Երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակություն: Ածանցյալ. Ածանցյալի երկրաչափական և մեխանիկական նշանակությունը x0 կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.

Ֆունկցիայի ածանցյալ.

1. Ածանցյալի սահմանումը, նրա երկրաչափական նշանակությունը.

2. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ:

3. Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալ.

4. Բարձրագույն կարգի ածանցյալներ:

5. Պարամետրիկորեն սահմանված գործառույթներ և անուղղակիորեն:

6. Պարամետրային և անուղղակիորեն նշված գործառույթների տարբերակում:

Ներածություն.

Դիֆերենցիալ հաշվարկի ակունքները երկու հարց էին, որոնք առաջացան 17-րդ դարում գիտության և տեխնիկայի պահանջներից:

1) Հարց շարժման կամայականորեն տրված օրենքի համար արագությունը հաշվելու մասին.

2) կամայականորեն տրված կորին շոշափող գտնելու (հաշվարկների միջոցով) հարցը.

Որոշ կորերի վրա շոշափող գծելու խնդիրը լուծել է հին հույն գիտնական Արքիմեդը (Ք.ա. 287-212 թթ.)՝ օգտագործելով գծագրման մեթոդը։

Բայց միայն 17-18-րդ դարերում, բնական գիտության և տեխնիկայի առաջընթացի հետ կապված, այս հարցերը պատշաճ զարգացում ստացան։

Ցանկացած ֆիզիկական երևույթ ուսումնասիրելիս կարևոր հարցերից մեկը սովորաբար արագության, երևույթի առաջացման արագության հարցն է։

Ինքնաթիռի կամ մեքենայի շարժման արագությունը միշտ նրա կատարողականի ամենակարևոր ցուցանիշն է: Որոշակի պետության բնակչության աճի տեմպերը նրա սոցիալական զարգացման հիմնական բնութագրիչներից մեկն է:

Արագության սկզբնական գաղափարը պարզ է բոլորի համար։ Այնուամենայնիվ, այս ընդհանուր գաղափարը բավարար չէ գործնական խնդիրների մեծ մասը լուծելու համար: Անհրաժեշտ է ունենալ այս մեծության այնպիսի քանակական սահմանում, որը մենք անվանում ենք արագություն։ Նման ճշգրիտ քանակական որոշման անհրաժեշտությունը պատմականորեն ծառայել է որպես մաթեմատիկական վերլուծության ստեղծման հիմնական խթաններից մեկը: Մաթեմատիկական վերլուծության մի ամբողջ բաժին նվիրված է այս հիմնարար խնդրի լուծմանը և այս լուծումից եզրակացություններ անելուն: Մենք անցնում ենք այս բաժնի ուսումնասիրությանը:

Ածանցյալի սահմանումը, նրա երկրաչափական նշանակությունը:

Թող տրվի մի ֆունկցիա, որը սահմանված է որոշակի միջակայքում (ա, գ)և դրանում շարունակական։

1. Եկեք փաստարկ տանք Xավելացում, ապա ֆունկցիան կստանա

ավելացում:

2. Ստեղծենք հարաբերություն .

3. Անցնելով սահմանին ժամը և, ենթադրելով, որ սահմանը

գոյություն ունի, մենք ստանում ենք մի մեծություն, որը կոչվում է

ֆունկցիայի ածանցյալ՝ արգումենտի նկատմամբ X.

Սահմանում.Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է փաստարկի աճին, երբ →0:

Ածանցյալի արժեքը ակնհայտորեն կախված է կետից X, որում այն ​​գտնվում է, հետևաբար ֆունկցիայի ածանցյալն իր հերթին որոշ ֆունկցիա է X. Նշվում է .

Ըստ սահմանման մենք ունենք

կամ (3)

Օրինակ.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

1. ;

Մենք սկսում ենք այս հոդվածը անհրաժեշտ սահմանումների և հասկացությունների ակնարկով:

Սրանից հետո կանցնենք շոշափող ուղիղի հավասարումը գրելուն և առավել բնորոշ օրինակներին ու խնդիրներին մանրամասն լուծումներ կտանք։

Եզրափակելով՝ մենք կկենտրոնանանք երկրորդ կարգի կորերի, այսինքն՝ շրջանագծի, էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի շոշափողի հավասարման վրա։

Էջի նավարկություն.

Սահմանումներ և հասկացություններ.

Սահմանում.

Ուղիղ գծի անկյուն y=kx+b-ն այն անկյունն է, որը չափվում է x առանցքի դրական ուղղությունից դեպի y=kx+b՝ դրական ուղղությամբ (այսինքն՝ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ):

Նկարում x-առանցքի դրական ուղղությունը ցույց է տրված հորիզոնական կանաչ սլաքով, անկյան դրական ուղղությունը՝ կանաչ աղեղով, ուղիղ գիծը՝ կապույտ գծով, իսկ թեքության անկյունը՝ ուղիղ գիծը ցուցադրվում է կարմիր աղեղով:

Սահմանում.

