Պարբերական ֆունկցիաների հատկությունները. Պարբերական ֆունկցիա Ո՞ր ֆունկցիան է կոչվում պարբերական օրինակներ

Կրկնել դրա արժեքները որոշ կանոնավոր արգումենտի միջակայքում, այսինքն՝ չփոխել դրա արժեքը արգումենտին որևէ ֆիքսված ոչ զրոյական թիվ ավելացնելիս ( ժամանակաշրջանգործառույթներ) սահմանման ողջ տիրույթում:

Ավելի պաշտոնական ասած՝ ֆունկցիան կոչվում է պարբերական՝ կետով T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), եթե յուրաքանչյուր կետի համար x (\displaystyle x)կետի սահմանման իր տիրույթից x + T (\ցուցադրման ոճ x+T)Եվ x − T (\ցուցադրման ոճ x-T)նույնպես պատկանում է դրա սահմանման տիրույթին, և նրանց համար հավասարությունը գործում է f (x) = f (x + T) = f (x - T) (\ցուցադրման ոճ f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Սահմանման հիման վրա հավասարությունը ճիշտ է նաև պարբերական ֆունկցիայի համար f (x) = f (x + n T) (\ցուցադրման ոճ f(x)=f(x+nT)), Որտեղ n (\displaystyle n)- ցանկացած ամբողջ թիվ:

Այնուամենայնիվ, եթե մի շարք ժամանակաշրջաններ ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \))հասանելի ամենափոքր արժեքը, ապա այն կոչվում է հիմնական (կամ հիմնական) ժամանակաշրջանգործառույթները։

Օրինակներ

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x, cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x, ∀ x ∈ R.

• (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \բոլոր x\in \mathbb (R) .)

Դիրիխլեի ֆունկցիան պարբերական է. Այն նաև չունի հիմնական շրջան։

Պարբերական ֆունկցիաների որոշ առանձնահատկություններ Եվ T 2 (\displaystyle T_(2)) (սակայն, այս թիվը պարզապես ժամանակաշրջան է լինելու): Օրինակ՝ ֆունկցիան f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) հիմնական ժամանակաշրջանն է 2 π (\displaystyle 2\pi) , ֆունկցիայի ժամանակ g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) ժամանակահատվածը հավասար է 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3) , և դրանց գումարը f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) հիմնական ժամանակաշրջանն ակնհայտորեն հավասար է.

• π (\displaystyle \pi)

Անհամեմատելի պարբերություններով երկու ֆունկցիաների գումարը միշտ չէ, որ ոչ պարբերական ֆունկցիա է։

UDC 517.17+517.51

ԵՐԿՈՒ ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐԻ ԺԱՄԱՆԱԿԸ

Աշխատանքն ամբողջությամբ լուծում է այն հարցը, թե ինչ կարող է լինել պարբերական ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը, որը հայտնի հիմնական ժամանակաշրջաններով երկու պարբերական ֆունկցիաների գումարն է։ Ուսումնասիրված է նաև պարբերական ֆունկցիաների պարբերական գումարի հիմնական ժամանակաշրջանի բացակայության դեպքը։

Մենք դիտարկում ենք իրական փոփոխականի իրական արժեքավոր գործառույթները: Հանրագիտարանային հրատարակության մեջ «Պարբերական ֆունկցիաներ» հոդվածում կարող եք կարդալ. «Տարբեր ժամանակաշրջաններով պարբերական ֆունկցիաների գումարը պարբերական է միայն այն դեպքում, եթե դրանց ժամանակաշրջանները համաչափ են»։ Այս հայտարարությունը ճշմարիտ է շարունակական գործառույթներ 1, բայց ընդհանուր դեպքում չի առաջանում: Հակառակը բավականին է ընդհանուր տեսարանկառուցվել է. Այս հոդվածում մենք պարզում ենք, թե ինչ կարող է լինել պարբերական ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը, որը հայտնի հիմնական ժամանակաշրջաններով երկու պարբերական ֆունկցիաների գումարն է։

Նախնական տեղեկություն

Հիշեցնենք, որ / ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե որոշակի թվի համար T F O D(f) սահմանման տիրույթից որևէ x-ի համար x + T և x - T թվերը պատկանում են D(f)-ին, իսկ f(x + T) հավասարությունները: = f( x) =f(x ~ T): Այս դեպքում Г թիվը կոչվում է ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։

Ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը (եթե, իհարկե, կա) կանվանենք հիմնական ժամանակաշրջան։ Հայտնի է հետևյալ փաստը.

Թեորեմ 1. Եթե ֆունկցիան ունի To հիմնական կետ, ապա ֆունկցիայի ցանկացած պարբերություն ունի nTo ձև, որտեղ n Ф 0-ն ամբողջ թիվ է։

T\ և T2 թվերը համարվում են համադրելի, եթե կա T0 թիվ, որը տեղավորվում է ինչպես T\, այնպես էլ T2-ի մեջ մի ամբողջ թվով անգամ՝ T\ = T2 = n2T0, n2e Z: Հակառակ դեպքում, T\ և T2 թվերը կոչվում է անհամեմատելի: Ժամանակահատվածների համադրելիությունը (անհամեմատելիությունը) նշանակում է, հետևաբար, նրանց հարաբերակցությունը ռացիոնալ (իռացիոնալ) թիվ է։

Թեորեմ 1-ից հետևում է, որ հիմնարար պարբերություն ունեցող ֆունկցիայի համար ցանկացած երկու պարբերաշրջան համաչափ են:

Դասական օրինակԱմենափոքր պարբերություն չունեցող ֆունկցիան Դիրիխլեի ֆունկցիան է, որը հավասար է 1-ի ռացիոնալ կետերում և զրոյի իռացիոնալ կետերում: Ցանկացած ռացիոնալ թիվ, բացի զրոյից, Դիրիխլեի ֆունկցիայի պարբերությունն է, իսկ ցանկացած իռացիոնալ թիվ նրա ժամանակաշրջանը չէ։ Ինչպես տեսնում ենք, այստեղ էլ ցանկացած երկու ժամանակաշրջան համարժեք են։

Բերենք ոչ հաստատուն պարբերական ֆունկցիայի օրինակ, որն ունի անհամեմատելի պարբերություններ։

Թող /(x) ֆունկցիան հավասար լինի 1-ի /u + la/2, m, n e Z ձևի կետերում և հավասար լինի.

