Алтан харьцааны дижитал цуврал. "Фибоначчийн тооны оньсого" судалгааны ажил. зэргэлдээх тоонуудын квадратуудын нийлбэр нь Фибоначчийн тоо байх бөгөөд энэ нь хамгийн том квадрат тоонуудын дараа хоёр байрлалд байрлана.

Фибоначчийн тоо - элементүүд тооны дараалал.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, дараагийн дугаар бүр нь өмнөх хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нэрийг Италийн Пиза хотод худалдаачин, математикчаар ажиллаж амьдарч байсан дундад зууны үеийн математикч Пизагийн Леонардо (эсвэл Фибоначчи) нэрээр нэрлэжээ. Тэрээр тухайн үеийн Европын хамгийн алдартай эрдэмтдийн нэг юм. Түүний хамгийн том ололтуудын нэг бол Ром тоогоор солигдсон араб тоог нэвтрүүлсэн явдал юм. Fn =Fn-1 +Fn-2

Математикийн цуваа асимптотын хувьд (өөрөөр хэлбэл, улам удаан ойртож байгаа) тогтмол харьцаатай байдаг. Гэсэн хэдий ч, энэ хандлага нь үндэслэлгүй юм; Энэ нь аравтын бутархайн тоонуудын төгсгөлгүй, урьдчилан тааварлашгүй дараалалтай. Үүнийг хэзээ ч яг таг илэрхийлэх боломжгүй. Цувралын нэг хэсэг болох тоо бүрийг өмнөх тоонд нь хуваасан бол (жишээлбэл, 13-^8 эсвэл 21 -IZ) үйлдлийн үр дүн нь 1.61803398875 иррационал тооны эргэн тойронд бага зэрэг их эсвэл бага зэрэг хэлбэлзэх харьцаагаар илэрхийлэгдэнэ. цувралын хөрш зэргэлдээх харьцаанаас бага. Харьцаа нь хэзээ ч, хязгааргүй, сүүлчийн орон хүртэл үнэн зөв байх болно (тэр ч байтугай бидний үед бий болсон хамгийн хүчирхэг компьютерийг ашиглаж байсан ч). Товчхон байхын тулд бид 1.618-ыг Фибоначчийн харьцаа болгон ашиглах бөгөөд уншигчдаас энэ алдааг мэдэж байхыг хүснэ.

Фибоначчийн тоо байдаг чухалмөн шинжилгээ хийх явцад хоёр тооны хамгийн их нийтлэг хуваагчийг тодорхойлох Евклидийн алгоритм. Фибоначчийн тоонууд нь Паскалийн гурвалжны диагональ (бином коэффициент) томъёоноос гардаг.

Фибоначчийн тоо нь "алтан харьцаа"-тай холбоотой байв.

Алтан харьцааг эртний Египет, Вавилон, Энэтхэг, Хятадад мэддэг байсан. юу вэ" алтан харьцаа"? Хариулт нь тодорхойгүй хэвээр байна. Фибоначчийн тоо нь бидний цаг үеийн практикийн онолд үнэхээр хамаатай юм. Ач холбогдлын өсөлт нь 20-р зуунд үүссэн бөгөөд өнөөг хүртэл үргэлжилж байна. Фибоначчийн тоог эдийн засаг, компьютерийн шинжлэх ухаанд ашиглах нь олон тооны хүмүүсийн судалгаанд татагдсан.

Миний судалгааны ажлын арга зүй нь тусгай ном зохиол судлах, хүлээн авсан мэдээллийг нэгтгэн дүгнэхээс гадна өөрийн судалгаа хийж, тоонуудын шинж чанар, тэдгээрийн хэрэглээний хамрах хүрээг тодорхойлох явдал байв.

үед шинжлэх ухааны судалгааФибоначчийн тоо, тэдгээрийн шинж чанаруудын тухай ойлголтыг тодорхойлсон. Би мөн амьд байгаль, наранцэцгийн үрийн бүтцээс сонирхолтой хэв маягийг олж мэдсэн.

Наранцэцгийн үрийг спираль хэлбэрээр байрлуулсан бөгөөд нөгөө чиглэлд явж буй спиральуудын тоо өөр өөр байдаг - эдгээр нь дараалсан Фибоначчийн тоо юм.

Энэ наранцэцэг нь 34 ба 55 байдаг.

8 ба 14 спиральтай эрдэнэ шишийн навчнууд нь Фибоначчийн тоонуудын өвөрмөц шинж чанартай холбоотой байдаг хан боргоцойны жимсэнд мөн адил ажиглагддаг.

Ургамлын ишний хөлний навчны мушгиа байрлалд тохирсон a/b хэлбэрийн фракцууд нь ихэвчлэн дараалсан Фибоначчийн тоонуудын харьцаа юм. Хазелийн хувьд энэ харьцаа 2/3, царс 3/5, улиас 5/8, бургасны хувьд 8/13 гэх мэт.

Ургамлын ишний навчны байрлалыг харахад хос навч (A ба C) бүрийн хооронд гурав дахь нь алтан харьцаа (B) дээр байрладаг болохыг анзаарч болно.

Фибоначчийн тооны өөр нэг сонирхолтой шинж чанар бол нэгээс бусад хоёр өөр Фибоначчийн тооны үржвэр ба коэффициент нь хэзээ ч Фибоначчийн тоо биш юм.

Судалгааны үр дүнд би дараах дүгнэлтэд хүрсэн: Фибоначчийн тоо өвөрмөц юм арифметик прогресс, МЭ 13-р зуунд гарч ирсэн. Энэхүү дэвшил нь ач холбогдлоо алдахгүй байгаа нь миний судалгааны явцад батлагдсан. Фибоначчийн тоог програмчлал, эдийн засгийн таамаглал, уран зураг, архитектур, хөгжимд ч бас олдог. Ийм зургууд алдартай уран бүтээлчид, Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Боттичелли нар алтан харьцааны ид шидийг хэрхэн нуудаг вэ? И.И.Шишкин хүртэл "Нарсны төгөл" зурагтаа алтан харьцааг ашигласан.

Итгэхэд бэрх ч алтан харьцаа нь Моцарт, Бетховен, Шопен гэх мэт агуу хөгжмийн зохиолчдын хөгжмийн бүтээлүүдэд бас байдаг.

Фибоначчийн тоо нь архитектурт бас байдаг. Жишээлбэл, Парфенон ба Нотр-Дамын сүмийг барихад алтан харьцааг ашигласан

Фибоначчийн тоог манай нутагт ч ашигладаг болохыг олж мэдсэн. Жишээ нь, байшингийн засал чимэглэл, pediments.

Орчлон ертөнцөд маш их зүйл байсаар байна тайлагдаагүй нууцууд, тэдгээрийн заримыг эрдэмтэд аль хэдийн тодорхойлж, дүрсэлж чадсан. Фибоначчийн тоо ба алтан харьцаа нь бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг тайлж, түүний хэлбэр дүрс, оновчтой байдлыг бий болгох үндэс суурь болдог. харааны ойлголтТүүний тусламжтайгаар гоо үзэсгэлэн, эв найрамдлыг мэдэрч чаддаг хүн.

Алтан харьцаа

Алтан харьцааны хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох зарчим нь бүхэл бүтэн ертөнц, түүний хэсгүүдийн бүтэц, үйл ажиллагааны төгс төгөлдөр байдлын үндэс бөгөөд түүний илрэлийг байгаль, урлаг, технологид харж болно. Алтан пропорцын тухай сургаал нь эртний эрдэмтдийн тоон шинж чанарын талаархи судалгааны үр дүнд бий болсон.

Энэ нь эртний философич, математикч Пифагорын хийсэн сегментийн хуваагдлын харьцаа ба харьцааны онол дээр суурилдаг. Тэрээр сегментийг X (жижиг) ба Y (том) гэсэн хоёр хэсэгт хуваахдаа том ба жижиг хэсгийн харьцаа нь тэдгээрийн нийлбэрийн (бүх сегмент) харьцаатай тэнцүү байх болно гэдгийг нотолсон.

Үр дүн нь тэгшитгэл юм: x 2 - x - 1=0,гэж шийдэгддэг x=(1±√5)/2.

Хэрэв бид 1/x харьцааг авч үзвэл энэ нь тэнцүү байна 1,618…

Эртний сэтгэгчид алтан харьцааг ашиглаж байсныг нотлох баримтыг 3-р зуунд бичсэн Евклидийн "Элементүүд" номонд оруулсан болно. Тогтмол таван өнцөгт байгуулахдаа энэ дүрмийг ашигласан МЭӨ. Пифагорчуудын дунд энэ дүрс нь тэгш хэмтэй, тэгш хэмтэй байдаггүй тул ариун гэж тооцогддог. Пентаграм нь амьдрал, эрүүл мэндийг бэлэгддэг.

Фибоначчийн тоо

Хожим нь Фибоначчи гэгдэх болсон Италийн математикч Пизагийн Леонардогийн алдарт Liber abaci ном 1202 онд хэвлэгджээ. Түүнд эрдэмтэн анх удаагаа тоонуудын нийлбэр болох цувралын загварыг иш татсан байдаг. Өмнөх 2 цифр. Фибоначчийн тооны дараалал дараах байдалтай байна.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 гэх мэт.

Эрдэмтэн хэд хэдэн хэв маягийг иш татав.

• Цувралаас дараагийн тоонд хуваасан дурын тоо нь 0.618 гэсэн утгатай тэнцүү байна. Түүгээр ч барахгүй Фибоначчийн эхний тоонууд ийм тоог өгдөггүй, гэхдээ бид дарааллын эхнээс шилжих тусам энэ харьцаа улам бүр үнэн зөв байх болно.
• Хэрэв та цувралын тоог өмнөх тоонд хуваах юм бол үр дүн нь 1.618 болно.
• Нэг тоог дараагийн нэгээр хуваахад 0.382 гэсэн утгатай утгыг харуулна.

Алтан зүсэлтийн холболт, хэв маягийн хэрэглээ, Фибоначчийн тоог (0.618) зөвхөн математикт төдийгүй байгаль, түүх, архитектур, барилга байгууламж болон бусад олон шинжлэх ухаанд олж болно.

Архимед спираль ба алтан тэгш өнцөгт

Байгальд маш түгээмэл байдаг спиральуудыг Архимед судалж, тэгшитгэлийг нь хүртэл гаргаж авсан. Спираль хэлбэр нь алтан харьцааны хуулиуд дээр суурилдаг. Үүнийг задлахдаа пропорц болон Фибоначчийн тоонуудыг ашиглах боломжтой уртыг олж авдаг.

Талууд нь 1.618:1 пропорциональ "алтан тэгш өнцөгт" байгуулснаар Фибоначчийн тоо ба алтан харьцааны параллель байдлыг харж болно. Энэ нь том тэгш өнцөгтөөс жижиг хэсгүүд рүү шилжих замаар бүтээгдсэн бөгөөд ингэснээр талуудын урт нь цувралын тоотой тэнцүү байна. Мөн "1" квадратаас эхлэн урвуу дарааллаар барьж болно. Энэ тэгш өнцөгтийн булангуудыг огтлолцлын төвд шугамаар холбоход Фибоначчи буюу логарифм спираль үүснэ.

Алтан пропорцийг ашигласан түүх

Египетийн олон эртний архитектурын дурсгалуудыг алтан харьцаагаар барьсан: алдартай архитекторуудын пирамидууд Эртний ГрекЭдгээрийг сүм хийд, амфитеатр, цэнгэлдэх хүрээлэн зэрэг архитектурын объектуудыг барихад өргөн ашигладаг байв. Жишээлбэл, ийм пропорцийг эртний Парфенон сүм, (Афин) болон бусад объектуудыг барьж байгуулахад ашигласан бөгөөд энэ нь математикийн хэв маягт суурилсан эв зохицлыг харуулсан эртний архитектурын шилдэг бүтээл болсон.

Дараа зуунд алтан харьцааны сонирхол буурч, хэв маяг нь мартагдсан боловч Францискийн лам Л.Пасиоли ​​ди Боргогийн "Тэнгэрлэг хувь хэмжээ" (1509) номоор Сэргэн мандалтын үед дахин сэргэв. Энэ нь "алтан харьцаа" хэмээх шинэ нэрийг бий болгосон Леонардо да Винчигийн зургуудыг агуулсан байв. Алтан харьцааны 12 шинж чанарыг мөн шинжлэх ухаанаар нотолсон бөгөөд зохиолч энэ нь байгаль, урлагт хэрхэн илэрдэг талаар ярьж, үүнийг "ертөнц, байгалийг бий болгох зарчим" гэж нэрлэсэн.

Витрувийн хүн Леонардо

Леонардо да Винчигийн 1492 онд Витрувий номыг зурахдаа ашигласан зураг нь хүний ​​дүрсийг хоёр байрлалтай, гараа хажуу тийш нь дэлгэн дүрсэлсэн байдаг. Дүрсийг тойрог, дөрвөлжин хэлбэрээр бичжээ. Энэ зургийг каноник харьцаа гэж үздэг хүний ​​бие(эрэгтэй), Леонардо Ромын архитектор Витрувиусын зохиолуудад судалсны үндсэн дээр тайлбарласан.

Биеийн төв нь гар, хөлний төгсгөлөөс ижил зайд байх цэг нь хүйс, гарны урт нь хүний ​​өндөртэй тэнцүү, мөрний хамгийн их өргөн = өндрийн 1/8, цээжний дээд хэсгээс үс хүртэлх зай = 1/7, цээжний оройноос толгойн орой хүртэл = 1/6 гэх мэт.

Тэр цагаас хойш уг зургийг хүний ​​биеийн дотоод тэгш хэмийг харуулсан тэмдэг болгон ашиглаж ирсэн.

Леонардо хүний ​​дүр дэх пропорциональ харьцааг тодорхойлохдоо "Алтан харьцаа" гэсэн нэр томъёог ашигласан. Жишээлбэл, бэлхүүсээс хөл хүртэлх зай нь хүйснээс толгойны орой хүртэлх зайтай ижил өндөр нь эхний урттай (бэлхүүсээс доош) хамааралтай байдаг. Энэхүү тооцоо нь алтан пропорцийг тооцоолохдоо сегментүүдийн харьцаатай ижил төстэй байдлаар хийгдсэн бөгөөд 1.618 хандлагатай байна.

Эдгээр бүх зохицсон харьцааг уран бүтээлчид ихэвчлэн үзэсгэлэнтэй, гайхалтай бүтээлүүдийг бүтээхэд ашигладаг.

16-19-р зууны алтан харьцааны судалгаа

Алтан харьцаа ба Фибоначчийн тоог ашиглан пропорцын талаархи судалгаа олон зууны турш үргэлжилж байна. Леонардо да Винчитэй зэрэгцэн Германы зураач Альбрехт Дюрер хүний ​​биеийн зөв пропорцын онолыг боловсруулахаар ажиллаж байжээ. Энэ зорилгоор тэрээр тусгай луужин хүртэл бүтээжээ.

16-р зуунд Фибоначчийн тоо болон алтан харьцаа хоёрын хоорондын уялдаа холбоог судлахдаа эдгээр дүрмийг анх ургамал судлалд хэрэглэсэн одон орон судлаач И.Кеплерийн ажилд зориулагдсан байв.

19-р зуунд алтан харьцааг шинэ "нээлт" хүлээж байв. Германы эрдэмтэн профессор Зейсигийн “Гоо зүйн судалгаа” хэвлэгдсэнээр. Тэрээр эдгээр пропорцийг үнэмлэхүй болгож, хүн бүрт түгээмэл байдаг гэж тунхагласан байгалийн үзэгдлүүд. Тэрээр асар олон тооны хүмүүс, эс тэгвээс тэдний биеийн харьцаа (2 мянга орчим) дээр судалгаа хийсэн бөгөөд үүний үр дүнд үндэслэн биеийн янз бүрийн хэсгүүдийн харьцааны статистикийн батлагдсан хэв маягийн талаар дүгнэлт хийсэн: мөрний урт, шуу, гар, хуруу гэх мэт.

Шүлэг бичихдээ урлагийн объектууд (ваар, архитектурын бүтэц), хөгжмийн өнгө, хэмжээ зэргийг судалж үзсэн - Зейсиг энэ бүгдийг сегмент, тооны уртаар харуулсан бөгөөд тэрээр "математик гоо зүй" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн. Үр дүнг хүлээн авсны дараа Фибоначчийн цувралыг олж авсан нь тогтоогджээ.

Фибоначчийн тоо ба байгаль дахь алтан харьцаа

Ургамал, амьтны ертөнцөд өсөлт, хөдөлгөөний чиглэлд ажиглагддаг тэгш хэмийн хэлбэрээр морфологи руу чиглэсэн хандлага байдаг. Алтан харьцаа ажиглагдаж буй тэгш хэмтэй хэсгүүдэд хуваах - энэ хэв маяг нь олон ургамал, амьтанд байдаг.

Бидний эргэн тойрон дахь байгалийг Фибоначчийн тоогоор дүрсэлж болно, жишээлбэл:

• аливаа ургамлын навч, мөчрүүдийн байршил, түүнчлэн зай нь өгөгдсөн 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 гэх мэт цуврал тоотой хамааралтай;
• янз бүрийн чиглэлд эрчилсэн спираль дагуу хоёр эгнээ байрлуулсан наранцэцгийн үр (боргоцой дээрх масштаб, хан боргоцойн эс);
• гүрвэлийн сүүл ба бүх биеийн уртын харьцаа;
• өндөгний хэлбэр, хэрэв та түүний өргөн хэсэгт шугам татвал;
• хүний ​​гар дээрх хурууны хэмжээтэй харьцаа.

Мэдээжийн хэрэг, хамгийн сонирхолтой хэлбэрт эргэлдэж буй эмгэн хумсны бүрхүүл, аалзны тор дээрх хээ, хар салхины доторх салхины хөдөлгөөн, ДНХ-ийн давхар мушгиа, галактикийн бүтэц зэрэг нь Фибоначчийн дарааллыг агуулдаг.

Урлагт алтан харьцааг ашиглах

Алтан харьцааг урлагт ашиглах жишээг хайж буй судлаачид янз бүрийн архитектурын объект, урлагийн бүтээлийг нарийвчлан судалж байна. Олимпийн Зевс, Аполло Белведер, Аполлон Бельведерийн барималуудыг бүтээгчид нь алтан харьцааг баримталдаг алдартай уран баримлын бүтээлүүд байдаг.

Леонардо да Винчигийн бүтээлүүдийн нэг болох "Мона Лизагийн хөрөг" нь олон жилийн турш эрдэмтдийн судалгааны сэдэв байсаар ирсэн. Тэд уг бүтээлийн найрлага нь бүхэлдээ энгийн таван өнцөгт од болгон нэгтгэсэн "алтан гурвалжин"-аас бүрддэг болохыг олж мэдэв. Да Винчигийн бүх бүтээлүүд нь түүний мэдлэг нь хүний ​​биеийн бүтэц, харьцааны талаар ямар гүн гүнзгий мэдлэгтэй байсны нотолгоо бөгөөд үүний ачаар тэрээр Мона Лизагийн гайхалтай нууцлаг инээмсэглэлийг олж авч чадсан юм.

Архитектур дахь алтан харьцаа

Жишээлбэл, эрдэмтэд "алтан харьцаа" -ын дүрмийн дагуу бүтээсэн архитектурын шилдэг бүтээлүүдийг судалж үзсэн: Египетийн пирамидууд, Пантеон, Парфенон, Нотр Дам де Парисын сүм, Гэгээн Василий сүм гэх мэт.

Парфенон - Эртний Грекийн хамгийн үзэсгэлэнтэй барилгуудын нэг (МЭӨ 5-р зуун) нь 8 багана, өөр өөр талдаа 17 баганатай бөгөөд түүний өндрийг хажуугийн урттай харьцуулсан харьцаа нь 0.618 байна. Түүний фасад дээрх цухуйлтыг "алтан харьцаа" -ын дагуу хийсэн (доорх зураг).

Архитектурын объектуудын харьцааны модульчлагдсан системийг ("модульор" гэж нэрлэдэг) сайжруулж, амжилттай хэрэгжүүлсэн эрдэмтдийн нэг бол Францын архитектор Ле Корбюзье байв. Модулятор нь хүний ​​биеийн хэсгүүдэд нөхцөлт хуваагдахтай холбоотой хэмжих систем дээр суурилдаг.

Оросын архитектор М.Казаков бол Москвад хэд хэдэн орон сууцны барилга, Кремлийн Сенатын барилга, Голицын эмнэлэг (одоогийн Н.И.Пироговын нэрэмжит 1-р клиник) зэрэг хуулиудыг зураг төсөл боловсруулахдаа ашигласан архитекторуудын нэг юм. алтан харьцааны тухай бүтээн байгуулалт.

Дизайн дахь пропорцийг ашиглах

Хувцасны дизайнд бүх загвар зохион бүтээгчид хүний ​​​​биеийн харьцаа, алтан харьцааны дүрмийг харгалзан шинэ дүр төрх, загварыг бий болгодог, гэхдээ байгалиасаа бүх хүмүүс хамгийн тохиромжтой харьцаатай байдаггүй.

Ландшафтын дизайныг төлөвлөж, ургамал (мод, бут сөөг), усан оргилуур, жижиг архитектурын объектын тусламжтайгаар гурван хэмжээст цэцэрлэгт хүрээлэнгийн найрлагыг бий болгохдоо "бурханлаг харьцаа" -ын хуулийг бас ашиглаж болно. Эцсийн эцэст, цэцэрлэгт хүрээлэнгийн найрлага нь зочдод сэтгэгдэл төрүүлэхэд чиглэгдсэн байх ёстой бөгөөд тэд үүнийг чөлөөтэй жолоодож, найрлагын төвийг олох боломжтой болно.

Цэцэрлэгт хүрээлэнгийн бүх элементүүд нь геометрийн бүтэц, харьцангуй байрлал, гэрэлтүүлэг, гэрлийн тусламжтайгаар зохицол, төгс төгөлдөр байдлын сэтгэгдэл төрүүлэхийн тулд ийм харьцаатай байдаг.

Алтан харьцааг кибернетик, технологид ашиглах

Алтан хэсгийн хуулиуд болон Фибоначчийн тоонууд нь энергийн шилжилт, үйл явцын үед гарч ирдэг. энгийн бөөмс, бүрэлдэхүүн хэсгүүд химийн нэгдлүүд, В сансрын системүүд, ДНХ-ийн генийн бүтцэд.

Үүнтэй төстэй үйл явц нь хүний ​​​​биед тохиолддог бөгөөд түүний амьдралын биоритмууд, эрхтнүүдийн үйл ажиллагаа, жишээлбэл, тархи эсвэл алсын хараагаар илэрдэг.

Орчин үеийн кибернетик, компьютерийн шинжлэх ухаанд алтан харьцааны алгоритм ба хэв маягийг өргөн ашигладаг. Шинэхэн програмистуудын шийдэх энгийн даалгавруудын нэг бол томъёо бичих, програмчлалын хэл ашиглан Фибоначчийн тоонуудын нийлбэрийг тодорхой тоо хүртэл тодорхойлох явдал юм.

Алтан харьцааны онолын орчин үеийн судалгаа

20-р зууны дунд үеэс эхлэн алтан харьцааны хуулиудын асуудал, хүний ​​амьдралд үзүүлэх нөлөөллийн сонирхол эрс нэмэгдэж, математикч, угсаатны судлаач, биологич, философич, эмнэлгийн ажилчид, эдийн засагч, хөгжимчид зэрэг янз бүрийн мэргэжлээр ажилладаг олон эрдэмтдийн сонирхол эрс нэмэгдэж байна. , гэх мэт.

АНУ-д 1970-аад оноос хойш The Fibonacci Quarterly сэтгүүл хэвлэгдэж эхэлсэн бөгөөд энэ сэдвээр бүтээлүүд хэвлэгджээ. Алтан харьцааны ерөнхий дүрмүүд ба Фибоначчийн цувралыг мэдлэгийн янз бүрийн салбарт ашигласан бүтээлүүд хэвлэлд гарч байна. Жишээлбэл, мэдээллийн кодчилол, химийн судалгаа, биологийн судалгаа гэх мэт.

Энэ бүхэн нь алтан хувь нь шинжлэх ухааны суурь асуудлуудтай олон талт холбоотой бөгөөд бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн олон бүтээл, үзэгдлийн тэгш хэмээр илэрдэг гэсэн эртний болон орчин үеийн эрдэмтдийн дүгнэлтийг баталж байна.

"" Хэвлэлийн газартай хамт бид профессорын номноос хэсэгчлэн нийтэлдэг хэрэглээний математикЭдвард Шейнерманы "Математикт дурлагсдад зориулсан гарын авлага" нь сонирхолтой математикийн стандарт бус асуултууд, оньсого, тоо, дүрсийн ертөнцийн тухай өгүүлдэг. Алексей Огневын англи хэлнээс орчуулсан.

Энэ бүлэгт алдарт Фибоначчийн тоонуудын тухай өгүүлнэ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 гэх мэт. Энэ цувралыг Фибоначчийн нэрээр алдаршсан Пизагийн Леонардогийн нэрээр нэрлэсэн. Пизагийн Леонардо (1170-1250) - анхны томоохон математикчдын нэг дундад зууны Европ. Фибоначчийн хоч нь "Боначчийн хүү" гэсэн утгатай. Аравтын тооллын системийг тайлбарласан "Абакийн ном"-ын зохиогч.

Дөрвөлжин ба даалуу

Дөрвөлжин ба даалуунуудыг байрлуулж эхэлцгээе. 1 х 10 хэмжээтэй урт хэвтээ хүрээг төсөөлөөд үз дээ. Бид үүнийг 1 х 1 квадрат, 1 х 2 даалуугаар дүүргэж, нэг ч цоорхой үлдээхгүй байхыг хүсч байна. Энд зураг байна:

Асуулт: Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?

Тохиромжтой болгох үүднээс сонголтуудын тоог F10 гэж тэмдэглэе. Тэдгээрийг бүгдийг нь судалж, дараа нь тоолох нь алдаатай, хэцүү ажил юм. Асуудлыг хялбарчлах нь илүү дээр юм. F10-ыг шууд хайхгүй, F1-ээс эхэлье. Энэ нь илүү хялбар байж чадахгүй! Бид 1 × 1 хэмжээтэй хүрээг 1 × 1 квадрат, 1 × 2 даалуугаар дүүргэх хэрэгтэй, тиймээс цорын ганц шийдэл бол нэг квадратыг авах явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, F1 = 1.

Одоо F2-г харцгаая. Хүрээний хэмжээ 1 × 2. Та үүнийг хоёр квадрат эсвэл нэг даалуугаар дүүргэж болно. Тэгэхээр F2 = 2 гэсэн хоёр сонголт байна.

Дараа нь: 1 × 3 хүрээг хэдэн аргаар дүүргэх вэ? Эхний сонголт: гурван квадрат. Өөр хоёр сонголт: нэг домино (хоёр нь тохирохгүй), зүүн эсвэл баруун талд дөрвөлжин. Тиймээс, F3 = 3. Дахин нэг алхам: 1 × 4 хүрээ авах Зураг дээр бүх бөглөх сонголтууд харагдаж байна.

Бид таван боломжийг олсон, гэхдээ бид юу ч алдаагүй гэсэн баталгаа хаана байна вэ? Өөрийгөө шалгах арга бий. Хүрээний зүүн төгсгөлд дөрвөлжин эсвэл домино байж болно. Зургийн дээд эгнээнд зүүн талд дөрвөлжин байх үед, доод эгнээнд - зүүн талд даалуу байх үед сонголтууд байдаг.

Зүүн талд дөрвөлжин байна гэж бодъё. Үлдсэн хэсгийг дөрвөлжин, даалуугаар дүүргэх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, та хүрээг 1 × 3-аар дүүргэх хэрэгтэй. Энэ нь F3 = 3 тул 3 сонголт өгдөг. Зүүн талд домино байгаа бол үлдсэн хэсгийн хэмжээ 1 × 2 байх ба 2 сонголттой. Үүнийг бөглөнө үү, учир нь F2 = 2.

Тиймээс бидэнд 3 + 2 = 5 сонголт байгаа бөгөөд бид F4 = 5 гэдгийг баталгаажуулсан.

Одоо чи. Хэдэн минутын турш бодоод 1 × 5 хэмжээтэй хүрээг дүүргэх бүх сонголтыг олоорой. Шийдэл нь бүлгийн төгсгөлд байна. Та завсарлага аваад бодож болно.

Талбайнууддаа буцаж орцгооё. Зүүн талд нь дөрвөлжин, зүүн талд нь даалуутай 3 өөр 5 арга байдаг тул та 8 сонголтыг олсон гэдэгт итгэхийг хүсч байна. Тиймээс F5 = 8.

Дүгнэж хэлье. Бид 1 × n хүрээг квадрат болон даалуугаар дүүргэх аргын тоог FN-ээр тэмдэглэдэг. Бид F10 олох хэрэгтэй. Энд бид аль хэдийн мэддэг зүйл байна:

Үргэлжлүүлье. F6 нь юутай тэнцүү вэ? Та бүх сонголтыг зурж болно, гэхдээ энэ нь уйтгартай юм. Асуултыг хоёр хэсэгт хуваасан нь дээр. Зүүн талд нь (а) дөрвөлжин, (б) даалуу байгаа бол 1 × 6 хэмжээтэй хүрээг хэдэн аргаар дүүргэх вэ? Сайн мэдээ: бид хариултыг аль хэдийн мэдэж байгаа! Эхний тохиолдолд бид таван квадраттай үлдсэн бөгөөд бид F5 = 8 гэдгийг мэддэг. Хоёр дахь тохиолдолд бид дөрвөн квадратыг бөглөх хэрэгтэй; F4 = 5 гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс F5 + F4 = 13.

F7 нь юутай тэнцүү вэ? Үүнтэй ижил бодол дээр үндэслэн F7 =F6+F5=13+8=21. F8-ийн талаар юу хэлэх вэ? Мэдээжийн хэрэг, F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. Гэх мэт. Бид дараах хамаарлыг олсон: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Өөр хэдэн алхам хийвэл бид шаардлагатай F10 дугаарыг олох болно. Зөв хариулт нь бүлгийн төгсгөлд байна.

Фибоначчийн тоо

Фибоначчийн тоо нь дараах дараалал юм.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Энэ нь дараахь дүрмийн дагуу баригдсан болно.

- эхний хоёр тоо нь 1 ба 1;

- дараагийн тоо бүрийг өмнөх хоёрыг нэмснээр олж авна.

Бид Fn дарааллын n-р элементийг тэгээс эхлэн тэмдэглэнэ: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... Бид дараагийн элементийг томъёогоор тооцоолно: Fn = Fn. -1 + Fn-2.

Бидний харж байгаагаар дөрвөлжин ба даалуунуудыг давхарлах асуудал биднийг Фибоначчийн тооны дараалал руу хөтөлсөн. 1 ]Квадрат ба даалууны бодлогод бид F1 = 1 ба F2 = 2 гэдгийг олж мэдсэн. Харин Фибоначчийн тоо F0 = 1-ээр эхэлдэг. Энэ нь бодлогын нөхцөлтэй хэр нийцэж байна вэ? Ижил нөхцөлд 0 × 1 хүрээг дүүргэх хэдэн арга байдаг вэ? Дөрвөлжингийн урт ба даалууны урт нь эцсийн эцэст тэгээс их байдаг тул хариулт нь тэг гэж хэлэх нь сонирхол татдаг, гэхдээ энэ нь тийм биш юм. 0 × 1 тэгш өнцөгтийг аль хэдийн дүүргэсэн, тэнд хоосон зай байхгүй; бидэнд дөрвөлжин, даалуу хэрэггүй. Тиймээс зөвхөн нэг арга хэмжээ байдаг: дөрвөлжин эсвэл даалууны аль алиныг нь бүү ав. Ойлгож байна уу? Энэ тохиолдолд би танд баяр хүргэе. Та математикийн сэтгэлтэй!

Фибоначчийн тоонуудын нийлбэр

Эхний хэдэн Фибоначчийн тоог нэмэхийг хичээцгээе. Аливаа n-ийн хувьд F0 + F1 +… + Fn нийлбэрийн талаар бид юу хэлж чадах вэ? Хэдэн тооцоо хийж, юу бодож олохыг харцгаая. Доорх нэмэлт үр дүнг анхаарч үзээрэй. Та загвар харж байна уу? Үргэлжлүүлэхээсээ өмнө хэсэг хугацаа зарцуулаарай.

Хэрэв та тэдгээрийн дээр нэгийг нэмбэл нийлбэрийн үр дүн нь Фибоначчийн тоонуудын дарааллаар жагсаж байгааг та харсан гэдэгт би итгэхийг хүсч байна. Жишээлбэл, F0 тоонуудыг F5 дээр нэмэхэд: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. F0 тоонуудыг F6 дээр нэмбэл 33, Аль нь F8 = 34-ээс бага. Сөрөг бус бүхэл тоо n-ийн томъёог бичиж болно: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)

Томъёо нь [ гэдгийг харах нь танд хангалттай байх болов уу. * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Энэ нь таныг үнэн гэдэгт итгүүлэхийн тулд хэдэн арван тохиолдолд ажилладаг боловч математикчид нотлохыг хүсч байна. Энэ нь бүх сөрөг бус n бүхэл тоонуудын хувьд үнэн болохыг батлах хоёр боломжит нотолгоог танилцуулж байгаадаа таатай байна.

Эхнийх нь индукцийн нотолгоо, хоёр дахь нь комбинатор нотолгоо гэж нэрлэгддэг.

Индукцийн нотолгоо

Томъёо [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.хязгааргүй тооны томьёог задалсан хэлбэрээр илэрхийлнэ. Үүнийг батлах [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n-ийн тодорхой утгын хувьд үнэн бол n = 6 гэж хэлэхэд энгийн арифметик бодлого юм. F0-ээс F6 хүртэлх тоонуудыг бичээд нэмэхэд хангалттай: F0 +F2 +…+F6 =1+1+2+3+5+8+13=33.

F8 = 34 гэдгийг харахад хялбар байдаг тул томъёо нь ажилладаг. F7 руу шилжье. Бүх тоог нэмж цаг үрэхгүй байцгаая: бид F6 хүртэлх нийлбэрийг аль хэдийн мэддэг болсон. Тиймээс (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. Өмнөх шиг бүх зүйл тохирно: F9 = 55.

Хэрэв бид одоо n = 8-ын томъёо ажиллаж байгаа эсэхийг шалгаж эхэлбэл бидний хүч эцэст нь дуусна. Гэхдээ бид аль хэдийн мэддэг зүйлээ, юуг олж мэдэхийг хүсч байгаагаа харцгаая:

F0 +F1 +…+F7 =F9.

F0 +F1 +…+F7 +F7 =?

Өмнөх үр дүнг ашиглая: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8.

Бид мэдээж (F9-1) + F8-ийг арифметик аргаар тооцоолж болно. Гэхдээ энэ нь биднийг улам ядраах болно. Үүний зэрэгцээ F8 + F9 = F10 гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс бид юу ч тооцоолох шаардлагагүй эсвэл Фибоначчийн тоонуудын хүснэгтийг харах шаардлагагүй болно.

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

n = 7-ийн талаар бидний мэддэг зүйл дээр үндэслэн томъёо нь n = 8-д ажилладаг болохыг бид баталгаажуулсан.

n = 9 тохиолдолд бид n = 8-ийн үр дүнд ижил төстэй байдлаар найдаж байна (үүнийг өөрөө үзнэ үү). Мэдээж үнэнч гэдгээ нотолсон [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n-ийн хувьд бид итгэлтэй байж болно [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n + 1-ийн хувьд ч үнэн.

Бид бүрэн нотлох баримтаа өгөхөд бэлэн байна. Өмнө дурьдсанчлан, [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.тэгээс хязгаар хүртэл n-ийн бүх утгын хязгааргүй тооны томъёог илэрхийлнэ. Нотолгоо хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Эхлээд бид баталж байна [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.хамгийн энгийн тохиолдолд n = 0-ийн хувьд. Бид зүгээр л F0 = F0+2 - 1 гэдгийг шалгана. F0 = 1 ба F2 = 2 тул 1 = 2 - 1 ба F0 = F2-1 байх нь ойлгомжтой.

Цаашилбал, n-ийн нэг утгын хувьд томьёоны хүчинтэй байх нь (жишээлбэл, n = k) автоматаар n + 1 (бидний жишээнд n = k + 1) зөв болохыг харуулахад хангалттай. Энэ нь "автоматаар" хэрхэн ажилладагийг харуулах л хэрэгтэй. Бид юу хийх хэрэгтэй вэ?

Зарим k тоог авъя. F0+F1+…+Fk =Fk+2–1 гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн гэж бодъё. Бид F0 + F1 +… + Fk + Fk+1 утгыг хайж байна.

Бид Фибоначчийн Fk хүртэлх тооны нийлбэрийг аль хэдийн мэдэж байгаа тул бид дараахь зүйлийг авна.

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.

Баруун тал нь Fk+2 - 1 + Fk+1-тэй тэнцүү бөгөөд дараалсан Фибоначчийн тоонуудын нийлбэр хэдтэй тэнцүү болохыг бид мэднэ.

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3– 1

Бидний тэгш байдлыг орлъё:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1

Одоо би юу хийснийг тайлбарлах болно. Хэрэв бид үүнийг мэдвэл [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. Fk хүртэлх тоог нийлбэл үнэн, тэгвэл [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.Хэрэв бид Fk+1 нэмбэл үнэн байх ёстой.

Дүгнэж хэлье:

Томъёо [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n = 0-ийн хувьд үнэн.

Хэрэв томъёо нь [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n-ийн хувьд үнэн, n + 1-ийн хувьд ч үнэн.

Бид итгэлтэйгээр хэлж чадна [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n-ийн аль ч утгын хувьд үнэн. үнэн үү [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n = 4987-ийн хувьд? Хэрэв илэрхийлэл нь n = 4986-д үнэн байх ба n = 4985-ийн хувьд үнэн байх ба n = 0 хүртэл үргэлжилсэн илэрхийлэл нь үнэн бол энэ нь үнэн юм. * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.бүх боломжит утгын хувьд үнэн. Энэ нотлох аргыг гэж нэрлэдэг математикийн индукц (эсвэл индукцийн нотолгоо). Бид үндсэн хэргийг шалгаж, дараагийн тохиолдол бүрийг өмнөх хэрэг дээр үндэслэн нотлох загварыг гаргаж өгдөг.

Комбинаторын нотолгоо

Гэхдээ энд хэн болохыг батлах шал өөр нотолгоо байна [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Энд байгаа үндсэн арга бол Fn тоо нь 1 × n хэмжээтэй тэгш өнцөгтийг дөрвөлжин ба даалуунаар шугамлах аргын тоо гэдгийг ашиглах явдал юм.

Бид нотлох хэрэгтэй гэдгийг танд сануулъя:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2- 1. (*)

Гол санаа нь тэгшитгэлийн хоёр талыг бүрээсний асуудлыг шийдэх шийдэл гэж үзэх явдал юм. Хэрэв бид үүнийг батлах юм бол зүүн ба баруун тал- ижил тэгш өнцөгтийн шийдэл, тэдгээр нь хоорондоо давхцах болно. Энэ аргыг комбинатор нотолгоо гэж нэрлэдэг. 2 ]"Комбинатор" гэдэг үг нь "комбинаторик" гэсэн нэр үгнээс гаралтай бөгөөд тэгш өнцөгт доторлогоотой төстэй бодлогын хувилбаруудыг тоолох математикийн салбарын нэр юм. "Комбинаторик" гэдэг үг нь эргээд "хослол" гэсэн үгнээс гаралтай..

Тэгшитгэл нь комбинаторикийн аль асуултад тохирох вэ? * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.хоёр зөв хариулт өгөх үү? Энэ оньсого нь Jeopardy дээр олдсонтой төстэй юм! [ 3 ]АНУ-д алдартай телевизийн асуулт хариултын шоу. Jeopardy-тай төстэй! руу гарах өөр өөр улс орнууд; Орос улсад энэ нь "Өөрийн тоглоом" юм. - Ойролцоогоор ed., оролцогчид зөв хариултыг урьдчилан мэдэж, асуулт боловсруулах ёстой.

Баруун тал нь илүү энгийн харагддаг тул эндээс эхэлье. Хариулт: Fn+2– 1. Асуулт юу вэ? Хэрэв хариулт нь зүгээр л Fn+2 байсан бол бид асуултыг хялбархан томъёолж болох юм: 1 × (n + 2) тэгш өнцөгтийг дөрвөлжин ба даалуун ашиглан хэр олон янзаар харж болох вэ? Энэ нь танд бараг хэрэгтэй зүйл боловч хариулт нь нэгээр бага байна. Асуултаа зөөлөн өөрчилж, хариултыг багасгахыг хичээцгээе. Нэг өнгөлгөөний сонголтыг хасаад үлдсэнийг нь тоолъё. Хэцүү зүйл бол бусад хувилбараас эрс ялгаатай нэг сонголтыг олох явдал юм. Ийм зүйл байдаг уу?

Бүрхүүлийн арга бүр нь дөрвөлжин эсвэл даалууны хэрэглээг агуулдаг. Зөвхөн квадратууд нь нэг хувилбарт оролцдог бол бусад нь дор хаяж нэг домино байдаг. Үүнийг шинэ асуултын үндэс болгон авч үзье.

Асуулт: 1 × (n + 2) хэмжээтэй тэгш өнцөгт хүрээг дөрвөлжин ба даалуугаар доторлох хэдэн сонголт байдаг бөгөөд үүнд дор хаяж нэг даалуу байдаг вэ?

Одоо бид энэ асуултын хоёр хариултыг олох болно. Аль аль нь зөв байх тул бид тоонуудын хооронд тэнцүү тэмдгийг итгэлтэйгээр тавьж чадна.

Бид хариултуудын нэгийг аль хэдийн хэлэлцсэн. Fn+2 загварын сонголтууд байдаг. Тэдгээрийн зөвхөн нэг нь зөвхөн дөрвөлжин, даалуугүйгээр ашиглах явдал юм. Тиймээс бидний асуултын №1 хариулт нь: Fn+2– 1.

Хоёрдахь хариулт нь тэгшитгэлийн зүүн тал байх ёстой гэж найдаж байна. * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Энэ нь хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Та дор хаяж нэг домино агуулсан хүрээг дүүргэх сонголтуудыг тоолох хэрэгтэй. Хамгийн анхны даалууг хаана байрлуулах талаар бодоцгооё. n+2 байрлалтай бөгөөд эхний домино нь 1-ээс n+1 хүртэлх байрлалд байрлаж болно.

n = 4 тохиолдлыг авч үзье. Бид дор хаяж нэг домино агуулсан 1 × 6 хүрээг дүүргэх хувилбаруудыг хайж байна. Бид хариултыг мэддэг: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, гэхдээ бид үүнийг өөр аргаар авах хэрэгтэй.

Эхний домино дараахь байрлалыг эзэлж болно.

Эхний баганад даалуу эхний байрлалд байх, хоёрдугаарт - даалуу хоёр дахь байрлалд байх гэх мэт тохиолдлыг харуулав.

Багана бүрт хэдэн сонголт байгаа вэ?

Эхний баганад таван сонголт байна. Хэрэв бид зүүн талд байгаа даалуунуудыг унагавал 1 × 4 тэгш өнцөгтийн хувьд бид яг F4 = 5 сонголтыг авна. Зүүн талд байгаа даалуу болон талбайг хаяцгаая. Бусад баганын хувьд 1 × 3 тэгш өнцөгтийн хувьд бид F3 = 3 сонголтыг авна. Бидний олсон зүйл энд байна:

Тиймээс 1 × 6 хэмжээтэй тэгш өнцөгт хүрээг дөрвөлжин ба даалуугаар (хамгийн багадаа нэг даалуугаар) хавтанцар хийх аргын тоо нь F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12 байна.

Дүгнэлт: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.

Ерөнхий тохиолдлыг авч үзье. Бидэнд n + 2 урттай хүрээ өгөгдсөн. Эхний домино k байрлалд байгаа түүнийг дүүргэх хэдэн сонголт байдаг вэ? Энэ тохиолдолд эхний k - 1 байрлалыг квадратууд эзэлдэг. Ийнхүү нийт k + 1 байрлалыг [ 4 ]k тоо нь 1-ээс n + 1 хүртэлх утгыг авч болно, гэхдээ үүнээс илүүгүй, учир нь өөрөөр хэлбэл сүүлчийн домино хүрээнээс гарах болно.. Үлдсэн (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1-ийг ямар ч аргаар бөглөж болно. Энэ нь Fn-k+1 сонголтыг өгнө. Диаграммыг бүтээцгээе:

Хэрэв k нь 1-ээс n + 1 болж өөрчлөгдвөл n - k + 1 хэмжигдэхүүн 0-ээс n болж өөрчлөгдөнө. Тиймээс дор хаяж нэг домино ашиглан хүрээг дүүргэх сонголтуудын тоо Fn + Fn-1 +… + F1 + F0-тэй тэнцүү байна.

Хэрэв бид нэр томъёог урвуу дарааллаар оруулбал илэрхийллийн зүүн талыг (*) авна. Тиймээс бид тавьсан асуултын хоёр дахь хариултыг олсон: F0 +F1 +…+Fn.

Тиймээс бидэнд асуултын хоёр хариулт байна. Бидний олж авсан хоёр томьёог ашиглан олж авсан утгууд нь давхцаж байгаа бөгөөд таних тэмдэг нь [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.батлагдсан.

Фибоначчийн харьцаа ба алтан харьцаа

Дараалсан хоёр Фибоначчийн тоог нэмбэл дараагийн Фибоначчийн тоог гаргана. Энэ хэсэгт бид илүү сонирхолтой асуултыг хөндөх болно: Хэрэв бид Фибоначчийн тоог цувралын өмнөх тоонд хуваавал юу болох вэ? Fk1 харьцааг тооцоолъё. k-ийн утгыг нэмэгдүүлэхийн тулд.

Хүснэгтээс та F1/F0-ээс F20/19 хүртэлх харьцааг харж болно.

Фибоначчийн тоо өндөр байх тусам Fk+1/Fk харьцаа тогтмол руу ойртож, ойролцоогоор 1.61803-тай тэнцүү байна. Энэ тоо - та гайхах болно - маш сайн мэддэг бөгөөд хэрэв та үүнийг оруулбал хайлтын систем, алтан харьцааны тухай олон хуудас унана. Энэ юу вэ? Зэргэлдээх Фибоначчийн тоонуудын харьцаа ижил биш байна. Гэсэн хэдий ч хэрэв тоонууд хангалттай их байвал бараг ижил байна. 1.61803 тооны томьёог олцгооё, энэ зорилгоор бид бүх харьцаа ижил байна гэж түр зуур тооцно. x тэмдэглэгээг танилцуулъя:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

Энэ нь Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 гэх мэт гэсэн үг. Бид дараах томъёог өөрчилж болно:

Fk+2 =xFk+1=x2>Fk.

Гэхдээ бид Fk+2= Fk+1 + Fk гэдгийг мэднэ. Тиймээс x2>FkFk = xFk + Fk.

Хэрэв бид хоёр талыг Fk-д хувааж, нөхцөлүүдийг дахин цэгцэлвэл бид авна квадрат тэгшитгэл: x2-x-1=0. Энэ нь хоёр шийдэлтэй:

Харьцаа эерэг байх ёстой. Тэгээд одоо бидэнд танил болсон дугаар байна. Ихэвчлэн алтан харьцааг илэрхийлэхэд ашигладаг грек үсэгφ (phi):

Хөрш зэргэлдээх Фибоначчийн тоонуудын харьцаа φ-д ойртож байгааг бид аль хэдийн анзаарсан. Энэ бол гайхалтай. Энэ нь Фибоначчийн тоог ойролцоогоор тооцоолох өөр аргыг бидэнд олгодог. Фибоначчийн тоонуудын дараалал нь F0 F1, F2, F3, F4, F5 цуврал юм... Хэрэв бүх Fk+1/Fk харьцаа ижил байвал бид дараах томъёог авна.

Энд -тай- өөр тогтмол. Өөр өөр n-ийн хувьд Fn ба φn-ийн дугуйрсан утгыг харьцуулж үзье.

N-ийн их утгын хувьд Fn/φn≈0.723607 харьцаа. Энэ тоо φ/root5-тай яг тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл,

Хэрэв бид хамгийн ойрын бүхэл тоо руу дугуйрвал бид яг Fn болно гэдгийг анхаарна уу.

Хэрэв та бүхэл тоо руу ойртуулахыг хүсэхгүй байгаа бол Жак Бинегийн нэрээр нэрлэгдсэн томъёо [ 5 ]Жак Бине (1786-1856) - Францын математикч, механик, одон орон судлаач. Фибоначчийн тоонуудын томъёог Бинетийн нэрээр нэрлэсэн боловч бараг зуун жилийн өмнө Абрахам де Мойвр (1667-1754) гаргаж авсан байдаг. - Ойролцоогоор эгнээ, танд яг тодорхой утгыг өгнө:

Хүрээ дүүргэх 1×5

Манай хүрээг дөрвөлжин, даалуугаар дараах байдлаар дүүргэж болно.

Квадрат түрүүлж ирэхэд F4 = 5, даалууны өмнө ирэхэд F3 = 3 сонголт байна. Энэ нь нийтдээ F5 = F4 + F3 = 8 сонголтыг өгдөг.

F10 утга(загварын талаархи дараагийн асуултын хариулт) 89 байна.

Сайн байна уу, эрхэм уншигчид!

Алтан харьцаа - энэ юу вэ? Фибоначчийн тоонууд? Нийтлэлд эдгээр асуултын хариултыг товч бөгөөд тодорхой, энгийн үгээр багтаасан болно.

Эдгээр асуултууд хэдэн мянган жилийн турш улам олон үеийн хүмүүсийн сэтгэлийг хөдөлгөж байна! Математик нь уйтгартай биш, харин сэтгэл хөдөлгөм, сонирхолтой, сэтгэл татам байж магадгүй юм!

Бусад хэрэгтэй нийтлэлүүд:

Фибоначчийн тоо гэж юу вэ?

Гайхалтай баримт бол тэр юм дараагийн тоо бүрийг тоон дарааллаар өмнөх тоонд хуваах үедүр дүн нь 1.618 руу чиглэсэн тоо юм.

Энэ нууцлаг дарааллыг азтай залуу олж мэдэв дундад зууны үеийн математикч Пизагийн Леонардо (Фибоначчи гэдгээрээ илүү алдартай). Түүний өмнө Леонардо да Винчихүний ​​бие, ургамал, амьтны бүтцэд гайхалтай давтагдах хувь хэмжээг илрүүлсэн Phi = 1.618. Эрдэмтэд энэ тоог (1.61) мөн "Бурханы тоо" гэж нэрлэдэг.

Леонардо да Винчигээс өмнө энэ тооны дарааллыг мэддэг байсан Эртний Энэтхэгба Эртний Египет. Египетийн пирамидуудпропорцийг ашиглан барьсан Phi = 1.618.

Гэхдээ энэ нь бүгд биш, энэ нь тодорхой болсон Дэлхий ба сансар огторгуйн байгалийн хуулиудтайлбарлахын аргагүй байдлаар тэд хатуу математикийн хуулийг дагаж мөрддөг Фидоначчийн тооны дараалал.

Жишээлбэл, дэлхий дээрх бүрхүүл, сансар дахь галактик хоёулаа Фибоначчийн тоогоор бүтээгдсэн. Цэцгийн дийлэнх нь 5, 8, 13 дэлбээтэй байдаг. Наранцэцэг, ургамлын иш, үүлний эргүүлэг, усны эргүүлэг, тэр ч байтугай Forex валютын ханшийн графикт Фибоначчийн тоо хаа сайгүй ажилладаг.

Фибоначчийн дараалал ба Алтан харьцааны энгийн бөгөөд зугаатай тайлбарыг энэхүү БОГИНО ВИДЕО (6 минут)-аас үзээрэй:

Алтан харьцаа эсвэл тэнгэрлэг харьцаа гэж юу вэ?

Тэгэхээр Алтан харьцаа эсвэл Алтан эсвэл Тэнгэрлэг харьцаа гэж юу вэ? Фибоначчи мөн дарааллыг олж мэдсэн Фибоначчийн тоонуудын квадратуудаас бүрдэнэбас байна илүү том нууц. Хичээцгээе дарааллыг талбай хэлбэрээр графикаар илэрхийлнэ:

1², 2², 3², 5², 8²…

Хэрэв та спираль суулгавал график дүрсФибоначчийн тоонуудын квадратуудын дараалал, дараа нь бид Алтан харьцааг олж авдаг бөгөөд энэ дүрмийн дагуу орчлон ертөнцийн бүх зүйл, тухайлбал ургамал, амьтан, ДНХ-ийн спираль, хүний ​​бие, ... Энэ жагсаалтыг хязгааргүй үргэлжлүүлж болно.

Байгаль дахь Алтан харьцаа ба Фибоначчийн тоо ВИДЕО

Алтан харьцааны зарим нууцыг илчилсэн богино хэмжээний кино (7 минут) үзэхийг санал болгож байна. Амьдралыг зохицуулдаг үндсэн хууль болох тооны Фибоначчийн хуулийн талаар бодохдоо амьгүй байгаль, гэсэн асуулт гарч ирнэ: Макро болон бичил ертөнцийн энэ хамгийн тохиромжтой томьёо өөрөө бий болсон уу эсвэл хэн нэгэн үүнийг бүтээж, амжилттай хэрэгжүүлсэн үү?

Та энэ талаар юу гэж бодож байна вэ? Энэ оньсого тааварыг хамтдаа бодоцгооё, магадгүй бид түүнд ойртох болно.

Энэ нийтлэл танд хэрэгтэй байсан бөгөөд та сурсан гэдэгт би үнэхээр найдаж байна Алтан харьцаа * ба Фибоначчийн тоо гэж юу вэ? Блогын хуудсууд дээр дахин уулзацгаая, блогт бүртгүүлээрэй. Захиалгын маягт нь нийтлэлийн доор байна.

Хүн бүрд олон шинэ санаа, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх урам зоригийг хүсч байна!

Эртний Египетийн пирамидууд, Леонардо да Винчигийн "Мона Лиза" зураг, наранцэцэг, эмгэн хумс, нарсны боргоцой, хүний ​​хуруунууд юугаараа адилхан болохыг олж мэдье?

Энэ асуултын хариулт нь олдсон гайхалтай тоонуудад нуугдаж байна Фибоначчи нэрээрээ алдаршсан дундад зууны үеийн Италийн математикч Леонардо Пиза (1170 онд төрсөн - 1228 оноос хойш нас барсан), Италийн математикч . Дорнодоор аялж байхдаа Арабын математикийн ололттой танилцсан; Баруун руу шилжихэд хувь нэмэр оруулсан.

Түүний нээлтийн дараа эдгээр тоонуудыг нэрээр нь дуудаж эхлэв алдартай математикч. Фибоначчийн тооны дарааллын гайхалтай мөн чанар нь үүнд оршино Энэ дарааллын тоо бүр өмнөх хоёр тооны нийлбэрээс гарна.

Тиймээс дарааллыг бүрдүүлж буй тоонууд:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

"Фибоначчийн тоо" гэж нэрлэдэг бөгөөд дарааллыг өөрөө Фибоначчийн дараалал гэж нэрлэдэг.

Фибоначчийн тоонд маш нэг тоо байдаг сонирхолтой онцлог. Дарааллаас дурын тоог цувааны урд байгаа тоонд хуваахад үр дүн нь үргэлж 1.61803398875... гэх иррационал утгын орчимд хэлбэлзэж, заримдаа түүнээс хэтэрсэн, заримдаа хүрэхгүй утга гарна. (Ойролцоогоор иррационал тоо, өөрөөр хэлбэл аравтын бутархай дүрслэл нь хязгааргүй бөгөөд үе үе бус тоо)

Мөн дарааллын 13 дахь тооны дараа энэ хуваалтын үр дүн цуваа хязгааргүй болтол тогтмол болно... Дундад зууны үед энэ тогтмол хуваагдлын дугаарыг нэрлэдэг байв Тэнгэрлэг хувь хэмжээ, одоо энэ өдрүүдэд үүнийг алтан харьцаа, алтан дундаж эсвэл алтан харьцаа гэж нэрлэдэг . Алгебрийн хувьд энэ тоог Грекийн phi (Ф) үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэгэхээр, Алтан харьцаа = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Хүний бие ба алтан харьцаа

Зураач, эрдэмтэд, загвар зохион бүтээгчид, дизайнерууд алтан харьцааны харьцаагаар тооцоолол, зураг эсвэл ноорог зурдаг. Тэд алтан харьцааны зарчмын дагуу бүтээгдсэн хүний ​​биеийн хэмжилтийг ашигладаг. Леонардо Да Винчи, Ле Корбюзье нар өөрсдийн бүтээлээ бүтээхээсээ өмнө Алтан пропорцын хуулийн дагуу бүтээгдсэн хүний ​​биеийн параметрүүдийг авчээ.

Хамгийн их ерөнхий дэвтэрОрчин үеийн бүх архитекторуудын хувьд E. Neufert-ийн "Барилгын зураг төсөл" лавлах ном нь алтан харьцааг агуулсан хүний ​​их биений параметрүүдийн үндсэн тооцоог агуулдаг.

Бидний биеийн янз бүрийн хэсгүүдийн харьцаа нь алтан харьцаатай маш ойролцоо тоо юм. Хэрэв эдгээр харьцаа нь алтан харьцааны томъёотой давхцаж байвал тухайн хүний ​​гадаад төрх, бие нь хамгийн тохиромжтой пропорциональ гэж тооцогддог. Хүний биед алтны хэмжүүрийг тооцоолох зарчмыг диаграмм хэлбэрээр дүрсэлж болно.

М/м=1.618

Хүний биеийн бүтэц дэх алтан харьцааны анхны жишээ:
Хүйсний цэгийг хүний ​​биеийн төв, хүний ​​хөл ба хүйсний хоорондох зайг хэмжүүрээр авч үзвэл хүний ​​өндөр 1.618 гэсэн тоотой тэнцэнэ.

Үүнээс гадна бидний биеийн хэд хэдэн үндсэн алтан хувь хэмжээ байдаг:

* хурууны үзүүрээс бугуй хүртэл тохой хүртэлх зай 1:1.618;

* мөрний түвшингээс толгойн орой хүртэлх зай ба толгойн хэмжээ 1:1.618;

* хүйсний цэгээс толгойн титэм, мөрний түвшингээс толгойн титэм хүртэлх зай 1:1.618;

* хүйсний цэгээс өвдөг хүртэл, өвдөгнөөс хөл хүртэлх зай 1:1.618;

* эрүүний үзүүрээс дээд уруулын үзүүр хүртэл, дээд уруулын үзүүрээс хамрын нүх хүртэлх зай 1:1.618;

* эрүүний үзүүрээс хөмсөгний дээд шугам хүртэл, хөмсөгний дээд шугамаас титэм хүртэлх зай 1:1.618;

* эрүүний үзүүрээс хөмсөгний дээд шугам, хөмсөгний дээд шугамаас титэм хүртэлх зай 1:1.618:

Хүний нүүр царай дахь алтан харьцаа нь төгс гоо сайхны шалгуур юм.

Хүний нүүр царайны бүтцэд алтан харьцааны томьёотой ойролцоо олон жишээ байдаг. Гэсэн хэдий ч, бүх хүмүүсийн нүүрийг хэмжих захирагчийг нэн даруй бүү яар. Эрдэмтэн, зураач, уран барималч, уран барималчдын үзэж байгаагаар алтан харьцаатай яг таарч тохирох нь зөвхөн төгс гоо үзэсгэлэнтэй хүмүүст л байдаг. Үнэн хэрэгтээ хүний ​​нүүрэнд алтан хувь яг байх нь хүний ​​харцанд гоо сайхны хамгийн тохиромжтой зүйл юм.

Жишээлбэл, хэрэв бид хоёр урд дээд шүдний өргөнийг нэгтгэж, энэ нийлбэрийг шүдний өндрөөр хуваавал алтан харьцааны тоог олж авснаар эдгээр шүдний бүтэц хамгийн тохиромжтой гэж хэлж болно.

Хүний нүүрэн дээр алтан харьцааны дүрмийн бусад биелэлүүд байдаг. Эдгээр харилцааны зарим нь энд байна:

*Нүүрний өндөр/нүүрний өргөн;

* Уруулыг хамрын ёроолтой холбох төв цэг / хамрын урт;

* Нүүрний өндөр / эрүүний үзүүрээс уруулын төв цэг хүртэлх зай;

*Амны өргөн/хамрын өргөн;

* Хамрын өргөн / хамрын нүх хоорондын зай;

* Сурагчдын хоорондох зай / хөмсөг хоорондын зай.

Хүний гар

Зөвхөн алгаа өөртөө ойртуулж, долоовор хуруугаа анхааралтай ажиглахад л хангалттай бөгөөд та алтан харьцааны томъёог тэр даруй олох болно. Бидний гарын хуруу бүр гурван фалангаас бүрдэнэ.

* Хурууны эхний хоёр фалангуудын нийлбэр нь хурууны бүх урттай харьцуулахад алтан харьцааны тоог өгдөг (эрхий хуруунаас бусад);

* Үүнээс гадна дунд хуруу ба жижиг хурууны хоорондох харьцаа нь алтан харьцаатай тэнцүү байна;

* Хүн 2 гартай, гар тус бүрийн хуруу нь 3 фалангаас (эрхий хуруунаас бусад) бүрдэнэ. Гар тус бүр дээр 5 хуруу, өөрөөр хэлбэл нийт 10 хуруу байдаг, гэхдээ хоёр фаланксын хоёр эрхий хурууг эс тооцвол алтан харьцааны зарчмын дагуу ердөө 8 хуруу бий. Эдгээр бүх тоо 2, 3, 5, 8 нь Фибоначчийн дарааллын тоонууд юм:

Хүний уушигны бүтэц дэх алтан харьцаа

Америкийн физикч Б.Д.Уэст, доктор А.Л. Голдбергер физик, анатомийн судалгааны явцад алтан харьцаа нь хүний ​​уушигны бүтцэд бас байдаг болохыг тогтоожээ.

Хүний уушгийг бүрдүүлдэг гуурсан хоолойн өвөрмөц байдал нь тэдний тэгш бус байдалд оршдог. Гуурсан хоолой нь хоёр үндсэн амьсгалын замаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь (зүүн) урт, нөгөө нь (баруун) богино байдаг.

* Энэхүү тэгш бус байдал нь гуурсан хоолойн мөчрүүд, амьсгалын замын бүх жижиг хэсгүүдэд үргэлжилдэг болохыг тогтоожээ. Түүнчлэн богино ба урт гуурсан хоолойн уртын харьцаа нь алтан харьцаа бөгөөд 1: 1.618 байна.

Алтан ортогональ дөрвөлжин ба спираль хэлбэрийн бүтэц

Алтан харьцаа нь сегментийг тэгш бус хэсгүүдэд хуваах ийм пропорциональ хуваагдал бөгөөд бүх сегмент нь том хэсэг нь өөрөө жижиг хэсэгтэй холбоотой байдаг; эсвэл өөрөөр хэлбэл, том хэсэг нь бүхэлдээ байхын хэрээр жижиг хэсэг нь том байх болно.

Геометрийн хувьд ийм харьцаатай тэгш өнцөгтийг алтан тэгш өнцөгт гэж нэрлэх болсон. Түүний урт талууд нь богино талуудтай 1.168: 1 харьцаатай байна.

Алтан тэгш өнцөгт нь бас олон зүйлтэй гайхалтай шинж чанарууд. Алтан тэгш өнцөгт нь олон ер бусын шинж чанартай байдаг. Тал нь тэгш өнцөгтийн жижиг талтай тэнцүү алтан тэгш өнцөгтөөс дөрвөлжин хайчилж авснаар бид дахин жижиг хэмжээтэй алтан тэгш өнцөгтийг олж авна. Энэ үйл явцыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Үргэлжлүүлэн дөрвөлжин зүсэх тусам бид жижиг, жижиг алтан тэгш өнцөгтүүдтэй болно. Түүнээс гадна тэдгээрийг логарифмын спираль хэлбэрээр байрлуулах бөгөөд энэ нь байгалийн объектуудын математик загварт чухал ач холбогдолтой (жишээлбэл, эмгэн хумсны бүрхүүл).

Спираль туйл нь анхны тэгш өнцөгт ба эхний зүсэгдсэн босоо тэнхлэгийн диагональуудын огтлолцол дээр байрладаг. Түүгээр ч барахгүй, дараачийн бүх буурдаг алтан тэгш өнцөгтүүдийн диагональууд нь эдгээр диагональууд дээр байрладаг. Мэдээж алтан гурвалжин бас бий.

Английн загвар зохион бүтээгч, гоо зүйч Уильям Чарлтон хүмүүс спираль хэлбэрийг нүдэнд тааламжтай гэж үзэж, олон мянган жилийн турш хэрэглэж ирсэн гэж мэдэгдээд үүнийг дараах байдлаар тайлбарлав.

"Бид спираль хэлбэртэй байх дуртай, учир нь бид үүнийг нүдээр харж чаддаг."

Байгальд

* Спираль бүтцийн үндэс суурь болох алтан харьцааны дүрэм нь байгальд хосгүй гоо үзэсгэлэнг бүтээхэд маш олон удаа байдаг. Хамгийн тод жишээ бол спираль хэлбэрийг наранцэцгийн үр, боргоцой, хан боргоцой, какти, сарнайн дэлбээний бүтэц гэх мэт зохион байгуулалтаас харж болно;

* Ургамал судлаачид мөчир, наранцэцгийн үр эсвэл нарсны боргоцой дээрх навчийг байрлуулахад Фибоначчийн цуврал тод илэрдэг тул алтан харьцааны хууль илэрдэг болохыг тогтоожээ;

Төгс Хүчит Их Эзэн Өөрийн бүтээл бүрт тусгай хэмжүүр тогтоож, түүнд пропорциональ байдлыг өгсөн нь байгальд байдаг жишээнүүдээр нотлогддог. Амьд организмын өсөлтийн үйл явц нь логарифмын спираль хэлбэртэй яг таарч явагддаг олон жишээг дурдаж болно.

Спираль дахь бүх булаг нь ижил хэлбэртэй байдаг. Рашаануудын хэмжээ ихэссэн ч спираль хэлбэр өөрчлөгдөөгүй хэвээр байдгийг математикчид тогтоожээ. Математикт өөр ийм хэлбэр байдаггүй өвөрмөц шинж чанаруудспираль шиг.

Далайн хясааны бүтэц

Дотоод болон гадаад бүтэцДалайн ёроолд амьдардаг зөөлөн биетэй нялцгай биетүүдийн хясаа гэж дараахь зүйлийг тэмдэглэжээ.

"Бүрцгийн дотоод гадаргуу нь төгс гөлгөр бол гаднах гадаргуу нь барзгар, жигд бус байдлаар бүрхэгдсэн байдаг. Зөөлөн бие нь бүрхүүлд байсан бөгөөд үүний тулд бүрхүүлийн дотоод гадаргуу нь төгс гөлгөр байх ёстой. Гаднах булангууд - бүрхүүлийн гулзайлт нь түүний хүч чадал, хатуулгийг нэмэгдүүлж, улмаар түүний хүчийг нэмэгдүүлдэг. Бүрхүүлийн (эмгэн хумс) бүтцийн төгс байдал, гайхалтай оюун ухаан нь гайхалтай юм. Бүрхүүлийн спираль санаа нь төгс геометрийн хэлбэр бөгөөд гоёмсог гоо үзэсгэлэнгээрээ гайхалтай юм."

Бүрхүүлтэй ихэнх эмгэн хумсны бүрхүүл нь логарифмын спираль хэлбэрээр ургадаг. Гэсэн хэдий ч эдгээр үндэслэлгүй амьтад логарифмын спираль талаар ямар ч ойлголтгүй төдийгүй өөрсдөдөө спираль хэлбэртэй бүрхүүл бүтээх хамгийн энгийн математикийн мэдлэггүй гэдэгт эргэлзэх зүйл алга.

Гэвч эдгээр үндэслэлгүй амьтад хэрхэн өсч хөгжих, оршин тогтнох хамгийн тохиромжтой хэлбэрийг спираль бүрхүүл хэлбэрээр тодорхойлж, сонгож чадсан бэ? Шинжлэх ухааны ертөнц анхдагч амьдралын хэлбэр гэж нэрлэдэг эдгээр амьд оршнолууд логарифмын бүрхүүлийн хэлбэр нь тэдний оршин тогтноход тохиромжтой гэж тооцоолж чадах уу?

Мэдээжийн хэрэг үгүй, учир нь ийм төлөвлөгөө оюун ухаан, мэдлэггүйгээр биелэх боломжгүй юм. Гэхдээ эртний нялцгай биетүүд ч, ухамсаргүй байгальд ч ийм оюун ухаан байдаггүй боловч зарим эрдэмтэд дэлхий дээрх амьдралыг бүтээгч гэж нэрлэдэг (?!)

Амьдралын ийм хамгийн анхдагч хэлбэр ч бий болсон шалтгааныг байгалийн тодорхой нөхцөл байдлын санамсаргүй нийлбэрээр тайлбарлах гэж оролдох нь утгагүй юм. Энэ төсөл бол ухамсартай бүтээл гэдэг нь ойлгомжтой.

Биологич сэр Д'арки Томпсон далайн хясааны энэ төрлийн өсөлтийг гэж нэрлэдэг "одойн өсөлтийн хэлбэр."

Сэр Томпсон дараах тайлбарыг хийж байна.

“Далайн хясаа ургах шиг энгийн систем байхгүй бөгөөд тэдгээр нь хувь хэмжээгээр ургаж, нэг хэлбэрээ хадгалж байдаг. Хамгийн гайхалтай нь бүрхүүл нь ургадаг боловч хэлбэрээ хэзээ ч өөрчлөгддөггүй."

Хэдэн см диаметртэй "Наутилус" хамгийн том нь юм тод жишээгномтой төстэй өсөлт. С.Моррисон хүний ​​оюун ухаанаар ч төлөвлөхөд нэлээд хэцүү мэт санагдах энэхүү наутилус ургах үйл явцыг дараах байдлаар дүрсэлжээ.

"Наутилус бүрхүүлийн дотор сувдан хана бүхий олон тасалгаанууд байдаг бөгөөд доторх бүрхүүл нь өөрөө төвөөсөө сунадаг спираль хэлбэртэй байдаг. Наутилус өсөхийн хэрээр хясааны урд хэсэгт өөр нэг өрөө ургасан боловч энэ удаад өмнөхөөсөө том болсон бөгөөд үлдсэн өрөөний хуваалтууд нь сувдан давхаргаар хучигдсан байдаг. Тиймээс спираль үргэлж пропорциональ хэмжээгээр тэлж байдаг."

Шинжлэх ухааны нэрсийн дагуу логарифмын өсөлтийн загвар бүхий спираль бүрхүүлийн зарим төрлийг энд дурдъя.
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Олдсон бүх хясааны үлдэгдэл нь спираль хэлбэртэй байв.

Гэсэн хэдий ч логарифмын өсөлтийн хэлбэр нь зөвхөн нялцгай биетүүдэд төдийгүй амьтны ертөнцөд байдаг. Цагаан зээр, ямаа, хуц болон бусад ижил төстэй амьтдын эвэр нь алтан харьцааны хуулийн дагуу спираль хэлбэрээр хөгждөг.

Хүний чихэнд байдаг алтан харьцаа

Хүний дотоод чихэнд дууны чичиргээг дамжуулах үүргийг гүйцэтгэдэг Чихний дун ("Эмгэн хумс") хэмээх эрхтэн байдаг.. Энэхүү ясны бүтэц нь шингэнээр дүүрсэн бөгөөд эмгэн хумс шиг хэлбэртэй бөгөөд тогтвортой логарифмын спираль хэлбэртэй = 73º 43'.

Амьтны эвэр, соёо нь спираль хэлбэртэй хөгжиж байна

Заан болон устаж үгүй ​​болсон хөхтөн амьтдын соёо, арслангийн хумс, тотьны хошуу нь логарифм хэлбэртэй бөгөөд спираль хэлбэртэй тэнхлэгийн хэлбэртэй төстэй. Аалзнууд сүлжээгээ үргэлж логарифмын спираль хэлбэрээр сүлждэг. Планктон (зүйл globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae, trochida) зэрэг бичил биетний бүтэц нь спираль хэлбэртэй байдаг.

Бичил ертөнцийн бүтэц дэх алтан харьцаа

Геометрийн дүрс нь зөвхөн гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт эсвэл зургаан өнцөгтөөр хязгаарлагдахгүй. Хэрэв бид эдгээр дүрсийг өөр хоорондоо өөр өөр аргаар холбовол бид шинэ гурван хэмжээстийг олж авна геометрийн хэлбэрүүд. Үүний жишээ бол шоо эсвэл пирамид гэх мэт дүрсүүд юм. Гэсэн хэдий ч тэднээс гадна өөр гурван хэмжээст дүрсүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бидний олж хараагүй байдаг өдөр тутмын амьдрал, мөн хэний нэрийг бид анх удаа сонсож байна. Ийм гурван хэмжээст дүрсүүдийн дунд тетраэдр (ердийн дөрвөн талт дүрс), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр гэх мэт орно. Додекаэдр нь 13 таван өнцөгт, икосаэдр нь 20 гурвалжингаас бүрдэнэ. Математикчид эдгээр тоонууд нь математикийн хувьд маш амархан хувирдаг бөгөөд тэдгээрийн өөрчлөлт нь алтан харьцааны логарифм спираль томьёоны дагуу явагддаг гэдгийг тэмдэглэжээ.

Бичил ертөнцөд алтан харьцаагаар бүтээгдсэн гурван хэмжээст логарифмын хэлбэрүүд хаа сайгүй байдаг. . Жишээлбэл, олон вирус гурван хэмжээсттэй байдаг геометрийн хэлбэрикосаэдрон. Магадгүй эдгээр вирусуудаас хамгийн алдартай нь Адено вирус юм. Адено вирусын уургийн бүрхүүл нь тодорхой дарааллаар байрлуулсан 252 нэгж уургийн эсээс үүсдэг. Икосаэдрийн булан бүрт таван өнцөгт призм хэлбэртэй 12 нэгж уургийн эсүүд байдаг бөгөөд эдгээр булангуудаас өргөслөг хэлбэртэй бүтэцтэй байдаг.

Вирусын бүтэц дэх алтан харьцааг 1950-иад онд анх илрүүлсэн. Лондонгийн Биркбек коллежийн эрдэмтэд А.Клуг, Д.Каспар нар. 13 Полио вирус нь логарифмын хэлбэрийг харуулсан анхны хүн юм. Энэ вирусын хэлбэр нь Rhino 14 вирусын хэлбэртэй төстэй болсон.

Хүний оюун ухаанд ч бүтээхэд хэцүү, бүтэц нь алтан харьцааг агуулсан гурван хэмжээст цогц хэлбэрийг вирус яаж үүсгэдэг вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Вирусын эдгээр хэлбэрийг нээсэн вирус судлаач А.Клуг дараах тайлбарыг өгч байна.

"Доктор Каспар бид хоёр вирусын бөмбөрцөг бүрхүүлийн хувьд хамгийн оновчтой хэлбэр нь икосаэдр хэлбэрийн тэгш хэм гэдгийг харуулсан. Энэ дараалал нь холбох элементүүдийн тоог багасгадаг ... Бакминстер Фуллерийн геодезийн хагас бөмбөрцөг кубуудын ихэнх нь ижил төстэй геометрийн зарчим дээр баригдсан. 14 Ийм шоо суурилуулах нь маш нарийвчлалтай, нарийвчилсан тайлбар диаграммыг шаарддаг. Харин ухамсаргүй вирусууд өөрсдөө уян хатан, уян хатан уургийн эсийн нэгжүүдээс ийм нарийн төвөгтэй бүрхүүлийг бүтээдэг."