Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը տարածության մեջ. Հարթության վրա տողի պարամետրային հավասարումներ՝ նկարագրություն, օրինակներ, խնդրի լուծում Ապացույց կամ նման մի քանի հիմարություն

«Ուղի հավասարումը հարթության վրա» թեմայի ենթակետերից է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա ուղիղի պարամետրային հավասարումների կազմման հարցը։ Ստորև բերված հոդվածը քննարկում է նման հավասարումներ կազմելու սկզբունքը՝ հաշվի առնելով որոշակի հայտնի տվյալներ: Մենք ցույց կտանք, թե ինչպես անցնել պարամետրային հավասարումներից տարբեր տեսակի հավասարումների. Եկեք նայենք բնորոշ խնդիրների լուծմանը:

Կոնկրետ գիծ կարելի է սահմանել՝ նշելով այս գծին պատկանող կետը և գծի ուղղության վեկտորը:

Ենթադրենք, մեզ տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y: Եվ նաև տրված է a ուղիղ գիծ՝ նշելով դրա վրա ընկած M 1 կետը (x 1, y 1) և տրված ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը. a → = (a x, a y) . Եկեք նկարագրենք տրված ուղիղ գիծը a օգտագործելով հավասարումներ:

Մենք օգտագործում ենք կամայական M կետ (x, y) և ստանում վեկտոր M 1 M → ; եկեք հաշվարկենք դրա կոորդինատները սկզբի և վերջի կետերի կոորդինատներից՝ M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) . Եկեք նկարագրենք այն, ինչ ստացանք. ուղիղ գիծը սահմանվում է M կետերի բազմությամբ (x, y), անցնում է M 1 կետով (x 1, y 1) և ունի ուղղության վեկտոր: a → = (a x, a y) . Այս բազմությունը սահմանում է ուղիղ գիծ միայն այն դեպքում, երբ M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) և a → = (a x, a y) վեկտորները համագիծ են:

Վեկտորների համակողմանիության համար կա անհրաժեշտ և բավարար պայման, որն այս դեպքում վեկտորների համար M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) և a → = (a x, a y) կարելի է գրել որպես հավասարում.

M 1 M → = λ · a → , որտեղ λ-ն ինչ-որ իրական թիվ է:

Սահմանում 1

M 1 M → = λ · a → հավասարումը կոչվում է ուղիղի վեկտոր-պարամետրային հավասարում։

Կոորդինատային տեսքով այն նման է.

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Ստացված համակարգի հավասարումները x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ կոչվում են ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ։ Անվան էությունը հետևյալն է. ուղիղ գծի բոլոր կետերի կոորդինատները կարելի է որոշել x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ձևի հարթության վրա պարամետրային հավասարումներով՝ թվարկելով բոլոր իրականները: λ պարամետրի արժեքները

Համաձայն վերը նշվածի՝ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներով սահմանվում է ուղիղ, որը սահմանված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, անցնում է M կետով. 1 (x 1, y 1) և ունի ուղղորդող վեկտոր a → = (a x, a y) . Հետևաբար, եթե տրված են ուղիղի որոշակի կետի կոորդինատները և նրա ուղղության վեկտորի կոորդինատները, ապա հնարավոր է անմիջապես գրել տվյալ ուղիղի պարամետրային հավասարումները։

Օրինակ 1

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ պետք է կազմել, եթե տրված են դրան պատկանող M 1 (2, 3) կետը և նրա ուղղության վեկտորը. a → = (3, 1) .

Լուծում

Նախնական տվյալների հիման վրա մենք ստանում ենք՝ x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1: Պարամետրային հավասարումները նման կլինեն.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Եկեք հստակ պատկերացնենք.

Պատասխան՝ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Պետք է նշել. եթե վեկտորը a → = (a x, a y) ծառայում է որպես a ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր, և M 1 (x 1, y 1) և M 2 (x 2, y 2) կետերը պատկանում են այս գծին, այնուհետև այն կարելի է որոշել՝ նշելով ձևի պարամետրային հավասարումներ. = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, ինչպես նաև այս տարբերակը՝ x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ:

Օրինակ՝ մեզ տրված է ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր a → = (2, - 1), ինչպես նաև այս տողին պատկանող M 1 (1, - 2) և M 2 (3, - 3) կետերը։ Այնուհետև ուղիղ գիծը որոշվում է պարամետրային հավասարումներով՝ x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ կամ x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ:

Պետք է ուշադրություն դարձնել նաև հետևյալ փաստի վրա՝ եթե a → = (a x, a y) a ուղիղի ուղղության վեկտորն է, ապա վեկտորներից որևէ մեկը կլինի նրա ուղղության վեկտորը μ · a → = (μ · a x, μ · a y), որտեղ μ ϵ R, μ ≠ 0:

Այսպիսով, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա ուղիղ գիծը կարող է որոշվել պարամետրային հավասարումներով՝ x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ μ-ի ցանկացած արժեքի համար, բացի զրոյից:

Ասենք a ուղիղը տրված է x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ պարամետրային հավասարումներով։ Հետո a → = (2, - 5) - այս ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը: Եվ նաև μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 վեկտորներից որևէ մեկը կդառնա տվյալ ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր: Պարզության համար հաշվի առեք կոնկրետ վեկտոր - 2 · a → = (- 4, 10), այն համապատասխանում է μ = - 2 արժեքին: Այս դեպքում տրված ուղիղը կարող է որոշվել նաև x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ պարամետրային հավասարումներով։

Հարթության վրա գծի պարամետրային հավասարումներից անցում տրված գծի այլ հավասարումների և հետ

Որոշ խնդիրներ լուծելիս պարամետրային հավասարումների օգտագործումը ամենաօպտիմալ տարբերակը չէ, այնուհետև անհրաժեշտություն կա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները թարգմանել այլ տիպի ուղիղ գծի հավասարումների: Եկեք նայենք, թե ինչպես դա անել:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ձևի ուղիղ գծի պարամետրական հավասարումները կհամապատասխանեն x - x 1 a x = y - y 1 a y հարթության վրա ուղիղ գծի կանոնական հավասարմանը. .

Եկեք լուծենք պարամետրային հավասարումներից յուրաքանչյուրը λ պարամետրի նկատմամբ, հավասարենք ստացված հավասարումների աջ կողմերը և ստացենք տրված ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Այս դեպքում չպետք է շփոթեցնող լինի, եթե x-ը կամ y-ը հավասար են զրոյի:

Օրինակ 2

Անհրաժեշտ է x = 3 y = - 2 - 4 · λ ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներից անցում կատարել կանոնական հավասարմանը։

Լուծում

Տրված պարամետրային հավասարումները գրենք հետևյալ ձևով՝ x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ.

Արտահայտենք λ պարամետրը հավասարումներից յուրաքանչյուրում՝ x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4.

Եկեք հավասարենք հավասարումների համակարգի աջ կողմերը և ստացենք հարթության վրա ուղիղ գծի պահանջվող կանոնական հավասարումը.

x - 3 0 = y + 2 - 4

Պատասխան. x - 3 0 = y + 2 - 4

Այն դեպքում, երբ անհրաժեշտ է գրել A x + B y + C = 0 ձևի տողի հավասարում, և տրված են հարթության վրա տողի պարամետրային հավասարումներ, անհրաժեշտ է նախ անցում կատարել կանոնականին. հավասարումը, իսկ հետո՝ գծի ընդհանուր հավասարմանը։ Եկեք գրենք գործողությունների ամբողջ հաջորդականությունը.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է գրել ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, եթե տրված են այն սահմանող պարամետրային հավասարումները՝ x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ.

Լուծում

Նախ, անցում կատարենք կանոնական հավասարմանը.

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Ստացված համամասնությունը նույնական է հավասարությանը - 3 · (x + 1) = 2 · y: Բացենք փակագծերը և ստանանք ուղղի ընդհանուր հավասարումը` - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0:

Պատասխան՝ 3 x + 2 y + 3 = 0

Հետևելով գործողությունների վերը նշված տրամաբանությանը, անկյունային գործակցով ուղիղի հավասարումը, հատվածներով ուղիղի հավասարումը կամ ուղիղի նորմալ հավասարումը ստանալու համար անհրաժեշտ է ստանալ ուղիղի ընդհանուր հավասարումը, ապա. իրականացնել դրանից հետագա անցում:

Այժմ դիտարկենք հակառակ գործողությունը. գրել գծի պարամետրային հավասարումներ այս տողի հավասարումների այլ տրված ձևով:

Ամենապարզ անցումը` կանոնական հավասարումից պարամետրային: Թող տրվի x - x 1 a x = y - y 1 a y ձևի կանոնական հավասարումը: Վերցնենք այս հավասարության հարաբերություններից յուրաքանչյուրը հավասար λ պարամետրին.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Եկեք լուծենք x և y փոփոխականների ստացված հավասարումները.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է գրել ուղիղի պարամետրային հավասարումները, եթե հայտնի է հարթության վրա գծի կանոնական հավասարումը. x - 2 5 = y - 2 2.

Լուծում

Հայտնի հավասարման մասերը հավասարեցնենք λ պարամետրին՝ x - 2 5 = y - 2 2 = λ։ Ստացված հավասարությունից ստանում ենք ուղղի պարամետրային հավասարումները՝ x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2. · λ

Պատասխան՝ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Երբ անհրաժեշտ է անցում կատարել պարամետրային հավասարումների՝ գծի տրված ընդհանուր հավասարումից, անկյունային գործակցով ուղիղի հավասարումից կամ հատվածներով ուղիղի հավասարումից, անհրաժեշտ է սկզբնական հավասարումը բերել կանոնականին։ մեկը, այնուհետև անցում կատարեք պարամետրային հավասարումների:

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է գրել տողի պարամետրային հավասարումներ այս ուղղի հայտնի ընդհանուր հավասարմամբ՝ 4 x - 3 y - 3 = 0:

Լուծում

Տրված ընդհանուր հավասարումը վերափոխենք կանոնական ձևի հավասարման.

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Հավասարության երկու կողմերը հավասարեցնենք λ պարամետրին և ստացենք ուղիղ գծի պահանջվող պարամետրային հավասարումները.

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Պատասխան. x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Հարթության վրա գծի պարամետրային հավասարումների օրինակներ և խնդիրներ

Դիտարկենք խնդիրների ամենատարածված տեսակները՝ օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա գտնվող գծի պարամետրային հավասարումները:

1. Առաջին տիպի խնդիրներում տրված են կետերի կոորդինատները՝ պատկանել են դրանք պարամետրային հավասարումներով նկարագրված գծին, թե ոչ։

Նման խնդիրների լուծումը հիմնված է հետևյալ փաստի վրա. թվերը (x, y), որոնք որոշվում են x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ պարամետրային հավասարումներից որոշ իրական արժեքի λ կոորդինատներ են. մի կետ, որը պատկանում է այն գծին, որը նկարագրված է այս պարամետրային հավասարումներով:

Օրինակ 6

Անհրաժեշտ է որոշել կետի կոորդինատները, որն ընկած է x = 2 - 1 6 պարամետրային հավասարումներով սահմանված գծի վրա, λ y = - 1 + 2 · λ λ = 3-ի համար:

Լուծում

Փոխարինենք λ = 3 հայտնի արժեքը տրված պարամետրային հավասարումների մեջ և հաշվենք պահանջվող կոորդինատները՝ x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Պատասխան. 1 1 2 , 5

Հնարավոր է նաև հետևյալ առաջադրանքը. թող ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա տրվի որոշակի կետ M 0 (x 0 , y 0), և դուք պետք է որոշեք, թե արդյոք այս կետը պատկանում է x = x պարամետրային հավասարումներով նկարագրված գծին: 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ.

Նման խնդիր լուծելու համար անհրաժեշտ է տվյալ կետի կոորդինատները փոխարինել ուղիղ գծի հայտնի պարամետրային հավասարումներով։ Եթե ​​որոշվի, որ հնարավոր է λ = λ 0 պարամետրի արժեք, որի դեպքում երկու պարամետրային հավասարումներն էլ ճշմարիտ են, ապա տվյալ կետը պատկանում է տրված ուղիղ գծին։

Օրինակ 7

Տրված են M 0 (4, - 2) և N 0 (- 2, 1) միավորները։ Պետք է որոշել, թե արդյոք դրանք պատկանում են x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ պարամետրային հավասարումներով սահմանված տողին։

Լուծում

M 0 (4, - 2) կետի կոորդինատները փոխարինենք տրված պարամետրային հավասարումներով.

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Եզրակացնենք, որ M 0 կետը պատկանում է տվյալ ուղիղին, քանի որ համապատասխանում է λ = 2 արժեքին:

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Ակնհայտորեն, չկա այնպիսի պարամետր λ, որին համապատասխանի N 0 կետը։ Այսինքն՝ տրված ուղիղը չի անցնում N 0 (- 2, 1) կետով։

Պատասխան. M 0 կետը պատկանում է տվյալ գծին. N 0 կետը տվյալ տողին չի պատկանում.

1. Երկրորդ տիպի խնդիրներում պահանջվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա գծի պարամետրային հավասարումներ կազմել։ Նման խնդրի ամենապարզ օրինակը (ուղիների կետի և ուղղության վեկտորի հայտնի կոորդինատներով) դիտարկվեց վերևում։ Այժմ դիտարկենք օրինակներ, որոնցում նախ պետք է գտնել ուղեցույցի վեկտորի կոորդինատները, ապա գրի առնել պարամետրային հավասարումները։

Օրինակ 8

Տրված է M 1 1 2, 2 3 կետը: Անհրաժեշտ է ստեղծել այս կետով անցնող և x 2 = y - 3 - 1 ուղղին զուգահեռ ուղղի պարամետրային հավասարումներ։

Լուծում

Ըստ խնդրի պայմանների՝ ուղիղը, որի հավասարումը պետք է առաջ տանենք, զուգահեռ է ուղիղ x 2 = y - 3 - 1։ Այնուհետև որպես տվյալ կետով անցնող ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր, կարելի է օգտագործել ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը x 2 = y - 3 - 1, որը գրում ենք a → = (2, - 1) . Այժմ հայտնի են բոլոր անհրաժեշտ տվյալները՝ պահանջվող պարամետրային հավասարումները կազմելու համար.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - լ

Պատասխան. x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ.

Օրինակ 9

Տրված է M 1 (0, - 7) կետը։ Անհրաժեշտ է գրել 3 x – 2 y – 5 = 0 ուղղին ուղղահայաց այս կետով անցնող ուղիղի պարամետրային հավասարումները։

Լուծում

Որպես ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր, որի հավասարումը պետք է կազմվի, կարելի է վերցնել ուղիղ գծի նորմալ վեկտորը 3 x – 2 y – 5 = 0։ Դրա կոորդինատներն են (3, - 2): Եկեք գրենք ուղիղ գծի պահանջվող պարամետրային հավասարումները.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Պատասխան. x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Երրորդ տիպի խնդիրներում անհրաժեշտ է տվյալ տողի պարամետրային հավասարումներից անցում կատարել այն որոշող հավասարումների այլ տեսակների։ Նմանատիպ օրինակների լուծումը մենք քննարկեցինք վերևում:

Օրինակ 10

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա տրված է ուղիղ գիծ, ​​որը սահմանվում է x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ պարամետրային հավասարումներով։ Անհրաժեշտ է գտնել այս ուղղի ցանկացած նորմալ վեկտորի կոորդինատները։

Լուծում

Նորմալ վեկտորի պահանջվող կոորդինատները որոշելու համար պարամետրային հավասարումներից անցում կկատարենք ընդհանուր հավասարման.

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

x և y փոփոխականների գործակիցները մեզ տալիս են նորմալ վեկտորի պահանջվող կոորդինատները։ Այսպիսով, x = 1 - 3 4 ուղղի նորմալ վեկտորը · λ y = - 1 + λ ունի 1, 3 4 կոորդինատներ:

Պատասխան. 1 , 3 4 .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

- հարթության ընդհանուր հավասարումը տարածության մեջ

Նորմալ հարթության վեկտոր

Հարթության նորմալ վեկտորը հարթության մեջ ընկած յուրաքանչյուր վեկտորի նկատմամբ ուղղանկյուն ոչ զրոյական վեկտոր է:

Տրված նորմալ վեկտորով կետով անցնող հարթության հավասարումը

– M0 կետով տրված նորմալ վեկտորով անցնող հարթության հավասարումը

Հարթության ուղղության վեկտորներ

Հարթությանը զուգահեռ երկու ոչ գծային վեկտորներ անվանում ենք հարթության ուղղության վեկտորներ

Պարամետրային հարթության հավասարումներ

– հարթության պարամետրային հավասարումը վեկտորի տեսքով

– հարթության պարամետրային հավասարումը կոորդինատներով

Հարթության հավասարումը տրված կետով և երկու ուղղության վեկտորներով

- ֆիքսված կետ

- Ընդամենը մի կետ lol

-համակողմանի, ինչը նշանակում է, որ նրանց խառը արտադրյալը 0 է:

Երեք տրված կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը

- հարթության հավասարումը երեք կետերով

Հարթության հավասարումը հատվածներով

– հարթության հավասարումը հատվածներով

Ապացույց

Դա ապացուցելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ մեր հարթությունն անցնում է A,B,C և նորմալ վեկտորով

Փոխարինենք n կետի և վեկտորի կոորդինատները հարթության հավասարման մեջ նորմալ վեկտորով.

Եկեք ամեն ինչ բաժանենք ու ստանանք

Նման բաներ.

Նորմալ հարթության հավասարում

- եզի և նորմալ վեկտորի միջև ընկած անկյունը O-ից բխող հարթության նկատմամբ:

– oy-ի և նորմալ վեկտորի միջև ընկած անկյունը O-ից բխող հարթության նկատմամբ:

– oz-ի և նորմալ վեկտորի միջև ընկած անկյունը O-ից բխող հարթության նկատմամբ:

- հեռավորությունը սկզբից մինչև ինքնաթիռ.

Ապացույց կամ նման ինչ-որ հիմարություն

Նշանը հակառակ է Դ.

Նույն կերպ մնացած կոսինուսների համար: Վերջ.

Հեռավորությունը կետից ինքնաթիռ

S կետ, հարթություն

– կողմնորոշված ​​հեռավորություն S կետից մինչև հարթություն

Եթե ​​, ապա S-ը և O-ն ընկած են հարթության հակառակ կողմերում

Եթե ​​, ապա S-ն ու O-ն պառկած են նույն կողմում

Բազմապատկել n-ով

Երկու տողերի հարաբերական դիրքը տարածության մեջ

Անկյուն հարթությունների միջև

Երբ հատվում են, ձևավորվում են երկու զույգ ուղղահայաց երկփեղկ անկյուն, ամենափոքրը կոչվում է հարթությունների միջև ընկած անկյուն։

Ուղիղ գիծ տարածության մեջ

Տիեզերքում ուղիղ գիծը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ

Երկու հարթությունների խաչմերուկ.

Գծի պարամետրային հավասարումներ

– Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումը վեկտորի տեսքով

– Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումը կոորդինատներով

Կանոնական հավասարում

- ուղիղ գծի կանոնական հավասարում.

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը

– ուղիղ գծի կանոնական հավասարում վեկտորային ձևով.

Երկու տողերի հարաբերական դիրքը տարածության մեջ

Ուղիղ գծի և հարթության հարաբերական դիրքը տարածության մեջ

Անկյուն ուղիղ գծի և հարթության միջև

Տարածության կետից մինչև գիծ հեռավորությունը

a-ն մեր ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է:

– կամայական կետ, որը պատկանում է տվյալ գծին

- այն կետը, որտեղ մենք փնտրում ենք հեռավորությունը:

Երկու հատման գծերի միջև հեռավորությունը

Հեռավորությունը երկու զուգահեռ գծերի միջև

M1 - առաջին տողին պատկանող կետ

M2 – երկրորդ տողին պատկանող կետ

Երկրորդ կարգի կորեր և մակերեսներ

Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի բազմություն է, որոնցից երկու տրված կետերի (կիզակետերի) հեռավորությունների գումարը հաստատուն արժեք է:

Կանոնական էլիպսային հավասարում

Փոխարինել հետ

Բաժանել ըստ

Էլիպսի հատկությունները

Խաչմերուկ կոորդինատային առանցքներով

Սիմետրիա հարաբերական

1. Ծագումները

Էլիպսը հարթության սահմանափակ մասում ընկած կոր է

Շրջանակից էլիպս կարելի է ստանալ՝ այն ձգելով կամ սեղմելով

Էլիպսի պարամետրային հավասարումը.

- տնօրեններ

Հիպերբոլա

Հիպերբոլան հարթության վրա գտնվող կետերի բազմություն է, որի համար 2 տրված կետերի (կիզակետերի) հեռավորությունների տարբերության մոդուլը հաստատուն է (2ա)

Մենք անում ենք նույնը, ինչ էլիպսի դեպքում, ստանում ենք

Փոխարինել հետ

Բաժանել ըստ

Հիպերբոլայի հատկությունները

;

- տնօրեններ

Ասիմպտոտ

Ասիմպտոտը ուղիղ գիծ է, որին կորը մոտենում է անսահման՝ հեռանալով դեպի անսահմանություն:

Պարաբոլա

Parawork-ի հատկությունները

Էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի միջև կապը:

Այս կորերի փոխհարաբերությունն ունի հանրահաշվական բացատրություն. դրանք բոլորը տրված են երկրորդ աստիճանի հավասարումներով: Ցանկացած կոորդինատային համակարգում այս կորերի հավասարումները ունեն ձև՝ ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, որտեղ a, b, c, d, e, f թվեր են։

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգերի փոխակերպում

Զուգահեռ կոորդինատային համակարգի փոխանցում

«O» հին կոորդինատային համակարգում

– կետի կոորդինատները հին կոորդինատային համակարգում

– կետի կոորդինատները նոր կոորդինատային համակարգում

Կետի կոորդինատները նոր կոորդինատային համակարգում:

Պտույտ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում

- նոր կոորդինատային համակարգ

Անցումային մատրիցա հին հիմքից նորին

- (առաջին սյունակի տակ Ի’ , երկրորդի տակ – ժ’ ) անցումային մատրիցա հիմքից Ի,ժդեպի բազան Ի’ ,ժ’

Ընդհանուր դեպք

1 տարբերակ

1. Կոորդինատային համակարգի պտտում

Տարբերակ 2

1. Կոորդինատային համակարգի պտտում

   Զուգահեռ ծագման թարգմանություն

Երկրորդ կարգի տողերի ընդհանուր հավասարումը և դրա վերածումը կանոնական ձևի

– երկրորդ կարգի կորի հավասարումների ընդհանուր ձևը

Երկրորդ կարգի կորերի դասակարգում

Էլիպսոիդ

Էլիպսոիդ հատվածներ

- էլիպս

- էլիպս

Հեղափոխության էլիպսոիդներ

Հեղափոխության էլիպսոիդները կամ թեքաձև կամ լայնածավալ սֆերոիդներ են՝ կախված նրանից, թե ինչի շուրջ ենք մենք պտտվում:

Միաշերտ հիպերբոլոիդ

Միաշերտով հիպերբոլոիդի հատվածներ

- հիպերբոլա իրական առանցքով

- հիպերբոլա x իրական առանցքով

Ստացվում է էլիպս ցանկացած հ-ի համար: Նման բաներ.

Հեղափոխության միաշերտ հիպերբոլոիդներ

Հեղափոխության մեկ թերթիկ հիպերբոլոիդ կարելի է ձեռք բերել հիպերբոլան պտտելով իր երևակայական առանցքի շուրջ։

Երկու թերթիկ հիպերբոլոիդ

Երկու թերթիկ հիպերբոլոիդի հատվածներ

- հիպերբոլիա գործողությամբ: axisoz

- հիպերբոլա իրական առանցքով

Կոն

- մի զույգ հատվող գծեր

- մի զույգ հատվող գծեր

Էլիպսային պարաբոլոիդ

- պարաբոլա

- պարաբոլա

Պտտումներ

Եթե ​​, ապա էլիպսային պարաբոլոիդը պտույտի մակերես է, որը ձևավորվում է պարաբոլայի պտտման արդյունքում իր համաչափության առանցքի շուրջ:

Հիպերբոլիկ պարաբոլոիդ

Պարաբոլա

- պարաբոլա

h>0 հիպերբոլա x-ին զուգահեռ իրական առանցքով

հ<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Գլան ասելով հասկանում ենք այն մակերեսը, որը կստացվի, երբ ուղիղ գիծը շարժվում է տարածության մեջ, առանց դրա ուղղությունը փոխելու, եթե ուղիղ գիծը շարժվում է oz-ի նկատմամբ, ապա մխոցի հավասարումը հատվածի հավասարումն է xoy հարթության վրա.

Էլիպսաձև գլան

Հիպերբոլիկ գլան

Պարաբոլիկ գլան

Երկրորդ կարգի մակերեսների ուղղագիծ գեներատորներ

Ուղիղ գծերը, որոնք ամբողջությամբ ընկած են մակերեսի վրա, կոչվում են մակերեսի ուղղագիծ գեներատորներ:

Հեղափոխության մակերեսները

Ջա՛ռ, դու ծծիր

Ցուցադրել

Ցուցադրելեկեք անվանենք կանոն, ըստ որի A բազմության յուրաքանչյուր տարր կապված է B բազմության մեկ կամ մի քանի տարրերի հետ: Եթե ​​յուրաքանչյուրին վերագրվում է B բազմության մեկ տարր, ապա քարտեզագրումը կոչվում է միանշանակ, հակառակ դեպքում երկիմաստ.

Փոխակերպումմի հավաքածուի մեկ առ մեկ քարտեզագրում է հավաքածուն իր վրա

Ներարկում

A բազմության ներարկում կամ մեկ առ մեկ քարտեզագրում B բազմությանը

(a-ի տարբեր տարրեր համապատասխանում են B-ի տարբեր տարրերին) օրինակ y=x^2

Վիրահատություն

A բազմության ներթափանցում կամ քարտեզագրում B բազմությանը

Յուրաքանչյուր B-ի համար կա առնվազն մեկ A (օրինակ՝ սինուս)

B բազմության յուրաքանչյուր տարրին համապատասխանում է A բազմության միայն մեկ տարրին (օրինակ y=x)

Յուրաքանչյուր առաջին աստիճանի հավասարում կոորդինատների նկատմամբ x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

սահմանում է հարթություն և հակառակը՝ ցանկացած հարթություն կարելի է ներկայացնել (3.1) հավասարմամբ, որը կոչվում է. հարթության հավասարումը.

Վեկտոր n(A, B, C) հարթությանը ուղղանկյուն է կոչվում նորմալ վեկտորինքնաթիռ. (3.1) հավասարման մեջ A, B, C գործակիցները միաժամանակ հավասար չեն 0-ի։

(3.1) հավասարման հատուկ դեպքեր.

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ինքնաթիռն անցնում է սկզբնակետով:

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - հարթությունը զուգահեռ է Oz առանցքին:

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ինքնաթիռն անցնում է Oz առանցքով:

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - հարթությունը զուգահեռ է Oyz հարթությանը:

Կոորդինատային հարթությունների հավասարումներ՝ x = 0, y = 0, z = 0:

Տիեզերքում ուղիղ գիծ կարելի է նշել.

1) որպես երկու հարթությունների հատման գիծ, ​​այսինքն. հավասարումների համակարգ.

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) իր երկու կետերով M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), ապա դրանց միջով անցնող ուղիղ գիծը տրված է հավասարումներով.

3) դրան պատկանող M 1 (x 1, y 1, z 1) կետը և վեկտորը. ա(m, n, p), դրան համագիծ: Այնուհետև ուղիղ գիծը որոշվում է հավասարումներով.

Կանչվում են հավասարումները (3.4): գծի կանոնական հավասարումներ.

Վեկտոր ականչեց ուղղության վեկտորը ուղիղ.

Գծի պարամետրային հավասարումներմենք ստանում ենք՝ հավասարեցնելով (3.4) հարաբերություններից յուրաքանչյուրը t պարամետրին.

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + p t. (3.5)

Լուծելով համակարգը (3.2) որպես անհայտների գծային հավասարումների համակարգ xԵվ y, մենք հասնում ենք գծի հավասարումների կանխատեսումներկամ դեպի տրված ուղիղ գծի հավասարումներ :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

(3.6) հավասարումներից կարող ենք անցնել կանոնական հավասարումների՝ գտնելով զյուրաքանչյուր հավասարումից և հավասարեցնելով ստացված արժեքները.

Ընդհանուր հավասարումներից (3.2) կարող եք այլ կերպ անցնել կանոնականներին, եթե գտնեք այս գծի որևէ կետ և դրա ուղղության վեկտորը: n= [n 1 , n 2 ], որտեղ n 1 (A 1, B 1, C 1) և n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - տրված հարթությունների նորմալ վեկտորներ։ Եթե ​​հայտարարներից մեկը m, nկամ r(3.4) հավասարումներում պարզվում է, որ հավասար է զրոյի, ապա համապատասխան կոտորակի համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի, այսինքն. համակարգ

համարժեք է համակարգին. այդպիսի ուղիղ գիծը ուղղահայաց է Ox առանցքին:

Համակարգը համարժեք է համակարգին x = x 1, y = y 1; ուղիղ գիծը զուգահեռ է Օզի առանցքին:

Օրինակ 1.15. Գրի՛ր հարթության հավասարումը՝ իմանալով, որ A(1,-1,3) կետը ծառայում է որպես սկզբնակետից այս հարթությանը գծված ուղղահայաց հիմքի հիմք:

Լուծում.Ըստ խնդրի պայմանների՝ վեկտորը ՕԱ(1,-1,3) հարթության նորմալ վեկտորն է, ապա դրա հավասարումը կարելի է գրել այսպես
x-y+3z+D=0. Փոխարինելով հարթությանը պատկանող A(1,-1,3) կետի կոորդինատները՝ գտնում ենք D՝ 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11։ Այսպիսով, x-y+3z-11=0:

Օրինակ 1.16. 2x+y-z-7=0 հարթության հետ Օզի առանցքով անցնող և 60 աստիճան անկյուն կազմող հարթության համար գրի՛ր հավասարում:

Լուծում.Օզի առանցքով անցնող հարթությունը տրվում է Ax+By=0 հավասարմամբ, որտեղ A-ն և B-ն միաժամանակ չեն անհետանում։ Թող B-ն չլինի
հավասար է 0, A/Bx+y=0: Օգտագործելով կոսինուսի բանաձևը երկու հարթությունների միջև անկյան համար

Լուծելով քառակուսի հավասարումը 3m 2 + 8m - 3 = 0, մենք գտնում ենք դրա արմատները.
m 1 = 1/3, m 2 = -3, որտեղից ստանում ենք երկու հարթություն 1/3x+y = 0 և -3x+y = 0։

Օրինակ 1.17.Կազմի՛ր տողի կանոնական հավասարումները.
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0:

Լուծում.Գծի կանոնական հավասարումները ունեն ձև.

Որտեղ m, n, p- ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները, x 1, y 1, z 1- գծին պատկանող ցանկացած կետի կոորդինատները: Ուղիղ գիծը սահմանվում է որպես երկու հարթությունների հատման գիծ: Ուղղին պատկանող կետ գտնելու համար կոորդինատներից մեկը ամրագրվում է (ամենահեշտ ձևը սահմանելն է, օրինակ, x=0) և ստացված համակարգը լուծվում է որպես գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով։ Այսպիսով, թող x=0, ապա y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, որտեղից y=-1, z=1: Գտանք այս ուղղին պատկանող M(x 1, y 1, z 1) կետի կոորդինատները՝ M (0,-1,1): Ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը հեշտ է գտնել՝ իմանալով սկզբնական հարթությունների նորմալ վեկտորները n 1 (5,1,1) և n 2 (2,3,-2). Հետո

Ուղղի կանոնական հավասարումներն ունեն ձև՝ x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք X, Y, Z կոորդինատային առանցքներով տարածության մեջ տարածության հավասարումը բացահայտ կամ անուղղակի ձևով:

Դուք կարող եք գրել մակերևույթի հավասարումները պարամետրային ձևով՝ արտահայտելով դրա կետերի կոորդինատները որպես երկու անկախ փոփոխական պարամետրերի ֆունկցիաներ և

Մենք կենթադրենք, որ այս ֆունկցիաները միարժեք են, շարունակական և ունեն շարունակական ածանցյալներ մինչև երկրորդ կարգի որոշակի տիրույթի պարամետրերում։

Եթե ​​u-ի և v-ի միջոցով այս կոորդինատային արտահայտությունները փոխարինենք (37) հավասարման ձախ մասում, ապա մենք պետք է նույնականություն ստանանք u-ի և V-ի նկատմամբ: Տարբերակելով այս ինքնությունը u և v անկախ փոփոխականների նկատմամբ՝ մենք կունենանք.

Այս հավասարումները դիտարկելով որպես երկու միատարր հավասարումներ՝ կապված և կիրառելով նշված հանրահաշվական լեմայի նկատմամբ, մենք ստանում ենք.

որտեղ k-ն որոշակի համաչափության գործակից է:

Մենք կարծում ենք, որ k գործակիցը և վերջին բանաձևերի աջ կողմի տարբերություններից առնվազն մեկը զրոյական չեն:

Հակիրճության համար նշենք հետևյալ երեք տարբերությունները.

Ինչպես հայտնի է, մեր մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը ինչ-որ կետում (x, y, z) կարելի է գրել ձևով.

կամ, փոխարինելով համամասնական մեծությունները, կարող ենք շոշափող հարթության հավասարումը վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

Հայտնի է, որ այս հավասարման գործակիցները համամասնական են դեպի մակերեսին նորմալի ուղղության կոսինուսները:

Մակերեւույթի վրա փոփոխական M կետի դիրքը բնութագրվում է u և v պարամետրերի արժեքներով, և այդ պարամետրերը սովորաբար կոչվում են մակերեսային կետերի կոորդինատներ կամ կոորդինատային պարամետրեր:

Տալով u և v պարամետրերը հաստատուն արժեքներ՝ մենք ստանում ենք մակերևույթի երկու ընտանիք, որոնք կանվանենք մակերեսի կոորդինատային գծեր. Կոորդինատային գծերի այս երկու ընտանիքները մակերեսի վրա ապահովում են կոորդինատային ցանց:

Որպես օրինակ, դիտարկենք մի գնդ, որի կենտրոնը սկզբնաղբյուրում և R շառավիղն է: Նման ոլորտի պարամետրային հավասարումները կարելի է գրել այսպես.

Կոորդինատային գծերն այս դեպքում ակնհայտորեն ներկայացնում են մեր ոլորտի զուգահեռներն ու միջօրեականները։

Վերացելով կոորդինատային առանցքներից՝ մենք կարող ենք մակերևույթը բնութագրել փոփոխական շառավիղով վեկտորով, որն անցնում է O հաստատուն կետից մինչև մեր մակերեսի M փոփոխական կետ: Այս շառավիղային վեկտորի մասնակի ածանցյալները պարամետրերի նկատմամբ ակնհայտորեն կտան վեկտորներ, որոնք ուղղված են կոորդինատային գծերի շոշափողների երկայնքով: Այս վեկտորների բաղադրիչները առանցքների երկայնքով

համապատասխանաբար, և դրանից պարզ է դառնում, որ շոշափողի հարթության (39) հավասարման գործակիցները վեկտորային արտադրյալի բաղադրիչներն են։ մակերեսի. Այս վեկտորի երկարության քառակուսին ակնհայտորեն արտահայտվում է վեկտորի սկալյար արտադրյալով, այսինքն, պարզ ասած, այս վեկտորի քառակուսին 1): Հետևյալում մակերեսին նորմալ միավոր վեկտորը էական դեր կխաղա, որը մենք ակնհայտորեն կարող ենք գրել ձևով.

Գրավոր վեկտորային արտադրյալի գործակիցների հերթականությունը փոխելով՝ մենք ստանում ենք վեկտորի (40) հակառակ ուղղությունը։ Հետևյալում մենք որոշակի ձևով կֆիքսենք գործոնների դասավորությունը, այսինքն՝ որոշակի ձևով կֆիքսենք նորմալի ուղղությունը դեպի մակերես։

Վերցնենք մակերևույթի որոշակի կետ M և այս կետի միջով գծենք մակերեսի վրա ընկած մի կոր (L): Այս կորը, ընդհանուր առմամբ, կոորդինատային գիծ չէ, և և՛ Well, և՛ v կփոխվեն դրա երկայնքով: Այս կորին շոշափողի ուղղությունը կորոշվի վեկտորով, եթե ենթադրենք, որ կետի հարևանությամբ (L) երկայնքով v պարամետրը ածանցյալ ունենալու ֆունկցիա է։ Այստեղից պարզ է դառնում, որ այս կորի ցանկացած M կետում մակերեսի վրա գծված կորի շոշափողի ուղղությունը ամբողջությամբ բնութագրվում է այս կետի արժեքով: Շոշափող հարթությունը սահմանելիս և դրա հավասարումը (39) հանելիս մենք ենթադրեցինք, որ (38) ֆունկցիաները դիտարկվող կետում և նրա մոտակայքում ունեն շարունակական մասնակի ածանցյալներ, և որ (39) հավասարման գործակիցներից առնվազն մեկը տվյալ կետում զրոյական չէ։ քննարկվում է։

Ինքնաթիռի վեկտորային և պարամետրային հավասարումներ.Թող r 0 և r լինեն համապատասխանաբար M 0 և M կետերի շառավղային վեկտորները: Այնուհետև M 0 M = r - r 0, և պայմանով (5.1), որ M կետը պատկանում է M 0 կետով ուղղահայաց անցնող հարթությանը. ոչ զրոյական վեկտոր n (նկ. 5.2, ա), կարելի է գրել օգտագործելով կետային արտադրանքորպես հարաբերակցություն

n(r - r 0) = 0, (5.4)

որը կոչվում է ինքնաթիռի վեկտորային հավասարումը.

Տիեզերքում ֆիքսված հարթությունը համապատասխանում է դրան զուգահեռ վեկտորների մի շարքի, այսինքն. տարածություն V 2. Եկեք ընտրենք այս տարածքում հիմք e 1, e 2, այսինքն. դիտարկվող հարթությանը զուգահեռ ոչ գծային վեկտորների զույգ և հարթության վրա M 0 կետ: Եթե ​​M ​​կետը պատկանում է հարթությանը, ապա դա համարժեք է նրան, որ M 0 M վեկտորը զուգահեռ է դրան (նկ. 5.2, բ), այսինքն. այն պատկանում է նշված V 2 տարածությանը։ Սա նշանակում է, որ կա M 0 M վեկտորի ընդլայնումը հիմքում e 1, e 2, այսինքն. կան t 1 և t 2 թվեր, որոնց համար M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2: Այս հավասարման ձախ կողմը գրելով M 0 և M կետերի համապատասխանաբար r 0 և r շառավղային վեկտորների միջով, մենք ստանում ենք. վեկտորի պարամետրային հարթության հավասարումը

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2, t 1, t 1 ∈ R. (5.5)

(5.5) վեկտորների հավասարությունից անցնել նրանց հավասարությանը կոորդինատները, նշանակում ենք (x 0; y 0; z 0), (x; y; z) կետերի կոորդինատները M 0, M և միջով (e 1x; e 1y; e 1z), (e 2x; e 2y; e 2z) e 1, e 2 վեկտորների կոորդինատները: r և r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 վեկտորների կոորդինատները հավասարեցնելով նույն անունով՝ ստանում ենք. պարամետրային հարթության հավասարումներ

Երեք կետերով անցնող ինքնաթիռ.Ենթադրենք, որ երեք M 1, M 2 և M 3 կետերը չեն գտնվում նույն գծի վրա: Այնուհետև կա π եզակի հարթություն, որին պատկանում են այս կետերը։ Եկեք գտնենք այս հարթության հավասարումը` ձևակերպելով չափանիշ, որ կամայական M կետը պատկանի տվյալ հարթությանը: Այնուհետև մենք գրում ենք այս չափանիշը կետերի կոորդինատների միջոցով։ Նշված չափանիշը π հարթության նկարագրությունն է որպես այն M կետերի բազմություն, որոնց համար վեկտորները M 1 M 2, M 1 M 3 և M 1 M համակողմանի. Երեք վեկտորների համահավասարության չափանիշը նրանց հավասարությունն է զրոյի խառը արտադրանք(տես 3.2): Խառը արտադրանքը հաշվարկվում է օգտագործելով երրորդ կարգի որոշիչ, որի տողերը վեկտորների կոորդինատներն են օրթոնորմալ հիմք. Հետևաբար, եթե (x i; yx i; Zx i) Mx i, i = 1, 2, 3 և (x; y; z) կետերի կոորդինատներն են M կետի կոորդինատներն են, ապա M 1 M = (x-x): 1 ; y-y 1 ; -y 1 z 3 -z 1) և պայմանը, որ այս վեկտորների խառը արտադրյալը հավասար լինի զրոյի, ունի ձև.

Հաշվելով որոշիչը՝ մենք ստանում ենք գծայինհարաբերական x, y, z հավասարումը, որը ցանկալի հարթության ընդհանուր հավասարումը. Օրինակ, եթե ընդլայնել որոշիչը 1-ին տողի երկայնքով, ապա մենք ստանում ենք

Այս հավասարությունը, որոշիչները հաշվարկելուց և փակագծերը բացելուց հետո, վերածվում է հարթության ընդհանուր հավասարման։

Նկատի ունեցեք, որ վերջին հավասարման փոփոխականների գործակիցները համընկնում են կոորդինատների հետ վեկտորային արտադրանք M 1 M 2 × M 1 M 3. Այս վեկտորային արտադրյալը, լինելով π հարթությանը զուգահեռ երկու ոչ գծային վեկտորների արտադրյալ, տալիս է π-ին ուղղահայաց ոչ զրոյական վեկտոր, այսինքն. նրան նորմալ վեկտոր. Այսպիսով, վեկտորի արտադրյալի կոորդինատների հայտնվելը որպես հարթության ընդհանուր հավասարման գործակիցներ միանգամայն բնական է:

Դիտարկենք երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հետևյալ հատուկ դեպքը. M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0 կետերը, մի պառկեք նույն ուղիղ գծի վրա և սահմանեք հարթություն, որը կտրում է: հատվածներ կոորդինատային առանցքների վրա՝ ոչ զրոյական երկարությամբ (նկ. 5.3): Այստեղ «հատվածի երկարությունը» նշանակում է M i, i = 1,2,3 կետերի շառավղային վեկտորների ոչ զրոյական կոորդինատների արժեքը:

Քանի որ M 1 M 2 = (-a; b;0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), ապա (5.7) հավասարումը ստանում է ձև.

Հաշվելով որոշիչը՝ մենք գտնում ենք bc(x - a) + acy + abz = 0, ստացված հավասարումը բաժանում ենք abc-ի և ազատ անդամը տեղափոխում աջ կողմ,

x/a + y/b + z/c = 1:

Այս հավասարումը կոչվում է հարթության հավասարումը հատվածներով.

Օրինակ 5.2.Գտնենք հարթության ընդհանուր հավասարումը, որն անցնում է (1; 1; 2) կոորդինատներով կետով և կոորդինատային առանցքներից կտրում է հավասար երկարության հատվածներ:

Հարթության հավասարումը հատվածներով, պայմանով, որ այն կտրում է հավասար երկարության հատվածները կոորդինատային առանցքներից, ասենք a ≠ 0, ունի x/a + y/b + z/c = 1 ձև: Այս հավասարումը պետք է բավարարվի. ինքնաթիռի հայտնի կետը (1; 1; 2) կոորդինատները, այսինքն. գործում է հավասարությունը 4/a = 1, հետևաբար, a = 4 և պահանջվող հավասարումը x + y + z - 4 = 0 է:

Նորմալ հարթության հավասարում.Դիտարկենք մի քանի π հարթություն տիեզերքում: Մենք դա ուղղում ենք նրա համար միավորնորմալ վեկտոր n, ուղղված է ծագում«դեպի հարթություն», իսկ p-ով նշանակել կոորդինատային համակարգի O սկզբնակետից մինչև π հարթությունը (նկ. 5.4): Եթե ​​հարթությունն անցնում է կոորդինատային համակարգի սկզբնակետով, ապա p = 0, և երկու հնարավոր ուղղություններից որևէ մեկը կարող է ընտրվել որպես նորմալ վեկտորի n ուղղություն:

Եթե ​​M ​​կետը պատկանում է π հարթությանը, ապա դա համարժեք է այն փաստին, որ ուղղագրական վեկտորի պրոյեկցիաՕ.Մ դեպի ուղղությունվեկտորը n-ը հավասար է p-ին, այսինքն. nOM = pr n OM = p պայմանը բավարարված է, քանի որ վեկտորի երկարությունը n-ը հավասար է մեկի:

Նշենք M կետի կոորդինատները (x; y; z)-ով և թող n = (cosα; cosβ; cosγ) (հիշենք, որ միավոր վեկտորի համար n դրա ուղղության կոսինուսներ cosα, cosβ, cosγ են նաև նրա կոորդինատները): Գրելով սկալյար արտադրյալը nOM = p հավասարությամբ կոորդինատային ձևով, մենք ստանում ենք նորմալ հարթության հավասարում

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0:

Ինչպես հարթության վրա գծի դեպքում, հարթության ընդհանուր հավասարումը կարող է փոխակերպվել իր նորմալ հավասարման՝ բաժանելով նորմալացնող գործակցի:

Ax + By + Cz + D = 0 հարթության հավասարման համար նորմալացնող գործոնը ±√ (A 2 + B 2 + C 2) թիվն է, որի նշանն ընտրված է D-ի նշանին հակառակ: Բացարձակ արժեքով. նորմալացնող գործոնը նորմալ վեկտորի (A; B; C) հարթության երկարությունն է, իսկ նշանը համապատասխանում է հարթության միավորի նորմալ վեկտորի ցանկալի ուղղությանը: Եթե ​​ինքնաթիռն անցնում է կոորդինատային համակարգի սկզբնակետով, այսինքն. D = 0, ապա նորմալացնող գործոնի նշանը կարելի է ընտրել ցանկացած ձևով: