Векторуудын шугаман хамаарал. Векторуудын шугаман хослол. Векторуудын коллинеар байдал. Векторуудын харьцуулалт. Шугаман хослолууд Векторуудын өгөгдсөн шугаман хослолын уртыг ол

Векторуудын шугаман хослол нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм. , бодит тоог шугаман хослолын коэффициент гэж нэрлэдэг.

Векторуудын шугаман бие даасан байдлыг тодорхойлох

A 1 , A 2 ,…A n векторуудын системийг λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An векторуудын шугаман хослол нь зөвхөн тэг олонлогийн тэг вектортой тэнцүү бол шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг. λ1, λ2,..., λn тоонууд, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн систем: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ өвөрмөц тэг шийдтэй байна.

Векторуудын шугаман хамаарлыг тодорхойлох

Хоёр хавтгай вектор нь зөвхөн коллинеар байвал шугаман хамааралтай байна.
Хоёр вектор нэг шулуун дээр эсвэл параллель шулуун дээр оршдог бол тэдгээрийг коллинеар гэж нэрлэдэг

Векторуудын шугаман хамаарлын тухай теорем

Мөрийг бие даасан мөрүүдийн шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлэх теорем

А матрицын мөр бүрийг А матрицын бие даасан мөрүүдийн шугаман хослолоор төлөөлж болно.

А матриц нь r зэрэгтэй байг, тэгвэл 0-ээс ялгаатай r зэрэглэлийн минор байгаа бөгөөд энэ минор дээр i-р мөр, j-р баганыг нэмнэ үү.

а 11	а 12	…	a 1r	a 1j
а 21	а 22	…	a 2r	a 2j
…	…	…	…	…
а 41	а 42	…	a 4r	a 4j
a i1	a i2	…	a ir	a ij

M r =
M r+1 =0; учир нь зэрэглэл A=r (r-ээс өндөр эрэмбийн минор гэж).

[a 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0

Бүгдийг M r-д хувааж, A ij-г танилцуул /((-1) i+j M r)=λ i

a ij = λ 1 a 1j +λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j, энд j=r+1 энэ тэгшитгэл нь j=1 m-д мөн хүчинтэй.

81. Баганыг бие даасан шугаман хослолоор дүрслэх теорем баганууд

Матрицын зэрэглэл ба бие даасан мөр/баганын тоо хоорондын хамаарлын тухай теорем

А матрицын зэрэглэл нь түүний бие даасан мөр/баганын тоотой тэнцүү (m*n) матрицыг r зэрэгтэй болгоё

а 11	а 12	…	a 1r
а 21	а 22	…	a 2r
…	…	…	…
а 21	а 22	…	a 2r

r = 0 дарааллын минор байдаг; (e 1….. e r) – шугаман хамааралгүй

Эсрэгээр нь байг: e r = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1

Цахилгаан хувиргалтыг хийцгээе. энэ бага (M r) тодорхойлогчийг өөрчлөхгүйгээр

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 – λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1

Тиймээс, бид 0-ээс бүрдэх сүүлчийн мөрийг авах боловч дараа нь M r = 0, бидний таамаглал буруу байна!

Тодорхойлогч хүчин зүйлүүд

Тодорхойлогчдын шинж чанарууд. № 01.(шилжүүлэлт)

Шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогч нь анхны матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байна: .

Баталгаа. Тодорхойлолтын дагуу,

Матрицыг шилжүүлэх үед Азөвхөн энэ нийлбэр дэх нэр томьёоны өөрчлөлт л гардаг.

Тодорхойлогчдын шинж чанарууд. No 02. (Мөр эсвэл баганын дахин зохион байгуулалт).

Тодорхойлогчийн аль нэг хоёр мөр эсвэл хоёр баганыг дахин цэгцэлсэн бол тодорхойлогч тэмдэгээ эсрэгээр нь өөрчилнө.

Баталгаа. Теорем 1-д зааснаар аливаа шилжүүлэг нь орлуулах паритетыг өөрчилдөг. Иймээс хоёр мөр (багана) цэгцлэхдээ нийлбэрийн гишүүн бүр өөрийн тэмдгийг эсрэг тал руу өөрчилдөг.

Энэ нийтлэлд бид:

• коллинеар вектор гэж юу вэ;
• векторуудын коллинеар байх нөхцөл юу вэ;
• коллинеар векторуудын ямар шинж чанарууд байдаг;
• коллинеар векторуудын шугаман хамаарал гэж юу вэ.

Тодорхойлолт 1

Коллинеар векторууд нь нэг шулуунтай параллель эсвэл нэг шулуун дээр байрладаг векторууд юм.

Жишээ 1

Векторуудын коллинеар байх нөхцөл

Дараах нөхцлүүдийн аль нэг нь үнэн бол хоёр вектор коллинеар байна.

• нөхцөл 1 . a = λ b байх λ тоо байвал a ба b векторууд коллинеар байна;
• нөхцөл 2 . a ба b векторууд ижил координатын харьцаатай коллинеар байна:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• нөхцөл 3 . Хөндлөн үржвэр ба тэг вектор тэнцүү байх тохиолдолд a ба b векторууд нь хоорондоо уялдаатай байна.

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Тайлбар 1

Нөхцөл 2 вектор координатуудын аль нэг нь тэг байвал хамаарахгүй.

Тайлбар 2

Нөхцөл 3 зөвхөн орон зайд заасан векторуудад хамаарна.

Векторуудын коллинеар байдлыг судлах асуудлын жишээ

Жишээ 1

Бид a = (1; 3) ба b = (2; 1) векторуудыг хоорондоо уялдаа холбоотой эсэхийг шалгадаг.

Хэрхэн шийдэх вэ?

Энэ тохиолдолд 2-р коллинеарийн нөхцлийг ашиглах шаардлагатай. Өгөгдсөн векторуудын хувьд дараах байдалтай байна.

Тэгш байдал нь худлаа. Эндээс бид a, b векторууд коллинеар биш гэж дүгнэж болно.

Хариулах : a | | б

Жишээ 2

Векторууд коллинеар байхын тулд a = (1; 2) ба b = (- 1; m) векторын m ямар утга шаардлагатай вэ?

Хэрхэн шийдэх вэ?

Хоёр дахь коллинеар байдлын нөхцлийг ашиглан координатууд нь пропорциональ байвал векторууд коллинеар болно.

Энэ нь m = - 2 гэдгийг харуулж байна.

Хариулт: m = - 2.

Вектор системийн шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдлын шалгуур

Теорем

Системийн векторуудын аль нэгийг энэ системийн үлдсэн векторуудаар илэрхийлж чадвал векторын орон зай дахь векторуудын систем нь шугаман хамааралтай болно.

Баталгаа

Системийг e 1 , e 2 , гэж үзье. . . , e n нь шугаман хамааралтай. Энэ системийн тэг вектортой тэнцэх шугаман хослолыг бичье.

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

нийлмэл коэффициентуудын дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байх.

a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Бид тэгш байдлын хоёр талыг тэгээс өөр коэффициентээр хуваана.

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

гэж тэмдэглэе:

A k - 1 a m , энд m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Энэ тохиолдолд:

β 1 e 1 + . . . + β к - 1 э к - 1 + β к + 1 э к + 1 +. . . + β n e n = 0

эсвэл e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Үүнээс үзэхэд системийн векторуудын аль нэг нь системийн бусад бүх векторуудаар илэрхийлэгдэнэ. Энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм (гэх мэт).

Хангалттай байдал

Векторуудын аль нэгийг системийн бусад бүх векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлье.

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Бид e k векторыг энэ тэгш байдлын баруун тал руу шилжүүлнэ.

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k векторын коэффициент нь - 1 ≠ 0-тэй тэнцүү тул e 1, e 2, векторуудын системээр тэгийн өчүүхэн бус дүрслэлийг олж авна. . . , e n ба энэ нь эргээд энэ векторын систем шугаман хамааралтай гэсэн үг. Энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм (гэх мэт).

Үр дагавар:

• Векторуудын аль нь ч системийн бусад бүх вектороор илэрхийлэгдэх боломжгүй үед векторын систем нь шугаман бие даасан байна.
• Тэг вектор эсвэл хоёр тэнцүү вектор агуулсан векторуудын систем нь шугаман хамааралтай байна.

Шугаман хамааралтай векторуудын шинж чанарууд

1. 2 ба 3 хэмжээст векторуудын хувьд дараах нөхцөл хангагдана: шугаман хамааралтай хоёр вектор коллинеар байна. Хоёр коллинеар вектор нь шугаман хамааралтай.
2. 3 хэмжээст векторуудын хувьд дараах нөхцөл хангагдана: гурван шугаман хамааралтай векторууд хоорондоо уялдаатай байна. (3 coplanar вектор нь шугаман хамааралтай).
3. n хэмжээст векторуудын хувьд дараах нөхцөл хангагдана: n + 1 векторууд үргэлж шугаман хамааралтай байдаг.

Векторуудын шугаман хамаарал эсвэл шугаман хамаарал бүхий асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 3

a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 векторуудын шугаман бие даасан байдлыг шалгая.

Шийдэл. Векторуудын хэмжээ нь векторуудын тооноос бага байдаг тул векторууд нь шугаман хамааралтай байдаг.

Жишээ 4

a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 векторуудын шугаман бие даасан байдлыг шалгая.

Шийдэл. Шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү байх коэффициентүүдийн утгыг бид олно.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Бид вектор тэгшитгэлийг шугаман хэлбэрээр бичнэ.

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Бид энэ системийг Гауссын аргыг ашиглан шийддэг.

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2-р мөрөнд бид 1-ийг, 3-аас 1-ийг хасна.

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1-р мөрөнд бид 2-ыг хасч, 3-р мөрөнд 2-ыг нэмнэ.

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Уг шийдлээс харахад систем нь олон шийдэлтэй байдаг. Энэ нь x 1, x 2, x 3 тоонуудын утгуудын тэгээс ялгаатай хослол байгаа бөгөөд a, b, c-ийн шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү байна гэсэн үг юм. Тиймээс a, b, c векторууд байна шугаман хамааралтай. ​​​​​​​

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Энэхүү солилцооны шалгуурын дагуу шийдэл тус бүрийн хувьд хамгийн бага ба хамгийн их ашгийн шугаман хослолыг тодорхойлно.  

Хоёрдахь хувилбар нь нэг шалгуурт анхаарлаа хандуулах явдал юм. Үүнийг эдийн засгийн бүрэн ойлгомжтой тайлбар бүхий стандарт үзүүлэлтүүдийн нэг болгон сонгож болно (жишээлбэл, хөрвөх чадварын харьцаа, хүүгийн нөхцлийн харьцаа гэх мэт) эсвэл энэ шалгуурыг ерөнхийлсөн хиймэл үзүүлэлт хэлбэрээр боловсруулсан болно. тодорхой шалгуур. Энэхүү ерөнхий шалгуурын хувьд боломжит зээлдэгчид тооцсон шалгуурын бодит утгыг харьцуулсан босго утгыг тогтоодог. Энэхүү хандлагыг хэрэгжүүлэхэд тулгардаг гол бэрхшээл нь хураангуй үзүүлэлтийг хэрхэн бүрдүүлэхэд оршино. Ихэнхдээ энэ нь тодорхой шалгуур үзүүлэлтүүдийн шугаман хослол бөгөөд тус бүр нь тодорхой жингийн коэффициент бүхий ерөнхий үзүүлэлтэд багтдаг. Энэ аргыг Э.Алтман дампуурлыг урьдчилан таамаглах Z-шалгуурыг боловсруулахдаа ашигласан.  

e мөрийг хэрэв матрицын e, e-..., em мөрүүдийн шугаман хослол гэнэ.  

e, e2 векторуудын шугаман хослол, шугаман хамаарал, бие даасан байдлын тухай ойлголт. f em нь e, e2,..., em (11.5) матрицын мөрүүдийн харгалзах ойлголттой төстэй.  

Хязгаарлагдмал ба гүдгэр зөвшөөрөгдөх олонлогуудын хувьд (2.14) -д үзүүлснээр A xk bk хязгаарлалтыг хангадаг x% 0 векторыг туйлын хязгаарлагдмал олонлогийн гүдгэр шугаман хослолоор дүрсэлж болно.  

Элементүүдийн хязгаарлагдмал утгууд ба тэдгээрийн шугаман хослолыг тооцоолох оновчлолын процедур нь эдгээр сул талуудаас ихээхэн ангид байдаг.  

(A/, d) ба (L.", d") шугаман хослолоор олж авсан (X1, d) цэг нь (4.43), (4.44) системийн шийдэл болох нь тодорхой байна.  

Энэ хэсэгт бид харилцан хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүний шугаман хослол болох олон хувьсагч санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг тооцоолох дүрмийг авч үзэх болно.  

Тиймээс дурын тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний шугаман хослолын хувьд бид олж авдаг  

Хэд хэдэн хөрөнгө (багц) -д хөрөнгө оруулалт хийх тохиолдлыг авч үзье. Багц нь хөрөнгийн шугаман хослол бөгөөд тус бүр өөрийн хүлээгдэж буй өгөөж, өгөөжийн тархалттай байдаг.  

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дурын шугаман хослолоос ялгаатай нь хөрөнгийн жинг хэвийн болгох дүрэмд захирагдана.  

Өмнөх догол мөр нь хөрөнгийн хоорондын хамаарлын коэффициент 1-ээс бага байвал багцын төрөлжилт нь хүлээгдэж буй өгөөж болон хүлээгдэж буй эрсдэлийн хоорондын хамаарлыг сайжруулж чадна гэдгийг харуулсан. Энэ нь багцын хүлээгдэж буй өгөөж нь багцад багтсан хөрөнгийн хүлээгдэж буй өгөөжийн шугаман хослол бөгөөд багцын хэлбэлзэл нь r.s-ийн квадрат функц байдагтай холбоотой юм. хөрөнгийн багцад багтсан.  

Сүлжээний ангилалд хамаарах хамгийн энгийн загвар таних төхөөрөмж нь оролтын хувьсагчийн шугаман хослолоос хамааран оролтын функцийн векторыг скаляр хариу болгон хувиргадаг нэг нейрон юм.  

Ялгаварлах функц нь зөвхөн шугаман оролтын хослолоос хамаардаг тул нейрон нь шугаман ялгагч юм. Зарим энгийн нөхцөлд, тухайлбал k ангилалд хамаарах оролтын векторуудын магадлалыг Гауссын тархалтаар өгсөн тохиолдолд шугаман ялгагч нь хамгийн сайн арга юм.  

Илүү нарийвчлалтайгаар, Oya сүлжээний гаралт нь эхний Ш үндсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн шугаман хослолууд юм. Гол бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг өөрсдөө олж авахын тулд Ояа дүрмийн бүх гаралтын нийлбэрийг солиход хангалттай.  

Үүнээс гадна b векторууд нь хамгийн бага суурь гэж нэрлэгддэг суурийг бүрдүүлдэг. Тухайлбал, энэ нь бүх цээжлэгдсэн векторуудыг дүрсэлж болох шугаман хослолын тусламжтайгаар векторуудын хамгийн бага тоо юм.  

Дараахь системчилсэн процедур нь X = W X оролтын хувьсагчдын шугаман хослолууд болох хамгийн чухал шинж чанаруудыг давталттайгаар тодорхойлох чадвартай (оролтын дэд олонлогууд нь шугаман хослолын онцгой тохиолдол юм, өөрөөр хэлбэл албан ёсоор бол илүү сайн шийдлийг олох боломжтой. Оролтын хамгийн чухал хослолыг сонгох боломжтой).  

