Անկյունների կառուցում և բաժանում. Doom սեմինար՝ կողմնացույցով և քանոնով անկյունի բաժանում Անկախ աշխատանքային խնդիրների լուծում

Հունիսի 8, 2011

Ուղիղ գծերի և անկյունների բաժանումը կարող է իրականացվել երկու եղանակով.աչքով և օգտագործելով երկրաչափական կառուցվածք։

Տողը երկու հավասար մասերի բաժանելիս վարվեք հետևյալ կերպ. Այս ուղիղ գծի կեսը աչքով վերցվում է կողմնացույցով և այս կեսը մի կողմ է դրվում ուղիղ գծի երկու ծայրերից: Եթե ​​կեսերի ծայրերը համընկնում են, ապա դա նշանակում է, որ այս ուղիղ գիծը ճիշտ է բաժանվում, եթե ոչ, ապա սխալը (տարբերությունը) կրկին կիսով չափ բաժանվում է աչքով և ավելացվում (կամ հանվում է, կախված կարիքից) վերցված կեսին. կողմնացույցը.

Նույնը արվում է 3, 5 և այլն հավասար մասերի բաժանելիս։ 4 հավասար մասերի բաժանելիս նախ գիծը կիսեք կիսով չափ, իսկ հետո նրա երկու կեսերը։ 6 հավասար մասերի բաժանելիս նախ ուղիղ գիծը բաժանեք 3 հավասար մասի, իսկ հետո յուրաքանչյուր մասը կիսով չափ։

Անկյունը նույն կերպ բաժանվում է հավասար մասերի, այն տարբերությամբ, որ տվյալ անկյան գագաթից ցանկացած շառավղով գծված և անկյան կողմերի միջև պարփակված աղեղը բաժանվում է մասերի։ Բաժանման կետերը ուղիղ գծերով միացված են անկյան գագաթին։

Աչքով ուղիղ գծերն ու անկյունները (աղեղները) բաժանելը խնայում է ժամանակը: Ուստի մենք պետք է անընդհատ կիրառենք այս բաժանումը։

Շինարարությամբ ուղիղ գիծ բաժանելը կատարվում է հետևյալ կերպ. Ենթադրենք, որ այս AN հատվածը պետք է բաժանվի 5 հավասար մասերի: Ուղիղ AB-ի վերջից կամայական անկյան տակ մենք գծում ենք ուղիղ գիծ AC և դրա վրա A կետից անջատում ենք հինգ կամայական մասեր, որպեսզի AD = DE = EF = FG = GH; H-ը կապում ենք N-ի հետ և D, E, F և G կետերով գծում ենք NH-ին զուգահեռ ուղիղ գծեր, որոնք I, K, L, M կետերում կհատեն AN-ն այնպես, որ AL = IK = KL = LM = MN:

Շինարարությամբ անկյունները հավասար մասերի բաժանելը կատարվում է երեք հիմնական եղանակով.

1. Այս BAC անկյունը բաժանեք 2, 4, 8 և այլն հավասար մասերի:

D կետերից և կենտրոններից մենք գծում ենք հավասար շառավղներով աղեղներ, որոնք հատվում են F-ի վրա: Ուղիղ FA-ն կբաժանի BAC անկյունը (իսկ G կետը կբաժանի DF աղեղը):

Անկյունը կամ աղեղը 4 հավասար մասերի բաժանելու համար պետք է կրկնել նույն կոնստրուկցիան յուրաքանչյուր կեսի համար և այլն: Կոնստրուկցիան հարմար է ցանկացած անկյունների համար՝ աջ, բութ և սուր:

2. Ճիշտ անկյունը BAC բաժանեք 3, 6, 12 և այլն հավասար մասերի:

D և E կետերից AD շառավղով մենք նկարագրում ենք աղեղներ, որոնք կհատեն աղեղը F և G կետերում; նկարեք AF և AG, որոնք BAC անկյունը և DF աղեղը բաժանում են 3 հավասար մասերի:

Անկյունը 6 հավասար մասերի բաժանելու համար անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր երրորդը կիսով չափ կիսել և այլն։ 

Ուղղանկյունից բացի ցանկացած անկյուն կարելի է բաժանել 3 հավասար մասերի միայն աչքով կամ անկյունաչափով։

3. LV և CD ուղիղ գծերով կազմված անկյունը կիսեք կիսով չափ, պայմանով, որ անկյան գագաթն անհասանելի լինի։

Ուղիղ CD-ի կամայական E կետի միջով մենք նույն կետից կամայական շառավղով գծում ենք EG-ի ուղիղ գիծ, ​​որը նկարագրում ենք GH աղեղը և գծում ենք այն, մինչև այն հատվի գծի հետ LP I կետում; Այնուհետև HI ուղիղը կիսով չափ կիսում ենք M կետում և այս կետով ուղղահայաց KL գծում ենք HI ուղիղ գծին, այս ուղղահայաց անկյունը, որի գագաթը անհասանելի է, կբաժանի 2 հավասար մասերի։ Երբեմն անհրաժեշտ է անցում կատարել երկու անհավասար լայնությամբ շերտերի միջև, դա պետք է արվի շրջանաձև աղեղի երկայնքով, ինչպես ցույց է տրված նկարում:

Շարունակում ենք a, c և b, d հատվածները, մինչև դրանք հատվեն A և B կետերում և ստացված անկյունները կիսեն կիսով չափ։ Եթե ​​ուղղահայաց DC-ն շարունակենք այնքան, մինչև այն հատվի EAC և FBD անկյունների կիսատների հետ, ապա ստացված M և M 1 կետերը կլինեն ցանկալի կլորացման կենտրոնները:

Անկյունը բաժանվում է հավասար մասերի, օգտագործելով անկյունաչափ: Եթե ​​անհրաժեշտ է, օրինակ, տրված անկյունը բաժանել 7 հավասար մասերի, ապա գտի՛ր, թե ինչին է հավասար անկյունը և ստացված աստիճանների թիվը բաժանի՛ր 7-ի; արդյունքը սովորաբար անճշտ է, քանի որ րոպեները և վայրկյանները չեն նշվում սովորական անկյունաչափերի վրա: Անհրաժեշտ ուղղումը կատարվում է աչքով։

«Սենյակների ձևավորում վերանորոգման ընթացքում»
Ն.Պ. Կրասնով

Մենք արդեն ասել ենք, որ որոշ տեսակի գեղանկարչական աշխատանքներ կատարելու համար պետք է կարողանալ նկարել։ Իսկ նկարելու կարողությունն իր հերթին ենթադրում է երկրաչափական պատկերներ կառուցելու կանոնների իմացություն։ Թղթի վրա էսքիզները գծվում են եռանկյունների, խաչաձողերի, փոխադրիչների և կողմնացույցների միջոցով, իսկ պատերի և առաստաղների հարթության վրա կոնստրուկցիաները կատարվում են քաշով, քանոնով, փայտե կողմնացույցով և լարով: Միաժամանակ անհրաժեշտ է...

Ուղղանկյուն, այսինքն՝ հավասար 90°, ձևավորվում է երկու փոխադարձ ուղղահայաց գծերով։ Ուղղահայացը կառուցված է հետևյալ կերպ. Ցածրացրեք ուղղահայացը: Տրված C կետից (գծից դուրս ընկած), որպես կենտրոնից, մենք նկարագրում ենք կամայական շառավղով աղեղ, որպեսզի այն հատի տրված ուղիղը երկու D և E կետերում այս կետերից, ինչպես կենտրոններից, մենք նկարագրում ենք աղեղներ հավասար շառավիղներ, որպեսզի նրանք...

ՌԴ ԳԱ ակադեմիկոս Ն.ԴՈԼԵԺԱԼ.

Ամսագրի երկարամյա հեղինակ ակադեմիկոս Նիկոլայ Անտոնովիչ Դոլլեժալը էներգետիկ ոլորտի խոշոր մասնագետ է։ Ազատ ժամանակ Նիկոլայ Անտոնովիչը ուսումնասիրում է հնության հայտնի խնդիրները, որոնք հայտնի են որպես անկյունի եռահատում, խորանարդի կրկնապատկում և շրջանագծի քառակուսի (տե՛ս «Գիտություն և կյանք» թիվ 7, 1993 թ., թիվ 3, 8, 1994 թ. 9, 1995 Գ.): Այս բոլոր խնդիրների դժվարությունն այն է, որ դրանք պետք է լուծվեն առանց հաշվարկների և հաշվարկների, զուտ երկրաչափական, միայն կողմնացույցի և առանց բաժանումների քանոնի օգնությամբ։ Օգտագործելով հենց այս դասական մեթոդը, Ն.Ա. Դոլլեժալը կարողացավ շատ էլեգանտ լուծում գտնել կամայական անկյունը երեք հավասար մասերի բաժանելու խնդրին:

Գիտություն և կյանք // Նկարազարդումներ

Այս երկրաչափական խնդրի էությունը կայանում է նրանում, որ գտնենք կամայական անկյունը երեք հավասար մասերի բաժանելու գրաֆիկական մեթոդ՝ օգտագործելով կողմնացույց և սովորական քանոն: Ստորև բերված է մեթոդի նկարագրությունը, որը լուծում է այս խնդիրը՝ անկախ բաժանման համար առաջարկվող անկյան չափից և տեսակից (սուր, բութ): Երկրաչափական պատկերների ձևերի վերաբերյալ սահմանափակումներ չկան, թվային չափումներ կամ հաշվարկներ չեն կատարվում: Որպես օրինակ վերցված է պատահական անկյուն:

Երկրաչափական տարրերը միավորված են երկրաչափական պատկերով, որը բաղկացած է ABC հավասարաչափ եռանկյունուց, որի B անկյունը բաժանվում է երեք հավասար անկյունների, և հավասարակողմ ADFC-ի տրապիզոիդ, որի բոլոր չորս անկյունները գտնվում են B անկյան գագաթից հավասար հեռավորության վրա: Եռանկյունը և trapezoid-ը փակված են իրենց AC հիմքերով: Խնդրի լուծման առաջարկվող մեթոդը հետևյալն է.

1) Նշված երկրաչափական պատկերի կառուցման համար հիմք են հանդիսանում նրա հիմնական տարրերը կապող հավասարումները.

որտեղ S-ը եռանկյունի և trapezoid-ի հիմքն է. a - trapezoid- ի կողմը; t - եռանկյունու բարձրությունը; h-ը trapezoid-ի բարձրությունն է:

Նկարի հիմնական տարրերը փոխադարձաբար կախված են. հիմքի հարաբերակցությունը տրապիզոնի կողմին և եռանկյան տրապիզոնի բարձրություններին կապված են (2) հավասարմամբ:

S/a և h/t հարաբերակցություններն ունեն կիրառելիության սահմաններ. տրապեզի հիմքի և նրա կողմի հարաբերությունը գտնվում է 2 ... 3-ի սահմաններում, իսկ տրապիզոնի և եռանկյունի բարձրությունների հարաբերակցությունը տատանվում է անսահմանությունից մինչև 0: Այս սահմանափակումներից դուրս եռանկյունու պլյուս տրապիզոնի կառուցումը անհնար է:

Աղյուսակը ցույց է տալիս հավասարումների մեջ ներառված փոփոխականների որոշ թվային արժեքներ՝ որպես օրինակ և հիմնական ցուցանիշների ընտրություն՝ եռանկյունի և տրապիզոիդ կառուցելու համար: Նրա օգնությամբ դուք կարող եք սահմանել S/a հարաբերակցությունը և ստանալ h/t հարաբերակցությունը։

Նկ. 1-ը ցույց է տալիս խնդրի լուծումը՝ օգտագործելով առաջարկվող մեթոդը: Որպես հիմնարար նշանակություն չունեցող օրինակ՝ վերցնում ենք եռանկյան և տրապիզոնի բարձրությունների հավասարությունը։ Ավելի մեծ պարզության համար նկարը ցույց է տալիս լրացուցիչ երկրաչափական կոնստրուկցիաներ՝ անկյունը երկու մասի բաժանել, զուգահեռ գծեր գծել և միատեսակ բաժանումներ կիրառել։

Խնդրի լուծումը սկսվում է՝ տրված ABC անկյունը կիսով չափ բաժանելով BE տողով և B կետով գծելով հորիզոնական XY ուղիղ գիծ նրա նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ։ B կետի երկու կողմի XY գծի վրա տրապիզոնի հիմքի և նրա կողմի հարաբերությանը համապատասխան բաժանումներ են գծվում, այս դեպքում՝ 5 և 2։ Այս հարաբերակցությունը ստացվում է (2) հավասարումից՝ պայմանով, որ բարձրությունները. հավասար են - տես աղյուսակը:

5-րդ բաժանմանը համապատասխանող կետերից զուգահեռներ են անցկացվում BE կիսադիրին, մինչև այն հատվի անկյան կողմերի հետ A և C կետերում: AC ուղիղը ծառայում է որպես եռանկյունու և տրապիզոնի ընդհանուր հիմք, AB և BC հատվածները հավասար են: XY հատվածի 2 նշանին համապատասխանող կետերից գծվում են գծեր՝ նույնպես ABC անկյան կիսորդին զուգահեռ, և դրանց վրա BD և BF հատվածները, որոնք հավասար են BA = BC եռանկյան կողմերին, նշում են D կետերը։ իսկ F - trapezoid ADFC-ի անկյունների գագաթները: D և F կետերը որոշում են BE բարձրությունը, որը հավասար է եռանկյան և տրապիզոնի բարձրությունների գումարին:

Ստուգման և ապացուցման համար տրապիզոիդ ADFC-ի AF և DC անկյունագծերը գծված են, որոնք հատվում են ABC եռանկյան միջին գծի Z կետում: Ստացված երկու ADF և DFC եռանկյունները հավասարաչափ են, քանի որ դրանց հիմքերը, այսինքն՝ տրապիզոիդի անկյունագծերը, բաժանված են երկու մասի T կետերում, այնտեղ հատվելով BD և BF շառավիղների և տրապիզոնի միջին գծի PP-ի հետ: DF կողմը պատկանում է երկու եռանկյուններին, ուստի ABD, DBF և FBC եռանկյունները հավասար են: B կետում գագաթներով նրանց երեք անկյունները հավասար են միմյանց և ընդհանուր առմամբ կազմում են տրված ABC անկյունը։

DM և FN ուղիղ հատվածները կազմում են ADFN և DFCM ռոմբուսների կողմերը, որոնց երկրաչափական հատկությունները հաստատում են կառուցվածքի ճիշտությունը։

Նկ. Նկար 2-ում ներկայացված է ձևավորված անկյունների հարաբերակցությունը: Հատկանշական է, որ DAC = FCA trapezoid-ի ստորին անկյունները հավասար են բաժանված ABC անկյան մեկ երրորդին։

Երկրաչափական պատկերը կառուցելիս Նկ. 1, տրապիզոնի հիմքի և նրա կողմի չափի հարաբերակցությունը կառուցման հեշտության համար 5:2 էր.

Նկ. 3, համեմատաբար սուր ABC անկյան համար կառուցված է «եռանկյուն - trapezoid» պատկեր: Եռանկյան բարձրության սկզբնական հարաբերակցությունը եռանկյան և տրապիզոնի բարձրությունների գումարին 5:6 է, որը, ըստ (1) հավասարման, համապատասխանում է S/a = 17/6 արժեքին։ Ինչպես առաջին դեպքում, այս արժեքը հավասարապես բաժանվում է, այսինքն՝ 8 1/2-ից 3-ը, B կետից երկու ուղղություններով XY գծի վրա, և կատարվում են նմանատիպ կոնստրուկցիաներ:

Ընդհանուր առմամբ, կարիք չկա նախ ընդունել S/a-ի թվային արժեքները: BX և BY գծերի վրա բավական է երեք հավասար հատվածներ թողնել B կետից՝ նշելով դրանց ծայրերը, իսկ երկրորդ և երրորդ նշանների միջև ցանկացած կետից կառուցել ուղղահայացներ, մինչև դրանք հատվեն B անկյան կողմերի հետ A և C կետերում: Այնուհետև Առաջին նշանից վերականգնեք նաև ուղղահայացները և դրեք դրանց վրա D և F կետերը B կետից ABC եռանկյան կողմին հավասար հեռավորության վրա:

Եթե ​​ВD և ВF ուղիղների A և C կետերից գծագրենք երկու հավասար հեռավորության վրա գտնվող N և M կետերը, ապա կստանանք NM հատված, որը հավասար է S-2a-ին: Այս երկարության հարաբերակցությունը a-ին որոշում է տրապիզոնի և եռանկյունի բարձրությունների հարաբերակցությունը ըստ (2) բանաձևի:

Մնացածը շարունակվում է այնպես, ինչպես առաջին դեպքում։ Շինարարության ճիշտությունը կարելի է ստուգել բանաձևով

հետևում է (2): t+h գումարը երբեք չի գերազանցում եռանկյան BA(ВD) կողմը։

Գրաֆիկորեն հավասարությունը (4) ստուգվում է հետևյալ կերպ (նկ. 4): Վերցված է կամայական PQN անկյուն՝ բաժանված QQ? բիսեկտորի վրա: Q կետից անկյան ձախ կողմում S-a և a հատվածները շարված են կողմնացույցով, ձևավորելով P և L կետերը: Այնուհետև P կետը միացված է Q կետին: իսկ L կետից գծված է զուգահեռ PQ. տող LQ???. Սա նշանակում է, որ անկյան կիսագծի վրա հայտնվել է Q նշանը, և a/(S-a) = = QQ??/QQ?: Անկյունի աջ կողմում կողմնացույցի օգնությամբ գծեք կառուցված գծագրից 2t+h և t+h հատվածները։ 2t+h հատվածի վերջը` N կետ - միացնում ենք Q? կետին, իսկ M կետից` t+h հատվածի վերջը, գծում ենք NQ?-ին զուգահեռ ուղիղ: Անկյան միջին գծի վրա հարաբերակցությունը (t+h)/(2t+h)=QQ??? /QQ?. Եթե ​​տողերը LQ են?? իսկ MQ??? հատվում են անկյան միջին գծում, սա նշանակում է, որ բանաձևի ձախ և աջ կողմերը հավասար են: Դա այն է, ինչ պահանջվում է:

Հնարավո՞ր է արդյոք որոշել դրանց երկարությունը՝ չափելով համապատասխան հատվածները, մասնավորապես եռանկյունների հիմքերը։ Դա անհնար է, քանի որ յուրաքանչյուրը ծառայում է որպես շրջանակի համապատասխան երևակայական աղեղի ակորդ, որը պարունակում է մի կոտորակ, որը հնարավոր չէ չափել: Խնդրի լուծման ճշգրտությունը որոշելու համար կարելի է օգտագործել միայն գրաֆիկական մեթոդ:

Այսպիսով, մենք առաջարկել ենք կողմնացույցի և քանոնի միջոցով անկյունը երեքի գրաֆիկորեն բաժանելու հնարավորության ապացույց: Գրաֆիկորեն անհասկանալի է մնում trapezoid-ի և եռանկյունների տարրերի կապը, այլ կերպ ասած՝ a-ի կողմի և t եռանկյան բարձրության հարաբերությունները։ Այս առաջադրանքը կարող է անկախ բնույթ ունենալ trapezoid-ի կառուցման սկզբունքի համար:

Ցանկանում եմ շնորհակալություն հայտնել MSTU պրոֆեսոր Վ.Ի.

Անկյունի եռահատման խնդրի առաջացումը (այսինքն՝ անկյունը երեք հավասար մասերի բաժանելը) որոշվում է կանոնավոր բազմանկյունների կառուցման խնդրի լուծման անհրաժեշտությամբ։ Կողմնացույցով և քանոնով կանոնավոր հնգանկյունի կառուցումը պետք է մեծ տպավորություն թողած լինի պյութագորացիների վրա, քանի որ կանոնավոր հնգաթև աստղը նրանց նույնականացման նշանն էր (այն խորհրդանշում էր առողջությունը): Հայտնի է հետևյալ լեգենդը.

Պյութագորացիներից մեկը մահանում էր օտար երկրում և չէր կարողանում վճարել իրեն խնամող մարդուն: Մահից առաջ նա հրամայեց նրան իր տան վրա պատկերել հնգաթև աստղ. եթե Պյութագորացին երբևէ անցներ, նա անպայման կհարցներ այդ մասին: Եվ իսկապես, մի ​​քանի տարի անց մի Պյութագորաս տեսավ այս նշանը և վարձատրեց տան տիրոջը։

Անկյունի եռահատման խնդրի ծագումը կապված է նաև պրակտիկ գործունեության հետ, մասնավորապես, շրջանագիծը հավասար մասերի բաժանելու ունակությունը անհրաժեշտ էր, երբ շրջանագծի անկյունը կամ աղեղը բաժանում էին մի քանի հավասար մասերի անհրաժեշտ էր նաև ճարտարապետության, զարդանախշերի ստեղծման, շինարարական տեխնիկայի և աստղագիտության մեջ։

Օգտագործելով կողմնացույց և քանոն, դուք կարող եք կառուցել կանոնավոր n-գոններ n = 6-ի և 8-ի համար, բայց ոչ n=7 և 9-ի համար: Կանոնավոր յոթանկյուն կառուցելը հետաքրքիր խնդիր է. այն կարելի է լուծել «ներդիր» մեթոդով։ Կանոնավոր յոթանկյունի կառուցումն առաջարկվել է Արքիմեդի կողմից։ Բայց կանոնավոր իննանկյուն կառուցելու փորձերը պետք է հանգեցնեին անկյան եռահատման խնդրին, քանի որ կանոնավոր իննանկյուն կառուցելու համար անհրաժեշտ էր կառուցել 360°/9 = 120/3 անկյուն, այսինքն՝ 120° անկյունը բաժանել: երեք հավասար մասեր.

Ինչո՞ւ հույները կողմնացույցներն ու քանոնները գերադասեցին այլ գործիքներից:

Գիտնականները չեն կարող միանշանակ և բավական համոզիչ պատասխանել այս հարցին։ Արդյո՞ք դա այն պատճառով է, որ կողմնացույցներն ու քանոնները ամենապարզ գործիքներն են: Գուցե այդպես է։ Այնուամենայնիվ, կարելի է նշել բազմաթիվ այլ գործիքներ, որոնք պարզ են, ինչպես կողմնացույցն ու քանոնը, կամ գրեթե նույնքան պարզ: Դրանցից մի քանիսի օգնությամբ լուծվում են նաեւ ձեւակերպված խնդիրներ։

Համապատասխան գրականության մեջ կարելի է գտնել փորձեր՝ բացատրելու հույների այս արտասովոր համակրանքը հատուկ կողմնացույցների և տիրակալների նկատմամբ։ Ցանկացած երկրաչափական պատկեր բաղկացած է երկու տեսակի գծերից՝ ուղիղ կամ կոր։ Եվ ցանկացած կորը բաղկացած է տարբեր տրամագծերի շրջանակների մասերից: Ընդ որում, ուղիղ գիծը և շրջանագիծը հարթության վրա մշտական ​​կորության միակ գծերն են։

Ուղիղ անկյունը բաժանելով երեք հավասար մասերի.

Որոշ հատուկ դեպքերում հեշտ է բաժանել անկյունը: Այսպիսով, Պյութագորացիները կարողացան ուղիղ անկյունը բաժանել երեք հավասար մասերի, հիմնվելով այն փաստի վրա, որ հավասարակողմ եռանկյունում յուրաքանչյուր անկյուն հավասար է 60º-ի:

Թող անհրաժեշտ լինի ուղիղ գիծ բաժանել (ՄԱՐԴ.

AN ճառագայթի վրա դնում ենք կամայական AC հատված, որի վրա կառուցում ենք ACB հավասարակողմ եռանկյուն: Քանի որ (CAB-ը հավասար է 60º-ի, ապա (BAM-ը հավասար է 30º-ի: Եկեք կառուցենք CAB անկյան կիսադիրը AD, մենք ստանում ենք ուղիղ գծի ցանկալի բաժանումը (MAN երեք հավասար անկյունների. (NAD, (DAB, (BAM) .

Անկյունի եռահատման խնդիրը պարզվում է, որ լուծելի է անկյան որոշ այլ որոշակի արժեքների համար (օրինակ, 90° / 2n անկյունների համար, որտեղ n-ը բնական թիվ է): Այն, որ ոչ մի անկյուն չի կարելի բաժանել երեք հավասար մասերի՝ օգտագործելով միայն կողմնացույց և քանոն, ապացուցվել է միայն 19-րդ դարի առաջին կեսին։

Լուծում «ներդիր» մեթոդով

Հույների կողմից դիտարկվող անկյունների եռահատման որոշ մեթոդներ օգտագործում էին այսպես կոչված ներդիրի մեթոդը։ Այն բաղկացած էր տրված O կետով անցնող ուղիղի դիրքը գտնելուց, որի վրա տրված երկու ուղիղները (կամ ուղիղը և շրջանագիծը) կտրում էին a տրված երկարության հատվածը։ Այս շինարարությունը կարելի է կատարել՝ օգտագործելով կողմնացույց և քանոն երկու բաժանումներով, որոնց միջև հեռավորությունը հավասար է a.

Օգտագործելով «ներդիրներ»՝ շատ հեշտ է անկյունը բաժանել երեք հավասար մասերի։ Վերցնենք B գագաթով անկյան կողմի կամայական A կետը և նրանից մյուս կողմ գցենք ուղղահայաց AC:

Եկեք մի ճառագայթ գծենք A կետի միջով, որը ուղղորդված է BC ճառագայթի հետ: Այժմ AC և l ճառագայթների միջև տեղադրենք 2AB երկարությամբ DE հատված, որպեսզի դրա շարունակությունն անցնի B կետով: Այնուհետև (EBC = (ABC/3. Իսկապես, թող G լինի DE հատվածի միջնակետը: A կետը գտնվում է a-ի վրա: DE տրամագծով շրջան, հետևաբար AG = GE = DE/2 = AB եռանկյունները BAG և AGE հավասարաչափ են, հետևաբար (ABG = (AGB = 2 (AEG = 2 (EBC.

Պապուս Ալեքսանդրացին ցույց տվեց, որ տրված l1 և l2 ուղղահայաց գծերի միջև հատված «տեղադրելու» խնդիրը հանգում է շրջանագծի և հիպերբոլայի հատման կետի կառուցմանը: Դիտարկենք ABCD ուղղանկյուն, որի BC և CD կողմերի երկարացումները տրված են ուղիղներ, իսկ A գագաթը տրված կետ է, որի միջով մենք պետք է E և F կետերում l1 և l2 գծերը հատող ուղիղ գծենք, որպեսզի EF հատվածը ունենա տրված երկարությունը.

Լրացնենք DEF եռանկյունը դեպի DEFG զուգահեռագիծը: Ցանկալի գիծը կառուցելու համար բավական է կառուցել G կետը, այնուհետև A կետով գծել ուղիղ DG-ին զուգահեռ գիծ: G կետը D կետից հեռացվում է DG = EF տրված հեռավորությամբ, ուստի G կետը գտնվում է շրջանագծի վրա, որը կարելի է կառուցել:

Մյուս կողմից, ABF և EDA եռանկյունների նմանությունից ստանում ենք AB՝ ED = BF: AD, այսինքն՝ ED*BF=AB*AD: Հետևաբար, FG*BF=AB*AD = SABCD, այսինքն՝ G կետը գտնվում է հիպերբոլայի վրա (եթե դուք Ox և Oy առանցքներն ուղղում եք BF և BA ճառագայթների երկայնքով, ապա այս հիպերբոլան տրվում է xy = SABCD հավասարմամբ):

Լուծում քառակուսի օգտագործմամբ

«Քերականական» խնդիրները ներառում են անկյունը ցանկացած հարաբերակցությամբ բաժանելու խնդիրը: Նման խնդրի լուծման առաջին կորը հորինել է Հիպիաս Էլիսացին։ Հետագայում (սկսած Դինոստրատուսից) այս կորը օգտագործվել է նաև շրջանագծի քառակուսի լուծման համար։ Լայբնիցն այս կորը անվանել է քառակուսի:

Այն ստացվում է հետևյալ կերպ. ABCD քառակուսիում թող B′C′ հատվածի ծայրերը հավասարաչափ շարժվեն կողքերով՝ համապատասխանաբար BA և CD, իսկ AN հատվածը հավասարաչափ պտտվի A կետի շուրջ: B′C հատվածը սկզբնական պահին համընկնում է BC հատվածը, իսկ AN հատվածը համընկնում է AB հատվածի հետ; երկու հատվածները միաժամանակ հասնում են իրենց վերջնական դիրքին AD: Կվադրատրիքսը կոր է, որը նկարագրվում է B′C′ և AN հատվածների հատման կետով:

Ֆ սուր անկյունը որոշ առումով բաժանելու համար անհրաժեշտ է վերը նշված գծագրում գծել DAL = φ անկյունը, որտեղ L-ն ընկած է քառակուսի վրա: Եկեք ուղղահայաց LH-ը գցենք AD հատվածի վրա: Եկեք այս ուղղահայացը բաժանենք պահանջվող հարաբերակցության մեջ P կետի վրա: Գծե՛ք AD-ին զուգահեռ հատված P-ով, մինչև այն հատվի Q կետի քառակուսի հետ; AQ ճառագայթը բաժանում է LAD անկյունը պահանջվող հարաբերակցությամբ, քանի որ, ըստ քառակուսի սահմանման, (LAQ: (QAD = (LP: (LH.

Գործնական աշխատանք անկյունային եռասեկտորների կառուցման վերաբերյալ

«ներդիր» մեթոդով

Օգտագործելով քառանկյուն

Լուծում՝ օգտագործելով Մորլիի թեորեմը

Քանի որ ցանկացած անկյուն չի կարող բաժանվել երեք հավասար մասերի, մենք կարող ենք անկյան եռահատման խնդիրը լուծել հակառակ հերթականությամբ՝ օգտագործելով Մորլիի թեորեմը։

Թեորեմ. Թող BC կողմին ամենամոտ B և C անկյունների եռասեկտորները հատվեն A1 կետում; B1 և C1 կետերը որոշվում են նույն կերպ: Այնուհետև A1B1C1 եռանկյունը հավասարակողմ է, իսկ C1C հատվածը ուղղահայաց է կանոնավոր եռանկյան հիմքին:

Լուծենք հետևյալ խնդիրը՝ բոլոր անկյուններից գծված եռանկյունի կառուցենք։

Շինարարական պլան.

1) Կառուցենք երկու կամայական անկյուն (BAC1 և (ABC1), որոնց մի կողմը ընդհանուր է:

Կառուցված անկյունները պետք է բավարարեն անհավասարությունը.

2) Համաչափության առանցքը թող լինի AC1 ճառագայթը: Եկեք արտացոլենք (BAC1 հարաբերական AC1 առանցքի: Նմանապես, մենք այն կարտացոլենք BC1 առանցքի նկատմամբ (ABC1.

3) Համաչափության առանցքը թող լինի AC2 ճառագայթը: Եկեք արտացոլենք (C1AC2 հարաբերական AC2 առանցքի: Նմանապես, մենք արտացոլում ենք BC2 առանցքի նկատմամբ (C1ВC2.

4) C1 և C2 եռասեկտորների հատման կետերը միացնել C1C2 հատվածին.

5) Մորլիի թեորեմն ասում է, որ երբ եռանկյան եռանկյունիները հատվում են, ստացվում է կանոնավոր եռանկյուն, իսկ C1C2 հատվածը ուղղահայաց է կանոնավոր եռանկյան հիմքին և անցնում է այս եռանկյան գագաթով։ Կանոնավոր եռանկյունի կառուցելու համար, իմանալով դրա բարձրությունը, անհրաժեշտ է. ա) C1 կետից բխող ճառագայթներ կառուցել C1C2 հատվածի նկատմամբ 30º անկյան տակ. բ) B1 և A1 տառերով նշել կառուցված ճառագայթների եռասեկտորների հատման կետերը. գ) միացնել A1, B1, C1 կետերը: Ստանում ենք A1B1C1 հավասարակողմ եռանկյուն:

6) C կետից գծենք B1 և A1 կանոնավոր եռանկյան գագաթներով անցնող ճառագայթներ:

Նկարում թողնենք եռանկյան եռասեկտորների հատվածները։

Մենք կառուցել ենք ABC եռանկյուն, որի բոլոր անկյուններից գծված են եռասեկտորները:

Անկյունի եռահատման անլուծելիությունը կողմնացույցի և քանոնի միջոցով

Կողմնացույցի և քանոնի միջոցով ցանկացած անկյուն երեք հավասար մասերի բաժանելու անհնարինությունն ապացուցելու համար բավական է ապացուցել, որ այս կերպ հնարավոր չէ որոշակի կոնկրետ անկյուն բաժանել։ Մենք կապացուցենք, որ կողմնացույցի և քանոնի միջոցով անհնար է 30° անկյունը եռահատել։ Ներկայացնենք Oxy կոորդինատային համակարգը՝ որպես կոորդինատների սկզբնակետ ընտրելով այս անկյան AOB գագաթը և ուղղելով Ox առանցքը OA կողմի երկայնքով: Կարելի է ենթադրել, որ A և B կետերը O կետից հեռացված են 1 հեռավորությամբ: Այնուհետև անկյան եռահատման հարցում պահանջվում է կոորդինատներով կետից կառուցել կետ (cosφ, sinφ): մեղք Զφ). Այն դեպքում, երբ φ=10°, ելակետն ունի կոորդինատներ։ Նրա երկու կոորդինատներն էլ արտահայտված են քառակուսի ռադիկալներով։ Ուստի բավական է ապացուցել, որ sin 10° թիվը արտահայտված չէ քառակուսի ռադիկալներով։

Քանի որ sin3φ = sin(φ + 2φ) =

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =

cos2α = cos2α - sin2α

sin2α = 2sinα cosα

Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =

sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α

Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =

Sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =

Sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =

Sinφ(3 - 4sin2φ) =

3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, ապա x = sin 10° թիվը բավարարում է խորանարդ հավասարումը.

3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)

8x3 - 6x + 1 = 0

(2x)3 -3*2x + 1 = 0

Բավական է ապացուցել, որ այս հավասարումը ռացիոնալ արմատներ չունի։ Ենթադրենք, որ 2x=p/q, որտեղ p-ն և q-ն ընդհանուր գործակից չունեցող ամբողջ թվեր են։ Այնուհետև p3 – 3pq2 + q3 = 0, այսինքն q3=p(3q2-p2): Հետևաբար, q թիվը բաժանվում է p-ի, ինչը նշանակում է p=±1։ Հետևաբար ±13q2 + q3 =0, այսինքն q2(q±3)= ±1: 1 թիվը բաժանվում է q-ի, ուստի q=±1: Արդյունքում մենք ստանում ենք, որ x = ±1/2: Հեշտ է ստուգել, ​​որ ±1/2 արժեքները հավասարման արմատները չեն: Հակասություն է ստացվել, հետևաբար հավասարումը չունի ռացիոնալ արմատներ, ինչը նշանակում է, որ sin10° թիվը չի կարող արտահայտվել քառակուսի ռադիկալներով։

Դիմում

Անկյունների եռահատումն անհրաժեշտ է կանոնավոր բազմանկյուններ կառուցելիս: Մենք կդիտարկենք կառուցման գործընթացը՝ օգտագործելով շրջանագծի մեջ ներգծված կանոնավոր ոչանկյունի օրինակը:

Կառուցեք ABC ուղղանկյուն եռանկյուն: Մենք կառուցում ենք BC1 և BC2 եռասեկտորները: Ստացված անկյունները 30º էին: Ստացված անկյուններից մեկը բաժանում ենք երկու 15º բիսեկտորի։ Ճիշտ անկյան վրա մենք «ավելացնում ենք» 15º յուրաքանչյուր կողմում: Կրկին մենք կառուցում ենք ստացված DBE անկյան եռասեկտորները: Սա կրկնում ենք ևս երկու անգամ՝ B կետում եռանկյունը պտտելով այնպես, որ DB-ն համընկնի նախորդ BE դիրքի հետ։ Միացրեք ստացված կետերը:

Մեզ հաջողվեց կառուցել կանոնավոր իննանկյուն՝ օգտագործելով եռասեկտորների կառուցումը:

Տրիսեկտոր

Անկյունի եռահատման խնդիրը ընդհանուր դեպքում չի կարող լուծվել կողմնացույցի և քանոնի միջոցով, բայց դա չի նշանակում, որ այս խնդիրը չի կարող լուծվել այլ օժանդակ միջոցներով։

Այս նպատակին հասնելու համար ստեղծվել են բազմաթիվ մեխանիկական սարքեր, որոնք կոչվում են եռասեկտորներ։ Ամենապարզ եռասեկտորը կարելի է հեշտությամբ պատրաստել հաստ թղթից, ստվարաթղթից կամ բարակ թիթեղից: Այն կծառայի որպես նկարչական օժանդակ գործիք։

Տրիսեկտորը և դրա կիրառման սխեման.

Կիսաշրջանին կից AB շերտը երկարությամբ հավասար է կիսաշրջանի շառավղին։ BD շերտի եզրը ուղիղ անկյուն է կազմում AC ուղիղ գծի հետ; այն դիպչում է B կետի կիսաշրջանին; Այս շերտի երկարությունը կամայական է: Նույն պատկերը ցույց է տալիս եռասեկտորի օգտագործումը: Թող, օրինակ, ուզում եք KSM անկյունը բաժանել երեք հավասար մասերի

Եռասեկտորը դրված է այնպես, որ S անկյան գագաթը գտնվում է BD գծի վրա, անկյան մի կողմն անցնում է A կետով, իսկ մյուս կողմը դիպչում է կիսաշրջանին։ Այնուհետև գծվում են SB և SO ուղիղ գծեր, և ավարտվում է այս անկյան բաժանումը երեք հավասար մասերի։ Սա ապացուցելու համար եկեք միացնենք O կիսաշրջանի ուղիղ կենտրոնը N շոշափող կետի հետ Հեշտ է ստուգել, ​​որ ASB եռանկյունը հավասար է SBO եռանկյունին, իսկ SBO եռանկյունը հավասար է OSN եռանկյունին: Այս երեք եռանկյունների հավասարությունից հետևում է, որ ASB, BS0 և 0SN անկյունները հավասար են միմյանց, ինչն էլ պետք է ապացուցել։

Անկյունի եռահատման այս մեթոդը զուտ երկրաչափական չէ. այն ավելի շուտ կարելի է անվանել մեխանիկական։

Տրիսեկտոր ժամացույց

(օգտագործման հրահանգներ)

Սարքավորումներ՝ կողմնացույց, քանոն, սլաքներով ժամացույց, մատիտ, թափանցիկ թուղթ։

Աշխատանքի առաջընթաց.

Տեղափոխեք այս անկյան պատկերը թափանցիկ թղթի վրա և այն պահին, երբ ժամացույցի երկու սլաքները հավասարեցված են, գծագիրը տեղադրեք ժամացույցի վրա այնպես, որ անկյան վերին մասը համընկնի սլաքների պտտման կենտրոնի հետ, և անկյան մի կողմն անցնի երկայնքով: ձեռքերը։

Այն պահին, երբ ժամացույցի րոպեի սլաքը համընկնում է այս անկյան երկրորդ կողմի ուղղության հետ, անկյան վերևից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ գծեք ճառագայթ: Ձևավորվում է անկյուն, որը հավասար է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտվող անկյունին: Այժմ, օգտագործելով կողմնացույց և քանոն, կրկնապատկեք այս անկյունը և կրկին կրկնապատկեք կրկնապատկված անկյունը: Այս կերպ ստացված անկյունը կլինի սրանից ⅓:

Իրոք, ամեն անգամ, երբ րոպեի սլաքը նկարագրում է որոշակի անկյուն, ժամասլաքն այս ընթացքում շարժվում է դեպի 12 անգամ փոքր անկյուն, և այս անկյունը 4 անգամ մեծացնելուց հետո ստացվում է (a/12) * 4 = ⅓ a անկյունը։

Եզրակացություն

Այնպես որ, մաթեմատիկայի պատմության մեջ առանձնահատուկ դեր են խաղացել անլուծելի շինարարական խնդիրները։ Ի վերջո, ապացուցվեց, որ այս խնդիրները հնարավոր չէ լուծել միայն կողմնացույցի և քանոնի միջոցով։ Բայց առաջադրանքի՝ «ապացուցել անլուծելիությունը» ձևակերպումը համարձակ առաջընթաց էր։

Միաժամանակ առաջարկվել են բազմաթիվ լուծումներ՝ օգտագործելով ոչ ավանդական գործիքներ։ Այս ամենը հանգեցրեց երկրաչափության և հանրահաշվի բոլորովին նոր գաղափարների առաջացմանն ու զարգացմանը։

Ավարտելով և վերլուծելով իմ հետազոտական ​​աշխատանքը՝ ես արեցի հետևյալ եզրակացությունները.

✓ Նման խնդիրների առաջացումը որոշվել է դրանց գործնական նշանակությամբ (մասնավորապես՝ կանոնավոր բազմանկյունների կառուցմամբ);

✓ նման խնդիրներն առաջացնում են նոր մեթոդների և տեսությունների մշակում («ներդիր» մեթոդ, քառակուսի տեսք, Մորլիի թեորեմ).

✓ անլուծելի խնդիրները ավելի մեծ ուշադրություն են գրավում գիտության վրա. լուծում գտնելը կամ անհնարինությունն ապացուցելը մեծ պատիվ է:

Եվ ես նաև սովորեցի.

✓ մաթեմատիկոսների մասին, ովքեր ուսումնասիրել են այս խնդիրը.

✓ նոր հասկացություններ, տերմիններ (տրիսեկցիա, եռասեկտոր, քառակուսի) և թեորեմներ (Մորլի) և սովորել.

✓ արդյունավետորեն գտնել և ընտրել անհրաժեշտ նյութը.

✓ համակարգել ձեռք բերված գիտելիքները.

