Գծապատկերե՛ք y x2 ֆունկցիան 4x 3. Քառակուսի և խորանարդ ֆունկցիաներ. Քառակուսային ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

Եկեք նայենք, թե ինչպես կարելի է մոդուլով գրաֆիկ կառուցել:

Եկեք գտնենք այն կետերը, որոնց անցման ժամանակ փոխվում է մոդուլների նշանը։
Մոդուլի տակ գտնվող յուրաքանչյուր արտահայտություն հավասարեցնում ենք 0-ի: Դրանցից ունենք երկուսը x-3 և x+3:
x-3=0 և x+3=0
x=3 և x=-3

Մեր թվային տողը կբաժանվի երեք միջակայքի (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞): Յուրաքանչյուր ընդմիջումով դուք պետք է որոշեք մոդուլային արտահայտությունների նշանը:

1. Սա շատ հեշտ է անել, հաշվի առեք առաջին միջակայքը (-∞;-3): Վերցնենք այս հատվածից ցանկացած արժեք, օրինակ՝ -4, և x-ի արժեքը փոխարինենք մոդուլային հավասարումներից յուրաքանչյուրում:
x=-4
x-3=-4-3=-7 և x+3=-4+3=-1

Երկու արտահայտություններն էլ ունեն բացասական նշաններ, ինչը նշանակում է, որ հավասարման մեջ մոդուլի նշանից առաջ մինուս ենք դնում, իսկ մոդուլի նշանի փոխարեն փակագծեր ենք դնում և (-∞;-3) միջակայքի վրա ստանում ենք պահանջվող հավասարումը։

y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6

(-∞;-3) ինտերվալի վրա ստացվել է գրաֆիկը գծային ֆունկցիա(ուղիղ) y=6

2. Դիտարկենք երկրորդ միջակայքը (-3;3): Եկեք պարզենք, թե ինչպիսին կլինի գրաֆիկի հավասարումը այս հատվածում: Վերցնենք -3-ից մինչև 3-ը ցանկացած թիվ, օրինակ՝ 0: Փոխարինեք 0 արժեքը x արժեքով:
x=0
x-3=0-3=-3 և x+3=0+3=3

Առաջին x-3 արտահայտությունն ունի բացասական նշան, իսկ երկրորդ x+3 արտահայտությունը՝ դրական: Հետեւաբար, x-3 արտահայտությունից առաջ գրում ենք մինուս նշան, իսկ երկրորդ արտահայտությունից առաջ՝ գումարած նշան։

y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x

(-3;3) միջակայքում ստացանք գծային ֆունկցիայի գրաֆիկ (ուղիղ) y=-2x.

3. Դիտարկենք երրորդ միջակայքը (3;+∞): Վերցնենք այս հատվածից ցանկացած արժեք, օրինակ 5, և x արժեքը փոխարինենք մոդուլային հավասարումներից յուրաքանչյուրում:

x=5
x-3=5-3=2 և x+3=5+3=8

Երկու արտահայտությունների համար էլ նշանները դրական են ստացվել, ինչը նշանակում է, որ հավասարման մեջ մոդուլի նշանի դիմաց դնում ենք գումարած, իսկ մոդուլի նշանի փոխարեն փակագծեր ենք դնում և ստանում ենք պահանջվող հավասարումը միջակայքի վրա (3;+): ∞):

y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6

(3;+∞) ինտերվալի վրա ստացանք գծային ֆունկցիայի գրաֆիկ (ուղիղ) у=-6.

4. Այժմ ամփոփենք գրաֆիկը y=|x-3|-|x+3|.
(-∞;-3) ինտերվալի վրա կառուցում ենք y=6 գծային ֆունկցիայի (ուղիղ) գրաֆիկը։
(-3;3) միջակայքի վրա կառուցում ենք y=-2x գծային ֆունկցիայի (ուղիղ) գրաֆիկը։
y = -2x գրաֆիկ կառուցելու համար ընտրում ենք մի քանի կետ։
x=-3 y=-2*(-3)=6 արդյունքը միավոր է (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 արդյունքը միավոր է (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 արդյունքը կետն է (3;-6)
(3;+∞) ինտերվալի վրա կառուցում ենք գծային ֆունկցիայի (ուղիղ) у=-6 գրաֆիկը։

5. Հիմա վերլուծենք արդյունքը և պատասխանենք հարցին, գտենք k-ի արժեքը, որում ունի y=kx ուղիղը y=|x-3|-|x+3| Տրված ֆունկցիան ունի ուղիղ մեկ ընդհանուր կետ.

