Հարմոնիկ գծայինացման մեթոդ. Լաբորատոր աշխատանքի ուղեցույց. Հարմոնիկ գծայինացման մեթոդ. Լաբորատոր աշխատանքի ուղեցույցներ Հարմոնիկ գծայինացման մեթոդ կառավարման համակարգերի համար

Երբ ներդաշնակ ազդանշան է կիրառվում գծային համակարգի մուտքի վրա

Համակարգի ելքում հաստատվում է նաև ներդաշնակ ազդանշան, բայց մուտքի համեմատ տարբեր ամպլիտուդով և փուլով: Եթե ​​ոչ գծային տարրի մուտքի վրա կիրառվում է սինուսոիդային ազդանշան, ապա դրա ելքում ձևավորվում են պարբերական տատանումներ, սակայն դրանց ձևը զգալիորեն տարբերվում է սինուսոիդայինից։ Որպես օրինակ Նկ. Նկար 8.17-ը ցույց է տալիս ռելեի հատկանիշով (8.14) ոչ գծային տարրի ելքային փոփոխականի փոփոխության բնույթը, երբ սինուսոիդային տատանումները (8.18) հասնում են դրա մուտքին:

Ընդարձակելով պարբերական ազդանշանը ոչ գծային տարրի ելքի վրա Ֆուրիեի շարքի մեջ, մենք այն ներկայացնում ենք որպես հաստատուն բաղադրիչի և անսահման թվով ներդաշնակ բաղադրիչների գումար.

, (8.19)

Որտեղ – Ֆուրիեի շարքի հաստատուն գործակիցներ; - առաջին ներդաշնակության (հիմնական հաճախականության) տատանումների հաճախականությունը, որը հավասար է մուտքային սինուսոիդային տատանումների հաճախականությանը. T -

առաջին ներդաշնակության տատանումների ժամանակաշրջանը, որը հավասար է մուտքային սինուսոիդային տատանումների ժամանակաշրջանին:

Ոչ գծային տարրի ելքային ազդանշանը սնվում է ACS-ի գծային մասի մուտքին (տես նկ. 8.1), որը, որպես կանոն, ունի զգալի իներցիա։ Այս դեպքում ազդանշանի բարձր հաճախականության բաղադրիչները (8.19) գործնականում չեն անցնում համակարգի ելքին, այսինքն. գծային մասը զտիչ է բարձր հաճախականության ներդաշնակ բաղադրիչների նկատմամբ: Այս առումով, և նաև հաշվի առնելով, որ ներդաշնակ բաղադրիչների ամպլիտուդները նվազում են ներդաշնակության հաճախականության աճի հետ, ոչ գծային տարրի ելքային արժեքի մոտավոր գնահատման համար, մեծ թվով դեպքերում բավական է հաշվի առնել միայն. առաջին ներդաշնակ բաղադրիչը:

Հետևաբար, ելքային տատանումներում հաստատուն բաղադրիչի բացակայության դեպքում արտահայտությունը (8.19) կարելի է մոտավորապես գրել այսպես. Ֆունկցիան արտահայտելով բանաձևից (8.20) և ածանցյալից - գործառույթ

. (8.21)

, մենք (8.20) արտահայտությունը փոխակերպում ենք հետևյալ կերպ.

Այսպիսով, ելքային մեծության ոչ գծային կախվածությունը մուտքային քանակից ոչ գծային տարրի մեջ մոտավորապես փոխարինվում է (8.21) արտահայտությամբ նկարագրված գծային կախվածությամբ:

Կատարելով Լապլասի փոխակերպումը արտահայտության մեջ (8.21), մենք ստանում ենք. ոչ գծային ներդաշնակորեն գծային տարրի փոխանցման ֆունկցիա , որպես ելքային քանակի պատկերի հարաբերակցությունը մուտքային քանակի պատկերին.

. (8.22)

Աղյուսակ 8.1

Հարմոնիկ գծայինացման գործակիցները բնորոշ ոչ գծայինության համար

Ոչ գծային տարրի ստատիկ բնութագիրը
Գծային բնութագիր մեռած ժապավենով
Սահմանափակմամբ գծային բնութագիր
Գծային բնութագիր մեռյալ շերտով և սահմանափակումով
Հակազդեցության հատկանիշ
Իդեալական ռելեի բնութագիր
Միանշանակ ռելեի բնորոշ մեռած ժապավենով
Ոչ միանշանակ ռելե, որը բնորոշ է մեռած գոտուն
Խորանարդ պարաբոլա.
Բնութագրական «հիստերեզի հանգույց»

Ոչ գծային տարրի փոխանցման ֆունկցիան էական տարբերություն ունի գծային համակարգի փոխանցման ֆունկցիայից, քանի որ այն կախված է մուտքային ազդանշանի ամպլիտուդից և հաճախականությունից։

Մենք գրում ենք արտահայտությունը (8.22) ձևով.

ք(Ա) + ք 1 (Ա), (8.23)

Որտեղ q(A),ք 1 (Ա)- ներդաշնակ գծայինացման գործակիցներ, որոնք սահմանվում են որպես Ֆուրիեի շարքի գործակիցների հարաբերակցությունը ելքային տատանումների առաջին ներդաշնակության համար մուտքային տատանումների ամպլիտուդիային.

ք(Ա) = ք 1 (Ա) = . (8.24)

Արտահայտության մեջ փոխարինում (8.23) rվրա, մենք ստանում ենք արտահայտությունը համար ոչ գծային տարրի բարդ փոխանցման գործակիցը :

ք(Ա) +ժ ք 1 (Ա), (8.25)

որը AFC-ի անալոգն է գծային կապի համար:

Որպես օրինակ՝ սահմանենք ռելեի ստատիկ բնութագրիչով ոչ գծային տարրի հաղորդման բարդ գործակցի արտահայտությունը (8.14): Ֆուրիեի շարքի գործակիցները Ա 1 Եվ Բ 1 նշված ոչ գծայինության համար հավասար են.

Բ 1 .

Ակնհայտ է, որ գործակիցը Բ 1 հավասար կլինի զրոյի կենտ-սիմետրիկ ստատիկ ոչ գծային ցանկացած ոչ գծային տարրի համար:

Որտեղ - համակարգի գծային մասի փոխանցման ֆունկցիա; - Ոչ գծային տարրի փոխանցման գործառույթը գծայինացումից հետո:

Եթե , ապա արտահայտությունը (8.26) կարելի է գրել այսպես.

Արտահայտության մեջ փոխարինում (8.27) rվրա, մենք ստանում ենք բարդ արտահայտություն, որում անհրաժեշտ է տարբերակել իրական և երևակայական մասերը.

[ ք(Ա) +ժ ք 1 (Ա) ] . (8.28)

Այս դեպքում հաճախականությամբ և ամպլիտուդով համակարգում պարբերական տատանումների առաջացման պայմանը գրում ենք.

(8.29)

Եթե ​​համակարգի (8.29) լուծումները բարդ են կամ բացասական, ապա համակարգում ինքնատատանումների ռեժիմն անհնար է։ Դրական իրական լուծումների առկայությունը և ցույց է տալիս համակարգում ինքնատատանումների առկայությունը, որոնք պետք է ստուգվեն կայունության համար:

Որպես օրինակ՝ մենք կգտնենք ինքնորոշման տատանումների առաջացման պայմանները ավտոմատ կառավարման համակարգում, եթե դրա գծային մասի փոխանցման ֆունկցիան հավասար է.

(8.30)

և «հիստերեզի հանգույց» տեսակի ոչ գծային տարր:

Ներդաշնակորեն գծային ոչ գծային տարրի փոխանցման ֆունկցիան (տես Աղյուսակ 8.1) ունի ձև.

. (8.31)

(8.30) և (8.31) արտահայտությունները փոխարինել (8.26) արտահայտությամբ և փոխարինել rվրա, մենք գտնում ենք արտահայտություն՝

Այստեղից, համաձայն (8.29) արտահայտության, մենք ստանում ենք հետևյալ պայմանները համակարգում ինքնատատանումների առաջացման համար.

Հավասարումների համակարգի լուծումը (8.29) սովորաբար դժվար է, քանի որ ներդաշնակ գծայինացման գործակիցները բարդ կախվածություն ունեն մուտքային ազդանշանի ամպլիտուդից: Բացի այդ, ամպլիտուդը և հաճախականությունը որոշելուց բացի, անհրաժեշտ է գնահատել համակարգում ինքնատատանումների կայունությունը։

Ոչ գծային համակարգում ինքնուրույն տատանումների առաջացման պայմանները և սահմանային ցիկլերի պարամետրերը կարելի է ուսումնասիրել հաճախականության կայունության չափանիշների միջոցով, օրինակ՝ Nyquist կայունության չափանիշը։ Այս չափանիշի համաձայն, ավտոմատ տատանումների առկայության դեպքում բաց հանգույցի ներդաշնակորեն գծային համակարգի ամպլիտուդա-փուլային բնութագրիչը հավասար է.

անցնում է (-1, j0) կետով։ Հետևաբար, համար և հետևյալ հավասարությունը գործում է.

. (8.32)

Ինքնատատանումների հաճախականության և ամպլիտուդի վերաբերյալ (8.32) հավասարման լուծումը կարելի է ստանալ գրաֆիկորեն: Դա անելու համար բարդ հարթության վրա անհրաժեշտ է, հաճախականությունը 0-ից փոխելով մինչև , կառուցել համակարգի գծային մասի AFC-ի հոդոգրաֆը և փոխելով ամպլիտուդը: Ա 0-ից մինչև , մինուս նշանով վերցված ոչ գծային մասի հակադարձ բնութագրիչի հոդոգրաֆը: Եթե ​​այդ հոդոգրաֆները չեն հատվում, ապա ուսումնասիրվող համակարգում ինքնահոսքի ռեժիմ գոյություն չունի (նկ. 8.18, բ):

Երբ հոդոգրաֆները հատվում են (նկ. 8.18, ա), համակարգում առաջանում են ինքնատատանումներ, որոնց հաճախականությունը և ամպլիտուդը որոշվում են հատման կետի արժեքներով և արժեքներով:

Եթե ​​և - հատվում են մի քանի կետերում (նկ. 8.18, ա), ապա դա ցույց է տալիս համակարգում մի քանի սահմանային ցիկլերի առկայությունը: Այս դեպքում համակարգում տատանումները կարող են լինել կայուն և անկայուն:

Ինքնատատանողական ռեժիմի կայունությունը գնահատվում է հետևյալ կերպ. Ինքնատատանման ռեժիմը կայուն է, եթե ոչ գծային մասի հոդոգրաֆի վրա գտնվող կետը, որը համապատասխանում է հոդոգրաֆների հատման կետի արժեքից մեծ ամպլիտուդին, չի ծածկված գծային մասի հաճախականության արձագանքի հոդոգրաֆով: համակարգը։ Հակառակ դեպքում, ինքնահոսքի ռեժիմն անկայուն է:

Նկ. 8.18, իսկ հոդոգրաֆները հատվում են 1-ին և 2-րդ կետերում: Կետ 1 որոշում է ինքնուրույն տատանումների անկայուն ռեժիմը, քանի որ բարձրացված ամպլիտուդին համապատասխան հոդոգրաֆիկ կետը ծածկված է համակարգի գծային մասի հաճախականության արձագանքի հոդոգրաֆով: 2-րդ կետը համապատասխանում է ինքնորոշման տատանումների կայուն ռեժիմին, որի ամպլիտուդը որոշվում է հոդոգրաֆով, իսկ հաճախականությունը՝ հոդոգրաֆով։

Որպես օրինակ՝ եկեք գնահատենք ինքնատատանումների կայունությունը երկու ոչ գծային համակարգերում։ Մենք կենթադրենք, որ այս համակարգերի գծային մասերի փոխանցման ֆունկցիաները համընկնում են և հավասար են.

,

բայց դրանցում ներառված ոչ գծային տարրերը տարբեր են։ Թող առաջին համակարգը ներառի ոչ գծային տարր «իդեալական ռելե», որը նկարագրված է համակարգով (8.14), իսկ երկրորդ համակարգը ներառում է ստատիկ բնութագրիչ «խորանարդ պարաբոլա» ունեցող ոչ գծային տարր: Օգտագործելով աղյուսակ 8.1-ի տվյալները՝ մենք ստանում ենք.

Նկ. 8.19-ը ցույց է տալիս այս համակարգերի հոդոգրաֆները համակարգի գծային մասի ԱՖԿ-ի հոդոգրաֆի հետ միասին: Ելնելով վերոգրյալից՝ կարելի է պնդել, որ առաջին համակարգում առաջանում են հաճախականությամբ և ամպլիտուդով կայուն ինքնատատանումներ, իսկ երկրորդում՝ անկայուն։

Ներդաշնակ գծայինացման գործակիցների հաշվարկը ցույց տանք մի քանի օրինակներով՝ նախ սիմետրիկ թրթռումների, իսկ հետո՝ ասիմետրիկների համար: Նախ նկատենք, որ եթե F(x) կենտ-սիմետրիկ ոչ գծայինությունը միարժեք է, ապա, ըստ (4.11) և (4.10), մենք ստանում ենք.

և հաշվարկելիս ք(4.11) մենք կարող ենք սահմանափակվել ինտեգրմամբ մեկ քառորդ ժամանակահատվածում, քառապատկելով արդյունքը, մասնավորապես.

Օղակի ոչ գծայինության համար F(x) (կենտ-սիմետրիկ), ամբողջական արտահայտությունը (4.10) կպահպանվի.

և կարող եք օգտագործել բանաձևերը

այսինքն՝ կրկնապատկելով ինտեգրման արդյունքը կես ցիկլի ընթացքում:

Օրինակ 1. Եկեք ուսումնասիրենք խորանարդային ոչ գծայինությունը (նկ. 4.4, i):

Կախվածություն ք(ա)ցույց է տրված Նկ. 4.4, բ.Սկսած Նկ. 4.4, Ապարզ է, որ տվյալ ամպլիտուդի համար ես ուղիղ եմ q(a)xմիջինում է F(x) կորագիծ կախվածությունը տրվածից

հողամաս -a£ X£ . Ա. Բնականաբար, դա թույն է ք(ա)այս միջինացված գծի թեքությունը q(a)xմեծանում է ամպլիտուդով Ա(խորանարդային հատկանիշի համար այս աճը տեղի է ունենում քառակուսի օրենքի համաձայն):

Օրինակ 2. Ուսումնասիրենք օղակի ռելեի բնութագիրը (նկ. 4.5, ա): Նկ. 4.5,6 (4.21) բանաձևերի F(a sin y) ինտեգրացիոն ֆունկցիան ներկայացված է: Ռելեի անջատումը տեղի է ունենում ½-ում X½= բ , Հետեւաբար, միացման պահին y1 արժեքը որոշվում է sin y1= b արտահայտությամբ /Ա.Օգտագործելով բանաձևերը (4.21) մենք ստանում ենք (համար ա³բ)

Նկ. 4.5, b-ը ցույց է տալիս q(a) և ք» (ա).Դրանցից առաջինը ցույց է տալիս միջինացված ուղիղ գծի թեքության փոփոխությունը q( Ա)x sփոփոխություն Ա(տես նկ. 4.5, ա): Բնականաբար, ք( ա)à0 aa¥ at, քանի որ ելքային ազդանշանը մնում է հաստատուն (F( x)=գ) մուտքային ազդանշանի ցանկացած անսահմանափակ աճի համար X.Ֆիզիկական նկատառումներից էլ պարզ է դառնում, թե ինչու ք" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сиг­нала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что ք" < 0. Абсолют­ное значение ք"նվազում է a ամպլիտուդի աճով, քանի որ պարզ է, որ հանգույցը կզբաղեցնի F բնութագրիչի «աշխատանքային հատվածի» փոքր մասը x), այնքան մեծ է փոփոխականի տատանումների ամպլիտուդը X.

Նման ոչ գծայինության ամպլիտուդա-փուլային բնութագիրը (նկ. 4.5, ա), համաձայն (4.13): ներկայացված ձևով

Ավելին, առաջին ներդաշնակության ամպլիտուդը և փուլը ոչ գծային ելքում ունեն համապատասխանաբար ձև.

Որտեղ քԵվ ք"վերը սահմանված (նկ. 4.5, բ): Հետևաբար, ներդաշնակ գծայինացումը փոխակերպում է ոչ գծային կոորդինատային ուշացումը (հիստերեզի հանգույց) համարժեք փուլային ուշացման, որը բնորոշ է գծային համակարգերին, բայց էական տարբերությամբ՝ ֆազային տեղաշարժի կախվածությունը մուտքային տատանումների ամպլիտուդից, որը չկա գծային համակարգերում։ .

Օրինակ 3. Մենք ուսումնասիրում ենք ռելեի միանշանակ բնութագրերը (նկ. 4.6, ա. V).Նախորդին նման, մենք համապատասխանաբար ստանում ենք

ինչ ցույց է տրված Նկ. 4.6, բ, ա.

Օրինակ 4. Ուսումնասիրենք մեռած գոտիով, գծային հատվածով և հագեցվածությամբ բնութագիրը (նկ. 4.7, ա): Այստեղ ք"= 0, իսկ գործակիցը ք(ա) ունի արժեքների երկու տարբերակ՝ համաձայն Նկ. 4.7, b, որտեղ F (a sin y) կառուցված է նրանց համար.

1) b1 £ a £ b2-ի համար, համաձայն (4.19), մենք ունենք

որ հաշվի առնելով հարաբերակցությունը ամեղք y1 = բ 1 տալիս է

2) ³ b2-ի համար

որը, հաշվի առնելով a sin y2 = b2 կապը տալիս է

Արդյունքը գրաֆիկորեն ներկայացված է Նկ. 4.7, ա.

Օրինակ 5. Որպես հատուկ դեպքեր՝ համապատասխան գործակիցները ք(ա)երկու բնութագրերի համար (նկ. 4.8, ա, բ) հավասար են

որը գրաֆիկորեն ներկայացված է Նկ. 4.8, բ, դ.Ընդ որում, հագեցվածությամբ հատկանիշի համար (նկ. 4.8, ա) ունենք q= k 0 £-ով ա£ բ.

Այժմ ցույց տանք ներդաշնակության գծայինացման գործակիցների հաշվարկման օրինակներ ասիմետրիկ թրթռումների համարնույն ոչ գծերով։

Օրինակ 6. Խորանարդային ոչ գծայինության դեպքում F( x) =kx 3համաձայն (4.16) բանաձևի ունենք

և ըստ բանաձևերի (4.17)

Օրինակ 7. Օղակի ռելեի բնութագրի համար (նկ. 4.5, Ա)օգտագործելով նույն բանաձևերը, որոնք մենք ունենք

Օրինակ 8. Մեռած գոտի ունեցող հատկանիշի համար (նկ. 4.1:1) կկիրառվեն նույն արտահայտությունները. F°Եվ ք.Նրանց գրաֆիկները ներկայացված են Նկ. 4.9, ա, բ.Միևնույն ժամանակ ք"== 0. Իդեալական ռելեի բնութագրի համար (նկ. 4.10) մենք ստանում ենք

ինչ ցույց է տրված Նկ. 4.10, ա և բ.

Օրինակ 9. Գծային հատվածի q հագեցվածությամբ բնութագրիչի համար (նկ. 4.11, ա) ³ b+½-ի համար x 0 ½ մենք ունենք

Այս կախվածությունները ներկայացված են գծապատկերների տեսքով Նկ. 4.11, բ,Վ.

Օրինակ 10. Ասիմետրիկ բնութագրի համար

(նկ. 4. 12, ա) (4.l6) բանաձևով մենք գտնում ենք

և ըստ բանաձևերի (4.17)

Արդյունքները գրաֆիկորեն ներկայացված են Նկ. 4.12, բԵվ Վ.

Այս օրինակներում ստացված ներդաշնակ գծայինացման գործակիցների արտահայտություններն ու գրաֆիկները կօգտագործվեն ստորև՝ հետազոտական ​​խնդիրները լուծելիս.

ինքնուրույն տատանումներ, հարկադիր տատանումներ և վերահսկման գործընթացներ։

Համակարգի գծային մասի ֆիլտրի հատկության հիման վրա (Դասախոսություն 12) մենք փնտրում ենք ոչ գծային համակարգի պարբերական լուծում (նկ. 4.21) ոչ գծային տարրի մուտքի մոտ մոտավորապես ձևով.

x = aմեղք w տ (4.50)

անծանոթ մարդկանց հետ Աև w. Նշված է ոչ գծայինության ձևը = F( x) և գծային մասի փոխանցման ֆունկցիան

Կատարվում է ոչ գծայինության ներդաշնակ գծայնացում

ինչը հանգեցնում է փոխանցման ֆունկցիայի

Բաց միացումային համակարգի ամպլիտուդա-ֆազային հաճախականության արձագանքը ձև է ստանում

Գծային համակարգի (4.50) պարբերական լուծումը ստացվում է, եթե փակ համակարգի բնորոշ հավասարման մեջ կա զուտ երևակայական զույգ արմատներ։

Եվ ըստ Nyquist չափանիշի՝ սա համապատասխանում է հատվածին Վ(ժզ) -1 կետով. Հետևաբար, պարբերական լուծումը (4.50) որոշվում է հավասարությամբ

Հավասարումը (4.51) որոշում է պահանջվող ամպլիտուդը Աև պարբերական լուծման w հաճախականությունը: Այս հավասարումը գրաֆիկորեն կարելի է լուծել հետևյալ կերպ. Համալիր հարթության վրա (U, V) գծային մասի ամպլիտուդա-ֆազային հաճախականության արձագանքը Wl( ժ w) (նկ. 4.22), ինչպես նաև ոչ գծայինության հակադարձ ամպլիտուդա-փուլային հատկանիշը հակառակ նշանով -1. / Wn( ա). Կետ INդրանց խաչմերուկը (նկ. 4.22) և որոշում է արժեքները Աև w, և արժեքը Ահաշվված կորի երկայնքով -1 / Wн (ա) , իսկ w-ի արժեքը ըստ Wл կորի (jw):

Փոխարենը, մենք կարող ենք օգտագործել երկու սկալյար հավասարումներ, որոնք հետևում են (4.51) և (4.52):

որոնք նույնպես որոշում են երկու փնտրվող քանակությունները Աև w.

Ավելի հարմար է օգտագործել վերջին երկու հավասարումները լոգարիթմական մասշտաբով, օգտագործելով լոգարիթմական

գծային մասի հաճախականության բնութագրերը. Այնուհետև (4.53) և (4.54) փոխարեն կունենանք հետևյալ երկու հավասարումները.

Նկ. 4.23 ձախ կողմում պատկերված են (4.55) և (4.56) հավասարումների ձախ կողմի գծապատկերները, իսկ աջ կողմում՝ այս հավասարումների աջ կողմերը: Այս դեպքում, ձախ կողմում գտնվող աբսցիսայի առանցքի երկայնքով, w հաճախականությունը գծագրվում է, ինչպես միշտ, լոգարիթմական սանդղակով, իսկ աջ կողմում ամպլիտուդն է: Աբնական մասշտաբով. Այս հավասարումների լուծումը կլինի հետևյալ արժեքները Աև w, այնպես որ երկու հավասարությունները (4.55) և (4.56) միաժամանակ պահպանվեն: Այս լուծումը ներկայացված է Նկ. 4.23 ուղղանկյունի տեսքով բարակ գծերով։

Ակնհայտ է, որ հնարավոր չի լինի միանգամից կռահել այս լուծումը։ Հետևաբար, փորձեր են արվում՝ ցույց տրված գծերով։ Այս փորձնական M1 և M2 ուղղանկյունների վերջին կետերը չեն ընկնում ոչ գծայինության բնորոշ փուլի վրա: Բայց եթե դրանք տեղակայված են բնութագրի երկու կողմերում, ինչպես Նկ. 4.23, ապա լուծումը գտնում են ինտերպոլացիայի միջոցով՝ ուղիղ գծով MM1 .

Պարբերական լուծում գտնելը պարզեցվում է միանշանակ ոչ գծայինության դեպքում F( X). Հետո ք"= 0, և (4.55) և (4.56) հավասարումները ձև են ստանում

Լուծումը ներկայացված է Նկ. 4.24.

Բրինձ . 4.24.

Պարբերական լուծումը որոշելուց հետո անհրաժեշտ է ուսումնասիրել դրա կայունությունը: Ինչպես արդեն նշվեց, պարբերական լուծումը տեղի է ունենում այն ​​դեպքում, երբ բաց միացման ամպլիտուդաֆազային բնութագիրը

անցնում է -1 կետով: Ամպլիտուդին տանք շեղում D Ա. Համակարգը կվերադառնա պարբերական լուծման, եթե Դ Ա> 0 տատանումները մարում են, իսկ Դ Ա < 0 - расходятся. Следовательно, при DԱ> 0 բնութագրիչ W(jw, Ա) պետք է դեֆորմացվի (նկ. 4.25) այնպես, որ Դ Ա> 0 Nyquist կայունության չափանիշը բավարարվել է, իսկ Դ Ա < 0 - нарушался.

Այսպիսով, պահանջվում է, որ տվյալ հաճախականությամբ w լինի

Հետևում է, որ Նկ. 4.22 դրական ամպլիտուդի ընթերցում Ակորի երկայնքով -1/Wн ( Ա) պետք է ուղղվի ներսից դեպի արտաքին Wл կորի միջով (jw) , ինչպես ցույց է տրված սլաքը: Հակառակ դեպքում, պարբերական լուծումը անկայուն է:

Եկեք նայենք օրինակներին:

Թող ուժեղացուցիչը հետևող համակարգում (նկ. 4.13, ա) ունենա ռելեի հատկանիշ(Նկար 4.17, Ա). Pa Նկ. 4.17, բՀարմոնիկ գծայինացման գործակցի գրաֆիկ q( Ա), և ք» ( Ա) =0. Պարբերական լուծումը որոշելու համար հաճախականության մեթոդով, համաձայն Նկ. 4.22, մենք պետք է ուսումնասիրենք արտահայտությունը

Բանաձևից (4.24) մենք ստանում ենք այս ոչ գծայինությունը

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 4.26.

Գծային մասի փոխանցման ֆունկցիան ունի ձև

Դրա համար ամպլիտուդա-փուլային բնութագիրը ներկայացված է Նկ. 4.27. Ֆունկցիան -1 / Wn ( Ա), լինելով իրական տվյալ դեպքում (նկ. 4.26), ամբողջությամբ տեղավորվում է իրական առանցքի բացասական մասի վրա (նկ. 4.27): Այս դեպքում, ամպլիտուդի փոփոխության տարածքում b £ ա£ b ամպլիտուդը չափվում է ձախից դրսից դեպի կորի Wл(jw), իսկ հատվածում. Ա> բ - հակառակ ուղղությամբ։ Այսպիսով, առաջին հատման կետը ( Ա 1) տալիս է անկայուն պարբերական լուծում, իսկ երկրորդը ( Ա 2) - կայուն (ինքնուրույն տատանումներ): Սա համահունչ է նախորդ լուծմանը (օրինակ 2 դասախոսություն 15, 16):

Դիտարկենք նաև դեպքը հանգույցի ռելեի բնութագրերը(նկ. 4.28, ա) նույն հետագծման համակարգում (նկ. 4.13, ա): Գծային մասի ամպլիտուդա-ֆազային հաճախականության արձագանքը նույնն է (նկ. 4.28, բ): Կորի արտահայտությունը –1/Wн( Ա), համաձայն (4.52) և (4.23), ընդունում է ձևը

Սա աբսցիսայի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ է (նկ. 4.28, բ), ամպլիտուդային ընթերցմամբ Աաջից ձախ: Խաչմերուկը կտա կայուն պարբերական լուծում (ինքնա-տատանումներ)։ Լայնության և հաճախականության գրաֆիկներ ստանալու համար

-ից կլ , ներկայացված Նկ. 4.20, անհրաժեշտ է Նկ. 4.28 յուրաքանչյուր արժեքի համար կառուցել Wл(jw) կորերի շարք կ l և գտնել իրենց հատման կետերում –1/Wн ( Ա) համապատասխան արժեքներ Աև w.

Ինչպես արդեն նշվեց, ոչ գծային և հատկապես ռելեային ASR-ներում, կայուն պարբերական տատանումներհաստատուն ամպլիտուդ եւ հաճախականություն, այսպես կոչված ինքնուրույն տատանումներ. Ավելին, ինքնուրույն տատանումները կարող են պահպանվել նույնիսկ համակարգի պարամետրերի զգալի փոփոխությունների դեպքում: Պրակտիկան ցույց է տվել, որ շատ դեպքերում կառավարվող փոփոխականի (նկ. 3) տատանումները մոտ են ներդաշնակությանը։

Ինքնատատանումների հարևանությունը ներդաշնակներին թույլ է տալիս օգտագործել ներդաշնակ գծայինացման մեթոդը՝ դրանց պարամետրերը որոշելու համար՝ A ամպլիտուդը և հաճախականությունը w 0: Մեթոդը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ համակարգի գծային մասը ցածր անցումային զտիչ է (ֆիլտրի վարկած): Եկեք որոշենք այն պայմանները, որոնց դեպքում համակարգում տատանումները կարող են մոտ լինել ներդաշնակությանը: Եկեք սահմանափակվենք այնպիսի համակարգերով, որոնք, ինչպես Նկ. 3-ը կարող է կրճատվել մինչև ոչ գծային տարրի և գծային մասի սերիական միացում: Ենթադրենք, որ հղման ազդանշանը պարզության համար հաստատուն արժեք է, այն հավասար կլինի զրոյի. Իսկ սխալի ազդանշանը (Նկար 3) ներդաշնակ է.

Ոչ գծային տարրի ելքային ազդանշանը, ինչպես ցանկացած պարբերական ազդանշան - Նկար 3-ում դրանք ուղղանկյուն տատանումներ են - կարող է ներկայացվել որպես Ֆուրիեի շարքի ներդաշնակությունների գումար:

Ենթադրենք, որ համակարգի գծային մասը ցածր անցումային զտիչ է (նկ. 4) և անցնում է միայն առաջին ներդաշնակությունը w 0 հաճախականությամբ։ Երկրորդը 2w 0 հաճախականությամբ և ավելի բարձր ներդաշնակությամբ զտվում է գծային մասով։ Այս դեպքում, վրա գծային ելք մասերը գործնականում գոյություն կունենան միայն առաջին հարմոնիկ , և ավելի բարձր ներդաշնակության ազդեցությունը կարող է անտեսվել

Այսպիսով, եթե համակարգի գծային մասը ցածր անցումային ֆիլտր է, և ինքնահոսքերի հաճախականությունը w 0 բավարարում է պայմանները.

, (4)

Այն ենթադրությունը, որ համակարգի գծային մասը ցածր անցումային զտիչ է, կոչվում է ֆիլտրի վարկած . Ֆիլտրի վարկածը միշտ բավարարվում է, եթե գծային մասի փոխանցման ֆունկցիայի հայտարարի և համարիչի բազմանդամների աստիճանների տարբերությունը.

առնվազն երկու

Շատ իրական համակարգերի համար (6) պայմանը բավարարված է: Օրինակ՝ երկրորդ կարգի պարբերական կապը և իրական ինտեգրումը

Հարմոնիկին մոտ ինքնա-տատանումները ուսումնասիրելիս հաշվի է առնվում ոչ գծային տարրի ելքում միայն պարբերական տատանումների առաջին ներդաշնակությունը, քանի որ ավելի բարձր հարմոնիկները դեռ գործնականում զտվում են գծային մասով: Ինքնատատանման ռեժիմում այն ​​իրականացվում է ներդաշնակ գծայինացում ոչ գծային տարր. Ոչ գծային տարրը փոխարինվում է համարժեք գծային տարրով բարդ շահույթ (նկարագրող ֆունկցիա)՝ կախված մուտքային ներդաշնակ ազդանշանի ամպլիտուդից.

որտեղ և գտնվում են իրական և երևակայական մասերը,

- փաստարկ,

- մոդուլ.

