Бодит тооны n-р язгуурын тухай ойлголт. Хичээл “Бодит тооны n-р язгуурын тухай ойлголт. Квадрат язгуур, арифметик квадрат язгуур

Баяр хүргэе: өнөөдөр бид 8-р ангийн хамгийн сэтгэл хөдөлгөм сэдвүүдийн нэг болох үндсийг үзэх болно.

Олон хүмүүс язгуурын талаар эргэлздэг нь нарийн төвөгтэй учраас биш (энэ нь хэд хэдэн тодорхойлолт, хэд хэдэн шинж чанар юм), гэхдээ ихэнх сургуулийн сурах бичгүүдэд үндэс нь зөвхөн сурах бичгийг зохиогчид л ийм ширэнгэн ойгоор тодорхойлогддог. өөрсдөө энэ бичвэрийг ойлгож чадна. Тэгээд ч гэсэн ганц шил сайн вискитэй. :)

Тиймээс, одоо би язгуурын хамгийн зөв, хамгийн чадварлаг тодорхойлолтыг өгөх болно - таны санаж байх ёстой цорын ганц зүйл юм. Дараа нь би тайлбарлах болно: энэ бүхэн яагаад хэрэгтэй вэ, үүнийг практикт хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ.

Гэхдээ эхлээд нэгийг санаарай чухал цэг, олон сурах бичиг эмхэтгэгчид ямар нэг шалтгаанаар "мартдаг":

Үндэс байдаг жигд зэрэгтэй(бидний дуртай $\sqrt(a)$, түүнчлэн бүх төрлийн $\sqrt(a)$, бүр $\sqrt(a)$) ба сондгой зэрэг (бүх төрлийн $\sqrt(a)$, $ \sqrt(a) $ гэх мэт). Мөн сондгой зэрэглэлийн язгуурын тодорхойлолт нь тэгш нэгээс арай өөр юм.

Үндэстэй холбоотой бүх алдаа, үл ойлголцлын 95% нь энэ новшийн "ямар нэгэн байдлаар" нуугдаж байгаа байх. Тиймээс нэр томъёог нэг удаа, бүрмөсөн тодорхой болгоё:

Тодорхойлолт. Бүр үндэс n$a$ тооноос дурын байна сөрөг бус$b$ тоо нь $((b)^(n))=a$ байна. Мөн ижил тооны $a$-ын сондгой язгуур нь ерөнхийдөө ижил тэгш байдлыг хангасан дурын $b$ тоо юм: $((b)^(n))=a$.

Ямар ч тохиолдолд язгуурыг дараах байдлаар тэмдэглэв.

\(a)\]

Ийм тэмдэглэгээний $n$ тоог язгуур илтгэгч, $a$ тоог радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Ялангуяа $n=2$-д бид "дуртай"-аа авдаг. квадрат язгуур(Дашрамд хэлэхэд, энэ нь тэгш градусын үндэс) бөгөөд $n=3$-ийн хувьд куб (сондгой градус) бөгөөд энэ нь бодлого, тэгшитгэлд ихэвчлэн байдаг.

Жишээ. Квадрат язгуурын сонгодог жишээ:

\[\эхлэх(эгцлэх) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дашрамд хэлэхэд $\sqrt(0)=0$, $\sqrt(1)=1$. $((0)^(2))=0$ ба $((1)^(2))=1$ тул энэ нь нэлээд логик юм.

Шоо үндэс нь бас түгээмэл байдаг - тэднээс айх шаардлагагүй:

\[\эхлэх(эгцлэх) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За, хэдэн "чамин жишээ":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хэрэв та тэгш, сондгой хоёрын ялгаа юу болохыг ойлгохгүй байгаа бол тодорхойлолтыг дахин уншина уу. Энэ бол маш чухал!

Энэ хооронд бид язгуурын нэг тааламжгүй шинж чанарыг авч үзэх болно, учир нь бид тэгш, сондгой илтгэгчийн тусдаа тодорхойлолтыг оруулах шаардлагатай болсон.

Яагаад үндэс хэрэгтэй вэ?

Тодорхойлолтыг уншсаны дараа олон оюутнууд: "Математикчид үүнийг гаргахдаа юу тамхи татдаг байсан бэ?" Тэгээд үнэхээр: энэ бүх үндэс яагаад хэрэгтэй байна вэ?

Энэ асуултад хариулахын тулд хэсэгхэн зуур эргэн харъя анхан шатны ангиуд. Санаж байгаарай: мод ногоорч, бууз нь илүү амттай байсан тэр алс холын үед бид тоог зөв үржүүлэхэд гол санаа тавьдаг байсан. За, "таваас тав - хорин тав" гэх мэт. Гэхдээ та тоог хосоор нь биш, харин гурав дахин, дөрөв дахин, ерөнхийдөө бүхэл багцаар үржүүлж болно.

\[\эхлэх(эгцлэх) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Гэсэн хэдий ч энэ нь гол зүйл биш юм. Энэ арга нь өөр: математикчид залхуу хүмүүс тул арван тавын үржүүлгийг ингэж бичихэд хэцүү байсан.

Тийм ч учраас эрдмийн зэрэг гаргаж ирсэн. Урт мөрийн оронд хүчин зүйлийн тоог дээд үсгээр бичиж яагаад болохгүй гэж? Иймэрхүү зүйл:

Энэ нь маш тохиромжтой! Бүх тооцоо мэдэгдэхүйц багасч, 5183-ыг бичихийн тулд олон тооны илгэн цаас, дэвтэр үрэх шаардлагагүй болно. Энэ бичлэгийг олон тооны шинж чанар гэж нэрлэдэг байсан ч аз жаргал нь богино настай байв.

Зэрэгцээг "нээх" зорилгоор зохион байгуулсан архидалт ихтэй үдэшлэгийн дараа зарим нэг зөрүүд математикч гэнэт "Бид тооны зэрэглэлийг мэддэг хэрнээ тоо нь өөрөө тодорхойгүй байвал яах вэ?" Хэрэв бид 5-р зэрэглэлд 243-ыг өгдөг гэж хэлэхэд $b$ тодорхой тоо мэддэг бол $b$ тоо өөрөө хэдтэй тэнцүү болохыг яаж тааж чадах вэ?

Энэ асуудал нь анх харахад санагдахаас хамаагүй илүү дэлхий нийтийн шинж чанартай болсон. Учир нь ихэнх "бэлэн" эрх мэдлийн хувьд ийм "анхны" тоо байдаггүй нь тогтоогдсон. Өөрийгөө шүүх:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Баруун сум b=3\cdot 3\cdot 3\Баруун сум b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Баруун сум b=4\cdot 4\cdot 4\Баруун сум b=4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((b)^(3))=50$ бол яах вэ? Гурав дахин үржүүлбэл 50 болох тодорхой тоог олох хэрэгтэй болж байна. Гэхдээ энэ хэд вэ? 3 3 = 27 тул 3-аас их байна< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тэр нь Энэ тоо гурваас дөрөвний хооронд байгаа боловч энэ нь юутай тэнцүү болохыг та ойлгохгүй байх болно.

Чухам ийм учраас математикчид $n$th үндсийг гаргаж ирсэн. Чухам ийм учраас $\sqrt(*)$ радикал тэмдэг гарч ирсэн. $b$-ийн тоог зааж өгөх нь заасан хэмжээгээр бидэнд урьд нь мэдэгдэж байсан утгыг өгөх болно

\[\sqrt[n](a)=b\Баруун сум ((b)^(n))=a\]

Би маргахгүй: ихэнхдээ эдгээр үндсийг амархан тооцдог - бид дээр дурдсан хэд хэдэн жишээг харсан. Гэсэн хэдий ч, ихэнх тохиолдолд, хэрэв та дурын тоо бодож, дараа нь дурын зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авахыг оролдвол танд аймшигтай зүйл тохиолдох болно.

Тэнд юу байна! Хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн танил $\sqrt(2)$ ч гэсэн бидний ердийн хэлбэрээр бүхэл тоо эсвэл бутархай хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй. Хэрэв та энэ тоог тооцоолуур руу оруулбал дараахь зүйлийг харах болно.

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Таны харж байгаагаар аравтын бутархайн дараа ямар ч логикт захирагдахгүй тоонуудын төгсгөлгүй дараалал бий. Мэдээжийн хэрэг та энэ тоог дугуйлж, бусад тоонуудтай хурдан харьцуулж болно. Жишээ нь:

\[\sqrt(2)=1,4142...\ойролцоогоор 1,4 \лт 1,5\]

Эсвэл өөр жишээ энд байна:

\[\sqrt(3)=1.73205...\ойролцоогоор 1.7 \gt 1.5\]

Гэхдээ эдгээр бүх тойргууд нь нэгдүгээрт, нэлээд ширүүн байдаг; хоёрдугаарт, та ойролцоо утгатай ажиллах чадвартай байх хэрэгтэй, эс тэгвээс та олон тооны тодорхой бус алдааг олж авах боломжтой (Дашрамд хэлэхэд, харьцуулах, дугуйлах чадварыг Улсын нэгдсэн шалгалтын профайл дээр шалгах шаардлагатай).

Тиймээс, ноцтой математикийн хувьд та үндэсгүйгээр хийж чадахгүй - эдгээр нь бидний эртнээс сайн мэддэг бутархай ба бүхэл тоонуудын нэгэн адил $\mathbb(R)$ бүх бодит тоонуудын ижил тэнцүү төлөөлөгчид юм.

Үндэсийг $\frac(p)(q)$ хэлбэрийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй гэдэг нь үүнийг илэрхийлнэ үндэс өгөгдсөноновчтой тоо биш. Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээрийг тусгайлан боловсруулсан радикал эсвэл бусад бүтэц (логарифм, хүч, хязгаар гэх мэт) ашиглахаас бусад тохиолдолд үнэн зөв илэрхийлэх боломжгүй юм. Гэхдээ энэ талаар өөр нэг удаа.

Бүх тооцооллын дараа иррационал тоонууд хариултад үлдэх хэд хэдэн жишээг харцгаая.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ойролцоогоор 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\ойролцоогоор -1.2599... \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, дагуу гадаад төрхүндэс нь аравтын бутархайн араас аль тоо ирэхийг таахад бараг боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч та тооцоолуур дээр найдаж болно, гэхдээ хамгийн дэвшилтэт огнооны тооцоолуур ч гэсэн иррационал тооны эхний хэдэн цифрийг л өгдөг. Тиймээс хариултыг $\sqrt(5)$, $\sqrt(-2)$ хэлбэрээр бичих нь хамаагүй зөв юм.

Чухам ийм учраас тэдгээрийг зохион бүтээсэн. Хариултуудыг хялбархан бичихийн тулд.

Яагаад хоёр тодорхойлолт хэрэгтэй байна вэ?

Анхааралтай уншигч жишээнүүдэд өгөгдсөн бүх квадрат язгуурыг эерэг тооноос авсан болохыг аль хэдийн анзаарсан байх. За, дотор эцсийн арга замэхнээс нь. Гэхдээ шоо үндсийг эерэг эсвэл сөрөг аль ч тооноос тайван байдлаар гаргаж авах боломжтой.

Яагаад ийм зүйл болж байна вэ? $y=((x)^(2))$ функцийн графикийг харна уу:

Хуваарь квадрат функцэерэг ба сөрөг гэсэн хоёр үндэс өгдөг

Энэ графикийг ашиглан $\sqrt(4)$-г тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд $((x)_(1))=2$ ба $((x) гэсэн хоёр цэг дээр параболатай огтлолцох $y=4$ хэвтээ шугамыг график дээр (улаанаар тэмдэглэсэн) зурсан. )_(2)) =-2$. Энэ нь нэлээд логик юм, учир нь

Эхний тоогоор бүх зүйл тодорхой байна - энэ нь эерэг, тиймээс үндэс нь:

Гэхдээ хоёр дахь цэгийг яах вэ? Дөрөв нь нэг дор хоёр үндэстэй юм шиг? Тэгээд ч −2 тоог квадрат болговол бас 4 гарна. Тэгвэл яагаад $\sqrt(4)=-2$ гэж бичиж болохгүй гэж? Тэгээд багш нар яагаад чамайг идмээр байгаа юм шиг хардаг юм бэ?

Хэрэв та өргөдөл гаргахгүй бол энэ нь асуудал юм нэмэлт нөхцөл, дараа нь дөрвөлжин нь эерэг ба сөрөг гэсэн хоёр квадрат үндэстэй болно. Ямар ч эерэг тоо бас хоёртой байх болно. Гэхдээ сөрөг тоо нь огт үндэсгүй байх болно - парабол тэнхлэгээс доош буудаггүй тул үүнийг ижил графикаас харж болно. y, өөрөөр хэлбэл сөрөг утгыг хүлээн зөвшөөрдөггүй.

Тэгш илтгэгчтэй бүх үндэст ижил төстэй асуудал гардаг:

1. Хатуухан хэлэхэд эерэг тоо бүр $n$ илтгэгчтэй хоёр үндэстэй байх болно;
2. Сөрөг тоонуудаас $n$-тай язгуурыг огт гаргаж авдаггүй.

Тийм ч учраас $n$-ын тэгш язгуурын тодорхойлолт нь хариулт нь сөрөг бус тоо байх ёстойг тусгайлан заасан байдаг. Ингэж л бид ойлгомжгүй байдлаас ангижрах болно.

Гэхдээ сондгой $n$-д тийм асуудал байхгүй. Үүнийг харахын тулд $y=((x)^(3))$ функцийн графикийг харцгаая:

Куб парабол ямар ч утгыг авч болох тул шоо язгуурыг дурын тооноос авч болно

Энэ графикаас хоёр дүгнэлт гаргаж болно.

1. Куб параболын мөчрүүд нь ердийнхөөс ялгаатай нь дээд ба доош хоёр чиглэлд хязгааргүйд хүрдэг. Тиймээс бид ямар ч өндөрт хэвтээ шугам зурсан ч энэ шугам нь бидний графиктай огтлолцох нь гарцаагүй. Иймээс куб үндэсийг ямар ч тооноос авах боломжтой;
2. Үүнээс гадна, ийм уулзвар нь үргэлж өвөрмөц байх тул аль тоог "зөв" үндэс гэж үзэж, алийг нь үл тоомсорлох талаар бодох шаардлагагүй болно. Тийм ч учраас сондгой зэрэглэлийн үндсийг тодорхойлох нь тэгш зэрэгтэй харьцуулахад хялбар байдаг (сөрөг биш байх шаардлагагүй).

Эдгээр энгийн зүйлсийг ихэнх сурах бичигт тайлбарлаагүй нь харамсалтай. Үүний оронд бидний тархи бүх төрлийн арифметик язгуур, тэдгээрийн шинж чанаруудтай хөөрч эхэлдэг.

Тийм ээ, би маргахгүй: та бас арифметик үндэс гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй. Мөн би энэ талаар тусдаа хичээл дээр дэлгэрэнгүй ярих болно. Өнөөдөр бид бас энэ тухай ярих болно, учир нь үүнгүйгээр $n$-р үржвэрийн үндэсийн талаархи бүх бодол бүрэн бус байх болно.

Гэхдээ эхлээд миний дээр хэлсэн тодорхойлолтыг тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Үгүй бол олон тооны нэр томъёоны улмаас таны толгойд ийм эмх замбараагүй байдал үүсч, эцэст нь та юу ч ойлгохгүй болно.

Тэгш, сондгой үзүүлэлтүүдийн ялгааг ойлгоход л хангалттай. Тиймээс, үндэсийн талаар үнэхээр мэдэх шаардлагатай бүх зүйлийг дахин цуглуулцгаая.

1. Тэгш зэрэгтэй язгуур нь зөвхөн сөрөг бус тооноос л байдаг ба өөрөө үргэлж сөрөг бус тоо байдаг. Сөрөг тоонуудын хувьд ийм үндэс нь тодорхойгүй байна.
2. Гэхдээ сондгой зэрэглэлийн үндэс нь ямар ч тооноос байдаг бөгөөд өөрөө ямар ч тоо байж болно: эерэг тоонуудын хувьд эерэг, сөрөг тоонуудын хувьд сөрөг байна.

Хэцүү байна уу? Үгүй ээ, хэцүү биш. Тодорхой байна уу? Тийм ээ, энэ нь бүрэн ойлгомжтой! Тиймээс одоо бид тооцоололд бага зэрэг дасгал хийх болно.

Үндсэн шинж чанар ба хязгаарлалт

Үндэс нь олон хачирхалтай шинж чанар, хязгаарлалттай байдаг - энэ талаар дараа нь дэлгэрэнгүй ярих болно тусдаа хичээл. Тиймээс, одоо бид зөвхөн тэгш индекстэй үндэст хамаарах хамгийн чухал "заль мэх" -ийг авч үзэх болно. Энэ шинж чанарыг томъёогоор бичье.

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид тоог тэгш түвшинд өсгөж, дараа нь ижил түвшний үндсийг гаргавал бид анхны тоог биш, харин модулийг авна. Энэ бол амархан нотлогдож болох энгийн теорем (сөрөг бус $x$-г тусад нь авч үзэхэд хангалттай, дараа нь сөрөгийг тусад нь авч үзэхэд хангалттай). Багш нар энэ тухай байнга ярьдаг, үүнийг бүх зүйлд заадаг сургуулийн сурах бичиг. Гэвч иррационал тэгшитгэлийг (жишээ нь, радикал тэмдэг агуулсан тэгшитгэл) шийдэхийн тулд оюутнууд санал нэгтэйгээр энэ томъёог мартдаг.

Асуудлыг нарийвчлан ойлгохын тулд бүх томъёог нэг минутын турш мартаж, хоёр тоог шууд тооцоолохыг хичээцгээе.

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \баруун))^(4)))=?\]

Энэ их энгийн жишээнүүд. Ихэнх хүмүүс эхний жишээг шийдэх боловч олон хүн хоёр дахь жишээн дээр гацдаг. Иймэрхүү хог хаягдлыг асуудалгүйгээр шийдэхийн тулд дараахь журмыг анхаарч үзээрэй.

1. Нэгдүгээрт, тоо нь дөрөв дэх зэрэглэлд нэмэгддэг. За, энэ нь арай хялбар юм. Та үржүүлэх хүснэгтээс ч олж болох шинэ дугаар авах болно;
2. Одоо энэ шинэ тооноос дөрөв дэх үндсийг гаргаж авах шаардлагатай байна. Тэдгээр. Үндэс ба хүчийг "багасгах" байхгүй - эдгээр нь дараалсан үйлдлүүд юм.

Эхний илэрхийллийг харцгаая: $\sqrt(((3)^(4)))$. Мэдээжийн хэрэг та эхлээд язгуурын доорх илэрхийлэлийг тооцоолох хэрэгтэй.

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Дараа нь бид 81 тооны дөрөв дэх үндсийг гаргаж авна.

Одоо хоёр дахь илэрхийлэлтэй ижил зүйлийг хийцгээе. Нэгдүгээрт, бид −3 тоог дөрөв дэх зэрэгт хүргэх бөгөөд үүнийг өөрөө 4 дахин үржүүлэх шаардлагатай.

\[((\left(-3 \баруун))^(4))=\left(-3 \баруун)\cdot \left(-3 \баруун)\cdot \left(-3 \баруун)\cdot \ зүүн(-3 \баруун)=81\]

Бүтээгдэхүүний нийт хасах тоо нь 4 байх тул бид эерэг тоо авсан бөгөөд тэд бүгд бие биенээ цуцлах болно (эцсийн эцэст хасах нь хасах нь нэмэх болно). Дараа нь бид үндсийг дахин гаргаж авдаг:

Зарчмын хувьд энэ мөрийг бичих боломжгүй байсан, учир нь хариулт нь ижил байх болно. Тэдгээр. ижил тэгш чадлын тэгш үндэс нь сул талуудыг "шатдаг" бөгөөд энэ утгаараа үр дүн нь ердийн модулиас ялгагдахааргүй юм.

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\зүүн(-3 \баруун))^(4)))=\зүүн| -3 \баруун|=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эдгээр тооцоолол нь тэгш градусын язгуурын тодорхойлолттой сайн тохирч байна: үр дүн нь үргэлж сөрөг биш бөгөөд радикал тэмдэг нь үргэлж сөрөг бус тоог агуулдаг. Үгүй бол үндэс нь тодорхойгүй байна.

Процедурын талаархи тэмдэглэл

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ гэсэн тэмдэглэгээ нь эхлээд $a$ тоог квадрат болгож дараа нь гарсан утгын квадрат язгуурыг авна гэсэн үг. Тиймээс ямар ч тохиолдолд $((a)^(2))\ge 0$ байх тул язгуур тэмдгийн дор үргэлж сөрөг бус тоо байгаа гэдэгт итгэлтэй байж болно;
2. Харин $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ гэсэн тэмдэглэгээ нь эсрэгээрээ бид эхлээд тодорхой $a$ тооны үндсийг аваад дараа нь үр дүнг квадрат болгоно гэсэн үг. Тиймээс $a$ тоо нь ямар ч тохиолдолд сөрөг байж болохгүй - энэ нь тодорхойлолтонд орсон зайлшгүй шаардлага юм.

Тиймээс ямар ч тохиолдолд үндэс, зэрэглэлийг бодолгүйгээр бууруулж, анхны илэрхийлэлийг "хялбарчлах" байх ёсгүй. Учир нь язгуур нь сөрөг тоотой, илтгэгч нь тэгш байвал бид олон асуудал гарна.

Гэсэн хэдий ч эдгээр бүх асуудал нь зөвхөн үзүүлэлтүүдэд л хамаатай.

Үндэс тэмдгийн доор хасах тэмдгийг хасаж байна

Мэдээжийн хэрэг, сондгой илтгэгчтэй үндэс нь өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг бөгөөд энэ нь зарчмын хувьд тэгш тоотой байдаггүй. Тухайлбал:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Товчхондоо, та сондгой зэрэглэлийн язгуурын тэмдгийн дор хасахыг арилгаж болно. Энэ бол бүх сул талыг "хаях" боломжийг олгодог маш ашигтай өмч юм.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \баруун)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэхүү энгийн өмч нь олон тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Одоо та санаа зовох хэрэггүй болно: үндэс дор сөрөг илэрхийлэл нуугдаж байсан ч үндэс дэх зэрэг нь жигд болвол яах вэ? Үндэсийн гадна байгаа бүх сул талыг "хаяхад" л хангалттай бөгөөд үүний дараа тэдгээрийг бие биенээр нь үржүүлж, хувааж, ерөнхийдөө олон сэжигтэй зүйлийг хийж болох бөгөөд энэ нь "сонгодог" үндэсийн хувьд биднийг хүргэх баталгаатай болно. алдаа.

Мөн энд өөр нэг тодорхойлолт гарч ирэв - ихэнх сургуулиудад үндэслэлгүй илэрхийллийг судалж эхэлдэгтэй ижил. Үүнгүйгээр бидний үндэслэл бүрэн бус байх болно. Уулз!

Арифметик үндэс

Үндэс тэмдгийн дор зөвхөн эерэг тоо эсвэл онцгой тохиолдолд тэг байж болно гэж түр бодъё. Тэгш/сондгой үзүүлэлтүүдийг мартаж, дээр дурдсан бүх тодорхойлолтыг мартъя - бид зөвхөн сөрөг бус тоонуудтай ажиллах болно. Тэгээд яах вэ?

Дараа нь бид арифметик язгуурыг авах болно - энэ нь бидний "стандарт" тодорхойлолттой хэсэгчлэн давхцаж байгаа боловч тэдгээрээс ялгаатай хэвээр байна.

Тодорхойлолт. Сөрөг биш $a$ тооны $n$-р зэргийн арифметик язгуур нь $((b)^(n))=a$ байх сөрөг бус тоо $b$ байна.

Бидний харж байгаагаар бид паритетийг сонирхохоо больсон. Үүний оронд шинэ хязгаарлалт гарч ирэв: радикал илэрхийлэл нь одоо үргэлж сөрөг биш, үндэс нь өөрөө сөрөг биш юм.

Арифметик язгуур нь ердийнхөөс хэрхэн ялгаатай болохыг илүү сайн ойлгохын тулд бидний аль хэдийн мэддэг квадрат ба куб параболын графикуудыг харна уу.

Арифметик үндэс хайлтын талбар - сөрөг бус тоо

Таны харж байгаагаар бид одооноос эхлэн $x$ ба $y$ координатууд эерэг (эсвэл дор хаяж тэг) байгаа координатын эхний улиралд байрлах график хэсгүүдийг л сонирхож байна. Үндэс дор сөрөг тоо тавих эрхтэй эсэхийг ойлгохын тулд индикаторыг харах шаардлагагүй болсон. Учир нь сөрөг тоог зарчмын хувьд авч үзэхээ больсон.

Та: "За, яагаад бидэнд ийм саармагжуулсан тодорхойлолт хэрэгтэй байна вэ?" гэж асууж магадгүй юм. Эсвэл: "Бид яагаад дээр өгөгдсөн стандарт тодорхойлолтыг дагаж чадахгүй байна вэ?"

За, би зөвхөн нэг өмчийг өгөх болно, учир нь шинэ тодорхойлолт тохирох болно. Жишээлбэл, экспонентацийн дүрэм:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Анхаарна уу: бид радикал илэрхийлэлийг ямар ч хүчин чадалтай болгож, язгуур экспонентийг ижил хүчээр үржүүлж чадна - үр дүн нь ижил тоо байх болно! Энд жишээнүүд байна:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр хамгийн том асуудал юу вэ? Яагаад бид үүнийг өмнө нь хийж чадаагүй юм бэ? Яагаад гэдгийг эндээс харж болно. Энгийн илэрхийллийг авч үзье: $\sqrt(-2)$ - энэ тоо нь бидний сонгодог ойлголтод нэлээд хэвийн боловч арифметик язгуурын үүднээс огт хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй юм. Үүнийг хөрвүүлэхийг хичээцгээе:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\зүүн(-2 \баруун))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Таны харж байгаагаар эхний тохиолдолд бид хасахыг радикалын доороос хассан (бидэнд экспонент нь сондгой тул бүх эрхтэй), хоёр дахь тохиолдолд дээрх томъёог ашигласан. Тэдгээр. Математикийн үүднээс авч үзвэл бүх зүйл дүрмийн дагуу хийгддэг.

WTF?! Ижил тоо яаж эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болох вэ? Арга ч үгүй. Эерэг тоо ба тэгийн хувьд маш сайн ажилладаг экспонентацийн томъёо нь сөрөг тоонуудын хувьд бүрэн гажуудлыг үүсгэж эхэлдэг.

Ийм ойлгомжгүй байдлаас ангижрахын тулд арифметик язгуурыг зохион бүтээсэн. Тусдаа том хичээл нь тэдэнд зориулагдсан бөгөөд бид тэдний бүх шинж чанарыг нарийвчлан авч үздэг. Тиймээс бид одоо тэдний талаар ярихгүй - хичээл хэтэрхий урт болсон.

Алгебрийн үндэс: илүү ихийг мэдэхийг хүсдэг хүмүүст

Энэ сэдвийг тусдаа догол мөрөнд оруулах уу, үгүй ​​юу гэж удаан бодсон. Эцэст нь би энд үлдээхээр шийдсэн. Энэ материалЭнэ нь үндсийг илүү сайн ойлгохыг хүсдэг хүмүүст зориулагдсан юм - дундаж "сургуулийн" түвшинд биш, харин олимпиадын түвшинд ойрхон байна.

Тэгэхээр: тооны $n$-р язгуурын "сонгодог" тодорхойлолт, түүнтэй холбоотой тэгш, сондгой илтгэгч болгон хуваахаас гадна паритет болон бусад нарийн шинж чанараас огт хамааралгүй илүү "насанд хүрсэн" тодорхойлолт байдаг. Үүнийг алгебрийн үндэс гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Аливаа $a$-ын алгебрийн $n$-р үндэс нь $((b)^(n))=a$ байх бүх $b$ тооны олонлог юм. Ийм үндэст зориулсан тодорхой тэмдэглэгээ байхгүй тул бид зүгээр л дээр нь зураас тавина.

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \баруун. \баруун\) \]

Хичээлийн эхэнд өгсөн стандарт тодорхойлолтоос үндсэн ялгаа нь алгебрийн үндэс нь тодорхой тоо биш, харин олонлог юм. Бид бодит тоогоор ажилладаг тул энэ багц нь зөвхөн гурван төрлөөр ирдэг:

1. Хоосон багц. Сөрөг тооноос тэгш зэрэгтэй алгебрийн үндэс олох шаардлагатай үед тохиолддог;
2. Нэг элементээс бүрдсэн багц. Сондгой хүчний бүх үндэс, мөн тэгийн тэгш байдлын үндэс нь энэ ангилалд хамаарна;
3. Эцэст нь, уг багц нь бидний харсан $((x)_(1))$ ба $((x)_(2))=-((x)_(1))$ гэсэн хоёр тоог агуулж болно. квадрат функцийн график. Үүний дагуу ийм зохицуулалт нь эерэг тооноос тэгш зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авах үед л боломжтой юм.

Сүүлийн тохиолдол нь илүү нарийвчлан авч үзэх ёстой. Ялгааг ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг тоолъё.

Жишээ. Илэрхийллийг үнэлнэ үү:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Шийдэл. Эхний илэрхийлэл нь энгийн:

\[\overline(\sqrt(4))=\зүүн\( 2;-2 \баруун\)\]

Энэ бол багцын нэг хэсэг болох хоёр тоо юм. Учир нь тэдгээрийн квадрат тус бүр нь дөрөв өгдөг.

\[\overline(\sqrt(-27))=\зүүн\( -3 \баруун\)\]

Энд бид зөвхөн нэг тооноос бүрдэх багцыг харж байна. Үндэс экспонент нь сондгой тул энэ нь нэлээд логик юм.

Эцэст нь, сүүлчийн илэрхийлэл:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Хүлээн авсан хоосон багц. Учир нь байхгүй бодит тоо, энэ нь дөрөв дэх (жишээ нь, тэгш!) хүч хүртэл нэмэгдэхэд бидэнд −16 сөрөг тоог өгнө.

Эцсийн тэмдэглэл. Анхаарна уу: бид бодит тоогоор ажилладаг гэдгийг би хаа сайгүй тэмдэглэсэнгүй. Учир нь илүү их зүйл бий нийлмэл тоо— тэнд $\sqrt(-16)$ болон бусад олон хачирхалтай зүйлсийг тооцоолох бүрэн боломжтой.

Гэсэн хэдий ч орчин үеийн сургуулийн курсМатематикийн хувьд нийлмэл тоо бараг хэзээ ч тааралддаггүй. Манай албаныхан энэ сэдвийг “ойлгоход дэндүү хэцүү” гэж үзсэн тул ихэнх сурах бичгээс хассан.

Ингээд л болоо. Дараагийн хичээлээр бид язгуурын бүх үндсэн шинж чанаруудыг авч үзээд эцэст нь иррационал илэрхийлэлийг хэрхэн хялбарчлах талаар сурах болно.

Графикаар тэгшитгэлийг шийдье (X-6-р зэрэглэл нь нэгтэй тэнцүү), үүний тулд бид нэг координатын систем дэх функцүүдийн дараах графикийг байгуулна: (U нь X-6-р зэрэгтэй тэнцүү)

Бидний харж байгаагаар тэдгээр нь А ба С гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог бөгөөд огтлолцлын цэгүүдийн абсциссууд нь тэгшитгэлийн үндэс юм, өөрөөр хэлбэл. .(Зураг 2)

Хоёр тэгшитгэлийн шийдлээс харахад тэдгээр нь тус бүр нь хоёр үндэстэй бөгөөд эдгээр тоо нь харилцан эсрэг байна.

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийн үндэс нь маш амархан олддог.

7-р тэгшитгэлийг авч үзье (х зургаа дахь зэрэглэл нь долоотой тэнцүү) ( зураг 3)

Бид нэг координатын системд функц ба y=7-ийн графикуудыг байгуулдаг

Зураг нь тэгшитгэл нь x нэг ба x хоёр хоёр үндэстэй болохыг харуулж байна, гэхдээ тэдгээрийн яг утгыг зааж өгөх боломжгүй, зөвхөн ойролцоо утгатай: тэдгээр нь x тэнхлэгт байрладаг, нэг үндэс нь -1 цэгээс бага зэрэг зүүн талд байрладаг. хоёр дахь нь 1-р цэгийн баруун талд бага зэрэг байна.

Үүнтэй төстэй нөхцөл байдлыг шийдвэрлэхийн тулд математикчид танилцуулав шинэ бэлэг тэмдэг, зургаа дахь үндэс. Мөн энэ тэмдгийн тусламжтайгаар үндэс өгөгдсөн тэгшитгэлдараах байдлаар бичиж болно: (х нэг нь долоогийн зургаа дахь язгууртай, х хоёр нь долоогийн зургаа дахь язгууртай тэнцүү).

Сондгой зэрэгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзье

Тэгээд (Зураг 4)

Зургаас харахад тэгшитгэл бүр нэг язгууртай боловч эхний тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо хоёр, хоёрдугаарт утгыг нарийн зааж өгөх боломжгүй тул бид тэмдэглэгээг оруулах болно. (зургаагийн тав дахь үндэс).

Үзсэн жишээн дээр үндэслэн бид дүгнэлт гаргаж, тодорхойлолтыг өгнө.

1. Тэгшитгэл (x-ийн зэрэглэл нь a-тай тэнцүү), энд n(en) нь дурын натурал тэгш тоо бөгөөд хоёр үндэстэй:

(a-ийн n-р үндэс ба а-ын n-р үндэсийг хасна)

2. Тэгшитгэл (х-ийн 1-р зэрэглэл нь а-тай тэнцүү), энд n(en) нь дурын натурал сондгой тоо, (a нь тэгээс их) нэг үндэстэй: (а тооны n-р үндэс)

3. Тэгшитгэл (x-ийн зэрэглэл нь тэгтэй тэнцүү) x = 0 (x нь тэгтэй тэнцүү) нэг үндэстэй.

Тодорхойлолт: Сөрөг бус тооны a (n=2,3,34,5...) n-р (n-р) язгуур нь сөрөг бус тоо бөгөөд n-р зэрэглэл рүү өргөхөд а тоо гарч ирнэ.

Энэ тоо гэсэн үг (a) тооны n-р үндэс. a тоог радикал тоо гэж нэрлэдэг ба n (en) тоо нь язгуурын индекс юм.

(Та 8-р ангийн алгебрийн тусгай тохиолдлыг судалсан, n=2 байхад: тэд бичдэг (а-ын квадрат язгуур)).

Үүнийг санаж байх шаардлагатай

(хэрэв a нь сөрөг бус тоо бол n - натурал тоо, нэгээс их бол a тооны n-р үндэс нь сөрөг бус тоо бөгөөд хэрэв a тооны n-р үндэс нь n-р зэрэглэлд өргөгдвөл бид a тоог, өөрөөр хэлбэл радикал тоог авна) .

Өөрөөр хэлбэл, тодорхойлолтыг дараах байдлаар өөрчилж болно.

(тооны n-р зэрэглэлийн үндэс нь be тоо, n-р зэрэг нь a-тай тэнцүү).

Нэр томъёоны дагуу үндэс олборлолтсөрөг бус тооны үндсийг олохыг ойлгох. Өөрөөр хэлбэл хийх хэрэгтэй урвуу үйлдэлзохих түвшинд хүртэл өсгөх. Хүснэгтийг харцгаая:

Болгоомжтой байгаарай, n-р түвшний язгуурын тодорхойлолтын дагуу хүснэгтэд зөвхөн эерэг тоонуудыг авч үзнэ.

1-р жишээг авч үзье: Тооцоол

a) (Жаран дөрөвний зургаа дахь үндэс нь хоёртой тэнцүү, учир нь хоёр нь эерэг тоо, хоёр нь зургаа дахь зэрэг нь жаран дөрөвтэй тэнцүү).

(тэг цэгийн хоёр зуун арван зургаан мянганы гурав дахь үндэс нь тэг цэг зургаатай тэнцүү, учир нь олдсон тоо эерэг бөгөөд гурав дахь зэрэглэлд радикал тоо өгдөг)

оноос хойш =

d) n-р зэргийн язгуурын тодорхойлолтын дагуу бид хоёр тэгшитгэл бичнэ: ба

Тиймээс бид дөрөв дэх зэрэглэл нь 55, харин хоёроос дөрөв дэх зэрэг нь арван зургаатай тэнцүү буюу 55-аас бага тоог олох хэрэгтэй.

Мөн гурваас дөрөв дэх зэрэг нь наян нэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь 55-аас их, . Энэ нь яг тодорхой утгыг зааж өгөх боломжгүй гэсэн үг тул бид ойролцоогоор тэгш байдлын тэмдгийг зуутын нарийвчлалтайгаар ашиглах болно.

Сөрөг тооны үндсийг гаргаж авахын тулд хоёр дахь тодорхойлолтыг ашиглана уу:

Тодорхойлолт: Сөрөг тооны a (n=3,5,7,...) сондгой язгуур n нь сөрөг m тоо бөгөөд n зэрэглэлд өргөхөд а тоо гарч ирнэ.

a тоог радикал тоо гэж нэрлэдэг ба n (en) тоо нь язгуурын индекс юм.

Сондгой зэрэгтэй язгуурын хувьд хоёр шинж чанар үнэн байна:

(хэрэв - сөрөг тоо, nнь нэгээс их натурал сондгой тоо бол a тооны n-р язгуур нь сөрөг тоо бөгөөд хэрэв a тооны n-р язгуурыг n-р зэрэглэлд аваачвал бид a тоог, өөрөөр хэлбэл радикалыг авна. тоо).

Тооны n-р язгуурын тодорхойлолт, шинж чанаруудад дүн шинжилгээ хийсний дараа бид дараахь дүгнэлтийг гаргав.

Тэгш үндэс нь зөвхөн сөрөг бус радикал илэрхийлэлд зориулагдсан утгатай (өөрөөр хэлбэл тодорхойлогддог);

Хачирхалтай үндэс нь аливаа радикал илэрхийлэлд утга учиртай байдаг

Сэдэв:“Үндэс ба зэрэг. Үзэл баримтлал n-р үндэсбодит тооноос хүч авдаг."

Хичээлийн зорилго:

боловсролын: байгалийн зэрэглэлийн арифметик үндэс, түүний дотор сондгой зэрэглэлийн тухай ойлголтыг судлах; мастер тооцоо арифметик үндэс.

боловсролын: хичээл дээр оюутнуудын ажлыг эрчимжүүлэх, хичээлийн сонирхлыг хөгжүүлэх;

хөгжүүлэх: оюуны чадвар, мэдлэгийг шинэ нөхцөл байдалд шилжүүлэх чадварыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн төрөл:шинэ материал сурах.

Арга:тайлбарлах, тайлбарлах.

Тоног төхөөрөмж:компьютер, интерактив самбар, танилцуулга.

Хичээлийн явц

1. Зохион байгуулалтын хэсэг

Сайн байцгаана уу. Ангийн хичээлд бэлэн байдал. Гэрийн даалгавраа шалгаж байна.

2. Урам зориг боловсролын үйл ажиллагаа, сэдвийг дамжуулах, хичээлийн зорилгоо тодорхойлох.

Өнөөдөр бид "Үндэс ба эрх мэдэл" сэдвийг судлах болно. Үндэс ойлголт n-р зэрэгбодит тооноос." Би таны анхаарлыг үгсэд хандуулахыг хүсч байна Анатол Франц (1844-1924) , энэ нь бидний хичээлийн эпиграф болно. Бид үндэс агуулсан илэрхийлэлтэй ажиллах болно. Та үндэсийн талаархи мэдлэгээ өргөжүүлэх болно. Хичээлийн төгсгөлд бид энэ сэдвээр мэдлэгээ хэрхэн бие даан ашиглаж болохыг шалгахын тулд бага зэрэг бие даасан ажил хийх болно.

"Сурах цорын ганц арга бол хөгжилтэй байх ...

Мэдлэгийг шингээхийн тулд түүнийг хоолны дуршилаар шингээх хэрэгтэй."

Шинэ материалын тайлбар.

Тодорхойлолт 1.Үндэсnсөрөг бус тооны 0-р зэрэглэл a(n=2,3,4,5...) нь сөрөг бус тоо бөгөөд n зэрэглэлд өргөхөд а тоо гарч ирнэ.

Тэмдэглэл: – n-р зэргийн үндэс.

n тоог арифметик язгуурын хүч гэнэ.

Хэрэв n=2 бол язгуурын зэргийг заагаагүй бөгөөд бичнэ

Хоёрдугаар зэргийн язгуурыг ихэвчлэн квадрат язгуур, гуравдугаар зэргийн язгуурыг куб үндэс гэж нэрлэдэг.

Экспоненциал ба үндэс олборлолт нь ижил хамаарал юм:

Үндэсний үндсэн шинж чанарууд

Судалсан материалыг нэгтгэх:

1063 тоот амаар,

№ 1067 – 1069,

№ 1070 - 1071 (a, b)

№ 1072 -1073 (a, b)

№ 1076 (a, c)

№ 1078 (a, b)

№ 1079 (a, c)

Бие даасан ажил:

Сонголт 1

дугаар 1070 -1071 (в)

№1072 -1073 (г)

Сонголт 2

дугаар 1070 -1071 (г)

дугаар 1072 -1073 (в)

Гэрийн даалгавар: No 1076 (г), No 1078 (в), No 1079 (б)

Хичээлийг дүгнэж хэлэхэд:

Өнөөдөр бид хичээл дээр n-р зэргийн арифметик язгуурын тухай ойлголтыг судалж, жишээнүүдээр шийдвэрлэх замаар бататгалаа.

Хичээлийн үнэлгээ.

Уран зохиол

1.A.G. Мордкович. Алгебр ба эхлэл математик шинжилгээ. 10-11 анги. 2 цагт оюутнуудад зориулсан сурах бичиг боловсролын байгууллагууд(үндсэн түвшин) - M: Mnemosyne, 2012.

2. Александрова Л.А. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 11-р анги Бие даасан ажил: боловсролын байгууллагуудад зориулсан гарын авлага / дор. ed. Мордкович А.Г.-М.: Мнемосин, 2014.

3. Т.И. Купорова. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 11-р анги: Хичээлийн төлөвлөгөөМордкович А.Г.-ийн сурах бичиг дээр үндэслэсэн - Волгоград: Багш, 2008 он.

4. Рурукин A. N. Алгебрийн хичээлийн хөгжил ба шинжилгээний эхлэл: 11-р анги. - М.: VAKO, 2014 он.

5. Нечаев М.П. "Алгебр - 11" хичээлийн хичээлүүд. – М.: Мэдлэгийн 5, 2007

Слайд 1

Советск хотын 10-р лицей хотын боловсролын байгууллага Калининград мужматематикийн багш Татьяна Николаевна Разыграева Бодит тооны n-р язгуурын тухай ойлголт.

Слайд 2

y = x² функцийн график аль муруй вэ? y = x⁴ функцийн график аль муруй вэ? x⁴ = 1 тэгшитгэлийг авч үзье. y = x⁴ ба y = 1 функцуудын графикийг зуръя. Хариу: x = 1, x = -1. Үүнтэй адил: x⁴ = 16. Хариулт: x = 2, x = -2. Үүнтэй адил: x⁴ = 5. y = 5 Хариулт:

Слайд 3

x⁵ = 1 тэгшитгэлийг авч үзье. y = x⁵ ба y = 1 функцуудыг зуръя. Үүнтэй адил: x⁵ = 7. Хариу: x = 1. Хариулт: Тэгшитгэлийг авч үзье: a > 0, n N, n >1. Хэрэв n нь тэгш бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна: Хэрэв n нь сондгой бол нэг язгуур:

Слайд 4

Тодорхойлолт 1: Сөрөг бус тооны a (n = 2,3,4,5,...)-ийн n-р үндэс нь сөрөг бус тоо бөгөөд n зэрэглэлд аваачихад а тоо гарч ирнэ. Энэ тоог дараах байдлаар тэмдэглэнэ: a n - радикал илэрхийлэл - язгуур илтгэгч Сөрөг бус тооны үндсийг олох үйлдлийг үндэс задлах гэж нэрлэдэг. Хэрэв a 0, n = 2,3,4,5,..., тэгвэл

Слайд 5

Үндэс олборлох үйл ажиллагаа нь харгалзах хүчийг нэмэгдүүлэхийн эсрэг үйлдэл юм. 5² = 25 10³ = 1000 0.3⁴ = 0.0081 25 = 5 3 4 Заримдаа a илэрхийллийг радикал гэж нэрлэдэг. Латин үг radix - "үндэс". n Тэмдэглэгээ нь загварчлагдсан r үсэг юм. Экспоненциал Үндэсийг задлах

Слайд 6

Жишээ 1: Тооцоол: a) 49; b) 0.125; в) 0; d) 17 3 7 4 Шийдэл: a) 49 = 7, учир нь 7 > 0 ба 7² = 49; 3 b) 0.5 > 0 ба 0.5³ = 0.125 тул 0.125 = 0.5; в) 0; d) 17 ≈ 2.03 4 Тодорхойлолт 2: Сөрөг тооны a (n = 3.5,...) сондгой n зэрэглэлийн язгуур нь сөрөг тоо бөгөөд n зэрэглэлд өсгөхөд а тоо гарч ирнэ.

Слайд 7

Тиймээс Дүгнэлт: Тэгш зэрэглэлийн үндэс нь зөвхөн сөрөг бус радикал илэрхийлэлд л утга учиртай (өөрөөр хэлбэл тодорхойлогддог); сондгой үндэс нь аливаа радикал илэрхийлэлд утга учиртай байдаг. Жишээ 2: Тэгшитгэлийг шийд: Хэрэв a< 0, n = 3,5,7,…, то

Үндэс олборлох үйлдлийг практикт амжилттай ашиглахын тулд та энэ үйлдлийн шинж чанаруудтай танилцах хэрэгтэй.
Бүх шинж чанаруудыг зөвхөн язгуур тэмдгийн дор агуулагдах хувьсагчдын сөрөг бус утгуудын хувьд томъёолж, нотолсон болно.

Теорем 1. Хоёр сөрөг бус чипийн үржвэрийн n-р үндэс (n=2, 3, 4,...) бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна n-р үндэсЭдгээр тоонуудын хүч:

Сэтгэгдэл:

1. Радикал илэрхийлэл нь хоёроос илүү сөрөг бус тооны үржвэр байх тохиолдолд теорем 1 хүчинтэй хэвээр байна.

Теорем 2.Хэрэв, n нь 1-ээс их натурал тоо бол тэгш байдал үнэн болно

Товчхонпрактикт хэрэглэхэд илүү тохиромжтой (оновчтой биш ч гэсэн) томъёолол: бутархайн үндэс нь үндэсийн хэсэгтэй тэнцүү байна.

Теорем 1 нь t-ийг үржүүлэх боломжийг олгодог зөвхөн ижил түвшний үндэс , өөрөөр хэлбэл зөвхөн ижил индекстэй үндэс.

Теорем 3.Хэрэв ,k нь натурал тоо, n нь 1-ээс их натурал тоо бол тэгш байдал үнэн болно

Өөрөөр хэлбэл, үндэс суурийг бий болгох байгалийн зэрэг, энэ эрх мэдэлд радикал илэрхийлэлийг өсгөх нь хангалттай юм.
Энэ нь теорем 1-ийн үр дагавар юм.Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь k = 3-ын хувьд бид дараахийг олж авна: Бид k илтгэгчийн бусад натурал утгын хувьд яг адилхан үндэслэл гаргаж чадна.

Теорем 4. Хэрэв ,k, n нь 1-ээс их натурал тоо бол тэгш байдал үнэн болно

Өөрөөр хэлбэл, үндэснээс үндсийг гаргаж авахын тулд үндэсийн үзүүлэлтийг үржүүлэхэд хангалттай.
Жишээлбэл,

Болгоомжтой байгаарай!Үндэс дээр үржүүлэх, хуваах, илтгэх, үндсийг гаргах (үндэсээс) гэсэн дөрвөн үйлдлийг хийж болохыг бид мэдсэн. Харин үндсийг нэмэх, хасах талаар юу хэлэх вэ? Арга ч үгүй.
Жишээлбэл, "Үнэнээр" гэж бичихийн оронд, гэхдээ энэ нь ойлгомжтой

Теорем 5. Хэрэв үндэс ба радикал илэрхийллийн үзүүлэлтүүдийг ижил натурал тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1.Тооцоол

Шийдэл.Үндэсийн эхний шинж чанарыг ашиглан (Теорем 1) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Жишээ 2.Тооцоол
Шийдэл.Эсрэгээрээ харцгаая холимог тообуруу бутархай болгох.
Бид root-ийн хоёрдахь шинж чанарыг ашиглаж байна ( Теорем 2 ), бид дараахь зүйлийг авна.

Жишээ 3.Тооцоолох:

Шийдэл.Алгебрийн аливаа томьёог зөвхөн "зүүнээс баруун тийш" төдийгүй "баруунаас зүүн тийш" ашигладаг. Тиймээс язгуурын эхний шинж чанар нь тэдгээрийг хэлбэрээр илэрхийлж, эсрэгээр нь илэрхийллээр сольж болно гэсэн үг юм. Үндэс хоёр дахь шинж чанарт мөн адил хамаарна. Үүнийг харгалзан тооцоогоо хийцгээе.