Хоёр тооны шоо хоёрын ялгаа юу вэ?

орос хэл Томьѐо эсвэл товчилсон үржүүлэх дүрмийг арифметикт, илүү нарийвчлалтай алгебрт ашигладаг бөгөөд том тоог хурдан тооцоолох процессыг ашигладаг.алгебрийн илэрхийллүүд

. Томъёо нь өөрөө хэд хэдэн олон гишүүнтийг үржүүлэх алгебрийн дүрмээс гаралтай. Эдгээр томъёог ашиглах нь янз бүрийн асуудлыг нэлээд хурдан шийддэгматематикийн асуудлууд

, мөн илэрхийллийг хялбарчлахад тусалдаг. Алгебрийн хувиргалтын дүрмүүд нь илэрхийлэлтэй зарим заль мэхийг хийх боломжийг олгодог бөгөөд үүний дараа та тэгш байдлын зүүн талд баруун талд байгаа илэрхийлэлийг олж авах эсвэл тэгш байдлын баруун талыг хувиргах боломжтой (зүүн талд байгаа илэрхийллийг олж авах боломжтой). тэнцүү тэмдгийн дараа). Бодлого, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг тул товчилсон үржүүлэхэд ашигладаг томьёог санах ойноос мэдэх нь тохиромжтой. Үүнд багтсан үндсэн томъёог доор жагсаавэнэ жагсаалт

, мөн тэдний нэр.

Нийлбэрийн квадрат

Нийлбэрийн квадратыг тооцоолохын тулд та эхний гишүүний квадрат, эхний гишүүний хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь ба хоёр дахь гишүүний квадратаас бүрдэх нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрмийг дараах байдлаар бичнэ: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Квадрат ялгаа

Зөрүүний квадратыг тооцоолохын тулд эхний тооны квадрат, эхний тооны үржвэрээс хоёр дахин, хоёр дахь (эсрэг тэмдгээр авсан) хоёр дахь тооны квадратаас бүрдэх нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай байна: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Квадратуудын ялгаа

Хоёр тооны квадратын зөрүүний томъёо нь эдгээр тоонуудын нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний үржвэртэй тэнцүү байна. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай харагдана: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Нийлбэрийн шоо

Хоёр гишүүний нийлбэрийн кубыг тооцоолохын тулд та эхний гишүүний шоо, эхний гишүүн ба хоёр дахь гишүүний квадратын үржвэрийг гурав дахин, эхний гишүүн ба хоёр дахь гишүүний үржвэрийг гурав дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай. квадрат, хоёр дахь гишүүний шоо. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай харагдана: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Кубуудын нийлбэр

Жишээ.Хоёр шоо нэмснээр үүссэн зургийн эзлэхүүнийг тооцоолох шаардлагатай. Зөвхөн тэдгээрийн хажуугийн хэмжээ л мэдэгддэг.

Хэрэв хажуугийн утгууд бага байвал тооцоолол нь энгийн.

Хэрэв талуудын уртыг төвөгтэй тоогоор илэрхийлсэн бол энэ тохиолдолд "Шоо нийлбэр" томъёог ашиглах нь илүү хялбар бөгөөд энэ нь тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно.

Ялгаатай шоо

Кубын зөрүүний илэрхийлэл нь иймэрхүү сонсогдож байна: эхний гишүүний гуравдахь түвшний нийлбэрээр эхний гишүүний квадратын сөрөг үржвэрийг хоёр дахь гишүүнээр гурав дахин, эхний гишүүний үржвэрийг хоёр дахь гишүүний квадратаар гурав дахин нэмэгдүүлнэ. ба хоёр дахь гишүүний сөрөг шоо. Математик илэрхийллийн хэлбэрээр зөрүүний куб нь дараах байдалтай байна: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Кубуудын ялгаа

Кубуудын томъёоны зөрүү нь кубуудын нийлбэрээс зөвхөн нэг тэмдгээр ялгаатай байна. Тиймээс кубуудын ялгаа нь томъёо юм. бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаэдгээр тоонуудын хоорондын зөрүү нь тэдгээрийн хэсэгчилсэн квадрат нийлбэр. Маягтын хувьд шоо дөрвөлжингийн ялгаа дараах байдалтай байна: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Жишээ.Цэнхэр шооны эзэлхүүнээс эзэлхүүнийг хассаны дараа үлдэх зургийн эзлэхүүнийг тооцоолох шаардлагатай. шар, энэ нь бас шоо юм. Жижиг, том шоогийн зөвхөн хажуугийн хэмжээ л мэдэгддэг.

Хэрэв хажуугийн утгууд бага бол тооцоолол нь маш энгийн. Хэрэв талуудын уртыг мэдэгдэхүйц тоогоор илэрхийлсэн бол тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх "Шоо дөрвөлжингийн ялгаа" (эсвэл "ялгааны шоо") гэсэн томъёог ашиглах нь зүйтэй.

Өмнөх хичээлүүд дээр бид олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх хоёр аргыг авч үзсэн: нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах, бүлэглэх арга.

Энэ хичээлээр бид олон гишүүнт хүчин зүйл хийх өөр аргыг авч үзэх болно үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан.

Томъёо бүрийг дор хаяж 12 удаа бичихийг зөвлөж байна. Илүү сайн цээжлэхийн тулд бүх товчилсон үржүүлэх томъёог жижиг хууран мэхлэх хуудсан дээр бичээрэй.

Кубуудын томьёоны ялгаа ямар байдгийг санацгаая.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Шоо дөрвөлжин томьёоны ялгаа нь санахад тийм ч хялбар биш тул үүнийг санахын тулд тусгай аргыг ашиглахыг зөвлөж байна.

Аливаа товчилсон үржүүлэх томъёо нь бас ажилладаг гэдгийг ойлгох нь чухал юм урвуу тал.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Нэг жишээ авч үзье. Шоо дөрвөлжингийн зөрүүг тооцох шаардлагатай.

"27a 3" нь "(3a) 3" гэдгийг анхаарна уу, энэ нь шоо томьёоны зөрүүний хувьд "a"-ын оронд "3a" гэсэн үг юм.

Бид кубын зөрүүний томъёог ашигладаг. "a 3"-ын оронд бид "27a 3", томьёоны дагуу "b 3"-ын оронд "b 3" байна.

Шоо дөрвөлжингийн зөрүүг эсрэг чиглэлд хэрэглэх

Өөр нэг жишээг харцгаая. Та үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан олон гишүүнтийн үржвэрийг кубын зөрүү болгон хувиргах хэрэгтэй.

“(x − 1)(x 2 + x + 1)” олон гишүүнтүүдийн үржвэр нь шоо дөрвөлжингийн ялгаварын баруун талтай “томьёо”-той төстэй болохыг анхаарна уу, зөвхөн “a”-гийн оронд “x” байгаа бөгөөд оронд нь "b" тоонд "1" байна.

"(x − 1)(x 2 + x + 1)"-ийн хувьд бид эсрэг чиглэлд шоо томьёоны зөрүүг ашиглана.

Илүү төвөгтэй жишээг авч үзье. Олон гишүүнтийн үржвэрийг хялбарчлах шаардлагатай.

Хэрэв бид “(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” -ийг баруун талкуб томьёоны ялгаа
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)", тэгвэл та эхний хаалтанд байгаа "a"-ын оронд "y 2", "b"-ийн оронд "1" байгааг ойлгож болно.

Үржүүлэх товчилсон томъёо.

Үржүүлэх товчилсон томъёог судлах: нийлбэрийн квадрат ба хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадрат; хоёр илэрхийллийн квадратуудын ялгаа; хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн шоо ба зөрүүний шоо; хоёр илэрхийллийн шоо нийлбэр ба ялгаа.

Жишээг шийдвэрлэхдээ үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.

Илэрхийллийг хялбарчлахын тулд олон гишүүнтийг хүчинтэй болгох, олон гишүүнтийг багасгах стандарт харагдах байдалүржүүлэх товчилсон томъёог ашигладаг. Үржүүлэх товчилсон томъёог цээжээр мэддэг байх шаардлагатай.

a, b R гэж үзье. Дараа нь:

1. Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат нь тэнцүү байнаэхний илэрхийллийн квадрат дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн үржвэрийн хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг нэмнэ.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадрат нь тэнцүү байнаэхний илэрхийллийн квадратаас эхний илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хасна.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Зөрүүний квадратыг тооцоолохын тулд эхний тооны квадрат, эхний тооны үржвэрээс хоёр дахин, хоёр дахь (эсрэг тэмдгээр авсан) хоёр дахь тооны квадратаас бүрдэх нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай байна: (a - c)² = a² - 2ac + c².хоёр илэрхийлэл нь эдгээр илэрхийллийн зөрүү ба тэдгээрийн нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Хоёр тооны квадратын зөрүүний томъёо нь эдгээр тоонуудын нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний үржвэртэй тэнцүү байна. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай харагдана: a² - с² = (a + с)·(a - с).хоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн шоо дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг гурав дахин нэмсэн хоёр дахь илэрхийллийн шоотой тэнцүү байна.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Ялгаатай шоохоёр илэрхийлэл нь эхний илэрхийллийн шоо, эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хоёр дахь илэрхийллийн шоо үржвэрийг гурав дахин нэмэгдүүлснийг хассантай тэнцүү байна.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Хоёр гишүүний нийлбэрийн кубыг тооцоолохын тулд та эхний гишүүний шоо, эхний гишүүн ба хоёр дахь гишүүний квадратын үржвэрийг гурав дахин, эхний гишүүн ба хоёр дахь гишүүний үржвэрийг гурав дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай. квадрат, хоёр дахь гишүүний шоо. Илэрхийллийн хэлбэрээр энэ дүрэм дараах байдалтай харагдана: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.хоёр илэрхийлэл нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн нийлбэр ба эдгээр илэрхийллийн зөрүүний бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Кубуудын ялгаахоёр илэрхийлэл нь эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн зөрүүг эдгээр илэрхийллийн нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Жишээг шийдвэрлэхдээ үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.

Жишээ 1.

Тооцоол

a) Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглан бид байна

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратын томъёог ашиглан бид олж авна

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Жишээ 2.

Тооцоол

Хоёр илэрхийллийн квадратуудын зөрүүг томъёог ашиглан бид олж авна

Жишээ 3.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах

(x - y) 2 + (x + y) 2

Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадрат ба ялгаварын квадратын томъёог ашиглая

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Нэг хүснэгтэд үржүүлэх товчилсон томъёо:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Квадратуудын ялгаа

$a^2-b^2$ квадратуудын зөрүүний томъёог гаргая.

Үүнийг хийхийн тулд дараах дүрмийг санаарай.

Хэрэв бид илэрхийлэлд ямар нэгэн мономиал нэмж, ижил мономиалыг хасвал бид зөв ижилслийг олж авна.

Илэрхийлэлдээ нэмээд $ab$ мономиалыг хасъя:

Бид нийтдээ:

Өөрөөр хэлбэл, хоёр мономиалын квадратуудын ялгаа нь тэдгээрийн зөрүү ба нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 1

$(4x)^2-y^2$ бүтээгдэхүүн хэлбэрээр танилцуулна

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\зүүн(2x-y\баруун)(2х+у)\]

Кубуудын нийлбэр

$a^3+b^3$ кубуудын нийлбэрийн томъёог гаргая.

Нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтнаас хасъя:

$\left(a+b\right)$-г хаалтнаас гаргая:

Бид нийтдээ:

Өөрөөр хэлбэл, хоёр мономиалын шоо нийлбэр нь тэдгээрийн нийлбэр ба ялгааны бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 2

$(8x)^3+y^3$ бүтээгдэхүүн хэлбэрээр танилцуулна

Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

\[((2x))^3+y^3=\зүүн(2x+y\баруун)(4x^2-2xy+y^2)\]

Кубуудын ялгаа

$a^3-b^3$ шоо дөрвөлжин зөрүүний томьёог гаргая.

Үүнийг хийхийн тулд бид дээрхтэй ижил дүрмийг ашиглана.

Илэрхийлэлдээ нэмээд $a^2b\ ба \ (ab)^2$ мономиалуудыг хасъя:

Нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтнаас хасъя:

$\left(a-b\right)$-г хаалтнаас гаргая:

Бид нийтдээ:

Өөрөөр хэлбэл, хоёр мономиалын кубын зөрүү нь тэдгээрийн зөрүүг нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Жишээ 3

$(8x)^3-y^3$ бүтээгдэхүүн хэлбэрээр танилцуулна

Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

\[((2x))^3-y^3=\зүүн(2x-y\баруун)(4x^2+2xy+y^2)\]

Квадрат ба нийлбэрийн зөрүү, шоо дөрвөлжингийн ялгаврын томъёог ашигласан бодлогын жишээ

Жишээ 4

Үүнийг анхаарч үзээрэй.

a) $((a+5))^2-9$

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Шийдэл:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

\[((a+5))^2-3^2=\зүүн(a+5-3\баруун)\зүүн(a+5+3\баруун)=\зүүн(a+2\баруун)(a +8)\]

Энэ илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

Кубуудын томъёог хэрэглэцгээе:

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Энэ илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\зүүн(\frac(1)(3)\баруун))^3-x^3\]

Кубуудын томъёог хэрэглэцгээе:

\[(\left(\frac(1)(3)\баруун))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\баруун)\]