Ընդհանուր դեպքում դա կախված է ինչպես ինքնահոսքերի ամպլիտուդից ու հաճախականությունից, այնպես էլ հաստատուն բաղադրիչից։ Ոչ գծային տարրի ֆիզիկապես բարդ շահույթը, որն ավելի հաճախ կոչվում է ներդաշնակ գծայինացման գործակից , Կա Ոչ գծային տարրի համալիր շահույթ առաջին ներդաշնակության ժամանակ. Հարմոնիկ գծայինացման գործակցի մոդուլը

թվայինորեն հավասար է ոչ գծային տարրի ելքում առաջին ներդաշնակության ամպլիտուդի հարաբերությանը և մուտքային ներդաշնակ ազդանշանի ամպլիտուդին:

Փաստարկ

բնութագրում է փուլային տեղաշարժը ելքային տատանումների առաջին ներդաշնակության և մուտքային ներդաշնակ ազդանշանի միջև: Միանշանակ ոչ գծայինության համար, ինչպիսին, օրինակ, Նկ. 2,a և 2,b, իրական արտահայտություն և

Երկիմաստ ոչ գծայինությունների համար Նկ. 2,c, 2,d, որոշվում է բանաձևով

որտեղ S-ը հիստերեզի հանգույցի տարածքն է: S տարածքը վերցվում է գումարած նշանով, եթե հիստերեզի օղակը շրջանցվում է դրական ուղղությամբ (նկ. 2, գ), իսկ հակառակ դեպքում՝ մինուս նշանով (նկ. 2, դ):

Ընդհանուր դեպքում և հաշվարկվում են բանաձևերով

որտեղ , ոչ գծային ֆունկցիա է (ոչ գծային տարրի բնորոշ):

Հաշվի առնելով վերը նշվածը, հարմոնիկին մոտ ինքնատատանումները ուսումնասիրելիս ոչ գծային ASR-ը (նկ. 3) փոխարինվում է ոչ գծային տարրի փոխարեն ներդաշնակ գծայնացման գործակցով համարժեքով (նկ. 5): Ոչ գծային տարրի ելքային ազդանշանը Նկ. 5-ը նշանակված է որպես , սա է

Ընդգծում է, որ ոչ գծային տարրը միայն առաջացնում է

տատանումների առաջին ներդաշնակությունը։ Տիպիկ ոչ գծայինության ներդաշնակ գծայինացման գործակիցների բանաձևերը կարելի է գտնել գրականության մեջ, օրինակ՝ մեջ. Աղյուսակ Բ հավելվածում ներկայացված են ուսումնասիրվող ռելեի տարրերի բնութագրերը, բանաձևերը և դրանց հոդոգրաֆները: Հակադարձ ներդաշնակության գծայինացման գործակցի բանաձևեր և հոդոգրաֆներ, որոնք սահմանված են արտահայտությամբ

որտեղ են և՛ իրական, և՛ երևակայական մասերը: Հոդոգրաֆները և կառուցված են կոորդինատներով և համապատասխանաբար:

Այժմ գրենք ինքնորոշման տատանումների գոյության պայմանները։ Համակարգը Նկ. 5-ը համարժեք է գծային: Գծային համակարգում անխափան տատանումներ կան, եթե այն գտնվում է կայունության սահմանի վրա: Եկեք օգտագործենք կայունության սահմանի պայմանը ըստ Nyquist չափանիշի. Նկ. 6,a – երկու հատման կետ, որը ցույց է տալիս երկու սահմանային ցիկլերի առկայությունը:

Ներածություն

Ռելե համակարգերը լայն տարածում են գտել ավտոմատ կառավարման պրակտիկայում։ Ռելեային համակարգերի առավելությունը նրանց դիզայնի պարզությունն է, հուսալիությունը, սպասարկման հեշտությունը և կազմաձևումը: Ռելեային համակարգերը ներկայացնում են ոչ գծային ավտոմատ կառավարման համակարգերի հատուկ դաս:

Ի տարբերություն ռելեային համակարգերի շարունակականների, կարգավորիչ գործողությունը կտրուկ փոխվում է, երբ ռելեի կառավարման ազդանշանը (առավել հաճախ սա կառավարման սխալ է) անցնում է որոշ ֆիքսված (շեմային) արժեքներով, օրինակ՝ զրոյի միջով:

Ռելեային համակարգերը, որպես կանոն, ունեն բարձր կատարողականություն՝ պայմանավորված այն հանգամանքով, որ դրանցում կառավարման գործողությունը փոխվում է գրեթե ակնթարթորեն, և ակտուատորը ենթարկվում է առավելագույն ամպլիտուդության մասնակի կայուն ազդանշանի: Միաժամանակ ռելեային համակարգերում հաճախ տեղի են ունենում ինքնահոսքեր, ինչը շատ դեպքերում թերություն է։ Այս հոդվածում ուսումնասիրվում է չորս տարբեր կառավարման օրենքներով ռելեային համակարգ:

Ուսումնասիրվող համակարգի կառուցվածքը

Ուսումնասիրվող համակարգը (նկ.) 1 ներառում է համեմատական ​​տարր ES, ռելեի տարր RE, ակտուատոր (իդեալական ինտեգրատոր՝ շահույթով = 1), հսկիչ օբյեկտ (երեք ժամանակային հաստատուններով, , և շահույթով պարբերական կապ): Համակարգի պարամետրերի արժեքները տրված են աղյուսակում: 1 Հավելված Ա.

Ուսումնասիրվող ռելեի տարրերի ստատիկ բնութագրերը (մուտքային-ելքային բնութագրերը) ներկայացված են Նկ. 2.

Նկ. 2a ցույց է տալիս իդեալական երկու դիրքի ռելեի բնութագրերը, Նկ. 2b մեռած գոտի ունեցող երեք դիրքի ռելեի հատկանիշ: Նկ. 2,c և 2,d նկարները ցույց են տալիս երկդիրքի ռելեի բնութագրերը համապատասխանաբար դրական և բացասական հիստերեզով:

Հետազոտված ASR-ը կարող է մոդելավորվել՝ օգտագործելով հայտնի մոդելավորման փաթեթներ, օրինակ՝ SIAM կամ VisSim:

Մեկնաբանություն. Որոշ սիմուլյացիոն փաթեթներում ելքային արժեքը

ռելեի ազդանշանը կարող է վերցնել միայն ±1 արժեքներ ±B-ի փոխարեն, որտեղ B-ն կամայական թիվ է: Նման դեպքերում անհրաժեշտ է վերցնել ինտեգրատորի շահույթը հավասար .

Աշխատանքային կարգ

Աշխատանքն ավարտելու համար յուրաքանչյուր աշակերտ ուսուցիչից ստանում է նախնական տվյալների տարբերակը (տես բաժին 2):

Աշխատանքն իրականացվում է երկու փուլով.

Առաջին փուլը հաշվողական և հետազոտական ​​է (կարող է իրականացվել լաբորատորիայից դուրս):

Երկրորդ փուլը փորձնական է (իրականացվում է լաբորատորիայում)։ Այս փուլում, օգտագործելով փաթեթներից մեկը, մոդելավորվում են ուսումնասիրվող համակարգում անցողիկ գործընթացները առաջին փուլում հաշվարկված ռեժիմների համար, և ստուգվում է տեսական մեթոդների ճշգրտությունը։

Անհրաժեշտ տեսական նյութը ներկայացված է 4-րդ բաժնում; Բաժին 5-ը պարունակում է թեստային հարցեր:

3.1. Հաշվարկային և հետազոտական ​​մաս

1. Ստացեք համակարգի գծային մասի ամպլիտուդա-հաճախականության և փուլային հաճախականության, իրական և երևակայական բնութագրերի արտահայտություններ:

2. Հաշվե՛ք և կառուցե՛ք համակարգի գծային մասի ամպլիտուդա-փուլային բնութագիրը։ Հաշվարկների համար օգտագործեք ծրագրեր TAU փաթեթից: Պարտադիր տպել իրական և երևակայական հաճախականության արձագանքման արժեքները(համապատասխան 10 – 15 միավոր երրորդ և երկրորդքառորդներ):

4. Օգտագործելով Goldfarb-ի գրաֆիկա-վերլուծական մեթոդը, որոշեք ինքնատատանումների ամպլիտուդն ու հաճախականությունը և դրանց կայունությունը բոլոր չորս ռելեների համար: Ինքնատատանումների պարամետրերը կարող են հաշվարկվել նաև վերլուծական եղանակով։ Որակապես պատկերել համակարգի փուլային դիմանկարը յուրաքանչյուր դեպքի համար:

5. Երեք դիրքի ռելեի համար որոշեք գծային մասի շահույթի մեկ արժեքը, որի դեպքում ինքնատատանումներ չկան, և սահմանային արժեքը, որի դեպքում ինքնատատանումները ձախողվում են:

Փորձարարական մաս

1. Օգտագործելով առկա մոդելավորման փաթեթներից մեկը, հավաքեք ուսումնասիրվող ACP-ի մոդելավորման սխեման: Ուսուցչի թույլտվությամբ կարող եք օգտագործել պատրաստի դիագրամ։ Կազմաձևեք շղթայի պարամետրերը առաջադրանքին համապատասխան:

2. Հետազոտել անցողիկ ընթացքը իդեալական ռելե ունեցող համակարգում (տպել այն) մուտքի վրա կիրառելով x(t)=40*1(t) քայլ քայլ գործողություն: Չափել ինքնատատանումների ամպլիտուդը և հաճախականությունը՝ համեմատելով դրանք հաշվարկված արժեքների հետ։ Կրկնեք փորձը՝ սահմանելով ոչ զրոյական սկզբնական պայմաններ (օրինակ՝ y(0)=10, y(1) (0)=-5):

3. Հետազոտեք անցողիկ գործընթացը երեք դիրքի ռելեով համակարգում մուտքային ազդանշանի ամպլիտուդի երկու տարբեր արժեքների համար x(t)= 40*1(t) և x(t)=15*1(t): Տպել անցողիկ գործընթացները, չափել ինքնաթրթռումների ամպլիտուդն ու հաճախականությունը (եթե դրանք կան), համեմատել դրանք հաշվարկված արժեքների հետ և եզրակացություններ անել։

4. Հետազոտեք անցողիկ գործընթացները երեք դիրքի ռելեով համակարգում գծային մասի շահույթի այլ արժեքների համար (տես պարագրաֆ 5, բաժին 3.1):

5. Հետազոտել անցողիկ գործընթացները երկդիրքի ռելեներով հիստերեզով համակարգում զրոյական և ոչ զրոյական սկզբնական պայմաններում և x(t)=40*1(t): Տպել անցողիկ գործընթացները, չափել ինքնաթրթռումների ամպլիտուդն ու հաճախականությունը (եթե դրանք կան), համեմատել դրանք հաշվարկված արժեքների հետ և եզրակացություններ անել։

Տեսական մաս

Ոչ գծային համակարգերի հաշվարկման լայնորեն կիրառվող մեթոդը ներդաշնակ գծայինացման մեթոդն է (գործառույթները նկարագրող):

Մեթոդը հնարավորություն է տալիս որոշել ինքնուրույն տատանումների պարամետրերը (ամպլիտուդա և հաճախականություն), ինքնատատանումների կայունությունը և ոչ գծային ASR-ի հավասարակշռության դիրքի կայունությունը։ Ներդաշնակ գծայինացման մեթոդի հիման վրա մշակվել են անցողիկ պրոցեսների կառուցման, ոչ գծային ASR-ների վերլուծության և սինթեզի մեթոդներ:

Հարմոնիկ գծայինացման մեթոդ

Ինչպես արդեն նշվեց, ոչ գծային և հատկապես ռելեային ASR-ներում, կայուն պարբերական տատանումներհաստատուն ամպլիտուդ եւ հաճախականություն, այսպես կոչված ինքնուրույն տատանումներ. Ավելին, ինքնուրույն տատանումները կարող են պահպանվել նույնիսկ համակարգի պարամետրերի զգալի փոփոխությունների դեպքում: Պրակտիկան ցույց է տվել, որ շատ դեպքերում կառավարվող փոփոխականի (նկ. 3) տատանումները մոտ են ներդաշնակությանը։

Ինքնատատանումների հարևանությունը ներդաշնակներին թույլ է տալիս օգտագործել ներդաշնակ գծայինացման մեթոդը՝ դրանց պարամետրերը որոշելու համար՝ A ամպլիտուդը և հաճախականությունը w 0: Մեթոդը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ համակարգի գծային մասը ցածր անցումային զտիչ է (ֆիլտրի վարկած): Եկեք որոշենք այն պայմանները, որոնց դեպքում համակարգում տատանումները կարող են մոտ լինել ներդաշնակությանը: Եկեք սահմանափակվենք այնպիսի համակարգերով, որոնք, ինչպես Նկ. 3-ը կարող է կրճատվել մինչև ոչ գծային տարրի և գծային մասի սերիական միացում: Ենթադրենք, որ հղման ազդանշանը պարզության համար հաստատուն արժեք է, այն հավասար կլինի զրոյի. Իսկ սխալի ազդանշանը (Նկար 3) ներդաշնակ է.

(1)

Ոչ գծային տարրի ելքային ազդանշանը, ինչպես ցանկացած պարբերական ազդանշան - Նկար 3-ում դրանք ուղղանկյուն տատանումներ են - կարող է ներկայացվել որպես Ֆուրիեի շարքի ներդաշնակությունների գումար:

Ենթադրենք, որ համակարգի գծային մասը ցածր անցումային զտիչ է (նկ. 4) և անցնում է միայն առաջին ներդաշնակությունը w 0 հաճախականությամբ։ Երկրորդը 2w 0 հաճախականությամբ և ավելի բարձր ներդաշնակությամբ զտվում է գծային մասով։ Այս դեպքում, վրա գծային ելք մասերը գործնականում գոյություն կունենան միայն առաջին հարմոնիկ , և ավելի բարձր ներդաշնակության ազդեցությունը կարող է անտեսվել

Այսպիսով, եթե համակարգի գծային մասը ցածր անցումային ֆիլտր է, և ինքնահոսքերի հաճախականությունը w 0 բավարարում է պայմանները.

, (4)

Այն ենթադրությունը, որ համակարգի գծային մասը ցածր անցումային զտիչ է, կոչվում է ֆիլտրի վարկած . Ֆիլտրի վարկածը միշտ բավարարվում է, եթե գծային մասի փոխանցման ֆունկցիայի հայտարարի և համարիչի բազմանդամների աստիճանների տարբերությունը.

(5)

առնվազն երկու

Շատ իրական համակարգերի համար (6) պայմանը բավարարված է: Օրինակ՝ երկրորդ կարգի պարբերական կապը և իրական ինտեգրումը

,

. (7)

Հարմոնիկին մոտ ինքնա-տատանումները ուսումնասիրելիս հաշվի է առնվում ոչ գծային տարրի ելքում միայն պարբերական տատանումների առաջին ներդաշնակությունը, քանի որ ավելի բարձր հարմոնիկները դեռ գործնականում զտվում են գծային մասով: Ինքնատատանման ռեժիմում այն ​​իրականացվում է ներդաշնակ գծայինացում ոչ գծային տարր. Ոչ գծային տարրը փոխարինվում է համարժեք գծային տարրով բարդ շահույթ (նկարագրող ֆունկցիա)՝ կախված մուտքային ներդաշնակ ազդանշանի ամպլիտուդից.

որտեղ և գտնվում են իրական և երևակայական մասերը,

- փաստարկ,

- մոդուլ.

Ընդհանուր դեպքում դա կախված է ինչպես ինքնահոսքերի ամպլիտուդից ու հաճախականությունից, այնպես էլ հաստատուն բաղադրիչից։ Ոչ գծային տարրի ֆիզիկապես բարդ շահույթը, որն ավելի հաճախ կոչվում է ներդաշնակ գծայինացման գործակից , Կա Ոչ գծային տարրի համալիր շահույթ առաջին ներդաշնակության ժամանակ. Հարմոնիկ գծայինացման գործակցի մոդուլը

(9)

թվայինորեն հավասար է ոչ գծային տարրի ելքում առաջին ներդաշնակության ամպլիտուդի հարաբերությանը և մուտքային ներդաշնակ ազդանշանի ամպլիտուդին:

Փաստարկ

(10)

բնութագրում է փուլային տեղաշարժը ելքային տատանումների առաջին ներդաշնակության և մուտքային ներդաշնակ ազդանշանի միջև: Միանշանակ ոչ գծայինության համար, ինչպիսին, օրինակ, Նկ. 2,a և 2,b, իրական արտահայտություն և

Երկիմաստ ոչ գծայինությունների համար Նկ. 2,c, 2,d, որոշվում է բանաձևով

որտեղ S-ը հիստերեզի հանգույցի տարածքն է: S տարածքը վերցվում է գումարած նշանով, եթե հիստերեզի օղակը շրջանցվում է դրական ուղղությամբ (նկ. 2, գ), իսկ հակառակ դեպքում՝ մինուս նշանով (նկ. 2, դ):