y=kx ուղիղը k-ի ցանկացած արժեքի համար միշտ կանցնի (0;0) կետով: Հետևաբար, մենք կարող ենք փոխել միայն այս ուղղի y=kx թեքությունը, իսկ թեքության համար պատասխանատու է k գործակիցը։

Եթե ​​k-ն ցանկացած դրական թիվ է, ապա կլինի y=kx ուղիղ գծի մեկ հատում y=|x-3|-|x+3| գրաֆիկի հետ: Այս տարբերակը հարմար է մեզ:

Եթե ​​k-ն վերցնում է (-2;0) արժեքը, ապա y=kx ուղիղ գծի հատումը y=|x-3|-|x+3| կլինեն երեք: Այս տարբերակը մեզ չի համապատասխանում:

Եթե ​​k=-2, ապա շատ լուծումներ կլինեն [-2;2], քանի որ y=kx ուղիղը կհամընկնի y=|x-3|-|x+3| այս տարածքում։ Այս տարբերակը մեզ չի համապատասխանում:

Եթե ​​k-ը -2-ից փոքր է, ապա y=kx ուղիղը y=|x-3|-|x+3| կունենա մեկ խաչմերուկ: Այս տարբերակը հարմար է մեզ:

Եթե ​​k=0, ապա y=kx ուղիղ գծի հատումը y=|x-3|-|x+3| կլինի նաև մեկը: Այս տարբերակը հարմար է մեզ:

Պատասխան՝ (-∞;-2)U միջակայքին պատկանող k-ի համար; f(x) = x + 2 գծապատկերը f(x) = x ուղիղին զուգահեռ ուղիղ է, բայց երկու միավորով շարժվելով դեպի վեր և, հետևաբար, անցնում է (0,2) կոորդինատներով կետով (քանի որ հաստատունը 2 է) .

Բարդ ֆունկցիայի գծապատկեր

Գտե՛ք ֆունկցիայի զրոները։Ֆունկցիայի զրոները x փոփոխականի արժեքներն են, որտեղ y = 0, այսինքն՝ դրանք այն կետերն են, որտեղ գրաֆիկը հատում է X առանցքը քայլ ցանկացած ֆունկցիայի գրաֆիկական ձևավորման գործընթացում: Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար այն հավասարեցրեք զրոյի: Օրինակ՝

Գտեք և նշեք հորիզոնական ասիմպտոտները:Ասիմպտոտը այն գիծն է, որին մոտենում է ֆունկցիայի գրաֆիկը, բայց երբեք չի հատվում (այսինքն այս շրջանում ֆունկցիան սահմանված չէ, օրինակ, 0-ի բաժանելիս)։ Նշեք ասիմպտոտը կետավոր գծով: Եթե ​​«x» փոփոխականը կոտորակի հայտարարի մեջ է (օրինակ. y = 1 4 − x 2 (\ցուցադրման ոճ y=(\frac (1)(4-x^(2))))), հայտարարը դրեք զրո և գտեք «x»: «x» փոփոխականի ստացված արժեքներում գործառույթը սահմանված չէ (մեր օրինակում գծեք կետագծեր x = 2 և x = -2 միջով), քանի որ չեք կարող բաժանել 0-ի: Բայց ասիմպտոտները գոյություն ունեն ոչ միայն այն դեպքերում, երբ ֆունկցիան պարունակում է կոտորակային արտահայտություն։ Հետևաբար, խորհուրդ է տրվում օգտագործել ողջամտությունը.

«Բնական լոգարիթմ» - 0.1. Բնական լոգարիթմներ. 4. Լոգարիթմական տեգեր. 0.04. 7.121.

«Հզորության ֆունկցիայի աստիճան 9» - U. խորանարդ պարաբոլա: Y = x3. 9-րդ դասարանի ուսուցչուհի Լադոշկինա Ի.Ա. Y = x2. Հիպերբոլա. 0. Y = xn, y = x-n որտեղ n-ն տրված է բնական թիվ. X. Ցուցանիշը զույգ բնական թիվ է (2n):

«Քառակուսի ֆունկցիա» - 1 Սահմանում քառակուսի ֆունկցիա 2 Ֆունկցիայի հատկություններ 3 Ֆունկցիայի գրաֆիկներ 4 Քառակուսային անհավասարություններ 5 Եզրակացություն. Հատկություններ՝ անհավասարություններ՝ Պատրաստեց 8Ա դասարանի աշակերտ Անդրեյ Գերլիցը։ Պլան․ Գծապատկեր. - Միապաղաղության միջակայքերը a > 0-ի համար a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

«Քառորդական ֆունկցիան և դրա գրաֆիկը» - Լուծում.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-պատկանում է. Երբ a=1, y=ax բանաձևը ստանում է ձև:

«8-րդ դասարանի քառակուսի ֆունկցիա» - 1) Կառուցեք պարաբոլայի գագաթը. Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկի գծում: x. -7. Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկը: Հանրահաշիվ 8-րդ դասարան Ուսուցիչ 496 Բովինայի դպրոց Տ.Վ.-1. Շինարարական պլան. 2) Կառուցեք համաչափության առանցքը x=-1. y.

Ինչպե՞ս կառուցել պարաբոլա: Քառակուսային ֆունկցիան գծագրելու մի քանի եղանակ կա: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր դրական և բացասական կողմերը: Դիտարկենք երկու ճանապարհ.

Սկսենք y=x²+bx+c և y= -x²+bx+c ձևի քառակուսային ֆունկցիա գծելով:

Օրինակ.

Գծապատկերե՛ք y=x²+2x-3 ֆունկցիան:

Լուծում:

y=x²+2x-3 քառակուսի ֆունկցիա է: Գրաֆիկը պարաբոլա է՝ վերև ճյուղերով։ Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները

(-1;-4) գագաթից կառուցում ենք y=x² պարաբոլայի գրաֆիկը (որպես կոորդինատների սկզբնաղբյուր. (0;0)-ի փոխարեն՝ գագաթ (-1;-4): (-1; -4) մենք գնում ենք աջ 1 միավորով և վերևում 1 միավորով, այնուհետև ձախից 1-ով և 1-ով վերև, այնուհետև. 2 - աջ, 2 - ձախ, 3 - վերև, 3 -; ձախ, 9 - վեր Եթե այս 7 միավորը բավարար չէ, ապա 4 դեպի աջ, 16 դեպի վեր և այլն):

y= -x²+bx+c քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։ Գրաֆիկ կառուցելու համար մենք փնտրում ենք գագաթի կոորդինատները և նրանից կառուցում ենք y= -x² պարաբոլան:

Օրինակ.

Գծապատկերե՛ք y= -x²+2x+8 ֆունկցիան:

Լուծում:

y= -x²+2x+8 քառակուսի ֆունկցիա է: Գրաֆիկը պարաբոլա է՝ ներքեւ ճյուղերով: Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները

Վերևից մենք կառուցում ենք պարաբոլա y= -x² (1 - դեպի աջ, 1- ներքև; 1 - ձախ, 1 - ներքև; 2 - աջ, 4 - ներքև; 2 - ձախ, 4 - ներքև և այլն):

Այս մեթոդը թույլ է տալիս արագ կառուցել պարաբոլա և դժվար չէ, եթե գիտեք, թե ինչպես գծագրել y=x² և y= -x² ֆունկցիաները: Թերություն. եթե գագաթի կոորդինատները կոտորակային թվեր են, ապա գրաֆիկ կառուցելն այնքան էլ հարմար չէ։ Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է իմանալ Ox առանցքի հետ գրաֆիկի հատման կետերի ճշգրիտ արժեքները, ապա պետք է լրացուցիչ լուծեք x²+bx+c=0 (կամ -x²+bx+c=0) հավասարումը, նույնիսկ. եթե այդ կետերը կարելի է ուղղակիորեն որոշել գծագրից:

Պարաբոլա կառուցելու մեկ այլ եղանակ է կետերը, այսինքն՝ գրաֆիկի վրա կարելի է գտնել մի քանի կետեր և դրանց միջով պարաբոլա նկարել (հաշվի առնելով, որ x=xₒ ուղիղը նրա համաչափության առանցքն է)։ Սովորաբար դրա համար վերցնում են պարաբոլայի գագաթը, գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ և 1-2 լրացուցիչ կետեր։

Գծե՛ք y=x²+5x+4 ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Լուծում:

y=x²+5x+4 քառակուսի ֆունկցիա է: Գրաֆիկը պարաբոլա է՝ վերև ճյուղերով։ Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները

այսինքն պարաբոլայի գագաթը կետն է (-2,5; -2,25):

Մենք փնտրում ենք. Ox առանցքի y=0 հատման կետում՝ x²+5x+4=0: Արմատներ քառակուսային հավասարում x1=-1, x2=-4, այսինքն՝ գրաֆիկի վրա ստացանք երկու միավոր (-1; 0) և (-4; 0):

Գրաֆիկի հատման կետում Oy առանցքի x=0՝ y=0²+5∙0+4=4: Մենք ստացանք միավորը (0; 4):

Գրաֆիկը պարզաբանելու համար կարող եք լրացուցիչ կետ գտնել. Վերցնենք x=1, ապա y=1²+5∙1+4=10, այսինքն՝ գրաֆիկի մեկ այլ կետ (1; 10): Մենք նշում ենք այս կետերը կոորդինատային հարթություն. Հաշվի առնելով պարաբոլայի համաչափությունը նրա գագաթով անցնող ուղիղ գծի նկատմամբ՝ նշում ենք ևս երկու կետ՝ (-5; 6) և (-6; 10) և դրանց միջով պարաբոլա գծում.

Գծապատկերե՛ք y= -x²-3x ֆունկցիան:

Լուծում:

y= -x²-3x-ը քառակուսի ֆունկցիա է: Գրաֆիկը պարաբոլա է՝ ներքեւ ճյուղերով: Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները

Գագաթը (-1,5; 2,25) պարաբոլայի առաջին կետն է։

Գրաֆիկի y=0 աբսցիսային առանցքի հատման կետերում, այսինքն՝ լուծում ենք -x²-3x=0 հավասարումը։ Նրա արմատներն են x=0 և x=-3, այսինքն՝ (0;0) և (-3;0)՝ ևս երկու կետ գրաֆիկի վրա։ Կետը (o; 0) նաև պարաբոլայի հատման կետն է օրդինատների առանցքի հետ։

x=1 y=-1²-3∙1=-4-ում, այսինքն (1; -4) գծագրման լրացուցիչ կետ է:

Կետերից պարաբոլայի կառուցումը առաջինի համեմատ ավելի աշխատատար մեթոդ է: Եթե ​​պարաբոլան չի հատում Ox առանցքը, ապա լրացուցիչ լրացուցիչ կետեր կպահանջվեն:

Նախքան y=ax²+bx+c քառակուսի ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցումը շարունակելը, եկեք դիտարկենք ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցումը երկրաչափական փոխակերպումների միջոցով: Նաև առավել հարմար է y=x²+c ձևի ֆունկցիաների գրաֆիկներ կառուցել՝ օգտագործելով այս փոխակերպումներից մեկը՝ զուգահեռ թարգմանությունը։

Կարգավիճակ՝ |

y=x^2 ֆունկցիան կոչվում է քառակուսային ֆունկցիա։ Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է: Ընդհանուր տեսքՊարաբոլան ներկայացված է ստորև բերված նկարում:

Քառակուսի ֆունկցիա

Նկար 1. Պարաբոլայի ընդհանուր տեսքը

Ինչպես երևում է գրաֆիկից, այն սիմետրիկ է Oy առանցքի նկատմամբ։ Oy առանցքը կոչվում է պարաբոլայի համաչափության առանցք: Սա նշանակում է, որ եթե այս առանցքի վերևում գտնվող Ox առանցքին զուգահեռ գրաֆիկի վրա ուղիղ գիծ գծեք: Այնուհետև այն կհատի պարաբոլան երկու կետով: Այդ կետերից մինչև Oy առանցքի հեռավորությունը նույնն է լինելու:

Համաչափության առանցքը պարաբոլայի գրաֆիկը բաժանում է երկու մասի։ Այս մասերը կոչվում են պարաբոլայի ճյուղեր։ Իսկ պարաբոլայի այն կետը, որը գտնվում է համաչափության առանցքի վրա, կոչվում է պարաբոլայի գագաթ: Այսինքն՝ համաչափության առանցքն անցնում է պարաբոլայի գագաթով։ Այս կետի կոորդինատներն են (0;0):

Քառակուսային ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

1. x =0, y=0 և y>0 x0-ում

2. Քառակուսային ֆունկցիան հասնում է իր նվազագույն արժեքին իր գագաթին: Ymin x=0-ում; Պետք է նաև նշել, որ ֆունկցիան չունի առավելագույն արժեք։

3. Ֆունկցիան նվազում է միջակայքում (-∞;0] և մեծանում է միջակայքում)