✓ ճիշտ ձևակերպել հետազոտական ​​աշխատանքը:

Անկյունը եռահատել նշանակում է անկյունը բաժանել երեք հավասար մասերի: Սա, իհարկե, ամենևին էլ դժվար չէ անել։ Դուք կարող եք, օրինակ, չափել տրված անկյունը անկյունաչափով, գտնված աստիճանների թիվը բաժանել երեքի, այնուհետև նույն անկյունաչափով գծել այն անկյունը, որը պարունակում է ստացված աստիճանների թիվը որպես քանորդ։ Բայց դուք կարող եք հաղթահարել

և առանց անկյունաչափի, օգտագործելով «հաջորդական մոտարկումների» մեթոդը. կամայական շառավղով աղեղ կառուցելով, որի համար տվյալ անկյունը կենտրոնական է, աչքով վերցնում ենք աղեղի երրորդ մասին համապատասխանող ակորդը և հաջորդաբար գծում այս ակորդը։ երեք անգամ աղեղի երկայնքով՝ սկսած նրա ծայրերից մեկից։ Եթե ​​սրանից հետո հայտնվենք աղեղի մյուս ծայրում, ապա խնդիրը լուծված է։ Եթե, ինչպես սովորաբար լինում է, չենք հասնում աղեղի մյուս ծայրին կամ չենք անցնում դրա վրայով, ապա աչքով վերցրած ակորդը պետք է ուղղել՝ ավելացնելով կամ նվազեցնելով այն ստացված կետից մինչև հեռավորության մեկ երրորդով։ աղեղի վերջը, և այս մեկ երրորդը Կրկին, մենք այն վերցնում ենք աչքով: Այս շտկված ակորդը նորից դնում ենք աղեղի վրա և, անհրաժեշտության դեպքում, նորից ուղղում ենք նույն ձևով։ Յուրաքանչյուր նոր (ուղղված) ակորդ կտա գնալով ավելի ճշգրիտ լուծում, և վերջապես, գործողությունը մի քանի անգամ կրկնելով, մենք կստանանք մի ակորդ, որը գրեթե երեք անգամ կտեղավորվի տվյալ աղեղի վրա, և կավարտվի անկյան եռահատումը: Իհարկե, այս երկու մեթոդները թույլ են տալիս տրված անկյունը բաժանել ոչ միայն երեք, այլ ցանկացած թվով հավասար մասերի։

Այնուամենայնիվ, երբ մաթեմատիկոսները խոսում են անկյան եռահատման խնդրի մասին, նրանք նկատի ունեն ոչ թե դրանք շատ արժեքավոր գործնական առումով, այլ միայն մոտավոր մեթոդներ, այլ ճշգրիտ մեթոդ, ընդ որում, հիմնված բացառապես կողմնացույցի և քանոնի օգտագործման վրա: Հարկ է նաև նշել, որ դա նշանակում է քանոնի միայն մեկ եզրի օգտագործում, և որ քանոնը պետք է ծառայի միայն ուղիղ գծեր գծելու համար (օրինակ, մասշտաբային բաժանումների օգտագործումը չի թույլատրվում), իսկ կողմնացույցը պետք է օգտագործվի միայն գծելու համար։ շրջանակներ. Վերջապես, պահանջվող մեթոդը պետք է խնդրի լուծում տա գծերի և շրջանակների գծման վերջավոր թվով գործողությունների միջոցով: Վերջին դիտողությունը շատ կարևոր է. Այսպիսով, հաստատելով (օգտագործելով երկրաչափական անվերջ նվազող առաջընթացի գումարի բանաձևը), որ

Անկյունի եռահատման խնդրին կարող ենք առաջարկել միայն քանոնի և կողմնացույցի օգտագործումը հետևյալ լուծումը. տրված անկյունը բաժանում ենք 4 հավասար մասերի, ինչը, ինչպես հայտնի է, կարելի է անել կողմնացույցի և քանոն, իսկ հետո ստացված անկյան վրա մենք ավելացնում ենք ուղղում, որը հավասար է իր քառորդին, այսինքն.

հավասար է առաջինին, այսինքն՝ տրված անկյունին և այլն: Խնդրի ճշգրիտ լուծումն այս ձևով պահանջում է անսահման մեծ թվով գործողություններ (անկյունները բաժանելով 4 հավասար մասերի), հետևաբար այն դասական լուծումը չէ, որը նախատեսված է, երբ խոսում են անկյան եռահատման խնդրի լուծման և շինարարական այլ խնդիրների մասին։

Այսպիսով, մենք խոսելու ենք անկյան եռահատման խնդրի ճշգրիտ լուծման մասին՝ գծելով վերջավոր թվով ուղիղ գծեր և շրջանակներ։

Որոշ տեսանկյունների համար այս խնդիրը լուծվում է բավականին պարզ: Այսպիսով, 180° անկյան եռահատման համար բավական է կառուցել 60° անկյուն, այսինքն՝ հավասարակողմ եռանկյան անկյուն, իսկ 90° և 45° անկյունների եռահատման համար՝ 30° և 30° անկյուններ։ 15°, այսինքն՝ կիսակողմ և քառորդ անկյուններ հավասարակողմ եռանկյունի: Այնուամենայնիվ, ապացուցված է, որ անկյունների անսահման բազմության հետ մեկտեղ, որոնք ընդունում են եռահատում, կա անկյունների անսահման բազմություն, որոնք չեն ընդունում եռահատում (վերևում նշված իմաստով): Այսպիսով, անհնար է բաժանել երեք հավասար մասերի (վերջավոր թվով գծեր և շրջաններ գծելով) ոչ 60°, ոչ 30° անկյուն, ոչ 15°, ոչ էլ 40° անկյուն, ոչ 120° անկյուն, ոչ էլ այլ անկյուններ անսահման սահմանում:

Այժմ պարզենք, թե արդյոք ճիշտ է կամայական անկյունը երեք հավասար մասերի բաժանելու հետևյալ հաճախ առաջարկվող մեթոդը։ B գագաթից կամայական շառավղով գծեք շրջանագծի աղեղ, որը կհատի անկյան կողմերը կետերում (նկ. 39): Մենք ակորդը բաժանում ենք երեք հավասար մասերի և բաժանման կետերը միացնում ենք B-ի հետ: Անկյունները կթվա, որ հավասար են, և կամայական անկյան եռահատումը, հետևաբար, կկատարվի այսպես.

պահանջվում է, այսինքն՝ վերջավոր թվով գծեր և շրջանագծեր գծելով. հատվածի բաժանումը երեք հավասար մասերի, որը պահանջվում էր այստեղ, կարելի է անել, ինչպես հայտնի է, հենց այս կերպ։

Նման լուծում առաջարկողները կարծում են, որ այն հատվածների հավասարությունը, որոնց բաժանել ենք ակորդը, ենթադրում է աղեղների հավասարություն, որոնք կստացվեն, եթե շարունակենք շրջանագծի հետ հատումը: Սա ճի՞շտ է: Եթե ​​այս կամարները հավասար են, ապա անկյունները հավասար են (թող նրանցից յուրաքանչյուրը հավասար լինի a-ին), և դրանց ենթարկվող ակորդները նույնպես հավասար են դա կապացուցի ստորև), և հատվածը հավասար է հատվածին, քանի որ անկյունները և հավասար են.

Հետևաբար, եթե հատվածները հավասար են, ապա հատվածները և, հակառակ պայմանին, անհավասար են, և հավասարության ենթադրությունը պետք է մերժվի։

Ուղղահայացը B գագաթից իջեցնելով ակորդը, մենք նկատում ենք, որ ամբողջ պատկերը սիմետրիկ է BK-ի նկատմամբ. գծագիրը թեքելով երկայնքով մենք կբերենք դրա երկու կեսերը համընկնման: Այստեղից մենք եզրակացնում ենք, որ III հատվածը ուղղահայաց է և դրա շնորհիվ հատվածը զուգահեռ է, իսկ եռանկյունները և նման են, ինչը տալիս է. Բայց և հետևաբար, ինչպես վերը նշեցինք:

Անկյունը կիսով չափ բաժանելը (Նկար 26, ա): Վերևից IN անկյուն ABC կամայական շառավիղ Ռ 1 գծեք աղեղ, մինչև այն հատվի անկյան կողմերի հետ կետերում Մ Եվ Ն . Հետո կետերից Մ Եվ Ն նկարել շառավղով կամարներ > Ռ 1 մինչև դրանք հատվեն կետում Դ . Ուղիղ ԲԴ տրված անկյունը կբաժանի կիսով չափ։

Անկյունը 4, 8 և այլն հավասար մասերի բաժանելն իրականացվում է անկյան յուրաքանչյուր հատվածը հաջորդաբար կիսով չափ բաժանելով (Նկար 26, բ)։

Նկար 26

Այն դեպքում, երբ անկյունը նշված է գծագրի ներսում չհատվող կողմերի կողմից, օրինակ ԱԲ Եվ CD Նկար 26, գ-ում անկյունը կիսով չափ բաժանելը կատարվում է այսպես. Կամայական, բայց հավասար հեռավորության վրա լ Անկյունի կողմերից ուղիղ գծեր են գծվում ԿԼ || ԱԲ Եվ MN || CD և շարունակեք դրանք մինչև հատվեն կետում ՄԱՍԻՆ . Արդյունքում անկյուն Լ ՄԻԱՑՎԱԾ կիսել ուղիղ գիծ ՕՐ . Ուղիղ ՕՐ կկիսատի նաև տրված անկյունը.

Ուղիղ անկյունը բաժանելով երեք հավասար մասերի (Նկար 27): Ուղիղ անկյան գագաթից՝ կետ IN նկարել կամայական շառավիղով աղեղ Ռ մինչև այն կետերով հատի անկյան երկու կողմերը Ա Եվ Գ . Նույն շառավիղը Ռ կետերից Ա Եվ ՀԵՏ նկարել կամարներ, մինչև դրանք հատվեն աղեղի հետ A.C. կետերում Մ Եվ Ն . Անկյունի գագաթով գծված գծեր IN և կետեր Մ Եվ Ն , ճիշտ անկյունը բաժանեք երեք հավասար մասերի։

Նկար 27

2.4 Շրջանակը հավասար մասերի բաժանել, կանոնավոր բազմանկյուններ կառուցել

2.4.1 Շրջանակը հավասար մասերի բաժանելը և կանոնավոր ներգծված բազմանկյունների կառուցումը

Շրջանակը կիսով չափ բաժանելու համար բավական է նկարել ցանկացած տրամագիծը. Երկու փոխադարձ ուղղահայաց տրամագծերը շրջանակը կբաժանեն չորս հավասար մասերի (Նկար 28, ա): Յուրաքանչյուր չորրորդ մասը բաժանելով կիսով չափ՝ ստանում եք ութերորդ մասեր, իսկ հետագա բաժանմամբ՝ տասնվեցերորդ, երեսուն երկրորդ մասեր և այլն (Նկար 28, բ)։ Եթե ​​ուղիղ միացնեք բաժանման կետերը, ապա կարող եք ստանալ կանոնավոր գծագրված քառակուսու կողմերը (Ա 4 ), ութանկյուն ( Ա 8 ) և տ . դ (Նկար 28, գ):

Նկար 28

Շրջանակը բաժանելով 3, 6, 12 և այլն հավասար մասերի, և նաև համապատասխան կանոնավոր ներգծված բազմանկյունների կառուցում իրականացվում է հետևյալ կերպ. Շրջանակով գծված են երկու փոխադարձ ուղղահայաց տրամագծեր 1–2 Եվ 3–4 (Նկար 29 ա): Միավորներից 1 Եվ 2 ինչպես են կենտրոններից նկարագրվում շրջանագծի շառավղով աղեղները Ռ այն կետերով հատելուց առաջ A, B, C Եվ Դ . Միավորներ Ա ,Բ ,1, C, Դ Եվ 2 շրջանագիծը բաժանեք վեց հավասար մասերի: Այս նույն կետերը, վերցված մեկի միջով, շրջանակը կբաժանեն երեք հավասար մասերի (Նկար 29, բ): Շրջանակը 12 հավասար մասերի բաժանելու համար նշեք կետերից շրջանագծի շառավղով ևս երկու աղեղ 3 Եվ 4 (Նկար 29, գ):

Նկար 29

Դուք կարող եք նաև կառուցել կանոնավոր ներգծված եռանկյուններ, վեցանկյուններ և այլն՝ օգտագործելով քանոն և 30 և 60° քառակուսի: Նկար 30-ը ցույց է տալիս ներգծված եռանկյունու համանման կառուցվածք:

Նկար 30

Շրջանակը յոթ հավասար մասերի բաժանելը իսկ կանոնավոր ներգծված յոթանկյունի կառուցումը (Նկար 31) կատարվում է օգտագործելով ներգծված եռանկյան կողմի կեսը՝ մոտավորապես հավասար ներգծված յոթանկյան կողմին։

Նկար 31

Շրջանակը հինգ կամ տասը բաժանելու համար հավասար մասեր նկարեք երկու փոխադարձ ուղղահայաց տրամագծեր (Նկար 32, ա): Շառավիղ Օ.Ա. կիսել կիսով չափ և միավոր ստանալով IN , նկարագրեք դրանից շառավղով մի աղեղ Ռ = Ք.ա. մինչև այն հատվի կետում Դ հորիզոնական տրամագծով։ Կետերի միջև հեռավորությունը Գ Եվ Դ հավասար է կանոնավոր ներգծված հնգանկյունի կողային երկարությանը ( Ա 5 ), և հատվածը Օ.Դ. հավասար է կանոնավոր գծագրված տասնանկյան կողմի երկարությանը ( Ա 10 ). Շրջանակի բաժանումը հինգ և տասը հավասար մասերի, ինչպես նաև ներգծված կանոնավոր հնգանկյունների և տասնանկյունների կառուցումը ներկայացված են Նկար 32-ում, բ. Շրջանակը հինգ մասի բաժանելու օգտագործման օրինակ է հնգաթև աստղը (Նկար 32, գ):

Նկար 32

Նկար 33-ը ցույց է տալիս Շրջանակը հավասար մասերի մոտավոր բաժանելու ընդհանուր մեթոդ . Ենթադրենք՝ ցանկանում եք շրջանագիծը բաժանել ինը հավասար մասերի։ Շրջանակով գծված են երկու փոխադարձ ուղղահայաց տրամագիծ և ուղղահայաց տրամագիծ ԱԲ բաժանված է ինը հավասար մասերի, օգտագործելով օժանդակ ուղիղ գիծ (Նկար 33, ա): Կետից Բ նկարագրել շառավղով աղեղ Ռ =ԱԲ , իսկ հորիզոնական տրամագծի շարունակության հետ դրա հատման կետում ստացվում են կետեր ՀԵՏ Եվ Դ . Միավորներից Գ Եվ Դ զույգ կամ կենտ տրամագծով բաժանման կետերի միջոցով ԱԲ փոխանցել ճառագայթները. Շրջանի հետ ճառագայթների հատման կետերը այն կբաժանեն ինը հավասար մասերի (Նկար 33, բ):

Նկար 33

Կառուցելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել, որ շրջանագիծը հավասար մասերի բաժանելու այս մեթոդը պահանջում է հատկապես բարձր ճշգրտություն բոլոր գործողությունները կատարելիս։