Եռանկյունները և դրանց անկյունները. Եռանկյունների տեսակները. Եռանկյան անկյուններ. Անունների տարբերությունները անկյուններում

Այսօր մենք գնում ենք Երկրաչափության երկիր, որտեղ կծանոթանանք տարբեր տեսակի եռանկյունների հետ։

Դիտարկենք երկրաչափական ձևերը և դրանցից գտե՛ք «լրացուցիչը» (նկ. 1):

Բրինձ. 1. Օրինակ՝ նկարազարդում

Մենք տեսնում ենք, որ թիվ 1, 2, 3, 5 թվերը քառանկյուն են։ Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի իր անունը (նկ. 2):

Բրինձ. 2. Քառանկյուններ

Սա նշանակում է, որ «լրացուցիչ» պատկերը եռանկյուն է (նկ. 3):

Բրինձ. 3. Օրինակ՝ նկարազարդում

Եռանկյունը այն պատկերն է, որը բաղկացած է երեք կետերից, որոնք չեն գտնվում նույն գծի վրա և երեք հատվածներից, որոնք զույգերով միացնում են այդ կետերը:

Կետերը կոչվում են եռանկյան գագաթները, հատվածներ՝ իր կուսակցություններ. Եռանկյան կողմերը ձևավորվում են Եռանկյան գագաթներում երեք անկյուն կա.

Եռանկյան հիմնական հատկանիշներն են երեք կողմ և երեք անկյուն:Ըստ անկյան չափի՝ եռանկյուններն են սուր, ուղղանկյուն և բութ:

Եռանկյունը կոչվում է սուր-անկյուն, եթե նրա բոլոր երեք անկյունները սուր են, այսինքն՝ 90°-ից պակաս (նկ. 4):

Բրինձ. 4. Սուր եռանկյուն

Եռանկյունը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա անկյուններից մեկը 90° է (նկ. 5):

Բրինձ. 5. Ուղղանկյուն եռանկյուն

Եռանկյունը կոչվում է բութ, եթե նրա անկյուններից մեկը բութ է, այսինքն՝ ավելի քան 90° (նկ. 6):

Բրինձ. 6. Բութ եռանկյուն

Ելնելով հավասար կողմերի քանակից՝ եռանկյունները լինում են հավասարակողմ, հավասարաչափ, մասշտաբային։

Հավասարաչափ եռանկյուն է կոչվում այն ​​եռանկյունը, որի երկու կողմերը հավասար են (նկ. 7):

Բրինձ. 7. Հավասարաչափ եռանկյուն

Այս կողմերը կոչվում են կողային, երրորդ կողմ - հիմք. IN հավասարաչափ եռանկյունհիմքի անկյունները հավասար են.

Կան հավասարաչափ եռանկյուններ սուր և բութ(նկ. 8) .

Բրինձ. 8. Սուր և բութ հավասարաչափ եռանկյուններ

Հավասարակողմ եռանկյունն այն եռանկյունն է, որի բոլոր երեք կողմերը հավասար են (նկ. 9):

Բրինձ. 9. Հավասարակողմ եռանկյուն

Հավասարակողմ եռանկյան մեջ բոլոր անկյունները հավասար են. Հավասարակողմ եռանկյուններՄիշտ սուր անկյունային.

Scalene եռանկյունին այն եռանկյունն է, որի բոլոր երեք կողմերն ունեն տարբեր երկարություններ (նկ. 10):

Բրինձ. 10. Scalene եռանկյունի

Կատարեք առաջադրանքը: Այս եռանկյունները բաժանեք երեք խմբի (նկ. 11):

Բրինձ. 11. Առաջադրանքի նկարազարդում

Նախ բաշխենք ըստ անկյունների մեծության։

Սուր եռանկյուններ՝ թիվ 1, թիվ 3։

Ուղղանկյուն եռանկյուններ՝ թիվ 2, թիվ 6։

Բութ եռանկյուններ՝ թիվ 4, թիվ 5։

Նույն եռանկյունները խմբերի կբաժանենք՝ ըստ հավասար կողմերի քանակի։

Scalene եռանկյուններ՝ թիվ 4, թիվ 6։

Հավասարաչափ եռանկյուններ՝ թիվ 2, թիվ 3, թիվ 5։

Հավասարակողմ եռանկյուն՝ թիվ 1։

Նայեք նկարներին.

Մտածեք, թե ինչ մետաղալարից է պատրաստված յուրաքանչյուր եռանկյունը (նկ. 12):

Բրինձ. 12. Առաջադրանքի նկարազարդում

Կարելի է այսպես մտածել.

Լարի առաջին կտորը բաժանված է երեք հավասար մասերի, այնպես որ կարող եք դրանից հավասարակողմ եռանկյունի կազմել։ Նկարում նա երրորդն է։

Երկրորդ կտոր մետաղալարը բաժանված է երեք տարբեր մասերի, ուստի այն կարող է օգտագործվել սկալեն եռանկյունի պատրաստելու համար: Այն առաջինը պատկերված է նկարում։

Երրորդ մետաղալարը բաժանված է երեք մասի, որտեղ երկու մաս կա նույն երկարությունը, ինչը նշանակում է, որ դրանից կարելի է հավասարաչափ եռանկյունի կազմել։ Նկարում նա երկրորդն է։

Այսօր դասարանում մենք իմացանք տարբեր տեսակի եռանկյունների մասին:

Հղումներ

1. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ: Դասագիրք: 3-րդ դասարան՝ 2 մասից, մաս 1. - Մ.՝ «Լուսավորություն», 2012 թ.
2. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ: Դասագիրք: 3-րդ դասարան՝ 2 մասից, մաս 2. - Մ.՝ «Լուսավորություն», 2012 թ.
3. Մ.Ի. Մորո. Մաթեմատիկայի դասեր. Մեթոդական առաջարկություններուսուցչի համար. 3-րդ դասարան. - Մ.: Կրթություն, 2012:
4. Կարգավորող փաստաթուղթ. Ուսուցման արդյունքների մոնիտորինգ և գնահատում. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
5. «Ռուսաստանի դպրոց». Ծրագրեր տարրական դպրոց. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
6. Ս.Ի. Վոլկովա. Մաթեմատիկա: Թեստային աշխատանք. 3-րդ դասարան. - Մ.: Կրթություն, 2012:
7. Վ.Ն. Ռուդնիցկայա. Թեստեր. - Մ.: «Քննություն», 2012 թ.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Տնային աշխատանք

1. Լրացրե՛ք արտահայտությունները:

ա) Եռանկյունը այն պատկերն է, որը բաղկացած է ..., որոնք չեն գտնվում նույն գծի վրա, և ..., որոնք զույգերով միացնում են այս կետերը:

բ) Կետերը կոչվում են … , հատվածներ՝ իր … . Եռանկյան կողմերը ձևավորվում են եռանկյան գագաթներում ….

գ) Ըստ անկյան մեծության եռանկյունները լինում են ... , ... , ... .

դ) Հավասար կողմերի թվի հիման վրա եռանկյունները լինում են ... , ... , ... :

2. Նկարել

ա) ուղղանկյուն եռանկյուն;

բ) սուր եռանկյունի;

գ) բութ եռանկյունի;

դ) հավասարակողմ եռանկյուն.

ե) սկալեն եռանկյունի;

ե) հավասարաչափ եռանկյուն.

3. Դասի թեմայով առաջադրանք ստեղծեք ձեր ընկերների համար:

Թեմա՝ մաթեմատիկա

Դասարան՝ 3-րդ դասարան

Դասագիրք «Մաթեմատիկա» մաս 2.

Թեմա: Եռանկյունների տեսակները

Դասի տեսակը. նոր գիտելիքների բացահայտում

Թիրախ: Սովորեք ճանաչել եռանկյունների տեսակները՝ չափելով դրանց կողմերի երկարությունը:

Առաջադրանքներ :

1) Թարմացնել գիտելիքները երկրաչափական ձևերի վերաբերյալ՝ ուղղանկյուն, քառակուսի, եռանկյուն:

2) թարմացնել եռանիշ թվերի գումարումն ու հանումը` երկնիշ թիվը բաժանելով միանիշ, երկնիշ և կլոր. երկնիշ թիվը միանիշ թվով բազմապատկելը.

3) Ներկայացրե՛ք հավասարաչափ, հավասարակողմ, մասշտաբային եռանկյունի տերմինները:

Դասի առաջընթաց

1. Մոտիվացիա դեպի կրթական գործունեություն

Նայի՛ր, ասա՛, ի՞նչ է դա։

(բուրգ)

Ասա ինձ, ինչից է այն բաղկացած: (մասերից, մակարդակներից...)

Այս բուրգը կարելի՞ է համեմատել մեր գիտելիքների հետ։ (Այո)

Ամեն օր դուք ավելի ու ավելի շատ նոր բուրգեր եք կառուցում, բուրգի յուրաքանչյուր մակարդակ նոր գիտելիք է, որը դուք ստանում եք դասարանում: Ի՞նչ կլինի բուրգի հետ, եթե հանենք կապույտ մակարդակը: (Այն կփլուզվի և կփոքրանա):

Ի՞նչը կարող է հանգեցնել մեր գիտելիքի բուրգի փլուզմանը: (Կատարված տնային առաջադրանքների, դասեր բացակայելու, ուսուցչին ուշադիր չլսելու պատճառով):

Ի՞նչ է պետք անել, որպեսզի մեր բուրգն ավելի ամուր լինի և աճի: (Սովորեք տնային աշխատանքը, լավ աշխատեք դասարանում, կատարեք տնային աշխատանք, մի շրջանցեք դպրոցը):

Տղերք, դուք ամեն ինչ ճիշտ ասացիք: Հիմա պատկերացնենք, որ մեր բուրգը ստվեր է գցում։ Ասա ինձ, ի՞նչ երկրաչափական պատկերի է նման ստվերը:

(Եռանկյունու վրա):

Այսօր մենք կշարունակենք աշխատել այնպիսի երկրաչափական գործչի հետ, ինչպիսին է եռանկյունը։

2.Գիտելիքների թարմացում և դժվարությունների գրանցում խնդրահարույց իրավիճակում

Ի՞նչ երկրաչափական ձևեր եք ծանոթ: (քառակուսի, ուղղանկյուն, եռանկյուն):

Գրատախտակին դրված է աղյուսակ, լրացրեք այն՝ ելնելով ձեր գիտելիքներից (յուրաքանչյուր աշակերտ ունի նման աղյուսակով բացիկ).

Ինչպե՞ս են կոչվում առաջին երկու երկրաչափական պատկերները: (ուղղանկյուն և քառակուսի, մի խոսքով, քառանկյուններ են):

Ասա ինձ, քառանկյունների ի՞նչ տեսակներ գիտես: Նրանց պատկերը սլայդում կօգնի ձեզ պատասխանել այս հարցին:

Երեխաների պատասխաններից հետո հայտնվում են քառանկյունների անունները:

(ռոմբ, քառակուսի, ուղղանկյուն, trapezoid, զուգահեռագիծ - դրանք կոչվում են սլայդի կամ տախտակի պատկերներով):

Կարո՞ղ եք ասել, թե որն է ուղղանկյունը, իսկ ինչը՝ քառակուսին:

(Ուղղանկյունը քառանկյուն է՝ բոլոր ուղիղ անկյուններով։

Քառակուսին ուղղանկյուն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են)

Աղյուսակի արդյունքների հիման վրա գտե՛ք լրացուցիչ երկրաչափական պատկերը: (Եռանկյունի):

Լավ, քառանկյունները բոլորն էլ շատ տարբեր են, բայց ի՞նչ գիտեք եռանկյունու մասին: (Եռանկյուններն են՝ սուր, բութ, ուղղանկյուն):

Էլ ի՞նչ գիտեք եռանկյունու մասին: (Սահմանում)

Եռանկյունն է երկրաչափական պատկեր, որն ունի 3 անկյուն, 3 գագաթ, 3 կողմ։

Ձեր գիտելիքների հիման վրա լրացրեք հետևյալ աղյուսակը.

(Ուսուցիչը լրացնում է աղյուսակը՝ ըստ երեխաների պատասխանների: Տարբեր կարծիքներ են առաջանում «վերնագիր» սյունակներում, և որոշ երեխաներ դրանք դատարկ են թողնում:)

3. Դժվարության գտնվելու վայրի և պատճառի նույնականացում:

Ի՞նչ առաջադրանք էիք անում։ (Լրացրեք աղյուսակը):

Որտեղի՞ց է առաջացել խնդիրը։ (Եռանկյունների անունները գրելիս)

Ինչու՞ առաջացավ խնդիրը։ (Մենք չգիտենք, թե դրանք ինչպես են կոչվում)

Ո՞րն է դասի նպատակը: (Իմացեք, թե ուսումնասիրվածներից բացի այլ տեսակի եռանկյուններ (բութ, սուր, ուղղանկյուն), սովորեք նույնականացնել այս տեսակի եռանկյունները:

Ո՞րն է մեր դասի թեման: (Եռանկյունների տեսակները)

4. Նոր գիտելիքների բացահայտում.

Եկեք վերադառնանք սեղանին:

Մուտքագրենք եռանկյունների կողմերի չափերը։ (Մուտքագրեք.)

Լավ, հիմա նայիր և ասա ինձ, թե ինչ ես նկատել: (Առաջին եռանկյունին ունի բոլոր կողմերը հավասար, երկրորդը՝ 2 հավասար, իսկ երրորդը՝ բոլոր տարբեր կողմերը):

Ճիշտ է, կարո՞ղ եք այս եռանկյունների անունները գտնել՝ հիմնվելով հենց ձեր տված բացատրության վրա: (Այո)

Ի՞նչ եք անվանում եռանկյունին, որի բոլոր կողմերը հավասար են: Գտեք ածական, որը բաղկացած է 2 բառից. հավասար կողմեր. (Հավասարակողմ)

Ի՞նչ եք անվանում այն ​​եռանկյունին, որի բոլոր կողմերը տարբեր են: (Բազմակողմանի)

Ինչպե՞ս է կոչվում 2 հավասար կողմերով եռանկյունը: (Երեխաները կասկածներ ունեն. այս հարցին պատասխանելու համար օգտագործում են դասագիրք էջ 73) (Isosceles) Ուրիշ ո՞ր եռանկյունին կարող ենք անվանել հավասարաչափ: (Հավասարակողմ)

Ինքներդ լրացրեք աղյուսակը՝ ձեր նոր գիտելիքների հիման վրա։

Կարո՞ղ ենք այժմ սահմանել եռանկյունների տեսակները: (Այո)

Հավասարակողմ - եռանկյուն, որի բոլոր երեք կողմերը հավասար են:

Isosceles - առնվազն երկու հավասար կողմերով եռանկյուն: Հավասարակողմ եռանկյունը նույնպես հավասարաչափ եռանկյուն է:

Բազմակողմանի - եռանկյունի, որի բոլոր կողմերը տարբեր են:

Ստուգեք ձեր սահմանումները էջ 73 - դասագիրք. (Նրանք ստուգում են):

Ճի՞շտ եք կազմել սահմանումները: (Այո):

5.Արտաքին խոսքում արտասանությամբ առաջնային համախմբում

Կատարի՛ր առաջադրանքը դասագրքի էջ 74 (տակ)

1) Բազմակողմանի՝ 2,3,5

2) Հավասարաչափ՝ 1,4 , 6, 7

(Աշակերտները գրում են տետրերում: Հերթով ասում են պատասխանները, պատճառաբանում: Նմուշը գրանցվում է գրատախտակին):

6.Ստանդարտով ինքնուրույն աշխատանք ինքնաթեստով:

Ինքներդ կատարելով առաջադրանքը: Աշխատանքի վերջում - ինքնաստուգում ըստ նմուշի (տախտակի կամ առանձին քարտերի վրա):

№1.Լրացրե՛ք աղյուսակը , սխեմատիկորեն գծեք եռանկյուններ։

№2. Գրի՛ր թվերը.

1) սկալենային եռանկյուններ.

2) Հավասարասրուն, դուրս գրված թվերից ընդգծի՛ր հավասարակողմ եռանկյունների թվերը:

Հղում:

Առաջադրանք թիվ 1:

Առաջադրանք թիվ 2:

1) Սկանային եռանկյուններ՝ 2,3,4

2) Հավասարաչափ եռանկյուններ (թիվն ընդգծված է հավասարակողմ եռանկյուն): 1, 5

7. Ներառում գիտելիքի համակարգում և կրկնություն

Տղան ավազի վրա գծեց եռանկյունիներ և գաղտնագրեց բառերը, որոնք գրված են եռանկյունիների մեջ: Սկզբում լուծե՛ք եռանկյունիներով գրվածները, այնուհետև հավասարաչափ եռանկյուններով: Եվ դուք կռահեք կոդավորված բառերը։

Հուշում. Թվերը գրեք աճման կարգով և կստանաք բառերը:

Քարտ:

Լուծում:

Պատասխան՝ Եռանկյունների տեսակները

8. Մտածում կրթական գործունեության մասին.

Համապատասխանաբար գծե՛ք գիտելիքների բուրգ՝ բաղկացած 7 մակարդակից: Յուրաքանչյուր մակարդակ հարցի պատասխանն է:

Պատասխանեք հարցերին.

