ. 3 Աջ զուգահեռական

Այսպիսով, աջ զուգահեռագիծը զուգահեռական է, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են զուգահեռականի հիմքերին:

Սահմանում. Զուգահեռագիծը կոչվում է ուղղանկյուն,եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին. Հիմքերը ուղղանկյուն են։

Զուգահեռապատիկ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ուղղանկյուն է (նկ. 4), եթե.

1. AA 1 ⊥ ABCD (կողային եզր, որը ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը, այսինքն՝ ուղիղ զուգահեռագիծ):

2. ∠BAD = 90°, այսինքն հիմքը ուղղանկյուն է:

Բրինձ. 4 Ուղղանկյուն զուգահեռական

Ուղղանկյուն զուգահեռ գիծն ունի կամայական զուգահեռականի բոլոր հատկությունները:Բայց կան լրացուցիչ հատկություններ, որոնք բխում են խորանարդի սահմանումից:

Այսպիսով, խորանարդաձեւզուգահեռաբարձ է, որի կողային եզրերն ուղղահայաց են հիմքին: Խորանարդի հիմքը ուղղանկյուն է.

1. Ուղղանկյուն զուգահեռ գծում բոլոր վեց դեմքերը ուղղանկյուն են:

ABCD և A 1 B 1 C 1 D 1 ուղղանկյուններ են ըստ սահմանման:

2. Կողային կողիկներն ուղղահայաց են հիմքին. Սա նշանակում է, որ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր կողային երեսները ուղղանկյուն են:

3. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր երկանկյուն անկյունները ուղիղ են:

Դիտարկենք, օրինակ, AB եզրով ուղղանկյուն զուգահեռանիպի երկդրանի անկյունը, այսինքն՝ ABC 1 և ABC հարթությունների միջև երկնիստ անկյունը:

AB-ն եզր է, A 1 կետը գտնվում է մի հարթության վրա՝ ABB 1 հարթության վրա, իսկ D կետը մյուսում՝ A 1 B 1 C 1 D 1 հարթության վրա: Այնուհետև դիտարկվող երկփեղկ անկյունը կարող է նշանակվել նաև հետևյալ կերպ՝ ∠A 1 ABD։

Վերցնենք A կետը AB եզրին: AA 1-ն ուղղահայաց է AB եզրին АВВ-1 հարթությունում, AD-ն ուղղահայաց է AB եզրին ABC հարթությունում: Սա նշանակում է, որ ∠A 1 AD-ը տրված երկփեղկ անկյան գծային անկյունն է։ ∠A 1 AD = 90°, ինչը նշանակում է, որ AB եզրին երկնիստ անկյունը 90° է:

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°:

Նմանապես, ապացուցված է, որ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի ցանկացած երկանկյուն անկյուն ուղիղ է:

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագծի քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին:

Նշում. Խորանարդի մեկ գագաթից բխող երեք եզրերի երկարությունները խորանարդի չափերն են: Նրանք երբեմն կոչվում են երկարություն, լայնություն, բարձրություն:

Տրված է` ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ուղղանկյուն զուգահեռաբարձ (նկ. 5):

Ապացուցել.

Բրինձ. 5 Ուղղանկյուն զուգահեռական

Ապացույց:

Ուղիղ CC 1-ը ուղղահայաց է ABC հարթությանը, հետևաբար՝ AC ուղիղ գծին: Սա նշանակում է, որ CC 1 A եռանկյունը ուղղանկյուն է: Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Եկեք դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյուն ABC. Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Բայց BC և AD ուղղանկյան հակառակ կողմերն են: Այսպիսով, մ.թ.ա. = մ.թ. Ապա.

Որովհետև , Ա , Դա. Քանի որ CC 1 = AA 1, սա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագծերը հավասար են:

Եկեք նշանակենք զուգահեռ ABC-ի չափերը որպես a, b, c (տես նկ. 6), ապա AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Զուգահեռաբարձերի մի քանի տեսակներ կան.

· Ուղղանկյուն զուգահեռական- զուգահեռաբարձ է, որի բոլոր դեմքերն են. ուղղանկյուններ;

· Աջ զուգահեռագիծը զուգահեռաբարձ է, որն ունի 4 կողային երես՝ զուգահեռագիծ;

· Թեք զուգահեռ գագաթնակետը զուգահեռական է, որի կողային երեսները ուղղահայաց չեն հիմքերին:

Հիմնական տարրեր

Զուգահեռաբարի երկու երեսները, որոնք չունեն ընդհանուր եզր, կոչվում են հակառակ, իսկ ընդհանուր եզր ունեցողները՝ կից: Զուգահեռականի երկու գագաթները, որոնք չեն պատկանում նույն դեմքին, կոչվում են հակադիր: հատված,Հակառակ գագաթները միացնելը կոչվում է անկյունագծովզուգահեռ. Ընդհանուր գագաթ ունեցող ուղղանկյուն զուգահեռականի երեք եզրերի երկարությունները կոչվում են չափումներ.

Հատկություններ

· Զուգահեռագիծը սիմետրիկ է իր անկյունագծի կեսին:

· Զուգահեռապատիկի մակերեսին պատկանող և նրա շեղանկյունի միջով անցնող ծայրերով ցանկացած հատված կիսով չափ բաժանվում է դրանով. մասնավորապես զուգահեռաբարպիդի բոլոր անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսվում են դրանով:

· Զուգահեռաբարի հակառակ երեսները զուգահեռ են և հավասար:

· Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագծային երկարության քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին.

Հիմնական բանաձևեր

Աջ զուգահեռական

· Կողային մակերեսի տարածքը S b =P o *h, որտեղ P o հիմքի պարագիծն է, h-ը բարձրությունն է

· Ընդհանուր մակերեսը S p =S b +2S o, որտեղ S o-ը հիմքի տարածքն է

· Ծավալը V=S o *h

Ուղղանկյուն զուգահեռական

· Կողային մակերեսի տարածքը S b =2c(a+b), որտեղ a, b-ը հիմքի կողմերն են, c-ն ուղղանկյուն զուգահեռանիստի կողային եզրն է:

· Ընդհանուր մակերեսը S p =2 (ab+bc+ac)

· Ծավալը V=abc, որտեղ a, b, c ուղղանկյուն զուգահեռանիստի չափերն են:

· Կողային մակերեսի տարածքը S=6*h 2, որտեղ h խորանարդի եզրի բարձրությունն է

34. Տետրաեդրոն - կանոնավոր պոլիեդրոն, ունի 4 դեմքեր, որոնք կանոնավոր եռանկյուններ են: Տետրաեդրի գագաթները 4 , համընկնում է յուրաքանչյուր գագաթին 3 կողիկներ, և ընդհանուր կողիկներ 6 . Նաև քառաեդրոնը բուրգ է:

Եռանկյունները, որոնցից բաղկացած է քառաեդրոնը, կոչվում են դեմքեր (AOS, OSV, ACB, AOB), նրանց կողմերը --- կողիկներ (AO, OC, OB)և գագաթները --- գագաթներ (A, B, C, O)քառաեդրոն։ Տետրաեդրոնի երկու եզրեր, որոնք չունեն ընդհանուր գագաթներ, կոչվում են հակառակը... Երբեմն քառաեդրոնի երեսներից մեկը մեկուսացվում է և կանչվում հիմքև մյուս երեքը --- կողմնակի դեմքեր.

Տետրաեդրոնը կոչվում է ճիշտ, եթե նրա բոլոր դեմքերը լինեն հավասարակողմ եռանկյուններ. Տվյալ դեպքում՝ կանոնավոր քառանիստ և կանոնավոր եռանկյուն բուրգ-Սա նույնը չէ:

U կանոնավոր քառաեդրոնբոլոր երկանկյուն անկյունները եզրերում և բոլոր եռանկյուն անկյունները գագաթներում հավասար են:

35. Ճիշտ պրիզմա

Պրիզման բազմանիստ է, որի երկու դեմքերը (հիմքերը) գտնվում են զուգահեռ հարթություններում, և այդ երեսներից դուրս գտնվող բոլոր եզրերը զուգահեռ են միմյանց: Հիմքերից բացի այլ երեսները կոչվում են կողային երեսներ, իսկ դրանց եզրերը՝ կողային եզրեր։ Բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց, որպես երկուսով սահմանափակված զուգահեռ հատվածներ զուգահեռ հարթություններ. Պրիզմայի բոլոր կողային երեսները զուգահեռական են: Պրիզմայի հիմքերի համապատասխան կողմերը հավասար են և զուգահեռ։ Այն պրիզմա, որի կողային եզրը ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը, կոչվում է ուղիղ պրիզմա: Կանոնավոր պրիզմայի հիմքն է կանոնավոր բազմանկյուն. Նման պրիզմայի բոլոր երեսները հավասար ուղղանկյուններ են։

Պրիզմայի մակերեսը բաղկացած է երկու հիմքից և կողային մակերեսից։ Պրիզմայի բարձրությունը մի հատված է, որը ընդհանուր ուղղահայաց է այն հարթություններին, որոնցում ընկած են պրիզմայի հիմքերը: Պրիզմայի բարձրությունը հեռավորությունն է Հհիմքերի հարթությունների միջև։

Կողային մակերեսի տարածքը ՍՊրիզմայի b-ը նրա կողային երեսների մակերեսների գումարն է: Ընդհանուր մակերեսը ՍՊրիզմայի n-ը նրա բոլոր երեսների մակերեսների գումարն է: Ս n = Սբ + 2 Ս, Որտեղ Ս- պրիզմայի հիմքի տարածքը, Սբ - կողային մակերեսը.

36. Մի դեմքով բազմանիստ, որը կոչվում է հիմք, – բազմանկյուն,
իսկ մյուս դեմքերը եռանկյուններ են ընդհանուր գագաթով, որը կոչվում է բուրգ .

Հիմքից բացի այլ դեմքեր կոչվում են կողային.
Կողային երեսների ընդհանուր գագաթը կոչվում է բուրգի գագաթը.
Բուրգի գագաթը հիմքի գագաթների հետ կապող եզրերը կոչվում են կողային.
Բուրգի բարձրությունը կոչվում է ուղղահայաց, որը գծված է բուրգի գագաթից մինչև դրա հիմքը:

Բուրգը կոչվում է ճիշտ, եթե նրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ բարձրությունն անցնում է հիմքի կենտրոնով։

Ապոթեմա կողային եզր կանոնավոր բուրգբուրգի գագաթից գծված այս դեմքի բարձրությունը կոչվում է.

Բուրգի հիմքին զուգահեռ հարթությունը կտրում է այն նման բուրգի և կտրված բուրգ:

Կանոնավոր բուրգերի հատկությունները

• Կանոնավոր բուրգի կողային եզրերը հավասար են:
• Կանոնավոր բուրգի կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են, որոնք հավասար են միմյանց:

Եթե ​​բոլոր կողային եզրերը հավասար են, ապա

· Բարձրությունը նախագծված է դեպի շրջագծված շրջանի կենտրոն;

Կողային կողերը հիմքի հարթության հետ հավասար անկյուններ են կազմում։

Եթե ​​կողային երեսները նույն անկյան տակ թեքված են հիմքի հարթությանը, ապա

· Բարձրությունը նախագծված է դեպի ներգծված շրջանագծի կենտրոն;

· կողային երեսների բարձրությունները հավասար են;

· Կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և կողային երեսի բարձրության արտադրյալի կեսին

37. y=f(x) ֆունկցիան, որտեղ x-ը պատկանում է բազմությանը բնական թվեր, կոչվում է բնական փաստարկի ֆունկցիա կամ թվային հաջորդականություն. Այն նշվում է y=f(n) կամ (y n)-ով:

Կարելի է նշել հաջորդականությունը տարբեր ձևերով, բանավոր, այսպես է դրվում հաջորդականությունը պարզ թվեր:

2, 3, 5, 7, 11 և այլն:

Հաջորդականությունը համարվում է վերլուծական տրված, եթե տրված է նրա n-րդ անդամի բանաձևը.

1, 4, 9, 16, …, n 2, …

2) y n = C. Նման հաջորդականությունը կոչվում է հաստատուն կամ անշարժ: Օրինակ.

