Պատահական x փոփոխականն ունի բաշխման օրենք: Հավանականությունների բաշխման նորմալ օրենքը. Սովորաբար բաշխված պատահական փոփոխականի՝ տվյալ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը

Դիսկրետ բաշխումների դիտարկվող հատկությունը զգալի դժվարություններ է ստեղծում նման բաշխումների աղյուսակավորման և օգտագործման ժամանակ, քանի որ անհնար է ճշգրիտ պահպանել բաշխման բնութագրերի բնորոշ թվային արժեքները: Մասնավորապես, դա ճիշտ է ոչ պարամետրային վիճակագրական թեստերի կրիտիկական արժեքների և նշանակալի մակարդակների համար (տես ստորև), քանի որ այդ թեստերի վիճակագրության բաշխումները դիսկրետ են:

Վիճակագրության մեջ մեծ նշանակություն ունի քանակական կարգը r= ½. Այն կոչվում է միջին (պատահական փոփոխական Xկամ դրա բաշխման գործառույթը F(x))և նշանակված է Ես (X):Երկրաչափության մեջ կա «միջին» հասկացությունը՝ ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է եռանկյան գագաթով և կիսում է նրա հակառակ կողմը: Մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ միջինը կիսով չափ կիսում է ոչ թե եռանկյան կողմը, այլ պատահական փոփոխականի բաշխումը. հավասարություն F (x 0,5)= 0.5 նշանակում է, որ ձախ կողմնորոշվելու հավանականությունը x 0,5և աջ հասնելու հավանականությունը x 0,5(կամ ուղղակիորեն դեպի x 0,5) հավասար են միմյանց և հավասար են ½-ի, այսինքն.

Պ(X < x 0,5) = Պ(X > x 0,5) = ½:

Միջինը ցույց է տալիս բաշխման «կենտրոնը»: Ժամանակակից հասկացություններից մեկի՝ կայուն վիճակագրական ընթացակարգերի տեսության տեսանկյունից, մեդիանը պատահական փոփոխականի ավելի լավ բնութագիր է, քան մաթեմատիկական ակնկալիքը։ Չափումների արդյունքները հերթական սանդղակով մշակելիս (տե՛ս չափումների տեսության գլուխը), կարող է օգտագործվել մեդիանը, իսկ մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ ոչ։

Պատահական փոփոխականի բնութագիրը, ինչպիսին է ռեժիմը, ունի հստակ նշանակություն՝ պատահական փոփոխականի արժեքը (կամ արժեքները), որը համապատասխանում է հավանականության խտության տեղական առավելագույնին շարունակական պատահական փոփոխականի համար կամ հավանականության տեղական առավելագույնին դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար։ .

Եթե x 0- խտությամբ պատահական փոփոխականի ռեժիմ f(x),ապա, ինչպես հայտնի է դիֆերենցիալ հաշվարկից, .

Պատահական փոփոխականը կարող է ունենալ բազմաթիվ ռեժիմներ: Այսպիսով, միասնական բաշխման համար (1) յուրաքանչյուր կետ Xայնպիսին, որ ա< x < b , նորաձևություն է։

Այնուամենայնիվ, սա բացառություն է: Որոշումների կայացման հավանական վիճակագրական մեթոդներում և այլ կիրառական հետազոտություններում օգտագործվող պատահական փոփոխականների մեծ մասը ունեն մեկ ռեժիմ: Պատահական փոփոխականները, խտությունները, բաշխումները, որոնք ունեն մեկ ռեժիմ, կոչվում են միամոդալ։ XՍահմանափակ թվով արժեքներով դիսկրետ պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքը քննարկվում է «Իրադարձություններ և հավանականություններ» գլխում: Շարունակական պատահական փոփոխականի համար մաթեմատիկական ակնկալիք M(X)

բավարարում է հավասարությունը

որը «Իրադարձություններ և հավանականություններ» գլխի 2-րդ դրույթից (5) բանաձևի անալոգն է:Օրինակ 5. XՄիատեսակ բաշխված պատահական փոփոխականի ակնկալիք

հավասար է

Այս գլխում դիտարկված պատահական փոփոխականների համար մաթեմատիկական ակնկալիքների և շեղումների բոլոր այն հատկությունները, որոնք ավելի վաղ դիտարկվել էին վերջավոր թվով արժեքներով դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար, ճշմարիտ են: Այնուամենայնիվ, մենք չենք տրամադրում այս հատկությունների ապացույցը, քանի որ դրանք պահանջում են խորացում մաթեմատիկական նրբությունների մեջ, ինչը անհրաժեշտ չէ որոշումների կայացման հավանական-վիճակագրական մեթոդների ըմբռնման և որակյալ կիրառման համար:Այս դասագրքում գիտակցաբար խուսափում են մաթեմատիկական նրբություններից, որոնք կապված են, մասնավորապես, չափելի բազմությունների և չափելի ֆունկցիաների, իրադարձությունների հանրահաշիվների և այլն հասկացությունների հետ: Այս հասկացությունները տիրապետել ցանկացողները պետք է դիմեն մասնագիտացված գրականությանը, մասնավորապես՝ հանրագիտարանին։

Երեք բնութագրերից յուրաքանչյուրը` մաթեմատիկական ակնկալիք, մեդիան, ռեժիմ, նկարագրում է հավանականության բաշխման «կենտրոնը»: «Կենտրոն» հասկացությունը կարող է սահմանվել տարբեր ձևերով. հետևաբար, երեք տարբեր բնութագրեր. Այնուամենայնիվ, բաշխումների կարևոր դասի համար՝ սիմետրիկ միամոդալ, բոլոր երեք բնութագրիչները համընկնում են:

Բաշխման խտությունը f(x)– սիմետրիկ բաշխման խտությունը, եթե կա թիվ x 0այնպիսին, որ

. (3)

Հավասարություն (3) նշանակում է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը y = f(x)սիմետրիկ սիմետրիայի կենտրոնով անցնող ուղղահայաց գծի նկատմամբ X = X 0 . (3)-ից հետևում է, որ սիմետրիկ բաշխման ֆունկցիան բավարարում է կապը

(4)

Մեկ ռեժիմով սիմետրիկ բաշխման համար մաթեմատիկական ակնկալիքը, մեդիանը և եղանակը համընկնում են և հավասար են x 0.

Ամենակարևոր դեպքը 0-ի մասին համաչափությունն է, այսինքն. x 0= 0. Այնուհետև (3) և (4)-ը դառնում են հավասարումներ

(6)

համապատասխանաբար. Վերոնշյալ հարաբերությունները ցույց են տալիս, որ բոլորի համար սիմետրիկ բաշխումները աղյուսակավորելու կարիք չկա X, բավական է ունենալ սեղաններ x > x 0.

Նկատենք սիմետրիկ բաշխումների ևս մեկ հատկություն, որն անընդհատ կիրառվում է որոշումների կայացման հավանական-վիճակագրական մեթոդներում և այլ կիրառական հետազոտություններում։ Շարունակական բաշխման ֆունկցիայի համար

P(|X| < ա) = P(-a < X < ա) = F(a) – F(-a),

Որտեղ Ֆ- պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա X. Եթե ​​բաշխման ֆունկցիան Ֆսիմետրիկ է 0-ի մոտ, այսինքն. Բանաձևը (6) վավեր է դրա համար, ուրեմն

P(|X| < ա) = 2F(ա) – 1.

Հաճախ օգտագործվում է խնդրո առարկա հայտարարության մեկ այլ ձևակերպում. եթե

.

Եթե ​​բաշխման ֆունկցիայի և, համապատասխանաբար, (տե՛ս (2)) քանակները սիմետրիկ են 0-ի նկատմամբ, ապա (6)-ից հետևում է.

Դիրքի բնութագրերից՝ մաթեմատիկական ակնկալիք, մեդիան, ռեժիմ, անցնենք պատահական փոփոխականի տարածման բնութագրերին. XՏարբերություն, ստանդարտ շեղում և տատանումների գործակից v. Դիսկրետ պատահական փոփոխականների դիսպերսիայի սահմանումը և հատկությունները քննարկվել են նախորդ գլխում: Շարունակական պատահական փոփոխականների համար

Ստանդարտ շեղումը տատանումների քառակուսի արմատի ոչ բացասական արժեքն է.

Տատանումների գործակիցը ստանդարտ շեղման հարաբերակցությունն է մաթեմատիկական ակնկալիքին.

Տատանումների գործակիցը կիրառվում է, երբ M(X)> 0. Այն չափում է տարածումը հարաբերական միավորներով, մինչդեռ ստանդարտ շեղումը բացարձակ միավորներով է:

Օրինակ 6.Միատեսակ բաշխված պատահական փոփոխականի համար XԳտնենք դիսպերսիան, ստանդարտ շեղումը և տատանումների գործակիցը։ Տարբերությունը հետևյալն է.

Փոփոխականի փոփոխությունը թույլ է տալիս գրել.

Որտեղ գ = (բ – ա)/ 2. Հետևաբար, ստանդարտ շեղումը հավասար է և տատանումների գործակիցը.

Յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականի համար Xորոշել ևս երեք մեծություն՝ կենտրոնացված Յ, նորմալացված Վև տրված U. Կենտրոնացված պատահական փոփոխական Յտվյալ պատահական փոփոխականի տարբերությունն է Xև դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը M (X),դրանք. Յ = X – M(X):Կենտրոնացված պատահական փոփոխականի ակնկալիք Յհավասար է 0-ի, իսկ շեղումը տվյալ պատահական փոփոխականի շեղումն է. Մ(Յ) = 0, Դ(Յ) = Դ(X). Բաշխման գործառույթ Ֆ Յ(x) կենտրոնացված պատահական փոփոխական Յկապված բաշխման ֆունկցիայի հետ Ֆ(x) բնօրինակ պատահական փոփոխական Xհարաբերակցությունը:

Ֆ Յ(x) = Ֆ(x + Մ(X)).

Այս պատահական փոփոխականների խտությունները ունեն հետևյալ հավասարությունը.

զ Յ(x) = զ(x + Մ(X)).

Նորմալացված պատահական փոփոխական Վտրված պատահական փոփոխականի հարաբերակցությունն է Xիր ստանդարտ շեղմանը, այսինքն. . Նորմալացված պատահական փոփոխականի ակնկալիք և շեղում Վարտահայտված բնութագրերի միջոցով XԱյսպիսով.

,

Որտեղ v– սկզբնական պատահական փոփոխականի տատանումների գործակիցը X. Բաշխման ֆունկցիայի համար Ֆ Վ(x) և խտությունը զ Վ(x) նորմալացված պատահական փոփոխական Վմենք ունենք.

Որտեղ Ֆ(x) – սկզբնական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա X, Ա զ(x) - դրա հավանականության խտությունը.

Կրճատված պատահական փոփոխական Uկենտրոնացված և նորմալացված պատահական փոփոխական է՝

.

Տրված պատահական փոփոխականի համար

Նորմալացված, կենտրոնացված և կրճատված պատահական փոփոխականները մշտապես օգտագործվում են ինչպես տեսական ուսումնասիրություններում, այնպես էլ ալգորիթմներում, ծրագրային արտադրանքներում, կարգավորող, տեխնիկական և հրահանգչական փաստաթղթերում: Մասնավորապես, քանի որ հավասարությունները հնարավորություն են տալիս պարզեցնել մեթոդների հիմնավորումը, թեորեմների ձևակերպումը և հաշվարկային բանաձևերը։

Օգտագործվում են պատահական և ավելի ընդհանուր փոփոխականների փոխակերպումներ։ Այսպիսով, եթե Յ = aX + բ, Որտեղ աԵվ բ- Ուրեմն որոշ թվեր

Օրինակ 7.Եթե ​​այդ ժամանակ Յկրճատված պատահական փոփոխականն է, և բանաձևերը (8) վերածվում են բանաձևերի (7):

Յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականով Xդուք կարող եք կապել բազմաթիվ պատահական փոփոխականներ Յ, տրված բանաձևով Յ = aX + բտարբեր ժամանակներում ա> 0 և բ. Այս հավաքածուն կոչվում է մասշտաբի հերթափոխի ընտանիք, գեներացվել է պատահական փոփոխականով X. Բաշխման գործառույթներ Ֆ Յ(x) կազմում են բաշխումների սանդղակի հերթափոխի ընտանիք, որը առաջանում է բաշխման ֆունկցիայի կողմից Ֆ(x). Փոխարենը Յ = aX + բհաճախ օգտագործում են ձայնագրություն

Համար Հետկոչվում է հերթափոխի պարամետր, իսկ թիվը դ- մասշտաբի պարամետր: Բանաձևը (9) ցույց է տալիս, որ X– որոշակի քանակի չափման արդյունք – մտնում է U– նույն մեծության չափման արդյունքը, եթե չափման սկիզբը տեղափոխվում է կետ Հետ, և այնուհետև օգտագործեք նոր չափման միավորը, in դանգամ ավելի մեծ, քան հինը:

Սանդղակի հերթափոխի ընտանիքի համար (9) X-ի բաշխումը կոչվում է ստանդարտ: Որոշումների կայացման հավանական վիճակագրական մեթոդներում և այլ կիրառական հետազոտություններում օգտագործվում են ստանդարտ նորմալ բաշխում, ստանդարտ Weibull-Gnedenko բաշխում, ստանդարտ գամմա բաշխում և այլն (տես ստորև):

Օգտագործվում են նաև պատահական փոփոխականների այլ փոխակերպումներ։ Օրինակ՝ դրական պատահական փոփոխականի համար Xդիտարկում են Յ= մատյան X, որտեղ lg X- թվի տասնորդական լոգարիթմ X.

Հավասարությունների շղթա F Y (x) = P( X< x) = P(X < 10lg 10x) = F(

x) XԵվ Յ.

միացնում է բաշխման գործառույթները XՏվյալների մշակման ժամանակ օգտագործվում են պատահական փոփոխականի հետևյալ բնութագրերը որպես պատվերի պահերք , այսինքն. պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքները, որպես պատվերի պահեր Xq որպես պատվերի պահեր= 1, 2, ... Այսպիսով, մաթեմատիկական ակնկալիքն ինքնին 1 կարգի պահ է: Դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար կարգի պահը

կարող է հաշվարկվել որպես

Շարունակական պատահական փոփոխականի համար որպես պատվերի պահերՊատվերի պահեր որպես պատվերի պահեր, կոչվում են նաև պատվերի սկզբնական պահեր որպես պատվերի պահեր, ի տարբերություն հարակից բնութագրերի՝ կարգի կենտրոնական պահեր

տրված բանաձևով

Այսպիսով, դիսպերսիան 2-րդ կարգի կենտրոնական պահն է:Նորմալ բաշխում և կենտրոնական սահմանային թեորեմ:

Որոշումների կայացման հավանական-վիճակագրական մեթոդներում հաճախ խոսում ենք նորմալ բաշխման մասին։ Երբեմն նրանք փորձում են օգտագործել այն նախնական տվյալների բաշխումը մոդելավորելու համար (այդ փորձերը միշտ չէ, որ արդարացված են. տե՛ս ստորև): Ավելի կարևոր է, որ տվյալների մշակման շատ մեթոդներ հիմնված են այն փաստի վրա, որ հաշվարկված արժեքներն ունեն նորմալին մոտ բաշխումներ: X 1 , X 2 ,…, Թող Մ(X n) = մ X i Դ(X n) = , և շեղումներ = 1, 2,…, ես n

,... Ինչպես հետևում է նախորդ գլխի արդյունքներից. Դիտարկենք կրճատված պատահական փոփոխականը U n գումարի համար

, մասնավորապես, Մ(Դիտարկենք կրճատված պատահական փոփոխականը) = 0, Դ(Դիտարկենք կրճատված պատահական փոփոխականը) = 1.

Ինչպես հետևում է (7) բանաձևերից. X 1 , X 2 ,…, Թող(նույնականորեն բաշխված պայմանների համար): Թող Մ(X n) = մ X i Դ(X n) = , և շեղումներ = 1, 2,…, ես, … – անկախ նույնական բաշխված պատահական փոփոխականներ՝ մաթեմատիկական ակնկալիքներով

Որտեղ ,... Ապա ցանկացած x-ի համար սահման կա F(x)

- ստանդարտ նորմալ բաշխման գործառույթ: Ավելին գործառույթի մասին F(x) – ներքևում (կարդացեք «phi x-ից», քանի որՖ

Կենտրոնական սահմանային թեորեմը (CLT) ստացել է իր անվանումը, քանի որ այն հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության կենտրոնական, ամենատարածված մաթեմատիկական արդյունքն է։ CLT-ի պատմությունը տևում է մոտ 200 տարի՝ սկսած 1730 թվականից, երբ անգլիացի մաթեմատիկոս Ա. Մոիվրը (1667-1754) հրապարակեց CLT-ի հետ կապված առաջին արդյունքը (տես ստորև՝ Moivre-Laplace թեորեմի մասին), մինչև 20-30-ական թթ. քսաներորդ դարում, երբ Ֆին Ջ.Վ. Լինդբերգը, ֆրանսիացի Պոլ Լևին (1886-1971), հարավսլավացի Վ. Ֆելլերը (1906-1970), ռուս Ա.Յա. Խինչինը (1894-1959) և այլ գիտնականներ ձեռք բերեցին անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ դասական կենտրոնական սահմանային թեորեմի վավերականության համար։

Քննարկվող թեմայի զարգացումն այստեղ կանգ չի առել. նրանք ուսումնասիրել են պատահական փոփոխականներ, որոնք չունեն դիսպերսիա, այսինքն. նրանց, ում համար

(ակադեմիկոս Բ.Վ. Գնեդենկո և ուրիշներ), իրավիճակ, երբ ամփոփվում են թվերից ավելի բարդ բնույթի պատահական փոփոխականները (ավելի ճիշտ՝ պատահական տարրեր) (ակադեմիկոսներ Յու.Վ. Պրոխորով, Ա.Ա. Բորովկով և նրանց համախոհները) և այլն։

Բաշխման գործառույթ ,... Ապա ցանկացած x-ի համար սահման կատրված է հավասարությամբ

,

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման խտությունը, որն ունի բավականին բարդ արտահայտություն.

.

Այստեղ =3.1415925... երկրաչափության մեջ հայտնի թիվ է, որը հավասար է շրջագծի և տրամագծի հարաբերությանը, ե = 2,718281828... - բնական լոգարիթմների հիմքը (այս թիվը հիշելու համար խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 1828 թվականը գրող Լ.Ն. Տոլստոյի ծննդյան տարին է): Ինչպես հայտնի է մաթեմատիկական վերլուծությունից.

Դիտարկման արդյունքները մշակելիս նորմալ բաշխման ֆունկցիան չի հաշվարկվում տրված բանաձևերով, այլ հայտնաբերվում է հատուկ աղյուսակների կամ համակարգչային ծրագրերի միջոցով։ Ռուսերեն լեզվով լավագույն «Մաթեմատիկական վիճակագրության աղյուսակները» կազմել են ԽՍՀՄ ԳԱ թղթակից անդամներ Լ.Ն. Բոլշևը և Ն.Վ.Սմիրնովը:

Ստանդարտ նորմալ բաշխման խտության ձևը բխում է մաթեմատիկական տեսությունից, որը մենք չենք կարող դիտարկել այստեղ, ինչպես նաև CLT-ի ապացույցից։

Պատկերազարդման համար մենք տրամադրում ենք բաշխման ֆունկցիայի փոքր աղյուսակներ ,... Ապա ցանկացած x-ի համար սահման կա(Աղյուսակ 2) և դրա քանակները (Աղյուսակ 3): Գործառույթ ,... Ապա ցանկացած x-ի համար սահման կասիմետրիկ մոտ 0, որն արտացոլված է Աղյուսակ 2-3-ում:

Աղյուսակ 2.

Ստանդարտ նորմալ բաշխման գործառույթ:

Եթե ​​պատահական փոփոխականը Xունի բաշխման ֆունկցիա F (x),Դա մաթեմատիկական ակնկալիք = 0, Դ(X) = 1. Այս պնդումն ապացուցված է հավանականության տեսության մեջ՝ հիմնված հավանականության խտության ձևի վրա։ Այն համահունչ է կրճատված պատահական փոփոխականի բնութագրերի նմանատիպ հայտարարությանը Դիտարկենք կրճատված պատահական փոփոխականը, ինչը միանգամայն բնական է, քանի որ CLT-ում նշվում է, որ տերմինների քանակի անսահմանափակ աճով բաշխման ֆունկցիան Դիտարկենք կրճատված պատահական փոփոխականըհակված է ստանդարտ նորմալ բաշխման ֆունկցիային F (x),և ցանկացածի համար X.

Աղյուսակ 3.

Ստանդարտ նորմալ բաշխման քանակները:

Ներկայացնենք նորմալ բաշխումների ընտանիքի հայեցակարգը: Ըստ սահմանման՝ նորմալ բաշխումը պատահական փոփոխականի բաշխումն է X, որի համար կրճատված պատահական փոփոխականի բաշխումն է F(x).Ինչպես հետևում է բաշխումների սանդղակի հերթափոխի ընտանիքների ընդհանուր հատկություններից (տես վերևում), նորմալ բաշխումը պատահական փոփոխականի բաշխումն է։

Որտեղ X- պատահական փոփոխական բաշխմամբ F (X),և մ = Մ(Յ), = Դ(Յ). Նորմալ բաշխում հերթափոխի պարամետրերով մև սանդղակը սովորաբար նշվում է Ն(մ, ) (երբեմն օգտագործվում է նշում Ն(մ, ) ).

Ինչպես հետևում է (8-ից), նորմալ բաշխման հավանականության խտությունը Ն(մ, ) Կա

Նորմալ բաշխումները կազմում են սանդղակի հերթափոխի ընտանիք: Այս դեպքում սանդղակի պարամետրն է դ= 1/, և հերթափոխի պարամետրը գ = - մ/ .

Նորմալ բաշխման երրորդ և չորրորդ կարգի կենտրոնական պահերի համար ճշմարիտ են հետևյալ հավասարումները.

Այս հավասարությունները կազմում են դասական մեթոդների հիմքը՝ ստուգելու, որ դիտարկումները հետևում են նորմալ բաշխմանը: Մեր օրերում սովորաբար խորհուրդ է տրվում ստուգել նորմալությունը՝ օգտագործելով չափանիշը ՎՇապիրո - Վիլկա: Նորմալության թեստավորման խնդիրը քննարկվում է ստորև:

Եթե ​​պատահական փոփոխականներ X 1Եվ X 2ունեն բաշխման գործառույթներ Ն(մ 1 , 1) Եվ Ն(մ 2 , 2) համապատասխանաբար, ապա X 1+ X 2ունի բաշխում Հետեւաբար, եթե պատահական փոփոխականներ X 1 , X 2 ,…, Թող Ն(մ, ) , ապա նրանց թվաբանական միջինը

ունի բաշխում Ն(մ, ) . Նորմալ բաշխման այս հատկությունները մշտապես օգտագործվում են որոշումների կայացման տարբեր հավանական և վիճակագրական մեթոդներում, մասնավորապես, տեխնոլոգիական գործընթացների վիճակագրական կարգավորման և քանակական չափանիշների հիման վրա վիճակագրական ընդունման վերահսկման մեջ:

Օգտագործելով նորմալ բաշխումը, սահմանվում են երեք բաշխումներ, որոնք այժմ հաճախ օգտագործվում են վիճակագրական տվյալների մշակման մեջ:

Բաշխում (chi - քառակուսի) – պատահական փոփոխականի բաշխում

որտեղ են պատահական փոփոխականները X 1 , X 2 ,…, Թողանկախ և ունեն նույն բաշխումը Ն(0,1). Այս դեպքում տերմինների քանակը, այսինքն. ես, կոչվում է «chi-square» բաշխման «ազատության աստիճանների թիվը»։

Բաշխում տ Student's t-ը պատահական փոփոխականի բաշխումն է

որտեղ են պատահական փոփոխականները UԵվ Xանկախ, Uունի ստանդարտ նորմալ բաշխում Ն(0.1), և X– chi բաշխում – քառակուսի գ եսազատության աստիճաններ. Միևնույն ժամանակ եսկոչվում է Ուսանողների բաշխման «ազատության աստիճանների թիվը»: Այս բաշխումը ներդրվել է 1908 թվականին անգլիացի վիճակագիր Վ.Գոսեթի կողմից, ով աշխատում էր գարեջրի գործարանում։

Այս գործարանում տնտեսական և տեխնիկական որոշումներ կայացնելու համար օգտագործվել են հավանական և վիճակագրական մեթոդներ, ուստի նրա ղեկավարությունն արգելել է Վ.Գոսեթին գիտական ​​հոդվածներ հրատարակել իր անունով։ Այս կերպ պաշտպանվել են Վ.Գոսեթի կողմից մշակված հավանականական և վիճակագրական մեթոդների տեսքով առևտրային գաղտնիքները և «նոու-հաուն»։ Սակայն նա հնարավորություն ունեցավ հրատարակել «Ուսանող» կեղծանունով։ Gosset-Student-ի պատմությունը ցույց է տալիս, որ ևս հարյուր տարի Մեծ Բրիտանիայի ղեկավարները տեղյակ էին որոշումների կայացման հավանական-վիճակագրական մեթոդների ավելի մեծ տնտեսական արդյունավետության մասին։

որտեղ են պատահական փոփոխականները X 1Եվ X 2Ֆիշերի բաշխումը պատահական փոփոխականի բաշխումն է կ 1 Եվ կ 2 անկախ են և ունեն խի-քառակուսի բաշխումներ՝ ազատության աստիճանների քանակով (կ 1 , կ 2 ) համապատասխանաբար. Միաժամանակ զույգը կ 1 – Ֆիշերի բաշխման մի զույգ «ազատության աստիճաններ», մասնավորապես. կ 2 համարիչի ազատության աստիճանների թիվն է և

– հայտարարի ազատության աստիճանների թիվը. Պատահական F փոփոխականի բաշխումն անվանվել է անգլիացի մեծ վիճակագիր Ռ. Ֆիշերի (1890-1962) պատվին, ով այն ակտիվորեն օգտագործել է իր աշխատանքներում։

Մասնագիտացված գրականության մեջ կարելի է գտնել chi-square, Student և Fisher բաշխման ֆունկցիաների արտահայտությունները, դրանց խտությունները և բնութագրերը, ինչպես նաև աղյուսակները (տես, օրինակ,):

Ինչպես արդեն նշվեց, նորմալ բաշխումները այժմ հաճախ օգտագործվում են հավանականական մոդելներում տարբեր կիրառական ոլորտներում: Ինչո՞վ է պայմանավորված այս երկու պարամետրանոց բաշխումների ընտանիքը այդքան տարածված։Այն պարզաբանվում է հետեւյալ թեորեմով. X 1 , X 2 ,…, ԹողԿենտրոնական սահմանային թեորեմ Մ(X 1 (տարբեր բաշխված ժամկետների համար): ԹողX 2 ,… - անկախ պատահական փոփոխականներ մաթեմատիկական ակնկալիքներովX), Մ ( Դ(X 1 ), Դ(X 2 ),…, Դ(X),…, Մ(

n), ... և շեղումներ Դիտարկենք կրճատված պատահական փոփոխականը,

n), ... համապատասխանաբար: Թող X.

Այնուհետև, եթե որոշակի պայմանները վավեր են, ապահովելով, որ որևէ պայմանների ներդրումը գործում է

որեւէ մեկի համար հավելում, այսինքն.

հավելումով, ապա չափման (դիտարկման) արդյունքի բաշխումը մոտ է նորմալին։ XԵրբեմն կարծում են, որ բաշխումը նորմալ լինելու համար բավական է, որ չափման (դիտարկման) արդյունքը Xձեւավորվում է բազմաթիվ պատճառների ազդեցությամբ, որոնցից յուրաքանչյուրը փոքր ազդեցություն ունի։ Սա սխալ է։ Կարևորն այն է, թե ինչպես են գործում այս պատճառները: Եթե ​​հավելում, ապա ունի մոտավորապես նորմալ բաշխում։ Եթեբազմապատկելով X(այսինքն՝ առանձին պատճառների գործողությունները բազմապատկվում են և չեն ավելացվում), ապա բաշխումը Xմոտ ոչ թե նորմալին, այլ այսպես կոչվածին. լոգարիթմորեն նորմալ, այսինքն. Ոչ X, և log X-ն ունի մոտավորապես նորմալ բաշխում։

Եթե ​​հիմքեր չկան ենթադրելու, որ վերջնական արդյունքի ձևավորման այս երկու մեխանիզմներից մեկը գործում է (կամ որևէ այլ լավ սահմանված մեխանիզմ), ապա բաշխման մասին.

հստակ ոչինչ չի կարելի ասել.Վերոնշյալից բխում է, որ կոնկրետ կիրառական խնդրի դեպքում չափումների արդյունքների (դիտարկումների) նորմալությունը, որպես կանոն, չի կարող հաստատվել ընդհանուր նկատառումներից ելնելով, այն պետք է ստուգվի՝ օգտագործելով վիճակագրական չափանիշներ. Կամ օգտագործեք ոչ պարամետրային վիճակագրական մեթոդներ, որոնք հիմնված չեն չափման արդյունքների (դիտարկումների) բաշխման գործառույթների այս կամ այն ​​պարամետրային ընտանիքին անդամակցելու ենթադրությունների վրա:

Որոշումների կայացման հավանականական և վիճակագրական մեթոդներում օգտագործվող շարունակական բաշխումներ: XԲացի նորմալ բաշխումների սանդղակի հերթափոխի ընտանիքից, լայնորեն կիրառվում են բաշխումների մի շարք այլ ընտանիքներ՝ լոգնորմալ, էքսպոնենցիալ, Վեյբուլ-Գնեդենկո, գամմա բաշխումներ։ Յ= մատյան XԵկեք նայենք այս ընտանիքներին: Պատահական փոփոխականունի լոգոնորմալ բաշխում, եթե պատահական փոփոխականը X = 2,3026…Յունի նորմալ բաշխում. Հետո Ն(ա 1 Զ= մատյան Xունի նաև նորմալ բաշխում X, σ 1)

, որտեղ ln X = X 1 X 2 … Թող- բնական լոգարիթմ X n, և շեղումներ = 1, 2,…, ես. ես Լոգնորմալ բաշխման խտությունը հետևյալն է.

Կան այլ հավանականական մոդելներ, որոնք հանգեցնում են լոգնորմալ օրենքի:

Նման մոդելի դասական օրինակը բերեց Ա. գնդային ջրաղացներում ունեն լոգոնորմալ բաշխում: XԱնցնենք բաշխումների մեկ այլ ընտանիքի, որը լայնորեն կիրառվում է որոշումների կայացման տարբեր հավանական-վիճակագրական մեթոդներում և այլ կիրառական հետազոտություններում՝ էքսպոնենցիալ բաշխումների ընտանիքին։ Սկսենք հավանականական մոդելից, որը հանգեցնում է նման բաշխումների։ Դա անելու համար հաշվի առեք «իրադարձությունների հոսքը», այսինքն. իրադարձությունների հաջորդականություն, որոնք տեղի են ունենում մեկը մյուսի հետևից ժամանակի որոշակի կետերում: Օրինակները ներառում են. զանգերի հոսք հեռախոսակայանում; սարքավորումների խափանումների հոսքը տեխնոլոգիական շղթայում. արտադրանքի փորձարկման ընթացքում արտադրանքի խափանումների հոսքը. հաճախորդների հարցումների հոսք դեպի բանկի մասնաճյուղ; ապրանքների և ծառայությունների համար դիմող գնորդների հոսք և այլն: Իրադարձությունների հոսքերի տեսության մեջ վավեր է կենտրոնական սահմանային թեորեմի նման թեորեմը, որը, սակայն, վերաբերում է ոչ թե պատահական փոփոխականների գումարմանը, այլ իրադարձությունների հոսքերի գումարմանը։ Մենք դիտարկում ենք ընդհանուր հոսք, որը բաղկացած է մեծ թվով անկախ հոսքերից, որոնցից ոչ մեկը գերակշռող ազդեցություն չունի ընդհանուր հոսքի վրա: Օրինակ, հեռախոսային կայան մուտք գործող զանգերի հոսքը բաղկացած է առանձին բաժանորդներից բխող մեծ թվով անկախ զանգերի հոսքերից: Ապացուցված է, որ այն դեպքում, երբ հոսքերի բնութագրերը կախված չեն ժամանակից, ընդհանուր հոսքն ամբողջությամբ նկարագրվում է մեկ թվով՝ հոսքի ինտենսիվությամբ։ Ընդհանուր հոսքի համար հաշվի առեք պատահական փոփոխականը

(10)

- հաջորդական իրադարձությունների միջև ընկած ժամանակահատվածի երկարությունը. Դրա բաշխման ֆունկցիան ունի ձև ե -λ Այս բաշխումը կոչվում է էքսպոնենցիալ բաշխում, քանի որ Բանաձևը (10) ներառում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիան x Հետ. 1/λ արժեքը սանդղակի պարամետր է: Երբեմն ներմուծվում է նաև հերթափոխի պարամետր , պատահական փոփոխականի բաշխումը կոչվում է էքսպոնենցիալ X + s X, որտեղ բաշխումը

Էքսպոնենցիալ բաշխումները հատուկ դեպք են այսպես կոչված. Weibull - Gnedenko բաշխումները. Դրանք անվանվել են ինժեներ Վ. Վեյբուլի անուններից, ով այս բաշխումները ներմուծել է հոգնածության թեստերի արդյունքների վերլուծության պրակտիկայում, և մաթեմատիկոս Բ.Վ. թեստի արդյունքներից։ Թող X- պատահական փոփոխական, որը բնութագրում է արտադրանքի, բարդ համակարգի, տարրի (այսինքն՝ ռեսուրս, գործառնական ժամանակը մինչև սահմանափակող վիճակ և այլն) շահագործման տևողությունը, ձեռնարկության կամ կենդանի էակի կյանքը և այլն։ Ձախողման ինտենսիվությունը կարևոր դեր է խաղում

(11)

Որտեղ Ֆ(x) Եվ զ(x) - պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա և խտություն X.

Եկեք նկարագրենք ձախողման մակարդակի բնորոշ վարքագիծը: Ամբողջ ժամանակային ընդմիջումը կարելի է բաժանել երեք ժամանակաշրջանի. Դրանցից առաջինի վրա ֆունկցիան λ(x)ունի բարձր արժեքներ և նվազման հստակ միտում (առավել հաճախ այն նվազում է միապաղաղ): Դա կարելի է բացատրել խնդրո առարկա ապրանքային միավորների խմբաքանակում ակնհայտ և թաքնված թերություններով, որոնք հանգեցնում են այդ ապրանքային միավորների համեմատաբար արագ ձախողման: Առաջին շրջանը կոչվում է «ընդհատման շրջան» (կամ «ընդհատում»): Սա այն է, ինչ սովորաբար ներառում է երաշխիքային ժամկետը:

Այնուհետև գալիս է նորմալ շահագործման շրջանը, որը բնութագրվում է մոտավորապես հաստատուն և համեմատաբար ցածր ձախողման մակարդակով: Այս ժամանակահատվածում խափանումների բնույթը հանկարծակի է (վթարներ, շահագործման անձնակազմի սխալներ և այլն) և կախված չէ արտադրանքի միավորի շահագործման տևողությունից:

Վերջապես, շահագործման վերջին շրջանը ծերացման և մաշվածության շրջանն է: Այս ժամանակահատվածում խափանումների բնույթը նյութերի անդառնալի ֆիզիկական, մեխանիկական և քիմիական փոփոխություններն են, ինչը հանգեցնում է արտադրանքի միավորի որակի աստիճանական վատթարացման և դրա վերջնական ձախողման:

Յուրաքանչյուր ժամանակաշրջան ունի գործառույթի իր տեսակը λ(x). Դիտարկենք իշխանության կախվածության դասը

λ(x) = λ 0bx բ -1 , (12)

Որտեղ λ 0 > 0 և բ> 0 - որոշ թվային պարամետրեր: Արժեքներ բ < 1, բ= 0 և բ> 1-ը համապատասխանում է խափանումների մակարդակին համապատասխանաբար գործարկման, նորմալ շահագործման և ծերացման ժամանակաշրջաններում:

Հարաբերություն (11) ձախողման տրված մակարդակով λ(x)- ֆունկցիայի դիֆերենցիալ հավասարում Ֆ(x). Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունից հետևում է, որ

(13)

Փոխարինելով (12) (13)-ով, մենք ստանում ենք այն

(14)

(14) բանաձևով տրված բաշխումը կոչվում է Վեյբուլ-Գնեդենկո բաշխում։ Քանի որ

ապա (14) բանաձևից հետևում է, որ քանակը Ա, տրված բանաձևով (15), սանդղակի պարամետր է։ Ֆ(x - գԵրբեմն նաև ներդրվում է հերթափոխի պարամետր, այսինքն. Weibull-Gnedenko բաշխման ֆունկցիաները կոչվում են Ֆ(x), որտեղ բ.

) տրված է բանաձևով (14) որոշ λ 0 և

(16)

Որտեղ աՎեյբուլ-Գնեդենկո բաշխման խտությունն ունի ձևը բ> 0 - սանդղակի պարամետր, Հետ> 0 - ձևի պարամետր, Ա- հերթափոխի պարամետր: Այս դեպքում պարամետրը λ բանաձևից (16) կապված է պարամետրի հետ

0 (14) բանաձևից (15) բանաձևում նշված հարաբերություններով: բ = 1.

Էքսպոնենցիալ բաշխումը Վեյբուլ-Գնեդենկո բաշխման շատ հատուկ դեպք է, որը համապատասխանում է ձևի պարամետրի արժեքին X 1 , X 2 ,…, ԹողՎեյբուլ-Գնեդենկո բաշխումը նաև օգտագործվում է իրավիճակների հավանական մոդելների կառուցման համար, որոնցում օբյեկտի վարքագիծը որոշվում է «ամենաթույլ օղակով»: Կա անալոգիա շղթայի հետ, որի անվտանգությունը որոշվում է այն օղակով, որն ունի նվազագույն ուժ: Այսինքն՝ թող

- անկախ նույնական բաշխված պատահական փոփոխականներ, X(1) = րոպե (), X 1, X 2,…, X n X(n) =առավելագույնը().

X 1, X 2,…, X n X(1) Եվ X(ես) Կիրառական մի շարք խնդիրների դեպքում դրանք կարևոր դեր են խաղում X(1) Եվ X(ես) , մասնավորապես, որոշակի արժեքների առավելագույն հնարավոր արժեքները («գրառումներ») ուսումնասիրելիս, օրինակ՝ ապահովագրական վճարումները կամ առևտրային ռիսկերի հետևանքով վնասները, պողպատի առաձգականության և դիմացկունության սահմաններն ուսումնասիրելիս, մի ​​շարք հուսալիության բնութագրիչներ և այլն։ . Ցույց է տրվում, որ մեծ n-ի համար բաշխումները X(1) Եվ X(ես) , որպես կանոն, լավ նկարագրված են Վեյբուլ-Գնեդենկո բաշխումներով։ Հիմնարար ներդրում բաշխումների ուսումնասիրության մեջ

նպաստել է խորհրդային մաթեմատիկոս Բ.Վ.Գնեդենկոյին։ Վ.Վեյբուլի, Է.Գումբելի, Վ.Բ.-ի աշխատանքները նվիրված են տնտեսագիտության, կառավարման, տեխնոլոգիայի և այլ ոլորտներում ստացված արդյունքների օգտագործմանը։ Նևզորովա, Է.Մ. Կուդլաևը և շատ այլ մասնագետներ։ կԱնցնենք գամմա բաշխումների ընտանիքին։ Դրանք լայնորեն կիրառվում են տնտեսագիտության և կառավարման, հուսալիության և փորձարկման տեսության և պրակտիկայում, տեխնոլոգիայի տարբեր ոլորտներում, օդերևութաբանության մեջ և այլն: Մասնավորապես, շատ իրավիճակներում գամմա բաշխումը ենթարկվում է այնպիսի քանակությունների, ինչպիսիք են արտադրանքի ընդհանուր ծառայության ժամկետը, հաղորդիչ փոշու մասնիկների շղթայի երկարությունը, կոռոզիայի ժամանակ արտադրանքի սահմանափակող վիճակի հասնելու ժամանակը, գործարկման ժամանակը: կ-րդ մերժումը,

= 1, 2, ... և այլն: Քրոնիկ հիվանդություններով հիվանդների կյանքի տեւողությունը եւ բուժման ընթացքում որոշակի էֆեկտի հասնելու ժամանակը որոշ դեպքերում ունեն գամմա բաշխում: Այս բաշխումն առավել համարժեք է պաշարների կառավարման տնտեսական և մաթեմատիկական մոդելներում պահանջարկը նկարագրելու համար (լոգիստիկա):

(17)

Հավանականության խտությունը (17) բանաձևում որոշվում է երեք պարամետրով ա, բ, գ, Որտեղ ա>0, բ>0. Միևնույն ժամանակ աձևի պարամետր է, բ- մասշտաբի պարամետր և Հետ- հերթափոխի պարամետր: Գործոն 1/Գ(ա)նորմալանում է, ներկայացվել է

Այստեղ Գ(a)- մաթեմատիկայի մեջ օգտագործվող հատուկ գործառույթներից մեկը, այսպես կոչված, «գամմա ֆունկցիան», որից հետո կոչվում է (17) բանաձևով տրված բաշխումը.

Ժամը ֆիքսված ԱԲանաձևը (17) սահմանում է բաշխումների սանդղակի հերթափոխի ընտանիքը, որը ստեղծվում է խտությամբ բաշխմամբ

(18)

(18) ձևի բաշխումը կոչվում է ստանդարտ գամմա բաշխում: Այն ստացվում է բանաձևից (17) ժամը բ= 1 և Հետ= 0.

Գամմա բաշխման հատուկ դեպք համար Ա= 1-ը էքսպոնենցիալ բաշխումներ են (հետ λ = 1/բ) Բնականով ԱԵվ Հետ=0 գամմա բաշխումները կոչվում են Էրլանգի բաշխումներ: Կոպենհագենի հեռախոսային ընկերության աշխատակից դանիացի գիտնական Կ.Ա.Էրլանգի (1878-1929 թթ. սկսվեց հեռախոսային ցանցերի գործունեությունը, հերթերի տեսության զարգացումը։ Այս տեսությունը վերաբերում է համակարգերի հավանականական և վիճակագրական մոդելավորմանը, որոնցում պահանջների հոսքը սպասարկվում է օպտիմալ որոշումներ կայացնելու համար: Հետ Erlang բաշխումները օգտագործվում են նույն կիրառական տարածքներում, որտեղ օգտագործվում են էքսպոնենցիալ բաշխումները: Սա հիմնված է հետևյալ մաթեմատիկական փաստի վրա՝ k անկախ պատահական փոփոխականների գումարը՝ էքսպոնենցիալ բաշխված նույն պարամետրերով λ և , ունի ձևի պարամետրով գամմա բաշխումկա = բ, մասշտաբի պարամետր = 1/λ և հերթափոխի պարամետր. ժամը Հետկկ

Եթե ​​պատահական փոփոխականը X= 0 մենք ստանում ենք Erlang բաշխումը: Աունի գամմա բաշխում՝ ձևի պարամետրով դ = 2 աայնպիսին, որ բ= 1 և Հետ- ամբողջ թիվ, X= 0, ապա 2 դունի chi-square բաշխում հետ

Որոշումների կայացման հավանականական և վիճակագրական մեթոդներում օգտագործվող շարունակական բաշխումներ: Xազատության աստիճաններ.

gvmma բաշխմամբ ունի հետևյալ բնութագրերը. ԱկնկալիքM(X) = + գ,

աբ Դ(X) = σ 2 = M(X) = 2 ,

Տարբերություն

Տատանումների գործակիցը

Ասիմետրիա

Ավելորդություն

Նորմալ բաշխումը գամմա բաշխման ծայրահեղ դեպք է: Ավելի ճիշտ, թող Z լինի պատահական փոփոխական, որն ունի ստանդարտ գամմա բաշխում (18): Հետո Xցանկացած իրական թվի համար ,... Ապա ցանկացած x-ի համար սահման կա, Որտեղ Ն(0,1).

- ստանդարտ նորմալ բաշխման գործառույթ

Կիրառական հետազոտություններում օգտագործվում են նաև բաշխումների այլ պարամետրային ընտանիքներ, որոնցից ամենահայտնին են Պիրսոնի կորերի համակարգը, Edgeworth և Charlier շարքերը։ Նրանք այստեղ չեն դիտարկվում: ԴիսկրետԱռավել հաճախ օգտագործվում են դիսկրետ բաշխումների երեք ընտանիքներ՝ երկանդամ, հիպերերկրաչափական և Պուասսոն, ինչպես նաև որոշ այլ ընտանիքներ՝ երկրաչափական, բացասական երկանդամ, բազմանդամ, բացասական հիպերերկրաչափական և այլն։

Ինչպես արդեն նշվեց, երկանդամ բաշխումը տեղի է ունենում անկախ փորձարկումներում, որոնցից յուրաքանչյուրում հավանականությամբ rիրադարձություն է հայտնվում Ա. եսԵթե ​​փորձությունների ընդհանուր թիվը Յտրված, ապա թեստերի քանակը Ա, որում հայտնվել է իրադարձությունը Յ, ունի երկանդամ բաշխում։ Երկանդամ բաշխման համար որպես պատահական փոփոխական ընդունվելու հավանականությունը հավասար է արժեքներ y

որոշվում է բանաձևով ես-ի համակցությունների քանակը արժեքներտարրեր ըստ արժեքներ, հայտնի է կոմբինատորիկայից։ Բոլորի համար ես, բացառությամբ 0, 1, 2, …, Պ(Յ= արժեքներ)= , ունենք ես 0. Բինոմիալ բաշխում ֆիքսված նմուշի չափով էջնշված է պարամետրով

Եթե Յ 1 Եվ Յ 2 , այսինքն. երկանդամ բաշխումները կազմում են մեկ պարամետրանոց ընտանիք: Դրանք օգտագործվում են ընտրանքային հետազոտություններից ստացված տվյալների վերլուծության մեջ, մասնավորապես, սպառողների նախասիրությունների ուսումնասիրության, արտադրանքի որակի ընտրովի վերահսկման մեջ՝ ըստ միաստիճան հսկողության պլանների, ժողովրդագրության, սոցիոլոգիայի, բժշկության, կենսաբանության և այլնի անհատների պոպուլյացիաների փորձարկման ժամանակ: . էջ 0 - նույն պարամետրով անկախ երկանդամ պատահական փոփոխականներ ես 1 Եվ ես 2 համապատասխանաբար, ապա Յ 1 + Յ 2 , որոշվում է ծավալներով նմուշներից r = էջ 0 Եվ ես = ես 1 + ես 2 - երկանդամ պատահական փոփոխական, որն ունի բաշխում (19):

. Այս դիտողությունը ընդլայնում է երկանդամ բաշխման կիրառելիությունը՝ թույլ տալով միավորել թեստերի մի քանի խմբերի արդյունքները, երբ հիմքեր կան ենթադրելու, որ նույն պարամետրը համապատասխանում է այս բոլոր խմբերին:

Մ(Յ) = Ավելի վաղ հաշվարկվել են երկանդամ բաշխման բնութագրերը., Դ(Յ) = Ավելի վաղ հաշվարկվել են երկանդամ բաշխման բնութագրերը.( 1- էջ).

n.p.

«Իրադարձություններ և հավանականություններ» բաժնում մեծ թվերի օրենքը ապացուցված է երկանդամ պատահական փոփոխականի համար. Յ/ եսորեւէ մեկի համար: Օգտագործելով կենտրոնական սահմանային թեորեմը՝ մեծ թվերի օրենքը կարելի է կատարելագործել՝ նշելով, թե որքան r.

տարբերվում է De Moivre-Laplace թեորեմ. բ, ա< բՑանկացած թվերի համար a և

Որտեղ ներքևում (կարդացեք «phi x-ից», քանի որ(X, ունենք

) ստանդարտ նորմալ բաշխման ֆունկցիա է 0 մաթեմատիկական ակնկալիքով և 1 շեղումով: ՅԴա ապացուցելու համար բավական է օգտագործել ներկայացումը Մ(Յ) Եվ Դ(Յ) առանձին թեստերի արդյունքներին համապատասխանող անկախ պատահական փոփոխականների գումարի տեսքով, բանաձևերի

և կենտրոնական սահմանային թեորեմը։ rԱյս թեորեմը գործի համար է

Հիպերերկրաչափական բաշխումը տեղի է ունենում N ծավալի օբյեկտների վերջավոր հավաքածուի ընտրովի կառավարման ժամանակ՝ ըստ այլընտրանքային չափանիշի։ Յուրաքանչյուր վերահսկվող օբյեկտ դասակարգվում է որպես հատկանիշ ունեցող Ակամ չունենալով այս հատկանիշը: Հիպերերկրաչափական բաշխումն ունի պատահական փոփոխական Յ, հավասար է այն օբյեկտների թվին, որոնք ունեն հատկանիշ Ածավալի պատահական նմուշում ես, Որտեղ ես< Ն. Օրինակ՝ համարը ՅԱրտադրանքի թերի միավորներ ծավալի պատահական նմուշում եսխմբաքանակի ծավալից Նունի հիպերերկրաչափական բաշխում, եթե ես< Ն. Մեկ այլ օրինակ է վիճակախաղը: Թող նշանը Ատոմսը «հաղթող լինելու» նշան է։ Թող տոմսերի ընդհանուր թիվը Ն, և ինչ-որ անձ ձեռք բերեց եսնրանցից։ Այնուհետև այս անձի համար շահող տոմսերի քանակը հիպերերկրաչափական բաշխում ունի։

Հիպերերկրաչափական բաշխման համար Y պատահական փոփոխականի հավանականությունը, որն ընդունում է y արժեքը, ունի ձև.

(20)

Որտեղ Դ- հատկանիշ ունեցող օբյեկտների քանակը Ա, կշռադատված ծավալի մեջ Ն. Միևնույն ժամանակ արժեքներարժեքներ է վերցնում max (0, ես - (Ն - Դ)) մինչև մին ( ես, Դ), այլ բաներ արժեքներ(20) բանաձևի հավանականությունը հավասար է 0-ի: Այսպիսով, հիպերերկրաչափական բաշխումը որոշվում է երեք պարամետրով՝ պոպուլյացիայի ծավալով: Ն, օբյեկտների քանակը Դդրա մեջ՝ տիրապետելով տվյալ հատկանիշին Աև նմուշի չափը ես.

Պարզ պատահական ծավալային նմուշառում եսընդհանուր ծավալից Նպատահական ընտրության արդյունքում ստացված նմուշ է, որում պարունակվող բազմություններից որևէ մեկը եսօբյեկտները ընտրվելու նույն հավանականությունն ունեն: Հարցվողների (հարցազրույցի մասնակիցների) կամ կտոր ապրանքների միավորների պատահական ընտրության մեթոդները քննարկվում են ուսուցողական, մեթոդական և կարգավորող փաստաթղթերում: Ընտրության մեթոդներից մեկն այսպիսին է. օբյեկտներն ընտրվում են մեկը մյուսից, և յուրաքանչյուր քայլում հավաքածուի մնացած օբյեկտներից յուրաքանչյուրն ընտրվելու նույն հնարավորությունն ունի: Գրականության մեջ դիտարկվող նմուշների տեսակի համար օգտագործվում են նաև «պատահական նմուշ» և «պատահական նմուշ առանց վերադարձի» տերմինները:

Քանի որ բնակչության ծավալները (խմբաքանակ) Նև նմուշներ եսսովորաբար հայտնի են, ապա գնահատվող հիպերերկրաչափական բաշխման պարամետրն է Դ. Արտադրանքի որակի կառավարման վիճակագրական մեթոդներում Դ– սովորաբար խմբաքանակում թերի միավորների քանակը: Դ/ ՆՀետաքրքիր է նաև բաշխման բնութագիրը

- թերությունների մակարդակը.

Հիպերերկրաչափական բաշխման համար Ն>10 եսՏարբերության արտահայտման վերջին գործոնը մոտ է 1-ին, եթե էջ = Դ/ Ն, այնուհետև հիպերերկրաչափական բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքների և շեղումների արտահայտությունները կվերածվեն երկանդամ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքի և շեղումների արտահայտությունների: Սա պատահական չէ։ Կարելի է ցույց տալ, որ

ժամը Ն>10 ես, Որտեղ էջ = Դ/ Ն. Սահմանափակող հարաբերակցությունը վավեր է

և այս սահմանափակող կապը կարող է օգտագործվել, երբ Ն>10 ես.

Երրորդ լայնորեն օգտագործվող դիսկրետ բաշխումը Պուասոնի բաշխումն է։

,

Y պատահական փոփոխականն ունի Պուասոնի բաշխում, եթե Պ(Յ= արժեքներ)= որտեղ λ-ն Պուասոնի բաշխման պարամետրն է, և արժեքներ 0 բոլոր մյուսների համար

Մ(Յ) = λ, Դ(Յ) = λ.

(y=0-ի համար նշանակված է 0! =1): Պուասոնի բաշխման համար rԱյս բաշխումն անվանվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ս. Դ. Պուասոնի (1781-1840) պատվին, ով առաջին անգամ ստացել է այն 1837 թվականին: Պուասոնի բաշխումը երկանդամ բաշխման սահմանափակող դեպքն է, երբ հավանականությունը եսՄիջոցառման իրականացումը փոքր է, բայց թեստերի քանակը Ավելի վաղ հաշվարկվել են երկանդամ բաշխման բնութագրերը.մեծ, և

= λ. Ավելի ճիշտ՝ սահմանային կապը վավեր է

Հետևաբար, Պուասոնի բաշխումը (հին տերմինաբանությամբ՝ «բաշխման օրենք») հաճախ անվանում են նաև «հազվագյուտ իրադարձությունների օրենք»։ տՊուասոնի բաշխումը ծագում է իրադարձությունների հոսքի տեսությունից (տե՛ս վերևում): Ապացուցված է, որ հաստատուն լ ինտենսիվությամբ ամենապարզ հոսքի համար ժամանակի ընթացքում տեղի ունեցող իրադարձությունների (կանչերի) քանակը. տ, ունի Պուասոնի բաշխում λ = Λ պարամետրով տ. Հետեւաբար, հավանականությունը, որ ժամանակի ընթացքում ե - Λ ոչ մի իրադարձություն տեղի չի ունենա, հավասարտ

, այսինքն. Իրադարձությունների միջև միջակայքի երկարության բաշխման ֆունկցիան էքսպոնենցիալ է:

Poisson-ի բաշխումն օգտագործվում է սպառողների շուկայավարման ընտրանքային հետազոտությունների արդյունքները վերլուծելիս, վիճակագրական ընդունման հսկողության պլանների գործառնական բնութագրերը հաշվարկելիս թերությունների ընդունման մակարդակի փոքր արժեքների դեպքում, վիճակագրորեն վերահսկվող խափանումների քանակը նկարագրելու համար: տեխնոլոգիական գործընթաց մեկ միավորի համար, հերթերի համակարգում մեկ միավորի դիմաց ստացվող «ծառայությունների պահանջների» քանակը, վթարների և հազվագյուտ հիվանդությունների վիճակագրական օրինաչափությունները և այլն:

Գրականության մեջ դիտարկվում են դիսկրետ բաշխումների այլ պարամետրային ընտանիքների նկարագրությունները և դրանց գործնական կիրառման հնարավորությունները:

Գործնականում պատահական փոփոխականների մեծ մասը, որոնց վրա ազդում են մեծ թվով պատահական գործոններ, ենթարկվում են հավանականության բաշխման նորմալ օրենքին: Ուստի հավանականությունների տեսության տարբեր կիրառություններում այս օրենքը առանձնահատուկ նշանակություն ունի։

$X$ պատահական փոփոխականը ենթարկվում է հավանականության բաշխման նորմալ օրենքին, եթե դրա հավանականության բաշխման խտությունն ունի հետևյալ ձևը.

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

$f\left(x\right)$ ֆունկցիայի գրաֆիկը սխեմատիկորեն ներկայացված է նկարում և կոչվում է «Գաուսի կոր»։ Այս գրաֆիկի աջ կողմում գերմանական 10 մակնիշի թղթադրամն է, որն օգտագործվել է մինչև եվրոյի ներմուծումը։ Եթե ​​ուշադիր նայեք, ապա այս թղթադրամի վրա կարող եք տեսնել Գաուսի կորը և դրա հայտնաբերողին՝ մեծագույն մաթեմատիկոս Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսին:

Եկեք վերադառնանք մեր խտության $f\left(x\right)$ ֆունկցիային և որոշ բացատրություններ տանք բաշխման պարամետրերի վերաբերյալ $a,\ (\sigma )^2$: $a$ պարամետրը բնութագրում է պատահական փոփոխականի արժեքների ցրման կենտրոնը, այսինքն՝ այն ունի մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանակություն։ Երբ $a$ պարամետրը փոխվում է, և $(\sigma )^2$ պարամետրը մնում է անփոփոխ, մենք կարող ենք դիտել $f\left(x\right)$ ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ աբսցիսայի երկայնքով, մինչդեռ խտության գրաֆիկը ինքնին չի փոխում իր ձևը:

$(\sigma )^2$ պարամետրը շեղումն է և բնութագրում է $f\left(x\right)$ խտության գրաֆիկի կորի ձևը։ $(\sigma )^2$ պարամետրը $a$ պարամետրով անփոփոխ փոխելիս կարող ենք դիտել, թե ինչպես է խտության գրաֆիկը փոխում իր ձևը՝ սեղմվելով կամ ձգվելով, առանց աբսցիսայի առանցքով շարժվելու։

Սովորաբար բաշխված պատահական փոփոխականի՝ տվյալ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը

Ինչպես հայտնի է, $X$ պատահական փոփոխականի՝ $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը կարելի է հաշվարկել $P\left(\alpha):< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\ ձախ (\ալֆա< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Այստեղ $\Phi \left(x\right)=(1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ ֆունկցիան է Լապլասի ֆունկցիան. Այս ֆունկցիայի արժեքները վերցված են. Կարելի է նշել $\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիայի հետևյալ հատկությունները.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, այսինքն՝ $\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիան կենտ է։

2 . $\Phi \left(x\right)$-ը միապաղաղ աճող ֆունկցիա է:

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ ձախ(x\աջ)\ )=-0,5$:

$\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիայի արժեքները հաշվարկելու համար կարող եք նաև օգտագործել $f_x$ մոգ ֆունկցիան Excel-ում՝ $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x): ;0;1;1\աջ)-0,5$: Օրինակ՝ եկեք հաշվարկենք $\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիայի արժեքները $x=2$-ի համար։

Նորմալ բաշխված պատահական $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\աջ)$ հավանականությունը մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ սիմետրիկ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը.

$$P\left(\left|X-a\աջ|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Երեք սիգմայի կանոն. Գրեթե վստահ է, որ նորմալ բաշխված $X$ պատահական փոփոխականը կընկնի $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ միջակայքում:

Օրինակ 1 . Պատահական $X$ փոփոխականը ենթակա է նորմալ հավանականության բաշխման օրենքին՝ $a=2,\ \sigma =3$ պարամետրերով: Գտեք $X$-ի հավանականությունը $\left(0.5;1\right)$ միջակայքում ընկնելու և $\left|X-a\right| անհավասարությունը բավարարելու հավանականությունը:< 0,2$.

