Цахилгаан индукцийн векторын Остроград Гауссын теорем. Гауссын теорем. Гауссын теоремын хэрэглээ

Электростатикийн хэрэглээний гол ажил бол янз бүрийн төхөөрөмж, төхөөрөмжид үүссэн цахилгаан талбайн тооцоо юм. Ерөнхийдөө энэ асуудлыг Кулоны хууль ба суперпозиция зарчмыг ашиглан шийддэг. Гэсэн хэдий ч олон тооны цэг эсвэл орон зайд хуваарилагдсан цэнэгийг авч үзэхэд энэ даалгавар маш төвөгтэй болдог. Орон зайд диэлектрик эсвэл дамжуулагч байх үед, E 0 гадаад талбайн нөлөөн дор микроскопийн цэнэгийн дахин хуваарилалт үүсч, өөрсдийн нэмэлт E талбар үүсэх үед бүр ч илүү хүндрэл гардаг. Тиймээс эдгээр асуудлыг бодитоор шийдвэрлэхийн тулд туслах арга, арга техникийг ашигладаг. нарийн төвөгтэй математикийн аппарат ашигладаг. Бид Остроградский-Гаусын теоремыг ашиглахад үндэслэсэн хамгийн энгийн аргыг авч үзэх болно. Энэ теоремыг томъёолохын тулд бид хэд хэдэн шинэ ойлголтуудыг танилцуулж байна.

A) цэнэгийн нягт

Хэрэв цэнэглэгдсэн бие нь том бол биеийн доторх цэнэгийн тархалтыг мэдэх хэрэгтэй.

Эзлэхүүний цэнэгийн нягт- нэгж эзэлхүүний цэнэгээр хэмжигддэг:

Гадаргуугийн цэнэгийн нягт– биеийн нэгж гадаргууд ногдох цэнэгээр хэмжигддэг (цэнэг гадаргуу дээр тархсан үед):

Шугаман цэнэгийн нягт(дамжуулагчийн дагуу цэнэгийн хуваарилалт):

б) электростатик индукцийн вектор

Электростатик индукцийн вектор (цахилгаан шилжилтийн вектор) нь цахилгаан орныг тодорхойлдог вектор хэмжигдэхүүн юм.

Вектор векторын үржвэртэй тэнцүү байна Тухайн цэг дэх орчны үнэмлэхүй диэлектрик тогтмол дээр:

Хэмжээг нь шалгацгаая Д SI нэгжээр:

, учир нь
,

Дараа нь D ба E хэмжээсүүд давхцахгүй бөгөөд тэдгээрийн тоон утга нь бас өөр байна.

Тодорхойлолтоос Энэ нь вектор талбарын хувьд дараах байдалтай байна талбайн хувьд суперпозиция зарчим үйлчилнэ :

Талбай талбар шиг индукцийн шугамаар графикаар дүрслэгдсэн . Цэг бүрийн шүргэгч нь чиглэлтэй давхцаж байхаар индукцийн шугамыг зурсан , мөн мөрийн тоо нь тухайн байршил дахь D-ийн тоон утгатай тэнцүү байна.

Танилцуулгын утгыг ойлгохын тулд Нэг жишээ авч үзье.

	ε> 1	Диэлектриктэй хөндийн хил дээр холбогдох сөрөг цэнэгүүд төвлөрсөн ба Талбай нь  дахин багасч, нягт нь огцом буурдаг.
Үүнтэй ижил тохиолдолд: D = Eεε 0	, дараа нь: шугам тасралтгүй үргэлжлүүлээрэй. Шугамууд үнэ төлбөргүй эхлэх (цаг аль ч дээр - холбогдсон эсвэл чөлөөтэй), диэлектрикийн хил дээр тэдгээрийн нягт өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Тиймээс- индукцийн шугамын тасралтгүй байдал нь тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчилдөг , болон, холболтыг мэдэх -тай векторыг олох боломжтой .

V) электростатик индукцийн векторын урсгал

Цахилгаан орон дахь S гадаргууг авч үзээд хэвийн чиглэлийг сонго

1. Хэрвээ талбай жигд байвал S гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн шугамын тоо:

2. Хэрэв талбай жигд бус байвал гадаргуу нь тэгш бус гэж тооцогддог dS хязгааргүй жижиг элементүүдэд хуваагдана. Иймд гадаргуугийн элементээр дамжин өнгөрөх урсгал нь: dN = D n dS,

ямар ч гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь:

(6)

Индукцийн урсгал N нь скаляр хэмжигдэхүүн; -аас хамааран > 0 эсвэл байж болно< 0, или = 0.

Агаар (ε 1) ба ус (ε = 81) гэх мэт хоёр мэдээллийн хэрэгслийн хоорондох интерфэйс дээр Е векторын утга хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг авч үзье. Усан дахь талбайн хүч 81 дахин огцом буурдаг. Энэ вектор зан байдал Эянз бүрийн орчинд талбаруудыг тооцоолоход тодорхой таагүй байдлыг бий болгодог. Энэ таагүй байдлаас зайлсхийхийн тулд шинэ векторыг нэвтрүүлсэн Д– талбайн индукц буюу цахилгаан шилжилтийн вектор. Вектор холболт ДТэгээд Эшиг харагдаж байна

Д = ε ε 0 Э.

Мэдээжийн хэрэг, цэгийн цэнэгийн талбайн хувьд цахилгаан шилжилт нь тэнцүү байх болно

Цахилгаан шилжилтийг С/м2-ээр хэмждэг, шинж чанараас хамаардаггүй, графикаар суналтын шугамтай төстэй шугамаар дүрслэгдсэн болохыг харахад хялбар байдаг.

Талбайн шугамын чиглэл нь орон зай дахь талбайн чиглэлийг (мэдээжийн хэрэг, талбайн шугам байхгүй, тэдгээрийг дүрслэн харуулахын тулд оруулсан болно) эсвэл талбайн хүч чадлын векторын чиглэлийг тодорхойлдог. Хүчдэлийн шугамыг ашиглан та зөвхөн чиглэлийг төдийгүй талбайн хүч чадлын хэмжээг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийг тодорхой нягтралтайгаар гүйцэтгэхээр тохиролцсон бөгөөд ингэснээр суналтын шугамд перпендикуляр нэгж гадаргууг цоолох суналтын шугамын тоо векторын модультай пропорциональ байна. Э(Зураг 78). Дараа нь энгийн талбайг нэвтлэх шугамын тоо dS, аль нь хэвийн nвектортой α өнцөг үүсгэнэ Э, нь E dScos α = E n dS-тэй тэнцүү,

Энд E n нь вектор бүрэлдэхүүн хэсэг юм Эхэвийн чиглэлийн дагуу n. dФ E = E n dS = утга Эг Сдуудсан сайтаар дамжин хурцадмал векторын урсгалг С(д С= dS n).

Дурын хаалттай S гадаргуугийн хувьд векторын урсгал ЭЭнэ гадаргуугаар дамжуулан тэнцүү байна

Үүнтэй төстэй илэрхийлэл нь Ф D цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалтай байна

.

Остроградский-Гаусын теорем

Энэ теорем нь ямар ч тооны цэнэгээс E ба D векторуудын урсгалыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Q цэгийн цэнэгийг авч векторын урсгалыг тодорхойлъё Э r радиустай бөмбөрцөг гадаргуугаар, түүний төвд байрладаг.

Бөмбөрцөг гадаргуугийн хувьд α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 ба

Ф E = E · 4 πr 2 .

E-ийн илэрхийлэлийг орлуулснаар бид олж авна

Ийнхүү цэгийн цэнэг бүрээс F E векторын урсгал гарч ирдэг Э Q/ ε 0 -тай тэнцүү. Энэхүү дүгнэлтийг дурын тооны цэгийн цэнэгийн ерөнхий тохиолдлоор нэгтгэн бид теоремын томъёоллыг өгдөг: векторын нийт урсгал. ЭДурын хэлбэрийн битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нь энэ гадаргуугийн доторх цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд ε 0-д хуваагдана, өөрөөр хэлбэл.

Цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалын хувьд ДТа ижил төстэй томъёог авч болно

хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх индукцийн векторын урсгал нь энэ гадаргууг бүрхсэн цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хэрэв бид цэнэгийг хүлээн авдаггүй битүү гадаргууг авбал мөр бүрийг авна ЭТэгээд ДЭнэ гадаргууг хоёр удаа - орох ба гарах хэсэгт давах тул нийт урсгал тэг болж хувирна. Энд орох, гарах шугамын алгебрийн нийлбэрийг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Хавтгай, бөмбөрцөг, цилиндрээс үүссэн цахилгаан талбайг тооцоолоход Остроградский-Гаусын теоремыг ашиглах

R радиустай бөмбөрцөг гадаргуу нь гадаргуугийн нягтрал σ бүхий гадаргуу дээр жигд тархсан Q цэнэгийг агуулдаг.

Бөмбөрцгийн гадна байгаа А цэгийг төвөөс r зайд авч, r радиустай тэгш хэмтэй цэнэгтэй бөмбөрцгийг оюун ухаанаар зуръя (Зураг 79). Түүний талбай нь S = 4 πr 2. E векторын урсгал нь тэнцүү байх болно

Остроградский-Гаусын теоремын дагуу
, тиймээс,
Q = σ 4 πr 2 гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна

Бөмбөрцгийн гадаргуу дээр байрлах цэгүүдийн хувьд (R = r)

Д Хөндий бөмбөрцөг дотор байрлах цэгүүдийн хувьд (бөмбөрцөг дотор цэнэг байхгүй) E = 0.

2 . R радиус ба урттай хөндий цилиндр гадаргуу лтогтмол гадаргуугийн цэнэгийн нягтаар цэнэглэгддэг
(Зураг 80). r > R радиустай коаксиаль цилиндр гадаргууг зуръя.

Урсгалын вектор Ээнэ гадаргуугаар дамжин

Гауссын теоремоор

Дээрх тэгшитгэлийн баруун талыг тэнцүүлж, бид олж авна

.

Хэрэв цилиндрийн шугаман цэнэгийн нягтыг (эсвэл нимгэн утас) өгвөл
Тэр

3. Гадаргуугийн цэнэгийн нягт σ бүхий хязгааргүй хавтгайн талбар (Зураг 81).

Хязгааргүй хавтгайгаас үүссэн талбайг авч үзье. Тэгш хэмийн үүднээс авч үзвэл талбайн аль ч цэг дэх эрчим нь хавтгайд перпендикуляр чиглэлтэй байдаг.

Тэгш хэмтэй цэгүүдэд E нь ижил хэмжээтэй, эсрэг чиглэлтэй байх болно.

ΔS суурьтай цилиндрийн гадаргууг оюун ухаанаар бүтээцгээе. Дараа нь цилиндрийн суурь тус бүрээр урсах болно

F E = E ΔS ба цилиндр гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь F E = 2E ΔS-тэй тэнцүү байх болно.

Гадаргуу дотор Q = σ · ΔS цэнэг байна. Гауссын теоремоор бол үнэн байх ёстой

хаана

Хүлээн авсан үр дүн нь сонгосон цилиндрийн өндрөөс хамаарахгүй. Тиймээс ямар ч зайд E талбайн хүч нь ижил хэмжээтэй байна.

Гадаргуугийн ижил цэнэгийн нягт σ бүхий хоёр өөр цэнэглэгдсэн онгоцны хувьд суперпозицийн зарчмын дагуу хавтгай хоорондын зайны гадна талбайн хүч нь тэг E = 0, хавтгай хоорондын зайд.
(Зураг 82a). Хэрэв онгоцууд ижил гадаргуугийн цэнэгийн нягттай ижил цэнэгээр цэнэглэгдсэн бол эсрэг дүр зураг ажиглагдана (Зураг 82б). Хавтгайнуудын хоорондох зайд E = 0, хавтгайнуудын гаднах орон зайд
.

Цахилгаан индукцийн вектор урсгалын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Хязгааргүй жижиг талбайг авч үзье. Ихэнх тохиолдолд энэ нь зөвхөн сайтын хэмжээ төдийгүй орон зай дахь чиг баримжааг мэдэх шаардлагатай байдаг. Вектор талбайн тухай ойлголтыг танилцуулъя. Талбайн вектор гэж тухайн талбайд перпендикуляр чиглэсэн, тоон хувьд талбайн хэмжээтэй тэнцүү векторыг хэлнэ гэдэгтэй санал нийлэе.

Зураг 1 - Векторын тодорхойлолт руу - сайт

Векторын урсгалыг нэрлэе платформоор дамжуулан
векторуудын цэгэн үржвэр Тэгээд
. Тиймээс,

Урсгалын вектор дурын гадаргуугаар дамжуулан бүх элементар урсгалыг нэгтгэх замаар олно

(4)

Хэрвээ талбай нь жигд, гадаргуу нь тэгш байвал талбайд перпендикуляр байрласан бол:

. (5)

Өгөгдсөн илэрхийлэл нь сайтыг цоолох хүчний шугамын тоог тодорхойлно нэгж цаг тутамд.

Остроградский-Гаусын теорем. Цахилгаан орны хүч чадлын зөрүү

Дурын хаалттай гадаргуугаар цахилгаан индукцийн вектор урсах чөлөөт цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү , энэ гадаргуугаар бүрхэгдсэн

(6)

Илэрхийлэл (6) O-G теоремыг интеграл хэлбэрээр илэрхийлнэ. Теорем 0-Г нь интеграл (нийт) эффекттэй ажилладаг, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв
Энэ нь сансрын судлагдсан хэсгийн бүх цэгүүдэд цэнэг байхгүй, эсвэл энэ орон зайн өөр өөр цэгүүдэд байрлах эерэг ба сөрөг цэнэгийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байна уу гэдэг нь тодорхойгүй байна.

Өгөгдсөн талбарт байрлах цэнэг ба тэдгээрийн хэмжээг олохын тулд цахилгаан индукцийн вектортой холбоотой хамаарал шаардлагатай. ижил цэг дээр цэнэгтэй өгөгдсөн цэг дээр.

Нэг цэг дээр цэнэг байгаа эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй гэж бодъё А(Зураг 2)

Зураг 2 – Векторын зөрүүг тооцоолох

O-G теоремыг хэрэгжүүлье. Цэгийн байрлаж буй эзэлхүүнийг хязгаарласан дурын гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгал А, тэнцүү байна

Эзлэхүүн дэх цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг эзлэхүүний интеграл гэж бичиж болно

(7)

Хаана - нэгж эзлэхүүний төлбөр ;

- эзлэхүүний элемент.

Нэг цэг дэх талбар ба цэнэгийн хоорондох холболтыг олж авах АБид гадаргууг нэг цэг хүртэл агших замаар эзлэхүүнийг багасгах болно А. Энэ тохиолдолд бид тэгш байдлынхаа хоёр талыг үнэ цэнээр нь хуваадаг . Хязгаарт шилжихэд бид дараахь зүйлийг авна.

.

Үүссэн илэрхийллийн баруун тал нь тодорхойлолтоор сансар огторгуйд авч үзсэн цэг дэх эзэлхүүний цэнэгийн нягт юм. Зүүн тал нь битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгалын энэ гадаргуугаар хязгаарлагдах эзлэхүүнтэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг илэрхийлдэг бөгөөд эзэлхүүн нь тэг болох хандлагатай байдаг. Энэ скаляр хэмжигдэхүүн нь цахилгаан талбайн чухал шинж чанар бөгөөд үүнийг нэрлэдэг векторын ялгаа .

Тиймээс:

,

тиймээс

, (8)

Хаана - эзэлхүүний цэнэгийн нягт.

Энэ хамаарлыг ашиглан цахилгаан статикийн урвуу асуудлыг энгийнээр шийддэг, өөрөөр хэлбэл. мэдэгдэж буй талбарт хуваарилагдсан цэнэгийг олох.

Хэрэв вектор өгөгдсөн бөгөөд энэ нь түүний төсөөлөл мэдэгдэж байна гэсэн үг юм
,
,
координатын функцээр координатын тэнхлэгт шилжүүлж, өгөгдсөн талбарыг үүсгэсэн цэнэгийн тархсан нягтыг тооцоолохын тулд эдгээр проекцуудын гурван хэсэгчилсэн деривативын нийлбэрийг харгалзах хувьсагчдын хувьд олоход хангалттай юм. Үүний төлөө эдгээр цэгүүдэд
хураамжгүй. Хаана байгаа цэгүүдэд
эерэг бол эзлэхүүний нягттай тэнцүү эерэг цэнэг байна
, мөн тэдгээр цэгүүдэд хаана
сөрөг утгатай байх болно, сөрөг цэнэг байдаг, нягтрал нь мөн ялгаа утгаар тодорхойлогддог.

Илэрхийлэл (8) 0-Г теоремыг дифференциал хэлбэрээр илэрхийлнэ. Энэ хэлбэрээр теорем үүнийг харуулж байна цахилгаан талбайн эх үүсвэрүүд нь чөлөөт цахилгаан цэнэгүүд байх;цахилгаан индукцийн векторын талбайн шугамууд нь эерэг ба сөрөг цэнэгүүдээр эхэлж, төгсдөг.

Цахилгаан индукцийн Гауссын теорем (цахилгаан шилжилт)[

Диэлектрик орчинд байгаа талбайн хувьд Гауссын цахилгаан статик теоремыг өөр аргаар (өөр хувилбараар) бичиж болно - цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалаар (цахилгаан индукц). Энэ тохиолдолд теоремыг томъёолох нь дараах байдалтай байна: хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн векторын урсгал нь энэ гадаргуу дотор агуулагдах чөлөөт цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.

Дифференциал хэлбэрээр:

Соронзон индукцийн Гауссын теорем

Ямар ч хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх соронзон индукцийн векторын урсгал тэг байна.

эсвэл дифференциал хэлбэрээр

Энэ нь байгальд цахилгаан цэнэгүүд цахилгаан орон үүсгэдэгтэй адил соронзон орон үүсгэдэг "соронзон цэнэг" (монополь) байдаггүйтэй дүйцэхүйц юм. Өөрөөр хэлбэл, соронзон индукцийн Гауссын теорем нь соронзон орон нь (бүрэн) гэдгийг харуулж байна. эргүүлэг.

Ньютоны таталцлын тухай Гауссын теорем

Ньютоны таталцлын талбайн хүч чадлын хувьд (таталцлын хурдатгал) Гауссын теорем нь зөвхөн тогтмол хэмжигдэхүүнүүдийг эс тооцвол электростатикийн теоремтой бараг давхцдаг (гэхдээ нэгжийн системийн дурын сонголтоос хамааралтай хэвээр байгаа) ба хамгийн чухал нь тэмдэг:

Хаана g- таталцлын талбайн хүч, М- гадаргуугийн доторх таталцлын цэнэг (өөрөөр хэлбэл масс). С, ρ - массын нягтрал, Г- Ньютоны тогтмол.

Цахилгаан орон дахь дамжуулагч. Дамжуулагч дотор болон түүний гадаргуу дээрх талбар.

Дамжуулагч гэдэг нь цахилгаан цэнэг нь цэнэглэгдсэн биеэс цэнэггүй бие рүү дамждаг бие юм.Дамжуулагчийн цахилгаан цэнэгийг өөрсдөө дамжуулах чадварыг тэдгээрийн дотор үнэгүй цэнэглэгч байгаатай холбон тайлбарладаг. Дамжуулагч - хатуу ба шингэн төлөвт байгаа металл бие, электролитийн шингэн уусмал. Цахилгаан орон руу нэвтрүүлсэн дамжуулагчийн чөлөөт цэнэгүүд түүний нөлөөн дор хөдөлж эхэлдэг. Цэнэгүүдийн дахин хуваарилалт нь цахилгаан талбайн өөрчлөлтийг үүсгэдэг. Дамжуулагч дахь цахилгаан орны хүч тэг болох үед электронууд хөдөлгөөнийг зогсооно. Цахилгаан талбарт байрлуулсан дамжуулагч дахь ялгаатай цэнэгүүдийг салгах үзэгдлийг электростатик индукц гэж нэрлэдэг. Дамжуулагчийн дотор цахилгаан орон байхгүй. Энэ нь цахилгаан статик хамгаалалтанд ашиглагддаг - цахилгаан талбараас металл дамжуулагчийг ашиглан хамгаалах. Цахилгаан орон дахь ямар ч хэлбэрийн дамжуулагч биеийн гадаргуу нь эквипотенциал гадаргуу юм.

Конденсатор

Орчуулагчтай харьцуулахад бага потенциалтай үед мэдэгдэхүйц цэнэгийг өөртөө хуримтлуулах (конденсацлах) төхөөрөмжийг олж авахын тулд бусад биетүүд ойртох тусам дамжуулагчийн цахилгаан хүчин чадал нэмэгддэг гэдгийг ашигладаг. Үнэн хэрэгтээ, цэнэглэгдсэн дамжуулагчийн үүсгэсэн талбайн нөлөөн дор индукцлагдсан (дамжуулагч дээр) эсвэл холбогдох (диэлектрик дээр) цэнэгүүд түүнд авчирсан бие дээр гарч ирдэг (Зураг 15.5). q дамжуулагчийн цэнэгийн эсрэг талын цэнэгүүд нь q-тай ижил нэртэй цэнэгүүдээс илүү дамжуулагчтай ойрхон байрладаг тул түүний потенциалд ихээхэн нөлөөлдөг.

Тиймээс аливаа биеийг цэнэглэгдсэн дамжуулагч руу ойртуулах үед талбайн хүч буурч, улмаар дамжуулагчийн потенциал буурдаг. Тэгшитгэлийн дагуу энэ нь дамжуулагчийн багтаамжийн өсөлт гэсэн үг юм.

Конденсатор нь диэлектрик давхаргаар тусгаарлагдсан хоёр дамжуулагч (хавтан) (Зураг 15.6) -аас бүрдэнэ. Дамжуулагчид тодорхой боломжит зөрүүг хэрэглэх үед түүний ялтсууд нь эсрэг тэмдэгтэй тэнцүү цэнэгээр цэнэглэгддэг. Конденсаторын цахилгаан багтаамжийг q цэнэгтэй пропорциональ ба ялтсуудын хоорондох потенциалын зөрүүтэй урвуу пропорциональ физик хэмжигдэхүүн гэж ойлгодог.

Хавтгай конденсаторын багтаамжийг тодорхойлъё.

Хэрэв хавтангийн талбай нь S ба түүн дээрх цэнэг нь q бол ялтсуудын хоорондох талбайн хүч

Нөгөө талаас, ялтсуудын хоорондох боломжит ялгаа нь үүнээс үүсдэг

Цэгийн цэнэгийн системийн энерги, цэнэглэгдсэн дамжуулагч ба конденсатор.

Аливаа цэнэгийн систем нь харилцан үйлчлэлийн боломжит энергитэй байдаг бөгөөд энэ нь энэ системийг бий болгоход зарцуулсан ажилтай тэнцүү юм. Цэгэн цэнэгийн системийн энерги q 1 , q 2 , q 3 ,… q Ндараах байдлаар тодорхойлогддог.

Хаана φ 1 - бусад бүх цэнэгүүдээс үүссэн цахилгаан талбайн потенциал q 1 цэнэгийн байрлаж буй цэг дээр q 1 гэх мэт. Хэрэв цэнэгийн системийн тохиргоо өөрчлөгдвөл системийн энерги ч өөрчлөгдөнө. Системийн тохиргоог өөрчлөхийн тулд ажил хийгдэх ёстой.

Цэгэн цэнэгийн системийн боломжит энергийг өөр аргаар тооцоолж болно. Хоёр цэгийн цэнэгийн боломжит энерги q 1 , q 2 бие биенээсээ хол зайд тэнцүү байна. Хэрэв хэд хэдэн цэнэг байгаа бол энэ цэнэгийн системийн боломжит энергийг энэ системд бүрдүүлж болох бүх хос цэнэгийн боломжит энергийн нийлбэрээр тодорхойлж болно. Тиймээс гурван эерэг цэнэгийн системийн хувьд системийн энерги нь тэнцүү байна

Цэгэн цэнэгийн цахилгаан орон q 0 зайд диэлектрик тогтмолтай орчинд ε (Зураг 3.1.3-ыг үз). Зураг 3.1.3	; Потенциал нь скаляр бөгөөд түүний тэмдэг нь талбарыг үүсгэж буй цэнэгийн тэмдгээс хамаарна.
Зураг 3.1.4. Түүний гадаргуугаас хол зайд C цэгт байрлах нэгэн жигд цэнэглэгдсэн радиустай бөмбөрцгийн цахилгаан орон (Зураг 3.1.4). Бөмбөрцгийн цахилгаан орон нь бөмбөрцгийн цэнэгтэй тэнцүү цэгийн цэнэгийн талбайтай төстэй q sf ба түүний төвд төвлөрсөн. Хүчдэлийг тодорхойлох цэг хүртэлх зай нь (+Р)	а ; Хамрах хүрээнээс гадуур: , Бөмбөрцөг доторх потенциал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна
ба бөмбөрцөг доторх хурцадмал байдал тэг байна σ Гадаргуугийн нягтралтай жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтгайн цахилгаан орон (Зураг 3.1.5-ыг үз).	Зураг 3.1.5. Бүх цэгүүдэд хүч чадал нь ижил талбар гэж нэрлэгддэг. нэгэн төрлийн σ Гадаргуугийн нягтрал
- нэгж гадаргууд ногдох цэнэг (, онгоцны цэнэг ба талбайн хэмжээ хаана байна). Гадаргуугийн цэнэгийн нягтын хэмжээ. Хавтгай конденсаторын цахилгаан талбар нь ялтсууд дээрх цэнэгүүд нь ижил хэмжээтэй боловч тэмдгээр эсрэгээрээ (Зураг 3.1.6-г үз).	Зураг 3.1.6 Э=0. Конденсаторын гаднах зэрэгцээ хавтантай конденсаторын ялтсуудын хоорондох хурцадмал байдал Боломжит ялгаау конденсаторын хавтан (хавтан) хооронд: , хаанаг – ялтсуудын хоорондох зай, – конденсаторын ялтсуудын хооронд байрлуулсан диэлектрикийн диэлектрик тогтмол.

Конденсаторын хавтан дээрх гадаргуугийн цэнэгийн нягт нь түүн дээрх цэнэгийн хэмжээг хавтангийн талбайн харьцаатай тэнцүү байна.

Цэнэглэгдсэн ганц дамжуулагч ба конденсаторын энерги Тусгаарлагдсан дамжуулагч q цэнэгтэй бол түүний эргэн тойронд цахилгаан орон байх ба түүний гадаргуу дээрх потенциал нь -тэй тэнцүү ба багтаамж нь C. Цэнэг dq хэмжээгээр нэмэгдүүлье. dq цэнэгийг хязгааргүйгээс шилжүүлэхдээ тэнцүү ажил хийх ёстой

. Гэхдээ хязгааргүйд өгөгдсөн дамжуулагчийн электростатик талбайн потенциал тэг байна. Дараа нь

Дамжуулагчаас dq цэнэгийг хязгааргүйд шилжүүлэхэд цахилгаан статик талбайн хүчээр ижил ажлыг гүйцэтгэдэг. Үүний үр дүнд дамжуулагчийн цэнэг dq хэмжээгээр нэмэгдэхэд талбайн боломжит энерги нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл.

Энэ илэрхийлэлийг нэгтгэснээр бид цэнэгтэй дамжуулагчийн цэнэг тэгээс q хүртэл нэмэгдэхэд цахилгаан статик талбайн потенциал энергийг олно.

Харьцааг ашигласнаар бид потенциал энергийн W-ийн дараах илэрхийллийг гаргаж болно.

Ерөнхий томъёолол: Дурын сонгосон хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан орны хүч чадлын векторын урсгал нь энэ гадаргуугийн доторх цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.

SGSE системд:

SI системд:

нь битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан орны хүчний векторын урсгал юм.

- гадаргууг хязгаарлаж буй эзлэхүүнд агуулагдах нийт цэнэг.

- цахилгаан тогтмол.

Энэ илэрхийлэл Гауссын теоремыг интеграл хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Дифференциал хэлбэрээр Гауссын теорем нь Максвеллийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд тохирч, дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

SI системд:

,

SGSE системд:

Энд эзэлхүүний цэнэгийн нягт (орчин байгаа тохиолдолд чөлөөт ба холбогдсон цэнэгийн нийт нягт), набла оператор байна.

Гауссын теоремын хувьд суперпозицийн зарчим хүчинтэй, өөрөөр хэлбэл гадаргуугаар дамжин өнгөрөх эрчим хүчний векторын урсгал нь гадаргуугийн доторх цэнэгийн тархалтаас хамаардаггүй.

Гауссын теоремын физик үндэс нь Кулоны хууль буюу өөрөөр хэлбэл Гауссын теорем нь Кулоны хуулийн салшгүй томъёолол юм.

Цахилгаан индукцийн Гауссын теорем (цахилгаан шилжилт).

Матери дахь талбайн хувьд Гауссын цахилгаан статик теоремыг өөр өөрөөр бичиж болно - цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалаар (цахилгаан индукц). Энэ тохиолдолд теоремыг томъёолох нь дараах байдалтай байна: хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн векторын урсгал нь энэ гадаргуу дотор агуулагдах чөлөөт цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.

Хэрэв бид бодисын талбайн хүч чадлын теоремыг авч үзвэл гадаргуугийн дотор байрлах чөлөөт цэнэгийн нийлбэр ба диэлектрикийн туйлшралын (индукцлагдсан, холбогдсон) цэнэгийн нийлбэрийг Q цэнэг болгон авах шаардлагатай.

,

Хаана ,
нь диэлектрикийн туйлшралын вектор юм.

Соронзон индукцийн Гауссын теорем

Ямар ч хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх соронзон индукцийн векторын урсгал тэг байна.

.

Энэ нь байгальд цахилгаан цэнэг нь цахилгаан орон үүсгэдэгтэй адил соронзон орон үүсгэх "соронзон цэнэг" (монополь) байдаггүйтэй дүйцэхүйц юм. Өөрөөр хэлбэл соронзон индукцийн Гауссын теорем нь соронзон орон нь эргүүлэг гэдгийг харуулж байна.

Гауссын теоремын хэрэглээ

Цахилгаан соронзон орныг тооцоолохдоо дараах хэмжигдэхүүнүүдийг ашигладаг.

Эзлэхүүний цэнэгийн нягт (дээрхийг харна уу).

Гадаргуугийн цэнэгийн нягт

Энд dS нь хязгааргүй жижиг гадаргуугийн талбай юм.

Шугаман цэнэгийн нягт

Энд dl нь хязгааргүй жижиг сегментийн урт юм.

Хязгааргүй жигд цэнэглэгдсэн хавтгайгаас үүссэн талбайг авч үзье. Хавтгайн гадаргуугийн цэнэгийн нягтыг ижил ба σ-тэй тэнцүү болго. Хавтгайд перпендикуляр генератрис бүхий цилиндр ба хавтгайтай тэгш хэмтэй байрлалтай ΔS суурьтай гэж төсөөлье. Тэгш хэмийн улмаас. Хүчдэлийн векторын урсгал нь тэнцүү байна. Гауссын теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

,

хаанаас

SSSE системд

Гауссын теорем нь бүх нийтийн болон ерөнхий шинж чанартай хэдий ч интегралыг тооцоолоход тохиромжгүй тул интеграл хэлбэрийн Гауссын теорем нь харьцангуй хязгаарлагдмал хэрэглээтэй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч тэгш хэмтэй асуудлын хувьд түүний шийдэл нь суперпозиция зарчмыг ашиглахаас хамаагүй хялбар болно.