Энэ арга нь хамгийн мэдээлэл сайтай хүчин зүйлсийг (Xi-ийн анхны шинж чанаруудын шугаман хослолууд - Zi-ийн үндсэн бүрэлдэхүүн хэсэг гэж нэрлэдэг) тодорхойлох, чухал бус хүчин зүйлсийг арилгах замаар тэдгээрийн хоорондын харилцааг энгийн загвар хэлбэрээр тогтоох боломжийг олгодог. Эдгээр загварууд, түүнчлэн статистик шинж чанарууд нь Си-ийн хамаарал, тэдгээрийн түвшинг зарим үзүүлэлт, тухайлбал бүтээмж, найдвартай байдал гэх мэтээр тайлбарлах, мөн судалж буй үйлдвэрлэлийн байгууламжийн төлөв байдалд дүн шинжилгээ хийх, урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог.  

Шинжилгээний явцад санхүүгийн байдлын янз бүрийн талыг тодорхойлоход дараахь зүйлийг ашигладаг. санхүүгийн байдлын харьцангуй үзүүлэлт болох үнэмлэхүй үзүүлэлт ба санхүүгийн харьцаа. Сүүлийнх нь санхүүгийн байдлын үнэмлэхүй үзүүлэлтүүдийн харьцаа эсвэл тэдгээрийн шугаман хослолын хэлбэрээр тооцогддог. Балансын шинжлэх ухааныг үндэслэгчдийн нэг Н.А.Блатовын ангиллын дагуу санхүүгийн байдлын харьцангуй үзүүлэлтүүдийг хуваарилалтын коэффициент болгон хуваадаг бөгөөд энэ эсвэл түүний аль хэсгийг тодорхойлох шаардлагатай тохиолдолд ашигладаг.

3.3. Векторуудын шугаман бие даасан байдал. Суурь.

Шугаман хослол вектор системүүд

вектор гэж нэрлэдэг

Энд a 1, a 2, ..., a n - дурын тоо.

Хэрэв бүгд i = 0 бол шугаман хослолыг дуудна өчүүхэн . Энэ тохиолдолд мэдээжийн хэрэг

Тодорхойлолт 5.

Хэрэв векторуудын системийн хувьд Өчүүхэн бус шугаман хослол байдаг (дор хаяж нэг ai¹ 0) тэг вектортой тэнцүү: тэгвэл векторуудын системийг дуудна шугаман хамааралтай. Хэрэв тэгш байдал (1) нь зөвхөн бүх тохиолдолд л боломжтой a i =0, тэгвэл векторуудын системийг дуудна шугаман бие даасан .

Теорем 2 (шугаман хамаарлын нөхцөл).

Тодорхойлолт 6.

Теорем 3-аас Хэрэв орон зайд суурь өгөгдсөн бол түүнд дурын векторыг нэмснээр шугаман хамааралтай векторын системийг олж авна. дагууТеорем 2 (1) , тэдгээрийн аль нэгийг (векторыг харуулж болно) бусдын шугаман хослолоор төлөөлж болно:

.

Тодорхойлолт 7.

Тоонууд гэж нэрлэдэг координатууд суурь дахь векторууд (тэмдэглэсэн

Хэрэв векторуудыг хавтгайд авч үзвэл, дараалсан хос шугаман бус векторуудын үндэс суурь болно.

Үүний үндсэн дээр векторын координатууд нь хос тоо юм:

Тайлбар 3. Үүнийг харуулж болно өгөгдсөн үндэслэлээр векторын координатыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлно . Үүнээс, тухайлбал, ийм зүйл гарч ирдэг Хэрэв векторууд тэнцүү бол тэдгээрийн харгалзах координатууд тэнцүү ба эсрэгээр байна .

Тиймээс, хэрэв орон зайд суурь өгөгдсөн бол орон зайн вектор бүр нь тоонуудын дараалсан гурвалсан (энэ суурь дахь векторын координат) ба эсрэгээр: тоонуудын гурвалсан бүр нь вектортой тохирч байна.

Хавтгай дээр вектор ба хос тоонуудын хооронд ижил төстэй захидал харилцаа тогтоогддог.

Теорем 4 (Вектор координатаар шугаман үйлдлүүд).

Хэрэв ямар нэг үндэслэлээр Тэгээд а нь дурын тоо, тэгвэл энэ үндэслэлээр

Өөрөөр хэлбэл:

Векторыг тоогоор үржүүлэхэд координатыг нь тухайн тоогоор үржүүлнэ ;

векторуудыг нэмэхэд тэдгээрийн харгалзах координатуудыг нэмнэ .

Жишээ 1 . Зарим үндсэн дээр векторуудкоординаттай байна

Векторууд суурь болж байгааг харуулж, энэ суурь дээрх векторын координатыг ол.

Векторууд нь хоорондоо уялдаа холбоогүй тохиолдолд суурь болдог, тиймээс (д заасны дагууТеорем 3(2)-аар ) шугаман бие даасан байна.

Тодорхойлолтоор 5 Энэ нь тэгш байдал гэсэн үг юм

зөвхөн боломжтой болx = y = z = 0.

Лекц 6.

..., векторуудыг , , ... тоонууд байгаа бол шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн дотор ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш, тэгвэл ...

Тоо ба векторуудын бүтээгдэхүүний нийлбэр, i.e. вектор

векторуудын шугаман хослол гэж нэрлэдэг.

Хэрэв векторыг векторуудын шугаман хослолоор дүрсэлсэн бол векторыг мөн вектор болгон задалсан гэж үзнэ.

Векторуудын шугаман хамаарлын дээрх тодорхойлолт нь үүнтэй тэнцүү байна: хэрэв тэдгээрийн аль нэгийг бусдын шугаман хослолоор (эсвэл бусдаас нь өргөжүүлж) төлөөлж чадвал векторууд нь шугаман хамааралтай байна.

Теорем 1.Хоёр вектор шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Баталгаашаардлагатай. Өгөгдсөн: векторууд ба шугаман хамааралтай. Тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай гэдгийг бид батлах хэрэгтэй. Векторууд нь шугаман хамааралтай байдаг тул тэгтэй тэнцүү биш тоонууд байдаг ба ийм тоонууд байдаг.

Жишээлбэл, ; Дараа нь

Үүнээс үзэхэд ба векторууд коллинеар байна.

Өгөгдсөн: вектор ба коллинеар. Тэдгээр нь шугаман хамааралтай гэдгийг батлах шаардлагатай.

Хэрэв бол тэгш байдал биелнэ, энэ нь ба векторууд шугаман хамааралтай байна гэсэн үг.

Хэрэв, тэгвэл бид олох юм бол, эсвэл; Энэ нь векторууд ба шугаман хамааралтай гэсэн үг юм.

Гурван векторыг нэг цэгээс зурахад нэг хавтгайд хэвтэж байвал тэдгээрийг копланар гэж нэрлэдэг.

Теорем 2.Гурван вектор , , шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Өгөгдсөн: векторууд , , шугаман хамааралтай. Бид тэдгээрийг ижил төстэй гэдгийг батлах хэрэгтэй.

, , векторууд нь шугаман хамааралтай тул , , , тоонууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг байх; тиймэрхүү

Жишээлбэл, ; Дараа нь

ба векторууд нь векторуудтай коллинеар ба ; тиймээс ийм векторуудын нийлбэр, i.e. вектор нь векторуудтай харьцуулсан байх ба .

Хангалттай байдлын баталгаа.Өгөгдсөн: , , векторууд нь хавтгай байна. Эдгээр векторууд шугаман хамааралтай болохыг батлах шаардлагатай.

Хэрэв векторууд нь коллинеар байвал тэдгээр нь шугаман хамааралтай (энэ хэсгийн теорем 1), өөрөөр хэлбэл. гэсэн тоонууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн хамгийн багадаа нэг нь тэгтэй тэнцүү биш ба ийм , гэхдээ дараа нь ба , i.e. , , векторууд нь шугаман хамааралтай .

Векторууд нь коллинеар бус байг. Нэг цэгээс векторуудыг зуръя ТУХАЙ:

, , векторууд хос хавтгай байх тул цэгүүд болно ТУХАЙ, нэг хавтгайд хэвтэх. Шугамтай параллель шулуун дээр цэгийг проекц хийцгээе; зөвшөөрөх Р- энэ төсөөлөл. Дараа нь, түүнээс хойш

дараа нь гэж үзвэл

өөрөөр хэлбэл , , векторууд шугаман хамааралтай байна.

Теорем 3.Орон зай дахь дурын дөрвөн вектор , , , шугаман хамааралтай байна.

Баталгаа., , векторууд хос хавтгай биш гэдгийг санал болгоё. Бүх , , , векторуудыг нэг цэгээс зуръя ТУХАЙ:

Болъё Р– шулуун шугамтай параллель хавтгайд цэгийн проекц, – цэгийн проекц Ршулуун шугамтай параллель шулуун шугам руу. Дараа нь .

Векторууд нь векторуудтай тус тус коллинеар ба . итгэх; ; бид авах; ;

тиймээс:

тэдгээр. , , , векторууд нь шугаман хамааралтай.

Теорем 4.Тэг биш хоёр вектор коллинеар байхын тулд тэдгээрийн координатууд пропорциональ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Орон зайн ерөнхий декартын координатын системтэй харьцуулахад векторуудыг координатаар нь зааж өгсөн тохиолдолд теоремыг баталъя.

Шаардлагатай байдлын нотолгоо.Өгөгдсөн: векторууд; ба collinear. Тэдний координатууд пропорциональ гэдгийг батлах шаардлагатай.

Түүнээс хойш бид олж авсан гэж үзвэл, өөрөөр хэлбэл.

Хангалттай байдлын баталгаа.Өгөгдсөн: вектор координат

пропорциональ. Эдгээр векторууд коллинеар гэдгийг бид батлах хэрэгтэй.

зөвшөөрөх; өөрөөр хэлбэл, , эсвэл , ба тиймийн тул, ба векторууд нь коллинеар байна.

Теорем 5.Хавтгай дээрх ерөнхий декартын координатын системтэй харьцуулсан координатаар нь тодорхойлогдсон хоёр вектор ба .

эсвэл огторгуй дахь декарт координатын ерөнхий системтэй харьцангуй

хоорондоо уялдаа холбоотой байсан, энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм

(онгоцны хувьд),

(сансрын хувьд).

Орон зайд ерөнхий декартын координатын системтэй харьцуулсан векторууд нь координатаараа тодорхойлогддог тохиолдолд теоремыг баталъя.

Шаардлагатай байдлын нотолгоо.Өгөгдсөн: вектор ба коллинеар. Харилцаа нь сэтгэл хангалуун байгааг нотлох шаардлагатай

Хэрэв векторууд нь тэгээс ялгаатай ба коллинеар байвал тэдгээрийн координатууд пропорциональ байх тул эдгээр тэгшитгэлүүд хангагдана (хоёр эгнээ пропорциональ байх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү). Хэрэв эсвэл (эсвэл ==0) бол энэ тэгш байдал тодорхой байна.

Хангалттай байдлын баталгаа.Эдгээр харилцаа нь сэтгэл хангалуун байна гэж өгсөн. Векторууд ба коллинеар гэдгийг батлах шаардлагатай.

Хэрэв (өөрөөр хэлбэл =0) бол ба векторууд нь коллинеар байна (тэг вектор нь аль ч вектортой коллинеар байдаг). Тоонуудын ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, жишээ нь . тавьцгаая; дараа нь хамаарлаас буюу (тодорхойлогчийг тэлэх) орон зай дахь ерөнхий декартын координатын системтэй харьцуулахад тэдгээрийн координатаар өгөгдсөн, харилцаа хангагдсан тохиолдолд ижил шулуун шугамд хамаарах болохыг бид олж мэднэ.

Дүгнэлт 3.Орон зайн ерөнхий декарт координатын системтэй харьцуулахад координатаараа өгөгдсөн , , , , цэгүүд нь зөвхөн векторууд байвал нэг хавтгайд хамаарна; ; coplanar, i.e. хэрэв зөвхөн бол .