Многозначные числа. Тема: Сумма трёх и более слагаемых. Цель:- Овладение учащимися способом сложения многозначных чисел, опираясь на предыдущие знания законов математики Сложение двух чисел в столбик: что нужно знать

Сложение столбиком, или как еще говорят, сложение в столбик - это метод, широко используемый для сложения многозначных натуральных чисел. Суть этого метода в том, что сложение двух и более многозначных чисел сводится к нескольким простым операциям сложения однозначных чисел.

В статье подробно расписано, как выполнять сложение двух и большего количества многозначных натуральных чисел. Дано правило сложения чисел в столбик и примеры решения с разбором всех самых характерных ситуаций, возникающих при сложении чисел в столбик.

Сложение двух чисел в столбик: что нужно знать?

Прежде чем мы перейдем непосредственно к операции сложения в столбик, рассмотрим некоторые важные моменты. Для быстрого освоения материала желательно:

1. Знать и хорошо ориентироваться в таблице сложения. Так, при проведении промежуточных вычислений, вам не придется тратить время и постоянно обращаться к таблице сложения.
2. Помнить свойства сложения натуральных чисел. Особенно свойства, связанные со сложением нулей. Напомним их кратко. Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому. Сумма двух нулей есть нуль.
3. Знать правила сравнения натуральных чисел.
4. Знать, что такое разряд натурального числа. Напомним, что разряд - это позиция и значение цифры в записи числа. Разряд определяет значение цифры в числе - единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.

Опишем алгоритм сложения чисел столбиком с использованием конкретного примера. Пусть мы складываем числа 724980032 и 30095 . Сначала следует записать эти числа по правилам записи сложения в столбик.

Числа записываются одно под другим, цифры каждого разряда располагаются, соответственно, одна под другой. Слева ставим знак "плюс", а под числами проводим горизонтальную линию.

Теперь мысленно разбиваем запись на столбики по разрядам.

Все, что остается сделать - сложить однозначные числа в каждом столбике.

Начинаем с крайнего правого столбика (разряд единиц). Складываем числа, и под чертой записываем значение единиц. Если при сложении значение десятков в результате получилось отличным от нуля, запоминаем это число.

Складываем цифры второго столбика. К результату прибавляем число десятков, которое мы запомнили на предыдущем шаге.

Повторяем весь процесс с каждым столбиком, вплоть до крайнего левого.

Данное изложение - упрощенная схема алгоритма сложения натуральных чисел столбиком. Теперь, когда мы разобрались с сутью метода, рассмотрим каждый шаг подробно.

Сначала складываем единицы, то есть числа в правом столбце. Если у нас получилось число, меньшее чем 10 , записываем его в том же столбике и переходим к следующему. Если же результат сложения больше или равен 10 , то под чертой в первом столбике записываем значение разряда единиц, а значение разряда десятков - запоминаем. Например, получилось число 17 . Тогда записываем число 7 - значение единиц, а значение десятков - 1 - запоминаем. Обычно говорят: "семь пишем, один в уме".

В нашем примере, при сложении чисел первого столбика, мы получаем число 7 .

7 < 10 , поэтому записываем это число в разряд единиц результата, а запоминать нам ничего не нужно.

Далее складываем числа в следующем столбце, то есть в разряде десятков. Проводим те же действия, только к сумме нужно прибавить число, которое мы держали в уме. Если сумма получилась меньше 10 , просто записываем число под вторым столбиком. Если же результат больше или равен 10 , записываем во втором столбике значение единиц этого числа, а цифру из разряда десятков запоминаем.

В нашем случае мы складываем числа 3 и 9 , в результате имеем 3 + 9 = 12 . На предыдущем шаге мы ничего не запоминали, поэтому к этому результату ничего прибавлять не нужно.

12 > 10 , поэтому во втором столбике записываем цифру 2 из разряда единиц, а цифру 1 из разряда десятков держим в уме. Для удобства можно записать это число над следующим столбиком другим цветом.

В третьем столбике сумма цифр равна нулю (0 + 0 = 0). К этой сумме прибавляем то число, которое ранее держали в уме, и получаем 0 + 1 = 1 . записываем:

Переходя к следующему столбцу также складываем 0 + 0 = 0 и записываем в результате 0 , так как на предыдущем шаге мы ничего не запоминали.

Следующий шаг дает 8 + 3 = 11 . В столбике записываем цифру 1 из разряда единиц. Цифру 1 из разряда десятков держим в уме и переходим к следующему столбцу.

Этот столбик содержит только одно число 9 . Если бы у нас не было в памяти числа 1 , мы бы просто переписали число 9 под горизонтальную черту. Однако, учитывая, что не предыдущем шаге мы запомнили число 1 , нужно сложить 9 + 1 и записать результат.

Поэтому, под горизонтальной чертой мы записываем 0 , а единицу снова держим в уме.

Переходя к следующему столбику складываем 4 и 1 , результат пишем под чертой.

Следующий столбик содержит только число 2 . Так на предыдущем шаге мы ничего не запоминали, просто переписываем это число под черту.

Также поступаем и с последним столбиком, содержащим число 7 .

Столбцов более нет, и в памяти также ничего нет, поэтому можно сказать, что операция сложения в столбик окончена. Число, записанное под чертой - результат сложения двух верхних чисел.

Чтобы разобраться со всеми возможными нюансами, рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 1. Сложение натуральных чисел столбиком

Сложим два натуральных числа: 21 и 36 .

Сначала запишем эти числа по правилу записи при сложении столбиком:

Начав с правого столбика, приступаем к сложению чисел.

Так как 7 < 10 , записываем 7 под чертой.

Складываем числа во втором столбике.

Так как 5 < 10 , а в памяти с предыдущего шага ничего нет, записываем результат

В памяти и в следующем столбике чисел более нет, сложение закончено. 21 + 36 = 57

Пример 2. Сложение натуральных чисел столбиком

Сколько будет 47 + 38 ?

7 + 8 = 15 , поэтому запишем 5 в первом столбике под чертой, а 1 будем держать в уме.

Теперь складываем значения из разряда десятков: 4 + 3 = 7 . Не забываем о единице и прибавляем ее к результату:

7 + 1 = 8 . Полученное число записываем под чертой.

Это и есть результат сложения.

Пример 3. Сложение натуральных чисел столбиком

Теперь возьмем два трехзначных числа и выполним их сложение.

3 + 9 = 12 ; 12 > 10

Записываем 2 под чертой, 1 держим в уме.

8 + 5 = 13 ; 13 > 10

Складываем 13 и запомненную единицу, получаем:

13 + 1 = 14 ; 14 > 10

Записываем 4 под чертой, 1 держим в уме.

Не забываем, что на предыдущем шаге мы запомнили 1 .

Записываем 0 под чертой, 1 держим в уме.

В последнем столбике переносим единицу, которую мы запомнили ранее, под черту, и получаем окончательный результат сложения.

783 + 259 = 1042

Пример 4. Сложение натуральных чисел столбиком

Найдем сумму чисел 56927 и 90 .

Как всегда, сначала записываем условие:

7 + 0 = 7 ; 7 < 10

2 + 9 = 11 ; 11 > 10

Записываем 1 под чертой, 1 держим в уме и переходим к следующему столбику.

Записываем 0 под чертой, 1 держим в уме и переходим к следующему столбику.

Столбик содержит одно число 6 . Складываем его с запомненной единицей.

6 + 1 = 7 ; 7 < 10

Записываем 7 под чертой и переходим к следующему столбику.

Столбик содержит одно число 5 ​​​​​​. Переносим его под черту и заканчиваем операцию сложения.

«Задания по математике для 3 класса» - Математика 3 класс. Рассмотри треугольники. Прискакали два соседа. Виды треугольников. Треугольник. Занеси в таблицу номера треугольников. Признаки треугольника. Выбери палочки. Равнобедренный треугольник. Какая фигура лишняя. Кроссворд. Логическая задача.

«Проверка умножения» - Веселые задачи. Цели урока. Физкультминутка. Делимое. Оформление доски. Устный счет. Закрепление нового материала. Этапы урока. Умножение двух чисел проверяем делением. Тип урока. Проверка умножения. Целеполагание. Множитель. Коллективная работа. Изучение нового материала. Организационный момент.

«Тест на умножение и деление» - Закончите утверждение. Табличное умножение и деление. Распределите значения выражений в порядке возрастания. Рассмотрите рисунок и ответьте на вопрос. Решите задачу. Сумму чисел 20 и 16 разделите на разность чисел 80 и 76. Частное каких двух чисел равно 8. Сколько страниц во второй книге. Площадь какой фигуры равна 16 см. Перемещаемые объекты. Увеличьте в 5 раз. Выберите верное продолжение.

«Деление чисел с остатком» - Выполни деление с помошью рисунка. 21: 5 76: 9. Чему равно задуманное число? Уменьши 36 в 9 раз. Всегда ли удобно выполнять деление с помощью рисунка? Задача. У меня сегодня всё получится! Найдём частное: 20: 5 = 4 Найдём остаток: 21 – 20 = 1 21: 5 = 4 (ост. 1). 3 меньше задуманного числа в 5 раз. 36 уменьши в 9 раз. К соревнованиям по прыжкам в воду готовились 13 спортсменов. Во сколько раз 24 больше 6?

«Квадратный дециметр» - 1 дм2 = 100 см2. Подумай. Квадратный дециметр. Задание. Тема урока. Периметр. 20 метров ткани нужно для 10 костюмов. Как он связан с квадратным сантиметром. Измерь стороны прямоугольника. Зрительная гимнастика.

Составитель: Дюйсенова К.Ж.

Вашему вниманию предлагается система карточек для коррекции знаний по курсу математики 5-6 классов.

Карточки охватывают ключевые вопросы курса. Каждая посвящается одному отдельному вопросу и состоит из трех частей: инструкции (формулировки правила), образца применения этой инструкции и пятнадцати заданий для обучающихся.

Карточки предназначены для дополнительных занятий с обучающимися (в классе или дома). Если ученик на таком занятии правильно выполнил первые пять заданий из пятнадцати, этого достаточно. Если же он не смог этого сделать, то учитель должен объяснить ему материал и дать следующие пять заданий. Если и эти задания обучающийся не может выполнить, объяснение продолжается, и решаются остальные пять заданий.

Карточка №1. Сложение и вычитание многозначных чисел (повторение)

	Десятки тысяч Десятки тысяч	Найти суммы и разности:

Карточка №2. Умножение столбиком (повторение)

Выполняй задания по образцам	ₓ707 2) ₓ104 216 205 707 208___ 1414___ 21320 301____	Найти произведения:

Карточка №3. Деление углом (повторение)

Выполняй задание по образцу	19034│_62 __ 186_ 307	Найти частные:

Карточка №4. Сравнение десятичных дробей

Целые части равны? Больше та дробь, у которой она больше Цифры десятых равны Цифры сотых равны	1) 12,86 и 18,06 2) 6,453 и 6,2883 42→6,4536,2883 3) 120,3586 и 120,36 4) 2,112 и 2,1100 20→2,1122,1100	Сравнить дроби:
		49,1803 и 49,18

Карточка №5. Сложение и вычитание десятичных дробей (повторение)

Складывай и вычитай числа по одноименным разрядам	тысячные десятичные	Вычислить:

Карточка №6. Умножение десятичных дробей

Зачеркни имеющиеся запятые. Перемножь получившиеся натуральные числа. Отдели в произведении столько десятичных знаков, сколько их во всех сомножителях вместе.	0,14 1,3 2=0,364 Краткая запись: 0,14 1,3 2=0,364	Найти произведения:

Карточка №7. Деление десятичной дроби на натуральное число.

Дели дробь как целое число. Сразу после снесения цифры десятых поставь запятую в частном и продолжай деление.	2452,800│75 225 32,704	Найти частные:

Карточка №8. Вычисление значений буквенных выражений.

Подставь численные значения переменных вместо букв. Найди значение получившегося числового выражения.	Найти значение выражения: если a=25, b=13 a+7-(b+6)=25+7-(13+6)=32-19=13	Найти значения выражений:
		a + 3, если a=7 50-x, если x=23 4y, если y=15 a+b, если a=8, b=5 m:n, если m=12, n=4
		3+b, если b=14 k-37, если k=88 11a, если a=6 n-m,если m=7, n=43 ac, если a=12, c=4
		f-39, если f=77 t+13,если t=28 16d,если d=3 p-q, если p=4, q=9 y:x, если x=5, y=25

Карточка №9. Решение простейших уравнений.

Найди похожий образец и выполни задания.	х+13=19 2) х-3=9 3) 29-х=18 4) х 7=35 х=29-18 х=35:7 5) х:4=9 6) 66:х=6

Карточка №10. Нахождение процентов от числа.

Напиши, что 100%-это a. Найди 1% от a. Найди х% от a.	Найди 2% от 2000м. 100%-это 2000м 1%-это 2000:100 Ответ: 40м Краткая запись: (2000:100) 2=20 00 2 =40	Найди 2% от 600. Найди 15% от 6. Найди 6% от 3 кг. Прибор стоимостью 4000 тнг подешевел на 20%. На сколько тнг подешевел прибор? Что больше, 40% от 20 или 30% от 40?
		Найди 4% от 1600. Найди 13% от 5. Найди 8% от 7 км. В городе было 3млн жителей. За 10 лет население выросло на 17%. Сколько теперь жителей в городе? Что больше 41% от 57 или 57% от 41?
		Найди 5% от 2100. Найди 18% от 2. Найди 8% от 1 ч. Вклад в 2000$ за год увеличился на 5%. Чему теперь равен вклад? Что больше 50% от 47 или 52% от 49?

Карточка №11. Нахождение процентного отношения.

Напиши, что 100% - это b. Найди 1% от b. Найди сколько раз 1% от b помещается в a.	Найди процентное отношение числа 7 к числу 2,5. 100% - это 2,5 1% - это 2,5 100 1% - это 0,025 0,025 помещается в числе 7. 7:0,025=280 раз. Ответ: 280. Краткая запись: 7:(2,5:100)=7 100 =280	Найди процентное отношение: а) 2 к 100 б) 13 к 6,5 Сколько процентов составляет: а) 17 от 50? б) 2,8 от 350? Если в твоем классе 25 учеников, то сколько процентов класса составляешь ты?
		Найди процентное отношение: а) 12 к 50 б) 19 к 9,5 Сколько процентов составляет: а) 23 от 200 б) 3,8 от 5,7 Полстакана чая долили молоком 6% жирности. Каков процент жира в чае?
		Найди процентное отношение: а) 29 к 25 б) 14 к 9,1 Сколько процентов составляет: а) 17 от 50 б) 2,8 от 5,6 В классе 12 девочек и 16 мальчиков. Найти процентное отношение этих чисел.

Карточка №12. Нахождение числа по его процентам.

Напиши, что n % числа равны a. Найди 1% числа. Найди 100% (само число).	Найди число 3% которого равны 960. 1% - это 960:3 100% - это 320 100 100% - это 32000 Ответ: 32000 Краткая запись: (960:3) 100=960 100 = 32000	6% какого числа равны 180? 16% какого числа равны 36? Найти стоимость товара, 14% которой равны 3500 тнг. Найти расстояние, 73% которого равны 2,6 км.
		5% какого числа равны 30. 15% какого числа равны 21. Найти стоимость товара, 13% которой равны 6500 тнг. Найти площадь, 26% которой равны 5,2 см. 20% вклада в сбербанк составляют 8000 тнг. Чему равен весь вклад?
		10% какого числа равны 240. 13% какого числа равны 39. Найти стоимость товара, 15% которого 2250 тнг. Найти расстояние, 87% которого равны 17,4 км. 30% вклада в сбербанк составляют 45000 тнг. Чему равен весь вклад?

Карточка №13. Сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Сравнивай, складывай или вычитай числители.	4 2 , так как 42. 4 2 4+2 6 4 2 4-2 2	Сравнить дроби, найти их суммы и разности: 11 и 9 ; 7 и 9 ; 17 и 15 20 20 15 15 19 19 3 и 5 ; 14 и 4
		15 и 11 ; 8 и 29 ; 4 и 17 63 63 33 33 25 25 17 и 15 ; 64 и 13
		27 и 29 ; 105 и 215 ; 13 и 27 102 102 156 156 144 144 11 и 7 ; 14 и 26

Карточка №14. Основное свойство дроби.

Приведи дробь к новому знаменателю: умножь (или раздели) знаменатель дроби на число. умножь (или раздели) числитель дроби на то же число.	1) Привести дробь 2 к знаменателю 18. Ответ: 12 2) Привести дробь 8 к знаменателю 7. Ответ: 4	Привести дроби: а) 1 к знаменателю 22; б) 3 к знаменателю 7. на 2; умножить числитель и знаменатель дроби 1 на 4. Разделить 26 на 2.
		Привести дроби: а) 3 к знаменателю 28; б) 12 к знаменателю 7. 36 на 2. Умножить числитель и знаменатель дроби 3 на 5. Разделить 42 на 7.
		Привести дроби: а) 4 к знаменателю 36; б) 33 к знаменателю 11. Разделить числитель и знаменатель дроби 28 на 7. Умножить числитель и знаменатель дроби 3 на 4. Разделить 55 на 11.

Карточка №15. Умножение дробей.

Умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель: a . c = ac	1) 3 4 = 3 4 = 12 2) 3 4 = 3 4 = 12 3) 5 13 = 5 13 = 13	Найти произведения: 1 4 ; 4 5 ; 4 5 ; 4 3 ; 3 11 3 5 7 9 1 11 3 4 2 5
		7 1 ; 8 3 ; 4 3 ; 7 2 ; 7 4 9 2 9 7 13 1 3 5 2 3
		4 2 ; 7 6 ; 7 2 ; 6 16 ; 11 10 7 5 8 5 9 1 11 3 4 9

Карточка №16. Деление дробей.

Умножить числитель на знаменатель, а знаменатель на числитель: a : c = ad	1) 2 : 3 = 2 7 = 14 2) 3 : 21 = 3 1 = 1 3) 55 : 11 = 55 7 = 35 4) 5 : 55 = 5 6 = 2 5) 9 : 101 = 9 1 = 9	Найти частные: 4 : 3 ; 2 : 7 ; 5 : 9 ; 4 : 1 ; 15 : 19 9 5 3 1 1 1 1 8 2 2
		16 : 31 ; 2 : 7 ; 1 : 3 ; 14 : 2 ; 13 : 10 1 1 7 1 5 7 1 7 3 3
		17 : 37 ; 15 : 5 ; 2 : 11 ; 7 : 14 ; 19 : 38 1 1 1 3 11 1 9 81 7 21

Карточка №17. Основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Неизвестный крайний член пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на известный крайний. Неизвестный средний член пропорции равен произведению ее крайних членов, деленному на известный средний.	1) Проверить пропорцию: 2) Решить уравнение: а) х=7 18:14=9 б) х=75 2:25=6 3) Решить уравнение: а) х=24 13:8=39 б) х=6 70:2=210	Проверить пропорцию: Решить уравнения: х:6=8:4 5:2=t:4 1:5=х:25 6:3=18:y
		Проверить пропорцию: Решить уравнения: 2:а = 5 : 5 ; х:12 = 75:15 12,4: х = 5,58: 0,9 2 : 5 = х : 1
		Проверить пропорцию: 9 : 3 = 12 : 8 Решить уравнения: 12,4: х = 5,58: 0,9 4,5: х = 12,5: 4 3 = 18

Карточка №18. Сложение рациональных чисел с помощью координатной прямой.

Чтобы прибавить к числу а положительное число b , достаточно продвинуться от а вправо на b единиц. Чтобы прибавить к числу а отрицательное число b , достаточно продвинуться от а влево на (- b ) единиц.	1) (-6)+4=? Ответ: (-6)+4=-2 Ответ: (-7)+(-3)=-10	Найти суммы:

Карточка №19. Сложение рациональных чисел без помощи координатной прямой.

Числа а и в одного знака? |а+в|=|а|+|в| знак тот же |а+в|=|а|-|в| знак числа a |а| | в | нет	Числа (-6) и (-2) одного знака, значит: │-6+(-2)│=│-6│+│-2│=8 Знак тот же – минус. Ответ: (-6)+(-2)=-8 Числа 4 и (-9) разных знаков, │-9││4│, значит: │4+(-9)│=│-9│-│4│=5 Значит числа (-9) – минус. Ответ: 4+(-9)=-5	Найти суммы:

Карточка №20. Вычитание рациональных чисел.

а – b = a + (-b)	1) (-6) - (-2) = (-6) + 2 = -4 2) 5 – 13 = 5 + (-13) = -8	Найти разности:

Карточка №21. Умножение рациональных чисел.

│a b│=│a│ │b│ Если a и b одного знака, то знак произведения плюс, а если разных – то минус.	│(-5) (-2)│=│-5│ │-2│=5 2=10, (-5) и (-2) одного знака, поэтому знак произведения плюс. Ответ: (-5) (-2)=10 │5 (-2)│=│5│ │-2│=5 2=10, 5 и (-2) разных знаков, поэтому знак произведения минус. Ответ: 5 (-2)=-10.	Найти произведения:

Карточка №22. Деление рациональных чисел.

│a:b│=│a│:│b│ Если a и b одного знака, то знак частного плюс, а если разных – то минус.	│(-21):(-7)│=│-21│:│-7│=21:7=3, (-21) и (-7) имеют одинаковые знаки, поэтому знак частного плюс. Ответ: (-21):(-7)=3 │21:(-7)│=│21│:│-7│=21:7=3, 21 и (-7) имеют разные знаки, поэтому знак частного минус. Ответ: 21:(-7)=-3	Найти частные:

ММ «Перелески орта мектебі»

ГУ «Перелескинская средняя школа»

МАТЕМАТИКА 5-6 КЛАССЫ

Карточки для коррекции знаний.

34. Сложение и вычитание многозначных чисел.

ПО ПЕРОВОЙ:

Сложение и вычитание многозначных чисел выполняется приемами письменных вычислений. Основой алгоритмов сложения и вычитания чисел любого класса является поразрядное сложение и вычитание.

При подборе примеров надо соблюдать такой порядок:

1. на первом этапе выполняются действия сложения и вычитания без перехода через разряд;

2. на втором этапе выполняются действия с переходом через разряд в одном, затем в двух и более разрядах;

3. на третьем этапе выполняются действия на вычитание, в которых уменьшаемое содержит один или несколько нулей или нули в уменьшаемом чередуются с единицами.

При сложении и вычитании соблюдается поклассная и поразрядная запись чисел в столбик. Сложение и вычитание производятся поразрядно, начиная с единиц первого класса.

На первых уроках надо требовать от учащихся объяснения поразрядного сложения и вычитания, т. е. объяснения того, как разрядные единицы складываются или вычитаются. Затем объяснение свертывается.

Перед решением примеров на сложение и вычитание с переходом через разряд необходимо проводить подготовительные упражнения, которые облегчат письменные вычисления. Например:

7 ед. + 8 ед. = 15 ед.

10 ед. - это 1 дес.

10 ед. тыс. - это 1 дес. тыс.

15 ед. - это 5 ед. и 1 дес.

13 дес. - это 3 ед. и 1 дес.

15 сот. - это 5 сот. и 1 тыс

10 дес. - это 1 сот.

10 дес. тыс. - это 1 сот. тыс

Выполнение действий сложения и вычитания с двумя компонентами сопровождается проверкой обратными действиями, кроме этого, сложение проверяется перестановкой слагаемых, а вычитание - не только сложением, но и вычитанием. Проверка действий выполняется и на счетах.

ПО ИСТОМИНОЙ:

При сложении многозначных чисел в основе действий учащихся лежит алгоритм сложения, суть которого сводится к следующему:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соот-ветствующие разряды находились друг под другом.

2. Складывают цифры (этот термин используется для краткости, вообще здесь речь идет об однозначном числе, обозначаемом цифрой) разряда единиц. Если сумма меньше 10, ее записывают в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду.

3. Если сумма цифр единиц больше или равна 10, то представляют ее в виде: 10+С0, где С0 - однозначное число; записывают С0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к цифре десятков первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т. д. Процесс сложения заканчивается, когда произведено сложение цифр старших разрядов.

Алгоритм вычитания многозначных чисел можно представить в таком виде :

1. Записывают вычитаемое bn bn-i ... bi b0 под уменьшаемым an апн... a-i a0 так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, то ее вычитают из соответствующей цифры уменьшаемого, после чего переходят к следующему разряду.

3. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, т. е. ао

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, а цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т. д. уменьшаемого, равны нулю, то берут первую, отличную от нуля, цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшают ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличивают на 9, а цифру в разряде единиц - на 10, вычитают bo из 10+а0, записывают результат в разряде единиц разности и переходят к следующему разряду.

5. В следующем разряде описанный процесс повторяется.

6. Процесс вычитания заканчивается, когда произведено вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Приведенные выше описания алгоритмов даются учащимся начальных классов в упрощенном виде, где фиксируются только основные моменты:

1) второе слагаемое (вычитаемое) нужно записать под первым (под уменьшаемым) так, чтобы соответствующие разряды находи-лись друг под другом;

2) сложение (вычитание) следует начинать с низшего разряда, т.е. складывать (вычитать) сначала единицы.

Проблемное обучение

Тема: «Сложение многозначных чисел»

Цель: формирование навыка сложения многозначных чисел.

Задачи:

- отработка навыков сложения многозначных чисел;

Закреплять умение решать задачи разного вида;

Закреплять знания правил о порядке выполнения действий и умение

Записывать выражения в два действия.

Планируемые результаты:

Предметные умения:

Уметь упорядочивать натуральные многозначные числа;

Уметь называть компоненты четырёх арифметических действий;

Уметь складывать многозначные числа и использовать соответствующие термины;

Уметь называть разряды.

Личностные УУД:

Принятие образа «хорошего ученика»;

Уважительное отношение к иному мнению;

Способность преодолевать трудности, доводить начатую работу до её завершения.

Регулятивные УУД:

Определять и формулировать цель деятельности на уроке;

Проговаривать последовательность действий на уроке; работать по алгоритму, инструкции;

Осуществлять пошаговый контроль при решении учебной задачи;

Устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.

Познавательные УУД:

Ориентироваться в учебнике, тетради;

Ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания);

Находить ответы на вопросы, используя свой жизненный опыт.

Коммуникативные УУД:

Слушать и понимать речь других;

- уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Ход урока:

Орг. момент. (Приветствие).

Математику, друзья,

Не любить никак нельзя,

Очень строгая наука,

Очень точная наука,

Интересная наука –

Это МАТЕМАТИКА!

Актуализация знаний. ( Комбинированный этап. )

ФАЗА ВЫЗОВА.

Спешу скорее встать,

Потом ищу я целый день,

У каждого на парте лежит листок с заданиями. Выполните его.

(На столе карточка с примерами: ( 48+37; 56+85; 528+165; 253+614; 208+549)

(Один ученик идет к доске и работает у доски. На доске записаны примеры, ему надо их решить.)

Проверим ученика у доски и себя. (85, 141, 688, 867, 757)

Как складывали числа? (письменно, по разрядам)

Объясните свои действия, используя алгоритм сложения двузначных и трёхзначных чисел (записывали единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями; складывали сначала единицы и записывали под единицами, потом складывали десятки и записывали под десятками; затем складывали сотни и записывали под сотнями).

Как называется такой способ сложения? (поразрядное сложение)

Создание проблемной ситуации.

А сейчас работаем в парах: вам необходимо решить вот эти примеры у себя в тетрадях (записаны на доске четыре примера): 1253+2614; 36208+54926; 4758+324; 2267+9841.

Какие ответы у вас получились? (Дети называют свои ответы и выясняют, что ответы у многих разные, так как примеры вызвали затруднение.)

Как можно проверить правильность ответов? (Дети высказывают различные предположения, пытаются выделить среди них верный и приходят к выводу, что не могут сделать этого, так как не знают, какой из предложенных алгоритмов действий верный.)

Формулирование проблемы (темы).

Какой у вас возникает вопрос? (Как складывать четырёхзначные и пятизначные числа.)

Как одним словом можем назвать трёхзначные, четырёхзначные, пятизначные числа? (Многозначные.)

Какая же будет тема урока? Кто может её сформулировать? (« Сложение многозначных чисел» )

Открытие детьми нового знания и его формулирование. (Работа по учебнику в тетради.)

ФАЗА ОСМЫСЛЕНИЯ.

Откройте учебник на с. 27, № 90. Прочитайте задание. Как предлагают нам выполнить это задание в учебнике? (Предлагают использовать способ поразрядного сложения)

А что надо сделать для этого? (Вспомнить алгоритм поразрядного сложения трёхзначных чисел: записываем разряд под разрядом; складывать надо по разрядам, начиная с единиц: и т. д.)

Сформулируйте алгоритм сложения многозначных чисел.

Чем он похож и чем отличается от алгоритма сложения трёхзначных чисел?

(Выслушиваются мнения детей)

Первичное применение нового знания.

Выполните задание № 91 в учебнике. (Один ученик выходит к доске и комментирует свои действия при решении примеров)

Чтобы узнать, чем мы будем заниматься дальше, надо отгадать шараду.

(На доске шарада: предлог ЗА и картинка «дачи» .)

- Первое – предлог,

Второе – летний дом.

А целое порой

Решается с трудом.

( ЗАДАЧА ) (Эта надпись появляется на доске.)

А сейчас у нас задачи:

Сложные, простые.

Мы берем с собой удачу,

Чтобы потрудиться!

1. - Откройте учебник на с.28, з.98. Прочитает задачу …

Что известно по условию задачи? (После того как из кассы выдали 128509 рублей, в ней осталось 14902 рубля)

Что надо найти? (Сколько денег было в кассе.)

Какую краткую запись мы можем составить? (Было. Выдали. Осталось.)

К доске пойдет …, заполнит краткую запись.

Что неизвестно? (Было.)

Как найти? (Чтобы найти сколько было , надо к тому что осталось прибавить, то что выдали. )

Какого вида задача?

Запишем в тетради. (Комментировать будет…)

Составьте две обратных задачи устно.

2. – С.28, з.96. Прочитайте задачу.

Что известно по условию задачи?

Что нужно узнать?

Запишите решение задачи самостоятельно в тетрадь.

ПРОВЕРКА.

Какой ответ у вас получился

Физминутка.

Раз – присели, два – привстали,

Три – нагнулись и достали

Правою рукой носок,

Левой – потолок.

А потом – наоборот.

И тихонько сели.

3. – С.29, з.102. Прочитайте задачу.

Что известно по условию задачи? (Поле прямоугольной формы имеет длину 850 м, а ширину 625 м)

Что надо узнать? (Периметр поля)

У каждого на столе лежит карточка – помощница.

Вы должны заполнить карточки самостоятельно. (Я напишу на доске.)

ПРОВЕРКА у доски.

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА.

Кто может решить задачу сразу?

Приступайте к решению, а кому сложно работает с учителем.

Работа с выражениями. (Групповая работа.)

ФАЗА РЕФЛЕКСИИ.

- кто может составить выражения к нашей задаче по любому из предложенных способов?

1. (850+625) 2 = 2550(км)

2. 850 2 + 625 2 = 2550(км)

3. 850 + 625 + 850 + 625 = 2550 (км)

(Выходят к доске те дети, которые желают.)

(Выполняется ПРОВЕРКА.)

Выберите любой из удобных для вас способов и запишите в тетрадь.

Ребята, я сегодня очень торопилась на урок, несла вам карточки с выражениями, но споткнулась и выронила их. Карточки рассыпались. Теперь мне необходима ваша помощь. Будем работать в группах.

Раздаю карточки с числами и знаками группам из 5 – 6 человек.

- (, +, :,), 27, 15, 7, = (27+15):7 = 6

19, (, 9,), +, =, 4, : (19+9):4 = 7

37, -, :, 24, 3, = 37-24:3 = 29

- +, :, 22, =, 36, 4 22+36:4 = 31

ЗАДАЧА этапа: Каждая группа должна составить выражение.

Ответственный из каждой группы выходит к доске со своим выражением, выполняется проверка.

В чем была трудность?

Итог урока.

1. Что самое важное было для вас на уроке?

2. Какие цели ставили в начале урока?

3. Достигнуты ли они?

4. Чему научились на этом уроке?

5. Какое знание получили на уроке ?

6. Чему бы вы хотели посвятить следующий урок?

Домашнее задание. (По выбору.)

Однозначные числа складывают, используя таблицу сложения. Таблицу сложения, а точнее результаты сложения однозначных чисел, нужно помнить наизусть.

Пример . Сложим однозначные числа 4 и 9:

Сложение многозначных чисел

Многозначные числа складывают по разрядам, используя переместительный и сочетательный законы сложения.

Пример . Сложим двухзначные числа 26 и 48:

26 + 48 = (20 + 6) + (40 + 8) = 20 + 6 + 40 + 8 = (20 + 40) + (6 + 8) = 60 + 14 = 60 + (10 + 4) = 60 + 10 + 4 = (60 + 10) + 4 = 70 + 4 = 74

Сначала мы разложили слагаемые на разряды, затем сгруппировали в одну группу десятки, в другую - единицы и выполнили сложение по разрядам, т. е. сложили десятки с десятками и единицы с единицами, затем один десяток, получившийся от сложения единиц, прибавили к десяткам, которых у нас было 6 от сложения десятков, и в конце сложили десятки с единицами.

Форма записи сложения, которую мы использовали, слишком длинная и потому неудобная, поэтому при сложении многозначных чисел обычно используется другая, более удобная форма записи, которая называется сложением столбиком.

Сложение столбиком

Сложение многозначных натуральных чисел удобней выполнять в столбик.

Сложение столбиком - это форма записи и способ сложения, используемый при сложении многозначных чисел. Сложение столбиком иначе ещё называют сложением в столбик .

Рассмотрим сложение столбиком на примере сложения чисел 7056 и 483.

Сложение в столбик записывается так: одно слагаемое записывается под другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Для удобства обычно меньшее число записывают под большим. Слева между слагаемыми ставится знак плюс, а под нижним слагаемым проводится горизонтальная черта:

Полученную запись можно мысленно разбить на столбики так, как это показано на рисунке:

Все дальнейшие действия сводятся к сложению однозначных чисел, которые находятся в одном столбике. Вычисление выполняется поразрядно справа налево, начиная с разряда единиц.

Если в результате сложения получается число меньшее 10, то оно записывается под чертой в этом же разряде.

Начинаем вычисление с разряда единиц: складываем числа 6 и 3. В результате имеем число 9. Так как 9 < 10, то записываем это число под чертой, в том же разряде:

Если в результате сложения получается число, равное 10 или большее 10, то под чертой в этом же разряде записывается значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков полученного числа запоминается (оно используется на следующем шаге).

Переходим к сложению чисел в следующем разряде, то есть к сложению значений разряда десятков. Складываем числа 5 и 8, получаем число 13. Так как 13 > 10, то под чертой, в том же разряде, записываем число 3 (это значение разряда единиц числа 13), а число 1 запоминаем (это значение разряда десятков числа 13), при этом говорят три пишем, а один в уме . Чтобы не забыть о запомненном числе, его обычно записывают сверху над следующим (слева) разрядом:

Запомненное число прибавляется к сумме чисел следующего разряда.

Переходим к следующему разряду и складываем числа 0 и 4. В результате имеем 4. К полученному числу прибавляем запомненное число 1, получаем 5. Так как 5 < 10, то под чертой, в том же разряде, записываем число 5:

После этого происходит переход на один разряд влево и действия повторяются. Данный процесс продолжается до тех пор, пока числа не закончатся.

Если в столбике содержится только одно число, и у нас нет запомненного числа (от предыдущего сложения), в этом случае мы просто записываем это число под чертой, в том же разряде.

Так как в следующем столбике находится лишь одно число - 7, и в памяти у нас нет запомненного числа, то мы просто записываем 7 под чертой, в том же разряде:

Дальше никаких чисел нет и в памяти тоже чисел нет. На этом процесс сложения можно считать завершённым. Натуральное число, получившееся под чертой, является результатом сложения данных чисел. Теперь можно записать сумму данных чисел в обычном виде:

7056 + 483 = 7539

Рассмотрим ещё пару примеров сложения столбиком, чтобы разобраться с оставшимися нюансами.

Пример . Сложим числа 29 и 6 столбиком.

Складываем 9 и 6, в результате получаем число 15. Так как 15 > 10, то число 5 записываем, а число 1 запоминаем:

Если в столбике содержится только одно число, и у нас имеется запомненное число (от предыдущего сложения), то запомненное число просто прибавляется к этому одному числу.

В следующем столбике находится лишь одно число - 2. Так как у нас в памяти имеется число 1, то его нужно прибавить к 2. В результате получаем число 3:

Пример . Сложим столбиком числа 43 и 94.

Складываем 3 и 4. В результате имеем число 7. Так как 7 < 10, то записываем это число под чертой, в том же разряде:

Если в последнем разряде в результате сложения получается число, равное 10 или большее 10, то под чертой в этом же разряде записывается значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков полученного числа записывается под чертой в следующий разряд.

В следующем разряде складываем числа 4 и 9, получаем число 13. Так как 13 > 10, то под чертой, в том же разряде, записываем число 3, а число 1 записываем под чертой в следующий разряд:

Удобство сложения в столбик заключается в том, что сложение многозначных натуральных чисел фактически сводится к сложению однозначных чисел и запись процесса сложения занимает меньше места.

О сайте:	конспекты по математике, русскому языку и химии
Связь:	contact@сайт
Новое на сайте | 2018 - 2019

Сорокин А. С.

С65 Техника счета (Методы рациональных вы*
числений). М., «Знание», 1976.

120 с. (Нар. ун-т. Естественнонаучный фак.)

В книге в научно-популярной форме представлен один из
интересных разделов вычислительной математики.

Книга раcчитана на студентов технических вузов, инже-
неров и экономистов. Она может быть полезна учителям сред-
ней школы при организации лекций по устному счету, а также
слушателям народных университетов естественнонаучных зна-
ний и всем, кому приходится иметь дело с вычислительными
операциями.

г 20200-126 ,„
073(02Р76 Б3 ~ 16 -3-76 б1

(С) Издательство «Знание», 1976 г.

ВВЕДЕНИЕ

Современный уровень развития социалистического
народного хозяйства характеризуется повсеместным внед-
рением электронно-вычислительной техники и экономи-
ко-математических методов во все отрасли советской
экономики. Все чаще и чаще математические расчеты
входят в качестве необходимой составляющей в работу
Рабочего, инженера, экономиста, в работу специалистов,
Ранее никогда не сталкивавшихся с необходимостью вы-
полнять вычислительные работы. Но несмотря на то, что
математическая культура современного производствен-
ника стала несоизмеримо выше по сравнению с уровнем
рабочего первых пятилеток, на арифметические расче-
ты, когда их приходится выполнять, тратится неоправ-
данно много времени. «Неумение считать быстро и про-
сто является настолько общим и современным недостат-
ком, что мы его не замечаем, несмотря на весь
приносимый им вред»,- писал И. Ф. Слудский в 1925
году. К сожалению, эта цитата не устарела и сегодня,
правда, с учетом того, что сейчас под умением быстро и
просто считать понимается несколько иное, чем имелось
в виду в то время. Отсутствие навыков в быстрых при-
ближенных вычислениях часто заставляет отказываться

от оценочных расчетов, от рассмотрения ряда вариантов,
столь необходимых для принятия грамотного решения.

Преклонение перед математикой как самой точной на-
укой нередко переходит в веру непогрешимости и опти-
|мальности тех методов счета, которые мы познаем в
средней школе. Любое вмешательство в рутинные, но
|хорошо освоенные нами методы счета чаще всего вызы-
|ает протест (иногда неосознанный), который прежде

проявляется в отношении к новым методам,
Овладение рациональной, быстрой и изящной техни-

кой счета требует от человека определенных усилий, а|
главное-творческого отношения к вычислительному про-
цессу, ибо наиболее эффективные методы, дающие наи-
больший выигрыш в вычислительной работе, основаны
на сознательном использовании основных особенностей
чисел, применяемых в вычислениях. Знание же этихваж-
ных свойств конкретных чисел дает порой исключитель-
ные результаты. Например, даже при наличии арифмо-
метра выполнить умножение чисел 0,9999997-0,9999998-
дело нелегкое (подобные и еще более сложные вычис-
ления приходится производить при расчете надежности
элементов и систем). Но вычисление выполняется устно
проще и быстрее, чем на любой математической машине
Ознакомившись с методом дополнений, вы сможете убе
диться в правильности этого утверждения.

В настоящее время на русском языке отсутствует ли-
тература, хотя бы относительно полно освещающая при-
емы и методы, упрощающие вычисления. Одна из наибо-
лее известных в этой области книга математика Г. Н]
Бермана «Приемы счета» содержит очень небольшое
количество известных приемов и не может удовлетво-
рить требованиям сегодняшнего дня. Но и она стала биб-
лиографической редкостью. Интересная работа Э. Кот-
лера и Р. Мак-Шейна «Система быстрого счета по Трах
тенбергу», вышедшая в переводе с английского языка в
1967 году, включает в основном специфические разработ-
ки немецкого профессора.

Настоящая работа призвана по возможности воспол-
нить этот пробел, помочь всем, кому приходится иметь
дело с вычислениями, предоставить в их распоряжение
наиболее рациональные приемы вычислений, существен-
но сокращающие вычислительный процесс, упрощающие
его и способствующие повышению достоверности поли
чаемых результатов.

В работе представлены материалы по рационализа-
ции выполнения основных арифметических действии
проверке правильности полученных результатов. Наибо-|
лее перспективные и общие методы автор пытался осве-
тить полнее, показать различные аспекты их применения,
чтобы читатель мог активно их освоить, а иногда и раз-
вить дальше. Стремление показать все возможности ме
тода заставляли автора иногда нарушать порядок поме-
щения материала по главам. В частности, чтобы
показать логику развития и использования метода, ма-

териал по возведению в квадрат чисел определенного ви-
да оказался в главе об умножении.

При просмотре материала может возникнуть вопрос:
неужели все написанное здесь можно запомнить? Неуже-
ли все это надо запомнить? Принципы применения ос-
новных методов, безусловно, нужно освоить. Многое бу-
дет непосредственно следовать из этих основных положе-
ний (как, например, метод дополнений). Некоторые
способы, несмотря на относительно узкий круг примене-
ния, настолько просты, что запоминаются непроизволь-
но. В детстве еще мне сообщили способ возведения в
квадрат чисел, оканчивающихся на 5, - число десятков
надо умножить на следующее число и приписать 25:

65-65=? 6-(6+1) =42 65-65 = 4225.
Этого оказалось достаточным, чтобы такой простой ме-
тод навсегда остался в памяти, и вошел в активный ар-
сенал моих вычислительных способов. Но, безусловно,
книга может чему-то научить только заинтересованного
человека, читающего ее с карандашом и бумагой в ру-
ках.

Подавляющее большинство предлагаемых способов
предельно просто, но подробное формальное описание
занимает много места. Поэтому, сталкиваясь с длинными,
многошаговыми методами вычислений, не пугайтесь, раз-
беритесь. В итоге скорее всего все окажется очень про-
сто. Большая часть приемов рассчитана на устное вы-
числение с записью окончательного результата, некото-
рые методы упрощают письменные вычисления.

Иногда выполнение арифметических действий с
одними и теми же числами описывается с применением
разных методов. Читателю предоставляется возможность
выбрать тот из них, который конкретно для него будет
наиболее прост.

В начале второй главы автор дает рекомендации по
записи и расположению чисел в вычисляемых примерах,
но в дальнейшем сам этими рекомендациями не пользу-
йся. Это не случайно. Непривычное расположение чи-
сел, непривычная запись могут мешать восприятию
нового излагаемого материала и с этим необходимо счи-
таться.

Автор будет благодарен всем читателям за высказан-
ные замечания о работе, которые можно послать или в
адрес редакции или непосредственно автору: Москва,
129243, Ракетный бульвар, д. 15, кв. 46,

Глава 1

МЕТОДЫ, УПРОЩАЮЩИЕ
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

С ложение и вычитание относятся к простей-
шим арифметическим действиям. Предпола-
гается, что читатель выполняет эти действия без затруд-
нения. Поэтому материал данной главы надо рассматри-
вать как попытку систематизировать наши знания по
технике выполнения сложения и вычитания, акцентиро-
вать внимание на тех деталях вычислительного процес-
са, которые позволяют выполнять его несколько быстрее
и с меньшими усилиями, ибо трудно назвать общие ме-
тоды, дающие существенный выигрыш в объеме вычис-
лений при выполнении сложения и вычитания.

УСТНОЕ СЛОЖЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если возникает необходимость найти сумму ряда
многозначных чисел устно, не производя никаких запи-
сей, то можно рекомендовать следующий порядок вы-
числений, проиллюстрированный на примере сложения
чисел:

5754
2315
+ 6438

Суммируем старший разряд слагаемых

Сложив все цифры старшего разряда, приписываем
к сумме О

и продолжаем прибавлять цифры следующего разряда
220+7+3+4+3=237,

опять приписываем 0 и прибавляем цифры третьего разря-

да 237-2370; 2370+5+1+3+1=2380,
приписываем последний раз 0 и завершаем вычисление
суммы

2380-23 800; 23 800+4+5+8+3 = 23 820.

В конце вычислений приходится помнить относитель-
но большое число, но зато прибавляем к нему каждый
раз только число однозначное. Это существенно облегча-
ет устное вычисление.
Найдите самостоятельно суммы:

1) 2374 2) 2437 3) 1234 4) 659
3943 7538 124 3541

+ + + 35+

6513 1467 2343 2413

7231 9325 594 79

Ответы: 1) 20061, 2) 20 767, 3) 4330, 4) 6692.