զրո: Այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջաններից առանձնանում են 1 և լ

Գործառույթների գումարի ժամանակաշրջան՝ համաչափ ժամանակաշրջաններով

Թեորեմ 2. Թող ֆուգը լինի պարբերական ֆունկցիաներ հիմնական պարբերություններով mT0 և «Դա, որտեղ տեսակը

Փոխադարձ պարզ թվեր. Այնուհետև դրանց գումարի հիմնական ժամանակաշրջանը (եթե այն գոյություն ունի) հավասար է -

որտեղ k - բնական թիվ, tn թվին համապրում:

Ապացույց. Թող h = / + g. Ակնհայտորեն mnT0 թիվը h-ի ժամանակաշրջանն է: Ուժի մեջ է

Թեորեմ 1-ի h հիմնական պարբերությունն ունի այն ձևը, որտեղ k-ն ինչ-որ բնական թիվ է: Ենթադրաբար

Ենթադրենք, որ k-ն համեմատաբար պարզ չէ m թվի հետ, այսինքն՝ k - dku m = dm\, որտեղ d> 1-ն առավելագույնն է։

1 Գեղեցիկ ապացույց, որ զույգ անհամեմատելի պարբերություններով ցանկացած վերջավոր թվով շարունակական ֆունկցիաների գումարը պարբերական չէ, ներկայացված է հոդվածում Տես նաև։

m և k թվերի ավելի մեծ ընդհանուր բաժանարար, ապա k ֆունկցիայի պարբերությունը հավասար է

իսկ f=h-g ֆունկցիան

ունի mxnTo ժամանակաշրջան, որը նրա հիմնական ժամանակաշրջանի mTQ բազմապատիկը չէ: Ստացվում է հակասություն 1-ի հետ Սա նշանակում է, որ k և n թվերը համապարփակ են m-ի հետ: □

Թեորեմ 3. Թող m, n և k զույգ-առաջին թվեր լինեն, իսկ T0-ը՝ դրական թիվ: Այնուհետև կան այնպիսի պարբերական ֆունկցիաներ, ինչպիսիք են f, g և (f + g) հիմնական պարբերությունները

մենք համապատասխանաբար tT$, nTQ և -

Ապացույց. Թեորեմի ապացույցը կլինի կառուցողական՝ մենք պարզապես կկառուցենք համապատասխան օրինակ։ Նախ ձևակերպենք հետևյալ արդյունքը. Հայտարարություն. Թող m լինեն համեմատաբար պարզ թվեր: Այնուհետև գործառույթները

fx - cos- + cos--- և f2= cos- m n m

cos- ունեն հիմնարար ժամանակաշրջան 2ktp: n

Հայտարարության ապացույց. Ակնհայտ է, որ 2ptn թիվը երկու ֆունկցիաների ժամանակաշրջանն է: Դուք հեշտությամբ կարող եք ստուգել, ​​որ այս ժամանակահատվածը հիմնականն է ֆունկցիայի համար:

x = 2lM, te Z.

Մենք ունենք = n!. Տիպի փոխադարձ պարզությունից հետևում է, որ 5-ը /r-ի բազմապատիկն է, այսինքն. i = I e բ. Սա նշանակում է, որ /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2, և /\ ֆունկցիայի մաքսիմումի հարևան կետերի միջև հեռավորությունը հավասար է 2ktp-ի, իսկ դրական շրջանը /1 չի կարող փոքր լինել 2 spp թվից: .

Ֆունկցիայի համար կիրառենք այլ տեսակի պատճառաբանություն (որը նույնպես հարմար է but

պակաս տարրական): Ինչպես ցույց է տալիս թեորեմ 1-ը, ֆունկցիայի/2-ի Г հիմնական ժամանակաշրջանն ունի -,

որտեղ k-ը մի քանի բնական թիվ է, որը պետք է տպել: G թիվը նույնպես կլինի ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 cos

որոնց բոլոր ժամանակաշրջաններն ունեն 2pp1 ձև: Այսպիսով,

2nnl, այսինքն. t = kl. Քանի որ t-ը և k-ը փոխադարձաբար են

sty, հետևում է, որ k = 1:

Այժմ թեորեմ 3-ն ապացուցելու համար կարող ենք կառուցել պահանջվող օրինակը։ Օրինակ. Թող m, n և k զույգերով համեմատաբար պարզ թվեր լինեն, և n կամ k թվերից առնվազն մեկը տարբերվում է 1-ից: Այնուհետև pf k և ֆունկցիայի ապացուցված հայտարարության շնորհիվ:

/ (x) = cos--- + cos- t to

Իսկ g(x) = cos-cos - p to

ունեն համապատասխանաբար 2 ltk և 2 tk հիմնական ժամանակաշրջաններ և դրանց գումարը

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

հիմնական ժամանակահատվածը 2 տտտ.

Եթե ​​n = k = 1, ապա զույգ ֆունկցիաները կկատարեն

f(x)-2 cos- + COS X և g(x) - COS X. m

Նրանց հիմնական պարբերությունները, ինչպես նաև k(x) - 2 ֆունկցիայի պարբերությունը համապատասխանաբար հավասար են 2lm, 2/r 2տիպի։

որքան հեշտ է ստուգել:

Մաթեմատիկա

Նշանակենք T = 2lx: Զույգ կամայական փոխադարձ կապի համար պարզ թվեր mn, n և k-ը նշված են / և £ ֆունկցիաները, որպեսզի /, g և / + g ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանները հավասար լինեն mT, nT և

Թեորեմի պայմանները բավարարվում են / - n ֆունկցիաներով;

Անհամեմատելի ժամանակաշրջաններով ֆունկցիաների գումարի ժամանակաշրջան

Հաջորդ հայտարարությունը գրեթե ակնհայտ է.

Թեորեմ 4. Թող ֆուգը լինեն T) և T2 անհամեմատելի հիմնական պարբերություններով պարբերական ֆունկցիաներ, և h = f + g ֆունկցիաների գումարը պարբերական է և ունի T հիմնական պարբերություն: Այնուհետև T թիվը անհամեմատելի է ոչ T]-ի, ոչ էլ T2-ի հետ:

Ապացույց. Մի կողմից, եթե TnT) թվերը համադրելի են, ապա g = h-f ֆունկցիան ունի Г]-ին համարժեք կետ։ Մյուս կողմից, թեորեմ 1-ի ուժով, g ֆունկցիայի ցանկացած ժամանակաշրջան T2 թվի բազմապատիկն է: Ստանում ենք հակասություն T\ և T2 թվերի անհամադրելիության հետ։ T և T2 թվերի անհամեմատելիությունը ապացուցված է նմանատիպ ձևով, դ

Հատկանշական և նույնիսկ որոշ չափով զարմանալի փաստ այն է, որ 4-րդ թեորեմի հակադարձ պատկերը նույնպես ճիշտ է: Իրականում դա այդպես չէ։ Ընդ որում, գումարի ժամկետը կարող է լինել ցանկացած դրական թիվ, որը բավարարում է 4-րդ թեորեմի պնդումը։

Թեորեմ 5. Թող T\, T2 և T~ զույգերով անհամեմատելի դրական թվեր լինեն: Այնուհետև կան ֆուգ պարբերական ֆունկցիաներ, որոնց h =/+ g գումարը պարբերական է, և f guh ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունները համապատասխանաբար հավասար են Th T2-ին և T-ին:

Ապացույց. Ապացույցը կրկին կառուցողական կլինի։ Մեր կոնստրուկցիաները զգալիորեն կախված կլինեն նրանից, թե արդյոք T թիվը ներկայացելի է, թե ոչ՝ T\ և T2 պարբերությունների ռացիոնալ համակցության T = aT\ + pT2 (a-ն և P-ն ռացիոնալ թվեր են):

I. T-ն Tg-ի և J2-ի ռացիոնալ համակցություն չէ

Թող A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) լինի T1 T2 և T թվերի ամբողջ գծային համակցությունների բազմությունը: Անմիջապես նշում ենք, որ եթե թիվը ներկայացված է mT\ + nT2 ձևով. + kT, ապա նման ներկայացումը եզակի է: Իսկապես, եթե mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9, ապա

(k) - k2)T - (ot2 - t\)T] + (n2 - q)T և k\ * k2-ի համար մենք գտնում ենք, որ T-ն ռացիոնալ կերպով արտահայտվում է T]-ի և T2-ի միջոցով։ Սա նշանակում է k\ = k2: Այժմ T\ և T2 թվերի անհամադրելիությունից անմիջապես ստացվում են m\ = m2 և u = n2 հավասարությունները։

Կարևոր փաստ այն է, որ A բազմությունները և նրա լրացումը A-ն փակվում են A-ից թվերի գումարման ներքո. եթե x e A և y e A, ապա x + y e A; եթե x e A և y e A, ապա x + y e A:

Ենթադրենք, որ A բազմության բոլոր կետերում / և g ֆունկցիաները հավասար են զրոյի, իսկ A բազմության վրա այս ֆունկցիաները սահմանում ենք հետևյալ կերպ.

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT:

Քանի որ, ինչպես ցույց է տրված, x e A թվի համար m գործակիցները գագաթնակետ են գծային համադրություն T2 և G ժամանակաշրջանները վերականգնվում են միանշանակ, ֆունկցիաների նշված հանձնարարությունները / և g-ը ճիշտ են:

h =/ + g ֆունկցիան A բազմության վրա հավասար է զրոյի, իսկ A բազմության կետերում հավասար է

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2:

Ուղղակի փոխարինմամբ հեշտ է ստուգել, ​​որ T\ թիվը f ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է, T2 թիվը՝ g-ի, իսկ T~-ը h-ի ժամանակաշրջանն է։ Ցույց տանք, որ այս ժամանակաշրջանները հիմնականն են։

Նախ, մենք նշում ենք, որ ֆունկցիայի ցանկացած ժամանակաշրջան պատկանում է A բազմությանը:

եթե A,y e A-ում 0 fx, ապա ox + y e A և f(x + y) = 0 *f(x): Սա նշանակում է, որ y e A-ն ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը չէ /

Հիմա թող x2 լինի անհավասար թվեր, իսկ f(x 1) ~f(x2): Ֆունկցիայի սահմանումից / այստեղից մենք ստանում ենք, որ x\ - x2 = 1ТБ, որտեղ I-ը ոչ զրոյական մի ամբողջ թիվ է: Հետևաբար, ֆունկցիայի ցանկացած ժամանակաշրջան T\-ի բազմապատիկն է: Այսպիսով, Tx-ն իսկապես հիմնական ժամանակաշրջանն է/

T2-ի և T-ի վերաբերյալ հայտարարությունները ստուգվում են նույն կերպ:

Մեկնաբանություն. Գրքում p. 172-173 I գործի համար տրված է մեկ այլ ընդհանուր շինություն.

II. T-ն T\-ի և T2-ի ռացիոնալ համակցությունն է:

Ներկայացնենք T\ և T2 պարբերությունների ռացիոնալ համակցությունը Г = - (кхТх + к2Т2) ձևով, որտեղ кх և.

k2 ™ coprime ամբողջ թվերը, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? և d-ը բնական թվեր են: Ներկայացնենք leZ>:

ռենի հավաքածու B ----

Ենթադրենք, որ B բազմության բոլոր կետերում f և g ֆունկցիաները հավասար են զրոյի, իսկ B բազմության մեջ այս ֆունկցիաները սահմանում ենք հետևյալ կերպ.

^ mT\ + nT2 L I

^ mTx + nT2 Լ

Այստեղ, ինչպես միշտ, [x] և (x) նշանակում են թվերի ամբողջական և կոտորակային մասերը։ B բազմության վրա k =/+ d ֆունկցիան հավասար է զրոյի, իսկ B բազմության կետերում հավասար է

fmTx + pT: l H

Ուղղակի փոխարինմամբ հեշտ է ստուգել, ​​որ Tx թիվը / ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է, T2 թիվը g ժամանակաշրջանն է, իսկ T-ն h ժամանակաշրջանն է: Ցույց տանք, որ այս ժամանակաշրջանները հիմնականն են։

/ ֆունկցիայի ցանկացած պարբերություն պատկանում է B բազմությանը: Իրոք, եթե 0 * x e B, y e B, ապա f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Այսպիսով, y e B _ Գործառույթի ժամկետ չէ/

Այսպիսով, / ֆունկցիայի յուրաքանչյուր պարբերություն ունի Тy = ձև

Որտեղ 5i-ը և 52-ը ամբողջ թվեր են: Թող

x = -7] 4- -Г2, x e 5. Եթե i = 0, ապա f(i)-ը ռացիոնալ թիվ է: Այժմ /(x + 7)) թվի ռացիոնալությունից հետևում է -I - I - 0 հավասարությունը: Սա նշանակում է, որ մենք ունենք հավասարություն 52 = Xp, որտեղ X-ը մի ամբողջ թիվ է

համարը։ /(x + 7)) = /(x) կապը ստանում է ձև

^P + I + I w +

Այս հավասարությունը պետք է պահպանվի բոլոր ամբողջ տիպերի համար: At t-p~ 0 աջ կողմը(1) հավասար է

մինչև զրոյի: Քանի որ կոտորակային մասերը ոչ բացասական են, դրանից մենք ստանում ենք, որ.<0, а при

m = n = d - ] (1) հավասարության աջ կողմի կոտորակային մասերի գումարը ոչ պակաս h-X կոտորակային մասերի գումարից.

tey ձախ կողմում: Սա նշանակում է - >0: Այսպիսով, X = 0 և 52 = 0: Հետևաբար, / ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն ունի ձև

և հավասարությունը (1) դառնում է

p\ |

իսկ 52-ը ամբողջ թվեր են: Հարաբերություններից

th (0) = 0 = th (GA) =

մենք գտնում ենք, որ 51 և ^ թվերը պետք է լինեն p-ի բազմապատիկ, այսինքն. Որոշ ամբողջ թվերի համար Ax և A2 ունենք 51 = A\p, E2 = A2p: Այնուհետև (3) կապը կարող է վերաշարադրվել որպես

A2kx = k2A\ հավասարությունից և k\ և k2 թվերի փոխադարձ պարզությունից հետևում է, որ A2-ը բաժանվում է k2-ի։ Այստեղից

որոշ ամբողջ թվի համար A2 = k2t և Ax ~ kxt հավասարումները վավեր են, այսինքն. Th ~-(kxTx + k2T2):

Ցույց է տրված, որ h ֆունկցիայի ցանկացած պարբերաշրջան T = - (k(Gx + k2T2)9 ժամանակաշրջանի բազմապատիկն է, որը, հետևաբար,

zom, գլխավորն է։ □

Հիմնական շրջան չկա

Թեորեմ 6. Թող Tx և T2~ կամայական դրական թվեր լինեն: Այնուհետև կան այնպիսի պարբերական ֆունկցիաներ, ինչպիսիք են, որ դրանց հիմնական պարբերությունները համապատասխանաբար հավասար են T\ և T2-ին, իսկ h=f+g գումարը պարբերական է, բայց չունի հիմնական ժամանակաշրջան:

Ապացույց. Դիտարկենք երկու հնարավոր դեպք.

I. Tx և T2 պարբերությունները անհամեմատելի են:

Թող A = + nT2 +kT\: Ինչպես վերևում, հեշտ է ցույց տալ, որ եթե թիվը

կարող է ներկայացվել mTx + nT2 + kT ձևով, ապա այդպիսի ներկայացումը եզակի է:

Ենթադրենք, որ A բազմության բոլոր կետերում / և g ֆունկցիաները հավասար են զրոյի, իսկ A բազմության վրա այս ֆունկցիաները սահմանում ենք հետևյալ կերպ.

/-ից; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT:

Հեշտ է ստուգել, ​​որ Tx թիվը / ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է, T2 թիվը g հիմնական պարբերությունն է, իսկ ցանկացած ռացիոնալ k-ի համար kT թիվը h - f + g ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է, որը, հետևաբար, չունի ամենափոքր ժամանակահատվածը:

II. Tx և T2 ժամանակաշրջանները համեմատելի են:

Թող Tx = mT0, T2 = nT0, որտեղ T0 > O, m և n բնական թվեր են: Եկեք հաշվի առնենք I = + բազմությունը:

Ենթադրենք, որ B բազմության բոլոր կետերում ֆուգ ֆունկցիաները հավասար են զրոյի, իսկ B բազմության մեջ այս ֆունկցիաները սահմանում ենք հետևյալ կերպ.

/((/ + ShT0) = Shch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.

Հեշտ է ստուգել, ​​որ 7j = mTQ թիվը / ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է, T2 ~ nT0 թիվը g-ի հիմնական ժամանակաշրջանն է, մինչդեռ h~ f + g ֆունկցիայի ժամանակաշրջանների մեջ կան բոլոր թվերը: ձևը l/2kT0, որտեղ k-ը կամայական ռացիոնալ թիվ է: □

Թեորեմ 6-ն ապացուցող կոնստրուկցիաները հիմնված են h~ / + g ֆունկցիայի պարբերությունների անհամադրելիության վրա / և g ֆունկցիաների պարբերությունների հետ: Եզրափակելով, եկեք օրինակ բերենք այնպիսի ֆունկցիաների ֆուգ, որ /, g և / + g ֆունկցիաների բոլոր ժամանակաշրջանները համարժեք են միմյանց, բայց / և g-ն ունեն հիմնական պարբերակներ, մինչդեռ f + g-ը՝ ոչ:

Թող m լինի հաստատուն բնական թիվ, M անկրճատելի ոչ ամբողջ կոտորակների բազմությունը, որոնց համարիչները m-ի բազմապատիկ են: դնենք

1 եթե heM; 1

եթե մԶ;

EcnuxeZXmZ; 2

O այլ դեպքերում; 1 եթե xeMU

~,եթե2 2

[Օ, հակառակ դեպքում:

Հեշտ է տեսնել, որ fug ֆունկցիաների հիմնական պարբերությունները համապատասխանաբար հավասար են m-ի և 1-ի, մինչդեռ / + g գումարն ունի m/n ձևի ցանկացած թվի պարբերաշրջան, որտեղ n-ը կամայական բնական թիվ է, որը համընկնում է: մ.

գրականություն

1. Մաթեմատիկական հանրագիտարանային բառարան/Գլ. խմբ. Յու.Վ. Պրոխորով - Մ.՝ Սով. հանրագիտարան, 1988։

2. Միքայելյան Լ.Վ., Սեդրակյան Ն.Մ. Պարբերական ֆունկցիաների գումարի պարբերականության մասին// Մաթեմատիկական կրթություն. - 2000. - Թիվ 2(13). - էջ 29-33։

3. Գերենշտեյն Ա.Բ., Էվնին Ա.Յու. Պարբերական ֆունկցիաների գումարի մասին // Մաթեմատիկան դպրոցում. -2002 թ. - Թիվ 1. - P. 68-72:

4. Իվլեւ Բ.Մ. և այլն: Հանրահաշվի և վերլուծության սկզբունքների ժողովածու 9-րդ և 10-րդ դասարանների համար: - Մ.: Կրթություն, 1978:

Նպատակը. ամփոփել և համակարգել ուսանողների գիտելիքները «Ֆունկցիաների պարբերականություն» թեմայով. զարգացնել պարբերական ֆունկցիայի հատկությունները կիրառելու, ֆունկցիայի ամենափոքր դրական շրջանը գտնելու, պարբերական ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցման հմտություններ. խթանել մաթեմատիկա ուսումնասիրելու հետաքրքրությունը; զարգացնել դիտողականությունը և ճշգրտությունը:

Սարքավորումներ՝ համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, առաջադրանքների քարտեր, սլայդներ, ժամացույցներ, զարդանախշերի սեղաններ, ժողովրդական արհեստների տարրեր

«Մաթեմատիկան այն է, ինչ մարդիկ օգտագործում են բնությունը և իրենց կառավարելու համար»:
Ա.Ն. Կոլմոգորովը

Դասի առաջընթաց

I. Կազմակերպչական փուլ.

Ուսանողների պատրաստակամության ստուգում դասին: Զեկուցեք դասի թեմայի և նպատակների մասին:

II. Տնային առաջադրանքների ստուգում.

Մենք ստուգում ենք տնային աշխատանքը՝ օգտագործելով նմուշներ և քննարկում ենք ամենադժվար կետերը:

III. Գիտելիքների ընդհանրացում և համակարգում:

1. Բանավոր ճակատային աշխատանք.

Տեսության հարցեր.

1) Ձևավորել ֆունկցիայի ժամանակաշրջանի սահմանում
2) Անվանե՛ք y=sin(x), y=cos(x) ֆունկցիաների ամենափոքր դրական պարբերությունը։
3). Ո՞րն է y=tg(x), y=ctg(x) ֆունկցիաների ամենափոքր դրական պարբերությունը։
4) Շրջանագծի միջոցով ապացուցեք հարաբերությունների ճիշտությունը.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Զ
ctg(x+π n)=ctgx, n € Զ

sin(x+2π n)=sinx, n € Զ
cos(x+2π n)=cosx, n € Զ

5) Ինչպե՞ս գծագրել պարբերական ֆունկցիա:

Բանավոր վարժություններ.

1) Ապացուցե՛ք հետևյալ հարաբերությունները

ա) մեղք (740º) = մեղք (20º)
բ) cos(54º) = cos(-1026º)
գ) մեղք (-1000º) = մեղք (80º)

2. Ապացուցե՛ք, որ 540º անկյունը y= cos(2x) ֆունկցիայի պարբերություններից մեկն է։

3. Ապացուցե՛ք, որ 360º անկյունը y=tg(x) ֆունկցիայի պարբերություններից մեկն է։

4. Այս արտահայտությունները փոխակերպե՛ք այնպես, որ դրանցում ներառված անկյունները բացարձակ արժեքով չգերազանցեն 90º-ը:

ա) tg375º
բ) ctg530º
գ) մեղք1268º
դ) cos(-7363º)

5. Որտե՞ղ եք հանդիպել ԺԱՄԱՆԱԿԱՀԱՏՎԱԾ, ՊԵՐԻՈԴԻԿԻՏ բառերին:

Ուսանողների պատասխանները. Երաժշտության ժամանակաշրջանը մի կառույց է, որտեղ ներկայացվում է քիչ թե շատ ամբողջական երաժշտական ​​միտք: Երկրաբանական ժամանակաշրջանը դարաշրջանի մի մասն է և բաժանվում է դարաշրջանների՝ 35-ից 90 միլիոն տարի տևողությամբ:

Ռադիոակտիվ նյութի կիսամյակը: Պարբերական կոտորակ. Պարբերականները տպագիր հրապարակումներ են, որոնք հայտնվում են խիստ սահմանված ժամկետներում։ Պարբերական աղյուսակՄենդելեևը.

6. Նկարները ցույց են տալիս պարբերական ֆունկցիաների գրաֆիկների մասերը: Որոշեք ֆունկցիայի ժամկետը: Որոշեք ֆունկցիայի ժամկետը:

Պատասխանել T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Ձեր կյանքում որտե՞ղ եք հանդիպել կրկնվող տարրերի կառուցմանը:

Ուսանողի պատասխանը՝ Զարդանախշերի տարրեր, ժողովրդական արվեստ.

IV. Կոլեկտիվ խնդիրների լուծում.

(Խնդիրների լուծում սլայդների վրա):

Դիտարկենք պարբերականության ֆունկցիայի ուսումնասիրության եղանակներից մեկը։

Այս մեթոդը խուսափում է այն դժվարություններից, որոնք կապված են ապացուցելու, որ որոշակի ժամանակահատվածը ամենափոքրն է, ինչպես նաև վերացնում է պարբերական ֆունկցիաների և պարբերականության վերաբերյալ թվաբանական գործողությունների վերաբերյալ հարցերին անդրադառնալու անհրաժեշտությունը: բարդ գործառույթ. Պատճառաբանությունը հիմնված է միայն պարբերական ֆունկցիայի սահմանման վրա և հետևյալ փաստի վրա՝ եթե T ֆունկցիայի պարբերությունն է, ապա nT(n?0) նրա պարբերությունն է։

Խնդիր 1. Գտե՛ք f(x)=1+3(x+q>5) ֆունկցիայի ամենափոքր դրական պարբերակը.

Լուծում. Ենթադրենք, որ այս ֆունկցիայի T պարբերությունը: Այնուհետև f(x+T)=f(x) բոլոր x € D(f) համար, այսինքն.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Դնենք x=-0,25 և կստանանք

(T)=0<=>T=n, n € Զ

Մենք ստացել ենք, որ խնդրո առարկա ֆունկցիայի բոլոր ժամանակաշրջանները (եթե դրանք կան) գտնվում են ամբողջ թվերի մեջ: Այս թվերից ընտրենք ամենափոքր դրական թիվը։ Սա 1 . Եկեք ստուգենք, թե դա իրականում կլինի՞ շրջան 1 .

f(x+1) =3(x+1+0.25)+1

Քանի որ (T+1)=(T) ցանկացած T-ի համար, ապա f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), այսինքն. 1 – շրջան զ. Քանի որ 1-ը բոլոր դրական ամբողջ թվերից ամենափոքրն է, ապա T=1:

Խնդիր 2. Ցույց տվեք, որ f(x)=cos 2 (x) ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնական շրջանը:

Խնդիր 3. Գտե՛ք ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ենթադրենք ֆունկցիայի T պարբերությունը, ապա ցանկացածի համար Xհարաբերակցությունը գործում է

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Եթե ​​x=0, ապա

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Եթե ​​x=-T, ապա

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – մեղք (1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Գումարելով այն՝ ստանում ենք.

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Զ

Բոլոր «կասկածելի» թվերից ընտրենք ամենափոքր դրական թիվը և ստուգենք՝ արդյոք այն f-ի կետ է։ Այս թիվը

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Սա նշանակում է, որ սա f ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է։

Խնդիր 4. Ստուգենք, արդյոք f(x)=sin(x) ֆունկցիան պարբերական է

Թող T լինի f ֆունկցիայի պարբերությունը։ Այնուհետև ցանկացած x-ի համար

մեղք|x+Т|=մեղք|x|

Եթե ​​x=0, ապա sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Զ.

Ենթադրենք. Որ որոշ n-ի համար π n թիվը ժամանակաշրջան է

դիտարկվող ֆունկցիա π n>0: Ապա sin|π n+x|=sin|x|

Սա ենթադրում է, որ n-ը պետք է լինի և՛ զույգ, և՛ կենտ թիվ, բայց դա անհնար է: Ահա թե ինչու այս գործառույթըպարբերական չէ։

Առաջադրանք 5. Ստուգեք, արդյոք ֆունկցիան պարբերական է

f(x)=

Թող T լինի f-ի պարբերությունը, ապա

, հետևաբար sinT=0, Т=π n, n € Z. Ենթադրենք, որ որոշ n-ի համար π n թիվը իսկապես այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է։ Այնուհետև 2π n թիվը կլինի ժամկետը

Քանի որ համարիչները հավասար են, ուրեմն դրանց հայտարարները հավասար են

Սա նշանակում է, որ f ֆունկցիան պարբերական չէ։

Աշխատեք խմբերով.

Առաջադրանքներ 1-ին խմբի համար.

Առաջադրանքներ 2-րդ խմբի համար.

Ստուգեք, արդյոք f ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնարար ժամանակաշրջանը (եթե այն գոյություն ունի):

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Առաջադրանքներ 3-րդ խմբի համար.

Աշխատանքի ավարտին խմբերը ներկայացնում են իրենց լուծումները։

VI. Ամփոփելով դասը.

Արտացոլում.

Ուսուցիչը ուսանողներին տալիս է գծանկարներով բացիկներ և խնդրում է նրանց գունավորել առաջին գծագրի մի մասը՝ ըստ իրենց կարծիքով, նրանք տիրապետում են պարբերականության ֆունկցիայի ուսումնասիրության մեթոդներին, իսկ երկրորդ գծագրի մի մասը՝ ըստ իրենց: ներդրում դասի աշխատանքի մեջ.

VII. Տնային աշխատանք

1). Ստուգեք, արդյոք f ֆունկցիան պարբերական է և գտե՛ք դրա հիմնարար ժամանակաշրջանը (եթե այն գոյություն ունի)

բ). f(x)=x 2 -2x+4

գ). f(x)=2tg (3x+5)

2). y=f(x) ֆունկցիան ունի T=2 կետ և f(x)=x 2 +2x x €-ի համար [-2; 0]. Գտե՛ք -2f(-3)-4f(3.5) արտահայտության արժեքը

գրականություն/

1. Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ՝ խորը ուսումնասիրությամբ.
2. Մաթեմատիկա. Նախապատրաստում միասնական պետական ​​քննությանը. Էդ. Լիսենկո Ֆ.Ֆ., Կուլաբուխովա Ս.Յու.
3. Շերեմետևա Տ.Գ. , Տարասովա Է.Ա.Հանրահաշիվ և սկզբնական վերլուծություն 10-11-րդ դասարանների համար.

Սովորականի մեջ դպրոցական առաջադրանքներ ապացուցել պարբերականությունըԱյս կամ այն ​​ֆունկցիայի սովորաբար դժվար չէ. հետևաբար, համոզվելու համար, որ $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ ֆունկցիան պարբերական է, բավական է պարզապես նշել, որ $T=4\times7\ 2\pi$ անգամ նրա ժամանակաշրջանն է. եթե T թիվը գումարենք x-ին, ապա այս արտադրյալը «կխժռի» երկու հայտարարները և սինուսի նշանի տակ ավելորդ կլինեն միայն $2\pi$-ի ամբողջ բազմապատիկները, ինչը կլինի « կերել է» սինուսի կողմից:

Բայց ոչ պարբերականության ապացույցայս կամ այն ​​ֆունկցիան ուղղակիորեն ըստ սահմանման կարող է ամենևին էլ պարզ չլինել: Այսպիսով, վերը թվարկված $y=\sin x^2$ ֆունկցիայի ոչ պարբերականությունն ապացուցելու համար կարող եք դուրս գրել $sin(x+T)^2=\sin x^2$ հավասարությունը, բայց չլուծել. այս եռանկյունաչափական հավասարումը սովորությունից դուրս, բայց գուշակեք և փոխարինեք դրանում x=0, որից հետո գրեթե ինքնաբերաբար տեղի կունենա հետևյալը՝ $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, որտեղ k-ն է. 0-ից մեծ մի ամբողջ թիվ, այսինքն. $T=\sqrt (k\pi)$, և եթե հիմա գուշակենք, որ դրանում փոխարինենք $x=\sqrt (\pi)$, ապա կստացվի, որ $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, որտեղից $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, և այսպիսով p թիվը $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$ հավասարման արմատն է, այսինքն. հանրահաշվական է, որը չի համապատասխանում իրականությանը. $\pi$-ը, ինչպես գիտենք, տրանսցենդենտալ է, այսինքն. ամբողջ թվային գործակիցներով ոչ մի հանրահաշվական հավասարման արմատը չէ: Այնուամենայնիվ, ապագայում մենք կստանանք այս պնդման շատ ավելի պարզ ապացույց, բայց մաթեմատիկական վերլուծության օգնությամբ:

