Այս դասում մենք կանդրադառնանք վեկտորներով ևս երկու գործողությունների. վեկտորների վեկտորային արտադրյալԵվ վեկտորների խառը արտադրյալ (անմիջական հղում նրանց համար, ովքեր դրա կարիքն ունեն). Ոչինչ, երբեմն պատահում է, որ լիակատար երջանկության համար, ի լրումն վեկտորների սկալյար արտադրյալ, ավելի ու ավելի են պահանջվում։ Սա վեկտորային կախվածություն է: Կարող է թվալ, որ մենք մտնում ենք վերլուծական երկրաչափության ջունգլիներում: Սա սխալ է։ Բարձրագույն մաթեմատիկայի այս բաժնում, ընդհանուր առմամբ, քիչ փայտ կա, բացառությամբ, թերևս, բավարար Պինոքիոյի համար: Փաստորեն, նյութը շատ տարածված է և պարզ, հազիվ թե ավելի բարդ, քան նույնը կետային արտադրանք, նույնիսկ ավելի քիչ բնորոշ առաջադրանքներ կլինեն։ Վերլուծական երկրաչափության մեջ գլխավորը, ինչպես շատերը կհամոզվեն կամ արդեն համոզվել են, ՀԱՇՎԱՐԿՈՒՄ ՍԽԱԼ ՉԱՆԵԼՆ Է։ Կրկնեք ուղղագրության պես և երջանիկ կլինեք =)

Եթե ​​վեկտորները փայլում են ինչ-որ հեռու, ինչպես կայծակը հորիզոնում, ապա դա կարևոր չէ, սկսեք դասից Վեկտորներ կեղծամների համարվերականգնել կամ ձեռք բերել հիմնական գիտելիքներ վեկտորների մասին: Ավելի պատրաստված ընթերցողները կարող են ընտրողաբար ծանոթանալ տեղեկատվությանը գործնական աշխատանք

Ի՞նչը ձեզ անմիջապես կուրախացնի: Երբ ես փոքր էի, կարող էի ձեռնածություն անել երկու և նույնիսկ երեք գնդակով: Լավ ստացվեց։ Այժմ դուք ընդհանրապես ստիպված չեք լինի ձեռնածություն անել, քանի որ մենք կքննարկենք միայն տարածական վեկտորներ, և երկու կոորդինատներով հարթ վեկտորները դուրս կմնան: Ինչո՞ւ։ Ահա թե ինչպես են ծնվել այս գործողությունները. վեկտորների վեկտորը և խառը արտադրյալը սահմանվում և գործում են եռաչափ տարածություն. Արդեն ավելի հեշտ է!

Այս գործողությունը, ինչպես և սկալյար արտադրանքը, ներառում է երկու վեկտոր. Թող սրանք լինեն անապական տառեր։

Ակցիան ինքնին նշվում էհետևյալ կերպ. Կան այլ տարբերակներ, բայց ես սովոր եմ վեկտորների վեկտորային արտադրյալը նշել այսպես՝ քառակուսի փակագծերում խաչով:

Եվ անմիջապես հարցԵթե ​​ներս վեկտորների սկալյար արտադրյալերկու վեկտոր է ներգրավված, և այստեղ երկու վեկտոր նույնպես բազմապատկվում են, ապա ինչ տարբերություն? Ակնհայտ տարբերությունն առաջին հերթին ԱՐԴՅՈՒՆՔԻ մեջ է.

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի արդյունքը NUMBER է.

Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի արդյունքը ՎԵԿՏՈՐ է:, այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք վեկտորները և նորից ստանում վեկտոր։ Փակ ակումբ. Փաստորեն, հենց այստեղից է գալիս վիրահատության անվանումը։ Տարբերում ուսումնական գրականությունՆշումները նույնպես կարող են տարբեր լինել, ես կօգտագործեմ տառը:

Խաչի արտադրանքի սահմանում

Նախ կլինի նկարով սահմանում, հետո մեկնաբանություններ։

ՍահմանումՎեկտորային արտադրանք ոչ գծայինվեկտորներ, վերցված այս կարգով, որը կոչվում է ՎԵԿՏՈՐ, երկարությունըորը թվային է հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին, կառուցված այս վեկտորների վրա; վեկտոր ուղղանկյուն դեպի վեկտորներ, և ուղղված է այնպես, որ հիմքն ունենա ճիշտ կողմնորոշում.

Եկեք բաժանենք սահմանումը, այստեղ շատ հետաքրքիր բաներ կան:

Այսպիսով, կարելի է առանձնացնել հետևյալ կարևոր կետերը.

1) Բնօրինակ վեկտորները, որոնք նշված են կարմիր սլաքներով, ըստ սահմանման ոչ համագիծ. Համաձև վեկտորների դեպքը տեղին կլինի դիտարկել մի փոքր ավելի ուշ:

2) վերցված են վեկտորներ խստորեն սահմանված կարգով: – «ա»-ն բազմապատկվում է «լինել»-ով, և ոչ թե «ա»-ով «լինել»: Վեկտորի բազմապատկման արդյունքըՎԵԿՏՈՐ է, որը նշված է կապույտով: Եթե ​​վեկտորները բազմապատկվում են հակառակ հերթականությամբ, մենք ստանում ենք երկարությամբ հավասար և ուղղությամբ հակառակ վեկտոր (ազնվամորու գույն): Այսինքն՝ հավասարությունը ճիշտ է .

3) Այժմ եկեք ծանոթանանք վեկտորի արտադրյալի երկրաչափական նշանակությանը։ Սա շատ կարևոր կետ է։ Կապույտ վեկտորի (հետևաբար՝ բոսորագույն վեկտորի) ԵՐԿՈՒՅԹԸ թվայինորեն հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերևույթին։ Նկարում այս զուգահեռագիծը ստվերված է սևով:

Նշում գծագիրը սխեմատիկ է, և, բնականաբար, վեկտորի արտադրյալի անվանական երկարությունը հավասար չէ զուգահեռագծի մակերեսին:

Հիշենք մեկը երկրաչափական բանաձևեր: Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է հարակից կողմերի արտադրյալին և նրանց միջև անկյան սինուսին. Հետևաբար, ելնելով վերը նշվածից, վեկտորային արտադրյալի ԵՐԿՈՒՅԹԸ հաշվարկելու բանաձևը վավեր է.

Շեշտում եմ, որ բանաձեւը վեկտորի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅԱՆ մասին է, այլ ոչ թե բուն վեկտորի։ Ո՞րն է գործնական իմաստը: Եվ իմաստն այն է, որ վերլուծական երկրաչափության խնդիրներում զուգահեռագծի տարածքը հաճախ հայտնաբերվում է վեկտորային արտադրյալ հասկացության միջոցով.

Եկեք վերցնենք երկրորդը կարևոր բանաձև. Զուգահեռագծի անկյունագիծը (կարմիր կետագիծ) այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։ Հետևաբար, վեկտորների վրա կառուցված եռանկյունու տարածքը (կարմիր ստվերում) կարելի է գտնել բանաձևով.

4) Ոչ պակաս կարևոր փաստ այն է, որ վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորներին, այսինքն . Իհարկե, հակառակ ուղղված վեկտորը (ազնվամորու սլաքը) նույնպես ուղղանկյուն է սկզբնական վեկտորներին:

5) Վեկտորն ուղղված է այնպես, որ հիմքունի ճիշտկողմնորոշում. մասին դասում անցում դեպի նոր հիմքԵս բավական մանրամասն խոսեցի դրա մասին հարթության կողմնորոշում, և հիմա մենք կպարզենք, թե որն է տիեզերական կողմնորոշումը: Ես կբացատրեմ ձեր մատների վրա աջ ձեռքը . Հոգեպես միավորել ցուցամատըվեկտորով և միջին մատըվեկտորով։ Մատանի մատը և փոքր մատըսեղմեք այն ձեր ափի մեջ: Արդյունքում բութ մատը- վեկտորային արտադրանքը կանդրադառնա: Սա աջ կողմնորոշված ​​հիմք է (սա է նկարում): Այժմ փոխեք վեկտորները ( ցուցամատ և միջին մատներ) որոշ տեղերում, արդյունքում բթամատը կշրջվի, և վեկտորային արտադրյալն արդեն ներքև կնայվի: Սա նույնպես ճիշտ կողմնորոշված ​​հիմք է։ Ձեզ մոտ կարող է հարց առաջանալ՝ ո՞ր հիմքում է ձախ կողմնորոշումը։ «Նշանակիր» նույն մատներին ձախ ձեռքըվեկտորներ և ստացիր տարածության ձախ հիմքը և ձախ կողմնորոշումը (այս դեպքում բթամատը կգտնվի ստորին վեկտորի ուղղությամբ). Պատկերավոր ասած՝ այս հիմքերը «ոլորում են» կամ կողմնորոշում տարածությունը տարբեր ուղղություններով։ Եվ այս հայեցակարգը չպետք է համարվի ինչ-որ հեռուն կամ վերացականը, օրինակ, տարածության կողմնորոշումը փոխվում է ամենասովորական հայելու միջոցով, և եթե դուք «արտացոլված առարկան դուրս եք հանում ապակուց», ապա ընդհանուր դեպքում դա հնարավոր չի լինի այն համատեղել «բնօրինակի» հետ։ Ի դեպ, երեք մատը պահեք հայելու մոտ և վերլուծեք արտացոլումը ;-)

...որքան լավ է, որ դուք հիմա գիտեք դրա մասին աջ և ձախ կողմնորոշվածհիմքեր, քանի որ որոշ դասախոսների հայտարարությունները կողմնորոշման փոփոխության մասին սարսափելի են =)

Գոլգծային վեկտորների խաչաձև արտադրյալ

Սահմանումը մանրամասն քննարկվել է, մնում է պարզել, թե ինչ է տեղի ունենում, երբ վեկտորները համագիծ են։ Եթե ​​վեկտորները համագիծ են, ապա դրանք կարող են տեղադրվել մեկ ուղիղ գծի վրա, և մեր զուգահեռագիծը նույնպես «ավելացնում» է մեկ ուղիղ գծի մեջ: Նման տարածքը, ինչպես ասում են մաթեմատիկոսները. այլասերվածզուգահեռագիծը հավասար է զրոյի: Նույնը հետևում է բանաձևից՝ զրոյի կամ 180 աստիճանի սինուսը հավասար է զրոյի, ինչը նշանակում է, որ տարածքը զրո է։

Այսպիսով, եթե, ապա . Խստորեն ասած, վեկտորային արտադրյալն ինքնին հավասար է զրոյական վեկտորի, բայց գործնականում դա հաճախ անտեսվում է և գրում են, որ այն ուղղակի հավասար է զրոյի։

Հատուկ դեպք է վեկտորի վեկտորի արտադրյալն ինքն իրենով.

Օգտագործելով խաչաձև արտադրյալը, կարող եք ստուգել եռաչափ վեկտորների համակողմանիությունը և այս առաջադրանքըի թիվս այլոց, մենք նաև կվերլուծենք։

Լուծելու համար գործնական օրինակներկարող է պահանջվել եռանկյունաչափական աղյուսակդրանից գտնել սինուսների արժեքները:

Դե, եկեք վառենք կրակը.

Օրինակ 1

ա) Գտե՛ք վեկտորների վեկտորային արտադրյալի երկարությունը, եթե

բ) Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը, եթե

ԼուծումՈչ, սա տառասխալ չէ, ես միտումնավոր սկզբնական տվյալները դարձրել եմ նույնը։ Որովհետև լուծումների դիզայնը տարբեր կլինի։

ա) Ըստ պայմանի՝ պետք է գտնել երկարությունըվեկտոր (խաչ արտադրանք): Համապատասխան բանաձևի համաձայն.

Պատասխանել:

Եթե ​​ձեզ հարցրել են երկարության մասին, ապա պատասխանում մենք նշում ենք չափը՝ միավորներ։

բ) Ըստ պայմանի՝ պետք է գտնել քառակուսիվեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագիծ: Այս զուգահեռագծի տարածքը թվայինորեն հավասար է վեկտորի արտադրյալի երկարությանը.

Պատասխանել:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ պատասխանն ընդհանրապես չի խոսում վեկտորային արտադրանքի մասին գործչի տարածքը, համապատասխանաբար, չափը քառակուսի միավոր է:

Մենք միշտ նայում ենք, թե ԻՆՉ պետք է գտնենք ըստ պայմանի, և, դրանից ելնելով, ձևակերպում ենք պարզպատասխանել. Դա կարող է թվալ բառացիություն, բայց ուսուցիչների մեջ կան շատ բառացիներ, և առաջադրանքը լավ հնարավորություններկվերադառնա վերանայման: Թեև սա առանձնապես հեռու խոսակցություն չէ. եթե պատասխանը սխալ է, ապա տպավորություն է ստեղծվում, որ մարդը չի հասկանում. պարզ բաներև/կամ չի հասկացել առաջադրանքի էությունը. Այս կետը միշտ պետք է վերահսկվի բարձրագույն մաթեմատիկայի, ինչպես նաև այլ առարկաների ցանկացած խնդիր լուծելիս:

Ո՞ւր գնաց մեծ «en» տառը: Սկզբունքորեն դա կարող էր հավելյալ կցվել լուծմանը, բայց մուտքը կրճատելու համար ես սա չարեցի։ Հուսով եմ, որ բոլորը դա հասկանում են և նույն բանի նշանակումն է:

Հանրաճանաչ օրինակ համար անկախ որոշում:

Օրինակ 2

Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե

Վեկտորային արտադրանքի միջոցով եռանկյունի տարածքը գտնելու բանաձևը տրված է սահմանման մեկնաբանություններում: Լուծումը և պատասխանը՝ դասի վերջում։

Գործնականում խնդիրն իսկապես շատ տարածված է, եռանկյունները կարող են ընդհանրապես տանջել ձեզ:

Այլ խնդիրներ լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ կլինի.

Վեկտորների վեկտորային արտադրյալի հատկությունները

Մենք արդեն դիտարկել ենք վեկտորային արտադրանքի որոշ հատկություններ, այնուամենայնիվ, ես դրանք կներառեմ այս ցանկում:

Կամայական վեկտորների և կամայական թվերի համար ճշմարիտ են հետևյալ հատկությունները.

1) Տեղեկատվության այլ աղբյուրներում այս կետը սովորաբար չի ընդգծվում հատկությունների մեջ, բայց այն շատ կարևոր է գործնական առումով: Ուրեմն թող լինի։

2) – վերևում խոսվում է նաև գույքի մասին, երբեմն կոչվում է հակակոմուտատիվություն. Այսինքն՝ վեկտորների հերթականությունը նշանակություն ունի։

3) – ասոցիատիվ կամ ասոցիատիվվեկտորի արտադրանքի օրենքները. Հաստատությունները կարող են հեշտությամբ տեղափոխվել վեկտորային արտադրանքից դուրս: Իսկապես, ի՞նչ պետք է անեն այնտեղ։

4) – բաշխում կամ բաշխիչվեկտորի արտադրանքի օրենքները. Փակագծերը բացելու հետ կապված նույնպես խնդիրներ չկան։

Ցույց տալու համար եկեք նայենք մի կարճ օրինակի.

Օրինակ 3

Գտեք, եթե

Լուծում:Պայմանը կրկին պահանջում է գտնել վեկտորի արտադրանքի երկարությունը: Եկեք նկարենք մեր մանրանկարչությունը.

(1) Համաձայն ասոցիատիվ օրենքների, մենք հաստատունները վերցնում ենք վեկտորի արտադրյալի շրջանակից դուրս:

(2) Մենք հաստատունը վերցնում ենք մոդուլից դուրս, և մոդուլը «ուտում է» մինուս նշանը: Երկարությունը չի կարող բացասական լինել:

(3) Մնացածը պարզ է.

Պատասխանել:

Ժամանակն է կրակին ավելի շատ փայտ ավելացնել.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե

ԼուծումԳտեք եռանկյան մակերեսը բանաձևով . Բռնությունն այն է, որ «ցե» և «դե» վեկտորներն իրենք ներկայացվում են որպես վեկտորների գումարներ: Այստեղ ալգորիթմը ստանդարտ է և ինչ-որ չափով հիշեցնում է դասի թիվ 3 և 4 օրինակները. Վեկտորների կետային արտադրյալ. Պարզության համար մենք լուծումը կբաժանենք երեք փուլի.

1) Առաջին քայլում վեկտորային արտադրյալն արտահայտում ենք վեկտորային արտադրյալի միջոցով, ըստ էության, վեկտորն արտահայտենք վեկտորի տեսքով. Երկարությունների մասին դեռ խոսք չկա:

(1) Փոխարինել վեկտորների արտահայտությունները:

(2) Բաշխիչ օրենքների օգնությամբ բացում ենք փակագծերը ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի։

(3) Օգտագործելով ասոցիատիվ օրենքներ՝ մենք բոլոր հաստատունները տեղափոխում ենք վեկտորային արտադրյալներից այն կողմ: Մի փոքր փորձի դեպքում 2-րդ և 3-րդ քայլերը կարող են իրականացվել միաժամանակ:

(4) Առաջին և վերջին անդամները հավասար են զրոյի (զրոյական վեկտոր)՝ շնորհիվ գեղեցիկ հատկության։ Երկրորդ տերմինում մենք օգտագործում ենք վեկտորային արտադրանքի հակակոմուտատիվության հատկությունը.

(5) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ:

Արդյունքում, վեկտորը պարզվեց, որ արտահայտվում է վեկտորի միջոցով, ինչը պահանջվում էր հասնել.

2) Երկրորդ քայլում մենք գտնում ենք մեզ անհրաժեշտ վեկտորի արտադրյալի երկարությունը: Այս գործողությունը նման է Օրինակ 3-ին.

3) Գտեք պահանջվող եռանկյունու մակերեսը.

Լուծման 2-3 փուլերը կարելի էր գրել մեկ տողով։

Պատասխանել:

Դիտարկված խնդիրը բավականին տարածված է թեստեր, ահա անկախ լուծման օրինակ.

Օրինակ 5

Գտեք, եթե

Դասի վերջում կարճ լուծում և պատասխան. Տեսնենք, թե որքան ուշադիր էիք նախորդ օրինակներն ուսումնասիրելիս ;-)

Վեկտորների խաչաձև արտադրյալ կոորդինատներում

, նշված է օրթոնորմալ հիմունքներով, արտահայտված բանաձևով:

Բանաձևն իսկապես պարզ է՝ որոշիչի վերին տողում գրում ենք կոորդինատների վեկտորները, երկրորդ և երրորդ տողերում «դնում» ենք վեկտորների կոորդինատները և դնում. խիստ կարգով– նախ «ve» վեկտորի կոորդինատները, ապա «double-ve» վեկտորի կոորդինատները: Եթե ​​վեկտորները պետք է բազմապատկվեն այլ հերթականությամբ, ապա տողերը պետք է փոխանակվեն.

Օրինակ 10

Ստուգեք՝ արդյոք հետևյալ տիեզերական վեկտորները համագիծ են.
Ա)
բ)

ԼուծումՍտուգումը հիմնված է այս դասի պնդումներից մեկի վրա. եթե վեկտորները համագիծ են, ապա դրանց վեկտորային արտադրյալը հավասար է զրոյի (զրոյական վեկտոր). .

ա) Գտեք վեկտորի արտադրյալը.

Այսպիսով, վեկտորները համակողմանի չեն:

բ) Գտեք վեկտորի արտադրյալը.

Պատասխանելա) ոչ համագիծ, բ)

Այստեղ է, հավանաբար, բոլոր հիմնական տեղեկությունները վեկտորների վեկտորային արտադրյալի մասին։

Այս բաժինը շատ մեծ չի լինի, քանի որ քիչ խնդիրներ կան, որտեղ օգտագործվում է վեկտորների խառը արտադրյալը: Իրականում ամեն ինչ կախված կլինի սահմանումից, երկրաչափական իմաստև մի քանի աշխատանքային բանաձև:

Խառը կտորվեկտորներն են երեքի արտադրանքվեկտորներ:

Այսպիսով, նրանք շարվեցին գնացքի պես և չեն կարող սպասել, որ իրենց ճանաչեն:

Նախ, կրկին, սահմանում և նկար.

ՍահմանումԽառը աշխատանք ոչ համաչափվեկտորներ, վերցված այս կարգով, կանչեց զուգահեռածավալ ծավալ, կառուցված այս վեկտորների վրա, հագեցած «+» նշանով, եթե հիմքը ճիշտ է, և «–» նշանով, եթե հիմքը մնացել է։

Եկեք նկարենք: Մեզ համար անտեսանելի գծերը գծված են կետավոր գծերով.

Եկեք խորանանք սահմանման մեջ.

2) վերցված են վեկտորներ որոշակի հերթականությամբ, այսինքն՝ արտադրյալում վեկտորների վերադասավորումը, ինչպես կարող եք կռահել, անհետևանք չի լինում։

3) Նախքան երկրաչափական իմաստը մեկնաբանելը, նկատեմ մի ակնհայտ փաստ. վեկտորների խառը արտադրյալը ԹԻՎ է: Ուսումնական գրականության մեջ ձևավորումը կարող է փոքր-ինչ տարբեր լինել, ես սովոր եմ խառը արտադրյալը նշելով, իսկ հաշվարկների արդյունքը՝ «պե» տառով:

Ըստ սահմանման խառը արդյունքը զուգահեռականի ծավալն է, կառուցված վեկտորների վրա (նկարը գծված է կարմիր վեկտորներով և սև գծերով)։ Այսինքն՝ թիվը հավասար է տրված զուգահեռականի ծավալին։

Նշում Նկարը սխեմատիկ է:

4) Եկեք նորից չանհանգստանանք հիմքի և տարածության կողմնորոշման հայեցակարգից: Վերջնական մասի իմաստն այն է, որ ծավալին կարելի է մինուս նշան ավելացնել։ Պարզ բառերով, խառը արտադրանքը կարող է բացասական լինել.

Անմիջապես սահմանումից հետևում է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալը հաշվարկելու բանաձևը:

Վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև ընկած անկյան անկյան արտադրյալին:

Լավ է, երբ պայմանները տալիս են այս նույն վեկտորների երկարությունները: Այնուամենայնիվ, պատահում է նաև, որ վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի տարածքի բանաձևը կարող է կիրառվել միայն կոորդինատների օգտագործմամբ հաշվարկներից հետո:
Եթե ​​ձեր բախտը բերել է, և պայմանները տալիս են վեկտորների երկարությունները, ապա պարզապես անհրաժեշտ է կիրառել այն բանաձևը, որը մենք արդեն մանրամասն քննարկել ենք հոդվածում։ Տարածքը հավասար կլինի մոդուլների արտադրյալին և նրանց միջև անկյան սինուսին.

Դիտարկենք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հաշվարկելու օրինակ:

Առաջադրանք.Զուգահեռագիծը կառուցված է վեկտորների և . Գտե՛ք, եթե տարածքը, և նրանց միջև անկյունը 30° է:
Արտահայտենք վեկտորները դրանց արժեքներով.

Միգուցե ձեզ մոտ հարց է առաջանում՝ որտեղի՞ց են առաջանում զրոները: Արժե հիշել, որ մենք աշխատում ենք վեկտորների հետ և նրանց համար . նաև նշեք, որ եթե արդյունքը լինի, այն կվերածվի: Այժմ մենք կատարում ենք վերջնական հաշվարկները.

Վերադառնանք խնդրին, երբ պայմաններում նշված չեն վեկտորների երկարությունները։ Եթե ​​ձեր զուգահեռագիծը գտնվում է Դեկարտյան կոորդինատների համակարգում, ապա ձեզ հարկավոր է անել հետևյալը.

Կոորդինատներով տրված պատկերի կողմերի երկարությունների հաշվարկը

Սկզբից գտնում ենք վեկտորների կոորդինատները և վերջի կոորդինատներից հանում սկզբի համապատասխան կոորդինատները։ Ասենք a վեկտորի կոորդինատներն են (x1;y1;z1), իսկ b վեկտորը (x3;y3;z3):
Այժմ մենք գտնում ենք յուրաքանչյուր վեկտորի երկարությունը: Դա անելու համար յուրաքանչյուր կոորդինատ պետք է քառակուսի դրվի, ապա ստացված արդյունքները պետք է ավելացվեն և վերջնական թվից հանվի արմատը։ Մեր վեկտորների հիման վրա կլինեն հետևյալ հաշվարկները.


Այժմ մենք պետք է գտնենք մեր վեկտորների սկալյար արտադրյալը: Դա անելու համար դրանց համապատասխան կոորդինատները բազմապատկվում և ավելացվում են:

Ունենալով վեկտորների երկարությունները և դրանց սկալյար արտադրյալը, մենք կարող ենք գտնել նրանց միջև ընկած անկյան կոսինուսը .
Այժմ մենք կարող ենք գտնել նույն անկյան սինուսը.
Այժմ մենք ունենք բոլոր անհրաժեշտ քանակությունները, և մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի տարածքը՝ օգտագործելով արդեն հայտնի բանաձևը:

Քառակուսի զուգահեռագիծ, կառուցված վեկտորներ, հաշվարկվում է որպես այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալ։ Եթե ​​հայտնի են միայն վեկտորների կոորդինատները, ապա հաշվարկների համար պետք է օգտագործվեն կոորդինատային մեթոդներ, ներառյալ վեկտորների միջև անկյունը որոշելը:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - վեկտորի հայեցակարգ;
• - վեկտորների հատկություններ;
• - Դեկարտյան կոորդինատներ;
• - եռանկյունաչափական գործառույթներ.

Հրահանգներ

• Եթե ​​հայտնի են վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը, ապա մակերեսը գտնելու համար զուգահեռագիծ, կառուցված վեկտորներ, գտնել նրանց մոդուլների (վեկտորի երկարությունների) արտադրյալը նրանց միջև անկյան սինուսով S=│a│ │ b│ sin(α):
• Եթե ​​վեկտորները տրված են դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, ապա տարածքը գտնելու համար զուգահեռագիծդրանց վրա կառուցված, կատարեք հետևյալը.
• Գտե՛ք վեկտորների կոորդինատները, եթե դրանք անմիջապես չեն տրվում՝ սկզբներից հանելով կոորդինատները վեկտորների ծայրերի համապատասխան կոորդինատներից։ Օրինակ, եթե կոորդինատները ելակետվեկտորը (1;-3;2), իսկ վերջնականը (2;-4;-5), ապա վեկտորի կոորդինատները կլինեն (2-1;-4+3;-5-2)=(1): ;-1;-7): Թող վեկտորի կոորդինատները a(x1;y1;z1), վեկտորի b(x2;y2;z2):
• Գտե՛ք վեկտորներից յուրաքանչյուրի երկարությունները: Վեկտորի կոորդինատներից յուրաքանչյուրը քառակուսի դարձրու և գտիր դրանց գումարը x1²+y1²+z1²: Վերցրեք արդյունքի քառակուսի արմատը: Երկրորդ վեկտորի համար կատարեք նույն ընթացակարգը: Այսպիսով, մենք ստանում ենք │a│ և│b│:
• Գտե՛ք վեկտորների կետային արտադրյալը: Դա անելու համար բազմապատկեք դրանց համապատասխան կոորդինատները և ավելացրեք │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2 արտադրյալները:
• Որոշեք նրանց միջև անկյան կոսինուսը, որի համար 3-րդ քայլում ստացված վեկտորների սկալյար արտադրյալը բաժանվում է 2-րդ քայլում հաշվարկված վեկտորների երկարությունների արտադրյալի վրա (Cos(α)= │a b│/(│a): │ │ բ│)):
• Ստացված անկյան սինուսը հավասար կլինի 1 թվի և նույն անկյան կոսինուսի քառակուսու տարբերության քառակուսի արմատին, որը հաշվարկվում է 4-րդ քայլում (1-Cos²(α)):
• Հաշվարկել տարածքը զուգահեռագիծ, կառուցված վեկտորներգտնելով 2-րդ քայլում հաշվարկված դրանց երկարությունների արտադրյալը և արդյունքը բազմապատկել 5-րդ քայլի հաշվարկներից հետո ստացված թվով:
• Այն դեպքում, երբ հարթության վրա նշված են վեկտորների կոորդինատները, հաշվարկների ժամանակ z կոորդինատը պարզապես անտեսվում է: Այս հաշվարկը երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալի թվային արտահայտությունն է։