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) y n =2 n. Օրինակ՝

2, 2 2, 2 3, 2 4, …, 2 n, …

Հաջորդականությունը կոչվում է սահմանափակված վերևում, եթե դրա բոլոր անդամները մեծ չեն որոշակի թվից: Այլ կերպ ասած, հաջորդականությունը կարելի է սահմանափակված անվանել, եթե կա M այնպիսի թիվ, որ y n անհավասարությունը փոքր կամ հավասար է M-ին: M թիվը կոչվում է հաջորդականության վերին սահման: Օրինակ՝ հաջորդականությունը՝ -1, -4, -9, -16, ..., - n 2 ; վերևից սահմանափակված.

Նմանապես, հաջորդականությունը կարելի է անվանել սահմանափակված ներքևում, եթե նրա բոլոր անդամները մեծ են որոշակի թվից: Եթե ​​հաջորդականությունը սահմանափակված է ինչպես վերևում, այնպես էլ ներքևում, այն կոչվում է սահմանափակված:

Հաջորդականությունը կոչվում է աճող, եթե յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը մեծ է նախորդից:

Հերթականությունը կոչվում է նվազող, եթե յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ փոքր է նախորդից: Աճող և նվազող հաջորդականությունները սահմանվում են մեկ տերմինով՝ միատոն հաջորդականություններով։

Դիտարկենք երկու հաջորդականություն.

1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …

2) x n՝ 1, ½, 1/3, 1/ 4, …, 1/n, …

Եթե ​​թվային տողի վրա պատկերենք այս հաջորդականության տերմինները, ապա կնկատենք, որ երկրորդ դեպքում հաջորդականության անդամները խտացված են մեկ կետի շուրջ, իսկ առաջին դեպքում դա այդպես չէ։ Նման դեպքերում ասում են, որ y n հաջորդականությունը շեղվում է, իսկ x n հաջորդականությունը՝ համընկնում:

b թիվը կոչվում է y n հաջորդականության սահման, եթե b կետի նախապես ընտրված ցանկացած հարևանություն պարունակում է հաջորդականության բոլոր անդամները՝ սկսած որոշակի թվից։

Այս դեպքում կարող ենք գրել.

Եթե ​​պրոգրեսիայի գործակիցը մոդուլում մեկից փոքր է, ապա այս հաջորդականության սահմանը, քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն, հավասար է զրոյի։

Եթե ​​հաջորդականությունը համընկնում է, ապա միայն մեկ սահմանի

Եթե ​​հաջորդականությունը համընկնում է, ապա այն սահմանափակված է:

Վայերշտրասի թեորեմ. Եթե հաջորդականությունը միապաղաղ կերպով համընկնում է, ապա այն սահմանափակ է:

Անշարժ հաջորդականության սահմանը հավասար է հաջորդականության ցանկացած անդամի:

Հատկություններ:

1) Գումարի սահմանաչափը հավասար է սահմանաչափերի գումարին

2) Արտադրանքի սահմանը հավասար է սահմանների արտադրյալին

3) քանորդի սահմանը հավասար է սահմանների քանորդին

4) հաստատուն գործոնը կարելի է վերցնել սահմանային նշանից այն կողմ

Հարց 38
անսահման երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը

Երկրաչափական առաջընթաց- b 1, b 2, b 3,.. (առաջընթացի անդամներ) թվերի հաջորդականությունը, որում յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ, սկսած երկրորդից, ստացվում է նախորդից՝ այն բազմապատկելով որոշակի q թվով (հայտարարը): առաջընթացի), որտեղ b 1 ≠0, q ≠0:

Անսահման երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարըայն սահմանափակող թիվն է, որին համընկնում է առաջընթացի հաջորդականությունը:

Այսինքն՝ ինչքան էլ երկար երկրաչափական առաջընթաց, նրա անդամների գումարը որոշակի թվից ավելի չէ և գործնականում հավասար է այս թվին։ Սա կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար:

Ամեն երկրաչափական պրոգրեսիա չէ, որ ունի նման սահմանափակող գումար: Այն կարող է լինել միայն պրոգրեսիայի համար, որի հայտարարը 1-ից փոքր կոտորակային թիվ է: