Կրճատել ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով հավասարման: Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա. Ուղղության վեկտորը ուղիղ է: Նորմալ վեկտոր. Գծի նորմալ հավասարում

Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Ցանկացած կետով կարելի է անսահման թվով ուղիղ գծեր գծել։

Ցանկացած երկու չհամընկնող կետերի միջով կարելի է մեկ ուղիղ գիծ գծել:

Հարթության մեջ երկու տարբեր ուղիղներ կամ հատվում են մեկ կետում կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

IN եռաչափ տարածությունԵրկու տողերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.

• գծերը հատվում են;

• գծերը զուգահեռ են;

• ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող— Առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ ուղիղ գիծ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում)։

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում.

Սահմանում. Ինքնաթիռի ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է սահմանվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

և մշտական Ա, Բմիաժամանակ հավասար չեն զրոյի. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ընդհանուր

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, ԲԵվ ՀԵՏՀնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ուղիղ գիծ է անցնում ծագման միջով

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = C = 0, A ≠0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

. A = C = 0, B ≠0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերովկախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և նորմալ վեկտորից:

Սահմանում. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

հավասարմամբ տրված ուղիղին ուղղահայաց

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Լուծում. A = 3 և B = -1-ով կազմենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: Գտեք C գործակիցը.

Փոխարինենք տրված Ա կետի կոորդինատները ստացված արտահայտության մեջ, հետևաբար՝ 3 - 2 + C = 0

C = -1. Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)Եվ M2 (x 2, y 2, z 2),Հետո գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի: Միացված է

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

Եթե x 1 ≠ x 2Եվ x = x 1, Եթե x 1 = x 2 .

Կոտորակ = kկանչեց լանջին ուղիղ.

Օրինակ. Գտե՛ք A(1, 2) և B(3, 4) կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը։

Լուծում. Կիրառելով վերը գրված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարում` օգտագործելով կետ և թեքություն:

Եթե ընդհանուր հավասարումուղիղ Ax + Wu + C = 0հանգեցնել՝

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և ուղղության վեկտորից:

Նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը դիտարկող կետի հետ անալոգիայով կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր:

Սահմանում. Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2), որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aα 1 + Bα 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր.

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A(1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում. Մենք կփնտրենք ցանկալի գծի հավասարումը հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է բավարարեն հետևյալ պայմանները.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x = 1, y = 2մենք ստանում ենք C/A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ах + Ву + С = 0 С≠0, ապա բաժանելով -С-ի, ստանում ենք.

կամ որտեղ

Երկրաչափական իմաստգործակիցներն այն է, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է

ուղիղ առանցքով Օ,Ա բ- գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը Օ՜

Օրինակ. Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտեք այս ուղիղի հավասարումը հատվածներով:

C = 1, , a = -1, b = 1:

Նորմալ հավասարումուղիղ.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը Ax + Wu + C = 0բաժանել ըստ թվի որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ μ*C< 0.

r- սկզբնակետից ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

Ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ. Տրված է գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0. Պահանջվում է տարբեր տեսակի հավասարումներ գրելու համար

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղղի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ամեն ուղիղ գիծ չէ, որ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելով։

Հարթության վրա ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում. Եթե ​​տրված է երկու տող y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս տողերի միջև ընկած սուր անկյունը

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2. Երկու ուղիղ ուղղահայաց են

Եթե k 1 = -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղղակի Ax + Wu + C = 0Եվ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0զուգահեռ, երբ գործակիցները համաչափ են

A 1 = λA, B 1 = λB. Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Անցնող գծի հավասարումը այս կետըայս գծին ուղղահայաց:

Սահմանում. Մի կետով անցնող գիծ M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Թեորեմ. Եթե ​​տրվում է միավոր M (x 0, y 0),ապա ուղիղ գծի հեռավորությունը Ax + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց. Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկած ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը ՄԵվ Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1Եվ 1-ինկարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով ուղղահայաց անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

տրված ուղիղ գիծ. Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Եվ մենք մանրամասն կվերլուծենք ուղիղ գծի հատուկ տիպի հավասարման - . Սկսենք հատվածներով ուղիղ գծի հավասարման ձևից և բերենք օրինակ. Դրանից հետո մենք կկենտրոնանանք ուղիղ գծի կառուցման վրա, որը տրված է հատվածներով ուղիղ գծի հավասարմամբ: Եզրափակելով, մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է կատարվում անցումը գծի ամբողջական ընդհանուր հավասարումից դեպի հատվածներով գծի հավասարման:

Էջի նավարկություն.

Գծի հավասարումը հատվածներում - նկարագրություն և օրինակ:

Թող Օքսին ամրացվի ինքնաթիռում։

Գծի հավասարումը հատվածներումՈւղղանկյուն կոորդինատային համակարգի հարթության վրա Oxy-ն ունի ձևը, որտեղ a-ն և b-ն զրոյական ոչ իրական թվեր են:

Պատահական չէ, որ հատվածներում գծի հավասարումը ստացել է նման անուն. a և b թվերի բացարձակ արժեքները հավասար են այն հատվածների երկարություններին, որոնց վրա գիծը կտրում է: կոորդինատային առանցքներԵզն ու Օյը, սկզբից հաշված։

Եկեք պարզաբանենք այս կետը. Մենք գիտենք, որ ուղիղի ցանկացած կետի կոորդինատները բավարարում են այդ ուղիղի հավասարումը։ Այնուհետև պարզ երևում է, որ հատվածներով գծի հավասարմամբ սահմանված ուղիղն անցնում է կետերով և, քանի որ Եվ . Իսկ կետերը և ճշգրիտ տեղակայված են համապատասխանաբար Ox և Oy կոորդինատային առանցքների վրա և հեռու են կոորդինատների սկզբնակետից a և b միավորներով: a և b թվերի նշանները ցույց են տալիս այն ուղղությունը, որով պետք է տեղադրվեն հատվածները: «+» նշանը նշանակում է, որ հատվածը գծագրված է կոորդինատային առանցքի դրական ուղղությամբ, «-» նշանը՝ հակառակը:

Եկեք պատկերենք սխեմատիկ գծագիր, որը բացատրում է վերը նշված բոլորը: Այն ցույց է տալիս գծերի գտնվելու վայրը ֆիքսված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի Oxy-ի նկատմամբ՝ կախված հատվածներում գծի հավասարման մեջ a և b թվերի արժեքներից:

Այժմ պարզ դարձավ, որ հատվածներում ուղիղ գծի հավասարումը հեշտացնում է այս ուղիղ գիծը Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կառուցելը: Ուղիղ գիծ կառուցելու համար, որը տրված է ձևի հատվածներում ուղիղ գծի հավասարմամբ, պետք է հարթության վրա նշել կետերը և ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգով, այնուհետև միացնել դրանք ուղիղ գծով՝ օգտագործելով քանոն:

Օրինակ բերենք.

Օրինակ.

Կառուցեք ուղիղ գիծ, ​​որը տրված է գծի հավասարմամբ ձևի հատվածներում:

Լուծում.

Հատվածներով ուղիղի տրված հավասարման հիման վրա կարելի է տեսնել, որ ուղիղն անցնում է կետերով . Մենք նշում ենք դրանք և միացնում դրանք ուղիղ գծով:

Գծի ընդհանուր հավասարումը հատվածներով գծի հավասարման կրճատում:

Հարթության վրա գծի հետ կապված որոշ խնդիրներ լուծելիս հարմար է աշխատել հատվածներով գծի հավասարման հետ։ Այնուամենայնիվ, կան այլ տեսակի հավասարումներ, որոնք սահմանում են հարթության վրա գիծ: Ուստի անհրաժեշտ է անցում կատարել գծի տրված հավասարումից այս ուղիղի հավասարմանը հատվածներով։

Այս պարբերությունում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է ստանալ ուղիղի հավասարումը հատվածներով, եթե տրված է ուղիղի ամբողջական ընդհանուր հավասարումը:

Եկեք իմանանք հարթության վրա գծի ամբողջական ընդհանուր հավասարումը . Քանի որ A-ն, B-ն և C-ն հավասար չեն զրոյի, մենք կարող ենք փոխանցել C թիվը աջ կողմըհավասարություն, ստացված հավասարության երկու կողմերը բաժանե՛ք –С-ի և x-ի և y-ի գործակիցները ուղարկե՛ք հայտարարներին.
.

(Վերջին անցումում մենք օգտագործեցինք հավասարությունը ).

Այսպիսով, մենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից անցել է հատվածներով ուղիղ գծի հավասարմանը, որտեղ .

Օրինակ.

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ . Գրի՛ր այս տողի հավասարումը հատվածներով:

Լուծում.

Մեկ վայրկյան անցնենք տրված հավասարության աջ կողմում. . Այժմ ստացված հավասարությունը բաժանենք երկու կողմերի. . Մնում է ստացված հավասարությունը փոխակերպել ցանկալի ձևի. . Այսպես մենք ստացանք գծի պահանջվող հավասարումը հատվածներով։

Պատասխան.

Եթե ​​ուղիղ գիծը սահմանում է

Ձևի գծային հավասարումը, որտեղ աԵվ բ– կանչվում են զրոյից տարբեր իրական թվեր ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում. Այս անունը պատահական չէ, քանի որ թվերի բացարձակ արժեքները ԱԵվ բհավասար է այն հատվածների երկարություններին, որոնք ուղիղ գիծը կտրում է կոորդինատային առանցքների վրա ԵզԵվ Օյհամապատասխանաբար (հատվածները հաշվվում են սկզբնաղբյուրից): Այսպիսով, հատվածներում գծի հավասարումը հեշտացնում է այս գիծը գծագրում կառուցելը: Դա անելու համար պետք է կետերը նշել կոորդինատներով և ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգով հարթության վրա, իսկ քանոնով դրանք միացնել ուղիղ գծով։

Օրինակ, ձևի հատվածներում կառուցենք հավասարմամբ տրված ուղիղ գիծ: Նշեք կետերը և միացրեք դրանք:

Հարթության վրա գծի այս տիպի հավասարման մասին մանրամասն տեղեկություններ կարող եք ստանալ հատվածներով գծի հոդվածային հավասարման մեջ։

Էջի վերևում

Աշխատանքի ավարտ -

Այս թեման պատկանում է բաժնին.

Հանրահաշիվ և անալիտիկ երկրաչափություն. Մատրիցայի հայեցակարգը, գործողություններ մատրիցների վրա և դրանց հատկությունները

Մատրիցայի հայեցակարգը մատրիցների և դրանց հատկությունների վրա գործողություններ են: մատրիցը ուղղանկյուն աղյուսակ է, որը կազմված է թվերից, որոնք չեն կարող լինել... իսկ մատրիցային գումարումը տարրական գործողություն է:

Եթե ​​պետք է լրացուցիչ նյութայս թեմայի վերաբերյալ, կամ չեք գտել այն, ինչ փնտրում էիք, խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել որոնումը մեր աշխատանքների տվյալների բազայում.

Ի՞նչ ենք անելու ստացված նյութի հետ.

Եթե ​​այս նյութը օգտակար էր ձեզ համար, կարող եք այն պահել ձեր էջում սոցիալական ցանցերում.

Թվիթեր

Այս բաժնի բոլոր թեմաները.

Տարբերակելիության սահմանում
Ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է ֆունկցիայի տարբերակում։ Ֆունկցիան կոչվում է տարբերվող ինչ-որ կետում, եթե այն ունի վերջավոր ածանցյալ տվյալ կետում, և

Տարբերակման կանոն
Հետևություն 1. Ածանցյալի նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը. Շոշափող հավասարում
Ուղիղ y = kx+b թեքության անկյունը դիրքից չափվող անկյունն է

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը
Դիտարկենք y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի AB հատվածն այնպես, որ A և B կետերը համապատասխանաբար ունենան կոորդինատներ.

Լուծում
Գործառույթը սահմանված է բոլորի համար իրական թվեր. Քանի որ (-1; -3) շոշափման կետ է, ուրեմն

Էքստրեմումի համար անհրաժեշտ պայմաններ և էքստրեմումի համար բավարար պայմաններ
Աճող ֆունկցիայի սահմանում: y = f(x) ֆունկցիան մեծանում է X միջակայքում, եթե այդպիսին կա

Ֆունկցիայի ծայրահեղության բավարար նշաններ
Ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն չափերը գտնելու համար կարող եք օգտագործել ծայրահեղության երեք բավարար նշաններից որևէ մեկը: Թեև ամենատարածվածն ու հարմարը առաջինն է։

Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները. Սեփականություն 1. Ածանցյալ որոշակի ինտեգրալվերին սահմանում հավասար է ինտեգրանդին, որի մեջ փոփոխականի փոխարեն ինտեգրված է

Նյուտոն-Լայբնից բանաձև (ապացույցով)
Նյուտոն-Լայբնից բանաձև. Թող y = f(x) ֆունկցիան լինի շարունակական միջակայքում, իսկ F(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկն այս միջակայքում, ապա հավասարումը.

Գծի հավասարումը հատվածներում

Թող տրվի ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում, որտեղ են այն հատվածները, որոնք ուղիղ գիծը կտրում է համապատասխան կոորդինատային առանցքների վրա:

Կառուցեք ուղիղ գիծ, ​​որը տրված է ընդհանուր հավասարմամբ.

Որից մենք կարող ենք կառուցել այս ուղիղի հավասարումը հատվածներով.

Գծերի հարաբերական դիրքը հարթության վրա:

Հայտարարություն 1.

Որպեսզի ուղիղ գծերը տրվեն հավասարումներով.

Համընկնումը անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի.

Ապացույց. և համընկնում են, դրանց ուղղության վեկտորները և համագիծ են, այսինքն.

Այս ուղիղ գծով վերցնենք M 0 կետը, ապա.

Առաջին հավասարումը բազմապատկելով և երկրորդին ավելացնելով (2-ով) կստանանք.

Այսպիսով, (2), (3) և (4) բանաձևերը համարժեք են: Թող (2) բավարարվի, ապա համակարգի (*) հավասարումները համարժեք են.

Հայտարարություն 2.

(*) հավասարումներով տրված ուղիղները զուգահեռ են և չեն համընկնում, եթե և միայն, եթե.

Ապացույց:

Նույնիսկ եթե դրանք չեն համընկնում.

Անհամապատասխան, այսինքն, ըստ Կրոնեկեր-Կապելլի թեորեմի.

Դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե.

Այսինքն, երբ (5) պայմանը կատարվում է.

Երբ կատարվում է առաջին հավասարությունը (5), - երկրորդ հավասարությունը չկատարելը հանգեցնում է համակարգի անհամատեղելիության (*) գծերը զուգահեռ են և չեն համընկնում:

Ծանոթագրություն 1.

Բևեռային կոորդինատային համակարգ.

Եկեք հարթության վրա մի կետ ֆիքսենք և այն անվանենք բևեռ: Բևեռից բխող ճառագայթը կկոչվի բևեռային առանցք:

Ընտրենք հատվածների երկարությունները չափելու սանդղակ և համաձայնենք, որ կետի շուրջ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտույտը համարվի դրական։ Մտածեք ցանկացած կետի մասին տրված ինքնաթիռը, նշեք բևեռից նրա հեռավորությունը և անվանեք այն բևեռային շառավիղ։ Այն անկյունը, որով բևեռային առանցքը պետք է պտտվի այնպես, որ այն համընկնի, կնշանակվի և կկոչվի բևեռային անկյուն:

Սահմանում 3.

Կետի բևեռային կոորդինատներն են նրա բևեռային շառավիղը և բևեռային անկյունը.

Դիտողություն 2. բևեռում. Կետից բացի այլ կետերի արժեքը որոշվում է մինչև ժամկետ:

Դիտարկենք դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը. բևեռը համընկնում է սկզբնակետին, իսկ բևեռային առանցքը՝ դրական կիսաառանցքի հետ: Այստեղ. Ապա.

Ի՞նչ կապ կա ուղղանկյուն դեկարտյան և բևեռային կոորդինատային համակարգերի միջև:

Բեռնուլիի լեմնիսկատի հավասարումը. Գրեք այն բևեռային կոորդինատային համակարգում:

Հարթության վրա գծի նորմալ հավասարումը. Թող բևեռային առանցքը համընկնի սկզբնակետով անցնող առանցքի հետ։ Թող:

Թող ուրեմն.

Պայման (**) կետի համար.

Ուղիղ գծի հավասարումը բևեռային կոորդինատային համակարգում.

Այստեղ - սկզբից մինչև ուղիղ գծված երկարությունը, - նորմալի թեքության անկյունը դեպի առանցքը:

Հավասարումը (7) կարելի է վերաշարադրել.

Հարթության վրա գծի նորմալ հավասարումը.

