Импульсийн моментийн тодорхойлолт. Хатуу биеийн материаллаг цэгийн импульсийн момент. Хамгаалалтын хуулийн асуудлын шийдэл L¯

Сонгодог механик дахь өнцгийн импульс

Импульс ба моментийн хоорондын хамаарал

Тодорхойлолт

Тодорхой жишиг цэгтэй харьцуулахад бөөмийн өнцгийн импульс нь түүний радиус вектор ба импульсийн вектор үржвэрээр тодорхойлогддог.

өгөгдсөн жишиг системд хөдөлгөөнгүй байгаа сонгосон жишиг цэгтэй харьцуулахад бөөмийн радиус вектор ба бөөмийн импульс.

Хэд хэдэн бөөмийн хувьд өнцгийн импульс нь дараах нэр томъёоны (вектор) нийлбэрээр тодорхойлогддог.

системд орж буй бөөмс бүрийн радиус вектор ба импульс хаана байна, тэдгээрийн өнцгийн импульс тодорхойлогддог.

(Хязгаарт бөөмсийн тоо хязгааргүй байж болно; жишээлбэл, тасралтгүй тархсан масс эсвэл ерөнхий тархсан системтэй хатуу биетийн хувьд системийн хязгааргүй жижиг цэгийн элементийн импульс хаана байна гэж бичиж болно. ).

Өнцгийн импульсийн тодорхойлолтоос харахад энэ нь нэмэлт юм: ялангуяа бөөмсийн систем болон хэд хэдэн дэд системээс бүрдсэн системийн хувьд дараахь зүйлийг агуулна.

• Анхаарна уу: зарчмын хувьд өнцгийн импульсийг дурын лавлах цэгтэй харьцуулж тооцоолж болно (үр дүнд нь өөр өөр утгууд нь тодорхой хамааралтай байдаг); Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд (тав тухтай, найдвартай байх үүднээс) үүнийг массын төв эсвэл хатуу биеийн эргэлтийн тогтмол цэг гэх мэтээр тооцдог.

Моментийн тооцоо

Өнцгийн импульс нь вектор үржвэрээр тодорхойлогддог тул энэ нь вектор ба хоёуланд нь перпендикуляр псевдовектор юм. Гэсэн хэдий ч тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэх тохиолдолд өнцгийн импульсийг псевдовектор гэж үзэхгүй, харин түүний эргэлтийн тэнхлэгт проекцийг скаляр гэж үзэх нь тохиромжтой бөгөөд тэмдэг нь эргэлтийн чиглэлээс хамаарна. Хэрэв эхийг дайран өнгөрөх ийм тэнхлэгийг сонгосон бол түүн дээрх өнцгийн импульсийн проекцийг тооцоолохын тулд хоёр векторын вектор үржвэрийг олох ерөнхий дүрмийн дагуу хэд хэдэн жор зааж өгч болно.

ба хоёрын хоорондох өнцөг хаана байна, эргэлтийн тэнхлэгийн эерэг хэсэгт байрлах ажиглагчийн өнцгөөс цагийн зүүний эсрэг эргэлт хийхээр тодорхойлогдоно. Эргэлтийн чиглэл нь хүссэн төсөөллийн тэмдгийг тодорхойлдог тул тооцоололд чухал ач холбогдолтой.

Үүнийг радиус векторын бүрэлдэхүүн хэсэг нь импульсийн вектортой параллель ба түүнтэй адил перпендикуляр хэлбэрээр бичье. Энэ нь үндсэндээ эргэлтийн тэнхлэгээс вектор хүртэлх зай бөгөөд үүнийг ихэвчлэн "гар" гэж нэрлэдэг. Үүний нэгэн адил та импульсийн векторыг радиус вектортой параллель ба перпендикуляр гэсэн хоёр бүрэлдэхүүн хэсэгт хувааж болно. Одоо векторын үржвэрийн шугаман байдал, түүнчлэн параллель векторуудын үржвэр тэгтэй тэнцүү байх шинж чанарыг ашиглан бид хоёр өөр илэрхийллийг олж авах боломжтой.

Өнцгийн импульсийн хадгалалт

Физик дэх тэгш хэм
Хөрвүүлэлт	Харгалзах хувирамтгай байдал	Харгалзах хууль хамгаалал
↕ Цагийн нэвтрүүлэг	... эрчим хүч
⊠ , , ба -тэгш хэм	... тэгш байдал
↔ Өргөн нэвтрүүлгийн зай	Нэгдмэл байдал зай	... импульс
↺ Орон зайн эргэлт	Изотропи зай	... мөч импульс
⇆ Лоренц бүлэг	Харьцангуй Лоренцын инвариант байдал	…4-импульс
~ Хэмжүүрийн хувиргалт	Хэмжүүрийн өөрчлөгдөөгүй байдал	... цэнэглэ

Тиймээс системийг хаах шаардлагыг гадны хүчний гол (нийт) момент тэгтэй тэнцүү байх шаардлагад сулруулж болно.