Ֆունկցիաների ոչ պարբերականությունն ապացուցելիս հաճախ օգնում է տարրական տրամաբանական հնարք՝ եթե բոլոր պարբերական ֆունկցիաներն ունեն որոշակի հատկություն, բայց տվյալ ֆունկցիան չունի, ապա դա բնականաբար. պարբերական չէ. Այսպիսով, պարբերական ֆունկցիան ընդունում է ցանկացած արժեք անսահման շատ անգամ, և հետևաբար, օրինակ, $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ ֆունկցիան պարբերական չէ, քանի որ. արժեքը 7 է, այն ընդունում է միայն երկու կետում: Հաճախ ոչ պարբերականությունն ապացուցելու համար հարմար է օգտագործել դրա հնարավորությունները սահմանման տիրույթ, իսկ պարբերական ֆունկցիաների ցանկալի հատկությունը գտնելու համար երբեմն պետք է որոշակի երևակայություն ցուցաբերել։

Նկատենք նաև, որ շատ հաճախ, երբ հարցնում են, թե ինչ է ոչ պարբերական ֆունկցիան, պատասխան է լսվում այն ​​ոճով, որի մասին խոսեցինք՝ կապված. զույգ և կենտ ֆունկցիաներ, այն է, երբ $f(x+T)\neq f(x)$, ինչը, իհարկե, անընդունելի է։

Իսկ ճիշտ պատասխանը կախված է պարբերական ֆունկցիայի կոնկրետ սահմանումից, և, ելնելով վերը տրված սահմանումից, մենք, իհարկե, կարող ենք ասել, որ ֆունկցիան ոչ պարբերական է, եթե չունի մեկ պարբերություն, բայց դա կլինի. «վատ» սահմանում, որը ուղղություն չի տալիս ոչ պարբերականության վկայություն. Եվ եթե այն ավելի գաղտնազերծենք՝ նկարագրելով, թե ինչ է նշանակում «f ֆունկցիան չունի մեկ կետ» նախադասությունը, կամ, նույնն է՝ «$T \neq 0$ ոչ մի թիվ f ֆունկցիայի կետ չէ», ապա. մենք ստանում ենք, որ f ֆունկցիան պարբերական չէ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե յուրաքանչյուր $T \neq 0$-ի համար կա $x\ D(f)$-ում այնպիսի թիվ, որ $x+T$ և $ թվերից գոնե մեկը լինի։ x-T$-ը չի պատկանում D(f), կամ $f(x+T)\neq f(x)$-ին:

Դուք կարող եք դա այլ կերպ ասել. «Կա $x\in D(f)$-ում այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը $f(x+T) = f(x)$ չի պահպանվում» - այս հավասարությունը կարող է չպահպանվել երկուսի համար: պատճառները. կամ դա իմաստ չունի, այսինքն. դրա մասերից մեկը սահմանված չէ, կամ, հակառակ դեպքում, սխալ է: Հետաքրքրության համար ավելացնում ենք, որ լեզվական էֆեկտը, որի մասին խոսեցինք վերևում, նույնպես դրսևորվում է այստեղ. քանի որ «ճշմարիտ չլինել» և «կեղծ» հավասարությունը նույնը չէ, հավասարությունը կարող է դեռևս իմաստ չունենալ:

Լեզվական այս ազդեցության պատճառների և հետևանքների մանրամասն պարզաբանումը իրականում ոչ թե մաթեմատիկայի, այլ լեզվի տեսության, լեզվաբանության, կամ ավելի ճիշտ՝ դրա հատուկ բաժնի թեման է՝ իմաստաբանություն՝ իմաստի գիտություն, որտեղ, սակայն, սրանք. հարցերը շատ բարդ են և չունեն միանշանակ լուծում: Եվ մաթեմատիկան, ներառյալ դպրոցականը, ստիպված է համակերպվել այս դժվարությունների հետ և հաղթահարել լեզվական «խնդիրները», մինչդեռ և քանի որ այն օգտագործում է խորհրդանշական բնական լեզվի հետ մեկտեղ:

Ըստ դպրոցի դասերՅուրաքանչյուր մաթեմատիկոս հիշում է սինուսային ալիքի գրաֆիկը, որը ձգվում է հեռավորության վրա միատեսակ ալիքներով: Շատ այլ գործառույթներ ունեն նմանատիպ հատկություն՝ կրկնվում են որոշակի ընդմիջումով: Դրանք կոչվում են պարբերական։ Պարբերականությունը ֆունկցիայի շատ նշանակալի որակ է, որը հաճախ հանդիպում է տարբեր առաջադրանքներ. Հետևաբար, ձեռնտու է կարողանալ որոշել, թե արդյոք ֆունկցիան պարբերական է:

Հրահանգներ

1. Եթե ​​F(x) x արգումենտի ֆունկցիան է, ապա այն կոչվում է պարբերական, եթե կա T այնպիսի թիվ, որ յուրաքանչյուր x-ի համար F(x + T) = F(x): Այս թիվը T կոչվում է ֆունկցիայի ժամանակաշրջան: Կարող է լինել մի քանի ժամանակաշրջան: Ենթադրենք, որ F = const ֆունկցիան ընդունում է նույն արժեքը փաստարկի բոլոր արժեքների համար, և, հետևաբար, ցանկացած թիվ կարելի է համարել դրա ժամանակաշրջանը: Համառոտության համար այն կոչվում է պարզունակ ժամանակաշրջան։

2. Պարբերական ֆունկցիաների բնորոշ օրինակ է եռանկյունաչափությունը՝ սինուս, կոսինուս և շոշափող: Նրանց շրջանը նույնական է և հավասար է 2?-ի, այսինքն՝ sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) և այլն։ Այնուամենայնիվ, իհարկե եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ- ոչ բացառիկ պարբերական:

3. Ինչ վերաբերում է պարզունակ, հիմնական ֆունկցիաներին, ապա դրանց պարբերականությունը կամ ոչ պարբերականությունը հաստատելու միակ մեթոդը հաշվարկներն են: Բայց դժվար գործառույթների համար արդեն կան մի քանի պարզունակ կանոններ.

4. Եթե ​​F(x)-ը T պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա է, և դրա համար սահմանված է ածանցյալ, ապա այս ածանցյալը f(x) = F?(x) նույնպես T պարբերակով պարբերական ֆունկցիա է: Ածանցյալի արժեքը կետում: x-ը հավասար է շոշափող անկյան շոշափողին, որը նրա հակաածանցյալի գրաֆիկն է այս կետում x առանցքի վրա, և քանի որ հակաածանցյալը պարբերաբար կրկնվում է, ածանցյալը նույնպես պետք է կրկնվի: Ասենք ածանցյալը գործառույթները մեղք(x)-ը հավասար է cos(x-ին), և այն պարբերական է: Cos(x)-ի ածանցյալը վերցնելով՝ ստանում ենք –sin(x): Պարբերականությունը մնում է անփոփոխ, սակայն հակառակը միշտ չէ: Այսպիսով, f(x) = const ֆունկցիան պարբերական է, բայց դրա հակաածանցյալը F(x) = const*x + C՝ ոչ։

5. Եթե ​​F(x)-ը T պարբերակով պարբերական ֆունկցիա է, ապա G(x) = a*F(kx + b), որտեղ a, b և k հաստատուններ են, իսկ k-ը հավասար չէ զրոյի, նույնպես պարբերական ֆունկցիա է: , իսկ նրա ժամանակաշրջանը Տ/կ է։ Ենթադրենք sin(2x)-ը պարբերական ֆունկցիա է, և դրա պարբերությունը հավասար է?-ի: Սա տեսողականորեն կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ. x-ը բազմապատկելով ցանկացած թվով, թվում է, թե ֆունկցիայի գրաֆիկը հորիզոնական կերպով սեղմում եք հենց այդքան անգամ։

6. Եթե ​​F1(x) և F2(x) պարբերական ֆունկցիաներ են, և դրանց պարբերությունները համապատասխանաբար հավասար են T1-ին և T2-ին, ապա այդ ֆունկցիաների գումարը կարող է լինել նաև պարբերական։ Այնուամենայնիվ, դրա ժամանակաշրջանը չի լինի T1 և T2 ժամանակաշրջանների հեշտ գումարը: Եթե ​​T1/T2 բաժանման արդյունքը ողջամիտ թիվ է, ապա ֆունկցիաների գումարը պարբերական է, և դրա պարբերությունը հավասար է T1 և T2 ժամանակաշրջանների ամենափոքր համընդհանուր բազմապատիկին (LCM): Ենթադրենք, եթե առաջին ֆունկցիայի պարբերությունը 12 է, իսկ 2-ինը՝ 15, ապա դրանց գումարի պարբերությունը հավասար կլինի LCM (12, 15) = 60: Սա տեսողականորեն կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ. ֆունկցիաներ. գալիս են տարբեր «քայլերի լայնություններով», բայց եթե դրանց լայնությունների հարաբերակցությունը իմաստալից է, ապա վաղ թե ուշ (ավելի ճիշտ՝ քայլերի LCM-ի միջոցով), դրանք նորից հավասար կլինեն, և դրանց գումարը կսկսի նոր շրջանը:

7. Սակայն, եթե ժամանակաշրջանների հարաբերակցությունը իռացիոնալ է, ապա ընդհանուր ֆունկցիան ընդհանրապես պարբերական չի լինի։ Ենթադրենք, թող F1(x) = x mod 2 (x-ի 2-ի բաժանելու մնացորդը), իսկ F2(x) = sin(x): T1-ն այստեղ հավասար կլինի 2-ի, իսկ T2-ը՝ 2-ի: Արդյո՞ք ժամանակաշրջանի հարաբերակցությունը հավասար է: - իռացիոնալ թիվ. Հետևաբար, sin(x) + x mod 2 ֆունկցիան պարբերական չէ։

Շատերը մաթեմատիկական ֆունկցիաներունեն մեկ հատուկ առանձնահատկություն, որը հեշտացնում է դրանց կառուցումը պարբերականություն, այսինքն՝ կոորդինատային ցանցի վրա գրաֆիկի կրկնելիությունը հավասար ընդմիջումներով։

Հրահանգներ

1. Մաթեմատիկայում ամենահայտնի պարբերական ֆունկցիաներն են սինուսը և կոսինուսը։ Այս ֆունկցիաները ունեն ալիքանման բնույթ և առանցքային շրջան, որը հավասար է 2P: Նաև պարբերական ֆունկցիայի հատուկ դեպք է f(x)=const: Ցանկացած թիվ տեղավորվում է x դիրքում, այս ֆունկցիան չունի հիմնական կետ, քանի որ այն ուղիղ գիծ է:

2. Ընդհանրապես ֆունկցիան պարբերական է, եթե կա N ամբողջ թիվ, որը զրոյական չէ և բավարարում է f(x)=f(x+N) կանոնը՝ այդպիսով ապահովելով կրկնելիությունը։ Ֆունկցիայի պարբերությունը ամենափոքր թիվն է N, բայց ոչ զրո: Այսինքն, ասենք, sin x ֆունկցիան հավասար է sin ֆունկցիային (x+2ПN), որտեղ N=±1, ±2 և այլն։

3. Երբեմն ֆունկցիան կարող է ունենալ բազմապատկիչ (ասենք sin 2x), որը կավելացնի կամ նվազի ֆունկցիայի ժամկետը: Ժամանակահատվածը հայտնաբերելու համար ըստ գրաֆիկա, անհրաժեշտ է որոշել ֆունկցիայի ծայրահեղությունը՝ ֆունկցիայի գրաֆիկի ամենաբարձր և ամենացածր կետերը։ Քանի որ սինուսային և կոսինուսային ալիքներն ունեն ալիքային բնույթ, դա բավականին հեշտ է անել: Այս կետերից կառուցեք ուղղահայաց ուղիղներ, մինչև դրանք հատվեն X առանցքի հետ:

4. Հեռավորությունը վերին ծայրամասից մինչև ստորին կկազմի ֆունկցիայի ժամանակահատվածի կեսը: Բոլորի համար ավելի հարմար է հաշվարկել Y առանցքի հետ գրաֆիկի հատման ժամանակաշրջանը և, համապատասխանաբար, x առանցքի զրոյական նշանը։ Դրանից հետո անհրաժեշտ է ստացված արժեքը երկուով բազմապատկել և ստանալ ֆունկցիայի առանցքային շրջանը:

5. Սինուսի և կոսինուսի կորերը գծագրելը հեշտացնելու համար հարկավոր է նշել, որ եթե ֆունկցիան ունի ամբողջ թիվ, ապա դրա պարբերությունը կերկարանա (այսինքն՝ 2P-ը պետք է բազմապատկվի այս ցուցանիշով), և գրաֆիկը ավելի փափուկ և հարթ տեսք կունենա: ; իսկ եթե թիվը կոտորակային է, ընդհակառակը, այն կնվազի, և գրաֆիկը կդառնա ավելի «սուր», ցատկման տեսք:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