Օգտագործելով բանաձևը

$$P\ ձախ (\ալֆա< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

մենք գտնում ենք $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3) ))\աջ)=\Phi \left(-0.33\աջ)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\աջ)-\Phi \ ձախ (0.33\աջ)=0.191- 0,129 = 0,062 դոլար:

$$P\left(\left|X-a\աջ|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Օրինակ 2 . Ենթադրենք, որ տարվա ընթացքում որոշակի ընկերության բաժնետոմսերի գինը սովորական օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխական է՝ մաթեմատիկական ակնկալիքով, որը հավասար է 50 պայմանական դրամական միավորի և ստանդարտ շեղումը հավասար է 10-ի: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված Քննարկվող ժամանակաշրջանի օրը ակցիայի գինը կլինի.

ա) ավելի քան 70 սովորական դրամական միավոր.

բ) մեկ բաժնետոմսի համար 50-ից ցածր:

գ) 45-ից մինչև 58 պայմանական դրամական միավոր մեկ բաժնետոմսի համար:

Թող $X$ պատահական փոփոխականը լինի որոշակի ընկերության բաժնետոմսերի գինը: Ըստ պայմանի, $X$-ը ենթակա է նորմալ բաշխման $a=50$ պարամետրերով - մաթեմատիկական ակնկալիք, $\sigma =10$ - ստանդարտ շեղում: Հավանականություն $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\ ձախ (\ալֆա< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\աջ)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ ավելի քան (10))\աջ)=0.5-\Phi \ձախ(2\աջ)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\ձախ (X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\ ձախ (45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Դիսկրետ պատահական փոփոխականների բաշխման օրենքների շարքում ամենատարածվածը երկանդամ բաշխման օրենքն է: Երկանդամ բաշխումը տեղի է ունենում հետևյալ պայմաններում. Թող պատահական փոփոխական լինի անկախ փորձարկումներում ինչ-որ իրադարձության առաջացման հավանականությունը. Այս պատահական փոփոխականը դիսկրետ պատահական փոփոխական է, դրա հնարավոր արժեքներն են: Հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կընդունի, հաշվարկվում է Բեռնուլիի բանաձևով.

Սահմանում 15.Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կոչվում է երկանդամ բաշխման օրենք, եթե պատահական փոփոխականի արժեքների հավանականությունները հաշվարկվում են Բեռնուլիի բանաձևով: Բաշխման շարքը կունենա հետևյալ տեսքը.

Եկեք համոզվենք, որ պատահական փոփոխականի տարբեր արժեքների հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի:

Քանի որ այս հաշվարկների արդյունքում ստացվել է Նյուտոնի երկանդամ բանաձևը, հետևաբար բաշխման օրենքը կոչվում է երկանդամ: Եթե ​​պատահական փոփոխականն ունի երկանդամ բաշխում, ապա նրա թվային բնութագրերը հայտնաբերվում են՝ օգտագործելով բանաձևերը.

(42) (43)

Օրինակ 15.Առկա է 50 մասից բաղկացած խմբաքանակ։ Մի մասի թերությունների հավանականությունը. Թող պատահական փոփոխականը լինի տվյալ խմբաքանակում թերի մասերի քանակը: Գտե՛ք տրված պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը: Լուծում.Պատահական փոփոխականն ունի երկանդամ բաշխում, քանի որ հավանականությունը, որ այն կվերցնի արժեք, հաշվարկվում է Բեռնուլիի բանաձևով: Այնուհետև նրա մաթեմատիկական ակնկալիքը գտնվում է ըստ բանաձևի (41), այն է՝ ; մենք գտնում ենք դիսպերսիան՝ օգտագործելով բանաձևը (42). Այնուհետև ստանդարտ շեղումը հավասար կլինի . Հարց.Գնվել է 200 վիճակախաղի տոմս, մեկ տոմս շահելու հավանականությունը 0,01 է։ Այնուհետև վիճակախաղի տոմսերի միջին թիվը, որոնց վրա կկազմեն շահումներ, հետևյալն է՝ ա) 10; բ) 2; գ) 20; դ) 1.

Պուասոնի բաշխման օրենքը

Բազմաթիվ գործնական խնդիրներ լուծելիս պետք է գործ ունենալ դիսկրետ պատահական փոփոխականների հետ, որոնք ենթարկվում են Պուասոնի բաշխման օրենքին: Պուասոնի բաշխմամբ պատահական փոփոխականի բնորոշ օրինակներն են. բարդ սարքավորումների խափանումների թիվը մեկ ժամանակում, եթե հայտնի է, որ խափանումները միմյանցից անկախ են, և միջինում առկա են խափանումներ մեկ միավորի համար, բաշխման շարքը կունենա հետևյալ ձևը.

Այսինքն, հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կվերցնի, հաշվարկվում է Պուասոնի բանաձևով. հետևաբար, այս օրենքը կոչվում է Պուասոնի բաշխման օրենք: Պուասոնի օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականն ունի հետևյալ թվային բնութագրերը.

Պուասոնի բաշխումը կախված է մեկ պարամետրից, որը պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքն է։ Նկար 14-ը ցույց է տալիս Պուասոնի բաշխման պոլիգոնի ընդհանուր տեսքը պարամետրի տարբեր արժեքների համար:

Պուասոնի բաշխումը կարող է օգտագործվել որպես մոտավորություն այն դեպքերում, երբ պատահական փոփոխականի ճշգրիտ բաշխումը երկանդամ բաշխումն է, փորձարկումների թիվը մեծ է, իսկ առանձին փորձարկումներում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը փոքր է, հետևաբար Պուասոնի բաշխման օրենքը կոչվում է հազվագյուտ իրադարձությունների օրենք: Եվ նաև, եթե մաթեմատիկական ակնկալիքը քիչ է տարբերվում դիսպերսիայից, այսինքն՝ երբ . Այս առումով, Poisson բաշխումն ունի մեծ թվով տարբեր կիրառություններ: Օրինակ 16.Գործարանը բազա է ուղարկում 500 որակյալ ապրանք։ Հավանականությունը, որ ապրանքը կվնասվի տարանցման ժամանակ, 0,002 է: Գտեք փոխադրման ընթացքում վնասված մասերի քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքը: Լուծում.Պատահական փոփոխականն ունի Պուասոնի բաշխում, հետևաբար. Հարց.Հաղորդագրություն փոխանցելիս նշանի աղավաղման հավանականությունը 0,004 է: Որպեսզի վնասված նշանների միջին թիվը հավասար լինի 4-ի, պետք է փոխանցվի 100 սիմվոլ։

X պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.

Օրինակ թիվ 2. Մեկ կրակոցի մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը առաջին կրակողի համար 0,8 է, երկրորդ կրակողի համար՝ 0,85։ Կրակողները մեկ կրակոց են արձակել թիրախի ուղղությամբ։ Նպատակին հարվածելը դիտարկելով որպես առանձին հրաձիգների համար անկախ իրադարձություն, գտեք A իրադարձության հավանականությունը՝ ուղիղ մեկ հարված թիրախին:
Լուծում.
Դիտարկենք իրադարձություն A - մեկ հարված թիրախին: Այս իրադարձության հնարավոր տարբերակները հետևյալն են.

1. Առաջինը հարվածեց, երկրորդը վրիպեց՝ P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
2. Առաջին կրակողը վրիպեց, երկրորդը դիպավ նշանակետին՝ P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
3. Առաջին և երկրորդ նետերը միմյանցից անկախ դիպչում են թիրախին՝ P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68