Ֆունկցիայի ածանցյալ. Մանրամասն տեսություն՝ օրինակներով. Կեղծիքների համար ածանցյալի լուծում. սահմանում, ինչպես գտնել, լուծումների օրինակներ Գործառույթի ածանցյալի բանաձևը կետում

Մաթեմատիկայում ֆիզիկական խնդիրների կամ օրինակների լուծումը լիովին անհնար է առանց ածանցյալի և դրա հաշվարկման մեթոդների իմացության: Ածանցյալը մաթեմատիկական վերլուծության ամենակարեւոր հասկացություններից մեկն է: Մենք որոշեցինք այսօրվա հոդվածը նվիրել այս հիմնարար թեմային: Ի՞նչ է ածանցյալը, ի՞նչ ֆիզիկական և երկրաչափական նշանակություն ունի, ինչպե՞ս հաշվարկել ֆունկցիայի ածանցյալը։ Այս բոլոր հարցերը կարելի է միավորել մեկի մեջ՝ ինչպե՞ս հասկանալ ածանցյալը:

Ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը

Թող ֆունկցիա լինի f(x) , նշված է որոշակի ընդմիջումով (ա, բ) . Այս միջակայքին են պատկանում x և x0 կետերը: Երբ x-ը փոխվում է, ֆունկցիան ինքնին փոխվում է: Փաստարկի փոփոխություն՝ դրա արժեքների տարբերությունը x-x0 . Այս տարբերությունը գրված է այսպես դելտա x և կոչվում է արգումենտի ավելացում։ Ֆունկցիայի փոփոխությունը կամ աճը երկու կետում ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունն է: Ածանցյալի սահմանում.

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերության սահմանն է փաստարկի աճին, երբ վերջինս հակված է զրոյի:

Հակառակ դեպքում կարելի է գրել այսպես.

Ի՞նչ իմաստ ունի նման սահման գտնելը։ Եվ ահա թե ինչ է դա.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է OX առանցքի և տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող անկյան շոշափմանը:

Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը. ուղու ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ հավասար է ուղղագիծ շարժման արագությանը։

Իսկապես, դպրոցական օրերից բոլորը գիտեն, որ արագությունը որոշակի ճանապարհ է x=f(t) և ժամանակ տ . Միջին արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում.

Ժամանակի ընթացքում շարժման արագությունը պարզելու համար t0 Դուք պետք է հաշվարկեք սահմանը.

Կանոն առաջին. սահմանել հաստատուն

Հաստատունը կարելի է հանել ածանցյալ նշանից։ Ավելին, դա պետք է արվի։ Մաթեմատիկայում օրինակներ լուծելիս ընդունեք որպես կանոն. Եթե ​​դուք կարող եք պարզեցնել արտահայտությունը, համոզվեք, որ այն պարզեցրեք .

Օրինակ. Եկեք հաշվարկենք ածանցյալը.

Կանոն երկրորդ՝ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին։ Նույնը վերաբերում է ֆունկցիաների տարբերության ածանցյալին։

Մենք չենք տա այս թեորեմի ապացույցը, այլ ավելի շուտ դիտարկենք գործնական օրինակ:

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Երրորդ կանոն՝ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալ

Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ՝ գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Լուծում:

Այստեղ կարևոր է խոսել բարդ ֆունկցիաների ածանցյալների հաշվարկման մասին։ Կոմպլեքս ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ և միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Վերոնշյալ օրինակում մենք հանդիպում ենք արտահայտության.

Այս դեպքում միջանկյալ արգումենտը 8x է հինգերորդ ուժին: Նման արտահայտության ածանցյալը հաշվարկելու համար մենք նախ հաշվարկում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը միջանկյալ արգումենտի նկատմամբ, այնուհետև բազմապատկում ենք բուն միջանկյալ փաստարկի ածանցյալով անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Չորրորդ կանոն՝ երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալի որոշման բանաձևը.

