Пифагорын гурвалсан жишээ. Пифагорын тоо. Нэг гурав хэтэрхий их байна

» Уорвикийн их сургуулийн математикийн гавъяат профессор, шинжлэх ухааныг алдаршуулагч Иан Стюарт хүн төрөлхтний түүхэн дэх тоонуудын үүрэг, бидний цаг үед тэдгээрийг судлах ач холбогдлын тухай өгүүлдэг.

Пифагорын гипотенуз

Пифагорын гурвалжин нь тэгш өнцөгт, бүхэл талтай. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь хамгийн урт тал нь 5, бусад нь 3 ба 4. Нийт 5 байна. ердийн олон талт. Тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийг тав дахь үндэс эсвэл бусад язгуур ашиглан шийдвэрлэх боломжгүй. Онгоц болон доторх торууд гурван хэмжээст орон зайтаван дэлбээтэй эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаггүй тул талстуудад ийм тэгш хэм байдаггүй. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь сараалжтай ойролцоо байж болно дөрвөн хэмжээст орон займөн квазикристал гэж нэрлэгддэг сонирхолтой бүтэцтэй байдаг.

Пифагорын хамгийн жижиг гурвалсан гипотенуз

Пифагорын теорем нь хамгийн урт тал гэж заасан байдаг зөв гурвалжин(муу нэртэй гипотенуз) нь энэ гурвалжны бусад хоёр талтай маш энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй хамааралтай: гипотенузын квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Уламжлал ёсоор бид энэ теоремыг Пифагорын нэрээр нэрлэдэг боловч үнэн хэрэгтээ түүний түүх нэлээд бүрхэг байдаг. Шавар шахмалууд нь эртний Вавилончууд Пифагорын теоремыг Пифагороос хамаагүй өмнө мэддэг байсан гэж үздэг; Илчлэгчийн алдар нэрийг түүнд Пифагорчуудын математикийн шүтлэг авчирсан бөгөөд тэдний дэмжигчид орчлон ертөнц тоон хуулиуд дээр суурилдаг гэж үздэг байв. Эртний зохиолчид янз бүрийн математикийн теоремуудыг Пифагорчуудад, тиймээс Пифагортой холбодог байсан боловч үнэндээ Пифагор өөрөө ямар математикийн чиглэлээр ажилладаг байсныг бид мэдэхгүй. Пифагорчууд Пифагорын теоремыг баталж чадсан уу, эсвэл зүгээр л үнэн гэж итгэсэн үү гэдгийг бид мэдэхгүй. Эсвэл тэдний үнэнийг батлах нотолгоо байсан ч өнөөдрийн бидний үзэж байгаа нотлох баримтад хангалтгүй байх магадлалтай.

Пифагорын нотолгоо

Пифагорын теоремын анхны мэдэгдэж буй нотолгоог Евклидийн элементүүдээс олж болно. Энэ хангалттай нарийн төвөгтэй нотолгооВикторийн сургуулийн сурагчид "Пифагорын өмд" гэж шууд таних зургийг ашиглах; Энэ зураг үнэхээр шугаман дээр хатаж буй дотуур өмдтэй төстэй юм. Өөр олон зуун нотлох баримтууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн ихэнх нь нотолгоог илүү тодорхой болгодог.

// будаа. 33. Пифагорын өмд

Хамгийн энгийн нотолгооны нэг бол нэг төрлийн математикийн оньсого юм. Ямар ч тэгш өнцөгт гурвалжинг аваад, дөрвөн хуулбарыг хийж, дөрвөлжин дотор угсарна. Нэг зохион байгуулалтанд бид гипотенуз дээрх квадратыг харж байна; нөгөөтэй нь - гурвалжны нөгөө хоёр тал дээрх квадратууд. Энэ хоёр тохиолдолд талбай тэнцүү байх нь тодорхой байна.

// будаа. 34. Зүүн талд: гипотенуз дээрх дөрвөлжин (нэмэх дөрвөн гурвалжин). Баруун талд: нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэр (нэмэх дөрвөн гурвалжин). Одоо гурвалжинг арилга

Перигалийн задрал нь бас нэг оньсого нотолгоо юм.

// будаа. 35. Перигалийн задрал

Хавтгай дээрх квадратуудыг байрлуулах теоремийн баталгаа бас бий. Пифагорчууд эсвэл тэдний үл мэдэгдэх өмнөх хүмүүс энэ теоремыг ингэж нээсэн байх. Хэрэв та хазайсан дөрвөлжин нь бусад хоёр квадраттай хэрхэн давхцаж байгааг харвал том дөрвөлжин хэсгийг хэсэг болгон хувааж, дараа нь хоёр жижиг дөрвөлжин болгон нэгтгэхийг харж болно. Та мөн тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг харж болно, тэдгээрийн талууд нь оролцсон гурван квадратын хэмжээсийг өгдөг.

// будаа. 36. Хучилтаар нотлох

Тригонометрт ижил төстэй гурвалжинг ашигласан сонирхолтой нотолгоонууд байдаг. Наад зах нь тавин өөр нотолгоо мэдэгдэж байна.

Пифагорын гурав дахин

Тооны онолын хувьд Пифагорын теорем нь алгебрийн тэгшитгэлийн бүхэл тоон шийдлийг олох гэсэн үр дүнтэй санааны эх сурвалж болсон юм. Пифагорын гурвалсан нь a, b, c бүхэл тоонуудын багц юм

Геометрийн хувьд ийм гурвалж нь бүхэл талтай тэгш өнцөгт гурвалжинг тодорхойлдог.

Пифагор гурвын хамгийн бага гипотенуз нь 5 байна.

Энэ гурвалжны нөгөө хоёр тал нь 3 ба 4. Энд

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Дараагийн хамгийн том гипотенуз нь 10, учир нь

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Гэсэн хэдий ч энэ нь үндсэндээ хоёр талтай ижил гурвалжин юм. Дараагийн хамгийн том бөгөөд үнэхээр ялгаатай гипотенуз бол 13 бөгөөд үүний төлөө

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклид байдаг гэдгийг мэдэж байсан хязгааргүй тооПифагорын гурван ихэрүүдийн янз бүрийн хувилбаруудыг гаргаж, бүгдийг нь олох томьёог өгсөн. Хожим нь Александрийн Диофант Евклидийнхтэй ижил төстэй энгийн жор санал болгов.

Дурын хоёр натурал тоог аваад тооцоол:

тэдгээрийн давхар бүтээгдэхүүн;

тэдгээрийн квадратуудын ялгаа;

тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр.

Гарсан гурван тоо нь Пифагорын гурвалжны талууд болно.

Жишээ нь 2 ба 1 тоонуудыг авч үзье. Тооцоолъё:

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 2 × 1 = 4;

квадратуудын ялгаа: 22 - 12 = 3;

квадратуудын нийлбэр: 22 + 12 = 5,

Тэгээд бид алдартай 3-4-5 гурвалжинг авсан. Хэрэв бид 3 ба 2-ын тоог авбал бид дараахь зүйлийг авна.

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 3 × 2 = 12;

квадратуудын ялгаа: 32 - 22 = 5;

квадратуудын нийлбэр: 32 + 22 = 13,

Тэгээд бид дараагийн хамгийн алдартай гурвалжин болох 5 - 12 - 13-ыг авна. 42 ба 23 тоонуудыг авч үзье.

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 42 × 23 = 1932;

квадратуудын ялгаа: 422 - 232 = 1235;

квадратуудын нийлбэр: 422 + 232 = 2293,

1235-1932-2293 гурвалжингийн талаар хэн ч сонсож байгаагүй.

Гэхдээ эдгээр тоонууд бас ажилладаг:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Диофантийн дүрмийн өөр нэг шинж чанар нь аль хэдийн дурдсан байдаг: гурван тоог хүлээн авсны дараа бид өөр дурын тоог авч, бүгдийг нь үржүүлж болно. Тиймээс 3-4-5 гурвалжинг бүх талыг 2-оор үржүүлбэл 6-8-10 гурвалжин, бүгдийг нь 5-аар үржүүлбэл 15-20-25 гурвалжин болгож болно.

Хэрэв бид алгебрийн хэл рүү шилжих юм бол дүрэм нь дараах хэлбэрийг авна: u, v, k натурал тоо байг. Дараа нь талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжин

2kuv ба k (u2 - v2) нь гипотенузтай

Гол санааг илэрхийлэх өөр аргууд байдаг боловч бүгд дээр дурдсан нэгдлүүдийг нэгтгэдэг. Энэ арга нь бүх Пифагорын гурвыг олж авах боломжийг олгодог.

Ердийн олон талт

Яг таван ердийн олон өнцөгт байдаг. Ердийн олон өнцөгт (эсвэл полиэдрон) нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай нүүртэй гурван хэмжээст дүрс юм. Нүүр нь ирмэг гэж нэрлэгддэг шугамууд дээр бие биентэйгээ уулздаг; ирмэгүүд нь орой гэж нэрлэгддэг цэгүүдэд нийлдэг.

Евклидийн Принсипийн оргил нь зөвхөн таван энгийн олон талт, өөрөөр хэлбэл нүүр тус бүрийг төлөөлдөг олон талтууд байж болдгийн нотолгоо юм. ердийн олон өнцөгт (тэнцүү талууд, тэгш өнцөгтүүд), бүх нүүр нь ижил бөгөөд бүх оройнууд хүрээлэгдсэн байна тэнцүү тооижил зайтай ирмэгүүд. Энд таван энгийн олон өнцөгтүүд байна:

дөрвөн гурвалжин нүүр, дөрвөн орой, зургаан ирмэг бүхий тетраэдр;

шоо, эсвэл зургаан өнцөгт, 6 дөрвөлжин нүүр, 8 орой, 12 ирмэг;

8 гурвалжин нүүр, 6 орой, 12 ирмэг бүхий октаэдр;

12 таван өнцөгт нүүр, 20 орой, 30 ирмэг бүхий додекаэдр;

20 гурвалжин нүүр, 12 орой, 30 ирмэг бүхий икосаэдр.

// будаа. 37. Таван ердийн олон талт

Ердийн олон талтуудыг мөн байгальд олж болно. 1904 онд Эрнст Геккель радиоляр гэж нэрлэгддэг жижиг биетүүдийн зургийг нийтэлсэн; Тэдний олонх нь ижил таван энгийн олон талт хэлбэртэй байдаг. Гэсэн хэдий ч тэрээр байгалийг бага зэрэг засч залруулсан байж магадгүй бөгөөд зураг нь тодорхой амьд биетүүдийн хэлбэрийг бүрэн тусгадаггүй. Эхний гурван бүтэц нь талстуудад бас ажиглагддаг. Талстуудаас та додекаэдр ба икосаэдрүүдийг олохгүй, гэхдээ заримдаа жигд бус додекаэдр болон икосахэдрүүд байдаг. Жинхэнэ додекаэдрүүд нь бараг талст хэлбэртэй байж болох бөгөөд тэдгээр нь атомууд нь үечилсэн тор үүсгэдэггүйг эс тооцвол талстуудтай бүх талаараа төстэй байдаг.

// будаа. 38. Геккелийн зургууд: ердийн олон талт хэлбэртэй радиолярчууд

// будаа. 39. Тогтмол олон талтуудын хөгжил

Эхлээд хоорондоо холбогдсон нүүрний багцыг хайчилж аваад цаасан дээрээс ердийн олон өнцөгтийн загварыг хийх нь сонирхолтой байж болох юм - үүнийг олон өнцөгт хөгжүүлэх гэж нэрлэдэг; хөгжил нь ирмэгийн дагуу нугалж, холбогдох ирмэгийг наасан байна. Зурагт үзүүлсэн шиг ийм хос бүрийн хавирга дээр нэмэлт цавуу нэмэх нь ашигтай байдаг. 39. Хэрэв ийм тавцан байхгүй бол та наалдамхай туузыг ашиглаж болно.

Тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл

5-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх алгебрийн томъёо байхгүй.

IN ерөнхий үзэлТав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Асуудал нь ийм тэгшитгэлийн шийдлүүдийн томъёог олох явдал юм (энэ нь тав хүртэлх шийдэлтэй байж болно). Квадрат болон куб тэгшитгэл, түүнчлэн дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд ийм томьёо байх ёстой бөгөөд онолын хувьд тав, гурав, хоёрдугаар зэргийн үндэс гарч ирэх ёстой гэж үздэг. Дахин хэлэхэд, хэрэв ийм томьёо байгаа бол маш нарийн төвөгтэй байх болно гэж бид итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Энэ таамаг нь эцэстээ буруу болж хувирав. Үнэндээ ийм томъёо байхгүй; наад зах нь нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, үндсийг авах замаар хийсэн a, b, c, d, e, f коэффициентуудаас бүрдэх томьёо байхгүй. Тиймээс 5-ын тоонд маш онцгой зүйл бий. Таван хүний ​​энэ ер бусын зан үйлийн шалтгаан нь маш гүн бөгөөд тэдгээрийг ойлгоход маш их цаг зарцуулсан.

Математикчид ийм томьёог олох гэж хичнээн хичээсэн ч, хичнээн ухаантай байсан ч ямагт бүтэлгүйтдэг нь асуудлын эхний шинж тэмдэг байв. Хэсэг хугацааны туршид хүн бүр шалтгаан нь томъёоны гайхалтай нарийн төвөгтэй байдалд оршдог гэдэгт итгэдэг байв. Энэ алгебрийг хэн ч зөв ойлгож чадахгүй гэж үздэг байсан. Гэсэн хэдий ч цаг хугацаа өнгөрөхөд зарим математикчид ийм томьёо байдаг гэдэгт эргэлзэж эхэлсэн бөгөөд 1823 онд Нилс Хендрик Абел эсрэгээр нь баталж чадсан юм. Ийм томъёо байхгүй. Үүнээс хойш удалгүй Эваристе Галуа нэг буюу өөр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг (5, 6, 7, аль ч төрлийн) ийм томьёо ашиглан шийдвэрлэх боломжтой эсэхийг тодорхойлох аргыг олсон.

Энэ бүхнээс дүгнэлт нь энгийн: 5-ын тоо онцгой юм. Та шийдэж болно алгебрийн тэгшитгэл(ашиглах n-р үндэс 1, 2, 3, 4 зэрэгт n)-ийн өөр өөр утгуудын хувьд градус, харин 5-р зэрэглэлийн хувьд биш. Эндээс илэрхий загвар дуусна.

5-аас дээш зэрэгтэй тэгшитгэлүүд бүр ч муу ажиллаж байгаад хэн ч гайхдаггүй; ялангуяа ижил хүндрэл нь тэдэнтэй холбоотой байдаг: тэдгээрийг шийдвэрлэх ерөнхий томъёо байдаггүй. Энэ нь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй гэсэн үг биш юм; Энэ нь эдгээр шийдлүүдийн хувьд маш нарийн тоон утгыг олох боломжгүй гэсэн үг биш юм. Энэ нь уламжлалт алгебрийн хэрэгслүүдийн хязгаарлалтын тухай юм. Энэ нь захирагч, луужин ашиглан өнцгийг гурвалсан огтлох боломжгүйг санагдуулдаг. Хариулт байгаа боловч жагсаасан аргууд нь хангалтгүй бөгөөд энэ нь юу болохыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодоггүй.

Кристаллографийн хязгаарлалт

Хоёр ба гурван хэмжээст талстууд нь 5 цацрагийн эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаггүй.

Кристал дахь атомууд нь тор үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн бие даасан чиглэлд үе үе давтагддаг бүтэц юм. Жишээлбэл, ханын цаасны хэв маяг нь өнхрөх уртын дагуу давтагддаг; Үүнээс гадна, энэ нь ихэвчлэн хэвтээ чиглэлд давтагддаг, заримдаа ханын цаасны нэг хэсгээс нөгөө рүү шилждэг. Үндсэндээ ханын цаас нь хоёр хэмжээст болор юм.

Онгоцонд 17 төрлийн ханын цаасны загвар байдаг (17-р бүлгийг үзнэ үү). Тэдгээр нь тэгш хэмийн төрлөөр ялгаатай байдаг, өөрөөр хэлбэл хэв маягийг анхны байрлалдаа яг өөр дээрээ байрлуулахаар хатуу хөдөлгөх арга замаар ялгаатай байдаг. Тэгш хэмийн төрлүүд нь, ялангуяа эргэлтийн тэгш хэмийн янз бүрийн хувилбаруудыг агуулдаг бөгөөд хэв маягийг тодорхой цэгийн эргэн тойронд тодорхой өнцгөөр эргүүлэх ёстой - тэгш хэмийн төв.

Эргэлтийн тэгш хэмийн дараалал нь хэв маягийн бүх нарийн ширийн зүйлс анхны байрлалдаа буцаж очихын тулд биеийг бүтэн тойрог хэлбэрээр эргүүлэх тоо юм. Жишээлбэл, 90° эргүүлэх нь 4-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм юм*. Кристал тор дахь эргэлтийн тэгш хэмийн боломжит төрлүүдийн жагсаалт нь 5-ын тооны ер бусын байдлыг дахин харуулж байна: тэнд байхгүй. 2, 3, 4, 6-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэмтэй сонголтууд байдаг боловч ямар ч ханын цаасны 5-р эрэмбийн тэгш хэмтэй байдаггүй. 6-аас дээш эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм нь талстуудад байдаггүй боловч дарааллын эхний зөрчил 5-р тоонд тохиолддог.

Гурван хэмжээст орон зай дахь талстографийн системд ижил зүйл тохиолддог. Энд тор нь бие даасан гурван чиглэлд давтагдана. 219 өөр төрлийн тэгш хэм байдаг, эсвэл дизайны толин тусгал дүрсийг тусдаа хувилбар гэж үзвэл 230 байдаг - энэ тохиолдолд толин тусгал тэгш хэм байхгүй ч гэсэн. Дахин хэлэхэд 2, 3, 4, 6-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм ажиглагдаж байгаа боловч 5 биш. Энэ баримтыг кристаллографийн хязгаарлалт гэж нэрлэдэг.

Дөрвөн хэмжээст орон зайд 5-р дарааллын тэгш хэмтэй торууд байдаг; Ерөнхийдөө хангалттай өндөр хэмжээтэй торны хувьд эргэлтийн тэгш хэмийн урьдчилан тодорхойлсон дарааллыг хийх боломжтой.

// будаа. 40. Кристал торширээний давс. Харанхуй бөмбөлөг нь натрийн атомыг, цайвар бөмбөг нь хлорын атомыг илэрхийлдэг

Квазикристалууд

Хэдийгээр 5-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм нь 2 хэмжээст эсвэл 3 хэмжээст торонд боломжгүй ч энэ нь бараг талст гэгддэг арай бага тогтмол бүтэцтэй байж болно. Кеплерийн ноорог зургуудыг ашиглан Рожер Пенроуз илүү олон төрлийн хавтгай системийг нээсэн ерөнхий төрөлтав дахин тэгш хэм. Тэднийг квазикристал гэж нэрлэдэг.

Квазикристалууд байгальд байдаг. 1984 онд Даниел Шехтман хөнгөн цагаан ба манганы хайлш нь хагас талст үүсгэж болохыг олж мэдсэн; Эхэндээ талст судлаачид түүний захиасыг бага зэрэг эргэлзсэн байдалтай угтаж байсан ч хожим нээлт нь батлагдаж, 2011 онд Шехтман шагнал хүртжээ. Нобелийн шагналхимийн чиглэлээр. 2009 онд Лука Бинди тэргүүтэй эрдэмтдийн баг Оросын Коряк уулын уулсаас хөнгөн цагаан, зэс, төмрийн нэгдэл болох эрдэст хагас талстыг илрүүлжээ. Өнөөдөр энэ эрдэсийг икосаэдрит гэж нэрлэдэг. Эрдэмтэд масс-спектрометр ашиглан эрдэс дэх янз бүрийн хүчилтөрөгчийн изотопуудын агуулгыг хэмжсэнээр энэ эрдэс дэлхий дээр үүсээгүй болохыг тогтоожээ. Энэ нь ойролцоогоор 4.5 тэрбум жилийн өмнө үүссэн нарны системдөнгөж нялх байхдаа байсан бөгөөд ихэнх цагаа астероидын бүсэд Нарыг тойрон эргэлдэж, зарим нэг эвдрэл нь тойрог замаа өөрчилж, эцэст нь дэлхий рүү авчрах хүртэл зарцуулсан.

// будаа. 41. Зүүн талд: яг тав дахин тэгш хэмтэй хоёр талст торны нэг. Баруун талд: Икосаэдр хөнгөн цагаан-палладий-манганы квазикристалын атомын загвар

Червяк Виталий

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Уралдаан шинжлэх ухааны төслүүдсургуулийн сурагчид

"Эврика" бүс нутгийн эрдэм шинжилгээ, практикийн бага хурлын хүрээнд

Кубаны оюутнуудад зориулсан жижиг шинжлэх ухааны академи

Пифагорын тоог судлах

Математикийн хэсэг.

Червяк Виталий Геннадьевич, 9-р анги

МОБҮ 14-р дунд сургууль

Кореновский дүүрэг

Урлаг. Журавская

Эрдэм шинжилгээний удирдагч:

Манко Галина Васильевна

Математикийн багш

МОБҮ 14-р дунд сургууль

Кореновск 2011 он

Червяк Виталий Геннадьевич

Пифагорын тоо

Тэмдэглэл.

Судалгааны сэдэв:Пифагорын тоо

Судалгааны зорилго:

Судалгааны зорилго:

• Математикийн чадварыг тодорхойлох, хөгжүүлэх;
• Энэ сэдвээр математик дүрслэлийг өргөжүүлэх;
• Тухайн сэдвээр тогтвортой сонирхлыг бий болгох;
• Харилцааны болон ерөнхий эрдэм шинжилгээний чадварыг хөгжүүлэх бие даасан ажил, хэлэлцүүлэг явуулах, маргах гэх мэт чадвар;
• Аналитик, логик сэтгэлгээг бий болгох, хөгжүүлэх;

Судалгааны аргууд:

• Интернетийн нөөц ашиглах;
• Лавлагаа номонд хандах;
• Туршилт хийх;

Дүгнэлт:

• Энэ ажлыг геометрийн хичээлд ашиглаж болно нэмэлт материал, хэрэгжүүлэх сонгох хичээлүүдэсвэл математикийн сонгон хичээл, түүнчлэн хичээлээс гадуурх үйл ажиллагааматематикийн чиглэлээр;

Червяк Виталий Геннадьевич

Краснодар муж, Журавская тосгон, МОБУ 14-р дунд сургууль, 9-р анги

Пифагорын тоо

Эрдэм шинжилгээний удирдагч: 14-р дунд сургуулийн математикийн багш Галина Васильевна Манко

1. Танилцуулга…………………………………………………………………………………3
2. Үндсэн хэсэг

2.1 Түүхэн хуудас………………………………………………4

2.2 Тэгш сондгой хөлийн баталгаа......................................5-6

2.3 Олборлох загвар гаргах

Пифагорын тоонууд…………………………………………………………………………7

2.4 Пифагорын тооны шинж чанарууд ……………………………………………… 8

3. Дүгнэлт……………………………………………………………………………9

4. Ашигласан эх сурвалж, уран зохиолын жагсаалт…………………… 10

Хэрэглээ.................................................. ....... ................................................. ............. ......11

Хавсралт I……………………………………………………………………………11

Хавсралт II……………………………………………………………………………………..13

Червяк Виталий Геннадьевич

Краснодар муж, Журавская тосгон, МОБУ 14-р дунд сургууль, 9-р анги

Пифагорын тоо

Эрдэм шинжилгээний удирдагч: 14-р дунд сургуулийн математикийн багш Галина Васильевна Манко

Танилцуулга

Би тавдугаар ангийн математикийн хичээл дээр Пифагор болон түүний амьдралын тухай сонсож, "Пифагорын өмд бүх талаараа тэнцүү" гэсэн хэллэгийг сонирхож байсан. Пифагорын теоремыг судалж байхдаа би Пифагорын тоонуудыг сонирхож эхэлсэнсудалгааны зорилго: Пифагорын теорем болон "Пифагорын тоо"-н талаар илүү ихийг мэдэж аваарай.

Сэдвийн хамаарал. Пифагорын теорем ба Пифагорын гурвалсан хоёрын үнэ цэнийг олон зууны турш дэлхийн олон эрдэмтэд нотолсон байдаг. Миний ажилд авч үзэх асуудал нь хүн бүрийн мэддэг математикийн томъёолол - Пифагорын теорем дээр үндэслэсэн тул маш энгийн харагдаж байна: ямар ч тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз дээр баригдсан квадрат нь дөрвөлжин дээр баригдсан квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. хөл. Одоо x, y, z натурал тоонуудын гурвалсан тоо x 2 + y 2 = z 2 , ихэвчлэн дууддагПифагорын гурван ихэр. Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийг Вавилонд аль хэдийн мэддэг байсан нь тогтоогджээ. Аажмаар Грекийн математикчид бас тэднийг олсон.

Энэ ажлын зорилго

1. Пифагорын тоонуудыг судлах;
2. Пифагорын тоог хэрхэн олж авахыг ойлгох;
3. Пифагорын тоонууд ямар шинж чанартай болохыг олж мэдээрэй;
4. Пифагорын тоог ашиглан газар дээр перпендикуляр шугамыг туршилтаар барих;

Ажлын зорилгын дагуу дараахь хэд хэдэн зүйлийг тогтоов.даалгавар:

1. Пифагорын теоремын түүхийг илүү гүнзгий судлах;

2. Пифагорын гурвалсан бүх нийтийн шинж чанарын шинжилгээ.

3. Пифагорын гурвалсан практик хэрэглээний дүн шинжилгээ.

Судалгааны объект: Пифагорын гурвалсан.

Судалгааны сэдэв: математик.

Судалгааны аргууд: - Интернетийн нөөц ашиглах; -Лавлах ном зохиолоос иш татах; - Туршилт хийх;

Онолын ач холбогдол:Шинжлэх ухаанд Пифагорын гурван ихэрийг нээсэн үүрэг; практик хэрэглээХүний амьдрал дахь Пифагорын нээлтүүд.

Хэрэглээний үнэ цэнэсудалгаа шинжилгээ хийх явдал юм уран зохиолын эх сурвалжуудбаримтуудыг системчлэх.

Червяк Виталий Геннадьевич

Краснодар муж, Журавская тосгон, МОБУ 14-р дунд сургууль, 9-р анги

Пифагорын тоо

Эрдэм шинжилгээний удирдагч: 14-р дунд сургуулийн математикийн багш Галина Васильевна Манко

Пифагорын тоонуудын түүхээс.

• Эртний Хятад:

Математикийн номЧу-пэй:[ 2]

"Хэрэв тэгш өнцөг нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задарвал суурь нь 3, өндөр нь 4 байх үед түүний хажуугийн төгсгөлүүдийг холбосон шугам нь 5 болно."

• Эртний Египет: [2]

Кантор (Германы математикийн тэргүүлэх түүхч) тэгш байдал гэж үздэг 3² + 4² = 5² МЭӨ 2300 оны үед Египетчүүдэд аль хэдийн мэдэгдэж байсан. д., хааны үедАменемхета (Берлиний музейн 6619 папирусын дагуу). Канторын хэлснээргарпедонапт, эсвэл "олс татагч", 3 талтай тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглан зөв өнцгийг барьсан; 4 ба 5.

• Вавилон: [3]

“Талес, Пифагор, Пифагорчууд зэрэг Грекийн анхны математикчдын гавьяа бол математикийн нээлт биш, харин түүнийг системчлэх, зөвтгөх явдал юм. Тэдний гарт тодорхойгүй санаан дээр үндэслэсэн тооцооллын жор яг нарийн шинжлэх ухаан болсон."

• Пифагорын теоремын түүх:

Хэдийгээр энэ теорем нь Пифагорын нэртэй холбоотой боловч түүнээс өмнө мэдэгдэж байсан.

Вавилоны бичвэрүүдэд Пифагороос 1200 жилийн өмнө олдсон байдаг.

Түүний нотлох баримтыг хамгийн түрүүнд олсон бололтой. Үүнтэй холбогдуулан "... тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз нь хөлтэй тохирч байгааг олж мэдээд улаан буудайн зуурсан гурилаар хийсэн бухыг тахил өргөв."

Червяк Виталий Геннадьевич

Краснодар муж, Журавская тосгон, МОБУ 14-р дунд сургууль, 9-р анги

Пифагорын тоо

Эрдэм шинжилгээний удирдагч: 14-р дунд сургуулийн математикийн багш Галина Васильевна Манко

Пифагорын тоог судлах.

• Пифагорын теоремын дагуу талууд нь 3:4:5 харьцаатай гурвалжин бүр тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг.

3 2 + 4 2 = 5 2.

• 3,4 ба 5 тоонуудаас гадна харилцааг хангадаг a, b, c эерэг бүхэл тоонуудын хязгааргүй олонлог байдаг.
• A 2 + b 2 = c 2.
• Эдгээр тоонуудыг дууддагПифагорын тоо

Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийг маш удаан хугацаанд мэддэг байсан. Эртний ойн Потамийн булшны чулууны архитектурт 9, 12, 15 тохой талуудтай хоёр тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас бүрдсэн ижил өнцөгт гурвалжин олддог. Фараон Снефругийн пирамидуудыг (МЭӨ XXVII зуун) 20, 21, 29 талтай гурвалжин, түүнчлэн 18, 24, 30 арван Египетийн тохой ашиглан барьсан.[ 1 ]

3, 4, гипотенуз 5 бүхий тэгш өнцөгт гурвалжинг Египетийн гурвалжин гэнэ. Энэ гурвалжны талбай нь төгс тоо 6-тай тэнцүү байна. Периметр нь 12 бөгөөд энэ тоо нь аз жаргал, хөгжил цэцэглэлтийн бэлгэдэл гэж тооцогддог байв.

Эртний египетчүүд зангилаагаар 12 тэнцүү хэсэгт хуваасан олсыг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжин, тэгш өнцөгт гурвалжин байгуулжээ. Газар дээр перпендикуляр шугам зурахад маркшейдерүүдийн ашигладаг тохиромжтой бөгөөд маш нарийн арга. Та утас, гурван бэхэлгээ авч, утсыг гурвалжин хэлбэрээр байрлуулж, нэг тал нь 3 хэсэг, хоёр дахь нь 4 хэсэг, сүүлчийнх нь ийм таван хэсгээс бүрдэнэ. Утас нь зөв өнцөгтэй гурвалжин хэлбэртэй байх болно.

Энэхүү эртний аргыг олон мянган жилийн өмнө барилгачид хэрэглэж байсан бололтой Египетийн пирамидууд, Пифагорын теоремын дагуу талууд нь 3:4:5 харьцаатай гурвалжин бүр тэгш өнцөгт байна гэсэн баримт дээр үндэслэсэн.

Евклид, Пифагор, Диофант болон бусад олон хүмүүс Пифагорын гурван ихрийг олоход оролцсон.[ 1]

Хэрэв (x, y, z) байх нь ойлгомжтой ) нь Пифагорын гурвалсан, дараа нь ямар ч байгалийн хувьд k гурвалсан (kx, ky, kz) мөн Пифагорын гурвалсан байх болно. Ялангуяа (6, 8, 10), (9, 12, 15) гэх мэт. Пифагорын гурван ихэр юм.

Тоо өсөхийн хэрээр Пифагорын гурван ихэр ховор болж, олоход улам хэцүү болж байна. Пифагорчууд олох аргыг зохион бүтээжээ

ийм гурвалсан ба үүнийг ашигласнаар Пифагорын гурвалсан тоо хязгааргүй олон байдгийг нотолсон.

1-ээс их нийтлэг хүчин зүйлгүй гурвалсан тоог хамгийн энгийн гэж нэрлэдэг.

Пифагорын гурвалсан шинж чанаруудыг авч үзье.[ 1]

Пифагорын теоремын дагуу эдгээр тоо нь тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжны урт болж чаддаг; тиймээс a, b-г “хөл”, в-ийг “гипотенуз” гэж нэрлэдэг.
Хэрэв a, b, c нь Пифагорын тоонуудын гурвалсан бол p нь бүхэл тооны хүчин зүйл болох pa, pb, pc нь Пифагорын тоонууд болох нь тодорхой байна.
Үнэн ба харилцан яриа!
Тиймээс бид эхлээд Пифагорын тооны гурвалсан хэсгийг л судлах болно (Үлдсэнийг нь бүхэл тооны хүчин зүйл p-ээр үржүүлэх замаар олж авна).

Үүнийг тус бүр дээр харуулъя гурав дахин a, b, c"хөл" -ийн нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байх ёстой. Зөрчилдөөнөөр маргъя. Хэрэв "хөл" a ба b хоёулаа тэгш байвал а тоо тэгш болно 2-д 2 + , улмаар "гипотенуз". Гэхдээ энэ нь юутай зөрчилдөж байна тоо a, bба c нь гурван тэгш тоотой тул нийтлэг хүчин зүйл байхгүй нийтлэг үржүүлэгч 2. Иймд а ба б “хөл”-ийн ядаж нэг нь сондгой байна.

Өөр нэг боломж үлдэж байна: "хөл" хоёулаа сондгой, "гипотенуз" нь тэгш байна. Хэрэв "хөл" нь 2 x + 1 ба 2y + 1 хэлбэртэй байвал квадратуудын нийлбэр нь тэнцүү байх тул ийм байж болохгүй гэдгийг батлахад хэцүү биш юм.

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y +1 = 4 (x 2 + x + y 2) + y) +2, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь 4-т хуваагдахад 2-ын үлдэгдэл үлдээдэг тоо юм. тэгш тоо 4-т үлдэгдэлгүй хуваагдах ёстой.

Энэ нь хоёр сондгой тооны квадратуудын нийлбэр нь тэгш тооны квадрат байж болохгүй гэсэн үг юм; өөрөөр хэлбэл, бидний гурван тоо Пифагор биш юм.

ДҮГНЭЛТ:

Тэгэхээр “хөл”-өөс а нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой. Тиймээс тоо a 2-д 2 + сондгой, энэ нь "гипотенуз" нь бас сондгой гэсэн үг юм.

Пифагор орчин үеийн симболизмд дараах байдлаар бичиж болох томъёог олсон: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1, энд n нь бүхэл тоо.

Эдгээр тоонууд нь Пифагорын гурвалсан тоо юм.

Червяк Виталий Геннадьевич

Краснодар муж, Журавская тосгон, МОБУ 14-р дунд сургууль, 9-р анги

Пифагорын тоо

Эрдэм шинжилгээний удирдагч: 14-р дунд сургуулийн математикийн багш Галина Васильевна Манко

Пифагорын тоог олох загварыг гаргах.

Дараахь Пифагорын гурвалсан дүрүүд энд байна.

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

Пифагорын гурвалсан тоо тус бүрийг 2, 3, 4, 5 гэх мэтээр үржүүлбэл дараах гурвалсан тоо гарч байгааг харахад хялбар байдаг.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 гэх мэт.

Эдгээр нь бас Пифагорын тоо юм/

Червяк Виталий Геннадьевич

Краснодар муж, Журавская тосгон, МОБУ 14-р дунд сургууль, 9-р анги

Пифагорын тоо

Эрдэм шинжилгээний удирдагч: 14-р дунд сургуулийн математикийн багш Галина Васильевна Манко

Пифагорын тоонуудын шинж чанарууд.

• Пифагорын тоог харахад би хэд хэдэн шинж чанарыг олж харав.
• 1) Пифагорын тоонуудын нэг нь гурвын үржвэр байх ёстой;
• 2) Нөгөө нэг нь дөрвийн үржвэр байх ёстой;
• 3) Пифагорын тоонуудын гурав дахь нь тавын үржвэр байх ёстой;

Червяк Виталий Геннадьевич

Краснодар муж, Журавская тосгон, МОБУ 14-р дунд сургууль, 9-р анги

Пифагорын тоо

Эрдэм шинжилгээний удирдагч: 14-р дунд сургуулийн математикийн багш Галина Васильевна Манко

Дүгнэлт.

Геометр нь бусад шинжлэх ухааны нэгэн адил практикийн хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй юм. "Геометр" гэдэг үг нь өөрөө Грек хэлнээс гаралтай бөгөөд "газар хэмжилт" гэсэн утгатай.

Хүмүүс газар нутгийг хэмжих хэрэгцээтэй эрт тулгарч байсан. МЭӨ 3-4 мянган жилийн өмнө. Нил, Евфрат, Тигр мөрний хөндий, Хятадын гол мөрөн дэх үржил шимт газар бүр нь хүмүүсийн амьдралд чухал ач холбогдолтой байв. Үүнд геометрийн болон арифметикийн тодорхой хэмжээний мэдлэг шаардагдана.

Аажмаар хүмүүс илүү төвөгтэй геометрийн хэлбэрийн шинж чанарыг хэмжиж, судалж эхлэв.

Египет болон Вавилонд хоёуланд нь асар том сүм хийдүүд баригдсан бөгөөд барилгын ажлыг зөвхөн урьдчилсан тооцооны үндсэн дээр хийх боломжтой байв. Мөн ус дамжуулах шугам хоолой барьсан. Энэ бүхэн зураг, тооцоолол хийх шаардлагатай байв. Энэ үед Пифагорын теоремын онцгой тохиолдлууд нь аль хэдийн мэдэгдэж байсан бөгөөд хэрэв бид x, y, z талуудтай гурвалжинг авбал x, y, z нь бүхэл тоонууд болно; x 2 + y 2 = z 2 , тэгвэл эдгээр гурвалжин тэгш өнцөгт байх болно.

Энэ бүх мэдлэгийг хүний ​​амьдралын олон салбарт шууд хэрэглэж байсан.

Ийнхүү өнөөг хүртэл эртний эрдэмтэн, гүн ухаантан Пифагорын агуу нээлт бидний амьдралд шууд хэрэглэгдэж байна.

Байшин барих, зам барих, сансрын хөлөг, машин, машин хэрэгсэл, газрын тос дамжуулах хоолой, онгоц, хонгил, метро болон бусад олон зүйл. Пифагорын гурвалсан хүүхдүүд бидний өдөр тутмын амьдралд бидний эргэн тойронд байдаг олон зүйлийн дизайнд шууд хэрэглэгддэг.

Эрдэмтдийн оюун ухаан Пифагорын теоремыг батлах шинэ хувилбаруудыг эрэлхийлсээр байна.

• IN Ажлынхаа үр дүнд би дараахь зүйлийг хийж чадсан.
• 1. Пифагор, түүний амьдрал, Пифагорын ахан дүүсийн талаар илүү ихийг мэдэж аваарай.
• 2. Пифагорын теоремын түүхтэй танилцах.
• 3. Пифагорын тоо, тэдгээрийн шинж чанаруудын талаар олж мэдэх, тэдгээрийг олж сурах, практик үйл ажиллагаанд ашиглах.

Червяк Виталий Геннадьевич

Краснодар муж, Журавская тосгон, МОБУ 14-р дунд сургууль, 9-р анги

Пифагорын тоо

Эрдэм шинжилгээний удирдагч: 14-р дунд сургуулийн математикийн багш Галина Васильевна Манко

Уран зохиол.

1. Хөгжилтэй алгебр. Я.И. Перелман (х.117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Аносов Д.В. Математик болон түүнээс ямар нэг зүйлийг харах. - М.: МТСНМО, 2003 он.

5. Хүүхдийн нэвтэрхий толь бичиг. – М .: РСФСР-ын Сурган хүмүүжүүлэх шинжлэх ухааны академийн хэвлэлийн газар, 1959 он.

6. Степанова Л.Л. Энгийн тооны онолын сонгосон бүлгүүд. - М .: Прометей, 2001.

7. В.Сиерпински Пифагорын гурвалжин. - М.: Учпэдгиз, 1959. С.111

Судалгааны явц Түүхэн хуудас; Пифагорын теорем; "Хөл"-ийн аль нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байх ёстойг батлах; Пифагорын тоог олох загварыг гаргах; Пифагорын тоонуудын шинж чанарыг илчлэх;

Танилцуулга Би тавдугаар ангийн математикийн хичээл дээр Пифагор болон түүний амьдралын талаар сонсож, "Пифагорын өмд бүх талаараа тэнцүү" гэсэн хэллэгийг сонирхож байсан. Пифагорын теоремыг судалж байхдаа би Пифагорын тоог сонирхож эхэлсэн. Би судалгааныхаа зорилгыг тавьсан: Пифагорын теорем болон "Пифагорын тоо"-ны талаар илүү ихийг мэдэх.

Байна мөнхийн үнэнСул дорой хүн түүнийг хэр хурдан таних вэ! Одоо Пифагорын теорем нь түүний алс холын насных шиг үнэн юм

Пифагорын тоонуудын түүхээс. Эртний Хятадын Математикийн ном Чу-пэй: "Хэрэв зөв өнцгийг түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах юм бол суурь нь 3, өндөр нь 4 байхад талуудын төгсгөлийг холбосон шугам 5 болно."

Эртний Египетчүүдийн дунд Пифагорын тоонууд Кантор (Германы математикийн хамгийн том түүхч) 3² + 4² = 5² тэгш байдлыг МЭӨ 2300 оны үед египетчүүдэд аль хэдийн мэддэг байсан гэж үздэг. д., Аменемхет хааны үед (Берлиний музейн 6619 папирусын дагуу). Канторын хэлснээр, харпедонаптууд буюу "олс татагч" нь 3 талтай тэгш өнцөгт гурвалжныг ашиглан зөв өнцгийг барьсан; 4 ба 5.

Вавилон дахь Пифагорын теорем “Талес, Пифагор, Пифагорчууд зэрэг Грекийн анхны математикчдын гавьяа бол математикийн нээлт биш, харин түүнийг системчлэх, зөвтгөх явдал юм. Тэдний гарт тодорхойгүй санаан дээр үндэслэсэн тооцооллын жор яг нарийн шинжлэх ухаан болсон."

Алдарт Пифагорын теоремын дагуу талууд нь 3:4:5 харьцаатай гурвалжин бүр тэгш өнцөгт хэлбэртэй, учир нь 3 2 + 4 2 = 5 2. 3,4, 5 тоонуудаас гадна , мэдэгдэж байгаачлан A 2 + в 2 = с 2 харьцааг хангадаг хязгааргүй тооны эерэг бүхэл тоо a , в ба с. Эдгээр тоог Пифагорын тоо гэж нэрлэдэг.

Пифагорын теоремын дагуу эдгээр тоо нь тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжны урт болж чаддаг; тиймээс a, b-г “хөл”, в-ийг “гипотенуз” гэж нэрлэдэг. Хэрэв a, b, c нь Пифагорын тоонуудын гурвалсан бол p нь бүхэл тооны хүчин зүйл болох pa, pb, pc нь Пифагорын тоонууд болох нь тодорхой байна. Эсрэг мэдэгдэл нь бас үнэн юм! Тиймээс, бид эхлээд Пифагорын тооны гурав дахин ихийг судлах болно (Үлдсэнийг нь бүхэл тооны хүчин зүйлээр үржүүлэх замаар олж авна).

Дүгнэлт! Тэгэхээр a, b тоонуудын нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байгаа нь гурав дахь тоо сондгой гэсэн үг.

Дараахь Пифагорын гурвалсанууд энд байна: 3, 4, 5; 9+16=25. 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

Пифагорын гурвалсан тоо тус бүрийг 2, 3, 4, 5 гэх мэтээр үржүүлбэл дараах гурвалсан тоо гарч байгааг харахад хялбар байдаг. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 гэх мэт. Эдгээр нь мөн Пифагорын тоо юм

Пифагорын тоонуудын шинж чанарууд Пифагорын тоонуудыг авч үзэхэд би хэд хэдэн шинж чанарыг олж харсан: 1) Пифагорын тоонуудын нэг нь гурвын үржвэр байх ёстой; 2) тэдгээрийн нэг нь дөрвийн үржвэр байх ёстой; 3) Пифагорын өөр нэг тоо нь тавын үржвэр байх ёстой;

Пифагорын тоонуудын практик хэрэглээ

Дүгнэлт: Миний ажлын үр дүнд би 1. Пифагор, түүний амьдрал, Пифагорын ахан дүүсийн талаар илүү ихийг мэдэж авсан. 2. Пифагорын теоремын түүхтэй танилцах. 3. Пифагорын тоо, тэдгээрийн шинж чанаруудын талаар олж мэдэх, тэдгээрийг олж сурах. Пифагорын тоог ашиглан туршилтаар зөв өнцгийг зурах.

Дараа нь бид Пифагорын гурвалсан үр дүнтэй үүсгэх алдартай аргуудыг авч үзэх болно. Пифагорын шавь нар анх удаа Пифагорын гурвалсан хэсгүүдийг төлөөлөх томьёог ашиглан Пифагорын гурвыг үүсгэх энгийн аргыг зохион бүтээжээ.

м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ((м 2 + 1)/2) 2 ,

Хаана м- хосгүй, м>2. Үнэхээр,

4м 2 + м 4 − 2м 2 + 1
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((м 2 + 1)/2) 2 .
4

Үүнтэй төстэй жорыг санал болгосон эртний Грекийн гүн ухаантанПлатон:

(2м) 2 + (м 2 − 1) 2 = (м 2 + 1) 2 ,

Хаана м- дурын тоо. Учир нь м= 2,3,4,5-д дараах гурвалсан тоо үүснэ.

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Бидний харж байгаагаар эдгээр томьёо нь бүх боломжит анхдагч гурвалсан тоог өгч чадахгүй.

Дараах олон гишүүнтийг авч үзье, үүнийг олон гишүүнтийн нийлбэр болгон өргөжүүлж болно.

(2м 2 + 2м + 1) 2 = 4м 4 + 8м 3 + 8м 2 + 4м + 1 =
=4м 4 + 8м 3 + 4м 2 + 4м 2 + 4м + 1 = (2м(м+1)) 2 + (2м +1) 2 .

Тиймээс анхдагч гурвыг олж авах дараах томъёонууд:

а = 2м +1 , б = 2м(м+1) = 2м 2 + 2м , в = 2м 2 + 2м + 1.

Эдгээр томьёо нь дундаж тоо нь хамгийн их тооноос яг нэгээр ялгаатай гурвалсан тоонуудыг үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл бүх боломжит гурвалсан тоо ч үүсдэггүй. Энд эхний гурвууд нь тэнцүү байна: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Бүх анхдагч гурвалсан төрлийг хэрхэн үүсгэхийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн шинж чанарыг судлах хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, хэрэв ( a,b,c) нь анхдагч гурвалсан, тэгвэл аТэгээд б, бТэгээд в, АТэгээд в- харьцангуй анхдагч байх ёстой. Болъё аТэгээд бгэж хуваагддаг г. Дараа нь а 2 + б 2 - мөн хуваагдана г. тус тус, в 2 ба в-д хуваагдах ёстой г. Энэ бол анхдагч гурав биш юм.

Хоёрдугаарт, тоонуудын дунд а, бнэг нь хосолсон, нөгөө нь хосгүй байх ёстой. Үнэхээр, хэрэв аТэгээд б- тэгвэл хосолсон -тайхосолсон байх бөгөөд тоонуудыг дор хаяж 2-т хувааж болно. Хэрэв хоёулаа хосгүй бол 2-оор төлөөлж болно. к+1 би 2 л+1, хаана к,л- зарим тоо. Дараа нь а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+1+4л 2 +4л+1, өөрөөр хэлбэл, -тай 2, гэх мэт а 2 + б 2-ыг 4-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл гарна.

Болъё -тай- дурын тоо, өөрөөр хэлбэл -тай = 4к+би (би=0,…,3). Дараа нь -тай 2 = (4к+би) 2 нь 0 эсвэл 1 үлдэгдэлтэй ба үлдэгдэл 2 байж болохгүй. аТэгээд бсалгах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+4л 2 +4л+1 ба хэсгийн үлдсэн хэсэг -тай 2-оос 4 нь 1 байх ёстой, энэ нь гэсэн үг -тайхосгүй байх ёстой.

Пифагорын гурвалсан элементүүдэд тавигдах ийм шаардлагыг дараах тоонууд хангаж байна.

а = 2mn, б = м 2 − n 2 , в = м 2 + n 2 , м > n, (2)

Хаана мТэгээд n- янз бүрийн хосолсон харьцангуй анхдагч. Эдгээр хамаарал нь анх 2300 онд амьдарч байсан Евклидийн бүтээлүүдээс тодорхой болсон. буцаж.

(2) хамаарлын үнэн зөвийг баталцгаая. Болъё А- тэгвэл хосолсон бТэгээд в- хосгүй. Дараа нь в + бби в − б- хосолсон. Тэдгээрийг төлөөлж болно в + б = 2уТэгээд в − б = 2v, Хаана у,v- зарим бүхэл тоо. Тийм ч учраас

а 2 = -тай 2 − б 2 = (в + б)(в − б) = 2у·2 v = 4uv

Тиймээс ( а/2) 2 = uv.

Үүний эсрэгээр нотлогдож болно уТэгээд v- харилцан энгийн. Болъё уТэгээд v- хуваагдана г. Дараа нь ( в + б) ба ( в − б) гэж хуваагдана г. Гэх мэт вТэгээд б-д хуваагдах ёстой г, мөн энэ нь Пифагорын гурвалсан нөхцөлтэй зөрчилдөж байна.

Учир нь uv = (а/2) 2 ба уТэгээд vхарьцангуй анхдагч бол үүнийг батлахад амархан уТэгээд vзарим тооны квадратууд байх ёстой.

Тиймээс эерэг бүхэл тоонууд байдаг мТэгээд n, ийм у = м 2 ба v = n 2. Дараа нь

А 2 = 4uv = 4м 2 n 2 тийм
А = 2mn; б = у − v = м 2 − n 2 ; в = у + v = м 2 + n 2 .

Учир нь б> 0, тэгвэл м > n.

Үүнийг харуулах л үлдлээ мТэгээд nөөр өөр хослолтой. Хэрэв мТэгээд n- тэгвэл хосолсон уТэгээд vхосолсон байх ёстой, гэхдээ энэ нь боломжгүй, учир нь тэдгээр нь харьцангуй сайн байдаг. Хэрэв мТэгээд n- хосгүй, тэгвэл б = м 2 − n 2 ба в = м 2 + n 2-ыг хослуулах болно, энэ нь боломжгүй юм вТэгээд б- харилцан энгийн.

Тиймээс аливаа анхдагч Пифагорын гурвалсан нөхцөл (2) хангагдсан байх ёстой. Үүний зэрэгцээ тоонууд мТэгээд nгэж нэрлэдэг тоо үүсгэханхдагч гурван ихэрүүд. Жишээлбэл, Пифагорын анхдагч гурвалсан (120,119,169) байцгаая. Энэ тохиолдолд

А= 120 = 2·12·5, б= 119 = 144 − 25, мөн в = 144+25=169,

Хаана м = 12, n= 5 - тоо үүсгэх, 12 > 5; 12 ба 5 нь харилцан анхны бөгөөд өөр хосууд юм.

Үүний эсрэгээр тоонууд нотлогдож болно м, n(2) томъёог ашиглан тэд анхдагч Пифагорын гурвалсан (a,b,c) өгдөг. Үнэхээр,

А 2 + б 2 = (2mn) 2 + (м 2 − n 2) 2 = 4м 2 n 2 + (м 4 − 2м 2 n 2 + n 4) =
= (м 4 + 2м 2 n 2 + n 4) = (м 2 + n 2) 2 = в 2 ,

Энэ нь ( а,б,в) нь Пифагорын гурвалсан юм. Энэ тохиолдолд үүнийг нотолж үзье а,б,внь эсрэгээрээ анхны тоонууд юм. Эдгээр тоонууд хуваагддаг байг х> 1. Түүнээс хойш мТэгээд nтэгвэл өөр өөр хосууд байна бТэгээд в- хосгүй, өөрөөр хэлбэл х≠ 2. Түүнээс хойш rхуваадаг бТэгээд в, Тэр r 2 хуваах ёстой м 2 ба 2 n 2, гэхдээ энэ боломжгүй, учир нь х≠ 2. Тиймээс м, n- харилцан үндсэн ба а,б,в- бас харьцангуй энгийн.

Хүснэгт 1-д (2)-ын томъёог ашиглан үүсгэсэн бүх анхдагч Пифагор гурвыг харуулав м≤10.

Хүснэгт 1. Анхдагч Пифагорын гурвалсан м≤10

м	n	а	б	в	м	n	а	б	в
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Энэ хүснэгтийн дүн шинжилгээ нь дараахь хэв маягийн цуврал байгааг харуулж байна.

• эсвэл а, эсвэл б 3-т хуваагдах;
• тоонуудын нэг а,б,в 5-д хуваагддаг;
• тоо А 4-т хуваагддаг;
• ажил а· б 12-т хуваагддаг.

1971 онд Америкийн математикч Тейган, Хедвин нар гурвалжинг үүсгэхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр гэх мэт бага мэддэг параметрүүдийг санал болгосон. h = в− b ба илүүдэл (амжилт) д = а + б − в. 1-р зурагт. Эдгээр хэмжигдэхүүнийг тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжин дээр харуулав.

Зураг 1. Тэгш өнцөгт гурвалжин ба түүний өсөлт ба илүүдэл

"Илүүдэл" гэсэн нэр нь гурвалжны хөлийн дагуу нэг оройноос эсрэг тал хүртэл, хэрэв диагональ дагуу явахгүй бол нэмэлт зайг туулах ёстой гэсэн үгнээс гаралтай.

Пифагорын гурвалжны хажуугийн илүүдэл ба өсөлтийг дараахь байдлаар илэрхийлж болно.

д 2 д 2
а = h + д, б = д + ——, в = h + д + ——, (3)
2h 2h

Бүх хослол биш hТэгээд дПифагорын гурвалжинтай тохирч болно. Өгөгдсөний төлөө hболомжит утгууд дтодорхой тооны бүтээгдэхүүн юм г. Энэ тоо гөсөлтийн нэртэй бөгөөд хамааралтай hдараах байдлаар: гквадрат нь 2-т хуваагддаг хамгийн жижиг эерэг бүхэл тоо юм h. Учир нь долон г, дараа нь гэж бичнэ д = кд, Хаана кэерэг бүхэл тоо юм.

хос ашиглах ( к,h) та бүх зүйлийг үүсгэж болно Пифагорын гурвалжин, түүний дотор анхдагч бус болон ерөнхийд нь дараах байдлаар:

(dk) 2 (dk) 2
а = h + dk, б = dk + ——, в = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Түүнээс гадна хэрэв гурвалсан бол команд юм кТэгээд hхарьцангуй анхдагч ба хэрэв h =± q 2 цагт q- хосгүй.
Түүнээс гадна, хэрэв энэ нь яг Пифагорын гурвалсан байх болно к> √2· h/гТэгээд h > 0.

олохын тулд кТэгээд h-аас ( а,б,в), дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ.

• h = в − б;
• бичих hЯаж h = pq 2 хаана х> 0 ба дөрвөлжин биш;
• г = 2pqХэрэв х- хосгүй ба г = pq, хэрэв p хосолсон бол;
• к = (а − h)/г.

Жишээлбэл, гурвалсан (8,15,17) хувьд бидэнд байна h= 17−15 = 2 1, тэгэхээр х= 2 ба q = 1, г= 2, ба к= (8 − 2)/2 = 3. Тэгэхээр энэ гурвалсан тоог ( к,h) = (3,2).

Гурвалсан (459,1260,1341) бидэнд байна h= 1341 − 1260 = 81, тэгэхээр х = 1, q= 9 ба г= 18, эндээс к= (459 − 81)/18 = 21 тул энэ гурвалсан код нь ( к,h) = (21, 81).

Гурвалсан хүүхдийг тохируулах hТэгээд кхэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Параметр ктэнцүү байна

к = 4С/(dP), (5)

Хаана С = ab/2 нь гурвалжны талбай, ба П = а + б + в- түүний периметр. Энэ нь тэгш байдлаас үүдэлтэй eP = 4С, энэ нь Пифагорын теоремоос үүдэлтэй.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дгурвалжинд сийлсэн тойргийн диаметртэй тэнцүү байна. Энэ нь гипотенузаас үүдэлтэй -тай = (А − r)+(б − r) = а + б − 2r, Хаана r- тойргийн радиус. Эндээс h = в − б = А − 2rТэгээд д = а − h = 2r.

Учир нь h> 0 ба к > 0, кгурвалсаны дарааллын тоо юм а-б-внэмэгдэж байгаа Пифагор гурвалжны дарааллаар h. Хосоор үүсгэгдсэн гурвалсан хүүхдийн хэд хэдэн сонголтыг харуулсан Хүснэгт 2-оос h, к, нэмэгдэж байгаа нь тодорхой байна кгурвалжны талуудын хэмжээ нэмэгддэг. Тиймээс сонгодог дугаарлалтаас ялгаатай нь хосоор дугаарлах h, кгурвалсан дарааллаар илүү дараалалтай байна.

Хүснэгт 2. h, k хосоор үүсгэгдсэн Пифагорын гурвалсан.

h	к	а	б	в	h	к	а	б	в
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Учир нь h > 0, г 2√ тэгш бус байдлыг хангана h ≤ г ≤ 2h, доод хязгаарт хүрсэн байна х= 1, хамгийн дээд нь - at q= 1. Тиймээс утга г 2√-тай харьцуулахад hгэдэг нь хичнээн тооны тоог илэрхийлдэг хэмжүүр юм hтодорхой тооны квадратаас алслагдсан.

"Бүсийн боловсролын төв"

Арга зүйн хөгжил

Шийдвэрлэхдээ Пифагорын гурвыг ашиглах

Улсын нэгдсэн шалгалтын геометрийн бодлого, тригонометрийн даалгавар

Калуга, 2016 он

I. Оршил

Пифагорын теорем бол геометрийн гол, тэр ч байтугай хамгийн чухал теоремуудын нэг юм. Үүний ач холбогдол нь геометрийн теоремуудын ихэнхийг үүнээс эсвэл түүний тусламжтайгаар гаргаж авах боломжтойд оршдог. Пифагорын теорем нь өөрөө огт илэрхий биш учраас бас гайхалтай юм. Жишээлбэл, өмч тэгш өнцөгт гурвалжинзураг дээрээс шууд харж болно. Гэхдээ та тэгш өнцөгт гурвалжинг хичнээн харсан ч түүний талуудын хооронд ийм энгийн харилцаа байгааг та хэзээ ч харахгүй. a2+b2=c2. Гэсэн хэдий ч түүний нэрийг авсан теоремыг Пифагор нээсэнгүй. Энэ нь бүр эрт мэдэгдэж байсан, гэхдээ магадгүй зөвхөн хэмжилтээс гарсан баримт юм. Пифагор үүнийг мэддэг байсан ч нотлох баримт олсон байх.

Тоолж баршгүй олон натурал тоо байдаг a, b, c, харилцааг хангаж байна a2+b2=c2.. Тэдгээрийг Пифагорын тоо гэж нэрлэдэг. Пифагорын теоремын дагуу ийм тоонууд нь тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын урт болж чаддаг - бид тэдгээрийг Пифагорын гурвалжин гэж нэрлэх болно.

Ажлын зорилго:Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд Пифагорын гурвыг ашиглах боломж, үр нөлөөг судлах сургуулийн курсматематик, Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар.

Ажлын зорилгод үндэслэн дараахь зүйлийг тогтооно. даалгавар:

Пифагорын гурван ихэрүүдийн түүх, ангиллыг судлах. Сургуулийн сурах бичигт байгаа, Улсын нэгдсэн шалгалтын тест, хэмжилтийн материалаас олдсон Пифагорын гурвалсан утгыг ашиглан асуудлыг шинжлэх. Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд Пифагорын гурвалсан тоо, тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах үр нөлөөг үнэлэх.

Судалгааны объект: Пифагорын гурвалсан тоо.

Судалгааны сэдэв: Пифагорын гурвалсан тригонометр, геометрийн сургуулийн хичээлийн асуудлууд.

Судалгааны хамаарал. Пифагорын гурвалсан дүрсийг ихэвчлэн геометр, тригонометрт ашигладаг.

II. Үндсэн хэсэг. Пифагорын гурвалсан тоог ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх.

2.1.Пифагорын тооны гурвалсан хүснэгт (Перелманы хэлснээр)

Пифагорын тоонууд нь хэлбэртэй байдаг а= m·n, , энд m ба n нь харьцангуй анхны сондгой тоонууд юм.

Пифагорын тоонууд нь хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг.

"Хөл" -ийн нэг нь гурвын үржвэр байх ёстой.

"Хөл" -ийн нэг нь дөрвийн үржвэр байх ёстой.

Пифагорын тоонуудын нэг нь тавын үржвэр байх ёстой.

"Зөөлөн алгебр" номонд нийтлэг хүчин зүйлгүй зуу хүртэлх тоог агуулсан Пифагорын гурвалсан хүснэгтийг багтаасан болно.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Шустровын дагуу Пифагорын гурвалсан ангилал.

Шустров дараах загварыг нээсэн: хэрвээ бүх Пифагор гурвалжныг бүлгүүдэд хуваарилсан бол сондгой хөл x, тэгш у ба гипотенуз z-ийн хувьд дараахь томъёолол хүчинтэй байна.

x = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n·(n+2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2, энд N нь гэр бүлийн тоо, n нь гэр бүлийн гурвалжны серийн дугаар юм.

N ба n-ийн томьёонд нэгээс эхлэн дурын эерэг бүхэл тоог орлуулснаар та Пифагорын бүх үндсэн гурвалсан тоо, мөн тодорхой төрлийн үржвэрийг авч болно. Та бүх Пифагорын гурвалсан ширээг гэр бүл бүрт зориулж хийж болно.

2.3. Планиметрийн асуудлууд

Геометрийн янз бүрийн сурах бичгүүдийн бодлогуудыг харцгаая, эдгээр даалгавруудад Пифагорын гурвалсан тоо хэр олон удаа гарч ирдэг болохыг олж мэдье. Пифагорын гурвалсан хүснэгтээс гурав дахь элементийг олоход зориулсан өчүүхэн асуудлуудыг бид авч үзэхгүй, гэхдээ тэдгээр нь сурах бичигт байдаг. Өгөгдөл нь илэрхийлэгдээгүй асуудлын шийдлийг хэрхэн багасгахыг бид харуулах болно натурал тоонууд, Пифагорын гурван ихэрт.

7-9-р ангийн геометрийн сурах бичгээс бодлого авч үзье.

№ 000. Хөлийг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузыг ол А=, б=.

Шийдэл. Хөлний уртыг 7-оор үржүүлье, бид Пифагорын гурвалсан 3 ба 4-ээс хоёр элементийг авна. Алга болсон элемент нь 5, бид үүнийг 7-д хуваана. Хариулт.

№ 000. ABCD тэгш өнцөгт дээр CD=1.5, AC=2.5 бол BC-ийг ол.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" өргөн "240" өндөр "139 src=">

Шийдэл. ACD тэгш өнцөгт гурвалжинг шийд. Бид уртыг 2-оор үржүүлж, Пифагорын гурвалсан 3 ба 5-аас хоёр элементийг олж авдаг, алга болсон элемент нь 4, бид 2-оор хуваагдана. Хариулт: 2.

Дараагийн тоог шийдэхдээ харьцааг шалгана уу a2+b2=c2Энэ нь бүрэн сонголттой бөгөөд Пифагорын тоо, тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглахад хангалттай.

№ 000. Гурвалжин талуудыг тоогоор илэрхийлбэл зөв өнцөгтэй эсэхийг олж мэд.

a) 6,8,10 (Пифагорын гурвалсан 3,4.5) - тийм;

Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөл нь 4-т хуваагдах ёстой. Хариулт: үгүй.

в) 9,12,15 (Пифагорын гурвалсан 3,4.5) – тийм;

d) 10,24,26 (Пифагорын гурвалсан 5,12.13) - тийм;

Пифагорын тоонуудын нэг нь тавын үржвэр байх ёстой. Хариулт: үгүй.

g) 15, 20, 25 (Пифагорын гурвалсан 3,4.5) - тийм.

Энэ хэсгийн гучин есөн даалгавраас (Пифагорын теорем) хорин хоёрыг нь Пифагорын тоо, тэдгээрийн шинж чанарын мэдлэгийг ашиглан амаар шийддэг.

000-р даалгаврыг авч үзье ("Нэмэлт даалгавар" хэсгээс):

AB=5см, BC=13см, CD=9см, DA=15см, AC=12см байх ABCD дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Асуудлын хувьд та харилцаа холбоог шалгах хэрэгтэй a2+b2=c2өгөгдсөн дөрвөлжин нь хоёр тэгш өнцөгт гурвалжнаас тогтдогийг батлах ( эсрэг теорем). Мөн Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийн тухай мэдлэг: 3, 4, 5 ба 5, 12, 13 нь таныг тооцооллоос аврах болно.

Бид 7-9-р ангийн геометрийн сурах бичгээс хэд хэдэн асуудлын шийдлийг толилуулж байна.

Бодлого 156 (h). Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүд нь 9 ба 40. Гипотенуз руу татсан медианыг ол.

Шийдэл . Гипотенуз руу татсан медиан нь түүний хагастай тэнцүү байна. Пифагорын гурвалсан нь 9,40 ба 41. Тиймээс медиан нь 20.5 байна.

Асуудал 156 (i). Гурвалжны талууд тэнцүү байна: А= 13 см, b = 20 см ба өндөр hс = 12 см Суурийг ол -тай.

Даалгавар ( KIMS улсын нэгдсэн шалгалт). Бичсэн тойргийн радиусыг ол хурц гурвалжин ABC, хэрэв BH өндөр нь 12 бөгөөд энэ нь мэдэгдэж байгаа бол нүгэл А=,sin С=left">

Шийдэл.Бид тэгш өнцөгт ∆ ASK-ыг шийднэ: sin A=, BH=12, иймээс AB=13,AK=5 (Пифагорын гурвалсан 5,12,13). Бид тэгш өнцөгт ∆ ВСH: ВH =12, нүгэл С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9-ийг шийднэ. (Пифагорын гурвалсан 3,4,5).Радиусыг r ===4 томъёогоор олно.

2.4. Тригонометрт Пифагорын гурвалсан

Тригонометрийн үндсэн ижилсэл нь Пифагорын теоремын онцгой тохиолдол юм: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Иймд тригонометрийн зарим бодлогуудыг Пифагорын гурвалсан дүрсийг ашиглан амаар амархан шийдэж болно.

Функцийн өгөгдсөн утгыг ашиглан үлдсэн функцүүдийн утгыг олох шаардлагатай асуудлууд тригонометрийн функцууд, квадрат язгуур авахгүйгээр шийдэж болно. Мордковичийн (№ 000-№ 000) сургуулийн алгебрийн сурах бичигт (10-11) энэ төрлийн бүх ажлыг амаар шийдэж, хэдхэн Пифагорын гурвыг мэддэг: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Хоёр даалгаврын шийдлийг авч үзье.

дугаар 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Шийдэл. Пифагорын гурвалсан: 3, 4, 5. Тиймээс cos t = -3/5; бор t = -4/3,

дугаар 000 b). tan t = 2.4, π< t < 3π/2.

Шийдэл. tg t = 2.4=24/10=12/5. Пифагорын гурвалсан 5,12,13. Шинж тэмдгүүдийг харгалзан бид sin t = -12/13, cos t = -5/13, cot t = 5/12-ыг авна.

3. Улсын нэгдсэн шалгалтын туршилт, хэмжих материал

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

б) нүгэл (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

в) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) =9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 тг (π–арксин (–3/5))= 4/3 тг (π+арксин 3/5)= 4/3 тг арксин 3/5=4/3 3/4=1

е) тэгш байдлыг шалгах:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Шийдэл. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

нүгэл (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = нүгэл (arсcos 16/65)

нүгэл (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Дүгнэлт

IN геометрийн асуудлуудИхэнхдээ та тэгш өнцөгт гурвалжинг, заримдаа хэд хэдэн удаа шийдэх хэрэгтэй болдог. Даалгавруудад дүн шинжилгээ хийсний дараа сургуулийн сурах бичигТэгээд Улсын нэгдсэн шалгалтын материал, бид гурвалсан хүүхдүүдийг голчлон ашигладаг гэж дүгнэж болно: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; санахад хялбар байдаг. Зарим тригонометрийн бодлого бодохдоо сонгодог шийдэлашиглан тригонометрийн томъёоолон тооны тооцоололд цаг хугацаа шаардагдах бөгөөд Пифагорын гурвалсан байдлын талаархи мэдлэг нь тооцооллын алдааг арилгаж, Улсын нэгдсэн шалгалтанд илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд цаг хэмнэх болно.

Ном зүй

1. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-11 анги. 14 цагт 2-р хэсэг. Асуудлын ном боловсролын байгууллагууд/ [гэх мэт]; засварласан . – 8 дахь хэвлэл, устгасан. – М.: Мнемосин, 2007. – 315 х. : өвчтэй.

2. Перелман алгебр. – Д.: VAP, 1994. – 200 х.

3. Рогановский: Сурах бичиг. 7-9-р ангийн хувьд. гүнтэй ерөнхий боловсролын математикийн чиглэлээр суралцах. сургууль орос хэлнээс хэл сургалт, - 3-р хэвлэл. - Mn.; Нар. Асвета, 2000. – 574 х.: өвчтэй.

4. Математик: Түүх, арга зүй, дидактикийн чиглэлээр уншигч. / Comp. . – М.: URAO хэвлэлийн газар, 2001. – 384 х.

5. “Сургууль дахь математик” сэтгүүл 1965 оны №1.

6. Улсын нэгдсэн шалгалтын туршилт, хэмжих материал.

7. Геометр, 7-9: Сурах бичиг. ерөнхий боловсролын байгууллагуудын хувьд / гэх мэт - 13-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2003. – 384 х. : өвчтэй.

8. Геометр: Сурах бичиг. 10-11 ангийн хувьд. дундаж сургууль/ гэх мэт – 2-р хэвлэл. – М.: Боловсрол, 1993, - 207 х.: өвчтэй.

Перелман алгебр. – Д.: VAP, 1994. – 200 х.

"Сургуулийн математик" сэтгүүл 1965 оны №1.

Геометр, 7-9: Сурах бичиг. ерөнхий боловсролын байгууллагуудын хувьд / гэх мэт - 13-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2003. – 384 х. : өвчтэй.

Рогановский: Сурах бичиг. 7-9-р ангийн хувьд. гүнтэй ерөнхий боловсролын математикийн чиглэлээр суралцах. сургууль орос хэлнээс хэл сургалт, - 3-р хэвлэл. - Mn.; Нар. Асвета, 2000. – 574 х.: өвчтэй.

Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-11 анги. 2 цагт 2-р хэсэг. Боловсролын байгууллагуудад зориулсан асуудлын ном / [болон бусад]; засварласан . – 8 дахь хэвлэл, устгасан. – М .: Mnemosyne, 2007. – 315 х. : өвчтэй, х.18.

Боловсролын: Пифагорын хэд хэдэн гурвыг судалж, тэдгээрийг ашиглах алгоритмыг боловсруул өөр өөр нөхцөл байдал, тэдгээрийн ашиглалтын талаар сануулагч үүсгэх.

Боловсролын: сурах ухамсартай хандлагыг төлөвшүүлэх, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх, боловсролын ажлын соёл.

Хөгжлийн: геометрийн, алгебрийн болон тоон зөн совин, оюун ухаан, ажиглалт, санах ойг хөгжүүлэх.

Хичээлийн явц

I. Зохион байгуулалтын мөч

II. Шинэ материалын тайлбар

Багш: Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийн дур булаам хүчний нууц нь хүн төрөлхтний санааг зовоож ирсэн. Пифагорын гурвалсан хосуудын өвөрмөц шинж чанаруудыг тайлбарлаж байна онцгой үүрэгбайгаль, хөгжим, математикт. Пифагорын шившлэг, Пифагорын теорем нь олон сая хүний ​​тархинд, эсвэл хэдэн тэрбум хүний ​​тархинд үлджээ. Энэ бол сургуулийн сурагч бүр цээжлэхээс өөр аргагүй болсон үндсэн теорем юм. Хэдийгээр Пифагорын теоремыг арван жилийн хүүхдүүд ойлгох боломжтой ч математикийн түүхэн дэх хамгийн агуу оюун ухаантнууд Фермагийн теоремыг шийдэж чадаагүй асуудлын урам зоригтой эхлэл юм. Самос арлын Пифагор (үзнэ үү. Хавсралт 1 , слайд 4) математикийн хамгийн нөлөө бүхий боловч нууцлаг хүмүүсийн нэг байсан. Түүний амьдрал, уран бүтээлийн талаар ямар ч найдвартай мэдээлэл хадгалагдаагүй тул түүний амьдрал домог, домогт бүрхэгдсэн бөгөөд түүхчдэд баримтыг уран зохиолоос салгахад хэцүү байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч Пифагор тооны логикийн санааг хөгжүүлсэн бөгөөд бид математикийн анхны алтан үеийг түүнд өртэй гэдэгт эргэлзэх зүйл алга. Түүний суут ухааны ачаар тоо зөвхөн тоолох, тооцоолоход ашиглагдахаа больж, анх удаа үнэлэгдсэн. Пифагор тодорхой ангиллын тоонуудын шинж чанар, тэдгээрийн хоорондын хамаарал, тоог бүрдүүлдэг дүрсүүдийг судалжээ. Пифагор тоо нь материаллаг ертөнцөөс үл хамааран оршдог тул бидний мэдрэхүйн алдаа тоонуудын судалгаанд нөлөөлдөггүй гэдгийг ойлгосон. Энэ нь Пифагор хэн нэгний үзэл бодол, өрөөсгөл үзлээс үл хамааран үнэнийг олж мэдэх чадварыг олж авсан гэсэн үг юм. Үнэн бол өмнөх мэдлэгээс илүү үнэмлэхүй. Пифагорын гурвалсан байдлын талаар судалсан уран зохиолд үндэслэн бид тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд Пифагорын гурвалсан тоог ашиглах боломжийг сонирхох болно. Тиймээс бид Пифагорын хэд хэдэн гурвалсан гурвыг судалж, ашиглах алгоритмыг боловсруулж, тэдгээрийн ашиглалтын тухай санамж бичгийг эмхэтгэж, янз бүрийн нөхцөл байдалд ашиглах талаар судалгаа хийх болно.

гурвалжин ( слайд 14), талууд нь Пифагорын тоотой тэнцүү бол тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. Түүнээс гадна аливаа ийм гурвалжин нь герониан, i.e. бүх тал ба талбай нь бүхэл тоо байдаг нэг. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь талуудтай (3, 4, 5) Египетийн гурвалжин юм.

Тоонуудыг (3, 4, 5) 2, 3, 4-өөр үржүүлээд Пифагорын гурвалсан цуваа үүсгэцгээе. Бид Пифагорын гурвалсан цувааг олж аваад хамгийн их тоогоор өсөх дарааллаар эрэмбэлж, анхдагчуудыг сонгоно. .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Хичээлийн явц

1. Даалгавруудыг тойрон эргэцүүлье:

1) Ижил аргументийн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг ашиглан хэрэв бол болохыг ол

гэдэг нь мэдэгдэж байна.

2) Өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг олоорой, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байвал:

3) "Нэмэх томъёо" сэдвээр сургалтын даалгаврын систем

sin = 8/17, cos = 4/5, эхний улирлын өнцөг гэдгийг мэдэж байгаа тул илэрхийллийн утгыг ол.

гэдгийг мэдэж байгаа ба 2-р улирлын өнцөг, sin = 4/5, cos = – 15/17, ол: .

4) "Давхар өнцгийн томъёо" сэдвээр сургалтын даалгаврын систем.

a) Хоёрдугаар улирлын өнцөг нь sin = 5/13 байна. sin2, cos2, tan2, ctg2-г ол.

б) Энэ нь мэдэгдэж байна tg? = 3/4, – гуравдугаар улирлын өнцөг. sin2, cos2, tan2, ctg2-г ол.

в) , 0 гэдгийг мэддэг< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

г) Энэ нь мэдэгдэж байна , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) cos = 3/5, cos = 7/25 гэдгийг мэддэг бол tan( + )-ийг ол, энд ба нь эхний улирлын өнцөг юм.

е) олох , – гуравдугаар улирлын өнцөг.

Бид асуудлыг уламжлалт аргаар үндсэн тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан шийдэж, дараа нь ижил асуудлыг илүү оновчтой байдлаар шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид Пифагорын гурвалсан тоог ашиглан асуудлыг шийдэх алгоритмыг ашигладаг. Пифагорын гурвалсан аргыг ашиглан асуудлыг шийдэх гарын авлагыг бүтээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид синус, косинус, тангенс ба котангенсийн тодорхойлолт, тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тодорхойлолтыг санаж, асуудлын нөхцлөөс хамааран зурж, зөв ​​гурвалжны талууд дээр Пифагорын гурвалжинг зөв байрлуулна ( будаа. 1). Бид харьцааг бичиж, тэмдгүүдийг байрлуулна. Алгоритмыг боловсруулсан.

Зураг 1

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм

Онолын материалыг хянан үзэх (судлах).

Пифагорын анхдагч гурвыг цээжээр мэдэж, шаардлагатай бол шинээр бүтээх боломжтой.

Рационал координаттай цэгүүдэд Пифагорын теоремыг хэрэглээрэй.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг мэдэж, тэгш өнцөгт гурвалжинг зурж, асуудлын нөхцлөөс хамааран Пифагорын гурвалжинг гурвалжны талууд дээр зөв байрлуулах чадвартай байх.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж тэмдгийг тэдгээрийн байршлаас хамааран мэдэж аваарай координатын хавтгай.

Шаардлагатай шаардлага:

1. координатын хавтгайн дөрөвний нэг бүрд синус, косинус, тангенс, котангенс ямар тэмдэг байгааг мэдэх;
2. тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг мэдэх;
3. Пифагорын теоремыг мэддэг, хэрэглэж чаддаг байх;
4. үндсэн тригонометрийн адилтгал, нэмэх томъёо, давхар өнцгийн томъёо, хагас аргументын томъёог мэддэг байх;
5. бууруулах томъёог мэддэг.

Дээрх зүйлийг харгалзан хүснэгтийг бөглөцгөөе ( хүснэгт 1). Энэ нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтын дагуу эсвэл оновчтой координаттай цэгүүдэд Пифагорын теоремыг ашиглан дуусгах ёстой. Энэ тохиолдолд координатын хавтгай дахь байршлаас хамааран синус, косинус, тангенс, котангенсийн тэмдгүүдийг үргэлж санаж байх шаардлагатай.

Хүснэгт 1

		Гурвалсан тоо		нүгэл	cos	тг	ctg
		(3, 4, 5)	Би цаг
		(6, 8, 10)	II хэсэг			-	-
		(5, 12, 13)	III хэсэг	-	-
		(8, 15, 17)	IV хэсэг	-		-	-
		(9, 40, 41)	Би цаг

Учир нь амжилттай ажилТа Пифагорын гурвыг ашиглах зааврыг ашиглаж болно.

Хүснэгт 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Хамтдаа шийдье.

1) Бодлого: cos, tg, ctg, хэрэв sin = 5/13 бол, хэрэв - хоёрдугаар улирлын өнцгийг ол.