Ինչի համար են ինտեգրալները: Փորձեք ինքներդ պատասխանել այս հարցին։

Ինտեգրալների թեման բացատրելիս ուսուցիչները թվարկում են կիրառման ոլորտները, որոնք քիչ օգտակար են դպրոցական մտքի համար: Դրանց թվում.

• թվի մակերեսի հաշվարկ.
• Անհավասար խտությամբ մարմնի զանգվածի հաշվարկ.
• փոփոխական արագությամբ շարժվելիս անցած տարածության որոշում.
• և այլն:

Միշտ չէ, որ հնարավոր է կապել այս բոլոր գործընթացները, ուստի շատ ուսանողներ շփոթվում են, նույնիսկ եթե նրանք ունեն բոլոր հիմնական գիտելիքները ինտեգրալը հասկանալու համար:

Անտեղյակության հիմնական պատճառը- հասկացողության բացակայություն գործնական նշանակությունինտեգրալներ.

Ինտեգրալ - ինչ է դա:

Նախադրյալներ. Ինտեգրման անհրաժեշտություն առաջացավ Հին Հունաստան. Այդ ժամանակ Արքիմեդը սկսեց օգտագործել մեթոդներ, որոնք, ըստ էության, նման էին ժամանակակից ինտեգրալ հաշվարկին, շրջանագծի տարածքը գտնելու համար: Անհավասար թվերի տարածքը որոշելու հիմնական մոտեցումն այն ժամանակ «Հյուծման մեթոդն» էր, որը բավականին հեշտ է հասկանալ:

Մեթոդի էությունը. Այս ցուցանիշը համապատասխանում է միապաղաղ հաջորդականությունայլ թվեր, ապա հաշվարկվում է դրանց տարածքների հաջորդականության սահմանը: Այս սահմանը վերցվել է որպես այս ցուցանիշի տարածք:

Այս մեթոդը հեշտությամբ հետևում է ինտեգրալ հաշվարկի գաղափարին, որն անսահման գումարի սահմանն է: Այս գաղափարը հետագայում օգտագործվեց գիտնականների կողմից՝ լուծելու համար կիրառական խնդիրներ տիեզերագնացություն, տնտեսագիտություն, մեխանիկա և այլն։

Ժամանակակից ինտեգրալ. Դասական ինտեգրման տեսությունը ձևակերպվել է ընդհանուր տեսարանՆյուտոն և Լայբնից. Այն հիմնված էր դիֆերենցիալ հաշվարկի այն ժամանակվա գործող օրենքների վրա: Դա հասկանալու համար դուք պետք է ունենաք որոշ հիմնական գիտելիքներ, որոնք կօգնեն ձեզ օգտագործել մաթեմատիկական լեզուն ինտեգրալների մասին տեսողական և ինտուիտիվ պատկերացումները նկարագրելու համար:

Մենք բացատրում ենք «Ինտեգրալ» հասկացությունը

Ածանցյալը գտնելու գործընթացը կոչվում է տարբերակումև գտնել հակաածանցյալը – ինտեգրում.

Ինտեգրալ մաթեմատիկական լեզու– սա ֆունկցիայի հակաածանցյալն է (ինչը եղել է ածանցյալից առաջ) + «C» հաստատունը։

Ինտեգրալ պարզ բառերով կորագիծ պատկերի մակերեսն է: Անորոշ ինտեգրալը ամբողջ տարածքն է։ Որոշակի ինտեգրալը տվյալ տարածքի տարածքն է:

Ինտեգրալը գրված է այսպես.

Յուրաքանչյուր ինտեգրանդ բազմապատկվում է «dx» բաղադրիչով։ Այն ցույց է տալիս, թե որ փոփոխականի վրա է իրականացվում ինտեգրումը: «dx»-ը փաստարկի ավելացումն է: X-ի փոխարեն կարող է լինել ցանկացած այլ արգումենտ, օրինակ t (ժամանակ):

Անորոշ ինտեգրալ

Անորոշ ինտեգրալը չունի ինտեգրման սահմաններ:

Անորոշ ինտեգրալներ լուծելու համար բավական է գտնել ինտեգրանդի հակաածանցյալը և դրան ավելացնել «C»:

Որոշակի ինտեգրալ

Որոշակի ինտեգրալում «a» և «b» սահմանափակումները գրված են ինտեգրման նշանի վրա: Դրանք նշված են X առանցքի վրա ստորև բերված գրաֆիկում:

Որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել հակաածանցյալը, փոխարինել «a» և «b» արժեքները և գտնել տարբերությունը: Մաթեմատիկայի մեջ դա կոչվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձև:

Ուսանողների համար ինտեգրալների աղյուսակ (հիմնական բանաձևեր)

Ներբեռնեք ինտեգրալ բանաձեւերը, դրանք ձեզ օգտակար կլինեն

Ինչպես ճիշտ հաշվարկել ինտեգրալը

Ինտեգրալների փոխակերպման մի քանի պարզ գործողություններ կան։ Ահա հիմնականները.

Ինտեգրալ նշանի տակից հաստատուն հեռացնելը

Գումարի ինտեգրալի տարրալուծումը ինտեգրալների գումարի

Եթե ​​փոխեք a-ն և b-ը, նշանը կփոխվի

Դուք կարող եք ինտեգրալը բաժանել միջակայքերի հետևյալ կերպ.

Սրանք ամենապարզ հատկություններն են, որոնց հիման վրա հետագայում կձևակերպվեն ավելի բարդ թեորեմներ և հաշվարկի մեթոդներ։

Ինտեգրալ հաշվարկների օրինակներ

Անորոշ ինտեգրալի լուծում

Որոշակի ինտեգրալի լուծում

Թեման հասկանալու հիմնական հասկացությունները

Որպեսզի հասկանաք ինտեգրման էությունը և չփակեք էջը թյուրիմացությունից, մենք կբացատրենք մի շարք հիմնական հասկացություններ։ Ինչ է ֆունկցիան, ածանցյալը, սահմանը և հակաածանցյալը:

Գործառույթ- կանոն, ըստ որի մի հավաքածուի բոլոր տարրերը փոխկապակցված են մյուսի բոլոր տարրերի հետ:

Ածանցյալ– ֆունկցիա, որը նկարագրում է մեկ այլ ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը յուրաքանչյուր կոնկրետ կետում: Խիստ լեզվով սա ֆունկցիայի ավելացման հարաբերակցության սահմանն է փաստարկի ավելացմանը։ Այն հաշվարկվում է ձեռքով, բայց ավելի հեշտ է օգտագործել ածանցյալ աղյուսակը, որը պարունակում է ստանդարտ գործառույթների մեծ մասը:

Ավելացում– ֆունկցիայի քանակական փոփոխություն՝ փաստարկի որոշակի փոփոխությամբ:

Սահմանափակում– արժեքը, որին հակված է ֆունկցիայի արժեքը, երբ արգումենտը ձգտում է որոշակի արժեքի:

Սահմանի օրինակ. ասենք, եթե X-ը հավասար է 1-ի, Y-ը հավասար կլինի 2-ի: Իսկ ի՞նչ, եթե X-ը հավասար չէ 1-ի, այլ հակված է 1-ի, այսինքն՝ երբեք չի հասնում դրան: Այս դեպքում y-ը երբեք չի հասնի 2-ի, այլ միայն կձգտի դեպի այս արժեքը։ Մաթեմատիկական լեզվով սա գրված է հետևյալ կերպ՝ limY(X), քանի որ X –> 1 = 2: Այն կարդում է՝ Y(X ֆունկցիայի սահմանը), քանի որ x-ը ձգտում է 1-ի, հավասար է 2-ի:

Ինչպես արդեն նշվեց, ածանցյալը ֆունկցիա է, որը նկարագրում է մեկ այլ ֆունկցիա: Սկզբնական ֆունկցիան կարող է լինել որևէ այլ ֆունկցիայի ածանցյալ: Այս մյուս ֆունկցիան կոչվում է հակաածանցյալ.

Եզրակացություն

Ինտեգրալները գտնելը դժվար չէ։ Եթե ​​դուք չեք հասկանում, թե ինչպես դա անել, . Երկրորդ անգամ ավելի պարզ է դառնում. Հիշիր.Ինտեգրալների լուծումը հանգում է ինտեգրանդի պարզ փոխակերպմանը և դրա որոնմանը:

Եթե ​​տեքստի բացատրությունը ձեզ չի համապատասխանում, դիտեք տեսանյութը ինտեգրալի և ածանցյալի նշանակության մասին.

Ինտեգրալներ - ինչ են դրանք, ինչպես լուծել, լուծումների օրինակներ և կեղծիքների բացատրությունԹարմացվել է՝ 22 նոյեմբերի, 2019 կողմից՝ Գիտական ​​հոդվածներ.Ru

Այս հաշվիչը թույլ է տալիս առցանց լուծել որոշակի ինտեգրալ: Ըստ էության որոշակի ինտեգրալ հաշվարկԳտնել թիվ, որը հավասար է ֆունկցիայի գրաֆիկի մակերեսին: Լուծելու համար անհրաժեշտ է նշել ինտեգրման սահմանները և ինտեգրվող ֆունկցիան։ Ինտեգրումից հետո համակարգը կգտնի տվյալ ֆունկցիայի հակաածանցյալը, կհաշվի դրա արժեքները ինտեգրման սահմանների կետերում, կգտնի դրանց տարբերությունը, որը կլինի որոշակի ինտեգրալի լուծումը: Անորոշ ինտեգրալ լուծելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել նմանատիպը առցանց հաշվիչ, որը գտնվում է մեր կայքում հղման տակ - Լուծել անորոշ ինտեգրալը։

Մենք թույլ ենք տալիս հաշվարկել որոշակի ինտեգրալ առցանցարագ և հուսալի: Դուք միշտ կստանաք ճիշտ որոշում: Ավելին, աղյուսակային ինտեգրալների համար պատասխանը կներկայացվի դասական ձևով, այսինքն՝ արտահայտված հայտնի հաստատունների միջոցով, ինչպիսիք են «pi», «ցուցանիշ» թիվը և այլն: Բոլոր հաշվարկները լիովին անվճար են և գրանցում չեն պահանջում: Մեզ հետ որոշակի ինտեգրալ լուծելով՝ դուք կփրկեք ձեզ աշխատատար և բարդ հաշվարկներ, կամ ինքներդ լուծելով ինտեգրալը՝ կարող եք ստուգել ստացված լուծումը։

Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ

Նորից բարև։ Այս դասում մենք մանրամասն կքննարկենք այնպիսի հրաշալի բան, ինչպիսին է որոշակի ինտեգրալը։ Այս անգամ ներածությունը կարճ կլինի։ Բոլորը. Որովհետև պատուհանից դուրս ձնաբուք է։

Որպեսզի սովորեք, թե ինչպես լուծել որոշակի ինտեգրալներ, դուք պետք է.

1) Կարողանալ գտնելանորոշ ինտեգրալներ.

2) Կարողանալ հաշվարկելորոշակի ինտեգրալ.

Ինչպես տեսնում եք, որոշակի ինտեգրալին տիրապետելու համար հարկավոր է բավականին լավ հասկանալ «սովորական» անորոշ ինտեգրալները: Հետևաբար, եթե նոր եք սկսում սուզվել ինտեգրալ հաշվարկի մեջ, իսկ թեյնիկը դեռ չի եռացել, ապա ավելի լավ է սկսել դասից։ Անորոշ ինտեգրալ։ Լուծումների օրինակներ. Բացի այդ, կան pdf դասընթացներ գերարագ պատրաստում- եթե բառացիորեն մեկ օր ունեք, կես օր է մնացել:

Ընդհանուր ձևով որոշակի ինտեգրալը գրվում է հետևյալ կերպ.

Ի՞նչ է ավելացվում անորոշ ինտեգրալի համեմատ: Ավելին ինտեգրման սահմանները.

Ինտեգրման ստորին սահմանը
Ինտեգրման վերին սահմանըսովորաբար նշվում է տառով:
Սեգմենտը կոչվում է ինտեգրման հատվածը.

Մինչև հասնելը գործնական օրինակներ, մի փոքր ֆակ որոշակի ինտեգրալի վրա։

Ի՞նչ է նշանակում լուծել որոշակի ինտեգրալ:Որոշակի ինտեգրալ լուծել նշանակում է գտնել թիվ:

Ինչպե՞ս լուծել որոշակի ինտեգրալ:Օգտագործելով դպրոցից ծանոթ Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Ավելի լավ է բանաձևը վերաշարադրել առանձին թղթի վրա, այն պետք է լինի ձեր աչքի առաջ ամբողջ դասի ընթացքում:

Որոշակի ինտեգրալի լուծման քայլերը հետևյալն են.

1) Նախ գտնում ենք հակաածանցյալ ֆունկցիան (անորոշ ինտեգրալ): Նկատի ունեցեք, որ հաստատունը որոշակի ինտեգրալում ավելացված չէ. Նշանակումը զուտ տեխնիկական է, իսկ ուղղահայաց փայտիկը իրականում ոչ մի մաթեմատիկական նշանակություն չունի, դա պարզապես գծանշում է։ Ինչու՞ է ինքնին անհրաժեշտ ձայնագրությունը: Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի կիրառման նախապատրաստում.

2) Վերին սահմանի արժեքը փոխարինել հակաածանցյալ ֆունկցիայով.

3) Ստորին սահմանի արժեքը փոխարինել հակաածանցյալ ֆունկցիայի մեջ.

4) Մենք հաշվարկում ենք (առանց սխալների!) տարբերությունը, այսինքն՝ գտնում ենք թիվը։

Միշտ գոյություն ունի՞ որոշակի ինտեգրալ:Ոչ, ոչ միշտ:

Օրինակ, ինտեգրալը գոյություն չունի, քանի որ ինտեգրման հատվածը ներառված չէ ինտեգրանդի տիրույթում (քառակուսի արմատի տակ գտնվող արժեքները չեն կարող բացասական լինել): Ահա ավելի քիչ ակնհայտ օրինակ. Այստեղ ինտեգրման միջակայքում շոշափողդիմանում է անվերջ ընդմիջումներկետերում, , և, հետևաբար, այդպիսի որոշակի ինտեգրալ նույնպես գոյություն չունի: Ի դեպ, ո՞վ դեռ չի կարդացել։ մեթոդական նյութ Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հիմնական հատկությունները- Դա անելու ժամանակը հիմա է: Հիանալի կլինի օգնել բարձրագույն մաթեմատիկայի ողջ ընթացքում:

Դրա համար Որպեսզի որոշակի ինտեգրալ ընդհանրապես գոյություն ունենա, բավական է, որ ինտեգրալը շարունակական լինի ինտեգրման միջակայքում.

Վերոնշյալից հետևում է առաջին կարևոր առաջարկությունը. նախքան որևէ որոշակի ինտեգրալի լուծում սկսելը, դուք պետք է համոզվեք, որ ինտեգրման գործառույթը. շարունակական է ինտեգրման միջակայքում. Երբ ես ուսանող էի, ես բազմիցս ունենում էի մի դեպք, երբ երկար ժամանակ պայքարում էի դժվարին հակաածանցյալ գտնելու համար, և երբ վերջապես գտա այն, ուղեղս խառնում էի մեկ այլ հարցի շուրջ. «Ինչ անհեթեթություն ստացվեց. ?” Պարզեցված տարբերակում իրավիճակը հետևյալն է.

???! Դուք չեք կարող փոխարինել բացասական թվերը արմատի տակ: Սա ի՞նչ դժոխք է։ Նախնական անուշադրություն.

Եթե ​​լուծել (in թեստային աշխատանք, թեստի կամ քննության ժամանակ) Ձեզ առաջարկվում է ինտեգրալ նման կամ , ապա պետք է պատասխանեք, որ այս որոշակի ինտեգրալը գոյություն չունի և հիմնավորեք, թե ինչու։

! Նշում Վերջին դեպքում «որոշ» բառը չի կարելի բաց թողնել, քանի որ Կետային ընդհատումներով ինտեգրալը բաժանվում է մի քանի, այս դեպքում՝ 3 ոչ պատշաճ ինտեգրալների, և «այս ինտեգրալը գոյություն չունի» ձևակերպումը դառնում է սխալ։

Որոշակի ինտեգրալը կարո՞ղ է հավասար լինել բացասական թիվ? Միգուցե։ Եվ բացասական թիվ. Եվ զրո: Նույնիսկ կարող է պարզվել, որ անսահմանություն է, բայց դա արդեն կլինի ոչ պատշաճ ինտեգրալ, որոնց տրվում է առանձին դասախոսություն։

Կարո՞ղ է ինտեգրման ստորին սահմանը ավելի մեծ լինել, քան ինտեգրման վերին սահմանը:Թերևս այս իրավիճակը իրականում տեղի է ունենում գործնականում:

- ինտեգրալը կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը:

Ի՞նչն է անփոխարինելի բարձրագույն մաթեմատիկան: Իհարկե, առանց բոլոր տեսակի հատկությունների: Հետևաբար, դիտարկենք որոշակի ինտեգրալի որոշ հատկություններ։

Որոշակի ինտեգրալում դուք կարող եք վերադասավորել վերին և ստորին սահմանները՝ փոխելով նշանը:

Օրինակ, որոշակի ինտեգրալում, նախքան ինտեգրումը, նպատակահարմար է փոխել ինտեգրման սահմանները «սովորական» կարգով.

– այս ձևով շատ ավելի հարմար է ինտեգրվելը:

– սա ճիշտ է ոչ միայն երկու, այլ նաև ցանկացած շարք գործառույթների համար:

Որոշակի ինտեգրալում կարելի է իրականացնել ինտեգրացիոն փոփոխականի փոխարինում, սակայն, համեմատած անորոշ ինտեգրալի հետ, սա ունի իր առանձնահատկությունները, որոնց մասին կխոսենք ավելի ուշ։

Որոշակի ինտեգրալի համար ճշմարիտ է հետևյալը. ինտեգրում մասերի բանաձևով:

Օրինակ 1

Լուծում:

(1) Ինտեգրալ նշանից հանում ենք հաստատունը։

(2) Ինտեգրվել աղյուսակի վրա՝ օգտագործելով ամենատարածված բանաձևը . Ցանկալի է առանձնացնել առաջացող հաստատունը և տեղադրել այն փակագծից դուրս: Անհրաժեշտ չէ դա անել, բայց նպատակահարմար է. ինչու՞ լրացուցիչ հաշվարկներ:

. Սկզբում մենք փոխարինում ենք վերին սահմանը, ապա ստորին սահմանը: Կատարում ենք հետագա հաշվարկներ և ստանում վերջնական պատասխանը։

Օրինակ 2

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ

Սա ձեզ համար ինքնուրույն լուծելու օրինակ է, լուծումն ու պատասխանը՝ դասի վերջում։

Եկեք մի փոքր բարդացնենք խնդիրը.

Օրինակ 3

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ

Լուծում:

(1) Մենք օգտագործում ենք որոշակի ինտեգրալի գծայինության հատկությունները:

(2) Մենք ինտեգրվում ենք աղյուսակի համաձայն՝ միաժամանակ հանելով բոլոր հաստատունները. դրանք չեն մասնակցի վերին և ստորին սահմանների փոխարինմանը։

(3) Երեք տերմիններից յուրաքանչյուրի համար մենք կիրառում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Որոշակի ինտեգրալում թույլ շղթան հաշվարկման սխալներն են և նշանների սովորական շփոթությունը: Զգույշ եղեք։ Ես հատուկ ուշադրություն եմ դարձնում երրորդ տերմինի վրա. – առաջին տեղն անուշադրության պատճառով սխալների հիթ շքերթում, շատ հաճախ ավտոմատ են գրում (հատկապես, երբ վերին և ստորին սահմանների փոխարինումը կատարվում է բանավոր և այդքան մանրամասնորեն գրված չէ): Եվս մեկ անգամ ուշադիր ուսումնասիրեք վերը նշված օրինակը։

Հարկ է նշել, որ որոշակի ինտեգրալի լուծման դիտարկված մեթոդը միակը չէ։ Որոշակի փորձով լուծումը կարող է զգալիորեն կրճատվել: Օրինակ, ես ինքս սովոր եմ լուծել այսպիսի ինտեգրալներ, ինչպիսիք են.

Այստեղ ես բանավոր օգտագործեցի գծայինության կանոնները և բառացիորեն ինտեգրվեցի աղյուսակի միջոցով: Ես ավարտեցի ընդամենը մեկ փակագիծ, որի սահմանները նշված էին. (ի տարբերություն առաջին մեթոդի երեք փակագծերի): Եվ «ամբողջ» հակաածանցյալ ֆունկցիայի մեջ ես սկզբում փոխարինեցի 4-ը, այնուհետև –2-ը՝ կրկին կատարելով մտքումս բոլոր գործողությունները:

Որո՞նք են կարճ լուծման թերությունները: Այստեղ ամեն ինչ այնքան էլ լավ չէ հաշվարկների ռացիոնալության տեսանկյունից, բայց անձամբ ինձ չի հետաքրքրում. ես սովորական կոտորակները հաշվարկում եմ հաշվիչի վրա:
Բացի այդ, հաշվարկներում սխալվելու ռիսկը մեծանում է, ուստի ավելի լավ է, որ թեյի ուսանողը կիրառի առաջին մեթոդը լուծելու «իմ» մեթոդով, նշանը հաստատ ինչ-որ տեղ կկորչի.

Այնուամենայնիվ, երկրորդ մեթոդի անկասկած առավելություններն են լուծման արագությունը, նշման կոմպակտությունը և այն, որ հակաածանցյալը գտնվում է մեկ փակագծում։

Խորհուրդ. նախքան Նյուտոն-Լայբնից բանաձևն օգտագործելը, օգտակար է ստուգել՝ արդյոք հակաածանցյալն ինքը ճի՞շտ է գտնվել:

Այսպիսով, դիտարկվող օրինակի հետ կապված. նախքան վերին և ստորին սահմանները հակաածանցյալ ֆունկցիայի փոխարինելը, խորհուրդ է տրվում ստուգել նախագծի վրա՝ արդյոք անորոշ ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել: Տարբերակենք.

Ստացվել է սկզբնական ինտեգրալ ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ անորոշ ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել։ Այժմ մենք կարող ենք կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Նման ստուգումն ավելորդ չի լինի ցանկացած որոշակի ինտեգրալ հաշվարկելիս.

Օրինակ 4

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքներդ լուծելու համար: Փորձեք լուծել այն կարճ և մանրամասն:

Փոփոխականի փոփոխություն որոշակի ինտեգրալում

Որոշակի ինտեգրալի համար բոլոր տեսակի փոխարինումները վավեր են, ինչպես անորոշ ինտեգրալի դեպքում։ Այսպիսով, եթե դուք այնքան էլ լավ չեք փոխարինում, դուք պետք է ուշադիր կարդաք դասը Փոխարինման մեթոդ անորոշ ինտեգրալում.

Այս պարբերությունում ոչ մի սարսափելի կամ դժվար բան չկա: Նորույթը հարցի մեջ է ինչպես փոխել ինտեգրման սահմանները փոխարինելիս.

Օրինակներով ես կփորձեմ տալ փոխարինման տեսակներ, որոնք դեռևս չեն գտնվել կայքում ոչ մի տեղ:

Օրինակ 5

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ

Այստեղ հիմնական հարցը ոչ թե որոշակի ինտեգրալն է, այլ այն, թե ինչպես ճիշտ իրականացնել փոխարինումը։ Եկեք նայենք ինտեգրալների աղյուսակև պարզե՛ք, թե ինչպիսի՞ն է մեր ինտեգրման ֆունկցիան ամենաշատը: Ակնհայտ է, որ վրա երկար լոգարիթմ: . Բայց կա մեկ անհամապատասխանություն՝ աղյուսակում ինտեգրալը արմատի տակ, իսկ մերում՝ «x» չորրորդ աստիճանին: Փոխարինման գաղափարը բխում է նաև պատճառաբանությունից՝ լավ կլիներ ինչ-որ կերպ մեր չորրորդ իշխանությունը վերածել քառակուսու։ Սա իրական է։

Նախ, մենք պատրաստում ենք մեր ինտեգրալը փոխարինման համար.

Վերոնշյալ նկատառումներից միանգամայն բնականաբար առաջանում է փոխարինում.
Այսպիսով, ամեն ինչ լավ կլինի հայտարարի մեջ.
Մենք պարզում ենք, թե ինչի կվերածվի ինտեգրանդի մնացած մասը, դրա համար մենք գտնում ենք դիֆերենցիալը.

Անորոշ ինտեգրալում փոխարինման համեմատ մենք ավելացնում ենք լրացուցիչ քայլ։

Ինտեգրման նոր սահմաններ գտնելը.

Դա բավականին պարզ է. Եկեք նայենք մեր փոխարինմանը և ինտեգրման հին սահմաններին, .

Նախ, մենք փոխարինում ենք ինտեգրման ստորին սահմանը, այսինքն՝ զրո, փոխարինող արտահայտության մեջ.

Այնուհետև մենք փոխարինում ենք ինտեգրման վերին սահմանը փոխարինող արտահայտության մեջ, այսինքն ՝ երեքի արմատը.

Պատրաստ. Եվ պարզապես...

Շարունակենք լուծումը.

(1) Ըստ փոխարինման գրել նոր ինտեգրալ՝ ինտեգրման նոր սահմաններով.

(2) Սա ամենապարզ աղյուսակի ինտեգրալն է, մենք ինտեգրվում ենք սեղանի վրա: Ավելի լավ է հաստատունը թողնել փակագծերից դուրս (դա պետք չէ անել), որպեսզի այն չխանգարի հետագա հաշվարկներին: Աջ կողմում մենք գծում ենք մի գիծ, ​​որը ցույց է տալիս ինտեգրման նոր սահմանները. սա նախապատրաստություն է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի կիրառման համար:

(3) Մենք օգտագործում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը .

Մենք ձգտում ենք պատասխանը գրել ամենակոմպակտ ձևով, այստեղ ես օգտագործել եմ լոգարիթմների հատկությունները.

Մեկ այլ տարբերություն անորոշ ինտեգրալից այն է, որ փոխարինումը կատարելուց հետո. Հակադարձ փոխարինումներ կատարելու կարիք չկա.

Եվ հիմա մի քանի օրինակ, որպեսզի դուք ինքներդ որոշեք: Ինչ փոխարինումներ անել - փորձեք կռահել ինքներդ:

Օրինակ 6

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ

Օրինակ 7

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ

Սրանք օրինակներ են, որպեսզի դուք ինքներդ որոշեք: Լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում:

Եվ պարբերության վերջում կարևոր կետեր, որի վերլուծությունը հայտնվել է կայքի այցելուների շնորհիվ։ Առաջինը վերաբերում է փոխարինման օրինականությունը. Որոշ դեպքերում դա հնարավոր չէ անել:Այսպիսով, օրինակ 6-ը, թվում է, կարելի է լուծել՝ օգտագործելով ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում, սակայն, ինտեգրման վերին սահմանը («pi»)ներառված չէ սահմանման տիրույթայս շոշափողը և, հետևաբար, այս փոխարինումը անօրինական է: Այսպիսով, «փոխարինման» գործառույթը պետք է շարունակական լինի բոլորի մեջինտեգրացիոն հատվածի կետերը.

Մեկ այլ էլ.փոստում ստացվել է հետևյալ հարցը. «Արդյո՞ք մենք պետք է փոխենք ինտեգրման սահմանները, երբ մենք ֆունկցիա ենք դնում դիֆերենցիալ նշանի տակ»: Սկզբում ես ուզում էի «անհեթեթությունը հեռացնել» և ինքնաբերաբար պատասխանել «իհարկե ոչ», բայց հետո մտածեցի նման հարցի պատճառի մասին և հանկարծ հայտնաբերեցի, որ որևէ տեղեկություն չկա. բավարար չէ. Բայց դա, թեև ակնհայտ է, բայց շատ կարևոր է.

Եթե ​​ֆունկցիան ներառենք դիֆերենցիալ նշանի տակ, ապա ինտեգրման սահմանները փոխելու կարիք չկա! Ինչո՞ւ։ Քանի որ այս դեպքում ոչ մի փաստացի անցում նոր փոփոխականի. Օրինակ՝

Եվ այստեղ գումարումը շատ ավելի հարմար է, քան ակադեմիական փոխարինումը ինտեգրման նոր սահմանների հետագա «նկարումով»։ Այսպիսով, եթե որոշակի ինտեգրալը շատ բարդ չէ, ապա միշտ փորձեք ֆունկցիան դնել դիֆերենցիալ նշանի տակ! Այն ավելի արագ է, ավելի կոմպակտ և սովորական է, ինչպես կտեսնեք տասնյակ անգամներ:

Շատ շնորհակալ եմձեր նամակների համար!

Որոշակի ինտեգրալում մասերի ինտեգրման մեթոդ

Այստեղ էլ ավելի քիչ նորություն կա։ Հոդվածի բոլոր հաշվարկները Անորոշ ինտեգրալում մասերի ինտեգրումլիովին վավեր են որոշակի ինտեգրալի համար:
Կա միայն մեկ դետալ, որը պլյուս է մասերի ինտեգրման բանաձևում, ավելացվում են ինտեգրման սահմանները.

Այստեղ Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը պետք է կիրառվի երկու անգամ՝ արտադրանքի համար և ինտեգրալը վերցնելուց հետո։

Օրինակի համար ես կրկին ընտրեցի ինտեգրալի այն տեսակը, որը դեռևս ոչ մի տեղ չի գտնվել կայքում։ Օրինակը ամենապարզը չէ, բայց շատ, շատ տեղեկատվական:

Օրինակ 8

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ

Եկեք որոշենք.

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.

Ով որ դժվարանում է ինտեգրալը, նայի դասը Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալներ, այնտեղ մանրամասն քննարկվում է։

(1) Լուծումը գրում ենք ըստ մասերի ինտեգրման բանաձևի։

(2) Արտադրանքի համար մենք կիրառում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը: Մնացած ինտեգրալի համար մենք օգտագործում ենք գծայինության հատկությունները՝ բաժանելով այն երկու ինտեգրալների։ Մի շփոթվեք նշաններով:

(4) Մենք կիրառում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը երկու հայտնաբերված հակաածանցյալների համար:

Անկեղծ ասած, ինձ դուր չի գալիս բանաձեւը. և, եթե հնարավոր է, ... ես ընդհանրապես առանց դրա: Դիտարկենք երկրորդ լուծումը իմ տեսանկյունից, այն ավելի ռացիոնալ է.

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ

Առաջին փուլում գտնում եմ անորոշ ինտեգրալը:

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.

Հայտնաբերվել է հակաածանցյալ ֆունկցիան։ Այս դեպքում հաստատուն ավելացնելու իմաստ չկա:

Ո՞րն է նման քայլարշավի առավելությունը: Ինտեգրման սահմանները «տարածելու» կարիք չկա.

Երկրորդ փուլում ես ստուգում եմ(սովորաբար սեւագրության մեջ):

Նաև տրամաբանական. Եթե ​​ես սխալ եմ գտել հակաածանցյալ ֆունկցիան, ապա որոշիչ ինտեգրալը սխալ կլուծեմ։ Ավելի լավ է անմիջապես պարզել, եկեք տարբերակենք պատասխանը.

Ստացվել է սկզբնական ինտեգրանդ ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ հակաածանցյալ ֆունկցիան ճիշտ է գտնվել։

Երրորդ փուլը Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւի կիրառումն է:

Եվ այստեղ էական օգուտ կա։ «Իմ» լուծման մեթոդում փոխարինումների և հաշվարկների մեջ շփոթվելու շատ ավելի ցածր ռիսկ կա. Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը կիրառվում է միայն մեկ անգամ: Եթե ​​թեյնիկը լուծում է նմանատիպ ինտեգրալ՝ օգտագործելով բանաձեւը (առաջին ձեւով), հետո անպայման ինչ-որ տեղ կսխալվի։

Դիտարկված լուծման ալգորիթմը կարող է կիրառվել ցանկացած որոշակի ինտեգրալի համար.

Հարգելի ուսանող, տպել և պահպանել՝

Ի՞նչ անել, եթե ձեզ տրվի որոշակի ինտեգրալ, որը բարդ է թվում կամ անմիջապես պարզ չէ, թե ինչպես լուծել այն:

1) Նախ գտնում ենք անորոշ ինտեգրալը (հակածանցյալ ֆունկցիա): Եթե ​​առաջին փուլում խուճապ կար, ապա Նյուտոնի և Լայբնիցի հետ նավակը հետագա ճոճելու իմաստ չկա: Կա միայն մեկ ճանապարհ՝ բարձրացնել ձեր գիտելիքների մակարդակը և լուծելու հմտությունները անորոշ ինտեգրալներ.

2) Գտնված հակաածանցյալ ֆունկցիան ստուգում ենք տարբերակմամբ. Եթե ​​այն սխալ հայտնաբերվի, երրորդ քայլը ժամանակի կորուստ կլինի։

3) Մենք օգտագործում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը. Մենք բոլոր հաշվարկները կատարում ենք ՉԱՓԱՓ ԶԳՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ. ահա թե որտեղ թույլ օղակհանձնարարություններ.

Իսկ խորտիկի համար՝ անբաժանելի անկախ լուծման համար:

Օրինակ 9

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ

Լուծումն ու պատասխանը ինչ-որ տեղ մոտ են։

Թեմայի վերաբերյալ հաջորդ առաջարկվող դասն է Ինչպե՞ս հաշվարկել գործչի մակերեսը որոշակի ինտեգրալով:
Եկեք ինտեգրենք ըստ մասերի.

Վստա՞հ եք, որ լուծել եք դրանք և ստացել եք նույն պատասխանները: ;-) Իսկ պոռնո կա պառավի համար։

Առցանց սպասարկում՝ հասցեով կայքթույլ է տալիս գտնել Որոշակի ինտեգրալ լուծում առցանց. Լուծումն իրականացվում է ավտոմատ կերպով սերվերի վրա և արդյունքը տրամադրվում է օգտագործողին մի քանի վայրկյանում։ Բոլորը առցանց ծառայություններկայքում բացարձակապես անվճար են, և լուծումը ներկայացված է հարմար և հասկանալի ձևով: Մեր առավելությունը նաև այն է, որ մենք օգտվողին հնարավորություն ենք տալիս մուտք գործել ինտեգրման սահմանները, ներառյալ ինտեգրման սահմանները՝ մինուս և գումարած անսահմանություն: Այսպիսով, որոշակի ինտեգրալի լուծումը դառնում է պարզ, արագ և որակյալ։ Կարևոր է, որ սերվերը թույլ տա հաշվարկել որոշակի ինտեգրալներ առցանց բարդ գործառույթներ, որոնց լուծումը հաճախ անհնար է այլ առցանց ծառայությունների վրա՝ դրանց համակարգերի անկատարության պատճառով։ Մենք տրամադրում ենք գործառույթներ մուտքագրելու շատ պարզ և ինտուիտիվ մեխանիզմ և ինտեգրացիոն փոփոխական ընտրելու հնարավորություն, որի համար անհրաժեշտ չէ թարգմանել տվյալը մեկում: փոփոխական ֆունկցիամյուսին` բացառելով հարակից սխալներն ու տառասխալները: Էջում տրամադրվում են նաև տեսական հոդվածների և որոշակի ինտեգրալների լուծման աղյուսակների հղումներ։ Ամեն ինչ միասին վերցրած թույլ կտա շատ արագ առցանց հաշվարկել որոշակի ինտեգրալը և ցանկության դեպքում գտնել և հասկանալ որոշակի ինտեգրալների լուծման տեսությունը։ http://site-ում կարող եք նաև գնալ այլ ծառայություններ. առցանց լուծումսահմաններ, ածանցյալներ, շարքերի գումար. Անորոշ ինտեգրալների առցանց լուծման ներդիր անցնելը բավականին պարզ է. հղումը շարքում է օգտակար հղումներ. Ավելին, ծառայությունը մշտապես բարելավվում և զարգանում է, և ամեն օր ավելի ու ավելի շատ նոր հնարավորություններ և բարելավումներ են հայտնվում: Որոշակի ինտեգրալներ լուծելմեզ հետ! Բոլոր առցանց ծառայությունները հասանելի են նույնիսկ չգրանցված օգտատերերին և բացարձակապես անվճար են:

Մեզ հետ որոշակի ինտեգրալ լուծելով՝ դուք կարող եք ստուգել ձեր սեփական լուծումը կամ ազատվել ավելորդ աշխատատար հաշվարկներից և վստահել բարձր տեխնոլոգիական ավտոմատացված մեքենային: Ծառայության մեջ հաշվարկված ճշգրտությունը կբավարարի գրեթե ցանկացած ինժեներական ստանդարտ: Հաճախ, շատ աղյուսակային որոշակի ինտեգրալների համար արդյունքը տրվում է ճշգրիտ արտահայտությամբ (օգտագործելով հայտնի հաստատուններ և ոչ տարրական ֆունկցիաներ)։

Մուտքագրեք այն գործառույթը, որի համար անհրաժեշտ է գտնել ինտեգրալը

Հաշվիչը ապահովում է Մանրամասն ԼՈՒԾՈՒՄորոշակի ինտեգրալներ.

Այս հաշվիչը լուծում է f(x) ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալին՝ տրված վերին և ստորին սահմաններով։

Օրինակներ

Օգտագործելով աստիճան
(քառակուսի և խորանարդ) և կոտորակներ

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Քառակուսի արմատ

Sqrt(x)/(x + 1)

Cube արմատ

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Օգտագործելով սինուս և կոսինուս

2*sin(x)*cos(x)

arcsine

X*arcsin(x)

աղեղային կոսինուս

X*arccos(x)

Լոգարիթմի կիրառում

X*log (x, 10)

Բնական լոգարիթմ

Ցուցադրող

Tg(x)*sin(x)

Կոտանգենս

Ctg(x)*cos(x)

Իռացիոնալ կոտորակներ

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arctangent

X*arctg(x)

Arccotangent

X*arсctg(x)

Հիպերբոլիկ սինուս և կոսինուս

2*sh(x)*ch(x)

Հիպերբոլիկ տանգենս և կոտանգենս

Ctgh(x)/tgh(x)

Հիպերբոլիկ արկսին և արկկոսին

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Հիբերբոլիկ արկտանգենս և արկոտանգենս

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Արտահայտությունների և ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ

Արտահայտությունները կարող են բաղկացած լինել ֆունկցիաներից (նշումները տրված են այբբենական կարգով). բացարձակ (x)Բացարձակ արժեք x
(մոդուլ xկամ |x|) arccos (x)Ֆունկցիա - աղեղային կոսինուս x arccosh (x) Arc կոսինուսի հիպերբոլիկ ից x arcsin (x) Arcsine-ից x arcsinh (x)Արկսին հիպերբոլիկ ից x արկտան (x)Ֆունկցիան - արկտանգենս է x արկղ(x) Arctangent hyperbolic-ից x ե եթիվ, որը մոտավորապես հավասար է 2,7-ի exp(x)Ֆունկցիա - ցուցիչ x(որն է ե^x) տեղեկամատյան (x)կամ ln(x)-ի բնական լոգարիթմ x
(Ստանալու համար log7 (x), դուք պետք է մուտքագրեք log(x)/log(7) (կամ, օրինակ, համար log10 (x)=log(x)/log(10)) պիԹիվը «Pi» է, որը մոտավորապես հավասար է 3,14-ի մեղք (x)Ֆունկցիա - Sine of x cos(x)Ֆունկցիա - կոսինուս x sinh (x)Ֆունկցիա - Սինուսային հիպերբոլիկ ից x կոշ (x)Ֆունկցիա - կոսինուսի հիպերբոլիկ ից x sqrt (x)Գործառույթ - քառակուսի արմատ-ից x քառակուսի (x)կամ x^2Ֆունկցիան - քառակուսի x tan (x)Ֆունկցիա - շոշափում է x tgh(x)Ֆունկցիա - շոշափող հիպերբոլիկ ից x cbrt (x)Ֆունկցիան - խորանարդի արմատը x

Հետևյալ գործողությունները կարող են օգտագործվել արտահայտություններում. Իրական թվեր մուտքագրել որպես 7.5 , Ոչ 7,5 2*x- բազմապատկում 3/x- բաժանում x^3- հզորացում x+7- լրացում x - 6- հանում
Այլ առանձնահատկություններ. հարկ (x)Գործառույթ - կլորացում xներքև (օրինակ հատակ (4.5)==4.0) առաստաղ (x)Գործառույթ - կլորացում xդեպի վեր (օրինակ առաստաղ (4.5)==5.0) նշան (x)Գործառույթ - Նշան x erf (x)Սխալի ֆունկցիա (կամ հավանականության ինտեգրալ) լապլաս (x)Լապլասի ֆունկցիան