Մենք փորձեցինք խոսել զրոյից ածանցյալների մասին: Այս թեման այնքան էլ պարզ չէ, որքան թվում է, այնպես որ զգուշացե՛ք. օրինակներում հաճախ են որոգայթներ, ուստի զգույշ եղեք ածանցյալները հաշվարկելիս:

Այս և այլ թեմաների վերաբերյալ ցանկացած հարցով կարող եք կապվել ուսանողական ծառայության հետ: Կարճ ժամանակում մենք կօգնենք ձեզ լուծել ամենադժվար թեստը և հասկանալ առաջադրանքները, նույնիսկ եթե նախկինում երբեք չեք արել ածանցյալ հաշվարկներ։

Ֆունկցիայի ածանցյալը դպրոցական ուսումնական ծրագրի բարդ թեմաներից է։ Ամեն շրջանավարտ չէ, որ կպատասխանի այն հարցին, թե ինչ է ածանցյալը:

Այս հոդվածը պարզ և պարզ ձևով բացատրում է, թե ինչ է ածանցյալը և ինչու է այն անհրաժեշտ:. Այժմ մենք չենք ձգտի ներկայացման մեջ մաթեմատիկական խստության: Ամենակարևորը իմաստը հասկանալն է։

Հիշենք սահմանումը.

Ածանցյալը ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է։

Նկարում ներկայացված են երեք ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ձեր կարծիքով ո՞ր մեկն է ավելի արագ աճում:

Պատասխանն ակնհայտ է՝ երրորդը։ Այն ունի փոփոխության ամենաբարձր ցուցանիշը, այսինքն՝ ամենամեծ ածանցյալը։

Ահա ևս մեկ օրինակ.

Կոստյան, Գրիշան և Մատվեյը միաժամանակ աշխատանք գտան։ Տեսնենք, թե տարվա ընթացքում ինչպես են փոխվել նրանց եկամուտները.

Գրաֆիկը միանգամից ցույց է տալիս ամեն ինչ, այնպես չէ՞: Կոստյայի եկամուտը վեց ամսում ավելի քան կրկնապատկվել է. Եվ Գրիշայի եկամուտը նույնպես ավելացավ, բայց մի փոքր: Իսկ Մատվեյի եկամուտը նվազել է զրոյի։ Մեկնարկային պայմանները նույնն են, բայց ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, այսինքն ածանցյալ, - տարբեր. Ինչ վերաբերում է Մատվեյին, ապա նրա եկամուտների ածանցյալը ընդհանուր առմամբ բացասական է։

Ինտուիտիվ կերպով մենք հեշտությամբ գնահատում ենք ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը: Բայց ինչպես ենք մենք դա անում:

Այն, ինչ մենք իրականում նայում ենք, այն է, թե ֆունկցիայի գրաֆիկը որքան կտրուկ է բարձրանում (կամ իջնում): Այլ կերպ ասած, որքան արագ է փոխվում y-ը, երբ x-ը փոխվում է: Ակնհայտ է, որ տարբեր կետերում նույն ֆունկցիան կարող է ունենալ տարբեր ածանցյալ արժեքներ, այսինքն՝ այն կարող է փոխվել ավելի արագ կամ դանդաղ:

Նշվում է ֆունկցիայի ածանցյալը:

Մենք ձեզ ցույց կտանք, թե ինչպես գտնել այն գրաֆիկի միջոցով:

Կազմվել է որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկ: Վերցնենք մի կետ, որի վրա կա աբսցիսա: Եկեք այս պահին գծենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող: Մենք ցանկանում ենք գնահատել, թե որքան կտրուկ է բարձրանում ֆունկցիայի գրաֆիկը: Դրա համար հարմար արժեք է շոշափող անկյան շոշափող.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափող անկյան շոշափմանը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ որպես շոշափողի թեքության անկյուն մենք վերցնում ենք շոշափողի և առանցքի դրական ուղղության անկյունը:

Երբեմն ուսանողները հարցնում են, թե ինչ է ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը: Սա ուղիղ գիծ է, որն ունի մեկ ընդհանուր կետ այս հատվածի գրաֆիկի հետ և ինչպես ցույց է տրված մեր նկարում: Այն կարծես շոշափում է շրջանագծին:

Եկեք գտնենք այն: Մենք հիշում ենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան շոշափողը հավասար է հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությանը: Եռանկյունից.

Մենք գտանք ածանցյալը՝ օգտագործելով գրաֆիկ՝ առանց նույնիսկ ֆունկցիայի բանաձևի իմանալու։ Նման խնդիրներ հաճախ հանդիպում են մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունում թվի տակ։

Կա ևս մեկ կարևոր հարաբերություն. Հիշեցնենք, որ ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ

Այս հավասարման մեջ մեծությունը կոչվում է ուղիղ գծի թեքություն. Այն հավասար է առանցքի ուղիղ գծի թեքության անկյան շոշափմանը։

.

Մենք դա հասկանում ենք

Հիշենք այս բանաձեւը. Այն արտահայտում է ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը։

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի թեքությանը:

Այսինքն՝ ածանցյալը հավասար է շոշափողի անկյան շոշափմանը։

Մենք արդեն ասացինք, որ նույն ֆունկցիան կարող է տարբեր կետերում ունենալ տարբեր ածանցյալներ։ Տեսնենք, թե ինչպես է ածանցյալը կապված ֆունկցիայի վարքագծի հետ։

Եկեք գծենք որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկ։ Թող այս ֆունկցիան որոշ ոլորտներում ավելանա, իսկ որոշ հատվածներում՝ նվազի, և տարբեր տեմպերով: Եվ թող այս ֆունկցիան ունենա առավելագույն և նվազագույն միավորներ։

Մի կետում ֆունկցիան մեծանում է: Կետում գծված գրաֆիկին շոշափողը առանցքի դրական ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն: Սա նշանակում է, որ կետում ածանցյալը դրական է:

Այդ պահին մեր ֆունկցիան նվազում է։ Այս կետում շոշափողը առանցքի դրական ուղղության հետ բութ անկյուն է կազմում: Քանի որ բութ անկյան շոշափողը բացասական է, կետի ածանցյալը բացասական է:

Ահա թե ինչ է տեղի ունենում.

Եթե ​​ֆունկցիան աճում է, ապա դրա ածանցյալը դրական է:

Եթե ​​այն նվազում է, նրա ածանցյալը բացասական է։

Ի՞նչ կլինի առավելագույն և նվազագույն կետերում: Մենք տեսնում ենք, որ կետերում (առավելագույն կետ) և (նվազագույն կետ) շոշափողը հորիզոնական է: Ուստի այս կետերում շոշափողի շոշափողը զրո է, իսկ ածանցյալը նույնպես զրո է։

Կետ - առավելագույն միավոր: Այս պահին ֆունկցիայի աճը փոխարինվում է նվազմամբ։ Հետևաբար, ածանցյալի նշանը «պլյուս»-ից «մինուս» կետում փոխվում է:

Կետում՝ նվազագույն կետում, ածանցյալը նույնպես զրո է, բայց դրա նշանը «մինուսից» փոխվում է «գումարած»:

Եզրակացություն. օգտագործելով ածանցյալը, մենք կարող ենք պարզել այն ամենը, ինչը մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի վարքագծի վերաբերյալ:

Եթե ​​ածանցյալը դրական է, ապա ֆունկցիան մեծանում է։

Եթե ​​ածանցյալը բացասական է, ապա ֆունկցիան նվազում է։

Առավելագույն կետում ածանցյալը զրոյական է և նշանը փոխում է «գումարածից» «մինուսի»:

Նվազագույն կետում ածանցյալը նույնպես զրո է և նշանը փոխում է մինուսից դեպի գումարած:

Այս եզրակացությունները գրենք աղյուսակի տեսքով.

	ավելանում է	առավելագույն միավոր	նվազում է	նվազագույն միավոր	ավելանում է
+	0	-	0	+

Անենք երկու փոքր պարզաբանում. Դրանցից մեկը ձեզ պետք կգա USE-ի խնդիրները լուծելիս: Մեկ այլ՝ առաջին տարում՝ ֆունկցիաների և ածանցյալների ավելի լուրջ ուսումնասիրությամբ։

Հնարավոր է, որ ֆունկցիայի ածանցյալը ինչ-որ կետում հավասար է զրոյի, բայց ֆունկցիան այս պահին չունի ոչ առավելագույն, ոչ էլ նվազագույն: Սա այսպես կոչված :

Մի կետում գրաֆիկի շոշափողը հորիզոնական է, իսկ ածանցյալը` զրո: Այնուամենայնիվ, կետից առաջ ֆունկցիան աճել է, իսկ կետից հետո այն շարունակում է աճել: Ածանցյալի նշանը չի փոխվում. այն մնում է դրական, ինչպես եղել է:

Պատահում է նաև, որ առավելագույնի կամ նվազագույնի կետում ածանցյալը գոյություն չունի։ Գրաֆիկի վրա դա համապատասխանում է կտրուկ ընդմիջմանը, երբ տվյալ կետում անհնար է շոշափել:

Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը, եթե ֆունկցիան տրված է ոչ թե գրաֆիկով, այլ բանաձևով: Այս դեպքում դա վերաբերում է

Որպես նշան կարելի է հանել ածանցյալ:

(af(x)" =af "(x).

Օրինակ:

Հանրահաշվական գումարի ածանցյալմի քանի ֆունկցիա (վերցված հաստատուն թվերով) հավասար է դրանց հանրահաշվական գումարին ածանցյալներ:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2" (x) - f 3" (x):

Օրինակ:

(0.3 x 2 - 2 x + 0.8)" = (0.3 x 2)" - (2 x)" + (0.8)" = 0.6 x - 2 ( ածանցյալվերջին ժամկետըհավասարումը զրո է):

Եթե ֆունկցիայի ածանցյալ g-ն ոչ զրոյական է, ապա ունի նաև f/g հարաբերակցությունը վերջնական ածանցյալ. Այս հատկությունը կարելի է գրել այսպես.

.

Թող գործառույթները y = f(x) և y = g(x) ունեն վերջավոր ածանցյալներ x 0 կետում: Հետո գործառույթները f ± g և f g ունեն նաև վերջավոր ածանցյալներ մեջսա կետ. Այնուհետև մենք ստանում ենք.

(f ± g) ′ = f ′± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′:

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Թող ֆունկցիան y = f(x) ունի վերջավոր ածանցյալ մի կետում x 0, z = s(y) ֆունկցիան ունի վերջավոր ածանցյալ y կետում 0 = f(x 0):

Հետո բարդ գործառույթ z = s (f(x)) այս կետում ունի նաև վերջավոր ածանցյալ: Վերը նշվածը կարելի է գրել հետևյալ ձևով.

.

Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալ.

Թող y = f(x) ֆունկցիան ունենա հակադարձ ֆունկցիա x = g(y) որոշների վրա ընդմիջում(ա, բ) և կա ոչ զրո վերջնական ածանցյալայս ֆունկցիան x 0 կետում, որը պատկանում է սահմանման տիրույթ, այսինքն. x 0 ∈ (a, b).

Հետո հակադարձ ֆունկցիաունի ածանցյալկետում y 0 = f(x 0):

.

Իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալ:

Եթե ֆունկցիան y = f(x) տրված է անուղղակիորեն հավասարումը F(x, y(x)) = 0, ապա դրա ածանցյալհայտնաբերվում է պայմանից.

.

Նրանք դա ասում են ֆունկցիան y = f(x) անուղղակիորեն նշված էեթե նա նույնությամբբավարարում է հարաբերությունը.

որտեղ F(x, y) երկու արգումենտների ինչ-որ ֆունկցիա է:

Պարամետրականորեն սահմանված ֆունկցիայի ածանցյալ:

Եթե ֆունկցիան y = f(x)-ը պարամետրականորեն նշվում է՝ օգտագործելով դիտարկվածը

Շատ հեշտ է հիշել:

Դե, եկեք հեռու չգնանք, անմիջապես դիտարկենք հակադարձ գործառույթը: Ո՞ր ֆունկցիան է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձ. Լոգարիթմ:

Մեր դեպքում հիմքը համարն է.

Նման լոգարիթմը (այսինքն՝ հիմք ունեցող լոգարիթմը) կոչվում է «բնական», և դրա համար մենք օգտագործում ենք հատուկ նշում՝ փոխարենը գրում ենք։

Ինչի՞ն է դա հավասար։ Իհարկե։

Բնական լոգարիթմի ածանցյալը նույնպես շատ պարզ է.

Օրինակներ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.
2. Ո՞րն է ֆունկցիայի ածանցյալը:

Պատասխաններ: Էքսպոնենցիալ և բնական լոգարիթմը ածանցյալ տեսանկյունից եզակի պարզ ֆունկցիաներ են: Ցանկացած այլ հիմքի հետ էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաները կունենան այլ ածանցյալ, որը մենք կվերլուծենք ավելի ուշ՝ տարբերակման կանոնները անցնելուց հետո։

Տարբերակման կանոններ

Ինչի կանոններ. Կրկին նոր ժամկետ, էլի՞...

Տարբերակումածանցյալը գտնելու գործընթացն է։

Այսքանը: Ուրիշ ինչ կարող եք անվանել այս գործընթացը մեկ բառով: Ոչ ածանցյալ... Մաթեմատիկոսները դիֆերենցիալն անվանում են ֆունկցիայի նույն աճը: Այս տերմինը գալիս է լատիներեն տարբերակից՝ տարբերություն։ Այստեղ.

Այս բոլոր կանոնները բխեցնելիս մենք կօգտագործենք երկու գործառույթ, օրինակ և. Մեզ անհրաժեշտ կլինեն նաև դրանց ավելացման բանաձևեր.

Ընդհանուր առմամբ կա 5 կանոն.

հաստատունը հանվում է ածանցյալ նշանից։

Եթե ​​- ինչ-որ հաստատուն թիվ (հաստատուն), ապա.

Ակնհայտ է, որ այս կանոնը նույնպես գործում է տարբերության համար.

Եկեք ապացուցենք դա։ Թող լինի, կամ ավելի պարզ:

Օրինակներ.

Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.

1. մի կետում;
2. մի կետում;
3. մի կետում;
4. կետում։

Լուծումներ:

1. (ածանցյալը բոլոր կետերում նույնն է, քանի որ գծային ֆունկցիա է, հիշու՞մ եք):

Արտադրանքի ածանցյալ

Այստեղ ամեն ինչ նման է. եկեք ներկայացնենք նոր գործառույթ և գտնենք դրա աճը.

Ածանցյալ:

Օրինակներ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները և.
2. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում:

Լուծումներ:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

Այժմ ձեր գիտելիքները բավարար են, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես գտնել ցանկացած էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալը, և ոչ միայն ցուցիչները (մոռացե՞լ եք, թե դա ինչ է դեռ):

Այսպիսով, որտեղ է որոշ թիվ:

Մենք արդեն գիտենք ֆունկցիայի ածանցյալը, ուստի եկեք փորձենք մեր ֆունկցիան բերել նոր հիմքի.

Դա անելու համար մենք կօգտագործենք պարզ կանոն. Ապա.

Դե, ստացվեց: Այժմ փորձեք գտնել ածանցյալը և մի մոռացեք, որ այս ֆունկցիան բարդ է:

Արդյո՞ք դա աշխատեց:

Ահա, ստուգեք ինքներդ.

Բանաձևը շատ նման է ցուցիչի ածանցյալին. ինչպես եղել է, այնպես էլ մնացել է, հայտնվել է միայն գործակիցը, որն ընդամենը թիվ է, բայց ոչ փոփոխական։

Օրինակներ.
Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.

Պատասխաններ:

Սա ընդամենը մի թիվ է, որը հնարավոր չէ հաշվարկել առանց հաշվիչի, այսինքն՝ այն չի կարելի գրել ավելի պարզ ձևով։ Ուստի պատասխանում թողնում ենք այս տեսքով.

Նկատի ունեցեք, որ այստեղ երկու ֆունկցիաների քանորդն է, ուստի մենք կիրառում ենք համապատասխան տարբերակման կանոնը.

Այս օրինակում երկու ֆունկցիաների արտադրյալը.

Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ

Այստեղ նման է. դուք արդեն գիտեք բնական լոգարիթմի ածանցյալը.

Հետևաբար, այլ հիմքով կամայական լոգարիթմ գտնելու համար, օրինակ.

Մենք պետք է կրճատենք այս լոգարիթմը մինչև հիմք: Ինչպե՞ս փոխել լոգարիթմի հիմքը: Հուսով եմ հիշում եք այս բանաձևը.

Միայն հիմա փոխարենը կգրենք.

Հայտարարը պարզապես հաստատուն է (հաստատուն թիվ, առանց փոփոխականի): Ածանցյալը ստացվում է շատ պարզ.

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաների ածանցյալներ Միասնական պետական ​​քննությունում գրեթե երբեք չեն գտնվում, բայց դրանց իմացությունը ավելորդ չի լինի։

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Ի՞նչ է «բարդ ֆունկցիան»: Ոչ, սա լոգարիթմ չէ և արկտանգենս չէ: Այս ֆունկցիաները կարող են դժվար հասկանալի լինել (չնայած եթե լոգարիթմը ձեզ համար դժվար է, կարդացեք «Լոգարիթմներ» թեման և լավ կլինեք), բայց մաթեմատիկական տեսանկյունից «բարդ» բառը չի նշանակում «դժվար»:

Պատկերացրեք մի փոքրիկ փոխակրիչ. երկու հոգի նստած են և ինչ-որ գործողություններ են կատարում որոշ առարկաների հետ: Օրինակ՝ առաջինը շոկոլադե սալիկը փաթաթում է փաթաթանով, իսկ երկրորդը կապում է ժապավենով։ Արդյունքը կոմպոզիտային առարկա է՝ շոկոլադե սալիկ, որը փաթաթված և կապվում է ժապավենով: Շոկոլադե սալիկ ուտելու համար հարկավոր է հակառակ քայլերն անել հակառակ հերթականությամբ։

Եկեք ստեղծենք նմանատիպ մաթեմատիկական խողովակաշար՝ նախ կգտնենք թվի կոսինուսը, իսկ հետո ստացված թիվը քառակուսի կդնենք։ Այսպիսով, մեզ տրվում է թիվ (շոկոլադ), ես գտնում եմ դրա կոսինուսը (փաթաթան), այնուհետև դու քառակուսի ես դնում իմ ստացածը (կապում ես ժապավենով): Ի՞նչ է պատահել։ Գործառույթ. Սա բարդ ֆունկցիայի օրինակ է. երբ դրա արժեքը գտնելու համար մենք կատարում ենք առաջին գործողությունը ուղղակիորեն փոփոխականի հետ, իսկ հետո երկրորդ գործողությունը՝ առաջինից ստացվածով:

Այլ կերպ ասած, կոմպլեքս ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի արգումենտը մեկ այլ ֆունկցիա է: .

Մեր օրինակի համար.

Մենք կարող ենք հեշտությամբ կատարել նույն քայլերը հակառակ հերթականությամբ. սկզբում դուք քառակուսի եք դնում այն, իսկ հետո ես փնտրում եմ ստացված թվի կոսինուսը՝ . Հեշտ է կռահել, որ արդյունքը գրեթե միշտ տարբեր կլինի։ Բարդ ֆունկցիաների կարևոր հատկանիշ. երբ փոխվում է գործողությունների հերթականությունը, ֆունկցիան փոխվում է։

Երկրորդ օրինակ. (նույն բանը): .

Այն գործողությունը, որը մենք վերջին անգամ ենք անում, կկոչվի «արտաքին» գործառույթը, և գործողությունը կատարվեց առաջինը `համապատասխանաբար «ներքին» գործառույթը(սրանք ոչ պաշտոնական անուններ են, ես դրանք օգտագործում եմ միայն նյութը պարզ լեզվով բացատրելու համար):

Փորձեք ինքներդ որոշել, թե որ գործառույթն է արտաքին և որը ներքին.

Պատասխաններ:Ներքին և արտաքին ֆունկցիաների տարանջատումը շատ նման է փոփոխականների փոփոխմանը. օրինակ՝ ֆունկցիայի մեջ

1. Ի՞նչ գործողություն ենք մենք առաջինը կատարելու: Նախ, եկեք հաշվարկենք սինուսը և միայն այնուհետև խորանարդենք այն: Սա նշանակում է, որ դա ներքին ֆունկցիա է, բայց արտաքին։
   Իսկ սկզբնական գործառույթը նրանց կազմն է.
2. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
3. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
4. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
5. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.

Փոխում ենք փոփոխականները և ստանում ֆունկցիա։

Դե, հիմա մենք կքաղենք մեր շոկոլադե սալիկը և կփնտրենք ածանցյալը: Գործընթացը միշտ հակադարձվում է՝ սկզբում փնտրում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, այնուհետև արդյունքը բազմապատկում ենք ներքին ֆունկցիայի ածանցյալով։ Բնօրինակի օրինակի հետ կապված, այն ունի հետևյալ տեսքը.

Մեկ այլ օրինակ.

Այսպիսով, վերջապես ձևակերպենք պաշտոնական կանոնը.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.

Պարզ է թվում, չէ՞:

Եկեք ստուգենք օրինակներով.

Լուծումներ:

1) Ներքին՝ ;

Արտաքին:

2) ներքին՝ ;

(ուղղակի մի փորձեք կտրել այն մինչ այժմ: Կոսինուսի տակից ոչինչ դուրս չի գալիս, հիշո՞ւմ եք):

3) ներքին՝ ;

Արտաքին:

Միանգամից պարզ է դառնում, որ սա եռաստիճան բարդ ֆունկցիա է. ի վերջո, սա արդեն ինքնին բարդ ֆունկցիա է, և մենք դրանից հանում ենք նաև արմատը, այսինքն՝ կատարում ենք երրորդ գործողությունը (շոկոլադը դնում ենք փաթաթայի մեջ։ և պայուսակի մեջ ժապավենով): Բայց վախենալու պատճառ չկա. մենք դեռ «կբացենք» այս գործառույթը սովորական հերթականությամբ՝ վերջից:

Այսինքն՝ սկզբում տարբերում ենք արմատը, հետո կոսինուսը, հետո միայն փակագծերում արտահայտությունը։ Եվ հետո մենք բազմապատկում ենք այդ ամենը:

Նման դեպքերում հարմար է համարակալել գործողությունները։ Այսինքն՝ պատկերացնենք, թե ինչ գիտենք։ Ի՞նչ հերթականությամբ ենք մենք կատարելու գործողություններ այս արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար: Դիտարկենք օրինակ.

Որքան ուշ կատարվի գործողությունը, այնքան ավելի «արտաքին» կլինի համապատասխան գործառույթը։ Գործողությունների հաջորդականությունը նույնն է, ինչ նախկինում.

Այստեղ բնադրումը հիմնականում 4 մակարդակ է։ Եկեք որոշենք գործողությունների ընթացքը.

1. Արմատական ​​արտահայտություն. .

2. Արմատ. .

3. Սինուս. .

4. Քառակուսի. .

5. Բոլորը միասին դնելով.

ածանցյալ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Ֆունկցիայի ածանցյալ- ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը փաստարկի անվերջ փոքր աճի փաստարկի աճին.

Հիմնական ածանցյալներ.

Տարբերակման կանոններ.

Հաստատունը հանվում է ածանցյալ նշանից.

Գումարի ածանցյալը.

Արտադրանքի ածանցյալը.

Գործակիցի ածանցյալ.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.

1. Մենք սահմանում ենք «ներքին» ֆունկցիան և գտնում դրա ածանցյալը:
2. Մենք սահմանում ենք «արտաքին» ֆունկցիան և գտնում դրա ածանցյալը:
3. Մենք բազմապատկում ենք առաջին և երկրորդ կետերի արդյունքները։