бөөмсийн системд үйлчлэх хүчний аль нэгний момент хаана байна. (Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, хэрэв гадны хүчин огт байхгүй бол энэ шаардлагыг бас хангана).

Математикийн хувьд өнцгийн импульс хадгалагдах хууль нь орон зайн изотропи, өөрөөр хэлбэл дурын өнцгөөр эргэх үед орон зайн өөрчлөгдөөгүй байдлаас үүсдэг. Дурын хязгааргүй жижиг өнцгөөр эргэх үед тоотой бөөмийн радиус вектор , хурд нь - ээр өөрчлөгдөнө. Системийн Лагранж функц нь орон зайн изотропийн улмаас ийм эргэлтээр өөрчлөгдөхгүй. Тийм ч учраас

Бөөмийн ерөнхий импульс хаана байгааг харгалзан үзэхэд сүүлчийн илэрхийллийн нийлбэр дэх гишүүн бүрийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Холимог бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид векторуудын мөчлөгийн зохицуулалтыг хийж, үүний үр дүнд нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж авдаг.

системийн өнцгийн импульс хаана байна. Дураараа дургиж байгаа учраас тэгш эрхээс л гардаг.

Орбитод өнцгийн импульс нь гаригийн өөрийн эргэлт ба тойрог замын хөдөлгөөний өнцгийн импульсийн хооронд хуваарилагдана.

Электродинамик дахь өнцгийн импульс

Цахилгаан соронзон орон дахь цэнэгтэй бөөмийн хөдөлгөөнийг дүрслэхдээ каноник импульс нь өөрчлөгддөггүй. Үүний үр дүнд каноник өнцгийн импульс нь өөрчлөгддөггүй. Дараа нь бид жинхэнэ импульсийг авдаг бөгөөд үүнийг "кинетик импульс" гэж нэрлэдэг.

цахилгаан цэнэг хаана байна, гэрлийн хурд, вектор потенциал. Тиймээс цахилгаан соронзон орон дахь цэнэгтэй массын бөөмийн Гамильтониан (инвариант) нь:

скаляр потенциал хаана байна. Энэ боломжоос Лоренцын хууль гарна. Инвариант өнцгийн импульс буюу "кинетик өнцгийн импульс"-ийг дараахь байдлаар тодорхойлно.

Квант механик дахь өнцгийн импульс

Моментийн оператор

Харьцангуй бус механик дахь өнцгийн импульсийн тооцоо

Хэрэв радиус вектороор тодорхойлсон цэг дээр хурдтай хөдөлж буй материаллаг массын цэг байгаа бол өнцгийн импульсийг дараах томъёогоор тооцоолно.

вектор бүтээгдэхүүний тэмдэг хаана байна.

Биеийн өнцгийн импульсийг тооцоолохын тулд түүнийг хязгааргүй жижиг хэсгүүдэд хуваах ёстой векторТэдний моментуудыг материаллаг цэгүүдийн импульсийн момент гэж дүгнэж, интегралыг авна уу.

Бид үүнийг нягтралын хувьд дахин бичиж болно:

Түүний масс ба хурдны бүтээгдэхүүн байдаг:

Эргэлтийн хөдөлгөөн дэх импульсийн аналог нь материалын цэгийн инерцийн момент ба түүний өнцгийн хурдны үржвэр болох өнцгийн импульс юм.

L = Iω, кг м 2 с -1

Өнцгийн импульс нь чиглэл нь өнцгийн хурд векторын чиглэлтэй давхцаж байгаа вектор хэмжигдэхүүн юм.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль

Гадны хүчний бүх моментуудын нийлбэр тэг байвал өнцгийн импульс хадгалагдана.

Уран гулгагчдын үзүүлбэрийн үеэр өнцгийн импульсийн тодорхой хэрэглээг харж болно, тэд гараа өргөн салгаж эргэлдэж эхлэхэд гараа аажмаар хааж, эргэлтийнхээ хурдыг нэмэгдүүлдэг. Тиймээс тэд инерцийн моментийг багасгаж, өнцгийн хурдаа нэмэгдүүлнэ. Тиймээс, эргэлтийн анхны өнцгийн хурд ω 0 ба түүний инерцийн момент нь I 0, гарнууд хаалттай үед I 1, өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийг ашиглан бид эцсийн өнцгийн хурдыг ω 1 олж болно.

I 0 ω 0 = I 1 ω 1 ω 1 = (I 0 ω 0)/I 1

Импульс хадгалагдах хуулийг хэрэглэснээр гаригууд болон сансрын хөлгүүдийн тойрог замын хөдөлгөөний параметрүүдийг маш энгийнээр тооцоолж болно.

"Бүх нийтийн таталцлын хууль" хуудсан дээр бид 392,500 км радиустай тойрог замд сарны хөдөлгөөний шугаман хурдыг тооцоолсон (дундаж утга). Гэхдээ та бүхний мэдэж байгаагаар сар зууван тойрог замд хөдөлдөг бөгөөд энэ нь перигейд 356,400 км, оргил үед 406,700 км байдаг. Олж авсан мэдлэгээ ашиглан бид сарны перигей болон апогегийн хурдыг тооцоолох болно.

Анхны өгөгдөл:

• r av =392500 км;
• v av =3600 км/цаг;
• r p =356400 км;
• v p -?;
• r a =406700 км;
• v a -?

Импульс хадгалагдах хуулийн дагуу бид дараахь тэнцүү байна.

I avg ω av = I p ω p I дундаж ω av = I a ω a

Сарны диаметр (3476 км) нь дэлхий хүртэлх зайтай харьцуулахад бага тул бид Сарыг материаллаг цэг гэж үзэх бөгөөд энэ нь тэдгээрийн нарийвчлалд мэдэгдэхүйц нөлөө үзүүлэхгүйгээр тооцооллыг ихээхэн хялбарчлах болно.

Материаллаг цэгийн инерцийн моментууд дараахтай тэнцүү байна.

I av = mr av 2 I p = mr p 2 I a = mr a 2

Өнцгийн хурд:

ω av = v av /r av ω p = v p /r p ω a = v a /r a

Импульс хадгалагдах хуулийн томъёонд тохирох орлуулалтыг хийцгээе.

(н дундж 2)(в дундаж /р дундаж) = (н дундж 2)(v п /р ап) (н дундж 2)(в дундаж /р ап) = (мр a 2)(v a /r a)

Энгийн алгебрийн хувиргалтыг хийсний дараа бид дараахь зүйлийг авна.

V p = v дундаж (r дундаж / r p) v a = v дундаж (r дундаж / r a)

Тоон утгыг орлуулах:

V p = 3600·392500/356400 = 3964 км/ц v а = 3600·392500/406700 = 3474 км/ц

Эрч хүч

Тодорхойлолт

Тогтмол тэнхлэгт хамаарах өнцгийн импульс $z$ нь энэ тэнхлэгийн дурын цэг 0-тэй харьцуулахад тодорхойлогдсон өнцгийн импульсийн векторын энэ тэнхлэг дээрх проекцтэй тэнцүү $L_(z) $ скаляр хэмжигдэхүүн юм.

$L_(z) $ өнцгийн импульсийн утга нь $z$ тэнхлэг дээрх 0 цэгийн байрлалаас хамаарахгүй. Үнэмлэхүй хатуу бие нь тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэх үед биеийн цэг бүр $r_(i) $ тогтмол радиустай тойргийн дагуу тодорхой $v_(i) $ хурдтайгаар хөдөлдөг. Хурд $v_(i) $ ба импульс $m_(i) v_(i) $ нь энэ радиустай перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл. радиус нь $m_(i) v_(i) $ векторын гар юм. Иймд $z$ тэнхлэгтэй харьцуулахад бие даасан цэгийн өнцгийн импульс дараахтай тэнцүү байна гэж бичиж болно.

Хатуу биеийн тэнхлэгтэй харьцуулахад өнцгийн импульс нь түүний бие даасан цэгүүдийн өнцгийн импульсийн нийлбэр юм.

Шугаман болон өнцгийн хурдуудын хоорондын хамаарлыг ($v_(i) =\omega r_(i) $) харгалзан үзээд бид тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн өнцгийн импульсийн дараах илэрхийллийг олж авна.

$L_(z) =\нийлбэр _(i=1)^(n)m_(i) r_(i)^(2) \omega =\omega \sum \limits _(i=1)^(n)m_ (i) r_(i)^(2) =J_(z) \omega $, (1)

тэдгээр. тэнхлэгтэй харьцуулахад хатуу биеийн өнцгийн импульс нь ижил тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент ба өнцгийн хурдны үржвэртэй тэнцүү байна. Цаг хугацааны хувьд ялгах илэрхийлэл (1)-ийг бид олж авна:

$\frac(dL_(z))(dt) =J_(z) \frac(d\omega)(dt) =M_(z) $ (2)

Энэ бол хатуу биетийн тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэлийн өөр нэг хэлбэр юм: эргэлтийн тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн хурд нь үүнтэй харьцуулахад үүссэн моменттэй тэнцүү байна. биед үйлчлэх бүх гадны хүчний тэнхлэг.

Импульс хадгалагдах хууль

Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль нь тогтмол цэг дээр тогтсон биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэлээс үүсэлтэй бөгөөд дараахь зүйлээс бүрдэнэ: хэрэв тогтмол цэгтэй харьцуулахад гадаад хүчний үр дүнд үүссэн момент нь ижил тэнцүү бол. тэг бол энэ цэгтэй харьцуулахад биеийн өнцгийн импульс цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөггүй.

Дараах тохиолдолд хүчинтэй:

$M=0$, дараа нь $\frac(dL)(dt) =0$,

хаанаас: $\overline(L)=const$. (3)

Өөрөөр хэлбэл хаалттай системийн өнцгийн импульс цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөггүй.

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэлдэх биеийн динамикийн үндсэн хуулиас $z$ (тэгшитгэл 2) тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн өнцгийн импульс хадгалагдах хууль: хэрэв тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад гадаад хүчний момент бол Биеийн эргэлт нь 0-тэй тэнцүү байвал хөдөлгөөний явцад энэ тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн өнцгийн импульс өөрчлөгддөггүй, өөрөөр хэлбэл. хэрэв $M_(z) =0$ бол $\frac(dL_(z))(dt) =0$, эндээс $\overline(L)_(z) =const,$ эсвэл $J_(z) \omega =const$.(4)

Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль бол байгалийн үндсэн хууль юм. Энэ хуулийн хүчинтэй байдал нь орон зайн тэгш хэмийн шинж чанараар тодорхойлогддог - түүний изотропи, өөрөөр хэлбэл. жишиг системийн координатын тэнхлэгийн чиглэлийг сонгохтой холбоотой физикийн хуулиудын өөрчлөгдөөгүй байдал.

Дараахь илэрхийллүүд хүчинтэй байна.

• Эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент нь биеийн n материаллаг цэгийн массын үржвэрийн нийлбэрийг тухайн тэнхлэг хүртэлх зайны квадратаар тэнцүүлэх физик хэмжигдэхүүн юм.
\
• Биеийн $J_(z) $ эргэлтийн аль ч тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент нь биеийн C массын төвийг дайран өнгөрөх параллель тэнхлэгтэй харьцуулахад $J_(c) $ инерцийн моменттэй тэнцүү байна. Биеийн m массыг тэнхлэгүүдийн хоорондын зай a квадратаар үржвэржүүлэхэд: $J_( z) =J_(c) +ma^(2) $;
• Үнэмлэхүй хатуу бие нь тогтмол тэнхлэгийг $z$ тойрон эргэх үед түүний кинетик энерги нь эргэлтийн тэнхлэг ба өнцгийн хурдны квадраттай харьцуулахад инерцийн моментийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
\
• $E_(k_(2@) ) =\frac(J_(z) \omega ^(2) )(2) $ ба $E_(k) =\frac(mv^(2) ) томьёоны харьцуулалтаас (2) $ инерцийн момент нь эргэлтийн хөдөлгөөний үед биеийн инерцийн хэмжүүр юм;
• Тогтмол тэнхлэгтэй z (Ньютоны 2-р хуулийн аналог) харьцангуй хатуу биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: $M_(z) =J_(z) \varepsilon =\frac(dL_(z) ) )(dt) $.

Жишээ

0.8 кг жинтэй ачааг шалнаас 3 м-ийн өндөрт нимгэн жингүй утас дээр дүүжлэв. Утас нь 0.15 кг*м2 инерцийн момент бүхий 30 см-ийн радиустай цул нэгэн төрлийн цилиндр гол дээр ороосон байна. Эргэдэг босоо ам нь ачааллыг шалан дээр буулгадаг. Тодорхойлно уу: ачааллыг шалан дээр буулгах хугацаа, утасны суналтын хүч, ачаалал шалан дээр хүрэх үеийн ачааллын кинетик энерги.

$r$= 15 см=0.15м

$J_(x) $= 0.18 кг*м2

Олно: $t,N,E_(k) $-?

Эндээс утасны суналтын хүч: $N=\frac(J_(x) \varepsilon )(r) =\frac(0.18\cdot 4)(0.15) =4.8H$.