Ընդհանուր դեպքում և հաշվարկվում են բանաձևերով

,

, (12)

որտեղ , ոչ գծային ֆունկցիա է (ոչ գծային տարրի բնորոշ):

Հաշվի առնելով վերը նշվածը, հարմոնիկին մոտ ինքնատատանումները ուսումնասիրելիս ոչ գծային ASR-ը (նկ. 3) փոխարինվում է ոչ գծային տարրի փոխարեն ներդաշնակ գծայնացման գործակցով համարժեքով (նկ. 5): Ոչ գծային տարրի ելքային ազդանշանը Նկ. 5-ը նշանակված է որպես , սա է

ընդգծում է, որ ոչ գծային տարրը առաջացնում է միայն

տատանումների առաջին ներդաշնակությունը։ Տիպիկ ոչ գծայինության ներդաշնակ գծայինացման գործակիցների բանաձևերը կարելի է գտնել գրականության մեջ, օրինակ՝ մեջ. Աղյուսակ Բ հավելվածում ներկայացված են ուսումնասիրվող ռելեի տարրերի բնութագրերը, բանաձևերը և դրանց հոդոգրաֆները: Հակադարձ ներդաշնակության գծայինացման գործակցի բանաձևեր և հոդոգրաֆներ, որոնք սահմանված են արտահայտությամբ

, (13)

որտեղ են և՛ իրական, և՛ երևակայական մասերը: Հոդոգրաֆները և կառուցված են կոորդինատներով և համապատասխանաբար:

Այժմ գրենք ինքնորոշման տատանումների գոյության պայմանները։ Համակարգը Նկ. 5-ը համարժեք է գծային: Գծային համակարգում անխափան տատանումներ կան, եթե այն գտնվում է կայունության սահմանի վրա: Եկեք օգտագործենք կայունության սահմանի պայմանը ըստ Nyquist չափանիշի.

. (14)

Հավասարում (14) Կա ինքնորոշման տատանումների առկայության պայման, հարմոնիկին մոտ. Եթե ​​կան իրական դրական (14) հավասարման A և w 0 լուծումները, ապա ոչ գծային ASR-ում կան ներդաշնակին մոտ ինքնատատանումներ։ Հակառակ դեպքում ինքնա-տատանումները բացակայում են կամ ներդաշնակ չեն։ Հավասարումը (14) բաժանվում է երկու մասի՝ իրական և երևակայական մասերի նկատմամբ.

;

;

Բաժանելով (14) հավասարման երկու կողմերը և հաշվի առնելով (13) բանաձևը, մենք ստանում ենք L.S.

. (17)

Հավասարումը (17) նույնպես բաժանվում է երկուսի.

,

(18)

իսկ որոշ դեպքերում ավելի հարմար է դրանք օգտագործել՝ ինքնուրույն տատանումների պարամետրերը որոշելու համար։

Գոլդֆարբն առաջարկել է համակարգի (17) լուծման և ինքնատատանումների կայունությունը որոշելու գրաֆիկա-վերլուծական մեթոդ։

Կոորդինատներում , և , հոդոգրաֆներ և կառուցված են (նկ. 6, ա): Եթե ​​հոդոգրաֆները հատվում են, ապա գոյություն ունեն ինքնատատանումներ: Ինքնատատանումների պարամետրերը` A և w 0, որոշվում են հատման կետերում` հաճախականությունը w 0 ըստ հոդոգրաֆի, առատությունը` ըստ հոդոգրաֆի: Նկ. 6,a – երկու հատման կետ, որը ցույց է տալիս երկու սահմանային ցիկլերի առկայությունը:

	բ)

Ինքնատատանումների կայունությունը որոշելու համար, ըստ Գոլդֆարբի, գծային մասի AFC-ի ձախ կողմը ստվերվում է ԱՖԿ երկայնքով հաճախականության աճի ուղղությամբ շարժվելիս (նկ. 6):

Ինքնատատանումները կայուն են, եթե հատման կետում ոչ գծային տարրի հոդոգրաֆը չստվերված տարածքից անցնում է ստվերային տարածք՝ A ամպլիտուդի աճող ուղղությամբ շարժվելիս։

Եթե ​​անցումը տեղի է ունենում ստվերավորված տարածքից դեպի չստվերված տարածք, ապա ինքնա-տատանումները կայուն չեն։

Նկ. Նկար 6b-ը որակապես պատկերում է փուլային դիմանկարը, որը համապատասխանում է Նկ. 6, ա. Պարամետրերի հետ հատման կետը և Նկ. 6a-ն համապատասխանում է Նկարի անկայուն սահմանային ցիկլին: 6b, կետ պարամետրերով և և հասնելու ինքնատատանումների խաթարմանը, այս դեպքում հոդոգրաֆներին և չեն հատվում: Նույն էֆեկտը կարելի է ձեռք բերել d մեռյալ գոտին մեծացնելով կամ ռելե B-ի ելքային ազդանշանի ամպլիտուդը նվազեցնելով: Կա որոշակի սահմանափակող արժեք Kl, որի դեպքում գծային մասի AFC-ն հպվում է: Սխալ. Հաղորդակցման սխալ:միաժամանակ , իսկ ամպլիտուդի արժեքը . Բնականաբար, դա հանգեցնում է համակարգի փուլային դիմանկարի որակական փոփոխության:

Հարմոնիկ գծայինացման մեթոդի նպատակը.

Ներդաշնակ գծայնացման մեթոդի գաղափարն առաջարկվել է 1934 թ. Ն.Մ.Կռիլովը և Ն.Ն.Բոգոլյուբովը: Ավտոմատ կառավարման համակարգերի հետ կապված այս մեթոդը մշակվել է L. S. Goldfarb-ի և E. P. Popov-ի կողմից: Այս մեթոդի և դրա փոփոխությունների այլ անվանումներ են՝ ներդաշնակ հավասարակշռության մեթոդը, ֆունկցիաների նկարագրության մեթոդը և համարժեք գծայինացման մեթոդը։

Հարմոնիկ գծայինացման մեթոդը ինքնատատանումների ուսումնասիրման մեթոդ է։ Այն թույլ է տալիս որոշել ոչ գծային համակարգերում հնարավոր ինքնատատանումների գոյության պայմանները և պարամետրերը։

Ինքնատատանումների պարամետրերի իմացությունը թույլ է տալիս ներկայացնել համակարգում հնարավոր գործընթացների պատկերը և, մասնավորապես, որոշել կայունության պայմանները։ Ենթադրենք, օրինակ, որ ինչ-որ ոչ գծային համակարգում ինքնուրույն տատանումների ուսումնասիրության արդյունքում մենք ստացանք այդ ինքնատատանումների ամպլիտուդի կախվածությունը. Ափոխանցման գործակիցից կհամակարգի գծային մասը, որը ցույց է տրված Նկար 12.1-ում, և մենք գիտենք, որ ինքնա-տատանումները կայուն են:

Գրաֆիկից հետևում է, որ փոխանցման գործակիցի մեծ արժեքով k,Երբ k > k kr, համակարգում կան ինքնատատանումներ։ Նրանց ամպլիտուդը նվազում է մինչև զրոյի, քանի որ փոխանցման գործակիցը նվազում է կդեպի կքր. Նկար 12.1-ում սլաքները պայմանականորեն ցույց են տալիս անցողիկ գործընթացների բնույթը տարբեր արժեքներով կժամը k > k kr նախնական շեղումների հետևանքով առաջացած անցողիկ պրոցեսը կնճռոտվում է դեպի ինքնահոսքեր: Նկարից պարզ է դառնում, որ երբ կ< k cr, համակարգը պարզվում է, որ կայուն է: Այսպիսով, կ kr-ը փոխանցման գործակիցի կրիտիկական արժեքն է՝ ըստ կայունության վիճակի: Դրա գերազանցումը հանգեցնում է նրան, որ համակարգի սկզբնական ռեժիմը դառնում է անկայուն և դրանում առաջանում են ինքնատատանումներ։ Հետեւաբար, համակարգում ինքնատատանումների գոյության պայմանների իմացությունը թույլ է տալիս որոշել կայունության պայմանները։

Հարմոնիկ գծայինացման գաղափարը.

