Гурван харилцан перпендикуляр проекцын хавтгай дээрх проекц. ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам Дээд мэргэжлийн боловсролын холбооны улсын төсвийн боловсролын байгууллага Кузбассын улсын техникийн их сургууль

Гурван харилцан перпендикуляр хавтгайн систем

Нарийн төвөгтэй зураг үүсгэх (диаграмм)

Онгоцны орон зайн системээс үүссэн зургийг ашиглахад хялбар болгохын тулд хавтгай хэлбэр рүү шилжье.

Үүнийг хийхийн тулд:

1. p 1 хавтгайг p 2 хавтгайтай нийлэх хүртэл X тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх аргыг хэрэглэцгээе (Зураг 1).

2. p 1 ба p 2 хавтгайг нэг зургийн хавтгайд нэгтгэх (Зураг 2)

Зураг 1	Зураг 2

А 1 ба А 2 проекцууд нь X тэнхлэгт перпендикуляр нэг холболтын шугам дээр байрладаг. Энэ шугамыг ихэвчлэн проекцын холболтын шугам гэж нэрлэдэг (Зураг 3).

Зураг 3

Проекцийн хавтгай нь орон зайд хязгааргүй гэж тооцогддог тул p 1, p 2 хавтгайн хил хязгаарыг дүрслэх шаардлагагүй (Зураг 4).

Зураг 4

p 1 ба p 2 онгоцуудыг нэгтгэсний үр дүнд бид олж авна нарийн төвөгтэй зурагэсвэл epure (Францын epure зураас), ᴛ.ᴇ. p 1 ба p 2 системд эсвэл хоёр проекцын хавтгайн системд зурах. Харааны дүрсийг диаграмаар сольсноор бид проекцын хавтгай ба цэгүүдийн байршлын орон зайн зургийг алдлаа. Гэхдээ диаграммууд нь барилгын ажлыг ихээхэн хялбаршуулсан нарийвчлал, хэмжихэд хялбар зургийг өгдөг.

Орон зайд тодорхойлогдсон цэг нь проекцын хавтгайтай харьцуулахад өөр өөр байрлалтай байж болно.

Зургийн цэгийг янз бүрийн аргаар хийж болно.

• үг (амаар);
• графикаар (зураг);
• харааны зураг (эзэлхүүн);
• хавтгай (цогц зураг).

Хүснэгт 1

p 1 ба p 2 хавтгайд хамаарах цэгүүдийн зургийн жишээ

Цэгийн байрлал	Харааны дүрслэл	Нарийн төвөгтэй зураг	Онцлог шинж тэмдгүүд
А цэг нь p 1 хавтгайд хамаарна			A 1 - X тэнхлэгийн доор, A 2 - X тэнхлэг дээр
В цэг нь p 1 хавтгайд хамаарна			B 1 - X тэнхлэгээс дээш, B 2 - X тэнхлэг дээр
С цэг нь p 2 хавтгайд хамаарна			C 2 - X тэнхлэгээс дээш, C 1 - X тэнхлэг дээр
D цэг нь p 2 хавтгайд хамаарна			D 1 – X тэнхлэг дээр, D 2 – X тэнхлэгийн доор
E цэг нь X тэнхлэгт хамаарна			E 1 нь E 2-той давхцаж, X тэнхлэгт хамаарна

Зураг 1

Гурван харилцан перпендикуляр хавтгайг авч үзьех 1 , p2 , х 3 (будаа. 1). Босоо хавтгай p 3 гэж нэрлэдэг Iпрофилын проекцын хавтгай. Өөр хоорондоо огтлолцсон онгоцууд 1 , p2 , p 3 нь проекцын тэнхлэгүүдийг үүсгэдэг бол орон зай нь 8 октантад хуваагдана.

х 1 х 2 = x; -х

х 1 х 3 = y; -y

х 2 х 3 = z; -z

0 – проекцийн тэнхлэгүүдийн огтлолцлын цэг.

Хосоор огтлолцсон проекцын хавтгай нь x, y, z гурван тэнхлэгийг тодорхойлдог бөгөөд үүнийг декартын координатын систем гэж үзэж болно: тэнхлэг Xихэвчлэн abscissa тэнхлэг, тэнхлэг гэж нэрлэдэг y– ординатын тэнхлэг, тэнхлэг З– хэрэглэх тэнхлэг, тэнхлэгүүдийн огтлолцох цэгийг үсгээр тэмдэглэнэ ТУХАЙ,координатын гарал үүсэл юм.

Нарийн төвөгтэй зургийг авахын тулд бид p 1 ба p 3 хавтгайг p 2 хавтгайтай тэгшлэх хүртэл эргүүлэх аргыг хэрэглэнэ. Эхний октантын бүх онгоцны эцсийн дүрслэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 2.

Зураг 2

Энд тэнхлэгүүд байна ӨөТэгээд Оз, тогтмол хавтгайд хэвтэж p 2, зөвхөн нэг удаа дүрслэгдсэн байна, тэнхлэг Өөхоёр удаа харуулав. Үүнийг p 1 хавтгайтай тэнхлэгээр эргэдэгтэй холбон тайлбарлаж байна yдиаграмм дээр үүнийг тэнхлэгтэй хослуулсан Оз, мөн p 3 хавтгайтай эргэлдэж, энэ ижил тэнхлэг нь тэнхлэгтэй давхцдаг Өө.

Орон зайн аль ч цэгийг координатаар тодорхойлно. Координатын тэмдгээр та өгөгдсөн цэгийн октантыг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хүснэгтийг ашиглах болно. 1-д 1-4 октант дахь координатын тэмдгүүдийг авч үзсэн (5-8 октантуудыг үзүүлээгүй, тэдгээр нь сөрөг утгатай байна) X, А yТэгээд zдавтагдана).

Хүснэгт 1

x	y	z	Октант
+	+	+	I
+	_	+	II
+	_	_	III
+	+	_	IV

Онгоцны орон зай дахь байрлалыг дараахь байдлаар тодорхойлно.

• нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг;
• шулуун шугам ба шулуун шугамаас гадуур авсан цэг;
• огтлолцсон хоёр шугам;
• хоёр зэрэгцээ шугам;
• хавтгай дүрс.

Үүний дагуу диаграм дээр онгоцыг зааж өгч болно.

• төсөөлөл гурван оноо, нэг шулуун шугам дээр хэвтэхгүй (Зураг 3.1,a);
• цэг ба шугамын төсөөлөл (Зураг 3.1,б);
• огтлолцсон хоёр шугамын төсөөлөл (Зураг 3.1,c);
• хоёр зэрэгцээ шугамын төсөөлөл (Зураг 3.1d);
• хавтгай зураг (Зураг 3.1, d);
• онгоцны ул мөр;
• онгоцны хамгийн том налуугийн шугам.

Зураг 3.1 – Хавтгайг тодорхойлох аргууд

Онгоц ерөнхий байр суурь проекцын аль нэг хавтгайд параллель ч биш перпендикуляр ч биш хавтгай юм.

Онгоцны арааснь өгөгдсөн хавтгайг проекцын аль нэг хавтгайтай огтлолцсоны үр дүнд олж авсан шулуун шугам юм.

Ерөнхий онгоц гурван ул мөр байж болно: хэвтээ – απ 1, урд талын – απ 2 ба профайл – απ 3, энэ нь мэдэгдэж буй проекцын хавтгайтай огтлолцох үед үүсдэг: хэвтээ π 1, урд талын π 2 ба профиль π 3 (Зураг 3.2).

Зураг 3.2 – Ерөнхий хавтгайн ул мөр

3.2. Хэсэгчилсэн онгоцууд

Хэсэгчилсэн онгоц– проекцын хавтгайд перпендикуляр буюу параллель хавтгай.

Проекцын хавтгайд перпендикуляр байгаа хавтгайг проекц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ проекцын хавтгайд шулуун шугам хэлбэрээр проекц болно.

Проекцын хавтгайн шинж чанар: бүх цэг, шугам, хавтгай дүрсүүд, проекцын хавтгайд хамаарах, онгоцны налуу ул мөр дээр төсөөлөлтэй байна(Зураг 3.3).

Зураг 3.3 – Урд талын проекцын хавтгай, үүнд: цэгүүд А, IN, ХАМТ; шугамууд АС, AB, Нар; гурвалжин хавтгай ABC

Урд проекцын хавтгай – проекцын урд талын хавтгайд перпендикуляр хавтгай(Зураг 3.4, a).

Хэвтээ проекцын хавтгай – проекцын хэвтээ хавтгайд перпендикуляр хавтгай(Зураг 3.4, b).

Профайл төлөвлөх онгоц – проекцын профилын хавтгайд перпендикуляр хавтгай.

Проекцын хавтгайтай параллель хавтгайг гэнэ түвшний онгоцуудэсвэл давхар проекцтой онгоцууд.

Урд түвшний онгоц – проекцын урд талын хавтгайтай параллель хавтгай(Зураг 3.4, в).

Хэвтээ түвшний хавтгай – проекцын хэвтээ хавтгайтай параллель хавтгай(Зураг 3.4, d).

Түвшингийн профилын хавтгай – проекцын профилын хавтгайтай параллель хавтгай(Зураг 3.4, e).

Зураг 3.4 – Тодорхой байрлалын хавтгайн диаграмм

3.3. Хавтгай дахь цэг ба шулуун шугам. Цэг ба шулуун хавтгайд хамаарах байдал

Цэг нь энэ хавтгайд байрлах дурын шулуунд хамаарах бол хавтгайд хамаарна(Зураг 3.5).

Шулуун шугам нь хавтгайтай дор хаяж хоёр нийтлэг цэгтэй бол хавтгайд хамаарна(Зураг 3.6).

Зураг 3.5 – Нэг цэгийн хавтгайд хамаарах байдал

α = м // n

Д∈ n⇒ Д∈ α

Зураг 3.6 – Шулуун хавтгайд хамаарах

Дасгал хийх

Дөрвөн өнцөгтөөр тодорхойлогдсон хавтгай өгөгдсөн (Зураг 3.7, a). Дээд талын хэвтээ төсөөллийг дуусгах шаардлагатай ХАМТ.

А	б

Зураг 3.7 – Асуудлын шийдэл

Шийдэл:

1. ABCD– хавтгайг тодорхойлох хавтгай дөрвөлжин.
2. Үүнд диагональ зурцгаая А.С.Тэгээд Б.Д(Зураг 3.7, b) шулуун шугамуудыг огтолж байгаа нь мөн ижил хавтгайг тодорхойлдог.
3. Огтлолцсон шугамын шалгуурын дагуу бид эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн хэвтээ проекцийг байгуулна. Кмэдэгдэж буй урд талын проекцын дагуу: А 2 C 2 ∩ Б 2 Д 2 =К 2 .
4. Проекцын холболтын шугамыг шулуун шугамын хэвтээ проекцтой огтлолцох хүртэл сэргээцгээе Б.Д: диагональ проекц дээр Б 1 Д 1 бид барьж байна TO 1 .
5. дамжуулан А 1 TO 1 бид диагональ проекцийг хийдэг А 1 ХАМТ 1 .
6. Бүтэн зогсоол ХАМТ 1-ийг сунгасан диагональ хэвтээ проекцтой огтлолцох хүртэл проекцын холболтын шугамаар олж авна. А 1 TO 1 .

3.4. Онгоцны үндсэн шугамууд

Хавтгайд хязгааргүй тооны шулуун шугам барьж болох боловч хавтгайд тусгай шулуун шугамууд байдаг. онгоцны гол шугамууд (Зураг 3.8 – 3.11).

Шулуун түвшин эсвэл хавтгайтай зэрэгцээнь өгөгдсөн хавтгайд байрлах ба проекцын аль нэг хавтгайтай параллель шулуун шугам юм.

Хэвтээ эсвэл хэвтээ түвшний шугам h(эхний параллель) нь өгөгдсөн хавтгайд хэвтээ проекцын хэвтээ хавтгайтай параллель (π 1) шулуун шугам юм.(Зураг 3.8, а; 3.9).

Урд эсвэл урд түвшин шулуун е(хоёр дахь параллель) нь өгөгдсөн хавтгайд байрлах ба проекцийн урд талын хавтгайтай параллель (π 2) шулуун шугам юм.(Зураг 3.8, b; 3.10).

Түвшингийн профайлын шугам х(гурав дахь параллель) нь өгөгдсөн хавтгайд байрлах ба проекцын профилын хавтгайтай параллель (π 3) шулуун шугам юм.(Зураг 3.8, в; 3.11).

Зураг 3.8 а – Гурвалжингаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний хэвтээ шулуун шугам

Зураг 3.8 b – Гурвалжингаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний фронтын шулуун шугам

Зураг 3.8 c – Гурвалжингаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний профилын шугам

Зураг 3.9 – Замуудаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний хэвтээ шулуун шугам

Зураг 3.10 – Замуудаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний урд талын шулуун шугам

Зураг 3.11 – Замуудаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний профилын шугам

3.5. Шулуун ба хавтгайн харилцан байрлал

Өгөгдсөн хавтгайд хамаарах шулуун шугам нь зэрэгцээ байж болох ба байж болно нийтлэг цэг, өөрөөр хэлбэл огтлолцоно.

3.5.1. Шулуун хавтгайн параллелизм

Шулуун хавтгайн параллелизмын тэмдэг: шулуун нь энэ хавтгайд хамаарах аливаа шулуунтай параллель байвал хавтгайтай параллель байна(Зураг 3.12).

Зураг 3.12 – Шулуун хавтгайн параллел байдал

3.5.2. Шугамын хавтгайтай огтлолцох

Шулуун шугамын ерөнхий хавтгайтай огтлолцох цэгийг байгуулахын тулд (Зураг 3.13) дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

1. Шууд дүгнэ Атуслах хавтгайд β (тусгай байрлалын онгоцыг туслах онгоцоор сонгох хэрэгтэй);
2. Туслах β хавтгайн өгөгдсөн α хавтгайтай огтлолцох шугамыг ол;
3. Өгөгдсөн шугамын огтлолцлын цэгийг ол Аонгоцуудын огтлолцлын шугамтай М.Н.

Зураг 3.13 – Хавтгай шулуун шугамын уулзварын цэгийг барих

Дасгал хийх

Өгөгдсөн: шулуун ABерөнхий байрлал, хавтгай σ⊥π 1. (Зураг 3.14). Шугамын огтлолцлын цэгийг байгуул ABσ хавтгайтай.

Шийдэл:

1. σ хавтгай нь хэвтээ проекцтой тул σ хавтгайн хэвтээ проекц нь шулуун шугам σ 1 (хавтгайн хэвтээ ул мөр);
2. Цэг TOмөрөнд хамаарах ёстой AB ⇒ TO 1 ∈А 1 IN 1 ба өгөгдсөн хавтгай σ ⇒ TO 1 ∈σ 1, тиймээс, TO 1 нь төсөөллийн огтлолцлын цэг дээр байрладаг А 1 IN 1 ба σ 1;
3. Цэгийн урд талын проекц TOБид проекцын холбооны шугамаар дамжуулан олдог: TO 2 ∈А 2 IN 2 .

Зураг 3.14 – Ерөнхий шулууны тодорхой хавтгайтай огтлолцох

Дасгал хийх

Өгөгдсөн: хавтгай σ = Δ ABC- ерөнхий байрлал, шулуун Э.Ф.(Зураг 3.15).

Шугамын огтлолцох цэгийг барих шаардлагатай Э.Ф.σ хавтгайтай.

А	б

Зураг 3.15 – Шулуун ба хавтгайн огтлолцол

1. Шулуун шугамыг дүгнэе Э.Ф.туслах хавтгайд оруулах, үүний тулд бид хэвтээ тэнхлэгийн α-г ашиглана (Зураг 3.15, a);
2. Хэрэв α⊥π 1 бол π 1 проекцын хавтгайд α хавтгай нь шулуун шугам руу (απ 1 эсвэл α 1 хавтгайн хэвтээ ул мөр) давхцдаг. Э 1 Ф 1 ;
3. Төсөөлж буй α хавтгай σ хавтгайтай огтлолцох шугамыг (1-2) олъё (ижил төстэй асуудлын шийдлийг авч үзэх болно);
4. Шулуун шугам (1-2) ба тодорхойлсон шулуун шугам Э.Ф.ижил α хавтгайд хэвтэж, цэг дээр огтлолцоно К.

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм (Зураг 3.15, b):

дамжуулан Э.Ф.Туслах α хавтгайг зуръя:

3.6. Өрсөлдөх цэгийн аргыг ашиглан харагдах байдлыг тодорхойлох

Өгөгдсөн шугамын байрлалыг үнэлэхдээ π 1 эсвэл π 2 проекцын хавтгайг ажиглагчдын хувьд бидэнтэй ойр (цаашид) шугамын аль цэг байгааг тодорхойлох шаардлагатай.

Янз бүрийн объектод хамаарах цэгүүд ба проекцын аль нэг хавтгай дээр тэдгээрийн проекц нь давхцаж байгаа (өөрөөр хэлбэл хоёр цэгийг нэг цэгт тусгаж байгаа) цэгүүдийг проекцын хавтгай дээр өрсөлддөг гэж нэрлэдэг..

Проекцын хавтгай бүр дээр харагдах байдлыг тусад нь тодорхойлох шаардлагатай.

π 2-д харагдах байдал (Зураг 3.15)

π 2 – 3 ба 4 цэгүүд дээр өрсөлдөж буй оноог сонгоцгооё. 3∈ цэгийг үзье. VS∈σ, цэг 4∈ Э.Ф..

π 2 проекцын хавтгай дээрх цэгүүдийн харагдах байдлыг тодорхойлохын тулд π 2-ыг харахад хэвтээ проекцийн хавтгай дээрх эдгээр цэгүүдийн байршлыг тодорхойлох шаардлагатай.

π 2 руу чиглэсэн харагдах чиглэлийг сумаар харуулав.

3 ба 4-р цэгийн хэвтээ проекцоос π 2-ыг харахад 4 1 цэг нь ажиглагчид 3 1-ээс илүү ойрхон байрладаг нь тодорхой байна.

4 1 ∈Э 1 Ф 1 ⇒ 4∈Э.Ф.⇒ π 2 дээр шулуун шугаман дээр хэвтэж буй 4 цэг харагдах болно Э.Ф., тиймээс, шулуун Э.Ф.Өрсөлдөж буй цэгүүдийн бүсэд σ хавтгайн урд байрладаг бөгөөд цэг хүртэл харагдах болно. К

π 1-д харагдах байдал

Харагдах байдлыг тодорхойлохын тулд бид π 1 - 2 ба 5 цэгүүд дээр өрсөлдөж буй цэгүүдийг сонгоно.

π 1 проекцын хавтгай дээрх цэгүүдийн харагдах байдлыг тодорхойлохын тулд π 1-ийг харахад урд талын проекцийн хавтгай дээрх эдгээр цэгүүдийн байршлыг тодорхойлох шаардлагатай.

π 1 хүртэлх харагдах чиглэлийг сумаар харуулав.

2 ба 5-р цэгийн урд талын проекцуудаас π 1-ийг харахад 2 2 цэг нь ажиглагчид 5 2-оос илүү ойрхон байрладаг нь тодорхой байна.

2 1 ∈А 2 IN 2 ⇒ 2∈AB⇒ π дээр 1 цэг 2 шулуун шугам дээр хэвтэж харагдах болно AB, тиймээс, шулуун Э.Ф.авч үзэж буй өрсөлдөөний цэгүүдийн талбайд σ хавтгайн доор байрладаг бөгөөд цэг хүртэл үл үзэгдэх болно. К– шулуун шугамын σ хавтгайтай огтлолцох цэгүүд.

Өрсөлдөгч хоёр цэгийн харагдахуйц нэг нь "Z" ба/эсвэл "Y" координатууд нь их байх болно.

3.7. Шулуун хавтгайд перпендикуляр байдал

Шулуун хавтгайн перпендикуляр байдлын тэмдэг: өгөгдсөн хавтгайд байрлах огтлолцсон хоёр шулуунтай перпендикуляр байвал шулуун нь хавтгайд перпендикуляр байна.

А	б

Зураг 3.16 – Хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамыг тодорхойлох

Теорем. Хэрэв шулуун шугам нь хавтгайд перпендикуляр байвал диаграмм дээр: шулуун шугамын хэвтээ проекц нь хавтгайн хэвтээ проекцод перпендикуляр байна. урд тал (Зураг 3.16, b)

Теорем нь тусгай тохиолдолд тэгш өнцөгт проекцын теоремоор батлагдсан.

Хэрэв хавтгай нь ул мөрөөр тодорхойлогдвол хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамын проекцууд нь онгоцны харгалзах ул мөртэй перпендикуляр байна (Зураг 3.16, а).

Шулуун байг хσ=Δ хавтгайд перпендикуляр ABCмөн цэгээр дамжин өнгөрдөг К.

1. σ=Δ хавтгайд хэвтээ ба урд шугамыг байгуулъя ABC : А-1∈σ; А-1//π 1 ; S-2∈σ; S-2//π 2.
2. Нэг цэгээс нь сэргээцгээе КӨгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр: х 1⊥h 1Тэгээд p2⊥f 2, эсвэл х 1⊥απ 1 Тэгээд p2⊥απ 2

3.8. Хоёр онгоцны харьцангуй байрлал

3.8.1. Онгоцны параллелизм

Хоёр хавтгай зэрэгцээ ба огтлолцсон байж болно.

Хоёр хавтгайн параллелизмын тэмдэг: нэг хавтгайн огтлолцох хоёр шулуун нь нөгөө хавтгайн огтлолцох хоёр шулуунтай параллель байвал хоёр хавтгай харилцан параллель байна.

Дасгал хийх

Ерөнхий байрлалын хавтгайг α=Δ өгөв ABCба хугацаа Ф∉α (Зураг 3.17).

Цэгээр дамжуулан Фα хавтгайтай параллель β хавтгайг зурах.

Зураг 3.17 – Өгөгдсөнтэй параллель хавтгай байгуулах

Шийдэл:

α хавтгайн огтлолцох шугамуудын хувьд жишээ нь АВ ба ВС гурвалжны талуудыг авч үзье.

1. Цэгээр дамжуулан Фбид шууд явуулдаг м, зэрэгцээ, жишээ нь, AB.
2. Цэгээр дамжуулан Ф, эсвэл харьяалагдах дурын цэгээр дамжуулан м, бид шулуун шугам зурна n, зэрэгцээ, жишээ нь, Нар, ба m∩n=F.
3. β = м∩nба тодорхойлолтоор β//α.

3.8.2. Онгоцуудын огтлолцол

2 хавтгайн огтлолцлын үр дүн нь шулуун шугам юм. Хавтгай эсвэл огторгуй дахь аливаа шулуун шугамыг хоёр цэгээр өвөрмөц байдлаар тодорхойлж болно. Тиймээс хоёр хавтгайн огтлолцлын шугамыг барихын тулд хоёр хавтгайд нийтлэг хоёр цэгийг олж, дараа нь тэдгээрийг холбох хэрэгтэй.

Хоёр хавтгайн огтлолцлын жишээг тэдгээрийг тодорхойлох янз бүрийн арга замаар авч үзье: ул мөр; нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг; зэрэгцээ шугамууд; огтлолцох шугам гэх мэт.

Дасгал хийх

Хоёр хавтгай α ба β нь ул мөрөөр тодорхойлогддог (Зураг 3.18). Онгоцуудын огтлолцлын шугамыг байгуул.

Зураг 3.18 – Мөрөөр тодорхойлсон ерөнхий хавтгайн огтлолцол

Онгоцуудын огтлолцлын шугамыг барих журам:

1. Хэвтээ ул мөрийн огтлолцох цэгийг олоорой - энэ бол цэг юм М(түүний төсөөлөл М 1 Тэгээд М 2, байхад М 1 =М, учир нь М -π 1) хавтгайд хамаарах хувийн цэг.
2. Урд талын замуудын огтлолцох цэгийг олоорой - энэ бол цэг юм Н(түүний төсөөлөл Н 1 ба Н 2, байхад Н 2 = Н, учир нь N -π 2) хавтгайд хамаарах хувийн цэг.
3. Үүссэн ижил нэртэй цэгүүдийн төсөөллийг холбож, хавтгайн огтлолцлын шугамыг байгуул. М 1 Н 1 ба М 2 Н 2 .

МН– онгоцны огтлолцлын шугам.

Дасгал хийх

Өгөгдсөн хавтгай σ = Δ ABC, хавтгай α – хэвтээ проекц (α⊥π 1) ⇒α 1 – хавтгайн хэвтээ ул мөр (Зураг 3.19).

Эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугамыг байгуул.

Шийдэл:

α хавтгай нь талуудыг огтолж байгаа тул ABТэгээд АСгурвалжин ABC, дараа нь огтлолцох цэгүүд КТэгээд Лα хавтгайтай эдгээр талууд нь өгөгдсөн хавтгайд хоёуланд нь нийтлэг байдаг бөгөөд энэ нь тэдгээрийг холбох замаар хүссэн огтлолцлын шугамыг олох боломжийг олгоно.

Цэгүүдийг проекцын хавтгайтай шулуун шугамын огтлолцлын цэг болгон олж болно: бид цэгүүдийн хэвтээ проекцийг олдог. КТэгээд Л, тэр нь К 1 ба Л 1, Δ талуудын хэвтээ проекц бүхий өгөгдсөн хавтгай α-ийн хэвтээ ул мөрийн (α 1) огтлолцол дээр. ABC: А 1 IN 1 ба А 1 C 1. Дараа нь проекцын холбооны шугамыг ашиглан эдгээр цэгүүдийн урд талын проекцийг олдог К2Тэгээд Л 2 шулуун шугамын урд талын проекцууд дээр ABТэгээд АС. Ижил нэртэй проекцуудыг холбоно. К 1 ба Л 1 ; К2Тэгээд Л 2. Өгөгдсөн хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг байгуулав.

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм:

KL– огтлолцлын шугам Δ ABCба σ (α∩σ = KL).

Зураг 3.19 – Ерөнхий ба тусгай хавтгайн огтлолцол

Дасгал хийх

Өгөгдсөн α = m//n хавтгай ба β = Δ хавтгай ABC(Зураг 3.20).

Өгөгдсөн хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг байгуул.

Шийдэл:

1. Өгөгдсөн хавтгайд хоёуланд нь нийтлэг цэгүүдийг олохын тулд α ба β хавтгайн огтлолцлын шугамыг тодорхойлохын тулд тодорхой байрлалын туслах хавтгайг ашиглах шаардлагатай.
2. Ийм онгоцны хувьд бид тодорхой байрлалтай хоёр туслах онгоцыг сонгох болно, жишээлбэл: σ // τ; σ⊥π 2 ; τ⊥π 2 .
3. Шинээр нэвтрүүлсэн хавтгайнууд нь σ // τ тул өгөгдсөн α ба β хавтгай бүртэй параллель шулуун шугамын дагуу огтлолцдог.

- α, σ ба τ хавтгайнуудын огтлолцлын үр дүн нь шулуун шугамууд (4-5) ба (6-7);

- β, σ ба τ хавтгайнуудын огтлолцлын үр дүн нь шулуун шугамууд (3-2) ба (1-8).

1. (4-5) ба (3-2) шугамууд σ хавтгайд байрладаг; Тэдний огтлолцох цэг Мнэгэн зэрэг α ба β хавтгайд, өөрөөр хэлбэл эдгээр хавтгайн огтлолцлын шулуун шугам дээр байрладаг;
2. Үүний нэгэн адил бид цэгийг олдог Н, α ба β хавтгайд нийтлэг байдаг.
3. Цэгүүдийг холбох МТэгээд Н, α ба β хавтгайн огтлолцох шулуун шугамыг байгуулъя.

Зураг 3.20 – Ерөнхий байрлал дахь хоёр хавтгайн огтлолцол (ерөнхий тохиолдол)

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм:

Дасгал хийх

Өгөгдсөн хавтгай α = Δ ABCба β = а//б. Өгөгдсөн хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг байгуулна (Зураг 3.21).

Зураг 3.21 Хавтгай огтлолцлын асуудлыг шийдвэрлэх

Шийдэл:

Тодорхой байрлалтай туслах таслагч онгоцуудыг ашиглацгаая. Барилгын тоог цөөлөх үүднээс тэдгээрийг танилцуулъя. Жишээлбэл, шулуун шугамыг хүрээлж σ⊥π 2 хавтгайг танилцуулъя. атуслах хавтгайд σ (σ∈ а). σ хавтгай нь α хавтгайг шулуун шугамын дагуу огтолж (1-2) ба σ∩β= А. Тиймээс (1-2)∩ А=К.

Цэг TOα ба β хавтгайд хамаарна.

Тиймээс цэг К, нь өгөгдсөн α ба β хавтгайнуудын огтлолцлын шугам өнгөрөх шаардлагатай цэгүүдийн нэг юм.

α ба β-ийн огтлолцлын шугамд хамаарах хоёр дахь цэгийг олохын тулд бид шугамыг дүгнэнэ. бтуслах хавтгайд τ⊥π 2 (τ∈ б).

Цэгүүдийг холбох КТэгээд Л, бид α ба β хавтгайн огтлолцох шулуун шугамыг олж авна.

3.8.3. Харилцан перпендикуляр хавтгай

Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь нөгөө рүүгээ перпендикуляр дамжин өнгөрвөл онгоцууд харилцан перпендикуляр байна.

Дасгал хийх

σ⊥π 2 хавтгай ба ерөнхий байрлал дахь шулуун өгөгдсөн - Д.Э(Зураг 3.22)

Дамжуулахад шаардлагатай Д.Эонгоц τ⊥σ.

Шийдэл.

Перпендикуляр зурцгаая CDσ онгоц руу - C 2 Д 2 ⊥σ 2 (-д үндэслэсэн).

Зураг 3.22 – Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр хавтгай байгуулах

Зөв өнцгийн проекцийн теоремоор C 1 Д 1 нь проекцын тэнхлэгтэй параллель байх ёстой. огтлолцсон шугамууд CD∩Д.Эτ хавтгайг тодорхойлно. Тэгэхээр, τ⊥σ.

Ерөнхий хавтгайд ижил төстэй үндэслэл.

Дасгал хийх

Өгөгдсөн хавтгай α = Δ ABCба хугацаа Кα хавтгайн гадна.

Цэгээр дамжин өнгөрөх β⊥α хавтгайг бүтээх шаардлагатай К.

Шийдлийн алгоритм(Зураг 3.23):

1. Хэвтээ шугам байгуулъя hба урд еөгөгдсөн хавтгайд α = Δ ABC;
2. Цэгээр дамжуулан Кперпендикуляр зуръя бα хавтгайд (дага хавтгай теоремтой перпендикуляр: хэрэв шулуун шугам нь хавтгайд перпендикуляр байвал түүний проекцууд нь хавтгайд байрлах хэвтээ ба урд шугамын налуу проекцуудтай перпендикуляр байна.б 2⊥f 2; б 1⊥h 1;
3. Бид β хавтгайг ямар ч байдлаар тодорхойлдог, жишээлбэл, β = a∩б, ингэснээр өгөгдсөнтэй перпендикуляр хавтгай байгуулав: α⊥β.

Зураг 3.23 – Өгөгдсөн Δ-д перпендикуляр хавтгай байгуулах ABC

3.9. Бие даан шийдвэрлэх асуудал

1. Өгөгдсөн α = хавтгай м//n(Зураг 3.24). Энэ нь мэдэгдэж байна К∈α.

Цэгийн урд талын проекцийг байгуул TO.

Зураг 3.24

2. Шулуун шугамын ул мөрийг барих, сегментээр өгөгдсөн C.B., мөн дамжин өнгөрөх квадратуудыг тодорхойлно (Зураг 3.25).

Зураг 3.25

3. Хэрэв диагональ нь α⊥π 2 хавтгайд хамаарах квадратын проекцуудыг байгуул. М.Н//π 2 (Зураг 3.26).

Зураг 3.26

4. Тэгш өнцөгтийг байгуул ABCDтом талтай Наршулуун шугам дээр м, түүний талуудын харьцаа 2 байх нөхцөлийг үндэслэнэ (Зураг 3.27).

Зураг 3.27

5. Өгөгдсөн α= хавтгай а//б(Зураг 3.28). α хавтгайтай параллель, түүнээс 20 мм-ийн зайтай β хавтгайг байгуул.

Зураг 3.28

6. Өгөгдсөн α=∆ хавтгай ABCба хугацаа Д Дхавтгай β⊥α ба β⊥π 1 .

7. Өгөгдсөн α=∆ хавтгай ABCба хугацаа Донгоцноос гарсан. Цэгээр дамжих Дшууд Д.Э//α ба Д.Э//π 1.

10.1 Хоёр талт өнцөг. Онгоц хоорондын өнцөг

Хоёр огтлолцсон шугам нь хоёр хос босоо өнцгийг үүсгэдэг. Хавтгай дээрх хоёр огтлолцсон шулуун хос босоо өнцгийг (Зураг 89, а) үүсгэдэгтэй адил огторгуйд огтлолцсон хоёр хавтгай нь хоёр хос босоо өнцөг үүсгэдэг (Зураг 89, б).

Цагаан будаа. 89

Хоёр талт өнцөг гэдэг нь нийтлэг хилийн шулуун шугамтай, нэг хавтгайд оршдоггүй хоёр хагас хавтгайгаас бүрдэх дүрс юм (Зураг 90). Хагас хавтгайг өөрөө хоёр талт өнцгийн нүүр гэж нэрлэдэг ба тэдгээрийн нийтлэг хилийн шулуун шугамыг түүний ирмэг гэж нэрлэдэг.

Цагаан будаа. 90

Хоёр талт өнцгийг дараах байдлаар хэмжинэ.

α ба β нүүртэй хоёр өнцөгт өнцгийн p ирмэг дээр О цэгийг авч үзье, түүний нүүрэн талын О цэгээс p ирмэгт перпендикуляр зурна: a - нүүрэнд α ба b - нүүрэнд β (Зураг 91). , a).

Цагаан будаа. 91

a,b талуудтай өнцгийг шугаман хоёр өнцөгт өнцөг гэнэ.

Шугаман өнцгийн хэмжээ нь хоёр талт өнцгийн ирмэг дээр түүний оройг сонгохоос хамаардаггүй.

Үнэн хэрэгтээ, p ирмэгийн өөр O 1 цэгийг авч, α ба β нүүрэнд a 1 ⊥ p ба b 1 ⊥ p туяаг зурцгаая (Зураг 91, b).

a туяа дээр OA сегментийг, a 1 туяа дээр O 1 A 1 сегментийг OA хэрчимтэй, b туяа дээр OB сегментийг, b туяа дээр O 1 B 1 сегментийг OB сегменттэй тэнцүү гэж зурцгаая (Зураг 1). 91, в).

OAA 1 O 1 ба 0BB 1 0 1 тэгш өнцөгтүүдэд AA 1 ба BB 1 талууд нь OO 1 нийтлэг талтай тэнцүү бөгөөд түүнтэй параллель байна. Тиймээс AA 1 = BB 1 ба AA 1 || BB 1.

Иймээс ABV 1 A 1 дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм (Зураг 91, d) бөгөөд энэ нь AB = A 1 B 1 гэсэн үг юм. Иймээс ABO ба A 1 B 1 O 1 гурвалжин нь тэнцүү (гурван талдаа), ab өнцөг нь a 1 b 1 өнцөгтэй тэнцүү байна.

Одоо бид дараах тодорхойлолтыг өгч болно: хоёр талт өнцгийн хэмжээ нь түүний шугаман өнцгийн хэмжээ юм.

Огтлолцох хавтгайн хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн үүсгэсэн хоёр талт өнцгүүдийн хамгийн бага хэмжээтэй тэнцүү байна. Хэрэв энэ өнцөг 90 ° бол хавтгайг харилцан перпендикуляр гэж нэрлэдэг. Зэрэгцээ хавтгай хоорондын өнцгийг 0° гэж үзнэ.

α ба β хавтгайн хоорондох өнцөг, түүнчлэн α ба β нүүртэй хоёр талт өнцгийн утгыг ∠αβ гэж тэмдэглэнэ.

Нийтлэг ирмэгтэй олон өнцөгтийн нүүрний хоорондох өнцөг нь эдгээр нүүрэнд харгалзах хоёр талт өнцгийн утга юм.

10.2 Харилцан перпендикуляр хавтгайн шинж чанарууд

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Хоёр харилцан перпендикуляр хавтгайн аль нэгэнд байрлах ба тэдгээрийн нийтлэг шулуун шугамтай перпендикуляр шулуун шугам нь нөгөө хавтгайд перпендикуляр байна.

Баталгаа. α ба β хавтгайнууд харилцан перпендикуляр байх ба c шулууны дагуу огтлолцоно. Шулуун шугамыг α ба ⊥ с хавтгайд хэвтүүлнэ (Зураг 92). a шугам нь ямар нэгэн О цэгт c огтлолцоно. О цэгээр β хавтгайд c шулуунтай перпендикуляр b шулууныг зуръя. α ⊥ β тул a ⊥ b. a ⊥ b ба a ⊥ c тул шулуун ба хавтгайн перпендикуляр дээр тулгуурлан α ⊥ β болно.

Цагаан будаа. 92

Хоёрдахь шинж чанар нь эхний өмчийн эсрэг тал юм.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Хоёр харилцан перпендикуляр хавтгайн аль нэгтэй нь нийтлэг цэгтэй, нөгөө хавтгайд перпендикуляр шулуун шугам тэдгээрийн эхнийх нь байна.

Баталгаа. α ба β хавтгайнууд харилцан перпендикуляр байх ба c шулууны дагуу огтлолцох, a ⊥ β ба a шулуунууд нь a-тай нийтлэг А цэгтэй байг (Зураг 93). А цэгээр дамжуулан α хавтгайд c шулуунд перпендикуляр p шулуун зурна. Үл хөдлөх хөрөнгийн дагуу 1 p ⊥ β. a ба p шулуунууд А цэгийг дайран өнгөрөх ба β хавтгайд перпендикуляр байна. Тиймээс тодорхой хавтгайд перпендикуляр цэгээр зөвхөн нэг шулуун шугам дамждаг тул тэдгээр нь давхцдаг. Шулуун шугам p нь α хавтгайд байрладаг тул a шулуун нь α хавтгайд байрладаг.

Цагаан будаа. 93

2-р өмчийн үр дагавар нь шулуун ба хавтгайн перпендикуляр байдлын дараах шинж тэмдэг юм: хэрэв гурав дахь хавтгайд перпендикуляр хоёр хавтгай огтлолцвол тэдгээрийн огтлолцлын шугам нь гурав дахь хавтгайд перпендикуляр байна.

Баталгаа. a шулууны дагуу огтлолцсон α ба β хоёр хавтгайг γ хавтгайд перпендикуляр байя (Зураг 94). Дараа нь а шулууны дурын цэгээр γ хавтгайд перпендикуляр шугам татна. 2-р шинж чанарын дагуу энэ шугам нь α ба β хавтгайд хоёуланд нь байрладаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь шулуун а шугамтай давхцдаг. Тэгэхээр, a ⊥ γ.

Цагаан будаа. 94

10.3 Хавтгайнуудын перпендикуляр байдлын тэмдэг

-ээс эхэлье практик жишээнүүд. Шалны перпендикуляр хананд өлгөгдсөн хаалганы хавтгай нь хаалганы аль ч байрлалд шалны хавтгайд перпендикуляр байна (Зураг 95). Тэд тэгш гадаргуу (хана, хашаа гэх мэт) босоо байдлаар суурилуулсан эсэхийг шалгахыг хүсч байгаа бол үүнийг даацын шугам - ачаатай олс ашиглан хийдэг. Чуулганы шугам нь үргэлж босоо чиглэлд чиглэгддэг бөгөөд хэрэв түүний дагуу байрлах чавга нь хазайхгүй бол хана нь босоо байрлалд байрладаг. Эдгээр жишээнүүд нь хавтгайнуудын перпендикуляр байдлын дараах энгийн шинж тэмдгийг хэлж өгдөг: хэрэв онгоц өөр хавтгайд перпендикуляр дамжин өнгөрвөл эдгээр онгоцууд харилцан перпендикуляр байна.

Цагаан будаа. 95

Баталгаа. α хавтгайд β хавтгайд перпендикуляр а шулууныг агуулна (92-р зургийг үз). Дараа нь a шулуун шугам β хавтгайг ямар нэг О цэгт огтолно. О цэг нь α ба β хавтгай огтлолцох c шулуун дээр байрладаг. О цэгээр дамжин в шулуунд перпендикуляр b шулууныг β хавтгайд татъя. a ⊥ β тул a ⊥ b ба a ⊥ c болно. Энэ нь огтлолцох α ба β хавтгайнуудаас үүссэн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг нь шулуун гэсэн үг юм. Тиймээс α ба β хавтгайнууд харилцан перпендикуляр байна.

Одоо авч үзсэн a, b ба c гурван шулуун шугамын хоёр нь (92-р зургийг үз) харилцан перпендикуляр байгааг анхаарна уу. Хэрэв бид О цэгийг дайран өнгөрч, эдгээр гурван шулууны хоёрт перпендикуляр өөр шугам барьвал энэ нь гурав дахь шугамтай давхцах болно. Энэ баримт нь бидний эргэн тойрон дахь орон зайн гурван хэмжээст байдлын тухай өгүүлдэг: a, b, c шугам бүрт перпендикуляр дөрөв дэх шугам байхгүй.

Өөрийгөө хянах асуултууд

1. Хоёр талт өнцгийг хэрхэн тооцдог вэ?
2. Онгоц хоорондын өнцгийг хэрхэн тооцоолох вэ?
3. Ямар хавтгайг харилцан перпендикуляр гэж нэрлэдэг вэ?
4. Та харилцан перпендикуляр хавтгайн ямар шинж чанарыг мэдэх вэ?
5. Онгоцны перпендикуляр байдлын ямар тэмдгийг та мэдэх вэ?

Даалгавар No4.

Даалгавар №3.

Даалгавар №2.

Даалгавар №1.

Нарийн төвөгтэй зураг үүсгэх (диаграмм)

Онгоцны орон зайн системээс үүссэн зургийг ашиглахад хялбар болгохын тулд хавтгай хэлбэр рүү шилжье.

Үүнийг хийхийн тулд:

1. p 1 хавтгайг p 2 хавтгайтай нийлэх хүртэл X тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх аргыг хэрэглэнэ (Зураг 2.7).

2. p 1 ба p 2 хавтгайг нэг зургийн хавтгайд нэгтгэх (Зураг 2.8)

Цагаан будаа. 2.7	Цагаан будаа. 2.8

А 1 ба А 2 проекцууд нь X тэнхлэгт перпендикуляр нэг холболтын шугам дээр байрладаг. Энэ шугамыг проекцын холболтын шугам гэж нэрлэдэг (Зураг 2.9).

Проекцийн хавтгай нь орон зайд хязгааргүй гэж тооцогддог тул p 1, p 2 хавтгайн хил хязгаарыг дүрслэх шаардлагагүй (Зураг 2.10).

p 1 ба p 2 хавтгайг нэгтгэсний үр дүнд нарийн төвөгтэй зураг эсвэл диаграммыг олж авдаг (Францын epure зургаас), өөрөөр хэлбэл. p 1 ба p 2 системд эсвэл хоёр проекцын хавтгайн системд зурах. Харааны дүрсийг диаграмаар сольсноор бид проекцын хавтгай ба цэгүүдийн байршлын орон зайн зургийг алдлаа. Гэхдээ диаграммууд нь барилгын ажлыг ихээхэн хялбаршуулсан нарийвчлал, хэмжихэд хялбар зургийг өгдөг. Диаграммаас орон зайн зургийг төсөөлөхийн тулд төсөөллийн ажил шаардлагатай: жишээлбэл, Зураг 1-ийн дагуу. 2.11 та зурагт үзүүлсэн зургийг төсөөлөх хэрэгтэй. 2.12.

Хэрэв A 1 ба A 2 проекцуудын дагуу нийлмэл зурагт проекцын тэнхлэг байгаа бол p 1 ба p 2-тэй харьцуулахад А цэгийн байрлалыг тогтоож болно (2.5 ба 2.6-р зургийг үз). Зурагтай харьцуулах. 2.11 ба 2.12-т A 2 A X сегмент нь А цэгээс p 1 хавтгай хүртэлх зай, A 1 A X сегмент нь А цэгээс p 2 хүртэлх зай болохыг тодорхойлоход хялбар байдаг. А 2-ийн проекцын тэнхлэгээс дээш байрлал нь А цэг нь p 1 хавтгайн дээр байрлана гэсэн үг юм. Хэрэв диаграм дээрх A 1 нь проекцын тэнхлэгийн доор байрласан бол А цэг нь p 2 хавтгайн өмнө байна. Тиймээс геометрийн дүрсний хэвтээ төсөөлөл нь проекцын урд талын хавтгайтай харьцуулахад түүний байрлалыг тодорхойлдог p 2 , геометрийн дүрсийн урд талын проекц - проекцийн хэвтээ хавтгайтай харьцуулахад p 1 .

Цагаан будаа. 2.11	Цагаан будаа. 2.12

§ 4. p 1 ба p 2 систем дэх цэгийн байрлалын шинж чанар

Орон зайд тодорхойлогдсон цэг нь проекцын хавтгайтай харьцуулахад өөр өөр байрлалтай байж болно (Зураг 2.13).

Эхний улирлын орон зайд цэгийн байршлын боломжит хувилбаруудыг авч үзье.

1. Нэгдүгээр улирлын орон зайд цэг нь X тэнхлэг ба p 1 p 2 хавтгайгаас дурын зайд байрладаг, жишээлбэл, A, B цэгүүд (ийм цэгүүдийг ерөнхий байрлалын цэг гэж нэрлэдэг) (Зураг 2.14 ба Зураг. 2.15).

3. K цэг нь p 1 ба p 2 хавтгайд нэгэн зэрэг хамаарах бөгөөд өөрөөр хэлбэл X тэнхлэгт хамаарна (Зураг 2.18).

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн бид дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.

1. Хэрэв цэг нэгдүгээр улирлын орон зайд байрласан бол түүний проекц A 2 нь X тэнхлэгээс дээш, A 1 нь X тэнхлэгийн доор байрлана; A 2 A 1 - X тэнхлэгтэй ижил перпендикуляр (холболтын шугам) дээр хэвтэж байна (Зураг 2.14).

2. Хэрэв цэг p 2 хавтгайд хамаарах бол түүний C 2 C проекц (С цэгтэй өөрөө давхцаж байна) ба C 1 X проекц (Х тэнхлэгт хамаарах) C X: C 1 C X -тэй давхцана.

3. Хэрэв цэг p 1 хавтгайд хамаарах бол түүний энэ хавтгайд хийсэн D 1 проекц нь D D 1 цэгтэй өөрөө, D 2 проекц нь X тэнхлэгт хамаарах бөгөөд D X: D 2 D X -тэй давхцаж байна.

4. Хэрэв цэг нь X тэнхлэгт хамаарах бол түүний бүх проекцууд давхцаж, X тэнхлэгт хамаарна: K K 1 K 2 K X.

Дасгал:

1. Эхний улирлын орон зай дахь цэгүүдийн байрлалыг тодорхойлно уу (Зураг 2.19).

2. Тодорхойлолтын дагуу визуал дүрс, цэгийн иж бүрэн зургийг бүтээх:

a) С цэг нь эхний улиралд байрладаг бөгөөд p 1 ба p 2 хавтгайнуудаас ижил зайд байрладаг.

b) M цэг нь p 2 хавтгайд хамаарна.

в) K цэг нь эхний улиралд байрладаг бөгөөд p 1 хүртэлх зай нь p 2 хавтгайгаас хоёр дахин их байна.

d) L цэг нь X тэнхлэгт хамаарна.

3. Тодорхойлолтын дагуу цэгийн нийлмэл зургийг байгуул.

a) P цэг нь эхний улиралд байрладаг бөгөөд p 2 хавтгайгаас зай нь p 1 хавтгайгаас их байна.

б) А цэг нь эхний улиралд байрладаг бөгөөд түүний p 1 хавтгай хүртэлх зай нь p 2 хавтгайгаас 3 дахин их байна.

в) В цэг нь эхний улиралд байрлах ба түүний хавтгай хүртэлх зай нь p 1 =0 байна.

4. Проекцын p 1 ба p 2 хавтгайтай харьцуулахад цэгүүдийн байрлалыг бие биентэйгээ харьцуул. Харьцуулалтыг шинж чанар эсвэл шинж чанарт үндэслэн хийдэг. Цэгүүдийн хувьд эдгээр шинж чанарууд нь p 1 хавтгай хүртэлх зай; p 2 (Зураг 2.20).

Цэгийн зургийг бүтээхдээ дээрх онолыг ашиглахыг янз бүрийн аргаар хийж болно.

• үг (амаар);
• графикаар (зураг);
• харааны зураг (эзэлхүүн);
• хавтгай (цогц зураг).

Мэдээллийг нэг аргаас нөгөөд шилжүүлэх чадвар нь хөгжилд хувь нэмэр оруулдаг орон зайн сэтгэлгээ, өөрөөр хэлбэл үг хэллэгээс харааны (эзэлхүүний), дараа нь хавтгай руу, мөн эсрэгээр.

Үүнийг жишээгээр харцгаая (Хүснэгт 2.1, Хүснэгт 2.2).

Хүснэгт 2.1

Цэгтэй зургийн жишээ
хоёр проекцын хавтгайн системд

Дөрөвний орон зай	Харааны дүрслэл	Нарийн төвөгтэй зураг	Онцлог шинж тэмдгүүд
I			X тэнхлэгийн дээрх А цэгийн урд проекц, Х тэнхлэгийн доорх А цэгийн хэвтээ проекц
II			X тэнхлэг дээрх В цэгийн урд болон хэвтээ проекц
III			X тэнхлэгийн доорхи С цэгийн урд талын проекц, Х тэнхлэгийн дээрх С цэгийн хэвтээ проекц
IV			X тэнхлэгийн доорх D цэгийн урд ба хэвтээ проекц

Хүснэгт 2.2

p 1 ба p 2 хавтгайд хамаарах цэгүүдийн зургийн жишээ

Цэгийн байрлал	Харааны дүрслэл	Нарийн төвөгтэй зураг	Онцлог шинж тэмдгүүд
А цэг нь p 1 хавтгайд хамаарна			A 1 - X тэнхлэгийн доор, A 2 - X тэнхлэг дээр
В цэг нь p 1 хавтгайд хамаарна			B 1 - X тэнхлэгээс дээш, B 2 - X тэнхлэг дээр
С цэг нь p 2 хавтгайд хамаарна			C 2 - X тэнхлэгээс дээш, C 1 - X тэнхлэг дээр
D цэг нь p 2 хавтгайд хамаарна			D 1 – X тэнхлэг дээр, D 2 – X тэнхлэгийн доор
E цэг нь X тэнхлэгт хамаарна			E 1 нь E 2-той давхцаж, X тэнхлэгт хамаарна

Дараах тохиолдолд А цэгийн нийлмэл зургийг бүтээ.

1. Цэг нь II улиралд байрлах ба p 1 ба p 2 хавтгайнуудаас ижил зайд байна.

2. Цэг нь 3-р улиралд байрлах ба түүний p 1 хавтгай хүртэлх зай нь p 2 хавтгайтай харьцуулахад 2 дахин их байна.

3. Цэг нь IV улиралд байрлах ба p1 хавтгай хүртэлх зай нь p2 хавтгайгаас их байна.

Цэгүүд аль улиралд байрлаж байгааг тодорхойл (Зураг 2.21).

1. Дөрөв дэх цэгүүдийн харааны дүрсийг бүтээх:

a) A - гуравдугаар улирлын ерөнхий байр суурь;

b) B - IV улиралд ерөнхий албан тушаал;

c) C - хоёрдугаар улиралд, хэрэв p 1-ээс зай нь 0 бол;

d) D - эхний улиралд, хэрэв p 2-ээс зай нь 0 бол.

A, B, C, D цэгүүдийн цогц зургийг бүтээх (даалгавар 3-ыг үз).

Практикт судалгаа, дүрслэл, харилцан перпендикуляр хоёр хавтгайн систем нь хоёрдмол утгагүй шийдлийн боломжийг үргэлж өгдөггүй. Жишээлбэл, хэрэв та А цэгийг X тэнхлэгийн дагуу хөдөлгөвөл түүний дүрс өөрчлөгдөхгүй.

Орон зай дахь цэгийн байрлал (Зураг 2.22) өөрчлөгдсөн (Зураг 2.24), гэхдээ нийлмэл зураг дээрх зургууд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна (Зураг 2.23 ба 2.25-р зураг).

Цагаан будаа. 2.22	Цагаан будаа. 2.23
Цагаан будаа. 2.24	Цагаан будаа. 2.25

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд гурван харилцан перпендикуляр хавтгайн системийг нэвтрүүлсэн, учир нь зураг зурахдаа жишээлбэл машин ба тэдгээрийн эд ангиудыг хоёр биш, харин илүү олон зураг шаарддаг. Үүний үндсэн дээр зарим барилга байгууламжид асуудлыг шийдвэрлэхдээ p 1, p 2 болон бусад проекцын хавтгайг системд нэвтрүүлэх шаардлагатай байдаг.

Эдгээр онгоцууд бүх орон зайг хуваадаг VIII хэсэг, тэдгээрийг октант гэж нэрлэдэг (Латин окто наймаас). Онгоцууд нь зузаангүй, тунгалаг, хязгааргүй байдаг. Ажиглагч нь эхний улиралд (p 1, p 2 системүүдийн хувьд) эсвэл эхний октантын хувьд (p 1, p 2, p 3 системүүдийн хувьд) проекцын хавтгайгаас хязгааргүй зайд байрладаг.

§ 6. p 1, p 2, p 3 систем дэх цэг

Эхний октантад байрлах тодорхой А цэгийн p 1, p 2, p 3 гэсэн гурван харилцан перпендикуляр хавтгайд проекцийг бүтээхийг Зураг дээр үзүүлэв. 2.27. Проекцын хавтгайг p 2 хавтгайтай хослуулан, онгоцыг эргүүлэх аргыг ашиглан бид А цэгийн нарийн төвөгтэй зургийг олж авна (Зураг 2.28):

AA 1 ^ p 1; AA 2 ^ p 2; AA 3 ^ х 3,

Энд А 3 – А цэгийн проекц; А Х, А y, А Z – А цэгийн тэнхлэгийн проекцууд.

А 1, А 2, А 3 проекцуудыг А цэгийн урд, хэвтээ, профиль проекц гэж нэрлэдэг.

Цагаан будаа. 2.27	Цагаан будаа. 2.28

Хосоор огтлолцсон проекцын хавтгай нь x, y, z гурван тэнхлэгийг тодорхойлдог бөгөөд үүнийг декартын координатын систем гэж үзэж болно: тэнхлэг X abscissa тэнхлэг, тэнхлэг гэж нэрлэдэг y– ординатын тэнхлэг, тэнхлэг З– хэрэглэх тэнхлэг, тэнхлэгүүдийн огтлолцох цэгийг үсгээр тэмдэглэнэ ТУХАЙ,координатын гарал үүсэл юм.

Тиймээс объектыг харж буй үзэгч эхний октантад байна.

Нарийн төвөгтэй зургийг авахын тулд бид p 1 ба p 3 хавтгайг (2.27-р зурагт үзүүлсний дагуу) p 2 хавтгайтай нийцүүлэх хүртэл эргүүлэх аргыг хэрэглэнэ. Эхний октантын бүх онгоцны эцсийн дүрслэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 2.29.

Энд тэнхлэгүүд байна ӨөТэгээд Оз, тогтмол хавтгайд хэвтэж p 2, зөвхөн нэг удаа дүрслэгдсэн байна, тэнхлэг Өөхоёр удаа харуулав. Үүнийг p 1 хавтгайтай тэнхлэгээр эргэдэгтэй холбон тайлбарлаж байна yдиаграмм дээр үүнийг тэнхлэгтэй хослуулсан Оз, мөн p 3 хавтгайтай эргэлдэж, энэ ижил тэнхлэг нь тэнхлэгтэй давхцдаг Өө.

Зураг руу харцгаая. 2.30, огторгуйн цэг хаана байна А, координатаар өгөгдсөн (5,4,6). Эдгээр координатууд эерэг бөгөөд тэр өөрөө эхний октантад байна. Орон зайн загвар дээр цэгийн дүрс, түүний төсөөллийг бүтээх ажлыг координатын тэгш өнцөгт параллелограмм ашиглан гүйцэтгэдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид уртын сегментүүдэд тохирох сегментүүдийг координатын тэнхлэг дээр зурдаг. Өө = 5, Өө = 4, OAz= 6. Эдгээр сегментүүд дээр ( ОАx, ОАy, ОАz), хавирга дээр байгаа мэт бид бүтээдэг куб хэлбэртэй. Түүний нэг орой нь өгөгдсөн цэгийг тодорхойлно А.

Нарийн төвөгтэй зураг дээрх гурван проекцын хавтгайн системийн тухай ярихад (Зураг 2.30) дараахь зүйлийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Зургийн хоёр проекцоор хэлбэрийн мэдээллийг дамжуулах боломжгүй олон хэсэг байдаг. талаар мэдээлэл авахын тулд нарийн төвөгтэй хэлбэрНарийвчилсан мэдээллийг бүрэн дүүрэн харуулсан бөгөөд тэдгээр нь гурван харилцан перпендикуляр проекцын хавтгайд проекц ашигладаг: урд тал - V, хэвтээ - H ба профиль - W ("давхар VE" -ийг уншина уу).

Цогцолбор зураг Гурван харагдац эсвэл төсөөлөлд үзүүлсэн зураг нь ихэнх тохиолдолд тухайн хэсгийн (зүйл ба объект) хэлбэр, дизайны бүрэн дүр зургийг өгдөг бөгөөд үүнийг цогц зураг гэж нэрлэдэг. үндсэн зураг. Хэрэв зургийг координатын тэнхлэгүүдээр хийсэн бол түүнийг тэнхлэгийн зураг гэнэ. тэнхлэггүй Хэрэв зургийг координатын тэнхлэггүйгээр хийсэн бол тэнхлэггүй профиль гэнэ. Хэрэв W хавтгай нь проекцын урд болон хэвтээ хавтгайд перпендикуляр байвал түүнийг профиль гэнэ.

Объектыг гурвалсан буланд байрлуулсан бөгөөд түүний үүсэх ирмэг ба суурь нь урд болон хэвтээ проекцын хавтгайтай параллель байна. Дараа нь проекцын цацрагийг объектын бүх цэгүүдээр дамжуулж, бүх гурван проекцын хавтгайд перпендикуляраар дамжуулж, объектын урд, хэвтээ, профилын проекцийг олж авдаг. Проекцын дараа объектыг гурвалсан өнцгөөс салгаж, дараа нь хэвтээ ба профилын проекцын хавтгайг урд талын проекцын хавтгайтай нийлэх хүртэл 90° болон Оц тэнхлэгийг тойрон эргүүлж, гурван проекц агуулсан хэсгийн зургийг гаргана. олж авсан.

Зургийн гурван төсөөлөл нь хоорондоо холбоотой байдаг. Урд ба хэвтээ проекцууд нь зургийн проекцын холболтыг хадгалдаг, өөрөөр хэлбэл урд ба хэвтээ, урд ба профиль, түүнчлэн хэвтээ ба профилын проекцуудын хооронд проекцын холболтыг тогтоодог. Проекцын холбоосын шугамууд нь зургийн талбар дээрх төсөөлөл бүрийн байршлыг тодорхойлдог. Ихэнх объектуудын хэлбэр нь янз бүрийн геометрийн бие эсвэл тэдгээрийн хэсгүүдийн хослол юм. Тиймээс зураг уншиж, гүйцэтгэхийн тулд үйлдвэрлэлийн гурван проекцын системд геометрийн биетүүдийг хэрхэн дүрсэлсэнийг мэдэх хэрэгтэй.

1. Нүүр зэрэгцээ хавтгайнуудтүүн дээр проекцийг гажуудалгүйгээр, байгалийн хэмжээгээр нь төсөөлдөг. 2. Проекцын хавтгайд перпендикуляр нүүрийг шулуун шугамын хэрчмээр дүрсэлсэн байна. 3. Проекцын хавтгайд ташуу байрлалтай нүүр, түүн дээрх гажуудалтай зураг (багасгасан)

& 3. 4.1 бичих даалгаварт pg асуултууд. pp pp, & 5, pp. 37-45, бичгийн даалгавар