Шалан дээр хүрэх агшинд ачааны кинетик энерги:

Хариулт: $t=3.2A$, $N=4.8H$, $E_(k) =0.9J.$

А цэг дээр үйлчлүүлсэн F хүчний нөлөөн дор тодорхой биеийг ОО тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлнэ" (Зураг 1.14).

Хүч нь тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайд үйлчилдэг. О цэгээс (тэнхлэг дээр хэвтэж байгаа) хүчний чиглэл рүү унасан перпендикуляр p гэж нэрлэдэг хүч чадлын мөрөн. Гарын хүчний үржвэр нь О цэгтэй харьцуулахад хүчний моментийн модулийг тодорхойлно.

M = Fp=Frsinα.

хүчний моментхүч хэрэглэх цэгийн радиус векторын вектор үржвэрээр тодорхойлогддог вектор ба хүчний вектор:

(3.1)
Хүчний моментийн нэгж нь Ньютон метр (N м) юм.

М-ийн чиглэлийг шурагны зөв дүрмийг ашиглан олж болно.

импульсийн мөч бөөмс нь бөөмийн радиус вектор ба түүний импульсийн вектор үржвэр юм.

эсвэл скаляр хэлбэрээр L = rPsinα

Энэ хэмжигдэхүүн нь вектор бөгөөд ω векторуудтай чиглэлд давхцдаг.

§ 3.2 Инерцийн момент. Штайнерын теорем

Хөрвүүлэх хөдөлгөөний үед биеийн инерцийн хэмжүүр нь масс юм. Эргэлтийн хөдөлгөөний үед биеийн инерци нь зөвхөн массаас гадна эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад орон зайд тархахаас хамаарна. Эргэлтийн хөдөлгөөний үед инерцийн хэмжигдэхүүнийг хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг биеийн инерцийн моментэргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад.

Материаллаг цэгийн инерцийн моментЭргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад энэ цэгийн массын үржвэр ба тэнхлэгээс зайны квадратыг дараах байдлаар нэрлэнэ.

I i =m i r i 2 (3.2)

Эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн моментЭнэ биеийг бүрдүүлдэг материаллаг цэгүүдийн инерцийн моментуудын нийлбэрийг:

(3.3)

Биеийн инерцийн момент нь аль тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж, биеийн массыг эзлэхүүнд хэрхэн хуваарилахаас хамаарна.

Тогтмол геометрийн хэлбэртэй, эзэлхүүн дэх массын жигд тархалттай биетүүдийн инерцийн моментийг хамгийн амархан тодорхойлдог.

· Нэг төрлийн бариулын инерцийн моментинерцийн төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцангуй ба саваатай перпендикуляр

(3.6)

· Нэг төрлийн цилиндрийн инерцийн моментсуурьтай перпендикуляр тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн төвөөр дамжин өнгөрөх,

(3.7)

· Нимгэн ханатай цилиндрийн инерцийн моментэсвэл суурийнх нь хавтгайд перпендикуляр, төвийг нь дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад цагираг,

(3.8)

· Бөмбөгний диаметртэй харьцуулахад инерцийн момент

(3.9)

Зураг 3.2

Эргэлтийн тэнхлэг нь инерцийн төвөөр дамжин өнгөрөх нөхцөлд биеийн инерцийн моментуудын өгөгдсөн томьёог өгсөн болно. Дурын тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн моментийг тодорхойлохын тулд та ашиглах хэрэгтэй Штайнерын теорем : дурын эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент нь өгөгдсөн тэнхлэгтэй параллель, биеийн массын төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн моментийн нийлбэртэй тэнцүү ба Биеийн массыг тэнхлэгүүдийн хоорондох зайны квадратаар үржүүлнэ.

(3.11)

Инерцийн моментийн нэгж нь килограмм метр квадрат (кг м2) юм.

Ийнхүү нэгэн төрлийн бариулын төгсгөлийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент нь Стейнерийн теоремын дагуу тэнцүү байна.

(3.12)

§ 3.3 Хатуу биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэл

Эхлээд r радиустай тойрогт хөдөлж буй m масстай А материаллаг цэгийг авч үзье (Зураг 1.16). Тойрог руу тангенциал чиглэсэн тогтмол F хүчээр түүнд үйлчилнэ. Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу энэ хүч нь тангенциал хурдатгал үүсгэдэг эсвэл F = m а τ .

Харилцааг ашиглах аτ = βr, бид F = m βr олж авна.

Дээрх тэгшитгэлийн хоёр талыг r-ээр үржүүлье.

Fr = m βr 2 . (3.13)

Илэрхийллийн зүүн тал (3.13) нь хүчний момент: M = Fr. Баруун тал нь материалын А цэгийн өнцгийн хурдатгал β ба инерцийн моментийн үржвэр юм: J= m r 2.

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэх цэгийн өнцгийн хурдатгал нь эргүүлэх моменттой пропорциональ, инерцийн моменттой урвуу пропорциональ байна. (материалын цэгийн эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэл):

M = β J эсвэл (3.14)

Тогтмол эргэлтийн үед өнцгийн хурдатгал нь тогтмол утгатай байх бөгөөд өнцгийн хурдны зөрүүгээр илэрхийлж болно.

(3.15)

Дараа нь эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно

эсвэл (3.16)

[ - импульсийн момент (эсвэл өнцгийн импульс), МΔt - хүчний моментийн импульс (эсвэл моментийн импульс)].

Эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн үндсэн тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно

(3.17)

§ 3.4 Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль

Гадны хүчний нийт момент тэг байх үед эргэлтийн хөдөлгөөний байнгын тохиолдлыг авч үзье. Биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний үед түүний бөөм бүр нь υ = ωr, шугаман хурдтай хөдөлдөг.

Эргэдэг биеийн өнцгийн импульс нь моментуудын нийлбэртэй тэнцүү байна

түүний бие даасан хэсгүүдийн импульс:

(3.18)

Өнцгийн импульсийн өөрчлөлт нь моментийн импульстэй тэнцүү байна.

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

Хэрэв дурын тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн системд нөлөөлж буй бүх гадны хүчний нийт момент тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл. M=0, тэгвэл dL ба системийн биетүүдийн өнцгийн импульсийн вектор нийлбэр нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөхгүй.

Тусгаарлагдсан систем дэх бүх биеийн өнцгийн импульсийн нийлбэр өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна ( өнцгийн импульс хадгалагдах хууль):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийн дагуу бид бичиж болно

J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3.21)

Энд J 1 ба ω 1 нь цаг хугацааны анхны момент дэх инерцийн момент ба өнцгийн хурд ба J 2 ба ω 2 хоёулаа t хугацааны момент юм.

Өнцгийн импульс хадгалагдах хуулиас үзэхэд M = 0 үед системийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх үед биетүүдээс эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зайд гарсан аливаа өөрчлөлт нь тэдгээрийн хурд өөрчлөгдөхөд дагалддаг. энэ тэнхлэгийг тойрон эргэх. Зай нэмэгдэх тусам эргэлтийн хурд буурч, зай багасах тусам нэмэгддэг. Жишээлбэл, гимнастикч үсрэх үед агаарт хэд хэдэн эргэлт хийх цаг гаргахын тулд сальто хийж буй гимнастикч бөмбөг болж хувирдаг. Пируэтээр эргэлдэж буй балетчин эсвэл уран гулгагч нь эргэлтийг удаашруулахыг хүсвэл гараа дэлгэж, эсрэгээр нь аль болох хурдан эргүүлэхийг оролдох үед гараа биедээ дардаг.

§ 3.5 Эргэдэг биеийн кинетик энерги

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэдэг хатуу биеийн кинетик энергийг тодорхойлъё. Энэ биеийг n материаллаг цэгт хуваая. Цэг бүр шугаман хурдаар хөдөлнө υ i =ωr i , дараа нь цэгийн кинетик энерги

эсвэл

Эргэдэг хатуу биеийн нийт кинетик энерги нь түүний бүх материаллаг цэгүүдийн кинетик энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

(3.22)

(J нь эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент)

Хэрэв бүх цэгийн траекторууд зэрэгцээ хавтгайд орвол (налуу хавтгайгаар эргэлдэж буй цилиндр шиг, цэг бүр өөрийн гэсэн хавтгайд хөдөлдөг Зураг) энэ нь хавтгай хөдөлгөөн. Эйлерийн зарчмын дагуу хавтгай хөдөлгөөнийг хэзээ ч тоо томшгүй олон янзаар хөрвүүлэх болон эргэлтийн хөдөлгөөнд задалж болно. Хэрэв бөмбөг налуу хавтгайн дагуу унах эсвэл гулсах бол энэ нь зөвхөн орчуулгын дагуу хөдөлдөг; бөмбөг өнхрөхөд тэр бас эргэдэг.

Хэрэв бие нь хөрвүүлэх болон эргэх хөдөлгөөнийг нэгэн зэрэг гүйцэтгэдэг бол түүний нийт кинетик энерги нь тэнцүү байна.

(3.23)

Хөрвүүлэлтийн болон эргэлтийн хөдөлгөөний кинетик энергийн томъёог харьцуулж үзэхэд эргэлтийн хөдөлгөөний үед инерцийн хэмжүүр нь биеийн инерцийн момент болох нь тодорхой байна.

§ 3.6 Хатуу биетийг эргүүлэх үед гадны хүчний гүйцэтгэсэн ажил

Хатуу биеийг эргүүлэх үед түүний боломжит энерги өөрчлөгддөггүй тул гадны хүчний энгийн ажил нь биеийн кинетик энергийн өсөлттэй тэнцүү байна.

ΔA = ΔE эсвэл

Jβ = M, ωdr = dφ гэдгийг харгалзан үзвэл бид байна

ΔA =MΔφ (3.24)

Хатуу биеийг хязгаарлагдмал өнцгөөр эргүүлэх үед гадны хүчний гүйцэтгэх ажил φ-тэй тэнцүү байна

Хатуу бие нь тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэх үед гадны хүчний ажил нь эдгээр хүчний моментийн үйлчлэлээр тодорхойлогддог. Хэрэв тэнхлэгтэй харьцуулахад хүчний момент тэг байвал эдгээр хүч нь ажил үүсгэдэггүй.

Сансар огторгуйн изотропи үүсэхтэй холбоотой хадгалалтын хуулийн гарал үүслийг үргэлжлүүлье.

Энэ изотропи нь хаалттай системийн механик шинж чанар нь бүхэл бүтэн системийг орон зайд эргүүлэхэд өөрчлөгддөггүй гэсэн үг юм. Үүний дагуу бид системийн хязгааргүй жижиг эргэлтийг авч үзэж, түүний Лагранжийн функц өөрчлөгдөхгүй байхыг шаарддаг.

Үнэмлэхүй утга нь эргэлтийн өнцөгтэй тэнцүү, чиглэл нь эргэлтийн тэнхлэгтэй давхцах хязгааргүй жижиг эргэлтийн векторыг танилцуулъя (мөн эргэлтийн чиглэл нь шурагны дүрэмтэй тохирч байхаар) чиглэлийг хүндэтгэх).

Юуны өмнө координатын нийтлэг гарал үүслээс (эргэлтийн тэнхлэгт байрладаг) эргэлтийн системийн аль нэг материаллаг цэг хүртэл ийм эргэлт хийх үед зурсан радиус векторын өсөлт хэд болохыг олъё.

Радиусын векторын төгсгөлийн шугаман хөдөлгөөн нь харьцаагаар өнцөгтэй холбоотой байдаг

(Зураг 5). Векторын чиглэл нь дайран өнгөрч буй хавтгайд перпендикуляр байна Иймээс тодорхой байна

Систем эргэх үед зөвхөн радиус векторуудын чиглэл өөрчлөгддөггүй, мөн бүх бөөмсийн хурд өөрчлөгддөг ба бүх векторууд ижил хуулийн дагуу өөрчлөгддөг. Тиймээс тогтмол координатын системтэй харьцуулахад хурдны өсөлт

Эргэлтийн үед Лагранжийн функц өөрчлөгдөхгүй байх нөхцөлөөр эдгээр илэрхийллийг орлуулах

деривативыг солих

эсвэл хүчин зүйлийн мөчлөгийн зохицуулалтыг хийж, нийлбэрийг тэмдгээс хасах:

Дураараа авирладаг болохоороо үүнийг дагадаг

Хаалттай систем хөдөлж байх үед вектор хэмжигдэхүүн хадгалагдана гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.

системийн өнцгийн импульс (эсвэл зүгээр л өнцгийн импульс) гэж нэрлэдэг.

Энэ хэмжигдэхүүний нэмэлт чанар нь тодорхой бөгөөд импульсийн нэгэн адил бөөмс хоорондын харилцан үйлчлэл байгаа эсэхээс хамаардаггүй.

Энэ нь хөдөлгөөний нэмэлт интегралуудыг шавхдаг. Тиймээс аливаа хаалттай системд ийм долоон интеграл байдаг: эрчим хүч, импульс ба моментийн векторын гурван бүрэлдэхүүн хэсэг.

Моментийн тодорхойлолтод бөөмсийн радиус векторууд багтдаг тул түүний утга нь ерөнхийдөө координатын гарал үүслийн сонголтоос хамаарна. А вектороор шилжсэн координатын эхийн хувьд ижил цэгийн радиус векторууд ба ta нь a хамаарлаар холбогдоно. Тиймээс бидэнд байна:

Энэ томъёоноос харахад систем бүхэлдээ тайван байх үед л (өөрөөр хэлбэл, түүний момент нь координатын гарал үүслийн сонголтоос хамаардаггүй. Түүний утгын тодорхойгүй байдал нь мэдээжийн хэрэг үйл ажиллагаанд нөлөөлөхгүй. Битүү систем импульстэй байдаг тул момент хадгалагдах хууль мөн хадгалагдана.

Бид мөн K ба K" гэсэн хоёр өөр инерцийн лавлагааны систем дэх өнцгийн импульсийн утгуудыг холбосон томъёог гаргаж авах болно, үүний хоёр дахь нь эхнийхтэй харьцуулахад V хурдтай хөдөлдөг. Бид K систем дэх координатын гарал үүсэлтэй гэж таамаглах болно. ба K нь тухайн үед давхцдаг бол хоёр систем дэх радиус векторууд ижил боловч хурдууд нь .

Тэгш байдлын баруун талд байгаа эхний нийлбэр нь систем дэх M момент юм (8.3) -ын дагуу инерцийн төвийн радиус векторыг хоёр дахь нийлбэрт оруулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ томъёо нь импульс ба энергийн ижил төстэй хуулиудыг (8.1) ба (8.5) томъёогоор өгсөнтэй адил нэг жишиг системээс нөгөөд шилжих үед өнцгийн импульсийн хувирлын хуулийг тодорхойлдог.

Хэрэв K жишиг хүрээ нь өгөгдсөн механик систем бүхэлдээ тайван байдалд байгаа систем бол V нь сүүлчийнх нь инерцийн төвийн хурд ба түүний нийт импульс P (K-тэй харьцуулахад) юм.

Өөрөөр хэлбэл, механик системийн өнцгийн импульс M нь түүний тайван байдалд байгаа жишиг хүрээтэй харьцуулахад түүний "зохистой момент" ба хөдөлгөөнтэй бүхэлд нь холбоотой моментээс бүрдэнэ.

Хэдийгээр моментийн бүх гурван бүрэлдэхүүн хэсэг (дурын гарал үүсэлтэй холбоотой) хадгалагдах хууль нь зөвхөн хаалттай системд явагддаг боловч илүү хязгаарлагдмал хэлбэрээр энэ хууль нь гадаад талбарт байрладаг системүүдэд ч хэрэгжиж болно. Дээрх дүгнэлтээс харахад өгөгдсөн талбар тэгш хэмтэй байх тэнхлэг дээрх моментийн проекц үргэлж хадгалагдаж байдаг тул энэ тэнхлэгийг тойрон эргэхэд системийн механик шинж чанар өөрчлөгддөггүй; Энэ тохиолдолд мэдээжийн хэрэг, тухайн мөчийг нэг тэнхлэгт байрлах зарим цэг (гарал үүсэл) -тэй харьцуулахад тодорхойлох ёстой.

Энэ төрлийн хамгийн чухал тохиолдол бол төв тэгш хэмтэй талбар, өөрөөр хэлбэл боломжит энерги нь зөвхөн орон зайн тодорхой цэг (төв) хүртэлх зайнаас хамаардаг талбар юм. Ийм талбарт шилжих үед төвийг дайран өнгөрч буй аливаа тэнхлэг дээрх моментийн проекц хадгалагдан үлддэг нь тодорхой юм. Өөрөөр хэлбэл, моментийн М векторыг хадгалсан боловч орон зайн дурын цэгээс хамааралгүй, харин талбайн төвтэй харьцуулахад тодорхойлогддог.

Өөр нэг жишээ: z тэнхлэгийн дагуух нэгэн жигд талбар, моментийн проекц хадгалагдаж, координатын эхийг дур зоргоороо сонгож болно.

Дурын тэнхлэг дээрх моментийн проекцийг (үүнийг нэрлэе) томъёоны дагуу Лагранж функцийг ялгах замаар олж болно гэдгийг анхаарна уу.

Энд координат нь z тэнхлэгийг тойрон эргэх өнцөг юм. Энэ нь импульс хадгалагдах хуулийн дээрх гарал үүслийн мөн чанараас аль хэдийн тодорхой харагдаж байгаа боловч үүнийг шууд тооцоогоор баталгаажуулж болно. Цилиндр координатуудад бид (орлуулах

Нөгөө талаас, эдгээр хувьсагчид дахь Лагранж функц нь хэлбэртэй байна

ба (9.7)-д орлуулах нь ижил илэрхийлэлд (9.8) хүргэдэг.

Даалгаврууд

1. Цилиндр координат дахь бөөмийн өнцгийн импульсийн абсолют утгыг декартын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн илэрхийлэлийг ол.