Ուղիղ գծի թեքություն y=kx+b կոչվում է k թվային գործակից:

Ուղիղ գծի թեքությունը հավասար է ուղիղ գծի թեքության անկյան շոշափմանը, այսինքն՝ .

Սահմանում.

Ուղղակի y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի երկու կետերով գծված AB կոչվում է հատված. Այլ կերպ ասած, հատվածուղիղ գիծ է, որն անցնում է ֆունկցիայի գրաֆիկի երկու կետերով։

Նկարում AB հատվածային ուղիղը պատկերված է որպես կապույտ գիծ, ​​y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ սև կորի տեսքով, իսկ կտրվածքային գծի թեքության անկյունը՝ կարմիր աղեղով։

Եթե ​​հաշվի առնենք, որ ուղիղ գծի անկյունային գործակիցը հավասար է թեքության անկյան շոշափմանը (սա քննարկվեց վերևում), իսկ ABC ուղղանկյուն եռանկյունում անկյան շոշափողը հակառակ ոտքի հարաբերությունն է կից մեկը (սա անկյան շոշափողի սահմանումն է), ապա մի շարք հավասարումներ ճիշտ կլինեն մեր սեկանտի համար. որտեղ են A և B կետերի աբսցիսները, - համապատասխան ֆունկցիայի արժեքները:

Այսինքն՝ կտրվածքի անկյունորոշվում է հավասարությամբ կամ , Ա սեկանտային հավասարումգրված է ձևով կամ (անհրաժեշտության դեպքում տես բաժինը):

Կետային գիծը ֆունկցիայի գրաֆիկը բաժանում է երեք մասի` A կետից ձախ, A-ից B և B կետից աջ, չնայած այն կարող է ունենալ ավելի քան երկու ընդհանուր կետ ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ:

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս երեք իրականում տարբեր հատվածներ (Ա և Բ կետերը տարբեր են), բայց դրանք համընկնում են և տրվում են մեկ հավասարմամբ։

Մենք երբեք չենք հանդիպել որևէ խոսակցության ուղիղ գծի համար կտրված գծի մասին: Բայց, այնուամենայնիվ, եթե սկսենք սահմանումից, ապա ուղիղ գիծը և նրա հատվածային գիծը համընկնում են։

Որոշ դեպքերում սեկանտը կարող է ունենալ ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ անսահման թվով հատման կետեր: Օրինակ՝ y=0 հավասարմամբ սահմանված սեկանտն ունի անսահման թվով ընդհանուր միավորներ սինուսոիդի հետ։

Սահմանում.

Կետում y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողկոչվում է ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է կետով, որի հատվածի հետ ֆունկցիայի գրաֆիկը գործնականում միաձուլվում է x-ի արժեքներին կամայականորեն մոտ:

Եկեք բացատրենք այս սահմանումը օրինակով. Ցույց տանք, որ y = x+1 ուղիղը շոշափում է ֆունկցիայի գրաֆիկին (1; 2): Դա անելու համար մենք ցույց կտանք այս ֆունկցիաների գրաֆիկները, երբ մոտենում ենք շոշափման կետին (1; 2): Ֆունկցիայի գրաֆիկը պատկերված է սևով, շոշափող գիծը՝ կապույտ գիծ, ​​իսկ շոշափման կետը՝ կարմիր կետ։

Յուրաքանչյուր հաջորդ նկարը նախորդի ընդլայնված տարածքն է (այս տարածքները ընդգծված են կարմիր քառակուսիներով):

Հստակ երևում է, որ շոշափման կետի մոտ ֆունկցիայի գրաֆիկը գործնականում միաձուլվում է y=x+1 շոշափողի հետ։

Այժմ անցնենք շոշափողի ավելի բովանդակալից սահմանմանը:

Դա անելու համար մենք ցույց կտանք, թե ինչ կլինի AB հատվածի հետ, եթե B կետը անսահմանորեն մոտ լինի A կետին:

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս այս գործընթացը:

AB հատվածը (ցուցադրվում է որպես կապույտ կետավոր գիծ) հակված կլինի շոշափողի դիրքը վերցնել ուղիղ գծի վրա (ցուցադրված է որպես կապույտ հոծ գիծ), կտրվածքի թեքության անկյունը (ցուցված է որպես կարմիր գծավոր աղեղ): շոշափողի թեքության անկյունը (ցուցված է որպես կարմիր պինդ աղեղ):

Սահմանում.

Այսպիսով, A կետում y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող AB հատվածի սահմանափակող դիրքն է:

Այժմ մենք կարող ենք անցնել մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը նկարագրելուն:

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը:

Դիտարկենք y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի AB հատվածն այնպես, որ A և B կետերն ունենան համապատասխանաբար կոորդինատներ և. , որտեղ է փաստարկի աճը: Նշենք ֆունկցիայի աճով։ Եկեք ամեն ինչ նշենք գծագրության վրա.

ABC ուղղանկյուն եռանկյունից ունենք. Քանի որ, ըստ սահմանման, շոշափողը սեկանտի սահմանափակող դիրքն է, ուրեմն .

Հիշենք մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանումը. y=f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում ֆունկցիայի ավելացման հարաբերակցության սահմանն է արգումենտի ավելացման հարաբերակցության սահմանը, որը նշվում է . .

Հետևաբար, , որտեղ է շոշափողի թեքությունը:

Այսպիսով, y=f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի առկայությունը մի կետում համարժեք է շոշափման կետում y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի առկայությանը, և շոշափողի թեքությունը հավասար է կետում ածանցյալի արժեքին, այսինքն .

Մենք եզրակացնում ենք. կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունըբաղկացած է այս կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի առկայությունից:

Շոշափող ուղիղի հավասարում.

Հարթության վրա ցանկացած ուղիղ գծի հավասարումը գրելու համար բավական է իմանալ նրա անկյունային գործակիցը և այն կետը, որով այն անցնում է։ Շոշափող ուղիղն անցնում է շոշափման կետով, և նրա անկյունային գործակիցը տարբերվող ֆունկցիայի համար հավասար է տվյալ կետում ածանցյալի արժեքին: Այսինքն, այն կետից, երբ մենք կարող ենք վերցնել բոլոր տվյալները, որպեսզի գրենք շոշափողի գծի հավասարումը:

Մի կետում y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումըկարծես.

Մենք ենթադրում ենք, որ կա ածանցյալի վերջավոր արժեքը, հակառակ դեպքում շոշափողը ուղիղ կամ ուղղահայաց է (եթե Եվ ), կամ գոյություն չունի (եթե ).

Կախված անկյունային գործակիցից, շոշափողը կարող է զուգահեռ լինել աբսցիսայի առանցքին (), օրդինատների առանցքին զուգահեռ (այս դեպքում շոշափող հավասարումը կունենա ձև), աճ () կամ նվազում ():

Ժամանակն է մի քանի օրինակ բերել պարզաբանման համար։

Օրինակ.

Գրի՛ր ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը կետում (-1;-3) և որոշել թեքության անկյունը:

Լուծում.

Ֆունկցիան սահմանված է բոլոր իրական թվերի համար (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածը)։ Քանի որ (-1;-3) շոշափման կետ է, ուրեմն .

Մենք գտնում ենք ածանցյալը (դրա համար հոդվածում ֆունկցիան տարբերակող նյութը, ածանցյալը գտնելը կարող է օգտակար լինել) և դրա արժեքը հաշվարկում ենք կետում.

Քանի որ շոշափման կետում ածանցյալի արժեքը շոշափողի թեքությունն է, և այն հավասար է թեքության անկյան շոշափմանը, ապա. .

Հետևաբար, շոշափողի թեքության անկյունը հավասար է , իսկ շոշափողի հավասարումը ունի ձև

Գրաֆիկական նկարազարդում.

Բնօրինակ ֆունկցիայի գրաֆիկը պատկերված է սևով, շոշափող գիծը՝ կապույտ գիծ, ​​իսկ շոշափման կետը՝ կարմիր կետ: Աջ նկարը խոշորացված տեսք է այն տարածքի, որը նշված է ձախ կողմում գտնվող նկարի կարմիր կետավոր քառակուսիով:

Օրինակ.

Պարզեք, արդյոք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող կա (1; 1) կետում, եթե այո, ապա կազմի՛ր դրա հավասարումը և որոշի՛ր թեքության անկյունը։

Լուծում.

Ֆունկցիայի տիրույթը իրական թվերի ամբողջությունն է։

Գտնել ածանցյալը.

Երբ ածանցյալը սահմանված չէ, բայց Եվ հետևաբար, (1;1) կետում կա ուղղահայաց շոշափում, դրա հավասարումը x = 1 է, իսկ թեքության անկյունը հավասար է .

Գրաֆիկական նկարազարդում.

Օրինակ.

Գտեք ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր կետերը, որոնցում.
ա) շոշափողը գոյություն չունի. բ) շոշափողը զուգահեռ է x առանցքին. գ) շոշափողը զուգահեռ է ուղիղին:

Լուծում.

Ինչպես միշտ, մենք սկսում ենք ֆունկցիայի սահմանման տիրույթից։ Մեր օրինակում ֆունկցիան սահմանված է իրական թվերի ամբողջ բազմության վրա։ Եկեք ընդլայնենք մոդուլի նշանը դա անելու համար, հաշվի առնենք երկու միջակայք և.

Եկեք տարբերակենք ֆունկցիան.

ժամը x=-2 ածանցյալ գոյություն չունի, քանի որ այս կետում միակողմանի սահմանները հավասար չեն.

Այսպիսով, x=-2 ֆունկցիայի արժեքը հաշվարկելով՝ կարող ենք a կետի պատասխանը տալ՝ ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող (-2;-2) կետում գոյություն չունի։

բ) շոշափողը զուգահեռ է x առանցքին, եթե նրա թեքությունը զրո է (թեքության անկյան շոշափողը զրո է): Որովհետև , ապա մենք պետք է գտնենք x-ի բոլոր արժեքները, որոնց դեպքում ֆունկցիայի ածանցյալը անհետանում է: Այս արժեքները կլինեն այն շոշափելի կետերի աբսցիսան, որոնցում շոշափողը զուգահեռ է Ox առանցքին:

Երբ լուծում ենք հավասարումը , և երբ է հավասարումը :

Մնում է հաշվարկել ֆունկցիայի համապատասխան արժեքները.

Ահա թե ինչու, - ֆունկցիայի գրաֆիկի պահանջվող կետերը.

Գրաֆիկական նկարազարդում.

Բնօրինակ ֆունկցիայի գրաֆիկը պատկերված է սև գծով, կարմիր կետերը նշում են այն կետերը, որոնցում շոշափողները զուգահեռ են աբսցիսայի առանցքին:

գ) Եթե հարթության վրա երկու ուղիղ զուգահեռ են, ապա նրանց անկյունային գործակիցները հավասար են (սա գրված է հոդվածում): Այս դրույթի հիման վրա մենք պետք է գտնենք ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր կետերը, որոնց դեպքում շոշափողի թեքությունը հավասար է ութ հինգերորդի: Այսինքն՝ մենք պետք է լուծենք հավասարումը։ Այսպիսով, երբ լուծում ենք հավասարումը , և երբ է հավասարումը .

Առաջին հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է, հետևաբար այն չունի իրական արմատներ.

Երկրորդ հավասարումն ունի երկու իրական արմատ.

Մենք գտնում ենք համապատասխան ֆունկցիայի արժեքները.

Կետերում Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողները զուգահեռ են ուղիղին:

Գրաֆիկական նկարազարդում.

Ֆունկցիայի գրաֆիկը ցուցադրվում է սև գծով, կարմիր գիծը ցույց է տալիս ուղիղ գծի գրաֆիկը, կապույտ գծերը ցույց են տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող կետերը: .

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար, իրենց պարբերականության պատճառով, կարող են լինել անսահման թվով շոշափող գծեր, որոնք ունեն նույն թեքությունը (նույն թեքությունը):

Օրինակ.

Գրի՛ր ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր շոշափողների հավասարումները որոնք ուղղահայաց են գծին.

Լուծում.

Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի համար հավասարում ստեղծելու համար մենք միայն պետք է իմանանք դրա թեքությունը և շոշափման կետի կոորդինատները:

Շոշափողների անկյունային գործակիցը գտնում ենք հետևյալից՝ ուղղահայաց ուղիղ գծերի անկյունային գործակիցների արտադրյալը հավասար է մինուս մեկին, այսինքն. Քանի որ, ըստ պայմանի, ուղղահայաց ուղիղ գծի անկյունային գործակիցը հավասար է, ապա .

Սկսենք գտնել շոշափող կետերի կոորդինատները։ Նախ, եկեք գտնենք աբսցիսները, այնուհետև հաշվենք ֆունկցիայի համապատասխան արժեքները. դրանք կլինեն շոշափող կետերի օրդինատները:

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը նկարագրելիս մենք նշեցինք, որ. Այս հավասարությունից մենք գտնում ենք շոշափող կետերի աբսցիսա:

Մենք հասել ենք եռանկյունաչափական հավասարման. Խնդրում ենք ուշադրություն դարձնել, քանի որ հետագայում այն ​​կօգտագործենք շոշափող կետերի օրդինատները հաշվարկելիս։ Մենք լուծում ենք այն (եթե որևէ դժվարություն ունեք, խնդրում ենք դիմել բաժինը եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում):

Գտնվել են շոշափող կետերի աբսցիսները, եկեք հաշվենք համապատասխան օրդինատները (այստեղ մենք օգտագործում ենք այն հավասարությունը, որին խնդրեցինք ուշադրություն դարձնել հենց վերևում).