Դիտարկենք ոչ գծային համակարգ, որի դիագրամը ներկայացված է Նկար 12.2-ում, և . Համակարգը բաղկացած է գծային մասից՝ փոխանցման ֆունկցիայով W l ( ս) և ոչ գծային կապ NLկոնկրետ հատկանիշով . - 1 գործակցով հղումը ցույց է տալիս, որ համակարգում արձագանքը բացասական է: Մենք կարծում ենք, որ համակարգում կան ինքնատատանումներ, որոնց ամպլիտուդն ու հաճախականությունը ցանկանում ենք գտնել։ Դիտարկվող ռեժիմում մուտքային քանակությունը Xոչ գծային կապ և ելք Յժամանակի պարբերական ֆունկցիաներ են։

Ներդաշնակ գծայինացման մեթոդը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ ոչ գծային կապի մուտքի տատանումները սինուսոիդային են, այսինքն. ե

, (12.1)

ՈրտեղԱ– ամպլիտուդը և այս ինքնատատանումների հաճախականությունն է, և հնարավոր հաստատուն բաղադրիչ է այն ընդհանուր դեպքում, երբ ինքնատատանումները ասիմետրիկ են։

Իրականում ոչ գծային համակարգերում ինքնատատանումները միշտ ոչ սինուսոիդային են՝ ոչ գծային կապով իրենց ձևի աղավաղման պատճառով։ Հետևաբար, նշված սկզբնական ենթադրությունը նշանակում է, որ ներդաշնակ գծայնացման մեթոդն է սկզբունքորեն մոտև դրա կիրառման շրջանակը սահմանափակվում է միայն այն դեպքերով, երբ ոչ գծային կապի մուտքի մոտ ինքնատատանումները բավականին մոտ են սինուսոիդային: Որպեսզի դա տեղի ունենա, համակարգի գծային մասը չպետք է թույլ տա, որ անցնեն ինքնատատանումների ավելի բարձր ներդաշնակությունները, այսինքն. ցածր անցումային ֆիլտր. Վերջինս պատկերված է Նկ. 12.2, բ . Եթե, օրինակ, ինքնաթրթռումների հաճախականությունը հավասար է , ապա գծային մասը ցույց է տրված Նկ. 12.2, բ Հաճախականության արձագանքը այս տատանումների համար ցածր անցումային ֆիլտրի դեր կխաղա, քանի որ երկրորդ հարմոնիկը, որի հաճախականությունը հավասար է 2-ի, գործնականում չի անցնի ոչ գծային կապի մուտքագրմանը: Հետևաբար, այս դեպքում կիրառելի է ներդաշնակ գծայինացման մեթոդը։

Եթե ​​ինքնատատանումների հաճախականությունը հավասար է , ապա գծային մասը ազատորեն կանցնի ինքնատատանումների երկրորդ, երրորդ և այլ ներդաշնակությունները։ Այս դեպքում չի կարելի ասել, որ ոչ գծային կապի մուտքի տատանումները բավականին մոտ կլինեն սինուսոիդային, այսինքն. Ներդաշնակ գծայինացման մեթոդի կիրառման համար անհրաժեշտ նախադրյալը բավարարված չէ:

Որոշելու համար, թե արդյոք համակարգի գծային մասը ցածր անցումային զտիչ է, և դրանով իսկ որոշելու ներդաշնակ գծայնացման մեթոդի կիրառելիությունը, անհրաժեշտ է իմանալ ինքնահոսքերի հաճախականությունը։ Այնուամենայնիվ, դա կարելի է իմանալ միայն այս մեթոդի միջոցով: Այսպիսով, Հարմոնիկ գծայինացման մեթոդի կիրառելիությունը պետք է որոշվի ուսումնասիրության վերջում որպես թեստ:

Նկատենք, որ եթե այս թեստի արդյունքում չհաստատվի այն վարկածը, որ համակարգի գծային մասը կատարում է ցածրանցումային ֆիլտրի դեր, դա չի նշանակում, որ ստացված արդյունքները սխալ են, թեև, իհարկե. , դա կասկածի տակ է դնում նրանց և պահանջում է լրացուցիչ ստուգում ինչ-որ կերպ։

Այսպիսով, ենթադրելով, որ համակարգի գծային մասը ցածր անցումային զտիչ է, մենք ենթադրում ենք, որ ոչ գծային կապի մուտքի մոտ ինքնատատանումները սինուսոիդային են, այսինքն՝ ունեն (12.1) ձևը։ Այս կապի ելքի տատանումները այլևս չեն լինի սինուսոիդային՝ ոչ գծայինության պատճառով դրանց աղավաղման պատճառով: Որպես օրինակ Նկ. 12.3, ոչ գծային կապի ելքի վրա գծագրվում է կոր՝ մուտքի զուտ սինուսոիդային ազդանշանի որոշակի ամպլիտուդի համար՝ ըստ այնտեղ տրված կապի բնութագրի:

Նկար 12.3. Հարմոնիկ տատանումների անցում ոչ գծային կապով:

Այնուամենայնիվ, քանի որ մենք կարծում ենք, որ համակարգի գծային մասը անցնում է միայն ինքնատատանումների հիմնարար ներդաշնակությունը, իմաստ ունի հետաքրքրվել միայն այս ներդաշնակությամբ ոչ գծային հատվածի ելքում: Հետևաբար, մենք կընդլայնենք ելքային տատանումները Ֆուրիեի շարքի մեջ և կվերացնենք ավելի բարձր ներդաշնակությունները: Արդյունքում մենք ստանում ենք.

;

; (12.3)

;

.

Եկեք վերաշարադրենք (12.2) արտահայտությունը հետագա օգտագործման համար ավելի հարմար ձևով՝ դրանում փոխարինելով (12.1) հետևյալ արտահայտությունները և ստացվածները.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (12.2)՝ կունենանք.

(12.4)

. (12.5)

Այստեղ ներկայացված են հետևյալ նշումները.

. (12.6)

Դիֆերենցիալ հավասարումը (12.5) վավեր է սինուսոիդային մուտքային ազդանշանի համար (12.1) և որոշում է ոչ գծային կապի ելքային ազդանշանը՝ առանց ավելի բարձր ներդաշնակությունները հաշվի առնելու։

Ֆուրիեի գործակիցների (12.3) արտահայտություններին համապատասխան գործակիցները հաստատուն բաղադրիչի, ամպլիտուդի ֆունկցիաներ են. Աև ոչ գծային կապի մուտքի մոտ տատանումների հաճախականությունը: Ժամը ֆիքսված Ա, իսկ (12.5) հավասարումը գծային է։ Այսպիսով, եթե մենք հրաժարվենք ավելի բարձր ներդաշնակությունից, ապա ֆիքսված ներդաշնակ ազդանշանի համար սկզբնական ոչ գծային կապը կարող է փոխարինվել համարժեք գծայինով, որը նկարագրված է (12.5) հավասարմամբ: Այս փոխարինումը կոչվում է ներդաշնակ գծայինացում .

Նկ. Նկար 12.4-ը պայմանականորեն ցույց է տալիս այս կապի դիագրամը, որը բաղկացած է երկու զուգահեռ հղումներից:

Բրինձ. 12.4. Հարմոնիկ գծայինացման արդյունքում ստացված համարժեք գծային տարր։

Մի հղումը () փոխանցում է հաստատուն բաղադրիչը, իսկ մյուսը` միայն ինքնահոսքերի սինուսոիդային բաղադրիչը:

Գործակիցները կոչվում են ներդաշնակ գծայինացման գործակիցներկամ ներդաշնակ փոխանցման գործակիցներ- հաստատուն բաղադրիչի փոխանցման գործակից, և - ինքնահոսքերի սինուսոիդային բաղադրիչի երկու փոխանցման գործակից: Այս գործակիցները որոշվում են ոչ գծայինությամբ և արժեքներով և ըստ բանաձևերի (12.3): Կան պատրաստի արտահայտություններ, որոնք սահմանված են այս բանաձեւերով մի շարք բնորոշ ոչ գծային հղումների համար։ Այս և, ընդհանուր առմամբ, բոլոր իներցիայից զերծ ոչ գծային կապերի համար մեծությունները կախված չեն և միայն ամպլիտուդի ֆունկցիաներ են։ ԱԵվ .