Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Ցանկացած կետով կարելի է անսահման թվով ուղիղ գծեր գծել։

Ցանկացած երկու չհամընկնող կետերի միջով կարելի է մեկ ուղիղ գիծ գծել:

Հարթության մեջ երկու տարբեր ուղիղներ կամ հատվում են մեկ կետում կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

IN եռաչափ տարածությունԵրկու տողերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.

• գծերը հատվում են;

• գծերը զուգահեռ են;

• ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող— Առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ ուղիղ գիծ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում)։

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում.

Սահմանում. Ինքնաթիռի ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է սահմանվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

և մշտական Ա, Բմիաժամանակ հավասար չեն զրոյի. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է գեներալ

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, ԲԵվ ՀԵՏՀնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ուղիղ գիծ է անցնում ծագման միջով

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = C = 0, A ≠0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

. A = C = 0, B ≠0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և նորմալ վեկտորից:

Սահմանում. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

ուղիղ գծին ուղղահայաց, տրված է հավասարմամբ

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Լուծում. A = 3 և B = -1-ով կազմենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: Գտեք C գործակիցը.

Փոխարինենք տրված Ա կետի կոորդինատները ստացված արտահայտության մեջ, հետևաբար՝ 3 - 2 + C = 0

C = -1. Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)Եվ M2 (x 2, y 2, z 2),Հետո գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի: Միացված է

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

Եթե x 1 ≠ x 2Եվ x = x 1, Եթե x 1 = x 2 .

Կոտորակ = kկանչեց լանջին ուղիղ.

Օրինակ. Գտե՛ք A(1, 2) և B(3, 4) կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը։

Լուծում. Կիրառելով վերը գրված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարում` օգտագործելով կետ և թեքություն:

Եթե ընդհանուր հավասարումուղիղ Ax + Wu + C = 0հանգեցնել՝

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և ուղղության վեկտորից:

Նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը դիտարկող կետի հետ անալոգիայով կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր:

Սահմանում. Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2), որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aα 1 + Bα 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր.

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A(1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում. Մենք կփնտրենք ցանկալի գծի հավասարումը հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է բավարարեն հետևյալ պայմանները.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x = 1, y = 2մենք ստանում ենք C/A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ах + Ву + С = 0 С≠0, ապա բաժանելով -С-ի, ստանում ենք.

կամ որտեղ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է.

ուղիղ առանցքով Օ,Ա բ- գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը Օ՜

Օրինակ. Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտեք այս ուղիղի հավասարումը հատվածներով:

C = 1, , a = -1, b = 1:

Նորմալ հավասարումուղիղ.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը Ax + Wu + C = 0բաժանել ըստ թվի որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ μ*C< 0.

r- սկզբնակետից ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

Ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ. Տրված է գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0. Պահանջվում է տարբեր տեսակի հավասարումներ գրելու համար

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղղի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ամեն ուղիղ գիծ չէ, որ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելով։

Հարթության վրա ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում. Եթե ​​տրված է երկու տող y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս տողերի միջև ընկած սուր անկյունը

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2. Երկու ուղիղ ուղղահայաց են

Եթե k 1 = -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղղակի Ax + Wu + C = 0Եվ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0զուգահեռ, երբ գործակիցները համաչափ են

A 1 = λA, B 1 = λB. Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Անցնող գծի հավասարումը այս կետըայս գծին ուղղահայաց:

Սահմանում. Մի կետով անցնող գիծ M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Թեորեմ. Եթե ​​տրվում է միավոր M (x 0, y 0),ապա ուղիղ գծի հեռավորությունը Ax + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց. Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկած ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը ՄԵվ Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1Եվ 1-ինկարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով ուղղահայաց անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

տրված ուղիղ գիծ. Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Դուք փնտրե՞լ եք, թե ինչպես գրել հավասարում: . Նկարագրություններով և բացատրություններով մանրամասն լուծումը կօգնի ձեզ հասկանալ նույնիսկ առավելագույնը դժվար առաջադրանքև կազմիր հավասարում, բացառություն չկա: Մենք կօգնենք ձեզ նախապատրաստվել տնային աշխատանքներին, թեստերին, օլիմպիադաներին, ինչպես նաև բուհ ընդունվելուն։

Եվ ինչ օրինակ էլ, մաթեմատիկական հարցում էլ որ մուտքագրեք, մենք արդեն լուծում ունենք։ Օրինակ, «ինչպես գրել հավասարում»:Տարբերի կիրառում

մաթեմատիկական խնդիրներ

Դուք կարող եք լուծել խնդիրը, թե ինչպես ստեղծել հավասարում մեր կայքում: Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա հաշված վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց խնդիր։ Ձեզ անհրաժեշտ է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել տեսանյութի հրահանգները և իմանալ, թե ինչպես ճիշտ մուտքագրել ձեր առաջադրանքը մեր կայքում: Եվ եթե դեռ հարցեր ունեք, կարող եք դրանք ուղղել հաշվիչի էջի ներքևի ձախ մասում գտնվող չաթում:

Եկեք նայենք, թե ինչպես կարելի է հավասարություն ստեղծել երկու կետով անցնող ուղիղի համար՝ օգտագործելով օրինակներ:

Օրինակ 1.

Գրե՛ք A(-3; 9) և B(2;-1) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Մեթոդ 1 - ստեղծել ուղիղ գծի հավասարում անկյան գործակիցով:

Անկյունային գործակցի հետ ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. A և B կետերի կոորդինատները փոխարինելով ուղիղ գծի հավասարման մեջ (x= -3 և y=9 - առաջին դեպքում, x=2 և y= -1 - երկրորդում) ստանում ենք հավասարումների համակարգ. որտեղից մենք գտնում ենք k և b արժեքները.

1-ին և 2-րդ հավասարումները անդամ առ անդամ գումարելով՝ ստանում ենք՝ -10=5k, որտեղից k= -2։ Փոխարինելով k= -2-ը երկրորդ հավասարման մեջ՝ գտնում ենք b՝ -1=2·(-2)+b, b=3:

Այսպիսով, y= -2x+3 պահանջվող հավասարումն է։

Մեթոդ 2 - ստեղծենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն ունի ձև. A և B կետերի կոորդինատները փոխարինելով հավասարման մեջ՝ ստանում ենք համակարգը.

Քանի որ անհայտների թիվը հավասարումների քանակից մեծ է, համակարգը լուծելի չէ: Բայց բոլոր փոփոխականները կարող են արտահայտվել մեկի միջոցով: Օրինակ՝ բ.

Համակարգի առաջին հավասարումը բազմապատկելով -1-ով և անդամ առ անդամ գումարելով երկրորդին.

ստանում ենք՝ 5a-10b=0: Հետևաբար a=2b.

Ստացված արտահայտությունը փոխարինենք երկրորդ հավասարմամբ՝ 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Փոխարինեք a=2b, c= -3b հավասարման մեջ ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Մնում է երկու կողմերը բաժանել b-ով.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը հեշտությամբ կարելի է կրճատել թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարման.

Մեթոդ 3 - ստեղծել 2 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարում:

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը հետևյալն է.

Այս հավասարման մեջ փոխարինենք A(-3; 9) և B(2;-1) կետերի կոորդինատները.

(այսինքն x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

և պարզեցնել.

որտեղից 2x+y-3=0:

IN դպրոցական դասընթացԱռավել հաճախ օգտագործվում է թեքության գործակցով ուղիղ գծի հավասարումը։ Բայց ամենահեշտ ճանապարհը երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարման բանաձևը հանելն ու օգտագործելն է։

Մեկնաբանություն.

Եթե ​​կոորդինատները փոխարինելիս տրված միավորներհավասարման հայտարարներից մեկը

պարզվում է, որ հավասար է զրոյի, ապա ստացվում է պահանջվող հավասարումը` համապատասխան համարիչը զրոյի հավասարեցնելով:

Օրինակ 2.

Գրի՛ր C(5; -2) և D(7;-2) երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

C և D կետերի կոորդինատները փոխարինում ենք 2 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարման մեջ։

Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա.
Ուղղության վեկտորը ուղիղ է: Նորմալ վեկտոր

Ինքնաթիռի ուղիղ գիծը ամենապարզներից մեկն է երկրաչափական ձևերի վեր ձեզ ծանոթ կրտսեր դասարաններ, և այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես վարվել դրա հետ՝ օգտագործելով վերլուծական երկրաչափության մեթոդները։ Նյութը տիրապետելու համար դուք պետք է կարողանաք ուղիղ գիծ կառուցել. իմացեք, թե ինչ հավասարմամբ է սահմանվում ուղիղ գիծը, մասնավորապես՝ կոորդինատների սկզբնակետով և կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ ուղիղները։ Այս տեղեկատվությունը կարելի է գտնել ձեռնարկում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները, ես ստեղծել եմ մատանի համար, բայց բաժինը մասին գծային ֆունկցիաՇատ հաջող և մանրամասն ստացվեց։ Ուստի, սիրելի թեյնիկներ, նախ տաքացեք այնտեղ։ Բացի այդ, դուք պետք է ունենաք տարրական գիտելիքներ դրա մասին վեկտորներ, հակառակ դեպքում նյութի ըմբռնումը թերի կլինի։

Այս դասում մենք կդիտարկենք ուղիներ, որոնցով դուք կարող եք հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարում ստեղծել: Խորհուրդ եմ տալիս չանտեսել գործնական օրինակները (նույնիսկ եթե դա շատ պարզ է թվում), քանի որ ես նրանց կներկայացնեմ տարրական և կարևոր փաստեր. տեխնիկական մեթոդներ, որը կպահանջվի ապագայում, այդ թվում՝ բարձրագույն մաթեմատիկայի այլ բաժիններում։

• Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարում անկյան գործակիցով:
• Ինչպե՞ս
• Ինչպե՞ս գտնել ուղղության վեկտոր՝ օգտագործելով ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը:
• Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարում` տրված կետով և նորմալ վեկտորով:

և մենք սկսում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ

Ուղիղ գծի հավասարման հայտնի «դպրոցական» ձևը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը թեքության հետ. Օրինակ, եթե հավասարմամբ տրված է ուղիղ գիծ, ​​ապա դրա թեքությունը հետևյալն է. Եկեք դիտարկենք երկրաչափական իմաստայս գործակիցը և ինչպես է դրա արժեքը ազդում գծի գտնվելու վայրի վրա.

Երկրաչափության դասընթացում ապացուցված է, որ ուղիղ գծի թեքությունը հավասար է անկյան շոշափողդրական առանցքի ուղղության միջևև այս տողը:, և անկյունը «հանվում է» ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Որպեսզի գծագիրը չխառնվի, ես անկյուններ գծեցի միայն երկու ուղիղ գծերի համար։ Դիտարկենք «կարմիր» գիծը և դրա թեքությունը։ Ըստ վերը նշվածի. («ալֆա» անկյունը նշվում է կանաչ աղեղով): Անկյունի գործակիցով «կապույտ» ուղիղ գծի համար հավասարությունը ճշմարիտ է («բետա» անկյունը նշվում է շագանակագույն աղեղով): Իսկ եթե անկյան շոշափողը հայտնի է, ապա անհրաժեշտության դեպքում այն ​​հեշտ է գտնել և հենց անկյունըօգտագործելով հակադարձ ֆունկցիա- արկտանգենտ: Ինչպես ասում են՝ եռանկյունաչափական սեղան կամ միկրոհաշվիչ ձեր ձեռքերում։ Այսպիսով, Անկյունային գործակիցը բնութագրում է ուղիղ գծի թեքության աստիճանը դեպի աբսցիսային առանցքը.

Հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

1) Եթե թեքությունը բացասական է, ապա գիծը, կոպիտ ասած, անցնում է վերևից ներքև: Օրինակներ են գծագրության «կապույտ» և «ազնվամորու» ուղիղ գծերը:

2) Եթե թեքությունը դրական է՝ , ապա գիծն անցնում է ներքևից վեր։ Օրինակներ - «սև» և «կարմիր» ուղիղ գծեր գծագրում:

3) Եթե թեքությունը զրո է՝ , ապա հավասարումը ստանում է ձևը, իսկ համապատասխան ուղիղ գիծը զուգահեռ է առանցքին։ Օրինակ՝ «դեղին» ուղիղ գիծը։

4) առանցքին զուգահեռ ուղիղների ընտանիքի համար (գծագրում օրինակ չկա, բացառությամբ առանցքի), անկյունային գործակիցը. գոյություն չունի (90 աստիճանի շոշափողը սահմանված չէ).

Որքան մեծ է թեքության գործակիցը բացարձակ արժեքով, այնքան ավելի կտրուկ է ընթանում ուղիղ գծի գրաֆիկը:.

Օրինակ, հաշվի առեք երկու ուղիղ գիծ: Այստեղ, հետեւաբար, ուղիղ գիծն ունի ավելի զառիթափ թեքություն։ Հիշեցնեմ, որ մոդուլը թույլ է տալիս անտեսել նշանը, մեզ միայն հետաքրքրում է բացարձակ արժեքներանկյունային գործակիցներ.

Իր հերթին, ուղիղ գիծն ավելի կտրուկ է, քան ուղիղները .

Եվ հակառակը. որքան փոքր է թեքության գործակիցը բացարձակ արժեքով, այնքան հարթ է ուղիղ գիծը.

Ուղիղ գծերի համար անհավասարությունը ճշմարիտ է, հետևաբար ուղիղ գիծն ավելի հարթ է: Մանկական սլայդ, որպեսզի ձեզ կապտուկներ և բշտիկներ չտաք։

Ինչու է դա անհրաժեշտ:

Երկարացրեք ձեր տանջանքները Վերը նշված փաստերի իմացությունը թույլ է տալիս անմիջապես տեսնել ձեր սխալները, մասնավորապես, սխալները գրաֆիկներ կառուցելիս, եթե պարզվում է, որ նկարը «ակնհայտորեն ինչ-որ բան սխալ է»: Ցանկալի է, որ դուք անմիջապեսպարզ էր, որ, օրինակ, ուղիղ գիծը շատ զառիթափ է և գնում է ներքևից վեր, իսկ ուղիղը շատ հարթ է, սեղմված է առանցքին մոտ և գնում է վերևից ներքև։

IN երկրաչափական խնդիրներՀաճախ հայտնվում են մի քանի ուղիղ գծեր, ուստի հարմար է դրանք ինչ-որ կերպ նշանակել:

ՆշանակումներՈւղիղ գծերը նշանակված են փոքր լատինական տառերով: Հանրաճանաչ տարբերակն այն է, որ դրանք նշանակվեն՝ օգտագործելով նույն տառը՝ բնական մակագրություններով: Օրինակ, հինգ տողերը, որոնք մենք հենց նոր նայեցինք, կարող են նշանակվել .

Քանի որ ցանկացած ուղիղ եզակիորեն որոշվում է երկու կետով, այն կարելի է նշանակել հետևյալ կետերով. և այլն: Նշանակումը հստակ ենթադրում է, որ կետերը պատկանում են գծին:

Ժամանակն է մի փոքր տաքանալու.

Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարում անկյան գործակիցով:

Եթե ​​որոշակի ուղղին պատկանող կետը և այս ուղիղի անկյունային գործակիցը հայտնի են, ապա այս ուղիղի հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.

Օրինակ 1

Թեքությամբ ուղիղի հավասարումը գրի՛ր, եթե հայտնի է, որ կետը պատկանում է տվյալ ուղղին։

ԼուծումԿազմենք ուղիղ գծի հավասարումը բանաձևով . Այս դեպքում.

Պատասխանել:

Փորձաքննությունկատարվում է պարզապես. Նախ, մենք նայում ենք ստացված հավասարմանը և համոզվում, որ մեր թեքությունը տեղում է: Երկրորդ, կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն այս հավասարումը։ Եկեք դրանք միացնենք հավասարման մեջ.

Ստացել է իսկական հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ կետը բավարարում է ստացված հավասարումը։

ԵզրակացությունՀավասարումը ճիշտ է գտնվել:

Ավելի բարդ օրինակ է անկախ որոշում:

Օրինակ 2

Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը, եթե հայտնի է, որ նրա թեքության անկյունը դեպի առանցքի դրական ուղղությունը հավասար է, իսկ կետը պատկանում է այս ուղիղ գծին:

Եթե ​​որևէ դժվարություն ունեք, նորից կարդացեք տեսական նյութ. Ավելի ճիշտ, ավելի գործնական, ես բաց եմ թողնում բազմաթիվ ապացույցներ։

Զանգեց վերջին զանգ, ավարտական ​​երեկոն մարել է, իսկ հայրենի դպրոցի դարպասներից դուրս մեզ սպասում է հենց վերլուծական երկրաչափությունը։ Կատակներն ավարտվեցին... Կամ գուցե նրանք նոր են սկսում =)

Կարոտով մեր գրիչը թափահարում ենք դեպի ծանոթը և ծանոթանում ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմանը։ Քանի որ վերլուծական երկրաչափության մեջ սա հենց այն է, ինչ օգտագործվում է.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն ունի ձև, որտեղ կան որոշ թվեր։ Միաժամանակ գործակիցները միաժամանակհավասար չեն զրոյի, քանի որ հավասարումը կորցնում է իր նշանակությունը:

Եկեք հագնվենք կոստյում և հավասարումը կապենք թեքության գործակցի հետ։ Նախ, եկեք բոլոր տերմինները տեղափոխենք ձախ կողմ.

«X» տերմինը պետք է առաջին տեղում դրվի.

Սկզբունքորեն, հավասարումն արդեն ունի ձևը, բայց ըստ մաթեմատիկական վարվելակարգի կանոնների՝ առաջին անդամի գործակիցը (այս դեպքում) պետք է լինի դրական։ Փոխվող նշաններ.

Հիշեք այս տեխնիկական հատկությունը:Մենք առաջին գործակիցը (առավել հաճախ) դրական ենք դարձնում:

Անալիտիկ երկրաչափության մեջ ուղիղ գծի հավասարումը գրեթե միշտ տրվելու է ընդհանուր տեսքով: Դե, անհրաժեշտության դեպքում, այն հեշտությամբ կարելի է իջեցնել «դպրոցական» ձևի անկյունային գործակցով (բացառությամբ օրդինատների առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծերի):

Եկեք ինքներս մեզ հարցնենք, թե ինչ բավական էգիտե՞ք ուղիղ գիծ կառուցել: Երկու միավոր. Բայց ավելի շատ մանկության այս դեպքի մասին, այժմ մնում է սլաքների կանոնը: Յուրաքանչյուր ուղիղ գիծ ունի շատ կոնկրետ թեքություն, որին հեշտ է «հարմարվել»: վեկտոր.

Վեկտորը, որը զուգահեռ է ուղիղին, կոչվում է այդ ուղիղի ուղղության վեկտոր. Ակնհայտ է, որ ցանկացած ուղիղ գիծ ունի անսահման շատ ուղղության վեկտորներ, և դրանք բոլորը կլինեն համագիծ (համաուղղված, թե ոչ, կարևոր չէ):

Ուղղության վեկտորը կնշեմ հետևյալ կերպ.

Բայց մեկ վեկտորը բավարար չէ ուղիղ գիծ կառուցելու համար, վեկտորն ազատ է և կապված չէ հարթության որևէ կետի հետ: Ուստի լրացուցիչ անհրաժեշտ է իմանալ ինչ-որ կետ, որը պատկանում է գծին։

Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարում` օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր:

Եթե ​​գծին պատկանող որոշակի կետ և այս ուղիղի ուղղության վեկտորը հայտնի է, ապա այս ուղիղի հավասարումը կարելի է կազմել՝ օգտագործելով բանաձևը.

Երբեմն դա կոչվում է գծի կանոնական հավասարումը .

Ինչ անել, երբ կոորդինատներից մեկըհավասար է զրոյի, մենք կհասկանանք ստորև ներկայացված գործնական օրինակներով: Ի դեպ, նկատի ունեցեք. երկուսն էլ միանգամիցկոորդինատները չեն կարող հավասար լինել զրոյի, քանի որ զրոյական վեկտորը չի նշում կոնկրետ ուղղություն:

Օրինակ 3

Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարում՝ օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր

ԼուծումԿազմենք ուղիղ գծի հավասարումը բանաձևով. Այս դեպքում.

Օգտագործելով համամասնության հատկությունները՝ մենք ազատվում ենք կոտորակներից.

Եվ մենք բերում ենք հավասարումը ընդհանուր տեսքը:

Պատասխանել:

Որպես կանոն, նման օրինակներում գծագրություն անելու կարիք չկա, բայց հասկանալու համար.

Նկարում տեսնում ենք ելակետը, սկզբնական ուղղության վեկտորը (այն կարելի է գծագրել հարթության ցանկացած կետից) և կառուցված ուղիղ գիծը։ Ի դեպ, շատ դեպքերում ամենահարմարն է ուղիղ գիծ կառուցել՝ օգտագործելով անկյունային գործակիցով հավասարումը։ Մեր հավասարումը կարող է հեշտությամբ վերածվել ձևի և առանց որևէ խնդիրների՝ ընտրելով մեկ այլ կետ՝ ուղիղ գիծ կառուցելու համար:

Ինչպես նշվեց պարբերության սկզբում, ուղիղ գիծն ունի անսահման թվով ուղղության վեկտորներ, և բոլորն էլ համագիծ են: Օրինակ, ես գծեցի երեք նման վեկտոր. . Ինչ ուղղության վեկտոր էլ ընտրենք, արդյունքը միշտ կլինի նույն ուղիղ գծի հավասարումը:

Եկեք ստեղծենք ուղիղ գծի հավասարում, օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր.

Համամասնության լուծում.

Երկու կողմերը բաժանե՛ք –2-ի և ստացե՛ք ծանոթ հավասարումը.

Ցանկացողները կարող են նույն կերպ փորձարկել վեկտորները կամ ցանկացած այլ համագիծ վեկտոր:

Այժմ լուծենք հակադարձ խնդիրը.

Ինչպե՞ս գտնել ուղղության վեկտոր՝ օգտագործելով ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը:

Շատ պարզ.

Եթե ​​ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ընդհանուր հավասարմամբ ուղիղ տրված է, ապա վեկտորը այս ուղիղի ուղղության վեկտորն է:

Ուղիղ գծերի ուղղության վեկտորների որոնման օրինակներ.

Հայտարարությունը թույլ է տալիս մեզ գտնել միայն մեկ ուղղության վեկտոր անսահման թվից, բայց մեզ ավելին պետք չէ: Թեև որոշ դեպքերում նպատակահարմար է նվազեցնել ուղղության վեկտորների կոորդինատները.

Այսպիսով, հավասարումը սահմանում է ուղիղ գիծ, ​​որը զուգահեռ է առանցքին, և արդյունքում ստացված ուղղության վեկտորի կոորդինատները հարմարորեն բաժանվում են –2-ի, ստանալով հենց հիմնական վեկտորը որպես ուղղության վեկտոր: Տրամաբանական.

Նմանապես, հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, ​​և վեկտորի կոորդինատները բաժանելով 5-ի, մենք ստանում ենք ort վեկտորը որպես ուղղության վեկտոր:

Հիմա եկեք դա անենք ստուգելով օրինակ 3. Օրինակը բարձրացավ, ուստի հիշեցնում եմ ձեզ, որ դրանում մենք կազմել ենք ուղիղ գծի հավասարումը՝ օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր

Նախ, օգտագործելով ուղիղ գծի հավասարումը, մենք վերակառուցում ենք նրա ուղղության վեկտորը. – ամեն ինչ լավ է, մենք ստացել ենք սկզբնական վեկտորը (որոշ դեպքերում արդյունքը կարող է լինել սկզբնական վեկտորի համագիծը, և դա սովորաբար հեշտ է նկատել համապատասխան կոորդինատների համաչափությամբ):

Երկրորդ, կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն հավասարմանը։ Մենք դրանք փոխարինում ենք հավասարման մեջ.

Ճիշտ հավասարություն է ստացվել, ինչի համար մենք շատ ուրախ ենք։

ԵզրակացությունԱռաջադրանքը ճիշտ է կատարվել:

Օրինակ 4

Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարում՝ օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Լուծումը և պատասխանը՝ դասի վերջում։ Խիստ նպատակահարմար է ստուգել՝ օգտագործելով հենց նոր քննարկված ալգորիթմը: Փորձեք միշտ (եթե հնարավոր է) ստուգել սևագիրը: Հիմարություն է սխալներ թույլ տալ, որտեղ դրանցից կարելի է 100%-ով խուսափել:

Այն դեպքում, երբ ուղղության վեկտորի կոորդինատներից մեկը զրո է, շարունակեք շատ պարզ.

Օրինակ 5

ԼուծումԲանաձևը հարմար չէ, քանի որ աջ կողմի հայտարարը զրո է: Ելք կա՛։ Օգտագործելով համամասնության հատկությունները, մենք վերագրում ենք բանաձևը ձևով, իսկ մնացածը գլորվում է խորը փոսով.

Պատասխանել:

Փորձաքննություն:

1) Վերականգնել ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը.
– ստացված վեկտորը համակողմանի է սկզբնական ուղղության վեկտորին:

2) կետի կոորդինատները փոխարինի՛ր հավասարման մեջ.

Ստացվում է ճիշտ հավասարություն

Եզրակացություն: առաջադրանքը ճիշտ է կատարվել

Հարց է առաջանում՝ ինչո՞ւ անհանգստանալ բանաձեւով, եթե կա ունիվերսալ տարբերակ, որն ամեն դեպքում կաշխատի։ Երկու պատճառ կա. Նախ, բանաձևը կոտորակի տեսքով է շատ ավելի լավ է հիշել. Եվ երկրորդ՝ թերությունը ունիվերսալ բանաձեւդա է շփոթվելու վտանգը զգալիորեն մեծանում էկոորդինատները փոխարինելիս.

Օրինակ 6

Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարում՝ օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր:

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։

Վերադառնանք ամենուր տարածված երկու կետերին.

Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարում` օգտագործելով երկու կետ:

Եթե ​​հայտնի է երկու կետ, ապա այս կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է կազմել՝ օգտագործելով բանաձևը.

Իրականում սա բանաձևի տեսակ է և ահա թե ինչու. եթե հայտնի է երկու կետ, ապա վեկտորը կլինի տվյալ ուղիղի ուղղության վեկտորը։ Դասարանում Վեկտորներ կեղծամների համարմենք համարել ենք ամենապարզ առաջադրանքը- ինչպես գտնել վեկտորի կոորդինատները երկու կետից: Ըստ այս խնդրի՝ ուղղության վեկտորի կոորդինատներն են.

Նշում : կետերը կարող են «փոխանակվել» և բանաձևը կարող է օգտագործվել . Նման լուծումը համարժեք կլինի։

Օրինակ 7

Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարում՝ օգտագործելով երկու կետ .

ԼուծումՄենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Հայտարարների սանրում.

Եվ խառնել տախտակամածը.

Հենց հիմա հարմար է ձերբազատվել կոտորակային թվերից։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է երկու կողմերը բազմապատկել 6-ով.

Բացեք փակագծերը և հիշեք հավասարումը.

Պատասխանել:

Փորձաքննությունակնհայտ է. սկզբնական կետերի կոորդինատները պետք է բավարարեն ստացված հավասարումը.

1) կետի կոորդինատները փոխարինել.

Իրական հավասարություն.

2) կետի կոորդինատները փոխարինել.

Իրական հավասարություն.

ԵզրակացությունՏողի հավասարումը ճիշտ է գրված։

Եթե առնվազն մեկըկետերից չի բավարարում հավասարումը, փնտրեք սխալ:

Հարկ է նշել, որ այս դեպքում գրաֆիկական ստուգումը դժվար է, քանի որ ուղիղ գիծ կառուցելը և կետերը պատկանում են դրան. , ոչ այնքան պարզ:

Ես կնշեմ լուծման ևս մի քանի տեխնիկական ասպեկտներ: Թերևս այս հարցում ավելի ձեռնտու է օգտագործել հայելու բանաձևը և նույն կետերում կազմել հավասարում.

Ավելի քիչ կոտորակներ: Եթե ​​ցանկանում եք, կարող եք լուծումը հասցնել մինչև վերջ, արդյունքը պետք է լինի նույն հավասարումը։

Երկրորդ կետը պետք է դիտարկել վերջնական պատասխանը և պարզել, թե արդյոք այն կարելի՞ է ավելի պարզեցնել: Օրինակ, եթե դուք ստանում եք հավասարումը, ապա խորհուրդ է տրվում կրճատել այն երկուով. – հավասարումը կսահմանի նույն ուղիղ գիծը: Սակայն սա արդեն խոսակցության թեմա է գծերի հարաբերական դիրքը.

Պատասխանը ստանալով Օրինակ 7-ում, ամեն դեպքում, ես ստուգեցի, թե արդյոք հավասարման ԲՈԼՈՐ գործակիցները բաժանվում են 2-ի, 3-ի կամ 7-ի: Չնայած, ամենից հաճախ նման կրճատումներ կատարվում են լուծման ժամանակ:

Օրինակ 8

Գրի՛ր կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը .

Սա անկախ լուծման օրինակ է, որը թույլ կտա ավելի լավ հասկանալ և կիրառել հաշվարկման տեխնիկան:

Նախորդ պարբերության նման. եթե բանաձևում Հայտարարներից մեկը (ուղղության վեկտորի կոորդինատը) դառնում է զրո, այնուհետև այն վերագրում ենք . Կրկին նկատեք, թե որքան անհարմար և շփոթված տեսք ունի նա: Ես բերելու շատ իմաստ չեմ տեսնում գործնական օրինակներ, քանի որ մենք արդեն փաստացի լուծել ենք նման խնդիր (տե՛ս թիվ 5, 6)։

Ուղղակի նորմալ վեկտոր (նորմալ վեկտոր)

Ինչն է նորմալ: Պարզ բառերով, նորմալն ուղղահայաց է։ Այսինքն՝ ուղիղի նորմալ վեկտորը ուղղահայաց է տրված ուղղին։ Ակնհայտ է, որ ցանկացած ուղիղ գիծ ունի դրանց անսահման թիվը (ինչպես նաև ուղղության վեկտորները), և ուղիղ գծի բոլոր նորմալ վեկտորները կլինեն միաձույլ (համաուղղված, թե ոչ, դա տարբերություն չունի):

Նրանց հետ գործ ունենալը նույնիսկ ավելի հեշտ կլինի, քան ուղեցույց վեկտորների հետ.

Եթե ​​ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ընդհանուր հավասարմամբ ուղիղ տրված է, ապա վեկտորը այս ուղիղի նորմալ վեկտորն է։

Եթե ​​ուղղության վեկտորի կոորդինատները պետք է զգուշորեն «հանել» հավասարումից, ապա նորմալ վեկտորի կոորդինատները կարելի է պարզապես «հեռացնել»:

Նորմալ վեկտորը միշտ ուղղահայաց է ուղղի ուղղության վեկտորին: Եկեք ստուգենք այս վեկտորների ուղղանկյունությունը՝ օգտագործելով կետային արտադրանք:

Ես օրինակներ կտամ նույն հավասարումներով, ինչ ուղղության վեկտորի համար.

Հնարավո՞ր է ուղիղ գծի հավասարում կառուցել մեկ կետով և նորմալ վեկտորով: Ես դա զգում եմ իմ աղիքներում, դա հնարավոր է: Եթե ​​նորմալ վեկտորը հայտնի է, ապա ուղիղ գծի ուղղությունը ինքնին հստակորեն սահմանված է. սա «կոշտ կառուցվածք» է 90 աստիճանի անկյան տակ:

Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարում` տրված կետով և նորմալ վեկտորով:

Եթե ​​ուղիղին պատկանող որոշակի կետ և այս ուղիղի նորմալ վեկտորը հայտնի է, ապա այս ուղիղի հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.

Այստեղ ամեն ինչ ստացվեց առանց կոտորակների և այլ անակնկալների։ Սա մեր նորմալ վեկտորն է: Սիրիր նրան։ Եվ հարգանք =)

Օրինակ 9

Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարում, որը տրված է կետով և նորմալ վեկտորով: Գտեք գծի ուղղության վեկտորը:

ԼուծումՄենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը ստացվել է, եկեք ստուգենք.

1) «Հանել» նորմալ վեկտորի կոորդինատները հավասարումից. – այո, իսկապես, սկզբնական վեկտորը ստացվել է պայմանից (կամ պետք է ստացվի համագիծ վեկտոր):

2) Ստուգենք՝ արդյոք կետը բավարարում է հավասարմանը.

Իրական հավասարություն.

Այն բանից հետո, երբ համոզվենք, որ հավասարումը ճիշտ է կազմված, մենք կկատարենք առաջադրանքի երկրորդ՝ ավելի հեշտ մասը։ Մենք հանում ենք ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը.

Պատասխանել:

Նկարում իրավիճակը հետևյալն է.

Վերապատրաստման նպատակների համար նման խնդիր ինքնուրույն լուծելու համար.

Օրինակ 10

Կետից գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարում և նորմալ վեկտոր. Գտեք գծի ուղղության վեկտորը:

Դասի վերջին բաժինը նվիրված կլինի հարթության վրա գծի հավասարումների ավելի քիչ տարածված, բայց նաև կարևոր տեսակներին.

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.
Գծի հավասարումը պարամետրային ձևով

Հատվածներում ուղիղ գծի հավասարումը ունի ձև, որտեղ ոչ զրոյական հաստատուններ են: Հավասարումների որոշ տեսակներ չեն կարող ներկայացված լինել այս ձևով, օրինակ՝ ուղիղ համեմատական ​​(քանի որ ազատ անդամը հավասար է զրոյի, և աջ կողմում մեկը ստանալու միջոց չկա)։

Սա, պատկերավոր ասած, «տեխնիկական» հավասարման տեսակ է։ Ընդհանուր խնդիր է գծի ընդհանուր հավասարումը ներկայացնել որպես գծի հավասարում հատվածներում: Ինչպես է դա հարմար: Հատվածներով ուղիղի հավասարումը թույլ է տալիս արագ գտնել գծի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներ, որը կարող է շատ կարևոր լինել բարձրագույն մաթեմատիկայի որոշ խնդիրներում։

Գտնենք գծի առանցքի հետ հատման կետը։ Մենք «y»-ը զրոյի ենք դնում, և հավասարումը ստանում է ձևը: Ցանկալի միավորը ստացվում է ավտոմատ կերպով.

Նույնը առանցքի հետ - այն կետը, որտեղ ուղիղ գիծը հատում է օրդինատների առանցքը:

Հավասարում կազմել նշանակում է մաթեմատիկական ձևով արտահայտել խնդրի (հայտնի) տվյալների և դրա ցանկալի (անհայտ) մեծությունների միջև կապը: Երբեմն այս կապն այնքան հստակ է պարունակվում խնդրի ձևակերպման մեջ, որ հավասարում կազմելը պարզապես խնդրի բառացի վերապատմում է՝ մաթեմատիկական նշանների լեզվով։

Օրինակ 1. Պետրովը աշխատանքի համար ստացել է 160 ռուբլի: Իվանովի ստացած գումարի կեսից ավելին։ Նրանք միասին ստացել են 1120 ռուբլի։ Որքա՞ն են ստացել Պետրովն ու Իվանովը իրենց աշխատանքի համար. Իվանովի վաստակը նշանակենք x-ով։ Նրա վաստակի կեսը կազմում է 0,5 անգամ; Պետրովի ամսական եկամուտը կազմում է 0,5x + 160, նրանք միասին վաստակում են 1120 ռուբլի; վերջին արտահայտության մաթեմատիկական նշումը կլինի

(0,5x + 160) + x = 1120:

Հավասարումն ամբողջական է։ Լուծելով այն ժամանակին հաստատված կանոնների համաձայն, մենք գտնում ենք, որ Իվանովի եկամուտը x = 640 ռուբլի; Պետրովի եկամուտը կազմում է 0,5x + 160 = 480 (ռուբ.):

Ավելի հաճախ, քան ոչ, պատահում է, որ տվյալների և պահանջվող քանակությունների միջև կապն ուղղակիորեն նշված չէ խնդրի մեջ. այն պետք է սահմանվի՝ հիմնվելով խնդրի պայմանների վրա։ Գործնական խնդիրներում դա գրեթե միշտ է լինում։ Հենց նոր բերված օրինակը անհասկանալի է. կյանքում գրեթե երբեք չի հանդիպում նման խնդիրների։

Հետեւաբար, հավասարումը կազմելու համար լիովին համապարփակ հրահանգներ չեն կարող տրվել։ Սակայն սկզբում օգտակար է առաջնորդվել հետեւյալով. Եկեք վերցնենք պատահականորեն ընտրված մի քանի թիվ (կամ մի քանի թվեր) որպես ցանկալի քանակի (կամ մի քանի քանակի) արժեք և մեզ խնդիր դնենք ստուգելու՝ արդյոք ճիշտ ենք գուշակել։ ճիշտ որոշումառաջադրանքներ, թե ոչ: Եթե ​​մենք կարողանայինք իրականացնել այս ստուգումը և պարզել, որ մեր գուշակությունը ճիշտ է, կամ սխալ է (վերջինս, ամենայն հավանականությամբ, տեղի կունենա, իհարկե), ապա մենք կարող ենք անմիջապես ստեղծել անհրաժեշտ հավասարումը (կամ մի քանի հավասարումներ): Մասնավորապես, մենք կգրենք հենց այն գործողությունները, որոնք կատարել ենք ստուգման համար, միայն պատահականորեն վերցված թվի փոխարեն մուտքագրելու ենք անհայտ արժեքի այբբենական նշան։ Մենք կստանանք պահանջվող հավասարումը.

Օրինակ 2. Պղնձի և ցինկի համաձուլվածքի մի կտոր 1 դմ3 ծավալով կշռում է 8,14 կգ։ Որքա՞ն պղինձ կա համաձուլվածքում: (պղնձի տեսակարար կշիռը՝ 8,9 կգ/դմ3; ցինկ՝ 7,0 կգ/դմ3):

Պատահականորեն վերցնենք մի թիվ, որն արտահայտում է պղնձի պահանջվող ծավալը, օրինակ 0,3 դմ3։ Եկեք ստուգենք, թե արդյոք մենք հաջողությամբ ստացել ենք այս թիվը: Քանի որ 1 կգ/դմ3 պղինձը կշռում է 8,9 կգ, ապա 0,3 դմ3 կշռում է 8,9 * 0,3 = 2,67 (կգ): Խառնուրդում ցինկի ծավալը 1 - 0,3 = 0,7 (դմ3) է: Նրա քաշը 7.0 0.7 = 4.9 (կգ): Ցինկի և պղնձի ընդհանուր քաշը կազմում է 2,67 + + 4,9 = 7,57 (կգ): Մինչդեռ մեր կտորի քաշը, ըստ խնդրի պայմանների, 8,14 կգ է։ Մեր ենթադրությունն անհիմն է։ Բայց հետո մենք անմիջապես կստանանք հավասարում, որի լուծումը կտա ճիշտ պատասխանը։ Պատահականորեն ընտրված 0,3 դմ3 թվի փոխարեն պղնձի ծավալը (դմ3-ով) նշանակենք x-ով։ 8,9 0,3 = 2,67 արտադրյալի փոխարեն վերցնում ենք 8,9 x արտադրյալները։ Սա պղնձի քաշն է համաձուլվածքի մեջ։ 1 - 0.3 = 0.7 փոխարեն մենք վերցնում ենք 1 - x; սա ցինկի ծավալն է: 7.0 0.7 = 4.9-ի փոխարեն մենք վերցնում ենք 7.0 (1 - x); սա ցինկի քաշն է: 2.67 + 4.9-ի փոխարեն վերցնում ենք 8.9 x + 7.0 (1 - x); սա ցինկի և պղնձի ընդհանուր քաշն է: Ըստ պայմանի՝ հավասար է 8,14 կգ; դա նշանակում է 8,9 x + 7,0 (1 - x) = 8,14:

Այս հավասարման լուծումը տալիս է x = 0,6: Պատահական որոշման ստուգումը կարող է իրականացվել տարբեր ձևերով. համապատասխանաբար, կարելի է ձեռք բերել նույն խնդրի համար տարբեր տեսակներհավասարումներ; դրանք բոլորը, սակայն, կտան նույն լուծումը ցանկալի մեծության համար, այդպիսի հավասարումները կոչվում են միմյանց համարժեք.

Իհարկե, հավասարումներ կազմելու հմտություններ ձեռք բերելուց հետո պատահական վերցված թիվը ստուգելու կարիք չկա. ցանկալի քանակի արժեքի համար կարելի է վերցնել ոչ թե թիվ, այլ ինչ-որ տառ (x, y և այլն) և գործել։ կարծես այս տառը (անհայտ) այն համարն է, որը մենք պատրաստվում ենք ստուգել: