Horner շղթա - օրինակներ և ալգորիթմներ բազմանդամի լուծման համար: «Հորների սխեման» թեմայի ներկայացում Հորներ սխեման հզորությունների մեջ բազմանդամի ընդլայնում առցանց

Բեզուտի թեորեմ, չնայած իր թվացյալ պարզությանը և ակնհայտությանը, բազմանդամների տեսության հիմնական թեորեմներից է։ Այս թեորեմում բազմանդամների հանրահաշվական բնութագրերը (դրանք թույլ են տալիս բազմանդամների հետ աշխատել որպես ամբողջ թվեր) կապված են դրանց ֆունկցիոնալ բնութագրերի հետ (որոնք թույլ են տալիս բազմանդամները համարել ֆունկցիաներ)։

Բեզուտի թեորեմնշում է, որ բազմանդամը բազմանդամի վրա բաժանելիս մնացորդը կազմում է.

Բազմանդամի գործակիցները գտնվում են միասնությամբ որոշ փոխադարձ օղակի մեջ (օրինակ՝ իրական կամ բարդ թվերի դաշտում)։

Բեզուտի թեորեմ՝ ապացույց.

Բազմանդամը բաժանիր մնացորդի հետ P(x)դեպի բազմանդամ (x-a):

Ելնելով այն հանգամանքից, որ աստիճան R(x)< deg (x-a) = 1 - զրոյից ոչ բարձր աստիճանի բազմանդամ: Մենք փոխարինում ենք, քանի որ ստանում ենք .

Բայց ամենակարևորը ոչ թե թեորեմն է, այլ Բեզութի թեորեմի հետևանքը.

1. Թիվը բազմանդամի արմատն է P(x)հետո և միայն այն ժամանակ, երբ P(x)բաժանվում է երկանդամի առանց մնացորդի x-a.

Դրա հիման վրա բազմանդամի արմատների բազմությունը P(x)նույնական է համապատասխան հավասարման արմատների բազմությանը x-a.

2. Բազմանդամի ազատ անդամը բաժանվում է ամբողջ թվով գործակից ունեցող բազմանդամի ցանկացած ամբողջ արմատի վրա (երբ առաջատար գործակիցը հավասար է մեկի, բոլոր ռացիոնալ արմատները ամբողջ թիվ են):

3. Ենթադրենք, որ դա կրճատված բազմանդամի ամբողջական արմատն է P(x)ամբողջ թվային գործակիցներով։ Սա նշանակում է, որ ցանկացած ամբողջ թվի համար թիվը բաժանվում է .

Բեզութի թեորեմը հնարավորություն է տալիս, գտնելով բազմանդամի մեկ արմատը, հետագայում փնտրել այն բազմանդամի արմատները, որոնց աստիճանն արդեն 1-ով պակաս է. եթե , ապա այս բազմանդամը P(x)կունենա հետևյալ տեսքը.

Բեզութի թեորեմի օրինակներ.

Գտե՛ք մնացորդը բազմանդամը երկանդամի վրա բաժանելիս:

Բեզութի թեորեմի լուծումների օրինակներ.

Բեզութի թեորեմի հիման վրա պահանջվող մնացորդը համապատասխանում է կետում գտնվող բազմանդամի արժեքին։ Այնուհետև մենք կգտնենք, դրա համար արժեքը փոխարինում ենք բազմանդամի արտահայտության մեջ՝ փոխարենը: Մենք ստանում ենք.

ՊատասխանելՄնացածը = 5:

Հորների սխեման.

Horner սխեմանբազմանդամների բաժանման (բաժանում Հորների սխեմայով) ալգորիթմ է, որը գրված է հատուկ դեպքի համար, եթե գործակիցը հավասար է երկանդամին։

Եկեք կառուցենք այս ալգորիթմը.

Ենթադրենք, որ դա է դիվիդենտը

գործակիցը (դրա աստիճանը հավանաբար մեկով պակաս կլինի), r- մնացորդ (քանի որ բաժանումն իրականացվում է բազմանդամով 1-ինաստիճան, ապա մնացորդի աստիճանը մեկով պակաս կլինի, այսինքն. զրո, ուստի մնացորդը հաստատուն է):

Մնացորդով բաժանման սահմանմամբ P(x) = Q(x) (x-a) + r. Բազմանդամ արտահայտությունները փոխարինելուց հետո ստանում ենք.

Բացում ենք փակագծերը և գործակիցները հավասարեցնում նույն հզորություններին, որից հետո շահաբաժնի և բաժանարարի գործակիցների միջոցով արտահայտում ենք քանորդի գործակիցները.

Հաշվարկները հարմար է ամփոփել հետևյալ աղյուսակում.

Այն ընդգծում է այն բջիջները, որոնց բովանդակությունը ներգրավված է հաջորդ քայլի հաշվարկներում:

Horner սխեմայի օրինակներ.

Ենթադրենք, մենք պետք է բազմանդամը բաժանենք երկանդամի x-2.

Մենք երկու շարքով աղյուսակ ենք ստեղծում: 1 տողում դուրս ենք գրում մեր բազմանդամի գործակիցները։ Երկրորդ տողում մենք կստանանք թերի քանորդի գործակիցները հետևյալ սխեմայի համաձայն՝ նախ վերագրում ենք այս բազմանդամի առաջատար գործակիցը, ապա հաջորդ գործակիցը ստանալու համար գտնված վերջինը բազմապատկում ենք. a=2և գումարել բազմանդամի համապատասխան գործակցով F(x). Ամենավերջին գործակիցը կլինի մնացորդը, իսկ բոլոր նախորդները կլինեն ոչ լրիվ գործակիցի գործակիցները։

1. Բաժանել 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 վրա x - 1օգտագործելով Հորների սխեման:

Լուծում:

Կազմենք երկու տողից բաղկացած աղյուսակ՝ առաջին տողում գրում ենք 5 բազմանդամի գործակիցները. x 4 +5x 3 +x 2 −11, դասավորված փոփոխականի աստիճանների նվազման կարգով x. Նշենք, որ այս բազմանդամը չի պարունակում xառաջին աստիճանում, այսինքն. գործակից առաջ xառաջին աստիճանին հավասար է 0-ի. Քանի որ բաժանում ենք x−1, ապա երկրորդ տողում գրում ենք մեկը.

Սկսենք լրացնել երկրորդ տողի դատարկ բջիջները։ Երկրորդ շարքի երկրորդ բջիջում մենք գրում ենք համարը 5 , ուղղակի տեղափոխելով այն առաջին տողի համապատասխան բջիջից.

Լրացնենք հաջորդ բջիջը այս սկզբունքով. 1⋅ 5 + 5 = 10 :

Նույն կերպ լրացնենք երկրորդ շարքի չորրորդ բջիջը. 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Հինգերորդ բջիջի համար մենք ստանում ենք. 1⋅ 11 + 0 = 11 :

Եվ վերջապես, վերջին՝ վեցերորդ բջիջի համար մենք ունենք. 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

Խնդիրը լուծված է, մնում է գրել պատասխանը.

Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ տողում գտնվող թվերը (մեկ և զրոյի միջև) 5-ը բաժանելուց հետո ստացված բազմանդամի գործակիցներն են։ x 4 +5x 3 +x 2 −11 մեկ x−1. Բնականաբար, քանի որ սկզբնական բազմանդամի աստիճանը 5 է x 4 +5x 3 +x 2 −11-ը հավասար էր չորսի, ապա ստացված բազմանդամի աստիճանը 5 է x 3 +10x 2 +11x+11-ը մեկով պակաս է, այսինքն. հավասար է երեքի։ Երկրորդ տողի վերջին թիվը (զրո) նշանակում է 5 բազմանդամի բաժանման մնացորդը x 4 +5x 3 +x 2 −11 մեկ x−1.
Մեր դեպքում մնացորդը զրո է, այսինքն. բազմանդամները հավասարապես բաժանվում են. Այս արդյունքը կարելի է բնութագրել նաև հետևյալ կերպ՝ բազմանդամի արժեքը 5 է x 4 +5x 3 +x 2 -11 ժամը x=1 հավասար է զրոյի:
Եզրակացությունը կարելի է ձևակերպել նաև այս ձևով՝ քանի որ բազմանդամի արժեքը 5 է x 4 +5x 3 +x 2 -11 ժամը x=1 հավասար է զրոյի, ապա միասնությունը 5 բազմանդամի արմատն է x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. Գտի՛ր բազմանդամի բաժանման մնացորդը

Ա(X) = X 3 – 2X 2 + 2X- 1 երկնիշի համար X – 1.

Լուծում:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

Պատասխան. Ք(x) = X 2 – X + 1 , Ռ(x) = 0.

3. Հաշվիր բազմանդամի արժեքը Ա(X) ժամը X = – 1 եթե Ա(X) = X 3 – 2 X – 1.

Լուծում:

			– 2	– 1
α = – 1		– 1	– 1

Պատասխան. Ա(– 1) = 0.

4. Հաշվիր բազմանդամի արժեքըԱ(X) ժամը X= 3, թերի քանորդ ևմնացորդ, որտեղ

Ա(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.

Լուծում:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

Պատասխան. Ռ(x) = Ա(3) = 535, Ք(x) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.

5. Գտե՛ք հավասարման արմատներըX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.

Լուծում:

Գտե՛ք ±1 ազատ անդամի բաժանարարները; ± 2; ± 3; ± 6

Այստեղ a = 1 (x – 1 = x – a), իսկ դիվիդենտի բազմանդամի գործակիցները համապատասխանաբար հավասար են.
1, 4, 1, – 6. Մենք աղյուսակ ենք կառուցում Horner սխեմայի կիրառման համար.

Չուվաշի Հանրապետության կրթության և երիտասարդության քաղաքականության նախարարություն

BOU DP(PK)S «Chuvash Institute of Education» Չուվաշիայի կրթության նախարարություն

Դասընթացներ

Ընտրովի դասընթաց « Բարձրագույն աստիճանի հավասարումների լուծման տեխնիկա և մեթոդներ»

Ավարտել է մաթեմատիկայի ուսուցիչը

ՄԲՈՒ «Թիվ 49 միջնակարգ դպրոց խորացված

ուսումնասիրելով առանձին առարկաներ»

Չեբոկսարի

Ռումյանցևա Յուլիա Իզոսիմովնա

Չեբոկսարի

Դասի թեման. Բազմանդամի արմատները. Horner սխեման

Դասի նպատակը.

սովորեցնել, թե ինչպես գտնել բազմանդամի արժեքը և դրա արմատները՝ օգտագործելով Բեզութի թեորեմը և Հորների սխեման.

զարգացնել բազմանդամների արմատները գտնելու հմտություններ;

սովորեցնել ամփոփել և համակարգել նյութը.

զարգացնել հաշվողական հմտություններ, կենտրոնացում, ինքնակառավարման գործառույթներ;

զարգացնել ինքնավստահություն և աշխատասիրություն.

Դասի պլան.

I. Կազմակերպչական պահ

VI. Անկախ աշխատանք

VIII. Տնային առաջադրանք

ԴԱՍԻ ԱՅՑԸ

I. Կազմակերպչական պահ

Տեղեկացնել դասի թեման, ձևակերպել դասի նպատակները:

II. Ուսանողների գիտելիքների թարմացում

1. Տնային աշխատանքների ստուգում.

ա) Գտեք GCD ((x 6 – 1); (x 8 – 1)) Էվկլիդեսյան ալգորիթմի միջոցով (աշակերտը պատրաստում է գրատախտակի վրա).

Լուծում:

GCD ((x 6 – 1); (x 8 – 1)) = x 2 – 1:

Պատասխանել: x 2 – 1 .

բ) Պարզեք, արդյոք բազմանդամը բաժանելի է f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 on (x – 1), (x + 1), (x – 2) (ստուգված է առջևից):

Լուծում. Բեզութի թեորեմով, եթե f(1) = 0, Դա f(x)բաժանված է (x – 1). Եկեք ստուգենք այն:

f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x)-ը չի բաժանվում (x – 1-ի);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x)-ը բաժանվում է (x – 2-ի):

ՊատասխանելԲաժանվում է (x – 2-ի):

գ) P(x) բազմանդամը, երբ բաժանվում է (x – 1)-ի, ստանում է մնացորդ 3, իսկ երբ բաժանվում է (x – 2) տալիս է մնացորդ 5. Գտե՛ք մնացորդը P(x) բազմանդամը (x 2 – 3 x + 2-ի) բաժանելիս:

(Լուծումը նախագծված է էկրանին կամ նախապես գրված է գրատախտակին)։

Լուծում.

P(x) = (x – 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2 (x) + 5 (2)
(1) և (2)-ից հետևում է, որ P (1) = 3, P (2) = 5.
Թող P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b կամ
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)

Հերթականորեն փոխարինելով x = 1-ը և x = 2-ը (3), մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ, որից a = 2, b = 1:

Պատասխանել 2 x + 1:

դ) Ինչ մ և nբազմանդամ x 3 + m x + n ցանկացածի համար xբաժանվում է x 2 + 3 x + 10-ի առանց մնացորդի:

Լուծում. «Անկյունով» բաժանելիս ստանում ենք x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)):

Որովհետև բաժանումն իրականացվում է առանց մնացորդի, այնուհետև (m – 1) x + (n + 30) = 0, և դա հնարավոր է (ցանկացած x-ի համար) միայն այն դեպքում, երբ m = 1, n = –30:

Պատասխանել m = 1, n = –30:

2. Տեսական հարցում

ա) Ինչպես կարդալ թեորեմը

բ) Բերե՛ք օրինակ, որտեղ օգտագործվում է Բեզութի թեորեմը:

գ) Երկու բազմանդամների բազմապատկման կանոնից ինչպե՞ս գտնել արտադրյալի առաջատար գործակիցը.

դ) Արդյո՞ք բազմանդամը զրո աստիճան ունի:

III. Պատրաստվում է նոր նյութ ուսումնասիրելու

Բազմանդամում, ինչպես ցանկացած բառացի արտահայտության մեջ, կարող եք թվերը փոխարինել փոփոխականի փոխարեն, և արդյունքում այն ​​վերածվում է թվային արտահայտության, այսինքն՝ ի վերջո թվի։ Խնդիրները լուծելու համար երկու կարևոր նկատառում անենք.

Իմաստըf(0)հավասար է բազմանդամի ազատ անդամին։

Իմաստըf(1)հավասար է բազմանդամի գործակիցների գումարին։

Բազմանդամի արժեքները գտնելը որևէ հիմնարար դժվարություն չի ներկայացնում, բայց հաշվարկները կարող են բավականին ծանր լինել: Հաշվարկները պարզեցնելու համար կա մի տեխնիկա, որը կոչվում է Հորների սխեման, որն անվանվել է 16-րդ դարի անգլիացի մաթեմատիկոսի անունով: Այս սխեման բաղկացած է երկու տողերի որոշ աղյուսակի լրացումից:

Օրինակ՝ բազմանդամի արժեքը հաշվարկելու համար f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 x = 7-ի համար (այսինքն՝ պարզել, թե արդյոք այն բաժանվում է (x – 7)-ի վրա՝ օգտագործելով Բեզութի թեորեմը), պետք է փոխարինել թիվը։ x 7 . Եթե ​​f(7) = 0, ապա f(x) բաժանված է առանց մնացորդի. Եթե ​​f(7 ) ոչ հավասար 0, ապա f(x) մնացորդով բաժանվում է (x – 7): Որպեսզի ավելի հեշտ լինի գտնել f(7) արժեքը, մենք օգտագործում ենք Հորների սխեման: Լրացնենք երկշարք աղյուսակ՝ օգտագործելով հետևյալ ալգորիթմը.

1. Առաջինը գրվում է գործակցի տողը.
2. Առաջատար գործակիցը կրկնօրինակվում է երկրորդ տողում, և դրան նախորդում է փոփոխականի արժեքը (մեր դեպքում՝ 7 թիվը), որով հաշվում ենք բազմանդամի արժեքը։

Ստացվում է աղյուսակ, որի դատարկ բջիջները պետք է լրացվեն։

Աղյուսակ 1

3. Դա արվում է մեկ կանոնի համաձայն՝ աջ կողմում գտնվող դատարկ բջիջի համար 2 թիվը բազմապատկվում է 7-ով և ավելացվում է դատարկ բջիջի վերևում գտնվող թվին: Պատասխանը գրված է առաջին դատարկ խցում։ Դա արվում է մնացած դատարկ բջիջները լրացնելու համար: Այսպիսով, առաջին դատարկ բջիջում դրված է 2 7 – 9 = 5 թիվը, երկրորդ դատարկ վանդակում դրված է 5 թիվը 7 – 32 = 3, երրորդում՝ 3 7 + 0 = 21 թիվը, իսկ մեջ. վերջին 21 7 – 57 = 90: Ամբողջությամբ այս աղյուսակն ունի հետևյալ տեսքը.

Աղյուսակ 2

Երկրորդ տողի վերջին թիվը պատասխանն է.

Մեկնաբանություն:Համակարգչի վրա բազմանդամի արժեքները հաշվարկելու ծրագիր կազմվում է Հորների սխեմայի համաձայն:

IV. Սովորած նյութի ամրապնդում

Դիտարկենք թիվ 1 (բ) տնային առաջադրանքի լուծումը Հորների սխեմայով։ Այսպիսով, օգտագործելով Հորների սխեման, պարզեք, թե (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 բազմանդամը բաժանվում է (x – 1), (x + 1), (x) վրա։ - 2) . Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է ստուգել մի քանի արժեքներ, ապա հաշվարկները փրկելու համար կառուցեք մեկ համակցված սխեման:

Աղյուսակ 3

Երրորդ, չորրորդ և հինգերորդ տողերի վերջին սյունակում բաժանման մնացորդներն են: Այնուհետև f(x)-ն առանց մնացորդի բաժանվում է (x – 2-ի), քանի որ r = 0:

V. Գտնել բազմանդամի արմատները

Բեզութի թեորեմը հնարավորություն է տալիս, գտնելով բազմանդամի մեկ արմատը, հետագայում փնտրել այն բազմանդամի արմատները, որի աստիճանը մեկով պակաս է: Երբեմն օգտագործելով այս տեխնիկան, որը կոչվում է «աստիճանի նվազեցում», դուք կարող եք գտնել բազմանդամի բոլոր արմատները:

Մասնավորապես, ընտրելով խորանարդ հավասարման մեկ արմատը, դրանով իսկ իջեցնելով աստիճանը, հնարավոր է այն ամբողջությամբ լուծել՝ լուծելով ստացված քառակուսի հավասարումը։

Նման խնդիրներ լուծելիս նույն Հորների սխեման մեծ օգուտ է բերում։ Այնուամենայնիվ, իրականում Հորների սխեման շատ ավելին է տալիս. երկրորդ տողի թվերը (չհաշված վերջինը) մասնակի ճյուղի գործակիցներն են (x – a):

Աղյուսակ 3-ում:

Օրինակ 1.Գտե՛ք f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3) բազմանդամի արմատները:

Լուծում. Ազատ անդամի բաժանարարները՝ – 1, 1, – 3, 3 կարող են լինել բազմանդամի արմատներ: x = 1-ում ակնհայտորեն գործակիցների գումարը զրո է: Սա նշանակում է, որ x 1 = 1 արմատ է: Օգտագործելով Հորների սխեման՝ ստուգենք թվի արմատը՝ 1 և ազատ անդամի այլ բաժանարարներ։

Աղյուսակ 4

x = –1 - արմատ
երկրորդ անգամ x = –1 արմատ չէ
եկեք ստուգենք x = 3
x = 3 – արմատ:
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,

Մեկնաբանություն. Բազմանդամի արմատները գտնելիս պետք չէ անհարկի ճշգրիտ հաշվարկներ կատարել այն դեպքերում, երբ ակնհայտ կոպիտ գնահատականները հանգեցնում են ցանկալի արդյունքի:
Օրինակ, Հորների սխեման՝ 31 և – 31 արժեքները որպես x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 բազմանդամի «թեկնածու արմատներ» ստուգելու համար կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Աղյուսակ 5

31-ը և – 31-ը x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 բազմանդամի արմատներ չեն:

Օրինակ 2.Գտե՛ք f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55 բազմանդամի արմատները։

Լուծում. 55-ի բաժանարարները՝ – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55: Նկատի ունեցեք, որ – 1-ը և 1-ը բազմանդամի արմատներ չեն: Մնացած բաժանարարները պետք է ստուգվեն:

Մեկնաբանություն. Ուսանողների համար շատ կարևոր է տիրապետել Հորների «երկար» սխեմային: Այս օրինակում «երկար» սխեման հարմար է:

Աղյուսակ 6

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, առանց արմատների:

Պատասխան. ոչ մի արմատ:

VI. Անկախ աշխատանք

Գրատախտակի վրա երեք հոգի որոշում են հետագա ստուգման համար:

Գտե՛ք բազմանդամի արմատները Հորների սխեմայով.

ա) f (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;

Պատասխան. – 1; 2; – 3.

բ) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;

Պատասխան. 1; 2; 3.

գ) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4:

Պատասխան.

(Թեստն անցկացվում է զույգերով, տրվում են գնահատականներ):

VII. Ուսանողների հետազոտական ​​աշխատանք

– Տղերք, չե՞ք նկատել, թե որ բազմանդամներն ենք հիմնականում սովորել դասարանում։

(Ուսանողների պատասխանները):

– Այո, սրանք բազմանդամներ են՝ ամբողջ թվային գործակիցներով և k = 1 առաջատար անդամով:

– Ի՞նչ թվերով են ստացվել պատասխանները։

(Ուսանողների պատասխանները):

– Ճիշտ է, ամբողջ թվային գործակիցներով և k = 1 առաջատար տերմինով բազմանդամի արմատները կամ ամբողջ թիվ են, կամ իռացիոնալ, կամ ամբողջ թիվ և իռացիոնալ, կամ չունեն արմատներ: Եզրակացությունը գրանցեք ձեր նոթատետրում:

VIII. Տնային առաջադրանք

1. Թիվ 129 (1, 3, 5, 6) – Ն. Յա – 10, էջ 78:
2. Իմացեք այս դասի տեսությունը:

IX. Ամփոփելով դասը և գնահատականներ տալով

գրականություն

Մ.Լ. Գալիցկի. Հանրահաշվի և մաթեմատիկական վերլուծության խորը ուսումնասիրություն: // Լուսավորություն, 1997

Գ.Վ. Դորոֆեև. Մեկ փոփոխականով բազմանդամներ: // Սանկտ Պետերբուրգ. Հատուկ գրականություն, 1997 թ

Ն.Յա. Վիլենկին. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծություն. 10-րդ դասարան // Կրթությունե

Բացատրական նշում.

Դասընթացը նախատեսված է մաթեմատիկական պատրաստվածության լավ մակարդակ ունեցող ֆիզիկամաթեմատիկական 10-րդ դասարանի ուսանողների համար և կոչված է օգնելու նրանց պատրաստվել մաթեմատիկայի տարբեր մրցույթներին և օլիմպիադաներին և նպաստել մաթեմատիկական լուրջ կրթության շարունակությանը: Այն ընդլայնում է հիմնական մաթեմատիկայի դասընթացը, առարկայական է և ուսանողներին հնարավորություն է տալիս ծանոթանալ մաթեմատիկայի հետաքրքիր, ոչ ստանդարտ հարցերին և ավելի բարձր կարգի հավասարումների լուծման մեթոդներին: Դասընթացը ներառում է տարբերակված ուսուցման հնարավորություն։

Դպրոցականներին ուղղորդելով որոնել ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների գեղեցիկ, էլեգանտ լուծումներ, ուսուցիչը դրանով նպաստում է ուսանողների գեղագիտական ​​դաստիարակությանը և կատարելագործում նրանց մաթեմատիկական մշակույթը: Դասընթացը դասագրքի շարունակությունն է, որը նախատեսում է դպրոցականներին սովորեցնել ինքնուրույն աշխատել և լուծել բարձրագույն աստիճանի հավասարումներ։ Դպրոցականներին նպատակաուղղված սովորեցնելով լուծել ավելի բարձր աստիճանի հավասարումներ, նրանց պետք է սովորեցնել դիտարկել, օգտագործել անալոգիա, ինդուկցիա, համեմատություններ և համապատասխան եզրակացություններ անել: Անհրաժեշտ է ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների միջոցով ուսանողների մեջ սերմանել ոչ միայն տրամաբանական դատողությունների, այլև ուժեղ էվրիստիկ մտածողության հմտություններ:

Դասընթացի նպատակներն ու խնդիրները.

Հետաքրքրության զարգացում մաթեմատիկայի, էվրիստիկական մտածողության նկատմամբ։

Նպաստել մաթեմատիկական լուրջ կրթության շարունակությանը.

Սովորեցնել, թե ինչպես ընտրել խնդիրների լուծման ռացիոնալ մեթոդ և արդարացնել կատարված ընտրությունը:

Նպաստել գիտական ​​մտածելակերպի ձևավորմանը.

Պատրաստվեք միասնական պետական ​​քննությանը.

Այս ընտրովի դասընթացը բաղկացած է 34 թեմատիկ դասից։

Ուսանողները տեղեկացվում են ընտրովի դասընթացի նպատակի և նպատակի մասին: Դասերը ներառում են տեսական և գործնական մասեր՝ դասախոսություններ, խորհրդատվական սեմինարներ, անկախ և հետազոտական ​​աշխատանք:

Բազմանդամների տեսության հիմնական սկզբունքների ուսումնասիրությունը թույլ է տալիս ընդհանրացնել Վիետայի թեորեմը ցանկացած աստիճանի հավասարումների համար։ Բազմանդամների բաժանման գործողություններ կատարելու ունակությունը ապագայում կհեշտացնի մաթեմատիկական վերլուծությունից առաջացած խնդիրների լուծումը:

Հորների սխեմայի և բազմանդամների ռացիոնալ արմատների թեորեմի ուսումնասիրությունը տալիս է հանրահաշվական ցանկացած արտահայտության ֆակտորինգի ընդհանուր մեթոդ: Իր հերթին, ավելի բարձր աստիճանի հավասարումներ լուծելու ունակությունը զգալիորեն կընդլայնի էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական և իռացիոնալ հավասարումների ու անհավասարությունների շրջանակը։

գրականություն

1. Գալիցկի Մ.Լ., Գոլդման Ա.Մ., Զվավիչ Լ.Ի. Հանրահաշվի խնդիրների ժողովածու 8-9-րդ դասարանների համար.

2 Վավիլով Վ.Վ., Մելնիկով Ի.Ի., Օլեհնիկ Ս.Ն., Պասիչենկո Պ.Ի. Մաթեմատիկական խնդիրներ. Հանրահաշիվ.

3 Օլեհնիկ Ս.Ն., Պասիչենկո Պ.Ի. Հավասարումների և անհավասարությունների լուծման ոչ ստանդարտ մեթոդներ.

4 ..Վավիլով Վ.Վ., Մելնիկով Ի.Ի., Օլեհնիկ Ս.Ն., Պասիչենկո Պ.Ի. Հավասարումներ և անհավասարություններ.

5. Շարիգին Ի.Ֆ. Մաթեմատիկայի ընտրովի դասընթաց.

Դասընթացի նպատակներն ու խնդիրները 1

Գրականություն 4

Հավելված 6

Ձևի բազմանդամը
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
կարող է ֆակտորիզացվել Հորների սխեմայի համաձայն,եթե հայտնի է նրա արմատներից առնվազն 1-ը։

Դիտարկենք բաժանումը ըստ Հորների սխեմայի՝ օգտագործելով օրինակ.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

Նախ անհրաժեշտ է գտնել մեկ արմատ, օգտագործելով ընտրության մեթոդը: Սովորաբար դա ազատ անդամի բաժանարար է։ Այս դեպքում թվի բաժանարարները -10 են ±1, ±2, ±5, ±10:Սկսենք դրանք հերթով փոխարինել.

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ համար 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ համար -1 բազմանդամի արմատն է

Մենք գտել ենք բազմանդամի արմատներից 1-ը։ Բազմանանդամի արմատն է -1, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական բազմանդամը պետք է բաժանվի x+1. Բազմանդամների բաժանումը կատարելու համար մենք օգտագործում ենք Հորների սխեման.

	2	9	-10	-27	-10
-1

Բնօրինակ բազմանդամի գործակիցները ցուցադրվում են վերևի տողում: Մեր գտած արմատը տեղադրված է երկրորդ շարքի առաջին վանդակում -1. Երկրորդ տողը պարունակում է բաժանման արդյունքում ստացված բազմանդամի գործակիցները: Դրանք հաշվվում են այսպես.

2 9 -10 -27 -10 -1 2	Երկրորդ շարքի երկրորդ բջիջում մենք գրում ենք համարը 2, պարզապես այն տեղափոխելով առաջին շարքի համապատասխան բջիջից:
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

Վերջին թիվը բաժանման մնացորդն է: Եթե ​​դա հավասար է 0-ի, ուրեմն մենք ամեն ինչ ճիշտ ենք հաշվարկել։

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

Բայց սա դեռ վերջը չէ։ Նույն կերպ կարելի է փորձել ընդլայնել բազմանդամը 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10:

Կրկին մենք արմատ ենք փնտրում ազատ տերմինի բաժանարարների մեջ։ Ինչպես արդեն պարզել ենք, թվերի բաժանարարներ -10 են ±1, ±2, ±5, ±10:

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ համար 1 բազմանդամի արմատ չէ

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ համարը -1 բազմանդամի արմատ չէ

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ համար 2 բազմանդամի արմատն է

Եկեք գրենք գտնված արմատը մեր Horner սխեմայի մեջ և սկսենք լրացնել դատարկ բջիջները.

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	Երրորդ շարքի երկրորդ բջիջում գրում ենք համարը 2, պարզապես տեղափոխելով այն երկրորդ շարքի համապատասխան բջիջից:
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

Այսպիսով, մենք գործոնացրեցինք սկզբնական բազմանդամը.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (x - 2) (2x 2 + 11x + 5)

Բազմանդամ 2x 2 + 11x + 5կարող է նաև ֆակտորիզացվել: Դա անելու համար դուք կարող եք լուծել քառակուսի հավասարումը դիսկրիմինանտի միջոցով, կամ կարող եք արմատը փնտրել թվի բաժանարարների մեջ: 5. Այսպես թե այնպես մենք կգանք այն եզրակացության, որ այս բազմանդամի արմատը թիվն է -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	Չորրորդ շարքի երկրորդ բջիջում գրում ենք համարը 2, պարզապես այն տեղափոխելով երրորդ շարքի համապատասխան բջիջից:
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

Այսպիսով, մենք տարրալուծեցինք սկզբնական բազմանդամը գծային գործակիցների:

Սովորաբար բազմանդամը ներկայացված է հետևյալ կերպ.

