Թվի հզորություն՝ սահմանումներ, նշանակում, օրինակներ: Թվի հզորություն. սահմանումներ, նշումներ, օրինակներ Հզորությունը բնական ցուցիչով, թվի քառակուսի, թվի խորանարդ

«Համեմատական ​​աստիճան» - Նույն փոսում ապրում էր մի լաստանավ: Ն.ֆ. Խելացի + ԱՎԵԼԻՆ - ավելի խելացի Ն.ֆ. Smart + LESS - ավելի քիչ խելացի: Դերը նախադասության մեջ. Մեր պակաս ճարպիկ շները գնում են ցեղերի ժամանակ մկներին ուրախացնելու: Քաղաքային ուսումնական հաստատություն«Էլգայի գլխավոր միջնակարգ դպրոց« Համստերն ավելի ճարպիկ է, քան քոթոթը: Մի կերպ մեր կոշիկը քարշ տվեց ոչ այնքան ճարպիկ հարևանի լակոտը:

«Բնական ցուցիչով աստիճան» - Բնական և ամբողջ թվով ցուցիչով աստիճան: (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1։ Բնական ցուցիչով աստիճանի հատկությունները. Աստիճանի որոշում բնական ցուցիչով. 1-ը ցանկացած հզորության հավասար է 1-ի 1n=1: Ի՞նչ է աստիճանը: Ինչպես գրել կարճ. Ուժերը բազմապատկելով նույն հիմքերով. N պայմաններ. 10n=100000…0.

«Աստիճան ամբողջ թվի ցուցիչով» - Հաշվել: Արտահայտեք արտահայտությունը որպես ուժ: Արտահայտե՛ք x-12 արտահայտությունը որպես x հիմքով երկու հզորությունների արտադրյալ, եթե հայտնի է մեկ գործակից: Դասավորել նվազման կարգով: Պարզեցնել. X-ի ո՞ր արժեքների համար է ճիշտ հավասարությունը:

«Երրորդ աստիճանի հավասարումներ» - (երրորդ դեպքում՝ նվազագույնը, չորրորդում՝ առավելագույնը): Առաջին և երկրորդ դեպքերում ասում ենք, որ ֆունկցիան միապաղաղ է x = կետում: Մեր բանաձևը տալիս է «Մեծ արվեստ»: Ուստի Տարտալյան թույլ տվեց իրեն համոզել։ Լեմմա. Երրորդ և չորրորդ դեպքերում ասում ենք, որ ֆունկցիան ունի ծայրահեղություն x = կետում: Բացելով փակագծերը.

«Աստիճանի հատկություններ» - գիտելիքի և հմտությունների ընդհանրացում աստիճանի հատկությունները բնական ցուցանիշով կիրառելու համար: Բնական ցուցիչով աստիճանի հատկությունները. Մտքերի փոթորիկ. Ո՞ր թվի խորանարդն է 64: Հաշվարկային դադար. Բնական ցուցիչով աստիճանի հատկությունները. Համառության, մտավոր գործունեության և ստեղծագործական գործունեության զարգացում:

«N-րդ աստիճանի արմատ» - Սահմանում 2. Ա). Եկեք հավասարման երկու կողմերը խորանարդենք. - Արմատական ​​արտահայտություն: Դիտարկենք x հավասարումը. = 1. Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ հասցնենք չորրորդ աստիճանի. Եկեք գծենք y = x ֆունկցիաները: և y = 1.-ի n-րդ արմատի հասկացությունը իրական թիվ. Եթե ​​n-ը կենտ է, ապա մեկ արմատ. Կառուցենք y = x ֆունկցիաների գրաֆիկները: և y = 1:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս բաժինը քննարկում է հայեցակարգը աստիճաններ միայն բնական ցուցիչովև զրո:

Ռացիոնալ ցուցիչներով (բացասական և կոտորակային) հզորությունների հայեցակարգը և հատկությունները կքննարկվեն 8-րդ դասարանի դասերին:

Այսպիսով, եկեք պարզենք, թե ինչ է թվի ուժը:Թվի արտադրյալն ինքնին գրելու համար մի քանի անգամ օգտագործվում է կրճատ նշումը։

Վեց միանման գործակիցների արտադրյալի փոխարեն՝ 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, գրեք 4 6 և ասեք «չորս վեցերորդ աստիճանին»:

4 4 4 4 4 4 = 4 6

4 6 արտահայտությունը կոչվում է թվի ուժ, որտեղ.