1) Տղերք, ի՞նչ եք գրել «եռանկյունների տեսակները»: (Մեր դասի թեման)

2) Ո՞րն էր մեր նպատակը: (Իմացեք, թե ինչպես են կոչվում եռանկյունների բոլոր 3 տեսակները, սովորեք նույնականացնել այս տեսակները՝ չափելով կողմերի երկարությունները):

3) Եռանկյունների ի՞նչ տեսակներ եք ճանաչել: (սկանդալային, հավասարաչափ, հավասարակողմ)

4) Ինչու են դրանք կոչվում:

( Հավասարակողմ - եռանկյուն, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Isosceles - առնվազն երկու հավասար կողմերով եռանկյունի, ներառյալ հավասարակողմ եռանկյունը, քանի որ այն ունի երկու հավասար կողմ:)

Բազմակողմանի - եռանկյունի, որի բոլոր կողմերը տարբեր են:)

5) Դուք սովորե՞լ եք, թե ինչպես սխեմատիկորեն պատկերել բոլոր տեսակի եռանկյունները: (Այո, անկախ աշխատանքի ժամանակ):

6) Ի՞նչ բացահայտումներ արեցիք այսօր: (Եռանկյունների նոր տեսակներ, դրանց անունները):

7) Տղերք, կարո՞ղ եք որոշել եռանկյունու տեսակը՝ ելնելով դրա չափերից: (Այո) Ես հիմա ձեզ կասեմ չափումները, և դուք կբարձրացնեք քարտ՝ եռանկյունու տեսակի անունով (քարտերը տրվում են լրացուցիչ՝ յուրաքանչյուրը 3 քարտ):

1. 2սմ, 3սմ, 5սմ - բազմակողմանի

2. 4սմ, 4սմ, 2սմ - հավասարաչափ

3.6սմ, 6սմ, 6սմ - հավասարակողմ, հավասարաչափ

Ձեռքերդ բարձրացրե՛ք, ո՞վ է այսօր հասել այս գիտելիքի գագաթնակետին։ (բարձրացնել)

Բարձրացրեք ձեր ձեռքերը, եթե 1 կամ 2 մակարդակները բավարար չեն: (Նրանք վերցնում են այն):

(Ուսուցիչը վերլուծում է «երեխաների մեջ գիտելիքների բուրգերը, եզրակացություններ է անում. որ մակարդակն է ընկնում և հաջորդ դասին սկսում է թարմացնել գիտելիքները դրանից):

Եռանկյուն - սահմանում և ընդհանուր հասկացություններ

Եռանկյունը պարզ բազմանկյուն է, որը բաղկացած է երեք կողմերից և ունի նույն թվով անկյուններ։ Նրա հարթությունները սահմանափակված են 3 կետով և այս կետերը զույգերով միացնող 3 հատվածներով։

Ցանկացած եռանկյան բոլոր գագաթները, անկախ նրա տեսակից, նշվում են մեծատառերով լատինական տառերով, իսկ նրա կողմերը պատկերված են հակադիր գագաթների համապատասխան նշումներով, միայն թե ոչ մեծատառով, այլ փոքրով։ Այսպիսով, օրինակ, A, B և C գագաթներով եռանկյունը ունի a, b, c կողմեր:

Եթե ​​դիտարկենք եռանկյունը Էվկլիդեսյան տարածության մեջ, ապա այն երկրաչափական պատկեր է, որը ձևավորվում է երեք հատվածների միջոցով, որոնք միացնում են երեք կետերը, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա:

Ուշադիր նայեք վերևում ներկայացված նկարին: Դրա վրա A, B և C կետերը այս եռանկյան գագաթներն են, իսկ հատվածները կոչվում են եռանկյան կողմեր։ Այս բազմանկյան յուրաքանչյուր գագաթ իր ներսում անկյուններ է կազմում:

Եռանկյունների տեսակները

Ըստ եռանկյունների անկյունների չափի՝ դրանք բաժանվում են այնպիսի սորտերի, ինչպիսիք են՝ ուղղանկյուն;
Սուր անկյունային;
Բութ.

Ուղղանկյուն եռանկյունները ներառում են այն եռանկյունները, որոնք ունեն մեկ ուղղանկյուն, իսկ մյուս երկուսը ունեն սուր անկյուններ:

Սուր եռանկյուններն այն եռանկյուններն են, որոնցում նրա բոլոր անկյունները սուր են:

Իսկ եթե եռանկյունն ունի մեկ բութ անկյուն, իսկ մյուս երկուսը՝ սուր անկյուն, ապա այդպիսի եռանկյունը դասակարգվում է որպես բութ:

Ձեզանից յուրաքանչյուրը հիանալի հասկանում է, որ ոչ բոլոր եռանկյուններն ունեն հավասար կողմեր։ Եվ ըստ իր կողմերի երկարության՝ եռանկյունները կարելի է բաժանել.

Isosceles;
Հավասարակողմ;
Բազմակողմանի.

Առաջադրանք՝ գծե՛ք տարբեր տեսակի եռանկյուններ: Սահմանեք դրանք: Ի՞նչ տարբերություն եք տեսնում նրանց միջև:

Եռանկյունների հիմնական հատկությունները

Չնայած այս պարզ բազմանկյունները կարող են տարբերվել միմյանցից իրենց անկյունների կամ կողմերի չափերով, յուրաքանչյուր եռանկյուն ունի այն հիմնական հատկությունները, որոնք բնորոշ են այս նկարին:

Ցանկացած եռանկյունում.

Նրա բոլոր անկյունների ընդհանուր գումարը 180º է:
Եթե ​​այն պատկանում է հավասարակողմներին, ապա նրա յուրաքանչյուր անկյունը 60º է:
Հավասարակողմ եռանկյունն ունի հավասար և հավասար անկյուններ:
Որքան փոքր է բազմանկյան կողմը, այնքան փոքր է նրա դիմացի անկյունը, և հակառակը, այնքան մեծ է մեծ կողմի հակառակ անկյունը:
Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա դրանց հակառակ անկյունները հավասար են, և հակառակը։
Եթե ​​վերցնենք եռանկյունը և երկարացնենք նրա կողմը, ապա կհայտնվենք արտաքին անկյունով: Այն հավասար է ներքին անկյունների գումարին։
Ցանկացած եռանկյունու մեջ նրա կողմը, անկախ նրանից, թե որ մեկը կընտրեք, միևնույն է փոքր կլինի մյուս 2 կողմերի գումարից, բայց ավելի շատ, քան նրանց տարբերությունը.