$f(x)=\sum\limits_(k=0)^(n) a_k x^k$

f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a k x k

Որտեղ ա կսրանք իրական թվեր են, որոնք ներկայացնում են բազմանդամի գործակիցները և
x kսրանք բազմանդամի փոփոխականներն են։

Վերոնշյալ բազմանդամը կոչվում է n-րդ աստիճանի բազմանդամ, այսինքն deg(f(x)) = n, Որտեղ nներկայացնում է փոփոխականի ամենաբարձր աստիճանը:

Բազմանդամի բաժանման Հորների սխեման բազմանդամի արժեքի հաշվարկը պարզեցնելու ալգորիթմ է։ f(x)որոշակի արժեքով x = x 0բազմանդամը միանդամների (1-ին աստիճանի բազմանդամներ) բաժանելու եղանակը. Յուրաքանչյուր մոնոմ ներառում է առավելագույնը մեկ բազմապատկման և մեկ գումարման գործընթաց: Մեկ միանդամից ստացված արդյունքը գումարվում է հաջորդ միանդամից ստացված արդյունքին և այլն՝ կուտակային եղանակով։ Այս տրոհման գործընթացը կոչվում է նաև սինթետիկ տրոհում։

Վերը նշվածը բացատրելու համար եկեք վերագրենք բազմանդամը ընդլայնված ձևով.

f(x 0) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 + ... + a n x 0 n

Սա կարելի է գրել նաև այսպես.

f(x 0) = a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + ... + (a n-1 + a n x 0)....)

Այս սխեմայով առաջարկվող ալգորիթմը հիմնված է վերևում ձևավորված մոնոմինների արժեքները գտնելու վրա՝ սկսած ավելի շատ փակագծերում ընդգրկվածներից և շարժվելով դեպի դուրս՝ գտնելու արտաքին փակագծերում մոնոմների արժեքները:

Ալգորիթմը գործարկվում է հետևյալ քայլերով.

1. Տրված է k = n
2. Թող b k = a k
3. Թող b k - 1 = a k - 1 + b k x 0
4. Թող k = k - 1
5. Եթե k ≥ 0, ապա վերադարձեք 3-րդ քայլին
հակառակ դեպքում Վերջ

Այս ալգորիթմը կարելի է պատկերացնել նաև գրաֆիկորեն՝ հաշվի առնելով այս 5-րդ աստիճանի բազմանդամը.

f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5

որի արժեքը գտնվում է որպես x = x 0, այն վերադասավորելով հետևյալ կերպ.

f(x 0) = a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + x 0 (a 4 + a 5 x 0))))

Այս ալգորիթմի միջոցով արդյունքները ներկայացնելու մեկ այլ եղանակ է ստորև բերված աղյուսակը.

Այսպիսով, f(2) = 83:

Ինչու՞ պետք է դա անենք:

Սովորաբար, փոփոխականի որոշակի արժեքի համար բազմանդամի արժեքները գտնելիս մենք սովոր ենք այդ արժեքը փոխարինել բազմանդամի մեջ և կատարել հաշվարկներ: Կարող ենք նաև համակարգչային ծրագիր մշակել մաթեմատիկական հաշվարկի համար, որն անհրաժեշտություն է, երբ գործ ունենք բարձր աստիճանի բարդ բազմանդամների հետ։

Այն մեթոդը, որով համակարգիչը լուծում է խնդիրը, մեծապես կախված է նրանից, թե դուք՝ որպես ծրագրավորող, ինչպես եք այն նկարագրում համակարգչին: Դուք կարող եք մշակել ձեր ծրագիրը՝ գտնելու բազմանդամի արժեքը՝ փոփոխականի արժեքի ուղղակի փոխարինմամբ կամ օգտագործել Հորների սխեմայում տրված սինթետիկ բաժանումը։ Այս երկու մոտեցումների միակ տարբերությունն այն արագությունն է, որով համակարգիչը լուծում կգտնի տվյալ դեպքի համար։

Horner շղթայի առավելությունն այն է, որ այն նվազեցնում է բազմապատկման գործողությունների քանակը: Հաշվի առնելով, որ յուրաքանչյուր բազմապատկման գործընթացի մշակման ժամանակը 5-ից 20 անգամ ավելի է, քան գումարման գործընթացի մշակման ժամանակը, դուք կարող եք պնդել, որ Հորների սխեմայով բազմանդամի արժեքը գտնելու ծրագիր կառուցելը զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկի վրա ծախսվող ժամանակը: համակարգիչ։