Թող որոշ աֆինային կոորդինատային համակարգ տրվի OXY:

Թեորեմ 2.1.Ցանկացած ուղիղ գիծ լկոորդինատային համակարգը OX տրված է ձևի գծային հավասարմամբ

Ա x+Բ y+ C = O, (1)

որտեղ A, B, C R և A 2 + B 2 0. Ընդհակառակը, (1) ձևի ցանկացած հավասարում սահմանում է ուղիղ գիծ:

Հավասարում (1) - գծի ընդհանուր հավասարում .

Թող (1) հավասարման բոլոր A, B և C գործակիցները տարբերվեն զրոյից: Հետո

Ah-By=-C և .

Նշանակենք -C/A=a, -C/B=b։ Մենք ստանում ենք

-հավասարումը հատվածներում .

Իսկապես, թվերը |ա| եւ |բ| նշեք ուղիղ գծով կտրված հատվածների չափը լհամապատասխանաբար OX և OY առանցքների վրա:

Թող դա ուղիղ լինի լտրված է (1) ընդհանուր հավասարմամբ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում և թող M 1 (x 1,y 1) և M 2 (x 2,y 2) կետերը պատկանում են. լ. Հետո

Ա x 1 + Վ ժամը 1 + C = A X 2 + Վ ժամը 2 + C, այսինքն A ( x 1 -x 2) + B( ժամը 1 -ժամը 2) = 0.

Վերջին հավասարությունը նշանակում է, որ վեկտորը =(A,B) ուղղանկյուն է վեկտորի նկատմամբ =(x 1 -x 2,y 1 -y 2): դրանք. Վեկտորը (A,B) կոչվում է l տողի նորմալ վեկտորը.

Դիտարկենք վեկտորը =(-B,A): Հետո

A(-B)+BA=0. դրանք. ^.

Հետևաբար, վեկտորը =(-B,A) կծու ուղղության վեկտորն է լ.

Գծի պարամետրային և կանոնական հավասարումներ

Երկուսի միջով անցնող ուղիղի հավասարումը տրված միավորներ

Թող տրվի ուղիղ գիծ աֆինային կոորդինատային համակարգում (0, X, Y) լ, նրա ուղղության վեկտորը = (m,n) և կետը M 0 ( x 0 ,y 0) պատկանող լ. Այնուհետև կամայական M կետի համար ( x,ժամը) այս տողից ունենք

և այդ ժամանակից ի վեր .

Եթե ​​նշանակենք և

M և M կետերի շառավղային վեկտորները համապատասխանաբար 0, ապա

- տողի հավասարումը վեկտորային ձևով.

Քանի որ =( X,ժամը), =(X 0 ,ժամը 0), ապա

x= x 0 + մթ,

y= y 0 + nt

- պարամետրային հավասարումուղիղ .

Դրանից բխում է

- գծի կանոնական հավասարումը .

Վերջապես, եթե ուղիղ գծի վրա լտրված է երկու միավոր M 1 ( X 1 ,ժամը 1) և

M2 ( x 2 ,ժամը 2), ապա վեկտոր =( X 2 -X 1 ,y 2 -ժամը 1) է ուղեցույցներ ուղիղ գծի վեկտոր լ. Հետո

- երկու տրված կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը.

Երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքը.

Թող ուղիղ լ 1 և լ 2-ը տրված է նրանց ընդհանուր հավասարումներով

լ 1: A 1 X+ B 1 ժամը+ C 1 = 0, (1)

լ 2: A 2 X+ B 2 ժամը+ C 2 = 0:

Թեորեմ. Թող ուղիղ լ 1 և լ 2-ը տրված է (1) հավասարումներով: Հետո և միայն այն ժամանակ.

1) ուղիղները հատվում են, երբ λ այնպիսի թիվ չկա, որ

A 1 =λA 2, B 1 =λB 2;

2) տողերը համընկնում են, երբ կա λ այնպիսի թիվ, որ

A 1 =λA 2, B 1 =λB 2, C 1 =λC 2;

3) ուղիղները հստակ և զուգահեռ են, երբ կա λ այնպիսի թիվ, որ

A 1 =λA 2, B 1 =λB 2, C 1 λC 2:

Ուղիղ գծերի փունջ

Մի փունջ ուղիղ գծեր որոշակի կետով անցնող հարթության բոլոր ուղիղների բազմությունն է, որը կոչվում է կենտրոն ճառագայթ.

Ճառագայթների հավասարումը ճշտելու համար բավական է իմանալ ցանկացած երկու ուղիղ գիծ լ 1 և լ 2, որն անցնում է ճառագայթի կենտրոնով:

Թող ուղիղ գծերը աֆինային կոորդինատային համակարգում լ 1 և լ 2 տրված են հավասարումներով

լ 1: A 1 x+ B 1 y+ C 1 = 0,

լ 2: A 2 x+ B 2 y+ C 2 = 0:

Հավասարում:

Ա 1 x+ B 1 y+ C + λ (A 2 X+ B 2 y+ C) = 0

- l 1 և l 2 հավասարումներով սահմանված տողերի մատիտի հավասարումը:

Հետագայում կոորդինատային համակարգով մենք կհասկանանք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ .

Երկու ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանները

Թող տողերը տրվեն լ 1 և լ 2. նրանց ընդհանուր հավասարումները; = (A 1 ,B 1), = (A 2 ,B 2) - այս տողերի նորմալ վեկտորները; կ 1 = tgα 1, կ 2 = tanα 2 - անկյունային գործակիցներ; = ( մ 1 ,n 1), (մ 2 ,n 2) – ուղղության վեկտորներ. Հետո՝ ուղիղ լ 1 և լ 2-ը զուգահեռ են, եթե և միայն եթե հետևյալ պայմաններից մեկը ճիշտ է.

կամ կամ կ 1 =կ 2, կամ.

Թող հիմա ուղիղ լինի լ 1 և լ 2-ը ուղղահայաց են: Այնուհետեւ, ակնհայտորեն, այսինքն, A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0:

Եթե ​​ուղիղ լ 1 և լ 2 տրված են համապատասխանաբար հավասարումներով

լ 1: ժամը=կ 1 x+ բ 1 ,

լ 2: ժամը=կ 2 x+ բ 2 ,

ապա tanα 2 = tan(90º+α) = .

Դրանից բխում է

Ի վերջո, եթե և ուղղության վեկտորները ուղիղ են, ապա ^, այսինքն

մ 1 մ 2 + n 1 n 2 = 0

Վերջին հարաբերությունն արտահայտում է երկու հարթությունների ուղղահայացության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը։

Անկյուն երկու ուղիղ գծերի միջև

Երկու ուղիղ գծերի միջև φ անկյան տակ լ 1 և լ 2 մենք կհասկանանք ամենափոքր անկյունը, որով մեկ ուղիղը պետք է պտտվի այնպես, որ այն զուգահեռ դառնա կամ համընկնի մեկ այլ ուղիղ գծի հետ, այսինքն՝ 0 £ φ £

Թող գծերը տրվեն ընդհանուր հավասարումներով: Ակնհայտ է, որ

cosφ=

Թող հիմա ուղիղ լինի լ 1 և լ 2-ը տրվում է թեքության գործակիցներով հավասարումներով կ 1 դյույմ կ 2 համապատասխանաբար: Հետո

Ակնհայտ է, որ, այսինքն ( X-X 0) + B( ժամը-ժամը 0) + C( զ-զ 0) = 0

Բացենք փակագծերը և նշանակենք D= -A x 0 - Վ ժամը 0 - C զ 0 . Մենք ստանում ենք

Ա x+Բ y+ Գ զ+ D = 0 (*)

- հարթության հավասարումը մեջ ընդհանուր տեսարան կամ ընդհանուր հարթության հավասարումը.

Թեորեմ 3.1 Գծային հավասարում(*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) հարթության հավասարումն է և հակառակը, հարթության ցանկացած հավասարում գծային է։

1) D = 0, ապա ինքնաթիռն անցնում է սկզբնակետով:

2) A = 0, ապա հարթությունը զուգահեռ է OX առանցքին

3) A = 0, B = 0, ապա հարթությունը զուգահեռ է OXY հարթությանը:

Թող հավասարման բոլոր գործակիցները տարբերվեն զրոյից:

- հարթության հավասարումը հատվածներում. Թվերը |ա|, |բ|, |գ| նշեք հարթության կողմից կտրված հատվածների արժեքները կոորդինատային առանցքների վրա: