Ердийн дөрвөлжин пирамид дахь апотемийг хэрхэн олох вэ. Пирамидын үг. Ердийн гурвалжин пирамидын нэр томъёоны томъёо. Бусад толь бичгүүдээс "апотем" гэж юу болохыг хараарай

Пирамид нь орон зайн олон өнцөгт буюу олон өнцөгт хэлбэртэй байдаг геометрийн асуудлуудӨө. Энэ зургийн гол шинж чанарууд нь түүний шугаман шинж чанаруудын аль нэгийг нь олж мэдсэнээр тооцоолсон эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай юм. Эдгээр шинж чанаруудын нэг нь пирамидын апотем юм. Түүний тухай бид ярилцананийтлэлд.

Пирамид дүрс

Пирамидын нэрийн үгийн тодорхойлолтыг өгөхөөс өмнө зурагтай танилцъя. Пирамид нь нэг n өнцөгт суурь ба n гурвалжнаас бүрдэх олон өнцөгт юм. хажуугийн гадаргуутоонууд.

Пирамид бүр оройтой байдаг - бүх гурвалжнуудын холболтын цэг. Энэ оройноос суурь руу татсан перпендикулярыг өндөр гэнэ. Хэрэв өндөр нь суурийг геометрийн төвөөр огтолж байвал уг дүрсийг шулуун шугам гэж нэрлэдэг. Тэгш талт суурьтай шулуун пирамидыг тогтмол гэж нэрлэдэг. Зураг дээр зургаан өнцөгт суурьтай пирамидыг хажуу ба ирмэгээс нь харав.

Ердийн пирамидын үг

Үүнийг бас апотем гэж нэрлэдэг. Энэ нь пирамидын оройноос зургийн суурийн хажуу руу татсан перпендикуляр гэж ойлгогддог. Тодорхойлолтоор энэ перпендикуляр нь пирамидын хажуугийн нүүрийг бүрдүүлдэг гурвалжны өндөртэй тохирч байна.

Бид n өнцөгт суурьтай ердийн пирамидыг авч үзэж байгаа тул түүний бүх n тэмдэгтүүд ижил байх болно, учир нь эдгээр нь зургийн хажуугийн гадаргуугийн тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Ижил үг хэллэг нь өмч гэдгийг анхаарна уу ердийн пирамид. Зургийн хувьд ерөнхий төрөл(тогтмол бус n-гонтой ташуу) бүх n үг өөр байх болно.

Ердийн пирамидын нэрийн өөр нэг шинж чанар нь энэ нь нэгэн зэрэг харгалзах гурвалжны өндөр, медиан ба биссектрис юм. Энэ нь хоёр ижил тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваагдана гэсэн үг юм.

ба түүний нэрийн үгийг тодорхойлох томьёо

Аливаа ердийн пирамидын хувьд чухал шугаман шинж чанарууд нь түүний суурийн хажуугийн урт, хажуугийн ирмэг b, өндөр h ба апотем h b юм. Эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь пирамид зурж, шаардлагатай тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг авч үзэх замаар олж авах боломжтой харгалзах томъёогоор бие биетэйгээ холбоотой байдаг.

Ердийн гурвалжин пирамид нь 4 гурвалжин нүүрээс бүрдэх ба тэдгээрийн нэг нь (суурь) тэгш талт байх ёстой. Үлдсэн хэсэг нь ерөнхий тохиолдолд тэгш өнцөгт юм. Апотем гурвалжин пирамидДараахь томъёог ашиглан бусад хэмжигдэхүүнээр тодорхойлж болно.

h b = √(b 2 - a 2 /4);

h b = √(a 2 /12 + h 2)

Эдгээр илэрхийллүүдийн эхнийх нь ямар ч тогтмол суурьтай пирамидын хувьд үнэн юм. Хоёрдахь илэрхийлэл нь зөвхөн гурвалжин пирамидын хувьд ердийн зүйл юм. Энэ нь апотем үргэлж байдаг гэдгийг харуулж байна илүү өндөртоонууд.

Пирамидын нэр томъёог олон өнцөгттэй андуурч болохгүй. Сүүлчийн тохиолдолд apothem нь олон өнцөгтийн төвөөс хажуу тийш зурсан перпендикуляр сегмент юм. Жишээлбэл, апотем тэгш талт гурвалжин√3/6*a-тай тэнцүү.

Апотем тооцоолох асуудал

Суурьдаа гурвалжин бүхий ердийн пирамид өгье. Хэрэв энэ гурвалжны талбай нь 34 см 2, пирамид нь өөрөө 4 ижил нүүрнээс бүрддэг гэдгийг мэддэг бол түүний нэр томъёог тооцоолох шаардлагатай.

Асуудлын нөхцөлийн дагуу бид тэгш талт гурвалжнуудаас бүрдэх тетраэдртэй харьцаж байна. Нэг нүүрний талбайн томъёо нь:

a талын уртыг хаанаас авах вэ:

Апотем h b-г тодорхойлохын тулд бид хажуугийн ирмэгийг агуулсан томъёог ашиглана b. Харгалзан үзэж буй тохиолдолд түүний урт нь суурийн урттай тэнцүү байна, бид:

h b = √(b 2 - a 2 /4) = √3/2*a

a-аас S-ийн утгыг орлуулснаар бид эцсийн томъёог авна.

h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)

Бид авсан энгийн томъёо, үүнд пирамидын нэр нь зөвхөн түүний суурийн талбайгаас хамаарна. Бодлогын нөхцлөөс S-ийн утгыг орлуулбал h b ≈ 7.674 см гэсэн хариултыг авна.

Эндээс та пирамидууд болон холбогдох томъёо, ойлголтуудын талаархи үндсэн мэдээллийг олж авах боломжтой. Бүгдийг нь улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхийн тулд математикийн багштай хамт суралцдаг.

Хавтгай, олон өнцөгтийг авч үзье , дотор нь хэвтэж байгаа ба S цэг, дотор нь хэвтээгүй. Олон өнцөгтийн бүх оройтой S-г холбоно. Үүссэн олон өнцөгтийг пирамид гэж нэрлэдэг. Сегментүүдийг хажуугийн хавирга гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгтийг суурь гэж нэрлэдэг ба S цэг нь пирамидын орой юм. Пирамидыг n тооноос хамааран гурвалжин (n=3), дөрвөн өнцөгт (n=4), таван өнцөгт (n=5) гэх мэтээр нэрлэдэг. Гурвалжин пирамидын өөр нэр тетраэдр. Пирамидын өндөр нь түүний оройноос суурийн хавтгай хүртэл бууж буй перпендикуляр юм.

Пирамидыг ердийн if гэж нэрлэдэг ердийн олон өнцөгт, ба пирамидын өндрийн суурь (перпендикуляр суурь) нь түүний төв юм.

Багшийн сэтгэгдэл:
"Ердийн пирамид" ба "ердийн тетраэдр" гэсэн ойлголтыг бүү андуураарай. Энгийн пирамидын хувьд хажуугийн ирмэг нь суурийн ирмэгтэй тэнцүү байх албагүй, харин ердийн тетраэдр дээр бүх 6 ирмэг нь тэнцүү байна. Энэ бол түүний тодорхойлолт юм. Тэгш байдал нь олон өнцөгтийн P төв давхцаж байгааг батлахад хялбар байдаг суурь өндөртэй тул ердийн тетраэдр нь ердийн пирамид юм.

Апотем гэж юу вэ?
Пирамидын нэр томъёо нь түүний хажуугийн нүүрний өндөр юм. Хэрэв пирамид нь тогтмол байвал түүний бүх нэр томъёо тэнцүү байна. Урвуу нь үнэн биш юм.

Математикийн багш өөрийн нэр томъёоны талаар: Пирамидтай хийсэн ажлын 80% нь хоёр төрлийн гурвалжингаар бүтээгдсэн байдаг.
1) Апотем SK, өндөр SP агуулсан
2) Хажуугийн ирмэг SA, түүний төсөөлөл ТХГН-ийг агуулсан

Эдгээр гурвалжнуудын эшлэлийг хялбарчлахын тулд математикийн багш эхний гурвалжийг дуудах нь илүү тохиромжтой. апотемал, хоёр дахь нь эргийн. Харамсалтай нь та энэ нэр томьёог аль ч сурах бичгээс олж харахгүй бөгөөд багш үүнийг нэг талдаа нэвтрүүлэх ёстой.

Пирамидын эзэлхүүний томъёо:
1) , пирамидын суурийн талбай хаана байна, пирамидын өндөр
2) , энд бичээстэй бөмбөрцгийн радиус ба пирамидын нийт гадаргуугийн талбай юм.
3) , энд MN нь дурын хоёр огтлолцох ирмэгийн хоорондох зай бөгөөд үлдсэн дөрвөн ирмэгийн дунд цэгээс үүссэн параллелограммын талбай юм.

Пирамидын өндрийн суурийн шинж чанар:

Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд P цэг (зураг харна уу) пирамидын ёроолд байгаа тойргийн төвтэй давхцана.
1) Бүх нэрийн үгс тэнцүү байна
2) Хажуугийн бүх нүүр нь суурь руу тэгш налуу байна
3) Бүх апотемууд пирамидын өндөрт адилхан налуу байна
4) Пирамидын өндөр нь бүх хажуугийн нүүрэнд адилхан налуу байна

Математикийн багшийн тайлбар: Бүх цэгүүд нэг нийтлэг зүйлтэй гэдгийг анхаарна уу ерөнхий өмч: нэг талаараа хажуугийн нүүрнүүд хаа сайгүй оролцдог (апотемууд нь тэдгээрийн элементүүд юм). Тиймээс багш нь бага нарийвчлалтай, гэхдээ сурахад илүү тохиромжтой томъёоллыг санал болгож болно: P цэг нь бичээстэй тойргийн төв, пирамидын суурь, хэрэв түүний хажуугийн нүүрний талаар ижил мэдээлэлтэй байвал давхцдаг. Үүнийг батлахын тулд бүх апотем гурвалжин тэнцүү гэдгийг харуулахад хангалттай.

Гурван нөхцлийн аль нэг нь үнэн бол P цэг нь пирамидын суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төвтэй давхцаж байна.
1) Хажуугийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна
2) Хажуугийн бүх хавирга нь суурь руу жигд налуу байна
3) Хажуугийн бүх хавирга нь өндөрт адилхан налуу байна

Геометрийн асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та энэ шинжлэх ухааны ашигладаг нэр томъёог тодорхой ойлгох ёстой. Жишээлбэл, эдгээр нь "шулуун", "онгоц", "олон талт", "пирамид" болон бусад олон зүйл юм. Энэ нийтлэлд бид апотем гэж юу вэ гэсэн асуултанд хариулах болно.

"Апотем" гэсэн нэр томъёоны давхар хэрэглээ

Геометрийн хувьд "апотема" эсвэл "апотема" гэдэг үгийн утга нь түүнийг хэрэглэж буй объектоос хамаардаг. Үндсэндээ хоёр байна өөр өөр ангиудЭнэ нь тэдний нэг онцлог шинж чанар юм.

Юуны өмнө эдгээр нь хавтгай олон өнцөгтүүд юм. Олон өнцөгтийн апотем гэж юу вэ? Энэ нь зургийн геометрийн төвөөс аль ч тал хүртэл зурсан өндөр юм.

Бидний юу хэлэхийг илүү тодорхой болгохын тулд бид ярьж байна, авч үзэх тодорхой жишээ. Доорх зурагт үзүүлсэн шиг бид ердийн зургаан өнцөгттэй байна гэж бодъё.

l тэмдэг нь хажуугийн уртыг, а үсэг нь апотемийг илэрхийлдэг. Тэмдэглэгдсэн гурвалжны хувьд энэ нь зөвхөн өндөр төдийгүй биссектрис ба медиан юм. Үүнийг l хажуугаар нь дараах байдлаар тооцоолж болохыг харуулахад хялбар байдаг.

Апотем нь ямар ч n-gon-д адилхан тодорхойлогддог.

Хоёрдугаарт, эдгээр нь пирамидууд юм. Ийм дүрд зориулсан апотем гэж юу вэ? Энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзэх шаардлагатай.

Сэдэв дээр: Ганцхан сарын дотор сормуусаа хэрхэн урт, өтгөн болгох вэ?

Пирамидууд ба тэдгээрийн үг хэллэгүүд

Эхлээд пирамидыг геометрийн үүднээс тодорхойлъё. Энэ зураг нь нэг n-gon (суурь) ба n гурвалжин (тал) -аас үүссэн гурван хэмжээст бие юм. Сүүлийнх нь орой гэж нэрлэгддэг нэг цэг дээр холбогддог. Үүнээс суурь хүртэлх зай нь зургийн өндөр юм. Хэрэв энэ нь n-gon-ийн геометрийн төв дээр унасан бол пирамидыг шулуун гэж нэрлэдэг. Нэмж дурдахад n-gon нь ижил өнцөг ба талуудтай бол дүрсийг тогтмол гэж нэрлэдэг. Пирамидын жишээг доор харуулав.

Ийм дүрд зориулсан апотем гэж юу вэ? Энэ нь n-gon-ийн талуудыг зургийн оройтой холбосон перпендикуляр юм. Энэ нь пирамидын тал болох гурвалжны өндрийг илэрхийлдэг нь ойлгомжтой.

Апотем нь ердийн пирамидтай геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахад тохиромжтой. Үнэн хэрэгтээ тэдний хувьд бүх хажуугийн нүүрнүүд хоорондоо тэнцүү байдаг тэгш өнцөгт гурвалжин. Сүүлийн баримтЭнэ нь бүх n нэр томъёо тэнцүү байна гэсэн үг, тиймээс ердийн пирамидын хувьд бид зөвхөн нэг шулуун шугамын тухай ярьж болно.

Ердийн дөрвөлжин пирамидын үг

Магадгүй энэ дүрсийн хамгийн тод жишээ бол дэлхийн алдартай анхны гайхамшиг болох Хеопсийн пирамид байж магадгүй юм. Тэр Египетэд байрладаг.

Ердийн n өнцөгт суурьтай ийм дүрсийн хувьд бид олон өнцөгтийн хажуугийн урт a, хажуугийн ирмэг b ба h өндрөөр дамжуулан түүний апотемийг тодорхойлох томъёог өгч болно. Энд бид дөрвөлжин суурьтай шулуун пирамидын тохирох томъёог бичнэ. Үүний h b үг нь дараахтай тэнцүү байна.

Сэдэв дээр: Башкирийн туг - тайлбар, бэлгэдэл, түүх

h b = √(b 2 - a 2 /4);

h b = √(h 2 + a 2 /4)

Эдгээр илэрхийллүүдийн эхнийх нь аливаа ердийн пирамидын хувьд хүчинтэй, хоёр дахь нь зөвхөн дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг.

Эдгээр томъёог ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж болохыг харцгаая.

Геометрийн асуудал

Дөрвөлжин суурьтай шулуун пирамид өгье. Түүний суурь талбайг тооцоолох шаардлагатай. Пирамидын нэр нь 16 см, өндөр нь суурийн хажуугаас 2 дахин их юм.

Сургуулийн хүүхэд бүр мэддэг: пирамидын суурь болох дөрвөлжингийн талбайг олохын тулд та түүний талыг мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

h b = √(h 2 + a 2 /4)

Апотемийн утга нь асуудлын нөхцөлөөс тодорхойлогддог. Өндөр h нь хажуугийн уртаас хоёр дахин их тул энэ илэрхийллийг дараах байдлаар өөрчилж болно.

h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>

a = 2*h b /√17

Квадратын талбай нь түүний талуудын үржвэртэй тэнцүү байна. Үүссэн илэрхийлэлийг a-аар орлуулбал бид:

S = a 2 = 4/17*h b 2

Асуудлын нөхцлөөс апотемийн утгыг томъёонд орлуулж, хариултыг бичнэ үү: S ≈ 60.2 см 2.

Мөн уншина уу:

Анхаарна уу. Энэ бол геометрийн асуудлууд (хэсэг стереометр, пирамидын талаархи бодлого) хичээлийн нэг хэсэг юм. Хэрэв та энд байхгүй геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Даалгавруудад "квадрат үндэс" тэмдгийн оронд sqrt () функцийг ашигладаг бөгөөд sqrt нь тэмдэг юм. квадрат язгуур, мөн радикал илэрхийлэл нь хаалтанд бичигдсэн байна.Энгийн радикал илэрхийллийн хувьд "√" тэмдгийг ашиглаж болно.

Онолын материал, томъёог "" бүлгээс үзнэ үү. Зөв пирамид ".

Даалгавар

Ердийн гурвалжин пирамидын нэр томъёо нь 4 см, суурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь 60 градус байна. Пирамидын эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл.

Пирамид тогтмол байдаг тул дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй.

• Пирамидын өндрийг суурийн төв рүү чиглүүлдэг
• Асуудлын дагуу жирийн пирамидын суурийн төв нь тэгш талт гурвалжин юм
• Тэгш талт гурвалжны төв нь бичээстэй болон хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм
• Пирамидын өндөр нь суурийн хавтгайтай тэгш өнцөг үүсгэдэг

Пирамидын эзэлхүүнийг дараах томъёогоор олж болно.
V = 1/3 Ш

Ердийн пирамидын нэр томъёо нь пирамидын өндөртэй хамт тэгш өнцөгт гурвалжинг үүсгэдэг тул өндрийг олохын тулд синусын теоремыг ашигладаг. Үүнээс гадна дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй.

• Сэдвийн эхний хэсэг зөв гурвалжинөндөр, хоёр дахь хөл нь бичээстэй тойргийн радиус (энгийн гурвалжинд төв нь бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь нэгэн зэрэг), гипотенуз нь пирамидын апотем юм.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны гурав дахь өнцөг нь 30 градустай тэнцүү (гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градус, 60 градусын өнцгийг нөхцөлөөр өгсөн, хоёр дахь өнцөг нь пирамидын шинж чанарын дагуу шулуун шугам, гурав дахь нь 180-90-60 = 30)
• синус 30 градус 1/2-тай тэнцүү
• 60 градусын синус нь хагасын гурвын үндэстэй тэнцүү байна
• 90 градусын синус нь 1

Синусын теоремын дагуу:
4 / нүгэл (90) = h / нүгэл (60) = r / нүгэл (30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
хаана
r = 2
h = 2√3

Пирамидын ёроолд ердийн гурвалжин байрладаг бөгөөд түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
S энгийн гурвалжин = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Одоо пирамидын эзлэхүүнийг олъё.
V = 1/3 Ш
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 см 3.

Хариулт: 24 см 3 .

Даалгавар

Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн өндөр ба хажуу тал нь тус тус 24 ба 14. Пирамидын нэрийн үгийг ол.

Шийдэл.

Пирамид нь тогтмол байдаг тул түүний сууринд ердийн дөрвөлжин - дөрвөлжин байдаг. Нэмж дурдахад пирамидын өндрийг талбайн төв рүү чиглүүлдэг. Ийнхүү пирамид, өндөр ба тэдгээрийг холбосон хэрчмээс үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь ердийн дөрвөлжин пирамидын суурийн хагастай тэнцүү байна.

Пифагорын теоремын дагуу апотемийн уртыг тэгшитгэлээс олох болно.

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

Хариулт: 25 см