Ինչ է պոլիէդրոնը, սահմանումը և տեսակները: Պոլիեդրա. Էյլերի թեորեմը պոլիեդրների մասին. Տոպոլոգիապես կանոնավոր և անկանոն պոլիեդրաներ: Պոլիեդրա բնության մեջ

Ներածություն

Բազմանկյուններից կազմված և որոշ երկրաչափական մարմիններ սահմանող մակերևույթը կոչվում է բազմանիստ մակերես կամ բազմանկյուն:

Բազմանդրոնը սահմանափակված մարմին է, որի մակերեսը բաղկացած է վերջավոր թվով բազմանկյուններից։ Բազմանկյունները, որոնք կապում են բազմանկյունը կոչվում են դեմքեր, իսկ երեսների հատման գծերը՝ եզրեր։

Պոլիեդրան կարող է ունենալ բազմազան և շատ բարդ կառուցվածք: Տարբեր կառույցներ, ինչպիսիք են տները, որոնք կառուցվում են աղյուսների և բետոնե բլոկների միջոցով, պոլիեդրայի օրինակներ են: Այլ օրինակներ կարելի է գտնել կահույքի մեջ, օրինակ՝ սեղան: Քիմիայում ածխաջրածինների մոլեկուլների ձևը քառանիստ է, կանոնավոր քսանանկյուն, խորանարդ: Ֆիզիկայի մեջ բյուրեղները ծառայում են որպես պոլիեդրների օրինակ։

Հին ժամանակներից գեղեցկության մասին պատկերացումները կապված են եղել համաչափության հետ։ Սա, հավանաբար, բացատրում է մարդկանց հետաքրքրությունը պոլիեդրաների նկատմամբ՝ համաչափության զարմանալի խորհրդանիշներ, որոնք գրավել են ականավոր մտածողների ուշադրությունը, ովքեր զարմացած էին այս կերպարների գեղեցկությամբ, կատարելությամբ և ներդաշնակությամբ:

Պոլիեդրների մասին առաջին հիշատակումները հայտնի են մ.թ.ա. երեք հազար տարի Եգիպտոսում և Բաբելոնում: Բավական է հիշել հայտնիը Եգիպտական ​​բուրգերև դրանցից ամենահայտնին Քեոպսի բուրգն է։ Սա կանոնավոր բուրգ, որի հիմքում 233 մ կողմով քառակուսի է, որի բարձրությունը հասնում է 146,5 մ-ի Պատահական չէ, որ ասում են, թե Քեոպսի բուրգը երկրաչափության մասին լուռ տրակտատ է։

Կանոնավոր պոլիեդրների պատմությունը գալիս է հին ժամանակներից: 7-րդ դարից սկսած մ.թ.ա Հին ՀունաստանՍտեղծվում են փիլիսոփայական դպրոցներ, որոնցում գործնականից աստիճանաբար անցում է կատարվում փիլիսոփայական երկրաչափության։ Այս դպրոցներում մեծ նշանակություն է ձեռք բերել պատճառաբանությունը, որի օգնությամբ հնարավոր է եղել ձեռք բերել նոր երկրաչափական հատկություններ։

Առաջիններից և ամենաշատերից մեկը հայտնի դպրոցներեղել է պյութագորասական, իր հիմնադիր Պյութագորասի անունով: Պյութագորացիների տարբերակիչ նշանը հնգագրամն էր, մաթեմատիկայի լեզվով այն կանոնավոր ոչ ուռուցիկ կամ աստղակերպ հնգանկյուն է։ Պենտագրամին տրվել է մարդուն չար ոգիներից պաշտպանելու ունակություն:

Պյութագորացիները կարծում էին, որ նյութը բաղկացած է չորս հիմնական տարրերից՝ կրակ, հող, օդ և ջուր: Նրանք հինգ կանոնավոր պոլիեդրների գոյությունը վերագրում էին նյութի և Տիեզերքի կառուցվածքին: Ըստ այս կարծիքի՝ հիմնական տարրերի ատոմները պետք է ունենան տարբեր մարմինների ձև.

§ Տիեզերքը տասներկուանիստ է

§ Երկիր - խորանարդ

§ Կրակ - քառատետր

§ Ջուր - իկոսաեդրոն

§ Օդ - ութանիստ

Ավելի ուշ Պյութագորասի ուսմունքը կանոնավոր պոլիեդրների մասին իր աշխատություններում ուրվագծել է մեկ այլ հին հույն գիտնական՝ իդեալիստ փիլիսոփա Պլատոնը։ Այդ ժամանակվանից կանոնավոր պոլիեդրաները հայտնի են դարձել որպես Պլատոնական պինդ մարմիններ։

Պլատոնական պինդ մարմինները կանոնավոր միատարր ուռուցիկ բազմանիստներ են, այսինքն՝ ուռուցիկ բազմանիստներ, որոնց բոլոր երեսներն ու անկյունները հավասար են, իսկ երեսները՝ կանոնավոր բազմանկյուններ. Միևնույն թվով եզրեր զուգակցվում են կանոնավոր պոլիէդրոնի յուրաքանչյուր գագաթին: Բոլոր երկանկյուն անկյունները եզրերում և բոլոր բազմանկյուն անկյունները կանոնավոր բազմանկյան գագաթներում հավասար են: Պլատոնական պինդ մարմինները հարթ կանոնավոր բազմանկյունների եռաչափ անալոգ են։

Բազմանդեղների տեսությունը մաթեմատիկայի ժամանակակից ճյուղ է։ Այն սերտորեն կապված է տոպոլոգիայի, գրաֆիկների տեսության հետ և ունի մեծ արժեքինչ վերաբերում է տեսական հետազոտություներկրաչափության մեջ և մաթեմատիկայի այլ ճյուղերում գործնական կիրառման համար, օրինակ՝ հանրահաշիվ, թվերի տեսություն, կիրառական մաթեմատիկա- գծային ծրագրավորում, օպտիմալ կառավարման տեսություն: Այսպիսով, այս թեմանտեղին է, և այս հարցի վերաբերյալ գիտելիքները կարևոր են ժամանակակից հասարակության համար:

Հիմնական մասը

Բազմանդրոնը սահմանափակված մարմին է, որի մակերեսը բաղկացած է վերջավոր թվով բազմանկյուններից։

Տանք բազմանիստի սահմանումը, որը համարժեք է բազմանկյունի առաջին սահմանմանը:

Բազմաթև – Սա այն ցուցանիշն է, որը հանդիսանում է վերջավոր թվով քառանիստների միավորում, որի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները.

1) յուրաքանչյուր երկու քառանիստ չունի ընդհանուր կետեր, կամ ունեն ընդհանուր գագաթ, կամ միայն ընդհանուր եզր, կամ ամբողջ ընդհանուր դեմք;

2) յուրաքանչյուր քառաեդրոնից մյուսը կարող եք անցնել քառաեդրոնների շղթայի երկայնքով, որում յուրաքանչյուր հաջորդը հարում է նախորդին ամբողջ դեմքի երկայնքով:

Պոլիեդրոն տարրեր

Բազմանկյունի դեմքը որոշակի բազմանկյուն է (բազմանկյունը սահմանափակ փակ տարածք է, որի սահմանը բաղկացած է վերջավոր թվով հատվածներից):

Դեմքերի կողքերը կոչվում են բազմանկյունի եզրեր, իսկ երեսների գագաթները՝ բազմանիստի գագաթներ։ Բազմաթևի տարրերը, բացի գագաթներից, եզրերից և երեսներից, ներառում են նաև դեմքերի հարթ անկյունները և եզրերի երկանկյուն անկյունները։ Բազմայրի եզրին երկնիշ անկյունը որոշվում է այս եզրին մոտեցող դեմքերով:

Բազմանդեղների դասակարգում

Ուռուցիկ բազմանիստ -բազմանիստ է, որի ցանկացած երկու կետ կարելի է միացնել հատվածով։ Ուռուցիկ պոլիեդրաները շատ ուշագրավ հատկություններ ունեն:

Էյլերի թեորեմ.Ցանկացած ուռուցիկ պոլիէդրոնի համար V-R+G=2,

Որտեղ IN - նրա գագաթների թիվը, Ռ - նրա կողերի թիվը, Գ - նրա դեմքերի թիվը.

Քոշիի թեորեմ.Երկու փակ ուռուցիկ բազմանիստ, որոնք նույնականորեն կազմված են համապատասխանաբար հավասար երեսներից, հավասար են:

Ուռուցիկ բազմանկյունը համարվում է կանոնավոր, եթե նրա բոլոր երեսները հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ են և նույն թվով եզրեր միանում են նրա յուրաքանչյուր գագաթին:

Կանոնավոր բազմանիստ

Բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե, նախ, այն ուռուցիկ է, երկրորդ՝ նրա բոլոր երեսները հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ են, և երրորդ՝ դրանք միանում են նրա յուրաքանչյուր գագաթին։ նույն համարըդեմքերը, և չորրորդը, նրա բոլոր երկփեղկ անկյունները հավասար են։

Կան հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստներ՝ քառանիստ, ութանիստ և իկոսաեդրոն՝ եռանկյուն դեմքերով, խորանարդը (վեցանկյուն)՝ քառակուսի երեսներով և տասներեքագեդրոնը՝ հնգանկյուն երեսներով։ Այս փաստի ապացույցը հայտնի է ավելի քան երկու հազար տարի. այս ապացույցով և հինգ կանոնավոր մարմինների ուսումնասիրությամբ ավարտվում են Էվկլիդեսի տարրերը (հին հույն մաթեմատիկոս, մաթեմատիկայի մասին մեզ հասած առաջին տեսական տրակտատների հեղինակը): Ինչու՞ կանոնավոր պոլիեդրաները ստացան այդպիսի անուններ: Դա պայմանավորված է նրանց դեմքերի քանակով։ Տետրաեդրոնը ունի 4 երես, հունարենից թարգմանված «tetra» - չորս, «hedron» - դեմք: Վեցանկյունը (խորանարդը) ունի 6 դեմք, «հեքսա»-ն՝ վեց; octahedron - octahedron, «octo» - ութ; dodecahedron - dodecahedron, «dodeca» - տասներկու; Իկոսաեդրոնն ունի 20 դեմք, իսկ իկոսին՝ քսան։

2.3. Կանոնավոր պոլիեդրների տեսակները.

1) Կանոնավոր քառաեդրոն(կազմված է չորսից հավասարակողմ եռանկյուններ. Նրա յուրաքանչյուր գագաթը երեք եռանկյան գագաթն է: Հետևաբար, յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 180 0 է);

2)Cube- զուգահեռաբարձ, որի բոլոր դեմքերը քառակուսի են: Խորանարդը կազմված է վեց քառակուսուց։ Խորանարդի յուրաքանչյուր գագաթը երեք քառակուսիների գագաթն է: Հետևաբար, յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 270 0 է։

3) Կանոնավոր ութանիստկամ պարզապես ութանիստ– ութ կանոնավոր եռանկյուն դեմքերով և չորս երեսներով, որոնք հանդիպում են յուրաքանչյուր գագաթին, բազմանիստ: Ութանիստը կազմված է ութ հավասարակողմ եռանկյուններից։ Ութանիստի յուրաքանչյուր գագաթ չորս եռանկյունների գագաթն է: Այսպիսով, յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 240 0 է: Այն կարելի է կառուցել երկու բուրգերի հիմքերը ծալելով, որոնց հիմքերը քառակուսի են, իսկ կողային երեսները՝ կանոնավոր եռանկյուններ։ Ութանիստի եզրերը կարելի է ստանալ՝ միացնելով խորանարդի հարակից երեսների կենտրոնները, բայց եթե միացնենք կանոնավոր ութանիստի հարակից երեսների կենտրոնները, ապա կստանանք խորանարդի եզրեր։ Նրանք ասում են, որ խորանարդը և ութանիստը միմյանց նկատմամբ երկակի են:

4)Icosahedron- կազմված է քսան հավասարակողմ եռանկյուններից: Իկոսաեդրոնի յուրաքանչյուր գագաթ հինգ եռանկյունների գագաթն է։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը հավասար է 300 0-ի:

5) Դոդեկաեդրոն- տասներկու կանոնավոր հնգանկյուններից կազմված բազմանիստ: Տասնյակի յուրաքանչյուր գագաթ երեք կանոնավոր հնգանկյունների գագաթն է։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր գագաթի հարթության անկյունների գումարը 324 0 է:

Դոդեկաեդրոնը և իկոսաեդրոնը նույնպես երկակի են միմյանց հետ այն առումով, որ իկոսաեդրոնի հարակից երեսների կենտրոնները միացնելով հատվածների հետ՝ ստանում ենք տասներկուանիստ և հակառակը։

Կանոնավոր քառաեդրոնն ինքնին երկակի է:

Ավելին, չկա կանոնավոր բազմանիստ, որի դեմքերը լինեն կանոնավոր վեցանկյուններ, յոթանկյուններ և ընդհանուր առմամբ n-անկյուններ n ≥ 6-ի համար։

Կանոնավոր բազմանկյունը բազմանկյուն է, որի բոլոր երեսները կանոնավոր հավասար բազմանկյուններ են և բոլոր երկանկյուն անկյունները հավասար են: Բայց կան նաև բազմանիստներ, որոնցում բոլոր բազմանկյուն անկյունները հավասար են, իսկ դեմքերը կանոնավոր են, բայց հակադիր կանոնավոր բազմանկյուններ։ Այս տիպի բազմանիստերը կոչվում են հավասարանկյուն կիսանարգոն բազմանիստ: Այս տեսակի պոլիեդրներն առաջին անգամ հայտնաբերել է Արքիմեդը: Նա մանրամասն նկարագրել է 13 պոլիեդրաներ, որոնք հետագայում անվանվել են Արքիմեդի մարմիններ՝ ի պատիվ մեծ գիտնականի։ Սրանք են՝ կտրված քառանիստ, կտրված օքսաեդրոն, կտրված իկոսադրոն, կտրված խորանարդ, կտրված տասներեքագեդրոն, խորանարդիկ, իկոսիդոդեկաեդրոն, կտրված խորանարդաձև, կտրված իկոսիդոդեկաեդրոն, ռոմբիդոդեկաեդրոն, ռոմբիդոկաեդրոն, ռոմբիդոկաբոքտա: խորանարդ, «snub» (snub) տասներկուանարդ.

2.4. Կիսականոն բազմանիստ կամ Արքիմեդյան պինդ մարմինները ուռուցիկ բազմանիստներ են՝ երկու հատկությամբ.

1. Բոլոր դեմքերը երկու կամ ավելի տիպի կանոնավոր բազմանկյուններ են (եթե բոլոր դեմքերը նույն տիպի կանոնավոր բազմանկյուններ են, դա կանոնավոր բազմանկյուն է):

2. Ցանկացած զույգ գագաթների համար գոյություն ունի բազմանկյունի համաչափություն (այսինքն՝ շարժում, որը վերափոխում է բազմանկյունը իր մեջ) մի գագաթը մյուսին փոխանցելով։ Մասնավորապես, բոլոր բազմանիստ գագաթային անկյունները համահունչ են:

Բացի կիսանարգոն բազմաեզրներից, կանոնավոր բազմաեզրներից՝ Պլատոնական պինդ մարմիններից, կարելի է ստանալ այսպես կոչված կանոնավոր աստղային բազմանիստ: Դրանք ընդամենը չորսն են, դրանք կոչվում են նաև Կեպլեր-Պուանսոտ մարմիններ։ Կեպլերը հայտնաբերեց մի փոքրիկ տասներկուանիստ, որը նա անվանեց փշոտ կամ ոզնի, և մեծ տասներկուանիստ: Պուանսոն հայտնաբերեց ևս երկու կանոնավոր աստղային բազմաեզր, համապատասխանաբար առաջինից կրկնակի երկու.

Երկու քառանիստներ, որոնք անցնում են միմյանց միջով, կազմում են ութանիստ: Յոհաննես Կեպլերը այս գործչին տվել է «stella octangula» - «ութանկյուն աստղ» անունը: Այն նաև հանդիպում է բնության մեջ. սա այսպես կոչված կրկնակի բյուրեղն է։

Կանոնավոր պոլիէդրոնի սահմանման մեջ «ուռուցիկ» բառը միտումնավոր չի ընդգծվել՝ հաշվի առնելով ակնհայտ ակնհայտությունը: Եվ դա նշանակում է լրացուցիչ պահանջ՝ «և որոնց բոլոր երեսները ընկած են դրանցից որևէ մեկի միջով անցնող ինքնաթիռի մի կողմում»։ Եթե ​​մենք հրաժարվենք նման սահմանափակումից, ապա Պլատոնական պինդ մարմիններին, բացի «ընդլայնված ութանիստից», մենք ստիպված կլինենք ավելացնել ևս չորս պոլիեդրա (դրանք կոչվում են Kepler-Poinsot պինդներ), որոնցից յուրաքանչյուրը կլինի «գրեթե կանոնավոր»: Դրանք բոլորը ձեռք են բերվել Պլատոնովի «աստղում» մարմինները, այսինքն՝ երկարացնելով նրա եզրերը, մինչև դրանք հատվեն միմյանց հետ և, հետևաբար, կոչվում են աստղային։ Խորանարդն ու քառաեդրոնը նոր ֆիգուրներ չեն առաջացնում՝ նրանց դեմքերը, որքան էլ շարունակես, չեն հատվում:

Եթե ​​երկարացնեք ութանիստի բոլոր երեսները, մինչև դրանք հատվեն միմյանց հետ, դուք կստանաք մի գործիչ, որը հայտնվում է երկու քառանիստ ներթափանցման ժամանակ՝ «stella octangula», որը կոչվում է «ընդլայնված»: ութանիստ»:

Իկոսաեդրոնը և տասներեքագեդրոնը աշխարհին տալիս են միանգամից չորս «գրեթե կանոնավոր պոլիեդրաներ»։ Դրանցից մեկը փոքր աստղային դոդեկաեդրոնն է, որն առաջին անգամ ստացել է Յոհաննես Կեպլերը։

Դարեր շարունակ մաթեմատիկոսները չէին ճանաչում բոլոր տեսակի աստղերի բազմանկյուն կոչվելու իրավունքը, քանի որ նրանց կողմերը հատվում են։ Լյուդվիգ Շլաֆլին չվտարեց երկրաչափական մարմինը բազմանիստների ընտանիքից միայն այն պատճառով, որ նրա դեմքերը հատվում էին, սակայն նա անդրդվելի մնաց հենց որ խոսակցությունը վերածվեց փոքրիկ աստղային տասներկուքի վրա։ Նրա փաստարկը պարզ և ծանրակշիռ էր. կեպլերյան այս կենդանին չի ենթարկվում Էյլերի բանաձևին: Նրա ողնաշարը ձևավորվում է տասներկու երես, երեսուն եզր և տասներկու գագաթ, և, հետևաբար, B+G-R-ն բոլորովին հավասար չէ երկուսի:

Շլաֆլին և՛ ճիշտ էր, և՛ սխալ: Իհարկե, երկրաչափական ոզնին այնքան փշոտ չէ, որ ապստամբի անսխալական բանաձեւի դեմ։ Պարզապես պետք է չհամարել, որ այն ձևավորվել է տասներկու հատվող աստղաձև դեմքերից, այլ նայեք դրան որպես պարզ, ազնիվ երկրաչափական մարմին, որը կազմված է 60 եռանկյունից, որն ունի 90 եզր և 32 գագաթ:

Այնուհետև B+G-R=32+60-90, ինչպես և սպասվում էր, հավասար է 2-ի: Բայց այդ դեպքում «ճիշտ» բառը կիրառելի չէ այս բազմանկյունի համար, ի վերջո, նրա դեմքերը այժմ հավասարազոր չեն, այլ միայն. հավասարաչափ եռանկյուններ. Կեպլերը չի արել հասկացավ, որ ստացած ցուցանիշը կրկնակի է:

Բազմեյդրոնը, որը կոչվում է «մեծ դոդեկաեդրոն», կառուցվել է ֆրանսիացի երկրաչափ Լուի Պուանսոյի կողմից Կեպլերյան աստղերի պատկերներից երկու հարյուր տարի անց:

Մեծ իկոսաեդրոնն առաջին անգամ նկարագրվել է Լուի Պուանսոյի կողմից 1809 թվականին։ Եվ կրկին Կեպլերը, տեսնելով աստղային մեծ դոդեկաեդրոն, երկրորդ կերպարը հայտնաբերելու պատիվը թողեց Լուի Պուանսոյին։ Այս թվերը նույնպես կիսով չափ ենթարկվում են Էյլերի բանաձեւին։

Գործնական կիրառություն

Պոլիեդրա բնության մեջ

Կանոնավոր պոլիեդրաները ամենաշահավետ ձևերն են, այդ իսկ պատճառով դրանք տարածված են բնության մեջ։ Դա հաստատվում է որոշ բյուրեղների ձևով։ Օրինակ՝ բյուրեղները սեղանի աղունեն խորանարդի ձև. Ալյումինի արտադրության մեջ օգտագործվում է ալյումին-կալիումական քվարց, որի միաբյուրեղն ունի կանոնավոր ութանիստի տեսք։ Ծծմբաթթվի, երկաթի և ցեմենտի հատուկ տեսակների արտադրությունը չի կարող իրականացվել առանց ծծմբային պիրիտների: Այս քիմիական նյութի բյուրեղները դոդեկաեդրոնի ձև ունեն: Տարբերում քիմիական ռեակցիաներՕգտագործվում է նատրիումի անտիմոնի սուլֆատ՝ գիտնականների կողմից սինթեզված նյութ։ Նատրիումի անտիմոնի սուլֆատի բյուրեղն ունի քառաեդրոնի ձև։ Վերջին կանոնավոր բազմանիստը՝ իկոսաեդրոնը, փոխանցում է բորի բյուրեղների ձևը։

Աստղաձև պոլիեդրաները շատ դեկորատիվ են, ինչը թույլ է տալիս դրանք լայնորեն օգտագործել ոսկերչական արդյունաբերության մեջ՝ բոլոր տեսակի զարդերի արտադրության մեջ: Դրանք օգտագործվում են նաև ճարտարապետության մեջ։ Աստղային պոլիեդրների շատ ձևեր առաջարկվում են հենց բնության կողմից: Ձյան փաթիլները աստղաձև պոլիեդրաներ են: Հին ժամանակներից մարդիկ փորձել են նկարագրել ձյան փաթիլների բոլոր հնարավոր տեսակները և կազմել հատուկ ատլասներ։ Այժմ հայտնի են մի քանի հազար տարբեր տեսակի ձյան փաթիլներ։

Կանոնավոր պոլիեդրաները հանդիպում են նաև կենդանի բնության մեջ։ Օրինակ՝ Ֆեոդարիա (Circjgjnia icosahtdra) միաբջիջ օրգանիզմի կմախքը իկոսաեդրոնի տեսք ունի։ Ֆեոդարների մեծ մասն ապրում է խոր ծովև ծառայել որպես մարջան ձկների որս: Բայց ամենապարզ կենդանին իրեն պաշտպանում է կմախքի 12 գագաթներից դուրս եկող տասներկու ողնաշարով: Այն ավելի շատ նման է աստղային պոլիէդրոնի։

Կարող ենք դիտարկել նաև պոլիեդրաները ծաղիկների տեսքով։ Վառ օրինակ են կակտուսները:

Առնչվող տեղեկություններ.

Թեև ստերեոմետրիան ուսումնասիրվում է միայն ավագ դպրոցում, սակայն յուրաքանչյուր դպրոցական ծանոթ է խորանարդին, կանոնավոր բուրգերին և այլ պարզ պոլիէդրներին: «Բազմայրեր» թեման վառ կիրառություն ունի, այդ թվում՝ գեղանկարչության և ճարտարապետության մեջ։ Բացի այդ, դրանում, ըստ ակադեմիկոս Ալեքսանդրովի փոխաբերական արտահայտության, «սառույցն ու կրակը» համակցված են, այսինքն՝ վառ երևակայություն և խիստ տրամաբանություն։ Բայց ներս դպրոցական դասընթացՍովորական պոլիեդրների համար քիչ ժամանակ է հատկացվում ստերեոմետրիային: Բայց շատերի համար կանոնավոր պոլիեդրաները մեծ հետաքրքրություն են ներկայացնում, բայց դասի ժամանակ նրանց մասին ավելին իմանալու հնարավորություն չկա: Այդ իսկ պատճառով ես որոշեցի խոսել բոլոր կանոնավոր բազմանիստների մասին, որոնք ունեն տարբեր ձևեր և դրանց հետաքրքիր հատկությունները։

Կանոնավոր պոլիեդրների կառուցվածքը շատ հարմար է պոլիէդրոնի բազմաթիվ փոխակերպումները ինքն իր մեջ ուսումնասիրելու համար (պտույտներ, համաչափություններ և այլն)։ Ստացված փոխակերպման խմբերը (դրանք կոչվում են սիմետրիկ խմբեր) շատ հետաքրքիր են ստացվել վերջավոր խմբերի տեսության տեսանկյունից։ Նույն համաչափությունը հնարավորություն տվեց ստեղծել կանոնավոր պոլիէդրոնների տեսքով մի շարք գլուխկոտրուկներ, որոնք սկսվեցին «Ռուբիկի խորանարդով» և «Մոլդովական բուրգով»:

Ռեֆերատը կազմելու համար մենք օգտագործեցինք հանրահայտ գիտամաթեմատիկական «Quantum» ամսագիրը, որտեղից վերցվել է տեղեկատվություն այն մասին, թե ինչ է կանոնավոր բազմանիստը, դրանց թվաքանակը, բոլոր կանոնավոր պոլիեդրների կառուցման և բոլոր պտույտների նկարագրությունը, որոնցում տեղի է ունենում բազմանիստը: համակցված է իր սկզբնական դիրքի հետ: «Մաթեմատիկա» թերթից ստացա հետաքրքիր տեղեկություններաստղային կանոնավոր պոլիեդրների, դրանց հատկությունների, հայտնաբերման և դրանց կիրառությունների մասին:

Այժմ դուք հնարավորություն ունեք սուզվելու ճիշտ և հոյակապ աշխարհ, գեղեցիկի և արտասովորի աշխարհ, որը գերում է մեր աչքերը:

1. Կանոնավոր պոլիեդրաներ

1. 1 Կանոնավոր պոլիեդրների սահմանում.

Ուռուցիկ բազմանիստը կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա երեսները հավասար են կանոնավոր բազմանիստ, և բոլոր բազմանկյուն անկյունները հավասար են:

Դիտարկենք հնարավոր կանոնավոր բազմանիստները և, առաջին հերթին, նրանց, որոնց դեմքերը կանոնավոր եռանկյուններ են։ Ամենապարզ նման կանոնավոր բազմանիստն է եռանկյուն բուրգ, որոնց դեմքերը կանոնավոր եռանկյուններ են։ Նրա յուրաքանչյուր գագաթին հանդիպում են երեք դեմքեր: Ունենալով ընդամենը չորս երես՝ այս բազմանիստը կոչվում է նաև կանոնավոր քառաեդրոն, կամ պարզապես քառաեդրոն, որը թարգմանվում է. Հունարեն լեզունշանակում է քառաեդրոն։

Բազմանդրոն, որի դեմքերը կանոնավոր եռանկյուններ են, և չորս երեսներ հանդիպում են յուրաքանչյուր գագաթին, նրա մակերեսը բաղկացած է ութ կանոնավոր եռանկյունից, ուստի այն կոչվում է ութանիստ:

Բազմեյդրոն, որի յուրաքանչյուր գագաթում հանդիպում են հինգ կանոնավոր եռանկյուններ: Նրա մակերեսը բաղկացած է քսան կանոնավոր եռանկյուններից, այդ իսկ պատճառով այն կոչվում է իկոսաեդրոն։

Նկատի ունեցեք, որ քանի որ ավելի քան հինգ կանոնավոր եռանկյուններ չեն կարող հանդիպել ուռուցիկ բազմանկյունի գագաթներին, չկան այլ կանոնավոր բազմանկյուններ, որոնց դեմքերը կանոնավոր եռանկյուններ են:

Նմանապես, քանի որ միայն երեք քառակուսիներ կարող են համընկնել ուռուցիկ բազմանիստի գագաթներին, ապա, բացի խորանարդից, չկա այլ կանոնավոր բազմանիստ, որի դեմքերը քառակուսի են: Խորանարդն ունի վեց երես, ուստի կոչվում է նաև վեցանկյուն:

Բազմեյդրոն, որի դեմքերն են կանոնավոր հնգանկյուններև յուրաքանչյուր գագաթում երեք երես հանդիպում են: Նրա մակերեսը բաղկացած է տասներկու կանոնավոր հնգանկյուններից, այդ իսկ պատճառով այն կոչվում է տասներկուանիստ։

Կանոնավոր պոլիէդրոնի սահմանումից հետևում է, որ կանոնավոր բազմանիստը «կատարյալ սիմետրիկ է». շարժվելով տարածության մեջ այնպես, որ G դեմքը հավասարեցվի G1-ի հետ, իսկ A գագաթը կհայտնվի A1 կետում:

1. 2. Պատմական նախադրյալներ.

Վերևում թվարկված հինգ կանոնավոր պոլիեդրաները, որոնք հաճախ նաև կոչվում են «Պլատոնական պինդ մարմիններ», գրավել են հնության մաթեմատիկոսների, միստիկների և փիլիսոփաների երևակայությունը ավելի քան երկու հազար տարի առաջ: Հին հույները նույնիսկ առեղծվածային համապատասխանություն են հաստատել քառաեդրոնի, խորանարդի, ութանիստի և իկոսաեդրոնի և բնական չորս սկզբունքների՝ կրակի, հողի, օդի և ջրի միջև: Ինչ վերաբերում է հինգերորդ կանոնավոր բազմանիստին՝ տասներկուանիստին, նրանք այն համարում էին Տիեզերքի ձևը։ Այս գաղափարները պարզապես անցյալում չեն: Եվ հիմա, երկու հազարամյակ անց, շատերին գրավում է հիմքում ընկած գեղագիտական ​​սկզբունքը:

Առաջին չորս պոլիեդրները հայտնի էին Պլատոնից շատ առաջ։ Հնագետները հայտնաբերել են դոդեկաեդրոն, որը ստեղծվել է էտրուսկական քաղաքակրթության ժամանակ՝ մ.թ.ա. առնվազն 500 թվականին: ե. Բայց, ըստ երևույթին, Պլատոնի դպրոցում դոդեկաեդրոնը հայտնաբերվել է ինքնուրույն: Պլատոնի աշակերտ Հիպպասի մասին լեգենդ կա, ով մահացել է ծովում, քանի որ նա բացահայտեց «տասներկու հնգանկյունով գնդակի» գաղտնիքը։

Պլատոնի և Էվկլիդեսի ժամանակներից ի վեր հայտնի էր, որ կան կանոնավոր պոլիեդրների ուղիղ հինգ տեսակ։

Փաստենք այս փաստը. Որոշակի բազմանկյունի բոլոր երեսները թող լինեն կանոնավոր n-անկյուններ, իսկ k-ն՝ գագաթին հարող երեսների թիվը (բոլոր գագաթների համար նույնն է): Դիտարկենք մեր պոլիէդրոնի A գագաթը։ Թող M1, M2,. , Mk - դրանից դուրս եկող k եզրերի ծայրեր; Քանի որ այս եզրերի երկանկյուն անկյունները հավասար են, AM1M2Mk-ը կանոնավոր բուրգ է. երբ պտտվում է 360º/k անկյան տակ AN բարձրության շուրջ, M գագաթը անցնում է M, իսկ M1 գագաթը՝ M2: Mk-ից M1:

Համեմատենք AM1M2 և HM1M2 հավասարաչափ եռանկյունները, իսկ AM1 կողային կողմը ավելի մեծ է, քան HM1, ուստի M1AM2

քառաեդրոն 3 3 4 4 6

Cube 4 3 8 6 12

Octahedron 3 4 6 8 12

Տասնյակ 5 3 20 12 30

Icosahedron 3 5 12 20 30

1. 3. Կանոնավոր բազմանիստների կառուցում.

Բոլոր համապատասխան պոլիեդրաները կարող են կառուցվել՝ հիմք ընդունելով խորանարդը:

Կանոնավոր քառաեդրոն ստանալու համար բավական է վերցնել խորանարդի չորս ոչ կից գագաթները և չորս հարթություններով նրանից կտրել բուրգեր, որոնցից յուրաքանչյուրն անցնում է վերցված գագաթներից երեքով։

Նման քառաեդրոնը կարելի է մակագրել խորանարդի մեջ երկու ձևով.

Երկու նման կանոնավոր քառատետրերի հատումը պարզապես կանոնավոր ութանիստ է. ութ եռանկյուններից բաղկացած բազմաեզր, գագաթներով, որոնք տեղակայված են խորանարդի երեսների կենտրոններում:

2. Կանոնավոր բազմանիստների հատկությունները.

2. 1. Գնդաձև և կանոնավոր բազմանիստ.

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյունի գագաթները գտնվում են ոլորտի վրա (ինչը հազիվ թե զարմանալի լինի, եթե հիշենք, որ ցանկացած կանոնավոր բազմանկյան գագաթները ընկած են շրջանագծի վրա)։ Բացի այս ոլորտից, որը կոչվում է «նկարագրված ոլորտ», կան ևս երկու կարևոր ոլորտներ. Դրանցից մեկը՝ «միջին գունդը», անցնում է բոլոր եզրերի միջնակետերով, իսկ մյուսը՝ «փորագրված գունդը», դիպչում է բոլոր երեսներին իրենց կենտրոններում։ Երեք գնդերն էլ ունեն ընդհանուր կենտրոն, որը կոչվում է պոլիէդրոնի կենտրոն։

Ներգրված ոլորտի շառավիղը Բազմանիդրի անվանումը Ներգրված ոլորտի շառավիղը

Տետրաեդրոն

Դոդեկաեդրոն

Icosahedron

2. 1. Բազմանդեղների ինքնահաստատում.

Ի՞նչ ինքնահաստատումներ (պտույտներ, որոնք թարգմանվում են իրենց մեջ) ունեն խորանարդը, քառաեդրոնը և ութանիստը: Նկատի ունեցեք, որ որոշակի կետ՝ պոլիէդրոնի կենտրոնը, փոխակերպվում է ինքն իրեն ցանկացած ինքնահաստատման համար, այնպես որ բոլոր ինքնահաստատումները ունեն ընդհանուր ֆիքսված կետ:

Տեսնենք, թե ինչ տեսակի պտույտներ կան տարածության մեջ ֆիքսված A կետով: Եկեք ցույց տանք, որ այդպիսի պտույտը անպայմանորեն պտտվում է որոշակի անկյան տակ A կետով անցնող որոշակի ուղիղ գծի շուրջ: Դա բավարար է մեր շարժման համար F(c): F(A) = A) ֆիքսված ուղիղ գիծ նշելու համար: Դուք կարող եք գտնել այն այսպես. հաշվի առեք երեք կետեր M1, M2 = F(M1) և M3 = F(M2), որոնք տարբերվում են ֆիքսված A կետից, գծեք հարթություն դրանց միջով և ուղղահայաց AN գցեք դրա վրա. սա կլինի ցանկալի ուղիղ գիծ. (Եթե M3 = M1, ապա մեր ուղիղ գիծն անցնում է M1M2 հատվածի միջով, իսկ F-ն առանցքային համաչափություն է՝ պտույտ 180° անկյան միջով):

Այսպիսով, պոլիէդրոնի ինքնահաստատումը անպայմանորեն պտտվում է առանցքի շուրջ, որն անցնում է պոլիէդրոնի կենտրոնով: Այս առանցքը հատում է մեր բազմանկյունը գագաթով կամ եզրի կամ դեմքի ներքին կետում: Հետևաբար, մեր ինքնահաստատումը թարգմանում է գագաթը, եզրը կամ դեմքը իր մեջ, ինչը նշանակում է, որ այն թարգմանում է իր մեջ գագաթ, եզրի միջին կամ դեմքի կենտրոն: Եզրակացություն․ երեք տեսակիԲազմեյդոնի կենտրոնը գագաթն է, բազմանկյունի կենտրոնը եզրի միջինն է, բազմանկյունի կենտրոնը դեմքի կենտրոնն է:

Ընդհանուր առմամբ, եթե բազմանկյունը 360°/մ անկյան տակ ուղիղ գծի շուրջը պտտվելիս հավասարեցվում է ինքն իրեն, ապա այս ուղիղ գիծը կոչվում է m-րդ կարգի համաչափության առանցք։

2. 2. Շարժում և համաչափություն.

Կանոնավոր պոլիեդրների նկատմամբ հիմնական հետաքրքրությունն է մեծ թվովնրանց ունեցած համաչափությունները:

Բազմեյդերի ինքնահաստատումը դիտարկելիս մենք կարող ենք ներառել ոչ միայն պտույտներ, այլև ցանկացած շարժում, որը բազմանկյունը վերածում է իր մեջ: Այստեղ շարժումը տարածության ցանկացած փոխակերպում է, որը պահպանում է կետերի միջև զույգ հեռավորությունները:

Բացի պտույտներից, շարժումների քանակը պետք է ներառի նաև հայելու շարժումները: Դրանցից են հարթության նկատմամբ համաչափությունը (արտացոլումը), ինչպես նաև հարթության նկատմամբ արտացոլման բաղադրությունը և նրան ուղղահայաց ուղիղ գծի շուրջ պտույտը (սա ընդհանուր տեսարանֆիքսված կետ ունեցող հայելու շարժում): Անշուշտ, նման շարժումները չեն կարող իրականացվել տիեզերքում պոլիէդրոնի շարունակական շարժումով։

Եկեք ավելի մանրամասն նայենք քառանիստի համաչափություններին: Ցանկացած ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է քառանիստի ցանկացած գագաթով և կենտրոնով, անցնում է հակառակ դեմքի կենտրոնով: Այս ուղիղ գծի շուրջ 120 կամ 240 աստիճանի պտույտը քառաեդրոնի համաչափություններից մեկն է։ Քանի որ քառաեդրոնն ունի 4 գագաթ (և 4 երես), մենք ընդհանուր առմամբ ստանում ենք 8 ուղիղ համաչափություն։ Ցանկացած ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է քառաեդրոնի եզրի կենտրոնով և միջնակետով, անցնում է հակառակ եզրի միջնակետով: Նման ուղիղ գծի շուրջ 180 աստիճան պտույտը (կես պտույտ) նույնպես համաչափություն է։ Քանի որ քառաեդրոնն ունի 3 զույգ եզր, մենք ստանում ենք ևս 3 ուղիղ սիմետրիա։ Հետևաբար, ընդհանուր թիվըկա մինչև 12 ուղիղ համաչափություն, ներառյալ ինքնության փոխակերպումը: Կարելի է ցույց տալ, որ այլ ուղիղ համաչափություններ չկան և կան 12 հակադարձ սիմետրիաներ: Այսպիսով, քառաեդրոնը թույլ է տալիս ընդհանուր առմամբ 24 համաչափություն:

Մնացած կանոնավոր բազմանկյունների ուղիղ սիմետրիաները կարող են հաշվարկվել՝ օգտագործելով [(q - 1)N0 + N1 + (p - 1)N2]/2 + 1 բանաձևը, որտեղ p-ը կանոնավոր բազմանկյունների կողմերի թիվն է, որոնք երեսներ են։ բազմանիստ, q-ն յուրաքանչյուր գագաթին կից երեսների թիվն է, N0-ը՝ գագաթների թիվը, N1-ը՝ եզրերի թիվը, իսկ N2-ը՝ յուրաքանչյուր բազմաեզրության երեսների թիվը:

Վեցանկյունն ու ութանիստն ունեն 24-ական համաչափություն, իսկ իկոսաեդրոնն ու տասներեքագեդրոնը՝ 60-ական համաչափություն։

Բոլոր կանոնավոր բազմանիստներն ունեն սիմետրիայի հարթություններ (չորեքարյունն ունի 6, խորանարդը և ութանիստը՝ 9, իկոսաեդրոնը և տասներեքագեդրոնը՝ 15)։

2. 3. Աստղային պոլիեդրաներ.

Սովորական պոլիէդրներից բացի, աստղային պոլիէդրներն ունեն գեղեցիկ ձևեր։ Դրանք ընդամենը չորսն են։ Առաջին երկուսը հայտնաբերել է Ջ.Կեպլերը ( 1571 - 1630 ), իսկ մյուս երկուսը կառուցվել են գրեթե 200 տարի անց Լ. Պուանսոյի ( 1777 - 1859 ) կողմից։ Այդ իսկ պատճառով կանոնավոր աստղային բազմանիստները կոչվում են Kepler-Poinsot մարմիններ։ Դրանք ստացվում են կանոնավոր պոլիէդրներից՝ երկարացնելով նրանց դեմքերը կամ եզրերը։ Ֆրանսիացի երկրաչափ Պուանսոն 1810 թվականին կառուցեց չորս կանոնավոր աստղային բազմանիստ՝ փոքր աստղային տասներկուանետրոն, մեծ աստղային տասներկուանետրոն, մեծ տասներկուանետրոն և մեծ իկոսաեդրոն: Այս չորս բազմանիստները ունեն դեմքեր, որոնք հատում են կանոնավոր բազմանկյունները, և նրանցից երկուսը ունեն յուրաքանչյուր դեմք, որը ինքնհատվող բազմանկյուն է: Բայց Պուանսոն չկարողացավ ապացուցել, որ այլ կանոնավոր բազմաեդրներ չկան։

Մեկ տարի անց (1811 թ.) դա արեց ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ավգուստին Լուի Կոշին (1789 - 1857 թթ.): Նա օգտվեց այն հանգամանքից, որ, ըստ կանոնավոր պոլիէդրոնի սահմանման, այն կարող է վերադրվել իր վրա այնպես, որ դրա կամայական դեմքը համընկնի նախկինում ընտրվածի հետ: Այստեղից հետևում է, որ աստղային բազմանիստի բոլոր երեսները հավասար հեռավորության վրա են գտնվում բազմանկյունի մեջ ներգծված ոլորտի ինչ-որ կետ-կենտրոնից։

Աստղային բազմանկյունի երեսների հարթությունները, հատվելով, կազմում են նաև կանոնավոր ուռուցիկ բազմանիստ, այսինքն՝ նույն ոլորտի շուրջ նկարագրված պլատոնական պինդ։ Քոշին անվանել է այս պլատոնական պինդ այս աստղային բազմանիստի միջուկը։ Այսպիսով, աստղային բազմանիստ կարելի է ստանալ՝ շարունակելով Պլատոնական պինդ մարմիններից մեկի երեսների հարթությունները։

Անհնար է աստղային բազմանիստ ստանալ քառաեդրոնից, խորանարդից կամ ութանիստից։ Դիտարկենք տասներկուանիստը։ Նրա եզրերի շարունակությունը հանգեցնում է յուրաքանչյուր դեմքի փոխարինմանը աստղային կանոնավոր հնգանկյունով, և արդյունքում ստացվում է փոքր աստղային տասներկուանիստ:

Տասնյակի երեսների շարունակության վրա հնարավոր են հետևյալ երկու դեպքերը.

2) եթե աստղային հնգանկյունները դիտարկենք որպես դեմքեր, ապա կստանանք մեծ աստղային տասներկուանիստ:

Իկոսաեդրոնն ունի մեկ աստղային ձև։ Երբ կանոնավոր իկոսաեդրոնի եզրը երկարացվում է, ստացվում է մեծ իկոսաեդրոն։

Այսպիսով, կան չորս տեսակի կանոնավոր աստղային պոլիեդրաներ.

Աստղային պոլիեդրաները շատ դեկորատիվ են, ինչը թույլ է տալիս դրանք լայնորեն կիրառել ոսկերչական արդյունաբերության մեջ՝ բոլոր տեսակի զարդերի արտադրության մեջ:

Աստղային պոլիեդրների շատ ձևեր առաջարկվում են հենց բնության կողմից: Ձյան փաթիլները աստղաձև պոլիեդրաներ են: Հին ժամանակներից մարդիկ փորձել են նկարագրել ձյան փաթիլների բոլոր հնարավոր տեսակները և կազմել հատուկ ատլասներ։ Այժմ հայտնի են մի քանի հազար տարբեր տեսակի ձյան փաթիլներ։

Եզրակացություն

Աշխատությունն ընդգրկում է հետևյալ թեմաները՝ կանոնավոր բազմանիստներ, կանոնավոր բազմանիստների կառուցում, ինքնահաստատում, շարժում և համաչափություններ, աստղային բազմանիստներ և դրանց հատկությունները։ Մենք իմացանք, որ կան ընդամենը հինգ կանոնավոր և չորս աստղային կանոնավոր բազմանիստներ, որոնք լայնորեն կիրառվում են տարբեր ոլորտներում։

Պլատոնական պինդ մարմինների և հարակից ֆիգուրների ուսումնասիրությունը շարունակվում է մինչ օրս։ Եվ չնայած հիմնական դրդապատճառները ժամանակակից հետազոտությունծառայում են գեղեցկությանը և սիմետրիկությանը, դրանք նույնպես ունեն որոշակի գիտական ​​նշանակություն, հատկապես բյուրեղագիտության մեջ։ Սեղանի աղի, նատրիումի թիոանտիմոնիդի և քրոմի շիբի բյուրեղները բնության մեջ հանդիպում են համապատասխանաբար խորանարդի, քառաեդրոնի և ութանիստի տեսքով։ Իկոսաեդրոնը և դոդեկաեդրոնը չեն հայտնաբերվել բյուրեղային ձևերի մեջ, սակայն դրանք կարելի է դիտարկել մանրադիտակային ծովային օրգանիզմների մեջ, որոնք հայտնի են որպես ռադիոլարերներ։

Պլատոնի և Կեպլերի գաղափարները մեր ժամանակներում աշխարհի ներդաշնակ կառուցվածքի հետ կանոնավոր պոլիեդրների կապի մասին շարունակվել են հետաքրքիր գիտական ​​վարկածում, որը 80-ականների սկզբին. արտահայտել են մոսկվացի ինժեներներ Վ.Մակարովը և Վ.Մորոզովը։ Նրանք կարծում են, որ Երկրի միջուկն ունի աճող բյուրեղի ձև և հատկություններ, ինչը ազդում է բոլորի զարգացման վրա: բնական գործընթացներքայլում է մոլորակի վրա. Այս բյուրեղի ճառագայթները, ավելի ճիշտ՝ նրա ուժային դաշտը որոշում են Երկրի իկոսաեդրոն-դոդեկաեդրոն կառուցվածքը։ Դա արտահայտվում է նրանով, որ երկրի ընդերքըասես մակագրվածների կանխատեսումները գլոբուսկանոնավոր պոլիեդրաներ՝ իկոսաեդրոն և դոդեկաեդրոն:

Շատ օգտակար հանածոների հանքավայրեր տարածվում են իկոսաեդրոն-դոդեկաեդրոն ցանցի երկայնքով. Բազմայրերի եզրերի 62 գագաթները և միջնակետերը, որոնք հեղինակների կողմից կոչվում են հանգույցներ, ունեն մի շարք հատուկ հատկություններ, որոնք հնարավորություն են տալիս բացատրել որոշ անհասկանալի երևույթներ։ Հենց այստեղ են գտնվում թեժ կետերը հնագույն մշակույթներև քաղաքակրթություններ՝ Պերու, Հյուսիսային Մոնղոլիա, Հաիթի, Օբ մշակույթ և այլն։ Այս կետերում նկատվում են առավելագույն և նվազագույն մթնոլորտային ճնշում, Համաշխարհային օվկիանոսի հսկա պտույտներ։ Այս հանգույցները պարունակում են Լոխ Նես, Բերմուդյան եռանկյունի. Երկրի հետագա ուսումնասիրությունները կարող են որոշել այս գիտական ​​վարկածի նկատմամբ վերաբերմունքը, որում, ինչպես երևում է, կարևոր տեղ են զբաղեցնում կանոնավոր բազմադարները։

Կանոնավոր պոլիեդրների կառուցվածքը շատ հարմար է պոլիէդրոնի բազմաթիվ փոխակերպումները ինքն իր մեջ ուսումնասիրելու համար (պտույտներ, համաչափություններ և այլն)։ Ստացված փոխակերպման խմբերը (դրանք կոչվում են սիմետրիկ խմբեր) շատ հետաքրքիր են ստացվել վերջավոր խմբերի տեսության տեսանկյունից։ Նույն համաչափությունը հնարավորություն տվեց ստեղծել կանոնավոր պոլիեդրների տեսքով մի շարք գլուխկոտրուկներ, որոնք սկսվեցին «Ռուբիկի խորանարդով» և «Մոլդովական բուրգով»:

Քանդակագործները, ճարտարապետները, արվեստագետները նույնպես մեծ հետաքրքրություն են ցուցաբերել կանոնավոր բազմադարյան ձևերի նկատմամբ։ Նրանք բոլորն էլ ապշած էին բազմանիստների կատարյալությամբ ու ներդաշնակությամբ։ Լեոնարդո դա Վինչին (1452 - 1519) հետաքրքրված էր բազմադարյան տեսությամբ և հաճախ պատկերում էր դրանք իր կտավների վրա։ Սալվադոր Դալին «Վերջին ընթրիք» կտավում պատկերել է Սուրբ Հիսուսին իր աշակերտների հետ հսկայական թափանցիկ տասներկուանիստի ֆոնի վրա։

Երկրաչափության այն մասը, որը մենք մինչ այժմ ուսումնասիրել ենք, կոչվում է պլանաչափություն. այս մասը վերաբերում էր հարթության հատկություններին: երկրաչափական ձևեր, այսինքն՝ թվեր, որոնք ամբողջությամբ գտնվում են որոշակի հարթության մեջ։ Բայց մեզ շրջապատող առարկաների մեծ մասը հարթ չէ։ Ցանկացած իրական առարկա զբաղեցնում է տարածության որոշակի մասը:

Երկրաչափության այն ճյուղը, որտեղ ուսումնասիրվում են տարածության մեջ պատկերների հատկությունները, կոչվում է ստերեոմետրիա։

Եթե ​​երկրաչափական մարմինների մակերեսները կազմված են բազմանկյուններից, ապա այդպիսի մարմինները կոչվում են պոլիեդրա.

Բազմանկյունները, որոնք կազմում են բազմանկյունը, կոչվում են նրա դեմքեր։ Ենթադրվում է, որ պոլիէդրոնի երկու հարևան դեմքեր չեն գտնվում նույն հարթության վրա:

Դեմքերի կողմերը կոչվում են եզրեր, իսկ եզրերի ծայրերը՝ բազմանկյունի գագաթներ։

Երկու գագաթները միացնող հատվածը, որոնք միևնույն դեմքին չեն պատկանում, կոչվում է բազմանկյուն:

Polyedra-ն կարող է լինել ուռուցիկ կամ ոչ ուռուցիկ:

Ուռուցիկ բազմանիստը բնութագրվում է նրանով, որ այն գտնվում է իր յուրաքանչյուր դեմքի հարթության մի կողմում: Նկարում պատկերված է ուռուցիկ պոլիէդրոն՝ ութանիստ: Ութանիստն ունի ութ դեմք, բոլոր դեմքերը կանոնավոր եռանկյուններ են։

Նկարում պատկերված է ոչ ուռուցիկ (գոգավոր) բազմանկյուն: Եթե ​​դիտարկենք, օրինակ, \(EDC\) եռանկյան հարթությունը, ապա, ակնհայտորեն, բազմանկյան մի մասը գտնվում է մի կողմում, իսկ մի մասը՝ այս հարթության մյուս կողմում։

Հետագա սահմանումների համար մենք ներկայացնում ենք տարածության մեջ զուգահեռ հարթությունների և զուգահեռ ուղիղների հայեցակարգը և ուղիղի և հարթության ուղղահայացությունը:

Երկու հարթություններ կոչվում են զուգահեռ, եթե չունեն ընդհանուր կետեր:

Տիեզերքում երկու ուղիղները կոչվում են զուգահեռ, եթե դրանք գտնվում են նույն հարթության վրա և չեն հատվում:

Ուղղակի կոչվում է հարթությանը ուղղահայաց, եթե այն ուղղահայաց է այս հարթության ցանկացած ուղղին:

Պրիզմա

Այժմ մենք կարող ենք ներկայացնել պրիզմայի սահմանումը:

\(n\)-անկյունային պրիզմա է բազմանկյուն, որը կազմված է երկու հավասար \(n\)-ից: քառակուսիներ,պառկած զուգահեռ հարթություններ, և \(n\)-զուգահեռանկարներ, որոնք առաջացել են \(n\)-անկյունների գագաթները զուգահեռ ուղիղների հատվածների հետ միացնելով։

Հավասար \(n\) -գոնները կոչվում են պրիզմայի հիմքեր:

Բազմանկյունների կողմերը կոչվում են հիմքերի եզրեր.

Զուգահեռագրերը կոչվում են կողմնակի դեմքերպրիզմաներ.

Զուգահեռ հատվածները կոչվում են կողային կողիկներպրիզմաներ.

Պրիզմաները կարող են լինել ուղիղ կամ թեքված:

Եթե ​​աջ պրիզմայի հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են, ապա այդպիսի պրիզման կոչվում է կանոնավոր։

Ուղիղ պրիզմաների համար բոլոր կողային դեմքերը ուղղանկյուն են: Ուղիղ պրիզմայի կողային եզրերը ուղղահայաց են նրա հիմքերի հարթություններին:

Եթե ​​մի հիմքի ցանկացած կետից ուղղահայաց է գծվում պրիզմայի մեկ այլ հիմք, ապա այդ ուղղահայացը կոչվում է պրիզմայի բարձրություն:

Նկարում ներկայացված է թեք քառանկյուն պրիզմա, որում գծված է B 1 E բարձրությունը:

Ուղիղ պրիզմայում կողային եզրերից յուրաքանչյուրը պրիզմայի բարձրությունն է:

Նկարը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմա: Բոլոր կողային երեսները ուղղանկյուն են. Եռանկյուն պրիզման չունի անկյունագծեր, քանի որ բոլոր գագաթները միացված են եզրերով:

Նկարը ցույց է տալիս կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա: Պրիզմայի հիմքերը քառակուսիներ են։ Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի բոլոր անկյունագծերը հավասար են, հատվում են մի կետում և կիսվում են այս կետում:

Կոչվում է քառանկյուն պրիզմա, որի հիմքերը զուգահեռներ են զուգահեռ.

Կարելի է անվանել նաև վերը նշված կանոնավոր քառանկյուն պրիզմա ուղիղ զուգահեռ.

Եթե ​​ուղղանկյուն զուգահեռականի հիմքերը ուղղանկյուն են, ապա այս զուգահեռականի հիմքերը ուղղանկյուն են ուղղանկյուն.

Նկարում պատկերված է ուղղանկյուն զուգահեռանիպեդ: Ընդհանուր գագաթով երեք եզրերի երկարությունները կոչվում են չափումներ ուղղանկյուն զուգահեռական.

Օրինակ՝ AB , AD և A A 1 չափումներ կարելի է անվանել։

Քանի որ ABC և AC C 1 եռանկյունները ուղղանկյուն են, հետևաբար, ուղղանկյուն զուգահեռականի անկյունագծի երկարության քառակուսին հավասար է դրա չափերի քառակուսիների գումարին.

A C 1 2 = AB 2 + AD 2 + A A 1 2:

Եթե ​​հիմքերի համապատասխան անկյունագծերի միջով գծվում է հատված, ապա ստացվում է այն, ինչ կոչվում է անկյունագծային հատվածպրիզմաներ.

Ուղիղ պրիզմաներում անկյունագծային հատվածները ուղղանկյուն են։ Հավասար անկյունագծային հատվածներն անցնում են հավասար անկյունագծերով։

Նկարում ներկայացված է կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմա, որում գծված են երկու տարբեր անկյունագծային հատվածներ, որոնք անցնում են տարբեր երկարություններ ունեցող անկյունագծերով։

Ուղիղ պրիզմաներում հաշվարկների հիմնական բանաձևերը

1. Կողային մակերես S կողմը = P հիմնական ⋅ H, որտեղ \(H\) պրիզմայի բարձրությունն է: Թեք պրիզմաների համար յուրաքանչյուր կողային երեսի տարածքը որոշվում է առանձին:

2. Ամբողջական մակերես S ամբողջական. = 2 ⋅ S հիմք: + S կողմը. . Այս բանաձևը վավեր է բոլոր պրիզմաների համար, ոչ միայն ուղիղների:

3. Volume V = S հիմնական. ⋅ Հ. Այս բանաձևը վավեր է բոլոր պրիզմաների համար, ոչ միայն ուղիղների:

Բուրգ

\(n\) - ածուխի բուրգ- բազմանկյուն, որը կազմված է հիմքում գտնվող \(n\)-անկյունից և \(n\)-եռանկյուններից, որոնք ձևավորվել են բուրգի գագաթնակետը միացնելով հիմնական բազմանկյան բոլոր գագաթներին:

\(n\)-գոնը կոչվում է բուրգի հիմք:

Եռանկյունները բուրգի կողային երեսներն են:

Եռանկյունների ընդհանուր գագաթը բուրգի գագաթն է։

Գագաթից ձգվող կողերը բուրգի կողային կողիկներն են։

Բուրգի գագաթից հիմքի հարթությանը ուղղահայացը կոչվում է բուրգի բարձրություն։

Դասի նպատակը.

1. Ներկայացրե՛ք կանոնավոր պոլիեդրա հասկացությունը:
2. Դիտարկենք կանոնավոր պոլիեդրների տեսակները:
3. Խնդրի լուծում.
4. Թեմայի նկատմամբ հետաքրքրություն սերմանելու համար սովորեցնել երկրաչափական մարմիններում տեսնել գեղեցկությունը, զարգացնել տարածական երևակայությունը:
5. Միջառարկայական կապեր.

Տեսանելիություն:սեղաններ, մոդելներ.

Դասի առաջընթաց

I. Կազմակերպչական պահ.Տեղեկացնել դասի թեման, ձևակերպել դասի նպատակները:

II. Նոր նյութի ուսուցում/

Հասանելի է դպրոցական երկրաչափությունում հատուկ թեմաներ, որին անհամբեր սպասում եք՝ ակնկալելով հանդիպում անհավանական գեղեցիկ նյութով։ Նման թեմաները ներառում են «Կանոնավոր պոլիեդրաներ»: Այստեղ ոչ միայն բացվում է յուրահատուկ հատկություններով երկրաչափական մարմինների զարմանալի աշխարհ, այլեւ հետաքրքիր գիտական ​​վարկածներ։ Եվ հետո երկրաչափության դասը դառնում է ծանոթ դպրոցական առարկայի անսպասելի կողմերի մի տեսակ ուսումնասիրություն:

Ոչ մի երկրաչափական մարմին չունի այնպիսի կատարելություն և գեղեցկություն, որքան կանոնավոր բազմադարները։ «Կան ցնցող փոքր թվով կանոնավոր պոլիեդրաներ,- մի անգամ գրել է Լ. Քերոլը,- բայց թվով այս շատ համեստ ջոկատը կարողացավ ներթափանցել տարբեր գիտությունների խորքերը»:

Կանոնավոր պոլիէդրոնի սահմանումը.

Բազմեյդրոնը կոչվում է կանոնավոր, եթե.

1. այն ուռուցիկ է;
2. նրա բոլոր դեմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են, որոնք հավասար են միմյանց.
3. նույն թվով եզրեր համընկնում են նրա յուրաքանչյուր գագաթին.
4. նրա բոլոր երկփեղկ անկյունները հավասար են։

Թեորեմ.Կան կանոնավոր բազմանիստների հինգ տարբեր (մինչև նմանություն) տեսակներ՝ կանոնավոր քառաեդրոն, կանոնավոր վեցանիստ (խորանարդ), կանոնավոր ութանիստ, կանոնավոր տասներեքագեդրոն և կանոնավոր իկոսաեդրոն։

Աղյուսակ 1.Կանոնավոր պոլիեդրների որոշ հատկություններ տրված են հետևյալ աղյուսակում։

Դեմքի տեսակը	Հարթ գագաթային անկյուն	Բազմաթև գագաթային անկյան տեսք	Հարթության անկյունների գումարը գագաթին	IN	Ռ	Գ	Polyhedron անվանումը
Կանոնավոր եռանկյուն	60º	3-կողմ	180º	4	6	4	Կանոնավոր քառաեդրոն
Կանոնավոր եռանկյուն	60º	4-կողմ	240º	6	12	8	Կանոնավոր ութանիստ
Կանոնավոր եռանկյուն	60º	5-կողմ	300º	12	30	20	Կանոնավոր icosahedron
Քառակուսի	90º	3-կողմ	270º	8	12	6	Կանոնավոր վեցանկյուն (խորանարդ)
Կանոնավոր եռանկյուն	108º	3-կողմ	324º	20	30	12	Կանոնավոր դոդեկաեդրոն

Դիտարկենք պոլիեդրների տեսակները.

Կանոնավոր քառաեդրոն

<Рис. 1>

Կանոնավոր ութանիստ

<Рис. 2>

Կանոնավոր icosahedron

<Рис. 3>

Կանոնավոր վեցանկյուն (խորանարդ)

<Рис. 4>

Կանոնավոր դոդեկաեդրոն

<Рис. 5>

Աղյուսակ 2. Կանոնավոր պոլիեդրների ծավալները գտնելու բանաձևեր.

Պոլիեդրոնի տեսակը	Բազմեյդրոնի ծավալը
Կանոնավոր քառաեդրոն
Կանոնավոր ութանիստ
Կանոնավոր icosahedron
Կանոնավոր վեցանկյուն (խորանարդ)
Կանոնավոր դոդեկաեդրոն

«Պլատոնական պինդ մարմիններ».

Խորանարդը և ութանիստը երկակի են, այսինքն. ստացվում են միմյանցից, եթե մեկի դեմքերի ծանրության կենտրոնները վերցվում են որպես մյուսի գագաթներ և հակառակը։ Դոդեկաեդրոնը և իկոսաեդրոնը նմանապես երկակի են: Տետրեդրոնն ինքնին երկակի է: Կանոնավոր տասներկուանիստը ստացվում է խորանարդից՝ նրա երեսին «տանիքներ» կառուցելով (էվկլիդեսյան մեթոդ) խորանարդի ցանկացած չորս գագաթներ, որոնք զույգ-զույգ կից չեն եզրագծի երկայնքով։ Այսպես են ստացվում խորանարդից մնացած բոլոր կանոնավոր բազմանիստները։ Միայն հինգ իսկապես կանոնավոր պոլիեդրների գոյության փաստը զարմանալի է. ի վերջո, հարթության վրա կան անսահման շատ կանոնավոր բազմանկյուններ:

Բոլոր կանոնավոր պոլիեդրաները հայտնի էին դեռևս Հին Հունաստանում, և Էվկլիդեսի հայտնի սկզբունքների վերջին՝ XII գիրքը նվիրված է նրանց: Այս պոլիեդրաները հաճախ կոչվում են պլատոնական պինդ մարմիններհին հույն մեծ մտածող Պլատոնի տված աշխարհի իդեալիստական ​​պատկերում։ Դրանցից չորսը անձնավորել են չորս տարրերը՝ քառաեդրոն-կրակ, խորանարդ-Երկիր, իկոսաեդրոն-ջուր և ութանիստ-օդ; հինգերորդ բազմանիստը՝ տասներկուանիստը, խորհրդանշում էր ամբողջ տիեզերքը։ Լատիներեն այն սկսեց կոչվել quinta essentia («հինգերորդ էություն»):

Ըստ երևույթին, դժվար չէր գտնել ճիշտ քառաեդրոն, խորանարդ, ութանիստ, մանավանդ որ այս ձևերն ունեն բնական բյուրեղներ, օրինակ՝ խորանարդը կերակրի աղի մեկ բյուրեղ է (NaCl), ութանիստը՝ կալիումի մեկ բյուրեղ։ շիբ ((KAlSO 4) 2 l2H 2 O): Ենթադրություն կա, որ հին հույները դոդեկաեդրոնի ձևը ստացել են պիրիտի (ծծմբի պիրիտ FeS) բյուրեղների ուսումնասիրությամբ։ Ունենալով դոդեկաեդրոն՝ դժվար չէ իկոսաեդրոն կառուցել. նրա գագաթները կլինեն տասներկու երեսների կենտրոնները:

Էլ որտե՞ղ կարող եք տեսնել այս զարմանալի մարմինները:

Այս դարասկզբի գերմանացի կենսաբան Է.Հեկելի «Բնության ձևերի գեղեցկությունը» շատ գեղեցիկ գրքում կարող եք կարդալ հետևյալ տողերը. գեղեցկությամբ և բազմազանությամբ գերազանցում են մարդկային արվեստի բոլոր ձևերը»: Այս գրքում ցուցադրված բնության արարածները գեղեցիկ են և համաչափ: Սա բնական ներդաշնակության անբաժանելի հատկություն է։ Բայց այստեղ կարելի է տեսնել միաբջիջ օրգանիզմներ՝ ֆեոդարիա, որի ձևը ճշգրտորեն արտացոլում է իկոսաեդրոնը։ Ինչո՞վ է պայմանավորված այս բնական երկրաչափականացումը: Թերևս նույն թվով դեմքեր ունեցող բոլոր պոլիեդրների պատճառով հենց իկոսաեդրոնն ունի ամենամեծ ծավալը և ամենափոքր մակերեսը։ Սա երկրաչափական հատկությունօգնում է ծովային միկրոօրգանիզմին հաղթահարել ջրի սյունակի ճնշումը:

Հետաքրքիր է նաև, որ հենց իկոսաեդրոնն է դարձել կենսաբանների ուշադրության կենտրոնում վիրուսների ձևի վերաբերյալ նրանց վեճերում։ Վիրուսը չի կարող կատարյալ կլոր լինել, ինչպես նախկինում կարծում էին։ Նրա ձևը հաստատելու համար նրանք վերցրել են տարբեր պոլիեդրներ և լույսն ուղղել նրանց վրա նույն անկյուններով, ինչ ատոմների հոսքը վիրուսի վրա: Պարզվեց, որ վերը նշված հատկությունները թույլ են տալիս պահպանել գենետիկական տեղեկատվությունը։ Կանոնավոր պոլիեդրաները առավել շահավետ գործիչներ են: Եվ բնությունը լայնորեն օգտագործում է դա: Կանոնավոր պոլիեդրաները որոշում են որոշների բյուրեղյա ցանցերի ձևը քիմիական նյութեր. Հետևյալ խնդիրը ցույց կտա այս միտքը.

Առաջադրանք. CH 4 մեթանի մոլեկուլի մոդելն ունի կանոնավոր քառաեդրոնի ձև՝ չորս գագաթներում ջրածնի ատոմներով, իսկ կենտրոնում՝ ածխածնի ատոմով։ Որոշեք կապի անկյունը երկու CH կապերի միջև:

<Рис. 6>

Լուծում.Քանի որ կանոնավոր քառաեդրոնն ունի վեց հավասար եզրեր, կարելի է ընտրել այնպիսի խորանարդ, որ նրա երեսների անկյունագծերը լինեն կանոնավոր քառաեդրոնի եզրեր։ Խորանարդի կենտրոնը նաև քառանիստի կենտրոնն է, քանի որ քառանիստի չորս գագաթները նույնպես խորանարդի գագաթներն են, և դրանց շուրջ նկարագրված գունդը եզակիորեն որոշվում է չորս կետերով, որոնք չեն գտնվում նույն հարթության մեջ։

AOC եռանկյունը հավասարաչափ է: Հետևաբար a-ն խորանարդի կողմն է, d-ը կողային երեսի անկյունագծի երկարությունն է կամ քառանիստի եզրը: Այսպիսով, a = 54,73561 0 և j = 109,47 0

Առաջադրանք.Մեկ գագաթի (D) խորանարդի մեջ գծված են DA, DB և DC դեմքերի անկյունագծերը, և դրանց ծայրերը միացված են ուղիղ գծերով: Ապացուցեք, որ DABC բազմանիստը, որը ձևավորվում է այս ուղիղների միջով անցնող չորս հարթություններից, կանոնավոր քառաեդրոն է:

<Рис. 7>

Առաջադրանք.Խորանարդի եզրը հավասար է ա.Հաշվե՛ք դրանում գրված կանոնավոր ութանիստի մակերեսը: Գտե՛ք դրա հարաբերությունը նույն խորանարդի մեջ գրված կանոնավոր քառաեդրոնի մակերեսին:

<Рис. 8>

Բազմեյդրոն հասկացության ընդհանրացում.

Բազմանդրոնը վերջավոր թվով հարթ բազմանկյունների հավաքածու է, որը.

1. Բազմանկյուններից որևէ մեկի յուրաքանչյուր կողմը միաժամանակ մյուսի կողմն է (բայց միայն մեկը (կոչվում է առաջինին կից) այս կողմում).
2. բազմանկյուններից որևէ մեկից, որը կազմում է բազմանկյունը, կարող եք հասնել դրանցից որևէ մեկին` շարժվելով դեպի նրան կիցը, իսկ սրանից էլ իր հերթին դեպի կիցը և այլն։

Այս բազմանկյունները կոչվում են դեմքեր, դրանց կողմերը՝ եզրեր, իսկ գագաթները՝ բազմանկյունի գագաթներ։

Բազմանկյունի վերը նշված սահմանումը տարբեր իմաստներ է ստանում՝ կախված նրանից, թե ինչպես է սահմանվում բազմանկյունը.

– եթե բազմանկյուն ասելով նկատի ունենք հարթ փակ բեկված գծեր (նույնիսկ եթե դրանք հատվում են իրար), ապա գալիս ենք. այս սահմանումըպոլիեդրոն;

– եթե բազմանկյունը հասկացվում է որպես հարթության մաս, որը սահմանափակված է կոտրված գծերով, ապա այս տեսանկյունից բազմանկյունը հասկացվում է որպես բազմանկյուն կտորներից կազմված մակերես։ Եթե ​​այս մակերեսն ինքն իրեն չի հատվում, ապա դա ինչ-որ երկրաչափական մարմնի ամբողջական մակերեսն է, որը կոչվում է նաև բազմաիդրոն։ Սա ծնում է երրորդ տեսակետը բազմաեզրության՝ որպես երկրաչափական մարմինների վերաբերյալ, որը նաև թույլ է տալիս այդ մարմիններում «անցքերի» գոյությունը, որոնք սահմանափակված են հարթ երեսների սահմանափակ քանակով։

Բազմանդամների ամենապարզ օրինակներն են պրիզմաները և բուրգերը:

Բազմանդրոնը կոչվում է n-ածուխ բուրգ, եթե այն ունի իր դեմքերից մեկը (հիմքը) n-եռանկյունի, իսկ մնացած դեմքերը եռանկյուններ են՝ ընդհանուր գագաթով, որը չի գտնվում հիմքի հարթությունում։ Եռանկյուն բուրգը կոչվում է նաև քառանիստ:

Բազմանդրոնը կոչվում է n-ածխածնային պրիզմա, եթե նրա երկու երեսները (հիմքերը) հավասար են n-գոններ (նույն հարթության մեջ չգտնվող), միմյանցից ստացված զուգահեռ թարգմանությամբ, իսկ մնացած դեմքերը զուգահեռներ են, որոնց հակառակ կողմերը հիմքերի համապատասխան կողմերն են։

Զրոյական սեռի ցանկացած պոլիեդրոնի համար Էյլերի բնութագիրը (գագաթների թիվը հանած եզրերի քանակը գումարած դեմքերի թիվը) հավասար է երկուսի; խորհրդանշականորեն՝ B – P + G = 2 (Էյլերի թեորեմ): Սեռի պոլիէդրոնի համար էջվավեր է հետևյալ հարաբերությունը՝ B – P + G = 2 – 2 էջ.

Ուռուցիկ բազմանիստը բազմաեզր է, որն ընկած է իր ցանկացած դեմքի հարթության մի կողմում: Ամենակարևորը հետևյալ ուռուցիկ բազմանիստներն են.

<Рис. 9>

1. կանոնավոր բազմանիստ (Պլատոնական պինդ մարմիններ) - այնպիսի ուռուցիկ բազմանկյուններ, որոնց բոլոր երեսները նույնական կանոնավոր բազմանկյուններ են, իսկ գագաթների բոլոր բազմանիստ անկյունները կանոնավոր են և հավասար<Рис. 9, № 1-5>;
2. իզոգոններ և իզոեդրոններ - ուռուցիկ բազմանիստներ, որոնց բոլոր բազմանկյուն անկյունները հավասար են (իզոգոններ) կամ բոլոր դեմքերը հավասար են (իզոեդրոններ); Ավելին, ծանրության կենտրոնի շուրջ իզոգոնի (իզոեդրոնի) պտույտների խումբը (արտացոլումներով) փոխակերպում է նրա ցանկացած գագաթ (դեմք) ցանկացած այլ գագաթի (դեմքի): Այս եղանակով ստացված բազմանիստերը կոչվում են կիսանարգոն բազմանիստ (Արքիմեդյան պինդ մարմիններ)<Рис. 9, № 10-25>;
3. Զուգահեռաեդրոններ (ուռուցիկ) - պոլիեդրաներ, որոնք համարվում են մարմիններ, որոնց զուգահեռ խաչմերուկը կարող է լրացնել ամբողջ անսահման տարածությունը, որպեսզի նրանք միմյանց մեջ չմտնեն և իրենց միջև բացեր չթողնեն, այսինքն. կազմել է տարածության բաժանում<Рис. 9, № 26-30>;
4. Եթե ​​բազմանկյուն ասելով նկատի ունենք հարթ փակ կոտրված գծեր (նույնիսկ ինքնհատվողներ), ապա կարող ենք նշել ևս 4 ոչ ուռուցիկ (աստղաձև) կանոնավոր բազմանիստ (Poinsot պինդ մարմիններ)։ Այս բազմանիստներում կամ դեմքերը հատվում են միմյանց, կամ դեմքերը ինքնահատվող բազմանկյուններ են։<Рис. 9, № 6-9>.

III. Տնային առաջադրանք.

IV. Թիվ 279, թիվ 281 խնդիրների լուծում։

V. Ամփոփելով.

Օգտագործված գրականության ցանկ.

1. «Մաթեմատիկական հանրագիտարան», խմբ Ի.Մ. Վինոգրադովա,հրատարակչություն» Խորհրդային հանրագիտարան», Մոսկվա, 1985. Հատոր 4, էջ 552–553 Հատոր 3, էջ 708–711։
2. «Փոքր մաթեմատիկական հանրագիտարան», E. Fried, I. Pastor, I. Reimanև ուրիշներ Հունգարիայի գիտությունների ակադեմիայի հրատարակչություն, Բուդապեշտ, 1976 թ. 264–267 թթ.
3. «Մաթեմատիկական խնդիրների ժողովածու բուհ ընդունողների համար» երկու գրքում, խմբագրված Մ.Ի. Սկանավի, գիրք 2 – Երկրաչափություն, հրատարակչություն ավարտական ​​դպրոց», Մոսկվա, 1998. Էջ. 45–50 թթ.
4. “Գործնական վարժություններմաթեմատիկայի մեջ: Ձեռնարկտեխնիկական դպրոցների համար», հրատարակչություն «Բարձրագույն դպրոց», Մոսկվա, 1979 թ. 388–395, էջ 405։
5. «Մաթեմատիկայի վերանայում» հրատարակություն 2–6, լրացուցիչ, Դասագիրք բուհ ընդունողների համար, Բարձրագույն դպրոցի հրատարակչություն, Մոսկվա, 1974 թ. 446–447 թթ.
6. Հանրագիտարանային բառարաներիտասարդ մաթեմատիկոս, Ա.Պ.Սավին,Հրատարակչություն «Մանկավարժություն», Մոսկվա, 1989. Էջ. 197–199 թթ.
7. «Հանրագիտարան երեխաների համար. Թ.Պ. մաթեմատիկա», գլխավոր խմբագիր Մ.Դ.Աքսենովա; մեթոդ և պատասխան. խմբագիր Վ. Ա. Վոլոդին, «Ավանտա+» հրատարակչություն, Մոսկվա, 2003. Էջ. 338–340 թթ.
8. Երկրաչափություն, 10–11. Դասագիրք համար ուսումնական հաստատություններ/ Լ.Ս.Աթանասյան, Վ.Ֆ.Բուտուզով, Ս.Բ
9. և ուրիշներ - 10-րդ հրատարակություն - M.: Կրթություն, 2001. Pp. 68–71 թթ.
10. «Կվանտ» թիվ 9, 11 – 1983, թիվ 12 – 1987 թ., թիվ 11, 12 – 1988 թ. Մանկավարժական գիտությունների ակադեմիա. «Գիտություն» հրատարակչություն. Ֆիզիկական և մաթեմատիկական գրականության գլխավոր խմբագրություն։ Էջ 5–9, 6–12, 7–9, 10, 4–8, 13, 16, 58։