• 4 — աստիճանի հիմք;
• 6 — ցուցիչ.

IN ընդհանուր տեսարան«a» հիմքով և «n» ցուցիչով աստիճանը գրվում է՝ օգտագործելով արտահայտությունը.

Հիշիր.

1-ից մեծ «n» բնական ցուցիչ ունեցող «a» թվի հզորությունը «n» նույնական գործոնների արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը. թվին հավասար«ա».

«a n» մուտքը կարդում է այսպես.

Բացառություն են կազմում հետևյալ գրառումները.

• ա 2 - այն կարելի է արտասանել որպես «քառակուսի»;
• ա 3 - այն կարելի է արտասանել որպես «խորանարդ»:

• ա 2 - «ա դեպի երկրորդ ուժ»;
• ա 3 - «ա դեպի երրորդ ուժ»:

Հատուկ դեպքեր են առաջանում, եթե ցուցիչը մեկին հավասարկամ զրո (n = 1; n = 0):

Հիշիր.

n = 1 ցուցիչով «a» թվի հզորությունը հենց այս թիվն է.
ա 1 = ա

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:
a 0 = 1

Ցանկացած բնական հզորության զրո հավասար է զրոյի:
0 n = 0

Մեկը ցանկացած հզորության հավասար է 1-ի:
1 n = 1

Արտահայտություն 0 0 ( զրոյից մինչև զրոյական հզորություն) համարվում են անիմաստ:

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Օրինակներ լուծելիս պետք է հիշել, որ հզորության բարձրացումը նշանակում է թվային կամ տառային արժեք գտնելը այն հզորության հասցնելուց հետո:

Օրինակ. Բարձրացնել մի ուժի:

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Բացասական թվի բարձրացում դեպի ուժ

Հիմքը (թիվը, որը բարձրացվում է մինչև հզորության) կարող է լինել ցանկացած թիվ՝ դրական, բացասական կամ զրո:

Հիշիր.

Դրական թիվը հասցնելով հզորության, ստացվում է դրական թիվ:

Երբ զրոն բարձրացվում է բնական հզորության, արդյունքը զրո է:

Երբ բարձրացվում է իշխանության բացասական թիվարդյունքը կարող է լինել կամ դրական, կամ բացասական թիվ: Դա կախված է նրանից, թե արդյոք ցուցանիշը զույգ է եղել, թե կենտ։

Դիտարկենք բացասական թվերը հզորությունների բարձրացման օրինակներ:

Դիտարկված օրինակներից պարզ է դառնում, որ եթե բացասական թիվը հասցվում է կենտ հզորության, ապա ստացվում է բացասական թիվ։ Քանի որ կենտ թվով բացասական գործոնների արտադրյալը բացասական է:

Եթե ​​բացասական թիվը հասցվում է զույգ մեծության, այն դառնում է դրական թիվ:

Հիշիր.

Քանի որ զույգ թվով բացասական գործոնների արտադրյալը դրական է:

Բացասական թիվը, որը բարձրացվում է մինչև զույգ մեծության, դրական թիվ է:

Բացասական թիվը, որը բարձրացված է կենտ հզորության, բացասական թիվ է:

Ցանկացած թվի քառակուսին դրական թիվ է կամ զրո, այսինքն.

• a 2 ≥ 0 ցանկացած ա.
• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18

−5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Ուշադրություն դարձրեք.

Բարձրացման օրինակներ լուծելիս հաճախ սխալներ են թույլ տալիս՝ մոռանալով, որ (−5) 4 և −5 4 մուտքերը տարբեր արտահայտություններ են։ Այս արտահայտությունները իշխանության բարձրացման արդյունքները տարբեր կլինեն։

Հաշվարկել (−5) 4-ը նշանակում է գտնել բացասական թվի չորրորդ աստիճանի արժեքը։

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

1. Մինչդեռ «−5 4» գտնելը նշանակում է, որ օրինակը պետք է լուծվի 2 քայլով.
   5-րդ դրական թիվը բարձրացրեք չորրորդ աստիճանի:
2. 5 4 = 5 5 5 5 = 625
   −5 4 = −625

Ստացված արդյունքի դիմաց դրեք մինուս նշան (այսինքն՝ կատարեք հանման գործողություն)։

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. Օրինակ. Հաշվի՛ր՝ −6 2 − (−1) 4
2. −6 2 = −36
3. 6 2 = 6 6 = 36
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

(−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1

Ընթացակարգը օրինակներով աստիճաններով

Հիշիր.

Արժեքի հաշվարկը կոչվում է հզորացման գործողություն: Սա երրորդ փուլի ակցիան է։ Փակագծեր չպարունակող ուժերով արտահայտություններում նախ արեքհզորացում , ապաբազմապատկում և բաժանում , և վերջում.

գումարում և հանում

Եթե ​​արտահայտությունը պարունակում է փակագծեր, ապա նախ կատարեք փակագծերի գործողությունները վերը նշված հերթականությամբ, իսկ հետո կատարեք մնացած գործողությունները նույն հերթականությամբ՝ ձախից աջ:

Օրինակ. Հաշվարկել.

Օրինակներ լուծելը հեշտացնելու համար օգտակար է իմանալ և օգտագործել աստիճանների աղյուսակը, որը կարող եք անվճար ներբեռնել մեր կայքում։

Արդյունքները ստուգելու համար կարող եք օգտագործել մեր կայքի հաշվիչը: Այս հոդվածում մենք պարզելու ենք, թե ինչ է դաթվի հզորությունը

. Այստեղ կտանք թվի ուժի սահմանումներ, մինչդեռ մանրամասն կդիտարկենք բոլոր հնարավոր ցուցանիշները՝ սկսած բնական ցուցիչից մինչև իռացիոնալ։ Նյութում դուք կգտնեք աստիճանների բազմաթիվ օրինակներ՝ ընդգրկելով առաջացող բոլոր նրբությունները։

Էջի նավարկություն.

Հզորությունը բնական ցուցիչով, թվի քառակուսի, թվի խորանարդ Սկսենք նրանից. Առաջ նայելով, ասենք, որ a-ի համար բնական ցուցիչով n հզորության սահմանումը տրված է a-ի համար, որը մենք կանվանենք.աստիճանի հիմքը , և n, որոնք մենք կանվանենք. Մենք նաև նշում ենք, որ բնական ցուցիչով աստիճանը որոշվում է արտադրյալի միջոցով, ուստի ստորև ներկայացված նյութը հասկանալու համար անհրաժեշտ է հասկանալ թվերի բազմապատկման մասին:

Սահմանում.

n բնական ցուցիչով թվի հզորությունը a n ձևի արտահայտությունն է, որի արժեքը հավասար է n գործոնի արտադրյալին, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի, այսինքն՝ .
Մասնավորապես, 1 աստիճանով a թվի հզորությունը հենց a թիվն է, այսինքն՝ a 1 =a:

Հարկ է անմիջապես նշել աստիճանների ընթերցման կանոնների մասին: a n նշումը կարդալու համընդհանուր ձևն է. «a-ն n-ի ուժին»: Որոշ դեպքերում ընդունելի են նաև հետևյալ տարբերակները՝ «ա-ից մինչև n-րդ աստիճան» և «ա-ի n-րդ ուժ»: Օրինակ, եկեք վերցնենք 8 12 հզորությունը, սա «ութը տասներկուի հզորությանը», կամ «ութը տասներկուերորդ ուժին», կամ «ութի տասներկուերորդ ուժին»:

Թվի երկրորդ հզորությունը, ինչպես նաև թվի երրորդ ուժը, ունեն իրենց անունները։ Թվի երկրորդ հզորությունը կոչվում է թիվը քառակուսիՕրինակ, 7 2-ը կարդացվում է որպես «յոթ քառակուսի» կամ «յոթ թվի քառակուսի»: Թվի երրորդ ուժը կոչվում է խորանարդային թվերՕրինակ, 5 3-ը կարելի է կարդալ որպես «հինգ խորանարդ» կամ կարող եք ասել «5 թվի խորանարդ»:

Ժամանակն է բերելու աստիճանների օրինակներ բնական ցուցիչներով. Սկսենք 5-րդ աստիճանից 7, այստեղ 5-ը աստիճանի հիմքն է, իսկ 7-ը՝ աստիճանը: Բերենք ևս մեկ օրինակ՝ 4.32-ը հիմքն է, և բնական թիվ 9 – ցուցիչ (4.32) 9.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին օրինակում 4.32 հզորության հիմքը գրված է փակագծերում. անհամապատասխանություններից խուսափելու համար մենք փակագծերում կդնենք հզորության բոլոր հիմքերը, որոնք տարբերվում են բնական թվերից: Որպես օրինակ՝ բնական ցուցիչներով տալիս ենք հետևյալ աստիճանները , դրանց հիմքերը բնական թվեր չեն, ուստի դրանք գրվում են փակագծերում։ Դե, ամբողջական պարզության համար, այս պահին մենք ցույց կտանք (−2) 3 և −2 3 ձևերի գրառումներում պարունակվող տարբերությունը։ (−2) 3 արտահայտությունը −2-ի հզորություն է՝ 3 բնական ցուցիչով, իսկ −2 3 արտահայտությունը (այն կարելի է գրել −(2 3) ) համապատասխանում է թվին, 2 3 հզորության արժեքին։ .

Նկատի ունեցեք, որ a թվի հզորության նշում կա a^n ձևի n ցուցիչով: Ընդ որում, եթե n-ը բազմարժեք բնական թիվ է, ապա ցուցիչը վերցվում է փակագծերում։ Օրինակ, 4^9-ը 4 9-ի հզորության ևս մեկ նշում է: Եվ ահա «^» նշանով աստիճաններ գրելու ևս մի քանի օրինակ՝ 14^(21) , (−2,1)^(155) ։ Հետևյալում մենք հիմնականում կօգտագործենք a n ձևի աստիճանի նշումը:

Բնական ցուցիչով հզորության բարձրացմանը հակադարձ խնդիրներից մեկը ուժի հիմքը գտնելու խնդիրն է. հայտնի արժեքաստիճան և հայտնի ցուցանիշ: Այս առաջադրանքը հանգեցնում է.

Հայտնի է, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը բաղկացած է ամբողջ թվերից և կոտորակներից, և յուրաքանչյուր կոտորակային թիվ կարելի է ներկայացնել որպես դրական կամ բացասական։ ընդհանուր կոտորակ. Մենք նախորդ պարբերությունում սահմանել ենք աստիճան ամբողջ թվով ցուցիչով, հետևաբար աստիճանի սահմանումը ռացիոնալ ցուցիչով ավարտելու համար պետք է իմաստավորել a թվի աստիճանը m/n կոտորակային ցուցիչով, որտեղ. m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ։ Եկեք սա անենք:

Եկեք դիտարկենք ձևի կոտորակային ցուցիչ ունեցող աստիճանը: Որպեսզի իշխանությունից իշխանություն հատկությունը մնա վավերական, պետք է պահպանվի հավասարությունը . Եթե ​​հաշվի առնենք ստացված հավասարությունը և թե ինչպես ենք որոշել , ապա տրամաբանական է ընդունել այն, պայմանով, որ տրված m, n և a արտահայտությունը իմաստ ունի։

Հեշտ է ստուգել, ​​որ ամբողջ թվի ցուցիչով աստիճանի բոլոր հատկությունները վավեր են (սա արվել է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հատկությունների բաժնում):

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը թույլ է տալիս անել հետևյալը եզրակացությունեթե տրված են m, n և a արտահայտությունը իմաստ ունի, ապա m/n կոտորակային ցուցիչով a-ի հզորությունը կոչվում է a-ի n-րդ արմատը m-ի ուժի նկատմամբ:

Այս պնդումը մոտեցնում է մեզ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը: Մնում է միայն նկարագրել, թե ինչում է m, n և a արտահայտությունը իմաստ: Կախված m, n և a-ի վրա դրված սահմանափակումներից, կան երկու հիմնական մոտեցում.

Ամենահեշտ ձևը a-ի վրա սահմանափակում դնելն է՝ ընդունելով a≥0 դրական m և a>0 բացասական m (քանի որ m≤0-ի համար m-ի 0 աստիճանը սահմանված չէ): Այնուհետև ստանում ենք աստիճանի հետևյալ սահմանումը կոտորակային ցուցիչով.

Սահմանում.

m/n կոտորակային ցուցիչով a դրական թվի հզորությունը, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, կոչվում է a թվի n-րդ արմատը m հզորության, այսինքն՝ .

Զրոյի կոտորակային հզորությունը որոշվում է նաև միակ նախազգուշացմամբ, որ ցուցանիշը պետք է լինի դրական:

Սահմանում.

Մ/ն կոտորակային դրական ցուցիչով զրոյի հզորություն, որտեղ m-ը դրական ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, սահմանվում է որպես .
Երբ աստիճանը որոշված ​​չէ, այսինքն՝ զրո թվի աստիճանը կոտորակային բացասական ցուցիչով իմաստ չունի։

Հարկ է նշել, որ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի այս սահմանման դեպքում կա մեկ նախազգուշացում. որոշ բացասական a-ի և որոշ m-ի և n-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի, և մենք մերժեցինք այս դեպքերը՝ ներմուծելով a≥0 պայմանը: Օրինակ, գրառումները իմաստ ունեն կամ, և վերը տրված սահմանումը մեզ ստիպում է ասել, որ ձևի կոտորակային ցուցիչ ունեցող ուժերը. իմաստ չունի, քանի որ հիմքը չպետք է բացասական լինի:

Մ/ն կոտորակային ցուցիչով աստիճանը որոշելու մեկ այլ մոտեցում է արմատի զույգ և կենտ ցուցիչները առանձին դիտարկելն է: Այս մոտեցումը պահանջում է լրացուցիչ պայմանա թվի հզորությունը, որի ցուցիչը հավասար է, համարվում է ա թվի հզորությունը, որի ցուցիչը համապատասխան անկրճատելի կոտորակն է (այս պայմանի կարևորությունը կբացատրվի ստորև)։ Այսինքն, եթե m/n-ն անկրճատելի կոտորակ է, ապա ցանկացած բնական թվի համար k աստիճանը սկզբում փոխարինվում է .

Նույնիսկ n-ի և դրական m-ի համար արտահայտությունը իմաստ ունի ցանկացած ոչ բացասական a (արմատ նույնիսկ աստիճանբացասական թվից իմաստ չունի), բացասական m-ի համար a թիվը դեռ պետք է տարբերվի զրոյից (հակառակ դեպքում կլինի բաժանում զրոյի): Իսկ կենտ n-ի և դրական m-ի համար a թիվը կարող է լինել ցանկացած (կենտ աստիճանի արմատը սահմանվում է ցանկացած իրական թվի համար), իսկ բացասական m-ի համար a թիվը պետք է լինի ոչ զրոյական (որպեսզի բաժանում չլինի): զրո):

Վերոհիշյալ պատճառաբանությունը մեզ տանում է դեպի կոտորակային ցուցիչ ունեցող աստիճանի այս սահմանումը:

Սահմանում.

Թող m/n-ը լինի անկրճատելի կոտորակ, m-ը՝ ամբողջ, իսկ n-ը՝ բնական թիվ: Ցանկացած կրճատվող կոտորակի համար աստիճանը փոխարինվում է . Մ/ն անկրճատելի կոտորակային ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը համար է



Բացատրենք, թե ինչու է կրճատվող կոտորակային ցուցիչով աստիճանը սկզբում փոխարինվում է անկրճատելի ցուցիչով աստիճանով: Եթե ​​մենք պարզապես սահմանեինք աստիճանը որպես , և վերապահում չանեինք m/n կոտորակի անկրճատելիության վերաբերյալ, ապա մենք կբախվեինք հետևյալի նման իրավիճակներին. քանի որ 6/10 = 3/5, ապա հավասարությունը պետք է պահպանվի: , Բայց , Ա .