1. ա< b + c, a >b–c;
2. բ< a + c, b >a–c;
3. գ< a + b, c >ա–բ.

Զորավարժություններ

Աղյուսակում ներկայացված են եռանկյան արդեն հայտնի երկու անկյունները: Իմանալով բոլոր անկյունների ընդհանուր գումարը, գտեք, թե ինչին է հավասար եռանկյան երրորդ անկյունը և մուտքագրեք այն աղյուսակում.

1. Քանի՞ աստիճան ունի երրորդ անկյունը:
2. Ի՞նչ տեսակի եռանկյունի է այն պատկանում։

Եռանկյունների համարժեքության թեստեր

ստորագրում եմ

II նշան

III նշան

Եռանկյան բարձրությունը, կիսանկյունը և միջինը

Եռանկյան բարձրություն - նկարի գագաթից դեպի հակառակ կողմը գծված ուղղահայացը կոչվում է եռանկյան բարձրություն: Եռանկյան բոլոր բարձրությունները հատվում են մեկ կետում: Եռանկյան բոլոր 3 բարձրությունների հատման կետը նրա ուղղանկյունն է։

Տրված գագաթից գծված և հակառակ կողմի մեջտեղում միացնող հատվածը միջինն է: Միջինները, ինչպես նաև եռանկյունու բարձրությունները ունեն մեկ ընդհանուր կետխաչմերուկ, այսպես կոչված, եռանկյունու կամ կենտրոնաձևի ծանրության կենտրոն։

Եռանկյան կիսորդը մի հատված է, որը կապում է անկյան գագաթը և հակառակ կողմի կետը, ինչպես նաև կիսում է այս անկյունը: Եռանկյան բոլոր կիսատները հատվում են մի կետում, որը կոչվում է եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոն։

Եռանկյան 2 կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է միջնագիծ։

Պատմական նախադրյալներ

Եռանկյունի նման ֆիգուրը հայտնի էր դեռևս հին ժամանակներում: Այս ցուցանիշը և դրա հատկությունները հիշատակվել են եգիպտական ​​պապիրուսների վրա չորս հազար տարի առաջ: Քիչ անց, Պյութագորասի թեորեմի և Հերոնի բանաձևի շնորհիվ, եռանկյան հատկությունների ուսումնասիրությունը տեղափոխվեց ավելին. բարձր մակարդակ, բայց այնուամենայնիվ, դա տեղի է ունեցել ավելի քան երկու հազար տարի առաջ:

XV-ում – 16-րդ դարերՆրանք սկսեցին բազմաթիվ հետազոտություններ կատարել եռանկյունու հատկությունների վերաբերյալ, և արդյունքում առաջացավ այնպիսի գիտություն, ինչպիսին է պլանաչափությունը, որը կոչվում էր «Նոր եռանկյունու երկրաչափություն»:

Եռանկյունների հատկությունների իմացության մեջ հսկայական ներդրում է ունեցել ռուս գիտնական Ն.Ի. Նրա աշխատանքները հետագայում կիրառություն գտան մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և կիբեռնետիկայի բնագավառներում։

Եռանկյունների հատկությունների իմացության շնորհիվ առաջացավ այնպիսի գիտություն, ինչպիսին է եռանկյունաչափությունը։ Պարզվեց, որ դա անհրաժեշտ է մարդուն իր գործնական կարիքների մեջ, քանի որ դրա օգտագործումը պարզապես անհրաժեշտ է քարտեզներ կազմելիս, տարածքները չափելիս և նույնիսկ տարբեր մեխանիզմներ նախագծելիս:

Ո՞րն է ձեր իմացած ամենահայտնի եռանկյունը: Սա իհարկե Բերմուդյան եռանկյունին է: Այն ստացել է իր անունը 50-ականներին, քանի որ աշխարհագրական դիրքըկետերը (եռանկյան գագաթները), որոնց ներսում, ըստ գոյություն ունեցող տեսություն, առաջացել են կապված անոմալիաներ։ Բերմուդյան եռանկյունու գագաթներն են Բերմուդյան կղզիները, Ֆլորիդան և Պուերտո Ռիկոն:

Առաջադրանք. Ինչ տեսությունների մասին Բերմուդյան եռանկյունիլսե՞լ ես

Գիտե՞ք, որ Լոբաչևսկու տեսության մեջ եռանկյան անկյունները գումարելիս դրանց գումարը միշտ ունենում է 180º-ից պակաս արդյունք: Ռիմանի երկրաչափության մեջ եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը մեծ է 180º-ից, իսկ Էվկլիդեսի աշխատություններում այն ​​հավասար է 180 աստիճանի։

Տնային աշխատանք

Տրված թեմայի շուրջ խաչբառ լուծել

Հարցեր խաչբառի համար.

1. Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​ուղղահայացը, որը գծված է եռանկյան գագաթից դեպի հակառակ կողմում գտնվող ուղիղը:
2. Ինչպե՞ս կարելի է մեկ բառով անվանել եռանկյան կողմերի երկարությունների գումարը:
3. Անվանի՛ր այն եռանկյունը, որի երկու կողմերը հավասար են:
4. Անվանե՛ք այն եռանկյունը, որն ունի 90°-ի հավասար անկյուն:
5. Ինչպե՞ս է կոչվում եռանկյան ամենամեծ կողմը:
6. Ինչպե՞ս է կոչվում հավասարաչափ եռանկյան կողմը:
7. Ցանկացած եռանկյունու մեջ միշտ դրանք երեքն են:
8. Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​եռանկյունը, որի անկյուններից մեկը գերազանցում է 90°-ը:
9. Մեր գործչի գագաթը հակառակ կողմի կեսին միացնող հատվածի անունը:
10. ABC պարզ բազմանկյունում, մեծատառԻսկ արդյոք...
11. Ինչպե՞ս է կոչվում եռանկյան անկյունը կիսով չափ բաժանող հատվածը:

Հարցեր եռանկյունների թեմայի վերաբերյալ.

1. Սահմանեք այն:
2. Քանի՞ բարձրություն ունի:
3. Քանի՞ կիսանկյուն ունի եռանկյունը:
4. Որքա՞ն է նրա անկյունների գումարը:
5. Դրա ինչ տեսակներ պարզ բազմանկյունդու գիտես
6. Անվանի՛ր եռանկյունների այն կետերը, որոնք ուշագրավ են կոչվում:
7. Ինչ սարքով կարող եք չափել անկյունը:
8. Եթե ժամացույցի սլաքները ցույց են տալիս ժամը 21: Ի՞նչ անկյուն են կազմում ժամացույցի սլաքները:
9. Ի՞նչ անկյան տակ է մարդը շրջվում, եթե նրան տրվում է «ձախ», «շրջանակ» հրամանը:
10. Ի՞նչ այլ սահմանումներ գիտեք, որոնք կապված են երեք անկյուն և երեք կողմ ունեցող գործչի հետ:

Առարկաներ > Մաթեմատիկա > Մաթեմատիկա 7-րդ դասարան

Թերևս երկրաչափության ամենահիմնական, պարզ և հետաքրքիր պատկերը եռանկյունն է: Ի գիտություն ավագ դպրոցդրա հիմնական հատկությունները ուսումնասիրված են, բայց երբեմն այս թեմայի վերաբերյալ գիտելիքները թերի են: Եռանկյունների տեսակները սկզբում որոշում են դրանց հատկությունները: Բայց այս տեսակետը մնում է խառը: Հետևաբար, հիմա եկեք նայենք այս թեմային մի փոքր ավելի մանրամասն:

Եռանկյունների տեսակները կախված են անկյունների աստիճանի չափից։ Այս թվերը սուր են, ուղղանկյուն և բութ: Եթե ​​բոլոր անկյունները չեն գերազանցում 90 աստիճանը, ապա գործիչը կարող է ապահով կոչվել սուր: Եթե ​​եռանկյան առնվազն մեկ անկյունը 90 աստիճան է, ապա գործ ունեք ուղղանկյուն ենթատեսակի հետ։ Ըստ այդմ, մնացած բոլոր դեպքերում քննարկվողը կոչվում է բութանկյուն։

Սուր անկյունային ենթատեսակների համար շատ խնդիրներ կան։ Տարբերակիչ հատկանիշկիսադիրների, միջնամասերի և բարձրությունների հատման կետերի ներքին տեղակայումն է։ Այլ դեպքերում այս պայմանը կարող է չկատարվել: Դժվար չէ որոշել եռանկյունի գործչի տեսակը։ Բավական է իմանալ, օրինակ, յուրաքանչյուր անկյան կոսինուսը։ Եթե ​​որևէ արժեք զրոյից փոքր է, ապա եռանկյունը ամեն դեպքում բութ է: Զրոյական ցուցիչի դեպքում պատկերն ունի ուղիղ անկյուն։ Բոլոր դրական արժեքները երաշխավորված են ձեզ ասելու, որ դուք նայում եք անկյունային տեսարանին:

Չի կարելի չնշել կանոնավոր եռանկյունին։ Սա ամենաիդեալական տեսարանն է, որտեղ մեդիանների, բիսեկտորների և բարձրությունների բոլոր հատման կետերը համընկնում են։ Նույն տեղում է գտնվում նաև մակագրված և շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը։ Խնդիրները լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ միայն մի կողմը, քանի որ անկյունները սկզբում տրվում են ձեզ, իսկ մյուս երկու կողմերը հայտնի են: Այսինքն, գործիչը նշված է միայն մեկ պարամետրով. Կան Նրանց հիմնական առանձնահատկությունը հիմքում երկու կողմերի և անկյունների հավասարությունն է:

Երբեմն հարց է առաջանում, թե արդյոք գոյություն ունի տրված կողմերով եռանկյուն: Իրականում ձեզ հարցնում են՝ արդյոք դա հարմար է այս նկարագրությունըհիմնական տեսակների ներքո. Օրինակ, եթե երկու կողմերի գումարը փոքր է երրորդից, ապա իրականում նման թիվ ընդհանրապես գոյություն չունի։ Եթե ​​առաջադրանքը պահանջում է գտնել 3,5,9 կողմեր ​​ունեցող եռանկյան անկյունների կոսինուսները, ապա ակնհայտը կարելի է բացատրել առանց բարդ մաթեմատիկական տեխնիկայի: Ենթադրենք, դուք ցանկանում եք հասնել A կետից B կետ: Ուղիղ գծի հեռավորությունը 9 կիլոմետր է: Այնուամենայնիվ, դուք հիշեցիք, որ խանութում պետք է գնալ C կետ: A-ից C հեռավորությունը 3 կիլոմետր է, իսկ C-ից B-ն՝ 5: Այսպիսով, պարզվում է, որ խանութով շարժվելիս դուք մեկ կիլոմետր պակաս կքայլեք։ Բայց քանի որ C կետը չի գտնվում ուղիղ AB-ի վրա, դուք ստիպված կլինեք քայլել լրացուցիչ տարածություն: Այստեղ հակասություն կա. Սա, իհարկե, պայմանական բացատրություն է։ Մաթեմատիկան գիտի մեկից ավելի եղանակներ ապացուցելու, որ բոլոր տեսակի եռանկյունները հնազանդվում են հիմնական ինքնությանը: Այն նշում է, որ երկու կողմերի գումարը մեծ է երրորդի երկարությունից։

Ցանկացած տեսակ ունի հետևյալ հատկությունները.

1) Բոլոր անկյունների գումարը 180 աստիճան է:

2) Միշտ կա ուղղակենտրոն՝ բոլոր երեք բարձրությունների հատման կետը:

3) Ներքին անկյունների գագաթներից գծված բոլոր երեք միջինները հատվում են մեկ տեղում:

4) Ցանկացած եռանկյունու շուրջ կարելի է շրջանագիծ գծել: Կարող եք նաև շրջանագիծ գրել այնպես, որ այն ունենա միայն երեք շփման կետ և չանցնի արտաքին կողմերից այն կողմ:

Այժմ դուք ծանոթ եք նրանց հիմնական հատկություններին տարբեր տեսակներեռանկյուններ. Ապագայում կարեւոր է հասկանալ, թե ինչի հետ գործ ունես խնդիր լուծելիս։

Դպրոցում ուսումնասիրվող ամենապարզ բազմանկյունը եռանկյունն է: Այն ավելի հասկանալի է ուսանողների համար և ավելի քիչ դժվարությունների է հանդիպում: Չնայած այն հանգամանքին, որ կան տարբեր տեսակի եռանկյուններ, որոնք ունեն հատուկ հատկություններ։

Ո՞ր ձևն է կոչվում եռանկյուն:

Ձևավորվում է երեք կետերով և հատվածներով: Առաջինները կոչվում են գագաթներ, երկրորդները՝ կողմեր։ Ընդ որում, բոլոր երեք հատվածները պետք է միացված լինեն այնպես, որ դրանց միջև անկյուններ ձևավորվեն։ Այստեղից էլ «եռանկյունի» գործչի անվանումը։

Անունների տարբերությունները անկյուններում

Քանի որ դրանք կարող են լինել սուր, բութ և ուղիղ, եռանկյունների տեսակները որոշվում են այս անուններով: Ըստ այդմ, կան նման գործիչների երեք խումբ.

• Առաջին. Եթե ​​եռանկյան բոլոր անկյունները սուր են, ապա այն կկոչվի սուր: Ամեն ինչ տրամաբանական է.

• Երկրորդ. Անկյուններից մեկը բութ է, ինչը նշանակում է, որ եռանկյունը բութ է: Ավելի պարզ չէր կարող լինել:

• Երրորդ. Կա 90 աստիճանի հավասար անկյուն, որը կոչվում է ուղիղ անկյուն։ Եռանկյունը դառնում է ուղղանկյուն:

Կողմերի անունների տարբերությունները

Կախված կողմերի բնութագրերից՝ առանձնանում են եռանկյունների հետևյալ տեսակները.

ընդհանուր դեպքը scalene է, որի բոլոր կողմերը կամայական երկարություն ունեն.

հավասարաչափ, որոնց երկու կողմերն ունեն նույն թվային արժեքները.

հավասարակողմ, նրա բոլոր կողմերի երկարությունները նույնն են:

Եթե ​​խնդիրը չի նշում եռանկյունի կոնկրետ տեսակ, ապա պետք է կամայական նկարել: Որում բոլոր անկյունները սուր են, իսկ կողմերն ունեն տարբեր երկարություններ։

Բոլոր եռանկյունների համար ընդհանուր հատկություններ

1. Եթե ​​գումարենք եռանկյան բոլոր անկյունները, ապա կստացվի 180º հավասար թիվ: Եվ կապ չունի, թե դա ինչ տեսակ է։ Այս կանոնը միշտ գործում է։
2. Եռանկյան ցանկացած կողմի թվային արժեքը փոքր է, քան մյուս երկուսը միասին: Ընդ որում, դա ավելի մեծ է, քան նրանց տարբերությունը։
3. Յուրաքանչյուր արտաքին անկյուն ունի արժեք, որը ստացվում է դրան կից երկու ներքին անկյուն ավելացնելով: Ընդ որում, այն միշտ ավելի մեծ է, քան իրեն կից ներքինը։
4. Ամենափոքր անկյունը միշտ հակառակ է եռանկյան փոքր կողմին: Եվ հակառակը, եթե կողմը մեծ է, ապա անկյունը կլինի ամենամեծը։

Այս հատկությունները միշտ վավեր են, անկախ նրանից, թե խնդիրներում ինչպիսի եռանկյուններ են դիտարկվում: Մնացած բոլորը բխում են կոնկրետ հատկանիշներից:

Հավասարաչափ եռանկյունու հատկությունները

• Հիմքին հարող անկյունները հավասար են։
• Բարձրությունը, որը գծված է դեպի հիմքը, նույնպես միջինն է և կիսադիրը:
• Եռանկյան կողային կողմերի վրա կառուցված բարձրությունները, միջնամասերը և կիսադիրները համապատասխանաբար հավասար են միմյանց:

Հավասարակողմ եռանկյան հատկությունները

Եթե ​​կա նման ցուցանիշ, ապա մի փոքր վերը նկարագրված բոլոր հատկությունները ճիշտ կլինեն: Քանի որ հավասարակողմը միշտ կլինի հավասարաչափ: Բայց ոչ հակառակը.

• Նրա բոլոր անկյունները հավասար են միմյանց և ունեն 60º արժեք։
• Հավասարակողմ եռանկյան ցանկացած միջնագիծ նրա բարձրությունն է և կիսանկյունը: Ընդ որում, նրանք բոլորը հավասար են միմյանց։ Դրանց արժեքները որոշելու համար կա մի բանաձև, որը բաղկացած է 3-ի կողմի արտադրյալից և քառակուսի արմատից՝ բաժանված 2-ի:

Ուղղանկյուն եռանկյան հատկությունները

• Երկու սուր անկյունները գումարվում են մինչև 90º:
• Հիպոթենուզի երկարությունը միշտ ավելի մեծ է, քան ցանկացած ոտքի երկարությունը:
• Հիպոթենուսին գծված միջինի թվային արժեքը հավասար է նրա կեսին:
• Ոտքը հավասար է նույն արժեքին, եթե այն գտնվում է 30º անկյան դիմաց:
• Բարձրությունը, որը գծված է 90º արժեք ունեցող գագաթից, ունի որոշակի մաթեմատիկական կախվածություն ոտքերից՝ 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2: Այստեղ a, b - ոտքեր, n - բարձրություն:

Տարբեր տեսակի եռանկյունների հետ կապված խնդիրներ

Թիվ 1. Տրվում է հավասարաչափ եռանկյուն: Նրա պարագիծը հայտնի է և հավասար է 90 սմ-ի։ Ինչպես լրացուցիչ պայմանկողային կողմը 1,2 անգամ փոքր է հիմքից:

Պարագծի արժեքը ուղղակիորեն կախված է այն քանակներից, որոնք պետք է գտնել: Բոլոր երեք կողմերի գումարը կտա 90 սմ Այժմ դուք պետք է հիշեք եռանկյան նշանը, ըստ որի այն հավասարաչափ է: Այսինքն՝ երկու կողմերը հավասար են։ Դուք կարող եք հավասարություն ստեղծել երկու անհայտներով՝ 2a + b = 90: Այստեղ a-ն կողմն է, b-ը՝ հիմքը:

Հիմա հավելյալ պայմանի ժամանակն է. Դրանից հետո ստացվում է երկրորդ հավասարումը` b = 1.2a: Դուք կարող եք այս արտահայտությունը փոխարինել առաջինով: Ստացվում է՝ 2a + 1.2a = 90. Փոխակերպումներից հետո՝ 3.2a = 90. Հետևաբար a = 28.125 (սմ): Հիմա հեշտ է պարզել հիմքը։ Սա լավագույնս արվում է երկրորդ պայմանից՝ b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (սմ):

Ստուգելու համար կարող եք ավելացնել երեք արժեք՝ 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (սմ): Ճիշտ է։

Պատասխան՝ Եռանկյան կողմերն են՝ 28,125 սմ, 28,125 սմ, 33,75 սմ։

Թիվ 2. Հավասարակողմ եռանկյան կողմը 12 սմ է: Պետք է հաշվարկել դրա բարձրությունը:

Լուծում. Պատասխանը գտնելու համար բավական է վերադառնալ այն պահին, որտեղ նկարագրվել են եռանկյան հատկությունները։ Սա հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը, միջնագիծը և կիսանկյունը գտնելու բանաձևն է:

n = a * √3 / 2, որտեղ n-ը բարձրությունն է, իսկ a-ն՝ կողմը:

Փոխարինումը և հաշվարկը տալիս են հետևյալ արդյունքը՝ n = 6 √3 (սմ):

Այս բանաձևը անգիր անելու կարիք չկա։ Բավական է հիշել, որ բարձրությունը եռանկյունին բաժանում է երկու ուղղանկյունի։ Ընդ որում, պարզվում է, որ ոտք է, և դրա մեջ հիպոթենուսը բնօրինակի կողմն է, երկրորդ ոտքը հայտնի կողմի կեսն է։ Այժմ դուք պետք է գրեք Պյութագորասի թեորեմը և դուրս բերեք բարձրության բանաձևը:

Պատասխան՝ բարձրությունը 6 √3 սմ է։

Թիվ 3. Տրված MKR-ն եռանկյուն է, որում K անկյունը կազմում է 90 աստիճան: Հայտնի են MR և KR կողմերը, որոնք համապատասխանաբար հավասար են 30 սմ-ի և 15 սմ-ի:

Լուծում. Եթե ​​նկարեք, պարզ է դառնում, որ MR-ն հիպոթենուսն է: Ընդ որում, այն երկու անգամ ավելի մեծ է, քան ԿՌ-ի կողմը։ Կրկին պետք է դիմել հատկություններին: Դրանցից մեկը կապված է անկյունների հետ։ Դրանից պարզ է դառնում, որ KMR անկյունը 30º է: Սա նշանակում է, որ ցանկալի P անկյունը հավասար կլինի 60º-ի: Սա բխում է մեկ այլ հատկությունից, որը նշում է, որ երկու սուր անկյունների գումարը պետք է հավասար լինի 90º-ի:

Պատասխան՝ P անկյունը 60º է:

Թիվ 4. Մենք պետք է գտնենք հավասարաչափ եռանկյան բոլոր անկյունները: Հայտնի է, որ հիմքի անկյան արտաքին անկյունը 110º է։

Լուծում. Քանի որ տրված է միայն արտաքին անկյունը, սա այն է, ինչ դուք պետք է օգտագործեք: Ներքինի հետ կազմում է բացված անկյուն։ Սա նշանակում է, որ ընդհանուր առմամբ նրանք կտան 180º։ Այսինքն, եռանկյան հիմքի անկյունը հավասար կլինի 70º-ի: Քանի որ այն հավասարաչափ է, երկրորդ անկյունն ունի նույն արժեքը։ Մնում է հաշվարկել երրորդ անկյունը։ Համաձայն բոլոր եռանկյունների համար ընդհանուր հատկության՝ անկյունների գումարը 180º է։ Սա նշանակում է, որ երրորդը կսահմանվի որպես 180º - 70º - 70º = 40º:

Պատասխան՝ անկյուններն են 70º, 70º, 40º:

Թիվ 5. Հայտնի է, որ հավասարաչափ եռանկյունում հիմքին հակառակ անկյունը 90º է։ Հիմքի վրա նշված է կետ. Այն ուղիղ անկյան հետ կապող հատվածը բաժանում է 1-ից 4-ի հարաբերակցությամբ: Դուք պետք է պարզեք փոքր եռանկյունու բոլոր անկյունները:

Լուծում. Անկյուններից մեկը կարող է անմիջապես որոշվել: Քանի որ եռանկյունը ուղղանկյուն է և հավասարաչափ, նրա հիմքում ընկածները կլինեն յուրաքանչյուրը 45º, այսինքն՝ 90º/2:

Դրանցից երկրորդը կօգնի ձեզ գտնել իրավիճակում հայտնի հարաբերությունը: Քանի որ այն հավասար է 1-ի 4-ի, այն մասերը, որոնց այն բաժանվում է, ընդամենը 5 է: Սա նշանակում է, որ եռանկյան փոքր անկյունը պարզելու համար անհրաժեշտ է 90º/5 = 18º: Մնում է պարզել երրորդը. Դա անելու համար հարկավոր է 180º-ից հանել 45º և 18º (եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը): Հաշվարկները պարզ են, և դուք ստանում եք՝ 117º: