Өгөгдсөн шугамаар дамжин өнгөрөх онгоцны харандааны тэгшитгэл. Шугаман харандаа, шугамын харандааны тэгшитгэл. Олон тооны онгоц - тодорхойлолт

Онгоцны зөв харандаа нь нэг шугамаар дамжин өнгөрөх бүх онгоцнуудын багц юм.

Онгоцны зохисгүй харандаа нь бие биентэйгээ параллель байрладаг онгоцны багц юм.

Теорем 1.Ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлсон гурван хавтгайд зориулж

Декартын координатын ерөнхий системтэй харьцуулахад ижил харандаанд хамаарах, зөв ​​эсвэл буруу байх нь матрицын зэрэглэл нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

хоёр эсвэл нэгтэй тэнцүү байсан.

Шаардлагатай байдлын баталгаа. Гурван онгоц (1) нэг багцад хамаарагдана. Үүнийг нотлох шаардлагатай

Эхлээд өгөгдсөн гурван онгоц нь өөрийн багцад багтдаг гэж үзье. Дараа нь (1) систем нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй байдаг (зохистой харандааны тодорхойлолтоор: нэг шулуун шугамаар дамжин өнгөрөх гурван онгоц харандаанд хамаарна); Энэ нь үл мэдэгдэхийн коэффициентүүдээс бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай эсвэл тэгтэй тэнцүү эсэхээс хамаарч (1) систем нь өвөрмөц шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд л болно.

Хэрэв өгөгдсөн гурван хавтгай нь буруу харандаанд хамаарах бол матрицын зэрэглэлтэй байна

нь 1-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь матрицын зэрэглэл гэсэн үг юм Мхоёр эсвэл нэгтэй тэнцүү.

Хангалттай байдлын баталгаа. Өгөгдсөн: Өгөгдсөн гурван онгоц нэг багцад хамаарах болохыг батлах шаардлагатай.

Хэрэв, тэгвэл ба. Байгаа. Дараа нь (1) систем нь тууштай, хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй бөгөөд эдгээр хавтгайн дунд огтлолцсон нэгдлүүд байдаг (учир нь огтлолцох нэг ч байхгүй байсан бол тэдгээр нь бүгд параллель байх ба матрицын зэрэглэл нь 1-тэй тэнцүү байх болно) , тиймээс өгөгдсөн гурван онгоц нь өөрийн багцад хамаарна.

Хэрэв; , дараа нь бүх онгоцууд хоорондоо уялдаатай байна (тэдгээрийн хоёр нь мэдээж зэрэгцээ, гурав дахь нь зэрэгцээ хавтгайн аль нэгтэй давхцаж болно).

Хэрэв, тэгвэл ба, бүх онгоц давхцаж байвал.

Теорем 2. Хоёр өөр хавтгайг ерөнхий декартын координатын систем ба ерөнхий тэгшитгэлд өгье: ; .

Гурав дахь хавтгайд зориулж, мөн ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

ижил координатын системтэй харьцуулахад, хавтгайгаар тодорхойлсон харандаад хамаарах бөгөөд тэгшитгэлийн зүүн тал нь хавтгайнуудын тэгшитгэлийн зүүн талын шугаман хослол байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. болон.

Шаардлагатай байдлын баталгаа. Өгөгдсөн: онгоц нь онгоцоор тодорхойлогдсон онгоцны багцад хамаарна. Энэ нь бүх утгын хувьд ижил төстэй тоо байгаа эсэхийг батлах шаардлагатай X, цагт, z:

Уг нь гурван онгоц нэг багцад харьяалагддаг бол хаана

Энэ матрицын эхний хоёр мөр нь шугаман хамааралгүй (онгоцууд өөр өөр байдаг тул), гурав дахь эгнээ нь эхний хоёрын шугаман хослол тул, i.e. гэх мэт тоонууд байдаг

Эхний тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлэх X, хоёр дахь хэсгийн аль аль нь дээр цагт, гурав дахь хэсгийн аль аль нь дээр zҮүний үр дүнд үүссэн тэгш байдал ба тэгш байдлын нэр томъёог нэр томъёогоор нэмснээр бид нотлогдож буй ижил төстэй байдлыг олж авна.

Хангалттай байдлын баталгаа.Баримт бичгийг нь өгөөч

бүх утгын хувьд хүчинтэй X, цагтТэгээд z. Онгоц нь онгоцоор тодорхойлогдсон харандаанд хамаарах болохыг батлах шаардлагатай ба.

Энэ таних тэмдэгээс дараах харилцааг дагана.

Тиймээс матрицын гурав дахь эгнээ Мэхний хоёрын шугаман хослол байдаг тул. гэх мэт.

Нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэлийг хоёр өөр хавтгайгаар тодорхойлсон хавтгайн харандааны тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ба декартын координатын ерөнхий системд тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Батлагдсанчлан цацрагийн аливаа хавтгайн тэгшитгэлийг янз бүрийн хавтгайгаар тодорхойлж, хэлбэрээр бичиж болно.

Эсрэгээр, хэрэв тоонуудын ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл бол энэ нь хавтгайгаар тодорхойлогдсон харандаад хамаарах хавтгайн тэгшитгэл юм. Үнэхээр матрицын гурав дахь эгнээ М, тэгшитгэлийн коэффициентуудаас бүрдэх ба хэлбэртэй байна

тэдгээр. нь нөгөө хоёрын шугаман хослол тул.

Хэрэв хавтгай ба огтлолцох ба ба нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш бол бүх коэффициентүүд X, цагт, zХэрэв харилцаа үүссэн бол тэгшитгэл нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй

тэгвэл онгоцнууд таамаглаж байснаас эсрэгээрээ хоорондоо уялдаатай байх болно.

Гэхдээ хэрэв онгоцууд параллель байвал тоонууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш бөгөөд тэгшитгэлд бүх коэффициентүүд байдаг. X, цагтТэгээд zтэгтэй тэнцүү байна. Гэхдээ дараа нь энэ нь зохисгүй багц байх болно, шулуун шугамын багцын нэгэн адил энд та маш болгоомжтой байх хэрэгтэй.

Уг нийтлэлд хавтгайн өгөгдсөн цэг дээр төвтэй шугамын харандааны тодорхойлолтыг авч үзэх болно. Тодорхойлолтыг ашиглан нарийвчилсан шийдэлд дүн шинжилгээ хийж, шугамын харандаагаар тэгшитгэл зохиох, координатыг олох асуудлыг авч үзсэн.

Шугаман харандаа нь хавтгай дээр тодорхойлогддог боловч гурван хэмжээст орон зайд биш юм. Геометрийн аксиом нь хэрэв хавтгайд хоёр зөрж буй цэг байвал тэдгээрийн дундуур зөвхөн нэг шулуун шугам зурж болно гэж хэлдэг. Хэрэв γ хавтгайд M 0 ба M 1 цэгүүдийг зааж өгсөн бол бид тэдгээрийг дундуур нь шулуун зурж болно. M 0 M 1 шулуун дээр хэвтэхгүй өөр M 2 цэг байвал M 0 M 2 шулууныг зурж болно. Хэрэв бид зурсан шугамын аль нэгэнд хамааралгүй M 3 цэгийг тэмдэглэвэл түүгээр M 0-ийг дайран өнгөрөх шугамыг мөн зурж болно.

Үүнээс үзэхэд γ хавтгайд өгөгдсөн цэгээр олон шулуун шугам татах боломжтой. Энэ нь шугамын харандааг тодорхойлоход хүргэсэн.

Тодорхойлолт 1

M 0 цэгийг дайран өнгөрөх γ хавтгайд байрлах бүх шулуунуудын олонлогтой өгөгдсөн γ хавтгайг төв нь M 0 цэгт байгаа шугамын харандаа гэнэ.

Тодорхойлолт дээр үндэслэн энэ харандааны аль ч хоёр шугам нь энэ харандаа шугамын төвд огтлолцох болно. Энэ цацрагийн төвийг зааж өгсөн тохиолдолд цацрагийг тодорхойлно.

Шугамын харандааны тэгшитгэл - асуудлыг шийдвэрлэх

Асуудлыг шийдэхийн тулд шулуун шугамын харандааны тэгшитгэлийг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл харандаа нь өөрөө хавтгай дээрх O x y координатын системтэй харьцуулахад тооцогддог.

А 1 ба 2 гэсэн огтлолцох шулуунууд бүхий хавтгай дээр тэгш өнцөгт координатын систем O x y байх үед харандаа нь эдгээр шугамыг тодорхойлдог. O x y координатын систем нь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 эсвэл A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 хэлбэртэй шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг хариуцдаг.

Шулуунуудын огтлолцлын тэмдэглэгээг x 0 ба y 0 координаттай M 0 цэг гэж танилцуулъя. Үүнээс үзэхэд М цэг нь M 0 (x 0, y 0) координаттай байна.

Багцуудад ашигласан тэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлохын тулд теоремыг анхаарч үзээрэй.

Теорем

1 ба 2 гэсэн хоёр огтлолцсон шугамыг өгвөл O x y координатын системд үүссэн шугамын багцад багтсан шугамууд байдаг. Тэдгээрийн тэгшитгэл нь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, хэрэв α · шулууны тэгшитгэл (A 1 x + B 1 y + C 1) байвал л болно. = 0) + β · (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0 нь түүнд тохирох ба α ба β нь тэгтэй тэнцүү биш бодит тоо юм. Энэ нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ: α 2 + β 2 ≠ 0.

Баталгаа

Заасан харандааны a мөрийг авч үзээд нотлох баримтыг шалгаж эхэлье, үүний дараа бид үүнийг α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · (A 2) тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлж болохыг батлах болно. x + B 2 y + C 2 ) = 0 .

Цацрагийн төвийг M 0 = (x 0 , y 0) координаттай цэг гэж үзье.

Эндээс бид n → = (A 1, B 1) нь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 шулууны хэвийн вектор, тэгвэл n 2 → = (A 2, B 2) нь хэвийн байна. A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 шулууны вектор. a 1 ба a 2 шулуун нь нийтлэг огтлолцох цэггүй тул n → 1 ба n 2 → нь коллинеар бус векторууд болохыг бид олж мэдэв. Энэ нь n → хэвийн векторыг n 1 → ба n 2 → хоёр нийлмэл биш болгон өргөжүүлэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Задралыг n → = α · n 1 → + β · n 2 → томъёоны дагуу гүйцэтгэх ёстой. Үүний үр дүнд бид n → = (α · A 1 + β · A 2, α · B 1 + β · B 2) болохыг олж мэдэв.

Тооцооллын дараа бид n → = α · A 1 + β · A 2, α · B 1 + β · B 2-тэй тэнцүү a шулуун шугамын хэвийн векторын координатыг олж авна. М 0 (x 0 , y 0) цэгийн а шугамтай огтлолцох цэгийн координатыг а шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан бичнэ. Дараа нь бид хэлбэрийн илэрхийлэлийг олж авна:

α A 1 + β A 2 x - x 0 + α B 1 + β B 2 y - y 0 = 0 ⇔ ⇔ α (A 1 x + B 1 y - A 1 x 0 + B 1 y 0) + β A 2 x + B 2 y - A 2 x 0 - B 2 y 0 = 0

- A 1 x 0 - B 1 y 0 = C 1 and - A 2 x 0 - B 2 y 0 = C 2 -аар бид α · (A 1 x + B) хэлбэртэй a шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж авна. 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Дээрх хэрэгцээ нь батлагдсан.

Хангалттай байдлын нотолгоог олоход л үлдэж байна.

Энэ нь бид α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 илэрхийллийг батлах хэрэгтэй гэсэн үг бөгөөд энд α ба β нь зарим бодит тоо биш юм. тэгтэй тэнцүү бол огтлолцох цэг M 0 (x 0 , y 0) бүхий шугамын харандаагаар хийсэн тэгшитгэл байна. Ийм тэгшитгэлийг A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 огтлолцсон хоёр шулууныг ашиглан тодорхойлно.

α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэлийг α · A 1 + β · A 2 · x + α · B гэж бичье. 1 + β · B 2 · y + α · C 1 + β · C 2 = 0.

α · A 1 + β · A 2 ба α · B 1 + β · B 2 нь тэгээс өөр байх нөхцөл хангагдсан тохиолдолд тэгшитгэлийг ерөнхий гэж үзнэ. Үгүй бол бид α · A 1 + β · A 2 = 0 ⇔ A 1 = - β α · A 2 ба α · B 1 + β · B 2 = 0 ⇔ B 1 = - β α · хэлбэрийн илэрхийлэлийг хүлээн авсан. B 2 эсвэл α · A 1 + β · A 2 = 0 ⇔ A 2 = - α β · A 1 ба α · B 1 + β · B 2 = 0 ⇔ B 2 = - α β · B 1. Энэ нь векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг юм.

Энэ тохиолдолд энэ боломжгүй, учир нь n 1 → ба n 2 → нь огтлолцсон a 1 ба a 2 шулуунуудын хэвийн векторууд юм.

Бидэнд α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэл нь шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм. Дараа нь огтлолцох цэгийн координатууд, өөрөөр хэлбэл M 0 (x 0, y 0) цэгийн координатууд хангагдаж байгааг батлах шаардлагатай. α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгш байдал үнэн эсэхийг баталъя.

M 0 (x 0 , y 0) нь шугамын огтлолцлын цэг бөгөөд энэ нь түүний координатууд нь огтлолцсон хоёр шулууны тэгшитгэлийг хангах ёстой гэсэн үг юм.

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 нь үнэн байх үед α A 1 x + B 1 y + C 1 + β A 2 x + B болно. 2 y + C 2 = α · 0 + β · 0 = 0.

Q.E.D.

α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 хэлбэртэй тэгшитгэл нь цацрагийн тэгшитгэл гэж бид дүгнэж болно.

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэл бүхий өгөгдсөн багцад байрлах шугамуудыг тодорхойлохын тулд α ба β-ийн утгууд шаардлагатай. .

Параметрүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байх шаардлагатай бол илэрхийллийг хялбаршуулж болно. α ≠ 0 байх нөхцөлд бид A 1 x + B 1 y + C 1 + λ · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 хэлбэрийн илэрхийлэлийг λ = α β-тэй авна.

β ≠ 0-ийн хувьд илэрхийлэл нь μ = α β-тэй μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 хэлбэртэй байна.

Эдгээр нь α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 хэлбэртэй шугамын харандааны тэгшитгэлтэй тэнцүү биш юм. λ-ийн аливаа утгын хувьд A 1 x + B 1 y + C 1 + λ · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэл нь A 2 x + хэлбэрийн тэгшитгэлийг авах боломжгүй болно. B 2 y + C 2 = 0.

μ-ийн аль ч утгын хувьд μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэл нь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 гарахгүй. .

Шийдвэрлэх жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ 1

М 0 (- 1, 4), k = 3 цэг дээр өгөгдсөн төвтэй шулуун цацрагийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

М 0 (- 1, 4) координаттай өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициент 3-тай тэнцүү болгох шаардлагатай. Дараа нь бид налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичээд y - 4 = 3 · (x - (- 1)) ⇔ y = 3 x + 7 болно.

Хариулт: y = 3 x + 7.

Жишээ 2

Хэрвээ огтлолцсон шулуунуудын хоёр тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол x - 4 2 = y + 3 0 ба x 2 3 + y - 1 = 1 байвал O x y дахь шугамын харандааны төвийн координатыг ол.

Шийдэл

Цацрагийн төвийн координатыг олохын тулд x - 4 2 = y + 3 0 ба x 2 3 + y - 1 = 1 огтлолцох цэгүүдийг олох хэрэгтэй.

Бид x - 4 2 = y + 3 0 хавтгай дээрх шулууны каноник тэгшитгэл нь x 2 3 + y - 1 = 1-тэй тэнцэх ба x 2 3 + y - 1 = 1 хэрчмүүдийн тэгшитгэл нь тэнцүү болохыг олж авна. 3 2 шугамын ерөнхий тэгшитгэлд x - y - 1 = 0 .

Одоо бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг багтаасан тэгшитгэлийн системийг бүтээж байна.

Бид үүнийг ойлгодог

y + 3 = 0 3 2 x - y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 3 2 x - (- 3) - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x = - 4 3

- 4 3, - 3 нь бүх шугам огтлолцох төв цэгийн координат гэдгийг бид олж мэднэ.

Хариулт: - 4 3 , - 3 .

Жишээ 3

Нийтлэг огтлолцох цэгтэй 3 x - 2 y + 1 = 0 ба x = - 2 + 2 · λ y = 5 · λ шугамуудыг ашиглан тодорхойлсон O x y дахь шугамын харандааны тэгшитгэлийг эмхэтгэ.

Шийдэл

Эхлээд та шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг авах хэрэгтэй. Энэ нь x = - 2 + 2 · λ y = 5 · λ параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

Үүнийг дагадаг

x = - 2 + 2 λ y = 5 λ ⇔ λ = x + 2 2 λ = y 5 ⇔ x + 2 2 = y 5 ⇔ ⇔ 5 (x + 2) = 2 у ⇔ 5 x - 2 y + 10 = 0

Шугаман харандааны тэгшитгэлийг бичээд α · (3 x - 2 y + 1) + β · (5 x - 2 y + 10) = 0, α ба β нь бодит тоо, энд α 2 + -ийг авъя. β 2 нь урьдчилсан нөхцөл ≠ 0 гэж тооцогддог.

Хариулт:α · (3 x - 2 y + 1) + β · (5 x - 2 y + 10) = 0 .

Жишээ 4

M 1 (2, - 1) цэгийг дайран өнгөрч, α · (5 x + y - 19) + β · (2 ​​​​x - 3 y +) тэгшитгэлтэй шугамын харандаанд хамаарах шулууны тэгшитгэлийг бич. 6) = 0.

Шийдэл

Асуудлыг хоёр аргаар шийддэг.

Эхний арга нь уулзварын төв болох M 0-ийг тодорхойлохоос эхэлнэ. Дараа нь та 5 x + y - 19 = 0 ба 2 x - 3 у + 6 = 0 тэгшитгэлийн огтлолцлын цэгүүдийг олох хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийн үр дүн нь M 0-ийн координат болно.

Бид үүссэн системийг шийдэх замаар координатуудыг тодорхойлно.

5 x + y - 19 = 0 2 x - 3 y + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x 2 x - 3 (19 - 5 x) + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x x = 3 ⇔ ⇔ y = 19 - 5 3 x = 3 ⇔ y = 4 x = 3

Энэ нь M 0 цэг нь координаттай (3, 4) гэсэн үг юм. Үүнийг M 0 (3 , 4) гэж бичнэ. M 0 (3, 4) ба M 1 (2, - 1) координаттай цэгүүдээр дамжин өнгөрөх шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авах. Үүний үр дүнд бид:

x - 3 2 - 3 = y - 4 - 1 - 4 ⇔ x - 3 - 1 = y - 4 - 5 ⇔ x - 3 1 = у - 4 5

Хоёр дахь арга нь α · (5 x + y - 19) + β · 2 x - 3 y + 6 = 0 тэгшитгэл нь шулууны тэгшитгэл болохын тулд α ба β параметрүүдийг тодорхойлох шаардлагатай гэдгээс эхэлдэг. M 1 (2, - 1) -ийг дайран өнгөрөх шугам. Үүнийг хийхийн тулд бид M 1-ийн координатыг олоод үүнийг авна

α 5 2 + (- 1) - 19 + β 2 2 - 3 (- 1) + 6 = 0 ⇔ ⇔ - 10 α + 13 β = 0 ⇔ α = 13 β 10

Бид β = 10 утгыг авна; хэрэв хүсвэл та α-ийн энгийн тооцооллыг өгдөг β-ийн бусад утгыг сонгож болно. Бид α = 13 · β 10 = 13 · 10 10 = 13 болно.

Өгөгдсөн цацрагийн тэгшитгэлд α = 13 ба β = 10 утгыг орлуулахдаа бид дараахь зүйлийг хувиргана.

13 (5 х + у - 19) + 10 (2 х - 3 у + 6) = 0 ⇔ 85 x - 17 у - 187 = 0 ⇔ 5 x - у - 11 = 0

Үүссэн тэгшитгэлийн эквивалентыг шалгах шаардлагатай.

x - 3 1 = y - 4 5 ⇔ 5 x - 3 = 1 y - 4 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Үүнээс үзэхэд бүх зүйлийг зөв шийдсэн.

Хариулт: 5 x - y - 11 = 0.

Жишээ 5

3 x - y + 5 = 0 мөр нь α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 шугамын харандаанд хамаарах эсэхийг тодорхойл.

Шийдэл

Шийдэл нь хоёр аргаар хийгддэг.

Шийдлийн эхний арга нь өгөгдсөн цацрагийн тэгшитгэлийн координатын төвүүдийг олж, шалгахаас эхэлнэ.

x - 2 y + 4 = 0 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 2 y - 4 - y + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 у - 4 у = 0 ⇔ x = 2 0 - 4 у = 0 ⇔ x = - 4 у = 0 3 (- 4) - 0 + 5 = 0 ⇔ - 7 = 0

3 x - y + 5 = 0 шулуун шугамын тэгшитгэлд төвийн координатыг орлуулснаар буруу тэгшитгэл гарч байгааг бид олж мэдэв. Шулуун шугам нь цацрагийн төвийг огтолдоггүй гэж бид дүгнэж байгаа бөгөөд энэ нь түүнд хамаарахгүй гэсэн үг юм.

Хоёрдахь арга нь хаалт нээж, ижил төстэй α · (x - 2 y + 4) + β · x - y + 4 = 0 ⇔ 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 гэсэн нэр томъёог авчрах замаар эхэлнэ.

3 x - y + 5 = 0 шугам нь шугамын харандаанд хамаарах үед α ба β гэсэн хоёр тэгшитгэл нь α + β x - 2 α + β y + 4 α + 4 β = 0 байх болно. ба 3 x - y + 5 = 0 нь тэнцүү байна.

Дараа нь α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 гэсэн гурван тэгшитгэлээс бүрдсэн системийг олж авна.

Үүнийг хувиргахын тулд x ба y хувьсагчдын коэффициентүүд болон одоо байгаа тэгшитгэлүүдийн чөлөөт гишүүн α + β · x - 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 ба 3 x - y тэнцүүлэх шаардлагатай. + 5 = 0 нь уусмалын үр дүнг гаргана.

Үүнийг шалгахын тулд Кронекер-Капелли теоремыг ашиглах шаардлагатай.

Үүнийг хийхийн тулд эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн системийн үндсэн ба өргөтгөсөн матрицуудыг бичих шаардлагатай. Бид A = 1 1 2 1 4 4, T = 1 1 3 2 1 1 4 4 5 гэдгийг олж авна.

Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлийг олох үр дүн нь 3, учир нь 1 1 3 2 1 1 4 4 5 = 7 ≠ 0 байна.

Эндээс α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 тэгшитгэлийн систем тодорхойлогдоогүй, өөрөөр хэлбэл шийдлүүдтэй байна. Шийдэл байхгүй тул шугам нь одоо байгаа харандаануудын шугамын төвөөр дамжин өнгөрдөггүй.

Хариулт:үгүй, 3 x - y + 5 = 0 мөр нь α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр бичигдсэн өгөгдсөн шугамын харандаанд хамаарахгүй. .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Энэ нийтлэлд бид шугамын харандаа гэсэн ойлголтыг авч үзэх болно. Шулуун шугамын харандааны тэгшитгэлийг төсөөлье. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шугамын харандааны тэгшитгэлийг олох жишээг өгье.

цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл юм П. Эсрэгээр, цэгээр дамжин өнгөрөх аливаа шулуун шугам Пзарим тооны хувьд (3) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог λ 1 ба λ 2 .

Баталгаа. Нэгдүгээрт, бид (3) тэгшитгэл нь шугаман тэгшитгэл (эхний дарааллын тэгшитгэл) гэдгийг харуулж байна. коэффициент байх тэгшитгэл xэсвэл yтэгтэй тэнцүү биш.

Бид коэффициентүүдийг бүлэглэнэ xТэгээд y:

Дараа нь, жишээлбэл, хэзээ λ 1 ≠0 (теоремын дагуу хамгийн багадаа нэг тоо λ 1 ба λ 2 нь тэгтэй тэнцүү биш), бид дараахь зүйлийг авна.

(6)

.

(7)

Үүссэн тэгш байдал нь (1) ба (2) тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугамуудын параллелизмын нөхцөл бөгөөд теоремын нөхцөлтэй зөрчилддөг (эдгээр шугамууд огтлолцдог бөгөөд давхцдаггүй). Тиймээс (5) тэгшитгэлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй, өөрөөр хэлбэл. дор хаяж нэг коэффициент xТэгээд y(4) тэгшитгэлийн хувьд тэгтэй тэнцүү биш байна. Эндээс (4) тэгшитгэл нь шугаман тэгшитгэл (эхний зэргийн тэгшитгэл) бөгөөд зарим шулуун шугамын тэгшитгэл юм. Теоремын дагуу энэ шулуун цэгийг дайран өнгөрдөг П(x 0 , y 0), энэ нь (1) ба (2) шугамын огтлолцол, i.e. Дараахь тэгш байдлыг хангана.

тэдгээр. тэгшитгэл (3) цэгээр дамждаг П.

Теоремын хоёр дахь хэсгийг баталъя. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх дурын шулуун гэдгийг харуулъя Пзарим утгын хувьд (3) тэгшитгэлээр тодорхойлогдоно λ 1 ба λ 2 .

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугамыг авцгаая ПТэгээд М"(x", у"). Энэ шулуун шугам нь зарим утгын хувьд (3) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог болохыг харуулъя λ 1 ба λ 2 нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш.

Теоремын баталгааны эхний хэсэгт бид цэгийг дайран өнгөрөх шулуун болохыг харуулсан П(3) тэгшитгэлээр тодорхойлогдоно. Одоо, хэрэв энэ шугам өөр цэгээр дамжин өнгөрвөл М"(x", у"), тэгвэл энэ цэгийн координатууд (3) тэгшитгэлийг хангах ёстой:

Хаалтанд байгаа илэрхийллүүд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэдгийг анхаарна уу, учир нь Энэ нь хоёр тэгшитгэл хоёулаа цэгүүдээр дамждаг гэсэн үг юм ПТэгээд М"(x", у") тул давхцаж байна. Жишээлбэл, λ 1 (А 1 x" 0 +Б 1 у" 0 +C 1)≠0. Дараа нь асуух замаар λ 2 нь тэгээс ялгаатай дурын тоо бөгөөд (9) -ийг харгалзан шийд λ 1:

Цэгийн координатыг орлуулъя Мтэгшитгэлд (12):

Хялбарчилъя (13):

Жишээ нь асууснаар, λ 2 = 4, бид авна λ 1 =−5.

Үнэ цэнээ оруулъя λ 1 ба λ 2 инч (12):

Хариулт:

−6x−31y+13=0.

Жишээ 2. Төвтэй шугамын харандааны тэгшитгэлийг байгуул М(4,1):

Шийдэл. Цэгтэй давхцахгүй байгаа хоёр өөр цэгийг авч үзье М: М 1 (2,1), М 2 (−1.3). Цэгүүдийг дайран өнгөрөх тэгшитгэл байгуулъя МТэгээд М 1. Ердийн вектор nЭнэ шугамын 1 нь цэгүүдийн координатын зөрүүтэй тэнцүү векторт ортогональ байх ёстой. МТэгээд М 1: =(2−4, 1−1)=(−2,0). Тэдгээр. та үүнийг авч болно n 1 =(0,1). Дараа нь хэвийн вектор бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл n 1 цэгээр дамжин өнгөрөх Мдараах хэлбэртэй байна:

Хариулт:

Бусад оноо авахыг анхаарна уу М 1 ба М 2-т бид ижил харандаа, гэхдээ хоёр өөр шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Алгебр, геометрийн лекцүүд. Семестр 1.

Лекц 14. Хавтгай дээрх шугамын харандаа, онгоцны харандаа, нэг баглаа онгоцны тэгшитгэл.

Бүлэг 14. Хавтгай дээрх шугамын харандаа, онгоцны харандаа ба олон тооны хавтгайн тэгшитгэл.

1-р зүйл. Хавтгай дээрх харандаа шугамын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх шугамын харандаа нь харандааны төв гэж нэрлэгддэг нэг нийтлэг цэгтэй өгөгдсөн хавтгайн бүх шугамын багц юм.

Зураг дээр 1 цэг
- цацрагийн төв.

Теорем. Болъё

– Окси координатын хавтгайд нэг цэг дээр огтлолцсон хоёр шулуун шугам
. Дараа нь тэгшитгэл

Хаана
- нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш дур зоргоороо бодит тоонууд, харандааны төв нь цэг дээр байрлах шугамын харандааны тэгшитгэл байдаг.
.

Баталгаа.

Энэ цацрагийн дурын шулуун шугамыг L нь цэг дээр байгаа цацрагийн төвтэй байна
Тэгээд нь түүний хэвийн вектор юм. Дараа нь L шугамын вектор тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

, (2)

Хаана – цэгийн радиус вектор
, – одоогийн радиусын вектор, өөрөөр хэлбэл. одоогийн цэгийн радиус вектор
.

Шууд болохоороо Тэгээд
теоремын таамаглалууд огтлолцох үед тэдгээрийн хэвийн векторууд нь коллинеар биш тул суурь болдог.

Дараа нь вектор Үүний үндсэн дээр өргөжүүлж болно:

,

Хаана
– энэ тэлэлтийн коэффициентүүд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, учир нь тодорхойлолтоор бол ердийн вектор
. (2)-г орлуулснаар бид эсвэл болно

Гэхдээ
Тэгээд
– шулууны вектор тэгшитгэл Тэгээд
, өөрөөр хэлбэл ,

(3)-д орлуулснаар бид (1) тэгш байдлыг олж авна.

Ийнхүү өгөгдсөн харандаанаас авсан дурын шугамын тэгшитгэл (1) хэлбэртэй болохыг бид нотолсон.

Үүний эсрэгээр бид үүнийг аль ч хүнд нотолж байна
, нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, тэгшитгэл (1) нь өгөгдсөн харандаанаас авсан зарим шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

Үнэн хэрэгтээ, нэг талаас, ямар ч тохиолдолд
, нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, тэгшитгэл (1) нь шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм.

Нөгөө талаас (1) тэгшитгэлийг оруулъя.
нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш дурын бодит тоонууд ба let
– цацрагийн төвийн координатууд. Учир нь
Тэгээд
, тэгвэл цацрагийн төвийн координатууд нь шулуун шугамын тэгшитгэлийг хангана Тэгээд
:

Дараа нь цэгийн координатыг орлуулна
(1) тэгшитгэлд бид авна

Тэдгээр. тэгшитгэл (1) нь цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл юм
, энэ нь мөр нь энэ багцад хамаарах гэх мэт.

Теорем нь батлагдсан.

Сэтгэгдэл. Хэрэв (1)

. Хэрэв
, тэгвэл (1) тэгшитгэл нь шулуун шугамын тэгшитгэл болно . Иймд (1) тэгшитгэлийг хуваавал
, дараа нь бид өгөгдсөн харандаанаас шугамаас бусад дурын шугамын тэгшитгэлийг олж авна
:

Жишээ. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх дурын шулууны тэгшитгэлийг бич
.

Шийдэл. Шаардлагатай шулуун шугам нь багцын төв цэг дээр байрлах шулуун шугамын багцын шулуун шугам юм.
. Энэ багцад дараах хоёр мөр хамаарах нь ойлгомжтой.

Тэгээд

Эсвэл
,
. Дараа нь энэ харандааны аль ч шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийн Грек үсгийг латин үсгээр солих юм бол бид үүнийг авна

– өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл
. Ялангуяа хэзээ
, бид гарал үүсэл дээр харандааны төвтэй шулуун шугамын харандааны тэгшитгэлийг олж авна.
.

(5) тэгшитгэлийг хуваах
, бид өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна
:

, (6)

мөн хэзээ
, бид координатын эхийг дайран өнгөрөх өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

.

Өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл
, Хаана
, нь харандааны төв нь гарал үүсэлтэй шугамын харандааны тэгшитгэл юм.

2-р зүйл. Олон тооны онгоцны тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Онгоцны багц гэдэг нь нэг нийтлэг цэгтэй бүх хавтгайн багцыг багцын төв гэж нэрлэдэг.

Теорем. байг, ,

– PDSC Oxyz-д нэг нийтлэг цэгтэй гурван онгоц
. Дараа нь тэгшитгэл, (7)

Хаана
– нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш дур зоргоороо бодит тоо, багцын төв цэг дээр байрлах хавтгайнуудын багцын тэгшитгэл байдаг.
.

Баталгаа нь шугамын харандааны тэгшитгэлийн тухай өмнөх теоремын нотолгоог бараг давтдаг.

Жишээ. Багцын төв нь нэг цэгт байх хавтгайн багцын тэгшитгэлийг ол
.

Шийдэл. Дараах гурван хавтгай нэг цэгт огтлолцох нь ойлгомжтой
:

,
,
.

Дараа нь тэгшитгэл

Хаана
мөн тэгтэй тэнцүү биш, шаардлагатай тэгшитгэл байдаг.

Ялангуяа, хэрэв
, дараа нь тэгшитгэл

(9)

нь багцын төв нь эх цэг дээр байх хавтгайн багцын тэгшитгэл юм.

3-р зүйл. Олон тооны онгоцны тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Онгоцны багц гэдэг нь нэг шулуун шугамын дагуу огтлолцох бүх хавтгайн багцыг багцын тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Теорем. Болъё

шулуун шугамын дагуу огтлолцсон хоёр хавтгай нь L. Дараа нь тэгшитгэл

Хаана
– нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш дурын бодит тоонууд нь L цацраг тэнхлэгтэй хавтгайн цацрагийн тэгшитгэл юм.

Баталгаа нь шугамын харандааны тэгшитгэлийн теоремын баталгаатай төстэй бөгөөд уншигчдад үлдээв.

Жишээ. Тэнхлэг нь x тэнхлэг болох хавтгайнуудын харандааны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, координатын хавтгайнууд

Тэгээд
Үхрийн тэнхлэгийн дагуу огтлолцоно.

Дараа нь энэ тохиолдолд тэгшитгэл (10) хэлбэрийг авна

. Грек үсгийг латин үсгээр сольж, бид олж авдаг

, (11)

Хаана
– нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш дурын бодит тоонууд. Тэгшитгэл (11) нь Ox цацрагийн тэнхлэгтэй хавтгайн цацрагийн хүссэн тэгшитгэл юм.

Үүний нэгэн адил, Eq.

, (12)

нь Oy цацраг тэнхлэгтэй хавтгайнуудын багцын тэгшитгэл ба тэгшитгэл юм

(13)

нь Oz цацрагийн тэнхлэгтэй хавтгайн цацрагийн тэгшитгэл юм.

4-р зүйл. Шугаман ба хавтгай дээрх үндсэн асуудлууд.

Бодлого 1. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол
Тэгээд
.

Бид энэ асуудлыг аль хэдийн шийдсэн тул 11-р лекцийн 4-р догол мөр, 1-р даалгаврыг үзнэ үү.

.

Бодлого 2. Хоёр шулууны хоорондох өнцгийг ол

Тэгээд
.

Энэ асуудлыг 11-р лекцийн 4-р догол мөрөнд шийдсэн.

Шаардлагатай өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна

эсвэл
.

Бодлого 3. Хавтгайн хэвийн векторын координат нь мэдэгдэж байгаа бол онгоцны ерөнхий тэгшитгэлийг ол
болон цэгийн координатууд
, өгөгдсөн онгоцон дээр хэвтэж байна.

Шийдэл. Энэ асуудлын нэг шийдлийг 2-р зүйлийн (8) томъёонд өгсөн болно.

Үүнтэй ижил тэгшитгэлийг өөр аргаар олж авч болно. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл нь

Хаана
нь түүний хэвийн векторын координатууд юм. D коэффициентийг олоход л үлдлээ. Үүний тулд цэгийн координатыг тэгшитгэлд орлъё.
:, хаана.

Тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

– онгоцны шаардлагатай тэгшитгэл.

Бодлого 4. Өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг ол
,
Тэгээд
.

Бодлого 3-аас харахад хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд түүний хэвийн векторын координатыг мэдэхэд хангалттай. мөн өгөгдсөн хавтгай дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд.

Хавтгайн хэвийн векторын хувьд бид векторын вектор үржвэрийг авч болно
вектор руу
, мөн онгоцон дээр хэвтэж буй цэгийн хувьд бид цэгийг авч болно
. Бид авдаг

Шаардлагатай хавтгай тэгшитгэлийг өөр хэлбэрээр авч болно. Вектор хэлбэрийн хавтгай тэгшитгэл нь

,

.

Бодлого 5. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл. Геометрээс бид хоёр хавтгайн хоорондох хоёр өнцөгт өнцгийг шугаман өнцгөөр хэмждэгийг мэднэ (12-р зургийг үз).

Шугаман өнцөг гэдгийг харахад хялбар байдаг , хоёр хавтгайн хоорондох хоёр өнцөгт өнцгийг хэмжих нь өнцөгтэй тэнцүү байна
эдгээр хавтгайн хэвийн векторуудын хооронд буюу тэнцүү байна
. Энд харилцан перпендикуляр талуудтай өнцгийн тэгш байдлын тэмдгийг ашигладаг.

эсвэл
.

Тиймээс хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох асуудал нь векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох асуудал болж буурдаг.

Бодлого 6. Өгөгдсөн цэгээс зайг ол
өгөгдсөн онгоц руу

Шийдэл. Дурын цэгийг сонгоцгооё
, өгөгдсөн онгоцон дээр хэвтэж байна. гэдгийг анхаарна уу
, тэгвэл координатын гарал үүсэл нь хавтгай дээр байх ба цэг болгон авч болно
. Хэрэв
, тэгвэл ийм цэг болгон бид координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгтэй хавтгайн огтлолцох цэгийг авч болно. Хавтгай нь бүх гурван координатын тэнхлэгтэй параллель байх боломжгүй тул ядаж нэг координатын тэнхлэг энэ хавтгайг огтолж байна.

Жишээлбэл,
– онгоцны координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэг Ox. Энд
, Хэрэв
.

Тиймээс цэг зурцгаая
нэг арга замаар сонгосон, дараа нь зай
өгөгдсөн цэгээс
өгөгдсөн онгоц руу векторын проекцын модультай тэнцүү байна
хавтгайн хэвийн вектор руу :

.

-ээс хойш энэ томъёог хэлбэрээр бичиж болно

. (14)

Тодорхойлолт. Дурын ерөнхий хавтгай тэгшитгэл ба орон зайн дурын цэгийг өгье
. Тоо

цэгийн зөрүү гэж нэрлэдэг
онгоцтой харьцангуй .

Үлдэгдэл гэсэн ойлголтыг ашиглан цэгээс хавтгай хүртэлх зайны томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

.

Тодорхойлолт. Хэмжээ

(15)

цэгийн хазайлт гэж нэрлэдэг
онгоцноос .

Сүүлчийн тодорхойлолтоос харахад нэг цэгээс хол байна
онгоц руу цэгийн хазайлтын модультай тэнцүү байна
онгоцноос :

Томъёо (21)-ээс харахад хазайлт ба зөрүү нь ижил тэмдэгтэй байна.

Сэтгэгдэл. (14) – (16) томъёог өөр хэлбэрээр бичиж болно. Энэ хавтгайн тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулъя.

болон бусад тохиолдолд хасах.

Одоо цэгээс хавтгай хүртэлх зайны томъёо (14) дараах хэлбэрийг авна.

- цэгийн хазайлт
онгоцноос .

Бодлого 7. Өгөгдсөн цэгээс зайг ол
энэ мөрөнд
.

Шийдэл. Асуудлыг өмнөхтэй адил шийддэг.

. Учир нь
, Тэр

.

Шулуун шугамтай харьцуулахад цэгийн зөрүү, шулуун шугамаас хазайх тухай ойлголтуудыг ижил төстэй байдлаар нэвтрүүлсэн.

Тодорхойлолт. Шугамын дурын ерөнхий тэгшитгэлийг өгье
ба хавтгай дээрх дурын цэг
. Тоо

цэгийн зөрүү гэж нэрлэдэг
шулуун шугамтай харьцангуй L.

Тодорхойлолт. Хэмжээ

цэгийн хазайлт гэж нэрлэдэг
онгоцноос .

Хэрэв бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулбал:

,

, мөн нэмэх тэмдгийг хэзээ тохиолдолд авна
хасах, үгүй ​​бол цэгээс шулуун хүртэлх зайны томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

- цэгийн хазайлт
шулуун шугамаас L.

Бодлого 8. Хоёр зэрэгцээ хавтгай хоорондын зайг ол.

Шийдэл. 1-р арга. Нэг хавтгай дээрх дурын цэгийг олж, түүнээс хоёр дахь хавтгай хүртэлх зайг ол, өөрөөр хэлбэл. Энэ асуудлыг 6-р асуудал болгон бууруул.

2-р арга. Зэрэгцээ хавтгайн тэгшитгэлийг хоёуланг нь хэвийн хэлбэрт оруулъя.

Хаана
Тэгээд
- онгоцны хэвийн векторууд Тэгээд
тус тус
,
– гарал үүсэлээс онгоц хүртэлх зай Тэгээд
тус тус.

Ердийн векторуудаас хойш Тэгээд гарал үүслээс хавтгай руу чиглэсэн бол 2 тохиолдол боломжтой:

A)
. Дараах зурагт хоёр зэрэгцээ хавтгайг бүдүүвчээр үзүүлэв Тэгээд
ба тэдгээрийн нэгж нормаль векторууд нь О эхээс авсан.

Энд,
,
– эх үүсвэрээс харгалзах хавтгай хүртэлх зай. Аль хавтгай нь координатын гарал үүсэлтэй ойр байгаа нь тодорхойгүй тул онгоц хоорондын зай

б)
. Ердийн векторуудаас хойш Тэгээд нь координатын гарал үүслээс хавтгай руу чиглэсэн ба эсрэг талд байгаа бол координатын гарал үүсэл нь хавтгайн хооронд байна, дараах зургийг үзнэ үү.

Энд өмнөх тохиолдлын адилаар
,
– гарал үүсэлээс харгалзах хавтгай хүртэлх зай. Үүнээс үзэхэд онгоцны хоорондох зай

Бодлого 9. Хоёр зэрэгцээ шулууны хоорондох зайг ол.

Энэ өгүүлэлд бид онгоцны харандааны тодорхойлолтыг өгч, өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд хамаарах хавтгайн харандааны тэгшитгэлийг гаргаж, онгоцны харандааны тухай ойлголттой холбоотой шинж чанарын асуудлын шийдлүүдийг нарийвчлан авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Онгоцны багц - тодорхойлолт.

Геометрийн аксиомуудаас харахад гурван хэмжээст орон зайд нэг хавтгай шулуун шугам ба түүн дээр хэвтээгүй цэгийг дайран өнгөрдөг. Мөн энэ мэдэгдлээс харахад урьдчилан тодорхойлсон шулуун шугамыг агуулсан хязгааргүй олон хавтгай байдаг. Үүнийг зөвтгөе.

Бидэнд шулуун шугам өгье a. a шулуун дээр хэвтэхгүй M 1 цэгийг авъя. Дараа нь шулуун шугам ба M 1 цэгээр бид зөвхөн нэг хавтгай зурж болно. Үүнийг тэмдэглэе. Одоо хавтгайд хэвтдэггүй M 2 цэгийг авч үзье. Шулуун а ба М2 цэгийг дайран өнгөрөх ганцхан хавтгай байна. Хэрэв бид хавтгайд ч биш, хавтгайд ч байхгүй M 3 цэгийг авбал a шулуун ба M 3 цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайг байгуулж болно. Өгөгдсөн a шугамыг дайран өнгөрөх онгоц бүтээх энэ үйл явцыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болох нь ойлгомжтой.

Ингэж л бид онгоцны багц гэдэг ойлголтод хүрдэг.

Тодорхойлолт.

Бөөн онгоцнь өгөгдсөн нэг шугамыг дайран өнгөрөх гурван хэмжээст орон зай дахь бүх хавтгайнуудын олонлог юм.

Багцын бүх хавтгайд агуулагдах шулуун шугамыг энэ багцын төв гэж нэрлэдэг. Тиймээс "а төвтэй онгоцнуудын багц" гэсэн илэрхийлэл хэрэгжинэ.

Онгоцны тодорхой багцыг түүний төвийг зааж өгөх эсвэл энэ багцын аль нэг хоёр хавтгайг зааж өгөх замаар тодорхойлж болно, энэ нь үндсэндээ ижил зүйл юм. Нөгөө талаар огтлолцох дурын хоёр хавтгай нь тодорхой багц хавтгайг тодорхойлдог.

Олон тооны онгоцны тэгшитгэл - асуудлыг шийдвэрлэх.

Практик зорилгын хувьд геометрийн дүрс дэх хавтгайн багцаас илүү сонирхол татдаг.

"Онгоцны багцын тэгшитгэл гэж юу вэ" гэсэн логик асуултанд даруй хариулъя?

Үүнийг хийхийн тулд бид Oxyz-ийг гурван хэмжээст орон зайд нэвтрүүлж, хоёр хавтгайг зааж өгснөөр онгоцны багцыг зааж өгсөн гэж бид таамаглах болно. Хавтгай нь хэлбэрийн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлд, хавтгай нь хэлбэрт тохирно. Тэгэхээр, хавтгайн багцын тэгшитгэл нь энэ багцын бүх хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлсон тэгшитгэл юм.

Дараах логик асуулт гарч ирнэ: "Тэгш өнцөгт координатын Oxyz систем дэх хавтгайнуудын багцын тэгшитгэлийн хэлбэр нь юу вэ?"

Хавтгайн харандааны тэгшитгэлийн хэлбэрийг дараах теоремоор өгөв.

Теорем.

Хавтгай нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр огтлолцсон хавтгайгаар тодорхойлогддог хавтгайн харандаанд хамаарах бөгөөд хэрэв түүний ерөнхий тэгшитгэл нь , энд ба нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш дурын бодит тоонууд байна. нөхцөл нь тэгш бус байдалтай тэнцүү).

Баталгаа.

Хангалттай байдлыг батлахын тулд та дараахь зүйлийг харуулах хэрэгтэй.

Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье. Үүссэн тэгшитгэл нь ерөнхий хавтгай тэгшитгэл болно, хэрэв илэрхийлэл ба нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна.

Тэд үнэхээр зөрчилдөөнөөр нэгэн зэрэг алга болдоггүй гэдгийг баталцгаая. Ингэж бодъё. Дараа нь, хэрэв, тэгвэл, хэрэв, тэгвэл. Үүссэн тэгш байдал нь векторууд ба харилцаа холбоотой буюу (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү), тиймээс, болон . Хавтгайн хэвийн вектор учраас - хавтгайн хэвийн вектор ба векторууд нь коллинеар, дараа нь хавтгай ба параллель эсвэл давхцаж байна (хоёр хавтгайн параллелизмын нөхцлийн өгүүллийг үзнэ үү). Гэхдээ энэ нь байж болохгүй, учир нь онгоцууд нэг багц онгоцыг тодорхойлдог тул огтлолцдог.

Тэгэхээр тэгшитгэл нь үнэхээр хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хавтгай нь ба .

Хэрэв энэ нь үнэн бол хэлбэрийн тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байна. (Хэрэв бичмэл тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол системийг бүрдүүлсэн хавтгай нь нэг нийтлэг цэгтэй тул хавтгай нь огтлолцох хавтгайгаар тодорхойлогдсон шулууныг огтолж, тэгшитгэлийн бичмэл системд шийдэл байхгүй бол , тэгвэл бүх гурван хавтгайд нэгэн зэрэг хамаарах цэг байхгүй тул хавтгай нь огтлолцсон хавтгай ба )-ээр тодорхойлогдсон шулуунтай параллель байна.

Бичсэн тэгшитгэлийн системийн эхний тэгшитгэл нь хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн шугаман хослол тул энэ нь илүүдэл бөгөөд үр дагаваргүйгээр системээс хасагдах боломжтой (бид энэ талаар нийтлэлд ярьсан). Өөрөөр хэлбэл, анхны тэгшитгэлийн систем нь хэлбэрийн тэгшитгэлийн системтэй тэнцүү байна . Мөн энэ систем нь огтлолцдог тул онгоцууд нь хязгааргүй олон нийтлэг цэгтэй байдаг тул хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй байдаг.

Хангалттай нь батлагдсан.

Зайлшгүй байдлын нотолгоо руу шилжье.

Шаардлагатай гэдгийг нотлохын тулд урьдчилан тодорхойлсон хавтгай нь огтлолцлын шугамаар дамжин өнгөрөхөөс үл хамааран энэ нь параметрийн тодорхой утгын тэгшитгэлээр тодорхойлогддог болохыг харуулах шаардлагатай.

Цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцыг ав ба хавтгайнуудын огтлолцлын шугамаар ба (M 0 нь эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугам дээр оршдоггүй). М 0 цэгийн координатууд нь тэгшитгэлийг хангах, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал нь үнэн байх параметрүүдийн ийм утгыг сонгох боломжтой гэдгийг харуулъя. Энэ нь хангалттай гэдгийг батлах болно.

М 0 цэгийн координатыг тэгшитгэлд орлуулъя: . Онгоцууд нь M 0 цэгийг нэгэн зэрэг өнгөрөөгүй тул (эсвэл эдгээр онгоцууд давхцах болно), дор хаяж нэг илэрхийлэл байна. эсвэл тэгээс ялгаатай. Хэрэв бол тэгшитгэлийг дараах параметртэй холбож шийдэж болно мөн параметрт дурын тэг биш утгыг өгснөөр бид тооцоолно. Хэрэв , дараа нь параметрт дурын тэг биш утгыг өгвөл бид тооцоолно .

Теорем бүрэн батлагдсан.

Тэгэхээр, энэ нь харагдаж байна. Энэ нь цацрагийн бүх хавтгайг тодорхойлдог. Хэрэв бид зарим хос утгыг авбал ба тэдгээрийг олон тооны хавтгайн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь бид энэ багцаас нэг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг олж авна.

Хавтгайн багцын тэгшитгэлд параметрүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш тул үүнийг , хэрэв , хэрэв , хэрэв хэлбэрээр бичиж болно.

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгшитгэлүүд нь хэлбэрийн хавтгайн тэгшитгэлтэй тэнцэхгүй, учир нь аливаа утгын хувьд хэлбэрийн хавтгайн тэгшитгэлийг тэгшитгэлээс олж авах боломжгүй бөгөөд аливаа утгын тэгшитгэлээс хэлбэрийн хавтгайн тэгшитгэлийг олж авах боломжгүй.

Жишээнүүдийг шийдвэрлэх рүү шилжье.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт координатын системд Oxyz нь огтлолцох хоёр хавтгайгаар тодорхойлогддог хавтгайн харандааны тэгшитгэлийг бич. Мөн .

Шийдэл.

Сегмент дэх хавтгайн өгөгдсөн тэгшитгэл нь хэлбэрийн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Одоо бид хэд хэдэн хавтгайд шаардлагатай тэгшитгэлийг бичиж болно: .

Хариулт:

Жишээ.

Онгоц нь төвтэй онгоцны багцад хамаарах уу?

Шийдэл.

Хэрэв хавтгай нь цацрагт хамаарах бол цацрагийн төв болох шулуун шугам нь энэ хавтгайд байрладаг. Тиймээс та шулуун дээр хоёр өөр цэг авч, тэдгээр нь хавтгайд хэвтэж байгаа эсэхийг шалгаж болно. Хэрэв тийм бол онгоц нь заасан онгоцны багцад хамаарахгүй бол энэ нь хамаарахгүй.

Орон зай дахь шугамын параметрийн тэгшитгэл нь түүн дээр байрлах цэгүүдийн координатыг тодорхойлоход хялбар болгодог. Хоёр параметрийн утгыг (жишээлбэл, ба) авч, шулуун шугамын M 1 ба M 2 хоёр цэгийн координатыг тооцоолъё.