Այսպիսով, բոլոր շփման կետերը. Հետևաբար, պահանջվող շոշափող հավասարումները ունեն ձև.

Գրաֆիկական նկարազարդում.

Սև կորի պատկերը ցույց է տալիս սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկը [-10;10] հատվածի վրա, կապույտ գծերը պատկերում են շոշափող գծերը։ Հստակ տեսանելի է, որ դրանք ուղղահայաց են կարմիր գծին։ Հպման կետերը նշվում են կարմիր կետերով:

Շոշափող շրջանակի, էլիպսի, հիպերբոլայի, պարաբոլայի:

Մինչև այս պահը մենք զբաղված էինք տարբեր կետերում y = f(x) ձևի միարժեք ֆունկցիաների գրաֆիկներին շոշափողների համար հավասարումներ գտնելով: Երկրորդ կարգի կորերի կանոնական հավասարումները միարժեք ֆունկցիաներ չեն։ Բայց մենք կարող ենք շրջան, էլիպս, հիպերբոլա և պարաբոլա ներկայացնել երկու միարժեք ֆունկցիաների համադրությամբ և դրանից հետո կարող ենք կազմել շոշափող հավասարումներ՝ ըստ հայտնի սխեմայի։

Շոշափող շրջանին:

Շրջանակ՝ կենտրոնով մի կետում իսկ R շառավիղը տրված է .

Այս հավասարությունը գրենք որպես երկու ֆունկցիաների միություն.

Այստեղ առաջին ֆունկցիան համապատասխանում է վերին կիսաշրջանին, երկրորդը՝ ստորինին։

Այսպիսով, վերին (կամ ստորին) կիսաշրջանին պատկանող կետում շրջանագծին շոշափողի հավասարումը կառուցելու համար մենք գտնում ենք նշված կետում ֆունկցիայի (կամ) գրաֆիկի շոշափողի հավասարումը։

Հեշտ է դա ցույց տալ կոորդինատներով շրջանագծի կետերում Եվ շոշափողները զուգահեռ են x-ի առանցքին և տրված են համապատասխանաբար հավասարումներով և համապատասխանաբար (ներքևի նկարում դրանք ներկայացված են որպես կապույտ կետեր և կապույտ ուղիղ գծեր), և կետերում. Եվ - զուգահեռ են օրդինատների առանցքին և ունեն հավասարումներ և համապատասխանաբար (ներքևի նկարում դրանք նշված են կարմիր կետերով և կարմիր գծերով):

Էլիպսի շոշափող:

Էլիպսը կենտրոնացած է մի կետի վրա a և b կիսաառանցքներով տրված է հավասարում .

Էլիպսը, ինչպես շրջանագիծը, կարելի է սահմանել երկու ֆունկցիաների համատեղմամբ՝ վերին և ստորին կիսաէլիպս.

Էլիպսի գագաթների շոշափումները զուգահեռ են կա՛մ աբսցիսայի առանցքին (ներքևում ներկայացված նկարում ներկայացված են կապույտ ուղիղ գծերով), կա՛մ օրդինատների առանցքին (ներքևի նկարում ներկայացված են կարմիր ուղիղ գծերով):

Այսինքն վերին կիսաէլիպսը տրված է ֆունկցիայով , իսկ ստորինը՝ .

Այժմ մենք կարող ենք օգտագործել ստանդարտ ալգորիթմը մի կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի համար հավասարում կառուցելու համար:

Առաջին շոշափողը կետում.

Երկրորդ շոշափողը մի կետում :

Գրաֆիկական նկարազարդում.

Հիպերբոլին շոշափող:

Հիպերբոլան կենտրոնացած է մի կետի վրա և գագաթները Եվ տրված է հավասարությամբ (նկարը ձախից ներքևում) և գագաթներով Եվ - հավասարություն (նկարը ներքևում աջ):

Որպես երկու ֆունկցիաների համակցություն, հիպերբոլան կարող է ներկայացվել որպես

կամ .

Հիպերբոլայի գագաթներում շոշափողներն առաջին դեպքում զուգահեռ են Oy առանցքին, իսկ երկրորդ դեպքում՝ Ox առանցքին:

Այսպիսով, հիպերբոլային շոշափողի հավասարումը գտնելու համար մենք պարզում ենք, թե որ ֆունկցիային է պատկանում շոշափման կետը և ընթանում ենք սովորական ձևով։

Տրամաբանական հարց է առաջանում՝ ինչպես որոշել, թե որ ֆունկցիային է պատկանում կետը։ Դրան պատասխանելու համար մենք կոորդինատները փոխարինում ենք յուրաքանչյուր հավասարման մեջ և տեսնում, թե հավասարություններից որն է վերածվում ինքնության: Սրան նայենք օրինակով։

Օրինակ.

Գրի՛ր հիպերբոլայի շոշափողի հավասարումը կետում.

Լուծում.

Հիպերբոլան գրենք երկու ֆունկցիայի տեսքով.

Եկեք պարզենք, թե որ ֆունկցիային է պատկանում շոշափող կետը։

Այսպիսով, առաջին ֆունկցիայի համար կետը չի պատկանում այս ֆունկցիայի գրաֆիկին։

Երկրորդ ֆունկցիայի համար, հետևաբար, կետը պատկանում է այս ֆունկցիայի գրաֆիկին։

Գտե՛ք շոշափողի անկյունային գործակիցը.

Այսպիսով, շոշափող հավասարումը ունի ձև.

Գրաֆիկական նկարազարդում.

Պարաբոլային շոշափող:

Ձևի պարաբոլային շոշափողի համար հավասարում ստեղծելու համար մի կետում մենք օգտագործում ենք ստանդարտ սխեման և տանգենսի հավասարումը գրում ենք որպես . Նման պարաբոլայի գրաֆիկին շոշափողը գագաթին զուգահեռ է Ox առանցքին:

Պարաբոլա Սկզբում մենք սահմանում ենք այն՝ համատեղելով երկու գործառույթ։ Դա անելու համար լուծենք y-ի այս հավասարումը.

Այժմ պարզում ենք, թե որ ֆունկցիային է պատկանում շոշափող կետը և ընթանում ենք ըստ ստանդարտ սխեմայի։

Նման պարաբոլայի գծապատկերին շոշափողը գագաթին զուգահեռ է Oy առանցքին:

Երկրորդ գործառույթի համար.

Ստանալով շփման կետը .

Այսպիսով, ցանկալի շոշափողի հավասարումն ունի ձևը .

Ածանցյալի սահմանում. Դրա ֆիզիկական իմաստը. Տարբերակելի ֆունկցիայի սահմանում: Ձևակերպե՛ք թեորեմ ֆունկցիայի տարբերակելիության և շարունակականության կապի վերաբերյալ:

Ածանցյալ - դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմնական հասկացությունը, որը բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը:

Ածանցյալ - սա ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է իր արգումենտի աճին, քանի որ փաստարկի աճը ձգտում է զրոյի, եթե այդպիսի սահման կա:

Այն ֆունկցիան, որն ունի վերջավոր ածանցյալ կոչվում է տարբերակելի։
Ածանցյալի հաշվարկման գործընթացը կոչվում է տարբերակում

Եթե ​​կետի դիրքը, երբ այն շարժվում է թվային գծի երկայնքով, տրվում է ֆունկցիայի միջոցով Ս= զ(տ), որտեղ տշարժման ժամանակն է, ապա ֆունկցիայի ածանցյալը Ս- շարժման ակնթարթային արագություն ժամանակի պահին տ. Այս մոդելի անալոգիայով նրանք ընդհանուր առմամբ ասում են, որ ֆունկցիայի ածանցյալը ժամը= զ(x) – փոփոխության արագությունը գործառույթներըկետում X.

Թեորեմ(ֆունկցիայի տարբերակելիության անհրաժեշտ պայման):Եթե ​​մի կետում ֆունկցիան տարբերելի է, ապա այդ կետում այն ​​շարունակական է:

Ապացույց.Թողեք գործառույթը y=f(x)տարբերվող կետում X 0 . Այս պահին մենք փաստարկին տալիս ենք աճ Dx. Ֆունկցիան կավելացվի Դու. Եկեք գտնենք այն:

Հետևաբար, y=f(x)շարունակական մի կետում X 0 .

Հետևանք.Եթե X 0-ը ֆունկցիայի դադարման կետն է, այնուհետև դրա ֆունկցիան տարբերվող չէ:

Թեորեմի հակառակը ճիշտ չէ։ Շարունակականությունը չի ենթադրում տարբերակելիություն։

Օրինակ. y=|x| , X 0 = 0.

Դх> 0, ;

Dx< 0, .

Կետում X 0 = Ֆունկցիան շարունակական է, բայց ածանցյալ չկա։

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը. Շոշափող և նորմալ հավասարումներ

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.Դիտարկենք ֆունկցիայի գրաֆիկը y= զ (x):

Նկար 1-ից պարզ է դառնում, որ ֆունկցիայի գրաֆիկի A և B ցանկացած երկու կետերի համար.

Որտե՞ղ է գտնվում AB հատվածի թեքության անկյունը:

Այսպիսով, տարբերության հարաբերակցությունը հավասար է սեկենտի թեքությանը: Եթե ​​ամրացնեք A կետը և B կետը շարժեք դեպի այն, ապա այն նվազում է առանց սահմանի և մոտենում 0-ին, իսկ AB հատվածը մոտենում է շոշափող AC-ին: Հետևաբար, տարբերության հարաբերակցության սահմանը հավասար է A կետում շոշափողի թեքությանը, հետևում է. Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում այս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությունն է:Սա այն է երկրաչափական իմաստածանցյալ.

Շոշափող հավասարում.Բերենք A կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը ( x 0 , զ (x 0)): Ընդհանուր առմամբ, ուղիղ գծի հավասարումը թեքության գործակցով զ ’(x 0) ունի ձև.

y = զ ’(x 0) · x + b.

Գտնել բՄենք օգտվում ենք այն հանգամանքից, որ շոշափողն անցնում է A կետով.

զ (x 0) = զ ’(x 0) · x 0 +b,

այստեղից, բ = զ (x 0) – զ ’(x 0) · x 0 , և փոխարենը փոխարինելով այս արտահայտությունը բ, կստանանք շոշափող հավասարումը:

y =զ (x 0) + զ ’(x 0) · ( x – x 0) .

Նորմալֆունկցիայի գրաֆիկին y = զ (x) Ա կետում ( x 0 ; y 0) կոչվում է կետով անցնող ուղիղ գիծ Աև ուղղահայաց այս կետի շոշափողին: Այն տրված է հավասարմամբ

որը բխում է միմյանց ուղղահայաց ուղիղների անկյունային գործակիցների հատկությունից.

Անսահման ածանցյալի դեպքում՝ կետի շոշափողը x 0-ը դառնում է ուղղահայաց և տրվում է հավասարմամբ x = x 0, իսկ նորմալը հորիզոնական է. y = y 0 .

Ածանցյալի երկրաչափական արժեքը պարզելու համար դիտարկենք y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Վերցնենք կամայական M կետ՝ կոորդինատներով (x, y) և դրան մոտ գտնվող N կետ (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y): Գծենք $\overline(M_(1) M)$ և $\overline(N_(1) N)$ օրդինատները, իսկ M կետից՝ OX առանցքին զուգահեռ ուղիղ։

$\frac(\Delta y)(\Delta x) $ հարաբերակցությունը $\alpha $1 անկյան շոշափումն է, որը ձևավորվում է MN հատվածի կողմից OX առանցքի դրական ուղղությամբ: Քանի որ $\Delta $x-ը հակված է զրոյի, N կետը կմոտենա M-ին, և MN-ի սահմանափակ դիրքը կլինի M կետի կորի շոշափողը: Այսպիսով, f`(x) ածանցյալը հավասար է շոշափողին: անկյան $\ալֆա $, որը ձևավորվում է շոշափողի կողմից M (x, y) կետում կորի դեպի OX առանցքի դրական ուղղվածությամբ - շոշափողի անկյունային գործակիցը (նկ. 1):

Նկար 1. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Արժեքները (1) բանաձևերի միջոցով հաշվարկելիս կարևոր է նշաններում սխալներ թույլ չտալ, քանի որ. աճը կարող է նաև բացասական լինել:

Կորի վրա ընկած N կետը ցանկացած կողմից կարող է ձգվել դեպի M: Այսպիսով, եթե Նկար 1-ում շոշափողին տրված է հակառակ ուղղությունը, $\alpha $ անկյունը կփոխվի $\pi $ չափով, ինչը էականորեն կազդի անկյան շոշափողի և, համապատասխանաբար, անկյունային գործակցի վրա։

Եզրակացություն

Այստեղից հետևում է, որ ածանցյալի առկայությունը կապված է y = f(x) կորի շոշափողի առկայության հետ, իսկ անկյունային գործակիցը՝ tg $\alpha $ = f`(x) վերջավոր է։ Ուստի շոշափողը չպետք է զուգահեռ լինի OY առանցքին, այլապես $\alpha $ = $\pi $/2, իսկ անկյան շոշափողը կլինի անվերջ։

Որոշ կետերում շարունակական կորը կարող է չունենալ շոշափող կամ ունենալ OY առանցքին զուգահեռ շոշափող (նկ. 2): Այդ դեպքում ֆունկցիան այս արժեքներում չի կարող ունենալ ածանցյալ: Ֆունկցիայի կորի վրա կարող է լինել ցանկացած թվով նմանատիպ կետեր:

Նկար 2. Կորի բացառիկ կետերը

Դիտարկենք նկար 2-ը: Թող $\Delta $x-ը բացասական կամ դրական արժեքներից զրոյի հակված լինի.

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Եթե ​​այս դեպքում (1) հարաբերություններն ունեն վերջնական սահման, այն նշվում է այսպես.

Առաջին դեպքում ածանցյալը ձախ կողմում է, երկրորդում՝ ածանցյալը աջ կողմում։

Սահմանի առկայությունը ցույց է տալիս ձախ և աջ ածանցյալների համարժեքությունն ու հավասարությունը.

Եթե ​​ձախ և աջ ածանցյալները անհավասար են, ապա տվյալ կետում կան շոշափողներ, որոնք զուգահեռ չեն OY-ին (կետ M1, նկ. 2): M2 կետերում, M3 հարաբերությունները (1) հակված են դեպի անսահմանություն:

M2-ի ձախ կողմում գտնվող N կետերի համար $\Delta $x $

$M_2$-ից աջ, $\Delta $x $>$ 0, բայց արտահայտությունը նաև f(x + $\Delta $x) -- f(x) $ է:

Ձախ կողմում գտնվող $M_3$ կետի համար $\Delta $x $$ 0 և f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, այսինքն. արտահայտությունները (1) և՛ ձախ, և՛ աջ կողմում դրական են և հակված են +$\infty $-ի, և երբ $\Delta $x-ը մոտենում է -0-ին և +0-ին:

Ուղղի կոնկրետ կետերում (x = c) ածանցյալի բացակայության դեպքը ներկայացված է Նկար 3-ում:

Նկար 3. Ածանցյալներ չկան

Օրինակ 1

Նկար 4-ը ցույց է տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկը և գրաֆիկին շոշափողը $x_0$ abscissa կետում: Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը աբսցիսայում:

Լուծում. Մի կետում ածանցյալը հավասար է ֆունկցիայի աճի և փաստարկի աճի հարաբերությանը: Ընտրենք երկու կետ ամբողջ թվերի կոորդինատներով շոշափողի վրա։ Օրինակ, դրանք լինեն F (-3.2) և C (-2.4) կետերը:

Դասախոսություն: Գործառույթի ածանցյալ հասկացությունը, ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

Ածանցյալ ֆունկցիայի հայեցակարգը

Դիտարկենք f(x) մի քանի ֆունկցիա, որը շարունակական կլինի դիտարկման ողջ միջակայքում։ Քննարկվող միջակայքում մենք ընտրում ենք x 0 կետը, ինչպես նաև այս պահին ֆունկցիայի արժեքը։

Այսպիսով, եկեք նայենք այն գրաֆիկին, որի վրա մենք նշում ենք մեր կետը x 0, ինչպես նաև կետը (x 0 + ∆x): Հիշեցնենք, որ ∆х-ն ընտրված երկու կետերի հեռավորությունն է (տարբերությունը):

Արժե նաև հասկանալ, որ յուրաքանչյուր x ունի y ֆունկցիայի իր արժեքը:

Ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունը x 0 կետում և (x 0 + ∆x) կոչվում է այս ֆունկցիայի աճ. ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0):

Եկեք ուշադրություն դարձնենք լրացուցիչ տեղեկատվությանը, որը հասանելի է գրաֆիկի վրա. սա այն հատվածն է, որը կոչվում է KL, ինչպես նաև այն եռանկյունին, որը կազմում է KN և LN ընդմիջումներով:

Անկյունը, որի վրա գտնվում է հատվածը, կոչվում է նրա թեքության անկյուն և նշանակում α։ Հեշտությամբ կարելի է որոշել, որ LKN անկյան աստիճանի չափումը նույնպես հավասար է α-ի։

Այժմ հիշենք ուղղանկյուն եռանկյան հարաբերությունները tgα = LN / KN = ∆у / ∆х:

Այսինքն՝ կտրվածքի անկյան շոշափողը հավասար է ֆունկցիայի աճի և փաստարկի աճի հարաբերությանը։

Մի ժամանակ ածանցյալը ֆունկցիայի ավելացման հարաբերակցության սահմանն է անվերջ փոքր ընդմիջումներով արգումենտի աճին:

Ածանցյալը որոշում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը որոշակի տարածքում:

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

Եթե ​​որոշակի կետում գտնում եք որևէ ֆունկցիայի ածանցյալ, կարող եք որոշել, թե ինչ անկյունում կգտնվի տվյալ հոսանքի գրաֆիկին շոշափողը OX առանցքի նկատմամբ: Ուշադրություն դարձրեք գրաֆիկին - շոշափելի թեքության անկյունը նշվում է φ տառով և որոշվում է k գործակցով ուղիղ գծի հավասարման մեջ՝ y = kx + b:

Այսինքն՝ կարող ենք եզրակացնել, որ ածանցյալի երկրաչափական իմաստը ֆունկցիայի ինչ-որ կետում շոշափող անկյան շոշափումն է։