Сааталтай тэгшитгэл. Сааталтай динамик объектын төлөвийн тэгшитгэл Сааталтай шугаман тэгшитгэлийн интеграл дүрслэл

Шугаман бус олон хэмжээст динамик объектуудын төлөвийн тэгшитгэлийг бүртгэх, орон зайд өргөтгөлтэй хяналтын систем, тээвэрлэлтийн саатлын элементүүдийг нэгтгэн дүгнэсэн болно. Ерөнхий дүгнэлтийг интеграторуудын хамт саатал холбоосыг хамгийн энгийн динамик холбоосуудад оруулах замаар гүйцэтгэдэг. гаралтын утгыг бие даасан төлөвийн хувьсагч гэж үздэг хүмүүс.

1. Инерцийн динамик объектууд

Төлөв хувьсагчид дахь динамик объектын уламжлалт математикийн тодорхойлолт нь төлөвийн хувьсагчийн өөрчлөлтийн хурдыг тухайн объектод үзүүлэх нөлөөлөл ба төлөвийн хувьсагчийн утгуудыг холбодог төлөвийн вектор тэгшитгэл, түүнчлэн векторын тэгшитгэлийг агуулдаг. объектын гаралтын хэмжигдэхүүний утгууд (эсвэл тэдгээрийн хэмжилтийн үр дүн) түүний төлөв байдлын хувьсагч ба түүнд үзүүлэх нөлөөлөл:

• x - төлөвийн хувьсагчийн вектор;
• u нь объектод үзүүлэх нөлөөллийн вектор;
• y - объектын гаралтын утгуудын вектор;
• z - хөндлөнгийн вектор;
• f(.) ба g(.) нь нэлээд ерөнхий функцууд юм.

Систем (К.1.1) нь олон хэмжээст орон зайн төвлөрсөн (цэг) шугаман бус инерциал-динамик хяналтын объектын төлөвийн хувьсагчийн вектор дифференциал-алгебрийн тэгшитгэлийн систем юм.

(К.1.1) тэгшитгэлээс харахад динамик объектын тайлбар нь бүтцийн хувьд шугаман ялгах (үнэндээ динамик, инерциал) ба инерцгүй хоёр шугаман бус гэсэн гурван төрлийн операторыг агуулж байгааг хялбархан харж болно: холбох элемент ба найрлагын элемент:

Шугаман ялгах оператор нь төлөвийн хувьсагчийн агшин зуурын өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог тул инерцийг тайлбарладаг бөгөөд иймээс бага ч гэсэн өмнөх зарим хугацааны хувьд одоо мэдэгдэж байгаа хувьсагчийн утгыг тодорхойлдог. Үүнийг инерци гэж тайлбарлах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. зан үйлийн зарим урьдчилан тодорхойлсон байдал.

Цагаан будаа. K.1.1. Инерцийн объектын тодорхойлолт ба түүний бүтцийн загвар. Дифференциал тэгшитгэл нь нөлөөллийн шалтгаан-үр дагаврын хамаарлыг илэрхийлдэг X болон хариу үйлдэл (хариу) y Дифференциал тэгшитгэл нь нөлөөллийн шалтгаан-үр дагаврын хамаарлыг илэрхийлдэгхамгийн энгийн инерцийн холбоос: нөлөөлөл гаралтын утгыг y ийм байдлаар өөрчлөхөд хүргэдэгхурд Энэ өөрчлөлт нь шууд пропорциональ байна. Интегратор нь хамгийн энгийн, үндсэн динамик (инерциал) элементийн загвар юм. Бүтцийн загвар нь шалтгаан, нөлөөлөл нь үр дагавар, гаралтын утга болж хэрхэн хувирч байгааг тусгасан болно: хамгийн энгийн (үндсэн) инерцийн загвар нь нөлөөллийн хуримтлал, хадгалалтыг баталгаажуулдаг.

Объектын шугаман загварт суперпозицийн зарчим хүчинтэй тул хувьсагчдын найрлагын оператор нь тэдгээрийн жигнэсэн нийлбэр бөгөөд холболтын оператор нь шугаман болно.

Төлөвийн хувьсагчид дахь динамик объектын тэгшитгэлийг мөн интеграл хэлбэрээр үзүүлж болох бөгөөд энэ нь бүтцийн загварчлалд илүү ойлгомжтой болно.

Төлөвийн тэгшитгэл нь динамик объектын өөрийн дотоод инерцийг тодорхойлдог.

Гаралтын тэгшитгэл нь гаралтын хэмжигдэхүүний векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хэмжилтийн хөндлөнгийн оролцоог харгалзан үздэг.

Цэвэр инерцийн динамик объектын төлөв байдал, зан үйлийн хандлага, ядаж хязгааргүй бага интервалын хувьд тухайн объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн утгуудын багцаар тодорхойлогддог бөгөөд тухайн объектын харгалзах байрлалаар харагдана. олон хэмжээст төлөвийн орон зайн төлөөлөх цэг.

Инерцийн объектын тухай мэдээлэл нь бүрэн гүйцэд учраас төлөөлөх цэгийн траекторийн аль ч цэгийн координатыг төлөвийн тэгшитгэлийг нэгтгэх анхны нөхцөл гэж үзэж болно, i.e. Динамик объектын гадны нөлөөн дор эсвэл байхгүй тохиолдолд зан төлөвийг үнэлэх, төлөөлөх цэгийн хөдөлгөөний дараагийн бүх замыг тодорхойлох.

Үүнийг харуулахын тулд бид өөр өөр анхны нөхцөл бүхий чөлөөт хэлбэлзлийн системийн загварт зориулсан фазын хөрөг зургийг (хоёр хэмжээст төлөвийн орон зай дахь объектуудыг төлөөлөх цэгүүдийн хөдөлгөөний замнал) танилцуулж байна.

2. Сааталтай элемент бүхий өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэл

Объектын загвар дахь саатлын холбоосыг инерцийн (интегратор) хамт хамгийн энгийн динамик элементүүдийн хоёрдахь төрөл болгон авч үзэх нь бараг бүх нарийн төвөгтэй динамик объектуудыг төлөв байдлын хувьсагчид жигд дүрслэх боломжийг олгодог. тэдгээрийн дүн шинжилгээ, оновчлол.

2.1. Өргөтгөсөн динамик объектуудын загваруудын тэгшитгэл ба бүтэц

Өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэлийн дифференциал хэлбэр

Динамик объектын загварын зарим салбаруудад саатлын элементүүд байгаа нь сааталгүй объекттой харьцуулахад объектын динамик шинж чанарыг ихээхэн, ихэвчлэн үндсээр нь өөрчилдөг.

Тиймээс зөвхөн инерцийн элементүүдийн (интеграторуудын) гаралтын утгуудад тохирох төлөвүүдийн орон зай нь саатлын холбоос бүхий объектын төлөв байдал, үйл ажиллагааг бүрэн тодорхойлж чадахгүй байна.

Динамик объектын саатлын элементийг инерцийн нэгэн адил динамик, гаралтын утгыг тусдаа төлөвийн хувьсагч гэж үзэх хэрэгтэй.

Хязгаарлагдмал хугацааны интервалын дохиог саатуулдаг холбоосыг энгийн динамик гэж ангилах үндэс нь бодит объектын загваруудын хамгийн энгийн динамик элементийн хоёр төрлийн ижил төстэй ба ялгаан дээр үндэслэсэн бөгөөд дараах байдалтай байна.

Гадны ялгаа нь инерцийн элементийг энгийн дифференциал тэгшитгэлээр, харин хоцрогдсон элементийг алгебрийн нэгээр тайлбарладагт оршино.

"Динамик" гэсэн нэр томъёо нь гадны нөлөөн дор байгаа зан төлөвийг дор хаяж хязгааргүй бага интервалаар урьдчилан таамаглах боломжтой объектуудыг хэлдэг. Уламжлал ёсоор цорын ганц динамик гэж тооцогддог инерцийн элемент болох интегратор нь энэ шаардлагыг хангаж байна. Гэхдээ саатлын холбоос нь түүнд үзүүлэх нөлөөллийн суурь нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шаардлагыг хангана. Энэ тохиолдолд саатлын холбоос нь түүний гаралтын утгын цаашдын хязгаарлагдмал хугацааны интервалын төлөв байдлыг хатуу тодорхойлох боломжийг олгодог. Тэр. Сааталын холбоосыг динамик гэж ангилж болно.

Тархалт бүхий суурин бус саатлын элемент ба түүний онцгой тохиолдол болох цэвэр саатал элемент, түүнчлэн хамгийн энгийн инерцийн элемент нь динамик бөгөөд учир нь түүний гаралтын дохио нь өвөрмөц бөгөөд бусад, зөвхөн инерцийн төлөвийн хувьсагч. Энэ нь ийм найрлагад цаг хугацаа алдсаны үр дүн юм.

Коши хэлбэрээр үзүүлсэн цэгийн объектуудын төлөв байдлын тэгшитгэлийг өргөтгөсөн объектууд болон тээвэрлэлтийн сааталтай объектуудад нэгтгэхийн тулд бид урьдчилан таамаглах операторыг албан ёсоор нэвтрүүлж байна. Урд (τ) :

Ерөнхий тохиолдолд энэ оператор нь мэдээжийн хэрэг физикийн хувьд хэрэгжих боломжгүй, учир нь энэ нь τ хязгаарлагдмал хугацааны интервалд үйлчилж буй хувьсагчийн утгыг урьдчилан таамаглах ёстой. Гэхдээ энэ оператор нь төлөвийн тэгшитгэлийн анхны албан ёсны "сайхан" дүрслэлд л хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийн бүтцийн шийдлийг хэрэгжүүлсэн саатал операторын тусламжтайгаар хийх боломжтой. Нөгөөтэйгүүр, төлөвийн тэгшитгэл дэх таамаглах оператор нь зөвхөн саатал, оролтын нөлөө бүхий объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн үйл ажиллагааны түүхээр тодорхойлогддог төлөв байдлын хувьсагч дээр ажилладаг. ийм найрлагатай, тиймээс энэ тохиолдолд энэ нь биелэх боломжтой, учир нь урьдчилсан таамаглал нь арын дэвсгэр дээр хатуу тодорхойлогддог.

Ингээд өргөтгөсөн динамик объектын төлөвийн хувьсагчдын вектор тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

(К.2.1.2)-д бичих, уншихад хялбар болгох үүднээс төлөвийн хувьсагчдыг хоёр бүлэгт хуваана.

Эхний бүлгийн хувьсагч х (1) нь объектын хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн төлөвийн хувьсагч, тэдгээрийн гаралтын утгууд юм. Хувьсагч х (2) нь объектын саатлын холбоосуудын гаралттай харгалзах төлөвийн хувьсагч юм. Зарчмын хувьд "инерцийн" болон "хойшлогдсон" төлөвийн хувьсагчдыг дурын дарааллаар бичиж, дугаарлаж, нэг вектор тэгшитгэлд нэгтгэж болох нь ойлгомжтой.

Динамик объектын төлөв байдлын тэгшитгэлийн ерөнхий систем нь зөвхөн нэг бие даасан хувьсагчтай байдаг гэдгийг анхаарна уу - хугацаа t. (К.2.1.2)-д заасан объектын орон зайн шинж чанарыг хязгаарлагдмал (хязгааргүй) хурдтай буюу тээвэрлэлтийн сааталтай орон зайд нөлөөллийн тархалтаас үүдэлтэй саатал τ хугацааны векторыг харгалзан шууд бусаар дүрсэлсэн болно.

2.1-ийн (2.1.2)-д заасан тайлбар нь зөвхөн тэгшитгэлийн баруун талд сааталыг зааж өгөхөөр хязгаарлагдах бөгөөд загварын бүтцэд саатал холбоосыг өөрийн төлөвийн хувьсагчаар тодорхойлогддог функциональ элемент болгон оруулаагүй болно. Төлөвийн тэгшитгэлийн ижил төстэй анхны дүрслэлийг “1.5. Тээврийн саатал бүхий системийг оновчтой хянах, 188 ff, түүнчлэн .

Тэгшитгэлийн хэлбэр (K.2.1.2) нь саатлын холбоосын гаралтын утгуудад харгалзах тусгай төлөвийн хувьсагчдыг оруулахад санал болгож буй хэлбэрээс ялгаатай байна. Ийм байдлаар саатлын холбоосууд нь хамгийн энгийн динамиктай холбоотой бөгөөд динамик объектуудын тайлбар нь бүх нийтийн шинж чанартай болдог.

Энэ зүйлд санал болгож буй динамик объектын дүрслэлд тухайн объектын одоогийн дотоод төлөвийг интегратор ба саатлын холбоосын гаралтын утгуудтай харгалзах төлөвийн хувьсагчийн утгын вектор, мөн түүний түүхээр бүрэн тодорхойлогддог. тэдний зан байдал.

Өргөтгөсөн объектын төлөв байдлын тэгшитгэлийн салшгүй хэлбэр

Сааталтай динамик объектын төлөвийн хувьсагчдын тэгшитгэлийг салшгүй "хоцролттой" хэлбэрээр танилцуулж болох бөгөөд энэ нь объектын бүтцийн загварыг гаргахад илүү ойлгомжтой байж магадгүй юм.

саатуулагч операторууд хаана байна:

таамаглагчтай холбоотой эсрэг үйлдэл хийх Урд (.).

Тиймээс (К.2.1.3) нь олон хэмжээст өргөтгөсөн шугаман бус стационар бус динамик объектын вектор төлөвийн хувьсагчдын салшгүй “хоцрогдсон” тэгшитгэлүүд юм. Хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн гаралтын дохионд харгалзах хувьсагчдын хэсэг нь х (1) вектороор тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь хувьсагчдын нэгэн адил бүх хувьсагчийн зарим хослолын хуримтлалын (интеграл) үр дүн юм. нөлөөлөл нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно. Х (2) гэж тэмдэглэгдсэн төлөвийн хувьсагчдын хоёр дахь хэсэг нь бүх төлөвийн хувьсагчийн зарим хослол, түүнчлэн объектын оруулах үйлдлүүдийн тодорхой хугацааны сааталыг илэрхийлдэг. τ (вектор), энэ нь ерөнхийдөө цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно. Эдгээр тэгшитгэлийн дагуу бүтцийн тэгшитгэлийг байгуулж болно. виртуал-аналог, динамик объектын загварууд.

Өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэлийн анхны нөхцөлүүд

Тэгшитгэлд (K.2.1.3) саатлын холбоосуудын (операторуудын) анхны нөхцөл нь интеграторуудын адил цагийн тэг агшин дахь төлөвийн хувьсагч ба оролтын үйлдлүүдийн хослолын утга биш юм. Тэгшитгэлийг (K.2.1.3) өвөрмөц байдлаар шийдвэрлэхийн тулд эдгээр холбоосуудын оролтын утгуудын үйл ажиллагааны түүхийг тодорхойлох функцийн хэлбэрээр саатлын холбоосуудын анхны нөхцлийг тохируулах шаардлагатай. үүний төлөө тэд хойшлуулдаг.

Тэр. "Санах ойтой" саатлын холбоосууд нь объектын үйл ажиллагааны асуудлыг хоёрдмол утгагүй шийдвэрлэхийн тулд илүү их мэдээлэл шаарддаг: интеграторуудад хангалттай байдаг шиг зарим үед төлөвийн хувьсагчийн утгын вектор биш, харин интеграци эхлэхээс өмнөх саатлын холбоосуудтай харгалзах хугацааны интервалд заасан функцүүдийн вектор (төрийн хувьсагч ба объект дээрх оролтын нөлөөллийн хослол).

Өөрөөр хэлбэл, сааталтай системүүдийн төлөвийн орон зай дахь цэг ба траекторийн хувьд динамик объектын төлөв байдал, төлөв байдал нь зөвхөн энэ орон зай дахь цэгийн байрлалаар тодорхойлогддоггүй, мөн түүний өмнөх замналаар тодорхойлогддог. саатал” дэд орон зай x(2) ба дэд орон зайд х (1) “инерцийн” хувьсагчид, түүнчлэн харгалзах саатлын холбоосуудад саатал гарсан тухайн хугацааны интервал дахь гадны нөлөөллийн зан байдлын түүх.

Хойшлуулсан объектын төлөв байдлын тэгшитгэлийг илэрхийлэх уламжлалт хэлбэрийн ижил төстэй мэдэгдлийг 2.1-р хэсэгт өгсөн болно.

"Цаг хугацааны дурын агшинд сааталтай тасралтгүй объектын төлөв нь зөвхөн тодорхой хязгаарлагдмал тооны параметрүүдээр тодорхойлогддог (төрийн хувьсагч гэсэн үг - F.B.T.) (хоцрогдолгүй объектын хувьд), мөн тодорхой функцээр тодорхойлогддог. интервал дээр тус тус . Энэ нь ийм объектуудын менежментийг ихээхэн хүндрүүлдэг."

Ерөнхийдөө саатлын холбоосын анхны нөхцөлийг тодорхойлох асуудал нь зөвхөн динамик объектыг төлөвийн хувьсагчид дүрслэхээс гадна бусад тайлбарын аргуудын онцлог шинж юм. Ихэнхдээ динамик объектуудыг сааталтай дижитал загварчлахдаа "хойшлогдсон" хувьсагчдын анхны траекторийг авдаг, жишээлбэл. саатлын нэгжийн гаралтын утга тогтмол байна. Үүнийг хийхийн тулд холбоосын буферийг эхлээд тэг эсвэл тогтмолоор дүүргэдэг.

Динамик объектын нэг хэсэг болох саатлын холбоосын оролтын дохио нь бусад холбоосууд болон объектод үзүүлэх нөлөөлөлтэй холбоотой төлөвийн хувьсагчдын найрлага тул саатлын холбоосын гаралтын дохионы өөрчлөлтийн хатуу урьдчилсан таамаглалыг тохируулах нь тэнцүү юм. ижил хугацааны интервалд нэрлэгдсэн төлөвийн хувьсагч болон нөлөөллийн зан байдлын өмнөх түүхийг тодорхойлох.

Цагаан будаа. 2.1.1. Тодорхой цаг хугацааны хоцрогдолтой динамик объектын төлөв нь тухайн үеийн төлөвийн хувьсагчдын утгууд болох координатууд нь төлөвийн орон зай дахь түүний төлөөлөх цэгийн байрлалаар тодорхойлогддог. одоогийн цэгээс өмнөх цаг хугацааны цэгүүдэд энэ цэгийн замнал. Олон хэмжээст төлөвийн орон зайг инерцийн төлөвийн хувьсагчдын дэд орон зай ба "хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагчийн дэд орон зай болгон төлөөлж болно.

Тиймээс цэгийн объектуудын хувьд төлөвийн орон зай дахь төлөөлөх цэгийн байрлал нь динамик объектын төлөв байдал, ойрын ирээдүйд түүний зан төлөвийн чиг хандлагыг бүрэн тодорхойлдог. Сансар огторгуйд тархсан, бүтцэд нь тээвэрлэлтийн саатлын холбоос бүхий объектуудын хувьд тэдгээрийн төлөв байдал, цаашдын зан төлөв нь зөвхөн дүрслэх цэгийн одоогийн байрлалаар тодорхойлогддог төдийгүй өмнөх үеийн орон зай дахь хөдөлгөөний траектороор тодорхойлогддог. нэлээд том, хугацааны интервал.

Саатал бүхий динамик объектын загварын бүтэц

Системд тохирох саатал бүхий динамик объектын загварын бүтцийг (К.2.1.3) зурагт томруулсан хэлбэрээр үзүүлэв.

Цагаан будаа. K.2.1.2. Орон зайд өргөтгөсөн ажиглагдсан олон хэмжээст хөдөлгөөнгүй шугаман бус динамик хяналтын объектын загварын үндсэн бүтцийн элементүүдийн томруулсан бүдүүвч дүрслэл. Объектийн өөрийн динамик шинж чанарууд нь зүүн блокийн бүтэц, шинж чанар, параметрүүдээр тодорхойлогддог хувиргагч блок нь төлөвийн хувьсагчдыг хэмжиж болох хэмжигдэхүүн болгон хувиргадаг (эсвэл шууд хэмжилтийн үр дүнд);

Цагаан будаа. K.2.1.3. Динамик объектын загварын бүтэц нь түүний дотоод "бодисын солилцоо" -ыг илэрхийлдэг. нөлөөлөл ба хувьсагчийн утгыг шилжүүлэх чиглэл, түүнчлэн тэдгээрт хийгдсэн үйлдлүүд. Сааталтай объектын зан төлөвийг зөвхөн "инерцийн" төлөвийн хувьсагчдын анхны нөхцлийн вектороор төдийгүй бүх төлөвийн хувьсагчийн түүх, түүнчлэн объектод үзүүлэх нөлөөллийн түүхээр тодорхойлдог.

Функциональ саатлын элементүүдтэй нийлмэл динамик объектыг бүтцийн хувьд инерцийн болон "саатсан" гэсэн хоёр зэрэгцээ контураар дүрсэлсэн байдаг. Бүхэл бүтэн объектын төлөвийн хувьсагч нь инерцийн болон "хойшлогдсон" төлөвийн хувьсагчдын хослол юм (объектийн бүтэц дэх хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн гаралтын утгууд ба "хойшлогдсон" утгууд, өөрөөр хэлбэл саатлын холбоосын гаралтын утгууд) нэг вектор.

Дээр дурдсанчлан, ерөнхий тохиолдолд тодорхой саатлын холбоосын оролтын дохиог тухайн объектын төлөвийн бүх хувьсагч болон түүнд үзүүлэх бүх нөлөөллийн аль алинаар нь тодорхойлно. Тиймээс объектын төлөв байдал, дараа нь зан төлөвийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлохын тулд "хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагчийн зан төлөвийн үнэ цэнэ, таамаглал, эсвэл түүнтэй адилтгах бүх төлөвийн зан байдлын түүхийг мэдэх шаардлагатай. хувьсагч ба объектын оруулах үйлдэл.

2.2. Өргөтгөсөн объектуудын хамгийн энгийн бүтцийн элементүүд

Динамик объектуудын сааталтай төлөв ба гаралтын тэгшитгэл (К.2.1.2) ба (К.2.1.3)-аас харахад тэдгээрийг тодорхойлоход ердөө дөрвөн оператор хангалттай. Орон зайн өргөтгөл болон (эсвэл тээвэрлэлтийн саатал) бүхий динамик систем, объектуудын хамгийн энгийн дөрвөн элементийн (эдгээр операторуудын виртуал аналог) математикийн тодорхойлолтыг шууд бусаар тэдгээрийг тодорхойлсон физик хуулиудад үндэслэн энгийн тэгшитгэл болгон бууруулсан болно. шугаман дифференциал, нөгөө гурав нь алгебрийн:

• x - элементэд үзүүлэх нөлөө,
• y - түүний хариу үйлдэл,
• t - цаг хугацаа,
• τ нь тодорхой хугацааны хоцрогдол юм.

Цагаан будаа. K.2.2.1. Интегратор ба хөдөлгөөнгүй саатлын холбоос нь энгийн динамик объектуудын цогц төрөл юм. Хойшлуулсан объектын загваруудын эдгээр хамгийн энгийн динамик элементүүд нь объектын төлөв байдал, зан төлөвийг бүрэн, хоёрдмол утгагүй дүрслэх анхны нөхцөлийг тогтоохыг шаарддаг. Интеграторын хувьд энэ нь хоцрогдсон холбоосын хувьд болзолт тэг агшин дахь гаралтын хэмжигдэхүүний утга, "анхны" нөхцөл нь [-τ, 0] интервал дахь оролтын хэмжигдэхүүн юм; , эсвэл ижилхэн нь холбоос дахь саатлын хугацаатай тэнцүү интервал дахь саатлын холбоосын ("хойшлогдсон" төлөвийн хувьсагч) гаралтын утгын үйл ажиллагааны таамаглал.

Цагаан будаа. K.2.2.2. Динамик объектын бүтцийн диаграммын ерөнхий хэлбэрийн хамгийн энгийн (үндсэн) элементүүд нь түүний математик загварт зөвхөн дөрвөн өөр төрлийн элементийг тооцдог. Эдгээр төрлийн элементүүд нь дур зоргоороо нарийн төвөгтэй динамик объектыг (үйл явцын үйлдвэр, түүний удирдлагын систем гэх мэт) загварчлахад хангалттай.

Хамгийн энгийн элементүүдийг нэгтгэснээр та дур зоргоороо нарийн төвөгтэй динамик объектын тууштай загварыг бий болгож чадна. Динамик объектын дифференциал алгебрийн тэгшитгэлийн системийг төлөв байдлын тэгшитгэл хэлбэрээр эмхэтгэх нь динамик объектын загварыг нэг чиглэлтэй хамгийн энгийн динамикийн багц хэлбэрээр илэрхийлэх далд, шууд бус арга, нэг төрлийн "ариун ёслол" юм. бие биетэйгээ харилцан үйлчилдэг элементүүд.

2.3. Объектуудын ажиглалт, хяналтыг хойшлуулах боломжтой

Дээрх дүгнэлтээс үзэхэд сааталтай динамик объектын хоёрдмол утгагүй төлөв нь зөвхөн төлөвийн хувьсагчдын одоогийн утгуудаар тодорхойлогддоггүй, мөн тэдгээрийн өмнөх мөчид, хязгаарлагдмал болон хугацааны туршид өөрчлөгдсөн түүхээр тодорхойлогддог. хангалттай сунгасан интервал. Иймд ийм объектуудын хувьд ажиглагдах, хянах боломжтой гэсэн ойлголтуудыг тодруулах шаардлагатай.

Хянах чадварХойшлогооны элемент бүхий динамик объект нь тодорхой хугацааны дараа нөлөөллийн векторын хязгаарлагдмал өөрчлөлтөөр объектыг тодорхой зан үйлийн өмнө байсан одоогийн төлөвөөс шинэ, шаардлагатай төлөвт шилжүүлэх боломжтой юм. төлөвийн орон зайд төлөөлөх цэгийн өгөгдсөн траекторийн өмнө байдаг төлөв.

Ажиглах чадвархоцрогдсон объектыг бид ямар ч үед төлөвийн хувьсагчийн одоогийн векторыг олох боломж гэж тодорхойлдог. замын эцсийн хэсэгТухайн объектын гаралтын хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн өмнөх зарим хугацааны интервал дахь үйл ажиллагааны хэмжилтийн дагуу төлөөлөх цэг нь одоогийн байрлалд орох төлөвийн орон зайд.

Төлөвийн тэгшитгэлийн баруун талд сааталыг дүрслэх динамик объектын ажиглалт ба хянах боломжтой ойлголтуудын илүү нарийн тодорхойлолтыг дараах хэсгээс олж болно: “2.6.

Системийн хяналт, ажиглалт сааталтай."

2.4. Хугацаатай динамик объектын төлөв ба анхны нөхцөл

Сааталтай динамик объектын одоогийн төлөв байдал нь дараагийн цаг мөчид, ядаж маш богино хугацааны туршид түүний зан төлөвийг хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлох ёстой. Объект дээр гадны нөлөө байхгүй (чөлөөт хөдөлгөөн), эсвэл мэдэгдэж буй гадны нөлөөллөөр энэ хугацаа хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг.

Динамик объектын сааталтай төлөвийг "инерциал" ба "саатсан" төлөвийн бүх хувьсагчийн агшин зуурын утга, түүнчлэн тэдгээрийн түүх, объектод үзүүлэх нөлөөллийн түүхээр тодорхойлно.

Цагаан будаа. K.2.4.1. Динамик объектын төлөвийн хувьсагчийн үе шатны хөрөг зураг, зан төлөв нь гадны нөлөөлөл байхгүй үед сааталтай байдаг. Хэрэв бид саатлын холбоосыг энгийн динамик гэж үзвэл, i.e. түүний гаралтын утгыг бие даасан төлөвийн хувьсагч гэж үзэх бөгөөд дараа нь динамик объектын төлөв байдал, зан үйлийн чиг хандлагыг сааталтайгаар бүрэн дүрслэхийн тулд зөвхөн тодорхой хугацааны туршид төлөвийн хувьсагчийн утгыг зааж өгөх шаардлагатай. тэдгээрийн өөрчлөлтийн түүх, энэ тохиолдолд саатал холбоосын буферт байрлуулсан. Өөр өөр түүхүүд нь фазын хөрөг зургийн өөр өөр замнал руу хөтөлдөг, i.e. өөр өөр объектын зан төлөвт. Сааталтын холбоосын гаралтын хувьсагч (х3 төлөвийн хувьсагч) төлөвийн төлөв байдлын урьдчилсан мэдээ нь түүний оролтын утгын зан байдлын өмнөх үеийнхтэй тэнцүү байна, учир нь энэ нь хоцролтоор саатсан энэхүү түүхийн өмнөх үеийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ тохиолдолд τ = 1 сек байна. . Түүхийг мэдэх ёстой интервал нь саатлын холбоосын саатлын хэмжээгээр тодорхойлогддог

Цагаан будаа. K.2.4.2. Анхны нөхцөл буюу түүнтэй адилтгах зүйл нь инерциал-динамик биетүүд болон сааталтай инерци-динамик объектуудын төлөв байдал. Цэвэр инерцийн объектын хувьд түүний шинж чанарыг иж бүрэн тайлбарлахын тулд бүх төлөвийн хувьсагчийн утгууд, хэрэв байгаа бол тухайн объект дээрх оруулах үйлдлийн утгыг мэдэхэд хангалттай. Сааталтай объект нь инерцийн (загвар интеграторуудын гаралтын дохио) ба "хоцролттой" (загварын саатлын холбоосын гаралтын дохио) хоёулангийнх нь төлөв байдлын бүх хувьсагчийн утгын талаархи мэдлэгийг шаарддаг төдийгүй "хойшлогдсон" хүмүүсийн зан байдал.

Тиймээс хоцрогдолтой объектуудыг дүрслэхийн тулд энгийн инерцийн объектуудаас хамаагүй илүү мэдээлэл шаардагдах бөгөөд энэ нь тэдгээрийн дүн шинжилгээ, оновчлолыг төвөгтэй болгодог.

2.5. Хугацаатай динамик объектын дижитал загварын бүрэн төлөвийн орон зай ба түүний тууштай дэд орон зайн дээр

Бодит тасралтгүй инерциал динамик объектын загваруудыг зөвхөн интегратор (W(p) загвар) болон зөвхөн энгийн саатлын нэгж (W(z) загвар) ашиглан хоёуланг нь барьж болно.

Цагаан будаа. 2.5.1. (хөдөлгөөнт дүрс, 14 фрейм) Интеграторын үндсэн дээр, нэг цагийн мөчлөгөөр хоцрогдсон энгийн саатлын нэгжийн үндсэн дээр бүтээгдсэн инерцийн хэлбэлзлийн системийн загварууд нь гаралтын хэмжигдэхүүнүүдийн шилжилтийн функцээс харж болно. x1 ба z1 тус тус. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр загваруудын интеграторуудын гаралтын утгууд болон симуляцийн мөчлөгийн дохионы саатлын нэгжид тохирох төлөвийн хувьсагчид өөр өөр байдаг. Тиймээс янз бүрийн хос хувьсагчдыг төлөөлөх цэгүүдийн замнал өөр өөр байдаг. Мэдээжийн хэрэг, загварт анхан шатны саатлын холбоосууд дээр дүрслэх цэгийн замнал нь нэлээд "уйтгартай" бөгөөд диагональ дагуу явдаг, учир нь хувьсагч хоёулаа бага зэрэг ялгаатай байдаг нь загварын нийцтэй байдлыг хангахад чухал ач холбогдолтой юм.

Интеграторууд (апериодын холбоосууд) нь хангалттай их сааталтай холбоосыг ойролцоогоор загварчлах боломжгүй гэдгийг анхаарна уу, харин аливаа саатлыг цаг тутамд саатлын холбоосоор ямар ч нарийвчлалтайгаар загварчлах боломжтой тул тэдгээрийн хангалттай тоог сонгоход л хангалттай.

Цагаан будаа. 2.5.2. Тасралтгүй саатлын холбоос ба түүний дижитал загварууд.

Утга учиртай, иж бүрэн мэдээлэл агуулсан төлөвийн хувьсагч нь түүний оролтын нөлөөний үйл ажиллагааны түүхийг харгалзан саатлын холбоосын гаралтын утга юм. Сааталын холбоосын салангид загварын завсрын элементүүдийн гаралтын дохиог албан ёсоор төлөвийн хувьсагч гэж ангилж болох боловч тэдгээрийн мэдээлэл нь ээлжлэн давтагддаг тул зөвхөн бүхэл бүтэн гаралтын утгыг хязгаарлахад хангалттай. холбож, үүнийг энгийн нэгдмэл динамик төлөв гэж үзэх бөгөөд түүний төлөв байдал нь зөвхөн гаралтын хэмжигдэхүүний утгаар тодорхойлогддог төдийгүй түүний таамаглал (оролтын хэмжигдэхүүний өмнөх түүх) -ээр тодорхойлогддог. Нэгт дискрет загварын буфер нь оролтын хэмжигдэхүүний түүхээр дүүрдэг тул төлөвийн хувьсагчийн таамаглалыг энэ түүхээр хатуу тодорхойлдог.

Сааталын буферийн микро холбоосуудын сүүлчийн утгатай яг тэнцүү байгаа саатлын холбоосонд томилогдсон төлөвийн хувьсагчийг тодорхойлох нь зөвхөн анхан шатны гаралтын утгуудыг багтаасан төлөв байдлын дэд орон зай болгон ашиглах боломжийг олгодог. саатал холбоосын дижитал загварыг бүрдүүлдэг холбоосууд. Харьцангуй цөөн тооны үр дүнтэй төлөвийн хувьсагч нь динамик объектын аналитик судалгаа, түүний үр дүнг графикаар харуулахад онцгой чухал юм.

Дүгнэлт

Төгсгөлийн утгын саатлын холбоосыг интегратороос гадна гаралтын утга нь бие даасан төлөвийн хувьсагч болох хамгийн энгийн динамик элемент гэж үзэж болох бөгөөд объектын төлөв байдлыг бүрэн, хоёрдмол утгагүй дүрслэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай. төлөвийн орон зай дахь төлөөлөх цэгийн байрлал болон түүний өмнөх траекторийн хэсгийг хоёуланг нь мэдэх, өөрөөр хэлбэл энэ нь объектын зан үйлийн түүх юм.

Хяналтын оновчтой систем нь аль хэдийн хэрэгжсэн бол бодитой оршин тогтнох бөгөөд түүний шинж чанар нь түүнийг тодорхойлсон математикийн аппарат, ямар математикийн арга, хэрэгслээр оновчтой болгосон зэргээс хамаардаггүй. Тиймээс хяналтын систем, тухайлбал ACS-ийн математик тайлбарын энгийн байдлыг системийн нарийн төвөгтэй байдлаар тодорхойлж, түүнд тохирсон байх ёстой.

• Уран зохиол ба интернет
• 2. Ким Д.П. Автомат удирдлагын онолын асуудлын цуглуулга. Олон хэмжээст, шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох системүүд. - М.: FIZMATLIT, 2008. - 328 х. - ISBN 978-5-9221-0937-6.
• 3. Юань Янь. Автомат удирдлагын онол. Бүлэг 1-9. Танилцуулга, pdf формат. Мэдээллийн шинжлэх ухаан, инженерчлэлийн сургууль, CSU. 2005.08.28
  http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch1.pdf
  http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch2.pdf
  ...
  http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch9.pdf
• 4. Лукас В.А. Техникийн системийн хяналтын онол. Их дээд сургуулиудад зориулсан компакт сургалт. - 3 дахь хэвлэл, шинэчилсэн. болон нэмэлт - Екатеринбург. UGGA-ийн хэвлэлийн газар, 2002, - 675 х.
• 5. Д.Сю, А.Мейер. Автомат удирдлагын орчин үеийн онол ба түүний хэрэглээ. В.С.БОЧКОВ, Е.В.ГУРЕЦКАЯ, Л.М.КИСЕЛЕВА, В.Г.ПОТЕМКИН нарын англи хэлнээс орчуулсан. Доктор, шинжлэх ухааны докторын найруулсан. Профессор Ю.ТОПЧЕЕВ. -М.,: МЕХАНИК ИНЖЕНЕР, 1972 он.
• 6. Дорф Р., Бишоп Р. Орчин үеийн хяналтын системүүд. Пер. англи хэлнээс Копылова B.I. - М.: Суурь мэдлэгийн лаборатори, Санкт-Петербург, 2002. -832 х. ISBN 5-93208-119-8
• 7. Федосов Б.Т. Олон хэмжээст объектууд. Тодорхойлолт, дүн шинжилгээ, менежмент. Рудный, 2010 он.
  http://model.exponenta.ru/bt/bt_171_MultyDim_Obj_Contr.htm
• 8. Ю.Ю. Громов нар сааталтай автомат удирдлагын системүүд. - Тамбов. : TSTU хэвлэлийн газар, 2007 он.
  http://window.edu.ru/window_catalog/files/r56879/k_Gromov1.pdf (698 KB)
• 9. Калман Рудольф Е., Фалб Питер Л., Арбиб Майкл А. Системийн математикийн онолын эссэ: Транс. англи хэлнээс
  / Ред. Я.3.Цыпкина. Өмнөх үг E.L.Nappelbaum. Эд. 2-рт, хэвшмэл. - М .: Редакцийн URSS, 2004. - 400 х. ISBN 5-354-00762-3
  Р.Э.Калман, Р.Л.Фалб, М.А.Арбиб
• Математикийн системийн онолын сэдэв
• 10. Ф.Чаки. Орчин үеийн менежментийн онол. Шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох систем. В.В.Капитоненко, С.А.Анисимов нарын англи хэлнээс орчуулсан. Н.С.Райбман М., МИР 1975 он

11. В.М. Синеглазов, Р.Ю. Ткачев. Ерөнхий саатал бүхий олон хэмжээст объектын бие даасан удирдлага. Кибернетик ба тооцоолол. техник. Эрдэм шинжилгээний бүтээлийн салбар хоорондын цуглуулга. Боть. 157. Киев, 2009, х. 17-25.

Талархал

ТАНИЛЦУУЛГА

ОХУ-ын Боловсролын яам

Олон улсын боловсролын консорциум "Нээлттэй боловсрол"

Москвагийн Улсын эдийн засаг, статистик, мэдээлэл зүйн их сургууль

ANO "Евразийн нээлттэй хүрээлэн"

Е.А.Геворкян

Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд

Сурах бичгийн хичээлийг судлах гарын авлага

Сахилгын даалгаврын цуглуулга Сахилгын сургалтын хөтөлбөр

Геворкян Е.А. ХОЦРОГДОЛТОЙ АРГУМЕНТТЭЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТҮҮД: Сурах бичиг, хичээлийг судлах гарын авлага, тухайн хичээлийн даалгаврын цуглуулга, тухайн хичээлийн сургалтын хөтөлбөр / Москвагийн Улсын Эдийн засаг, Статистик, Мэдээлэл зүйн Их Сургууль - М.: 2004. - 79 х.

Геворкян Е.А., 2004 он

Москвагийн Улсын эдийн засаг, статистик, мэдээлэл зүйн их сургууль, 2004 он

Заавар
Танилцуулга.................................................. ....... ................................................. ............. .................................
1.1 Дифференциал тэгшитгэлийн ангилал
хазайсан аргумент. Анхны асуудлын мэдэгдэл................................................. ............ .
1.2 Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд. Алхам арга. .........
1.3 Салгах боломжтой дифференциал тэгшитгэл
хувьсагч болон хоцрогдсон аргументтай ...................................... ........ ...........................
1.4 Хоцрогдсон аргументтай шугаман дифференциал тэгшитгэл......
1.5 Хоцрогдсон аргументтай дифференциал Бернулли тэгшитгэл. ...............
1.6 Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэл
хойшлуулсан маргаантай................................................. ................................................................ .......................... .
II БҮЛЭГ. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн үечилсэн шийдлүүд
хойшлуулсан маргаантай................................................. ................................................................ .......................... .
2.1. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн үечилсэн шийдлүүд
тогтмол коэффициенттэй ба хоцрогдсон аргументтай ............................................. ............
2.2. Шугаман нэг төрлийн бус дифференциалын үечилсэн шийдлүүд
..................
2.3. Фурье цувралын нийлмэл хэлбэр...................................... ........ ................................................
2.4. Шугаман нэг төрлийн бус тодорхой үечилсэн шийдлийг олох
тогтмол коэффициенттэй ба хоцрогдсон дифференциал тэгшитгэл
Тэгшитгэлийн баруун талыг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлэх аргументууд...................................... ............... .
III БҮЛЭГ. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх ойролцоо аргууд
хойшлуулсан маргаантай................................................. ................................................................ .......................... .
3.1. Үл мэдэгдэх функцийг өргөжүүлэх ойролцоо арга
хоцрогдлын зэрэглэлээр хоцрогдсон аргументтай ............................................. ............ ........
3.2. Ойролцоогоор Пуанкаре арга. ................................................... ...... ................................
IV БҮЛЭГ. Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд,
эдийн засгийн зарим асуудлыг шийдвэрлэх үед гарч ирдэг
цаг хугацааны хоцрогдол зэргийг харгалзан ........................................... ....... ................................................. ............. ..............

4.1. Колецкийн эдийн засгийн мөчлөг. Дифференциал тэгшитгэл

-тай өөрчлөлтийг тайлбарлах хоцрогдсон аргумент

бэлэн мөнгөний нөөц................................................. ................... ................................... ......................... .......
4.2. Онцлогийн тэгшитгэл. Реалын хэрэг
шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс................................................. ... ...................................
4.3. Онцлог тэгшитгэлийн нийлмэл язгуурын тохиолдол...................................
4.4. Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэл,
(үндэсний орлоготой пропорциональ хэрэглээ)................................................. ...... .........
4.5. Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэл,
үндэсний орлогын динамикийг хоцрогдолтой загваруудад тайлбарлах
(хэрэглээ өсөлтийн хурдаар экспоненциалаар өсдөг) ...................................... ............ .........
Уран зохиол.................................................. ................................................... ...... ...........................

Сахилга батыг судлах гарын авлага
2. Үндсэн сэдвүүдийн жагсаалт........................................... ....... ................................................. ............. ......
2.1. Сэдэв 1. Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт. Ангилал
хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэл.
Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд. .............................................
2.2. Сэдэв 2. Анхны асуудлын мэдэгдэл. Шийдлийн алхамуудын арга
хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд. Жишээ.................................
2.3. Сэдэв 3. Салгах боломжтой дифференциал тэгшитгэл
хувьсагч болон хоцрогдсон аргументтай. Жишээ. ................................................... ...... ..
2.4. Сэдэв 4. Шугаман дифференциал тэгшитгэл
2.5. Сэдэв 5. Бернулли дифференциал тэгшитгэл
хойшлуулсан маргаантай. Жишээ. ................................................... ...... ...........................
2.6. Сэдэв 6. Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэл
хойшлуулсан маргаантай. Шаардлагатай, хангалттай нөхцөл. Жишээ..............
2.7. Сэдэв 7. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциалын үечилсэн шийдлүүд
тогтмол коэффициенттэй, хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэлүүд.
2.8. Сэдэв 8. Шугаман нэг төрлийн бус дифференциалуудын үечилсэн шийдлүүд
тогтмол коэффициенттэй, хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэлүүд.
Жишээ. ................................................... ...... ................................................... ...................... ...................................
2.9. Сэдэв 9. Фурье цувралын нийлмэл хэлбэр. Үеийн хуваарийг олох
тогтмол коэффициенттэй шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлүүд болон
тэгшитгэлийн баруун талыг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх замаар хоцрогдсон аргумент.
Жишээ. ................................................... ...... ................................................... ...................... ...................................
2.10. Сэдэв 10. Дифференциал тэгшитгэлийн ойролцоо шийдэл
сааталаас функцийг өргөтгөх саатлын аргумент арга
саатлын зэргээр. Жишээ.................................................. ....... ................................................
2.11. Сэдэв 11. Үе үеийг олох ойролцоогоор Пуанкаре арга
бага параметртэй бараг шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд ба
хойшлуулсан маргаантай. Жишээ. ................................................... ...... ...........................

2.12. Сэдэв 12. Колецкийн эдийн засгийн мөчлөг. Дифференциал тэгшитгэл

-тай Бэлэн мөнгөний нөөцийг харуулсан K(t) функцийн хоцрогдсон аргумент

t үеийн үндсэн хөрөнгө................................................. ................................................................ ................. ...
2.13. Сэдэв 13. Харгалзах шинж чанарын тэгшитгэлийн шинжилгээ
K(t) функцийн дифференциал тэгшитгэл. ................................................... ...... .............
2.14. Сэдэв 14. Характеристикийн тэгшитгэлийн цогц шийдлийн тохиолдол
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Сэдэв 15. y(t) функцийн дифференциал тэгшитгэлийг үзүүлэв
хэрэглээний функц нь c(t -τ) = (1 - α) y (t -τ) хэлбэртэй, энд α нь тогтмол хурд юм.
үйлдвэрлэлийн хуримтлал.................................................. ... ................................................... ....
2.16. Сэдэв 16. y(t) функцийн дифференциал тэгшитгэлийг үзүүлэв
үндсэн хөрөнгө оруулалтын хоцрогдолтой загварт үндэсний орлого
хэрэглэгчийн функц нь c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) .......................... хэлбэртэй байна. ........ ...................................................
Сахилга батын даалгаврын цуглуулга........................................... ................................... .......................... .................
Сахилгын сургалтын хөтөлбөр................................................. ................................................................

Заавар

Талархал

Танилцуулга

Энэхүү сурах бичиг нь зарим техник, эдийн засгийн асуудалд тулгарч буй хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх аргуудыг танилцуулахад зориулагдсан болно.

Дээрх тэгшитгэлүүд нь ихэвчлэн үр дагавартай аливаа үйл явцыг (хоцролттой, цаг хугацааны хоцрогдолтой процессууд) тодорхойлдог. Жишээлбэл, судалж буй процессын явцад бидний сонирхож буй хэмжигдэхүүний утга нь t үед t-τ үеийн x утгаас хамаардаг бол τ нь хугацааны хоцрогдол (y(t)=f). Эсвэл t үеийн y хэмжигдэхүүний утга тухайн үеийн ижил хэмжигдэхүүний утгаас хамаарах үед

цэс t-τ (y(t)=f).

Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлсон процессууд нь байгалийн болон эдийн засгийн шинжлэх ухаанд байдаг. Сүүлд нь энэ нь нийгмийн үйлдвэрлэлийн мөчлөгийн ихэнх холболтуудад цаг хугацааны хоцрогдол байгаа, хөрөнгө оруулалтын хоцрогдол (объектуудыг төлөвлөхөөс эхлээд бүрэн хүчин чадлаараа ашиглалтад оруулах хүртэлх хугацаа) байгаатай холбоотой юм. хүн ам зүйн хоцрогдол (төрснөөс хөдөлмөрийн насанд хүрэх, боловсрол эзэмшсэний дараа хөдөлмөрийн үйл ажиллагаа эхлэх хүртэлх хугацаа).

Техникийн болон эдийн засгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд цаг хугацааны хоцрогдол байгааг харгалзан үзэх нь чухал бөгөөд учир нь хоцрогдол байгаа нь олж авсан шийдлийн шинж чанарт ихээхэн нөлөөлдөг (жишээлбэл, тодорхой нөхцөлд энэ нь шийдлийн тогтворгүй байдалд хүргэж болзошгүй).

ХАМТ МЭДЭЭЛЭЛ ХИЙХЭЭР

БҮЛЭГ I. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үе шатуудын арга

-тай хоцрогдсон аргумент

1.1. Хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн ангилал. Анхны асуудлын мэдэгдэл

Тодорхойлолт 1. Хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд нь аргументийн өөр утгуудын хувьд үл мэдэгдэх X(t) функц гарч ирэх дифференциал тэгшитгэл юм.

X(t) = f ( t, x (t), x ) ,

X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )],
X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )], x [ t − τ
X(t) = f t, x (t) , x (t) , x (t/2), x(t/2) .

(t)]

Тодорхойлолт 2. Хоцрогдсон аргументтай дифференциал тэгшитгэл нь аргументийн ижил утгуудын хувьд үл мэдэгдэх функцийн хамгийн дээд эрэмбийн дериватив гарч ирэх бөгөөд энэ аргумент нь бүх аргументаас багагүй хазайсан аргументтай дифференциал тэгшитгэл юм. тэгшитгэлд орсон үл мэдэгдэх функц ба түүний уламжлал.

2-р тодорхойлолтын дагуу τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 нөхцлийн (1) ба (3) тэгшитгэл нь хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл, (2) тэгшитгэл нь тэгшитгэл байх болно гэдгийг анхаарна уу.

хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл, хэрэв τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2 бол тэгшитгэл (4) нь t ≥ 0 тул хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл болно.

Тодорхойлолт 3. Тэргүүлэх аргументтай дифференциал тэгшитгэл нь аргументийн ижил утгуудын хувьд үл мэдэгдэх функцийн дээд эрэмбийн дериватив гарч ирэх ба энэ аргумент нь бусад аргументуудаас ихгүй хазайх аргументтай дифференциал тэгшитгэл юм. тэгшитгэлд орсон үл мэдэгдэх функц ба түүний уламжлал.

Тэргүүлэх аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн жишээ:

X (t) =

X (t) =

X (t) =

f ( t, x(t), x[ t + τ (t) ] ) ,

f [t, x (t), x (t + τ 1), x (t + τ 2)],

f t , x (t ), x . (t), x [t + τ (t)], x. [ t + τ

(t)] .

I. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТИЙГ ШИЙДЭХ АЛХМЫН АРГА

ХАМТ МЭДЭЭЛЭЛ ХИЙХЭЭР

Тодорхойлолт 4. Хоцрогдсон буюу тэргүүлэх аргументтай тэгшитгэл биш, хазайсан аргументтай дифференциал тэгшитгэлийг саармаг төрлийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.

Саармаг төрлийн хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн жишээ:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Үүнтэй төстэй ангиллыг "функц" гэдэг үгийг "вектор функц" гэсэн үгээр солих замаар хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн системд ашигладаг болохыг анхаарна уу.

Хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг хазайх аргументтай авч үзье.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ ) ] ,

Энд τ ≥ 0 ба t − τ ≥ 0 (үнэндээ бид хоцрогдсон аргументтай дифференциал тэгшитгэлийг авч үзэж байна). (10) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн ажил нь дараах байдалтай байна: t > t 0 (t 0 –) тэгшитгэлийн (10) X (t) тасралтгүй шийдийг тодорхойлно.

тогтмол хугацаа) t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 үед X (t) = ϕ 0 (t) байх нөхцөлд, ϕ 0 (t) нь өгөгдсөн тасралтгүй эхний функц юм. [ t 0 − τ , t 0 ] сегментийг анхны олонлог, t 0 нь эхлэлийн цэг гэж нэрлэдэг. X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) гэж таамаглаж байна (Зураг 1).

X (t) = ϕ 0 (t)

	t 0 − τ		t 0 + τ		0 + τ
Хэрэв саатал τ		(10) тэгшитгэлд t хугацаанаас хамаарна		(τ = τ (t)), дараа нь эхний

Энэ бодлогыг дараах байдлаар томъёолсон: t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 анхны функц X (t ) = ϕ 0 t мэдэгдэж байгаа бол t > t 0 бол (10) тэгшитгэлийн шийдийг ол.

Жишээ. Тэгшитгэлийн шийдийг ол.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
t > t 0 = 0 хувьд, хэрэв анхны функц X (t) = ϕ 0 (t) бол (t 0 − cos2 t 0) |	t ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

I. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТИЙГ ШИЙДЭХ АЛХМЫН АРГА

ХАМТ МЭДЭЭЛЭЛ ХИЙХЭЭР

Жишээ. Тэгшитгэлийн шийдийг ол

	X (t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 ) ]			үед (т	−t	/ 2) |
	Анхны функц X (t) = ϕ t бол t > t 0 = 1						≤ t ≤ t
						t = 1			t = 1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Анхдагч функц нь ихэвчлэн тодорхойлогдсон эсвэл туршилтаар олддог гэдгийг анхаарна уу (гол төлөв техникийн асуудлууд).

1.2. Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд. Алхам арга

Хоцрогдсон аргументтай дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.

t ≥ t 0 бол (13) тэгшитгэлийн шийдийг олох шаардлагатай.

t ≥ t 0 тэгшитгэлийн (13) шийдлийг олохын тулд алхамын аргыг (дараалсан интеграцийн арга) ашиглана.

Алхам аргын мөн чанар нь бид эхлээд (13) тэгшитгэлийн t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ, дараа нь t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ гэх мэтийн шийдлийг олоход оршино. Энэ тохиолдолд бид жишээ нь t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ мужид t − τ аргумент нь t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0, дараа нь тэгшитгэлд хэлбэлзэж байгааг тэмдэглэж байна.

(13) энэ мужид x (t − τ)-ийн оронд ϕ 0 (t − τ) гэсэн анхны функцийг авч болно. Дараа нь

t 0 ≤ t ≤ t 0 мужид (13) тэгшитгэлийн шийдийг олохыг бид олж мэднэ.		+ τ дахин хийх шаардлагатай
энгийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр сааталгүйгээр оё.
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X (t) = f
t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ үед	анхны нөхцөлтэй X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (1-р зургийг үз).
	Энэ анхны асуудлын шийдлийг X (t) = ϕ 1 (t) хэлбэрээр олсон.	бид нийтэлж болно

t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ гэх мэт интервал дээр шийдийг олох асуудлыг шийднэ.

Тиймээс бидэнд байна:

			0 (t − τ ) ] ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ
t 0 үед	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ үед,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1 (t 0 + τ ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ үед,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ],
t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1) τ, X (t 0 + n τ) = ϕ n (t 0 + n τ) үед
	ϕ i (t) байна	авч үзсэн анхны шийдэл		сегмент дэх асуудлууд
t 0 + (i −1 ) τ ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

I. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТИЙГ ШИЙДЭХ АЛХМЫН АРГА

ХАМТ МЭДЭЭЛЭЛ ХИЙХЭЭР

Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алхамуудын энэ арга нь (13) t-ийн өөрчлөлтийн тодорхой хязгаарлагдмал интервал дээр X (t) шийдлийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Жишээ 1. Алхам аргыг ашиглан хоцрогдсон аргументтай 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг ол.

	(t) = 6 X (t − 1 )
1 ≤ t ≤ 3 мужид 0 ≤ t ≤ 1-ийн анхны функц нь X (t) = ϕ 0 (t) = t хэлбэртэй байвал.
Шийдэл. Эхлээд 1 ≤ t ≤ 2 мужид (19) тэгшитгэлийн шийдийг олъё. Энэ зорилгоор
(19) бид X (t - 1) -ийг ϕ 0 (t - 1) -ээр солино, өөрөөр хэлбэл.
X (t - 1 ) = ϕ 0 (t - 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1
мөн X (1) = ϕ 0 (1) = t | -ийг харгалзан үзнэ
1 ≤ t ≤ 2 бүсэд бид ердийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.
	(t )= 6 (t − 1 )
эсвэл dx(t)	6 (t−1) .
Үүнийг (20) харгалзан шийдэж, бид 1 ≤ t ≤ 2 тэгшитгэлийн (19) шийдийг хэлбэрээр авна.
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
(19) тэгшитгэлийн 2 ≤ t ≤ 3 мужид шийдийг олохын тулд бид X (t − 1)-ийг дараах байдлаар солино.
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 | t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Дараа нь бид энгийнийг авна		дифференциал
тэгшитгэл:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
шийдэл нь хэлбэртэй байна (Зураг 2)
X (т ) = 6 (т − 2 ) 3 + 6 т − 8 .

Тусгай курс

Хазайсан аргумент бүхий тэгшитгэлийн ангилал. Сааталтай дифференциал тэгшитгэлийн анхны утгын үндсэн бодлого.

Дараалсан интеграцийн арга. Хоцролттой тэгшитгэлийн шийдлийг жигд болгох зарчим.

Шахсан зураглалын зарчим. Хэд хэдэн бөөгнөрөл саатал бүхий тэгшитгэлийн анхны утгын үндсэн асуудлын шийдийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем. Түгээмэл саатал бүхий тэгшитгэлийн системийн анхны утгын үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем.

Анхдагч утгын үндсэн асуудлын шийдлүүдийн параметрүүд болон анхны функцуудаас тасралтгүй хамааралтай байх.

Сааталтай тэгшитгэлийн шийдлүүдийн онцлог шинж чанарууд. Шийдвэрийг үргэлжлүүлэх боломж. Эхлэх цэгийг хөдөлгө. Наалдсан интервалын хангалттай нөхцлийн тухай теоремууд. Шийдлийн орон нутгийн бус өргөтгөх боломжийн хангалттай нөхцлийн тухай теорем.

Шугаман саатал бүхий шугаман системийн ерөнхий шийдлийн томьёоны гарган авах.

Тогтвортой байдлын хувьд сааталтай тэгшитгэлийн судалгаа. D хуваалтын арга.

Тогтвортой байдлыг судлах функциональ аргыг ашиглах. Тогтвортой байдлын шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийн тухай Н.Н.Красовскийн теоремууд. Функционалуудыг бий болгох жишээ.

Тогтвортой байдлыг судлахад Ляпуновын функцын аргыг ашиглах. Сааталтай тэгшитгэлийн шийдүүдийн тогтвортой байдал ба асимптотик тогтвортой байдлын тухай Разумихины теоремууд. Ляпуновын функцийг бүтээх жишээ.

Бүрэн ба бүрэн бус мэдээлэл бүхий системд саатал бүхий програмын хяналтыг бий болгох. В.И.Зубовын теоремууд. Хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтыг салбараар нь хуваарилах асуудал.

Шугаман болон шугаман бус тохиолдлуудад оновчтой програмын хяналтыг бий болгох. Понтрягины хамгийн дээд зарчим.

Тогтмол сааталтай хяналтаар тэгшитгэлийн системийг тогтворжуулах. Хатуу биетийг нэг тэнхлэгт тогтворжуулахад хувьсах хоцрогдлын нөлөө.

Уран зохиол

1. Жабко А.П., Зубов Н.В., Прасолов А.В.Үр дагавартай системийг судлах аргууд. Л., 1984. Деп. VINITI, № 2103-84.
2. Зубов В.И.Хоцрогдсон аргумент бүхий шугаман суурин системийн онолын тухай // Изв. их дээд сургуулиуд Сэр. математик. 1958. № 6.
3. Зубов В.И.Хяналтын онолын лекц. М .: Наука, 1975.
4. Красовский Н.Н.Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын онолын зарим асуудал. М., 1959 он
5. Малкин I. G.Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын онол.
6. Мышкис A.D.Хожуу аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий онол // Успеки Мат. Шинжлэх ухаан. 1949. Т.4, №5.
7. Прасолов А.В.Динамик үйл явцын аналитик болон тоон судалгаа. Санкт-Петербург: Санкт-Петербург улсын их сургуулийн хэвлэлийн газар, 1995 он.
8. Прасолов А.В.Эдийн засаг дахь динамикийн математик загварууд. Санкт-Петербург: Санкт-Петербургийн хэвлэлийн газар. Эдийн засаг, санхүүгийн их сургууль, 2000 он.
9. Чижова О.Н.Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн системийн тогтвортой байдал, шийдлийг бий болгох. Л., 1988. Деп. VINITI-д, No 8896-B88.
10. Чижова О.Н.Шугаман саатлыг харгалзан хатуу биеийг тогтворжуулах // Санкт-Петербургийн Улсын Их Сургуулийн Мэдээлэл. Сер.1. 1995. Дугаар 4, No22.
11. Чижова О.Н.Хувьсах саатал бүхий тэгшитгэлийн орон нутгийн бус тасралтгүй байдлын тухай // Механик ба хяналтын үйл явцын асуултууд. Боть. 18. - Санкт-Петербург: Санкт-Петербург улсын их сургуулийн хэвлэлийн газар, 2000 он.
12. Элсголц Л.Е., Норкин С.Б.Хазайлттай аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн онолын танилцуулга. М., 1971.

Сааталтай системүүд нь өмнө нь авч үзсэн системүүдээс ялгаатай нь тэдгээрийн нэг буюу хэд хэдэн холбоосууд нь гаралтын утгын өөрчлөлтийн эхэн үед (оролтын утгын өөрчлөлт эхэлсний дараа) m-ээр хоцрогдсон байдаг. саатлын хугацаа гэж нэрлэгддэг ба энэ саатлын хугацаа нь дараагийн процессын туршид тогтмол хэвээр байна.

Жишээлбэл, холбоосыг тэгшитгэлээр тайлбарлавал

(эхний эрэмбийн үеийн холбоос), дараа нь сааталтай харгалзах холбоосын тэгшитгэл нь хэлбэртэй болно.

(хоцролттой хугацааны эхний эрэмбийн холбоос). Эдгээр төрлийн тэгшитгэлийг хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Дараа нь (6.31) тэгшитгэлийг энгийн хэлбэрээр бичнэ

тэгээс нэг хүртэл огцом өөрчлөгддөг (Зураг 6.20,

холбоосын тэгшитгэлийн баруун талд зогсож,

). Ерөнхий тохиолдолд (6.31)-ийн хувьд сааталтай аливаа холбоосын динамикийн тэгшитгэлийг хоёр хувааж болно.

хоцролттой холбоосын нөхцөлт задаргаа (Зураг 6.21, а) хоёр болгон: ижил дарааллын болон ижил коэффициенттэй энгийн холбоос ба түүнээс өмнөх саатлын элемент (Зураг 6.21,6).

өнхрөхөөс зузаан хэмжигч хүртэлх металлын шилжилтийн хугацааг хэлнэ. Сүүлийн хоёр жишээнд m утгыг тээвэрлэлтийн саатал гэж нэрлэдэг.

Эхний ойролцоолсон байдлаар, системийн холбоосуудад багтсан дамжуулах хоолой эсвэл урт цахилгаан шугамыг тодорхой саатлын утгаар тодорхойлж болно t.

Зурагт үзүүлэв. 6.22, b, тэгвэл бид энэ холбоосыг туршилтын муруйгаас m, Г ба k утгуудыг авч, саатал (6.31) бүхий апериодын нэгдүгээр зэрэглэлийн холбоос гэж тодорхойлж болно (Зураг 6.22, b).

Зураг дээрх графикийн дагуу ижил туршилтын муруй байгааг анхаарна уу. 6.22c-ийг мөн тэгшитгэлтэй ердийн хоёр дахь эрэмбийн апериод холбоосын цаг хугацааны шинж чанар гэж тайлбарлаж болно.

ба k-г өгөгдсөн холбоосын хувьд § 4.5-д бичсэн хамаарлаас, туршилтын муруй дээрх зарим хэмжилтээс эсвэл бусад аргаар тооцоолж болно.

функц (6.36) нь сааталтай (6.35) холбоосын дамжуулах функцээс бага зэрэг ялгаатай.

Сааталтай (6.33) дурын шугаман холбоосын тэгшитгэлийг одоо маягт дээр бичнэ

Сааталтай шугаман холбоосын дамжуулах функц нь байх болно

харгалзах энгийн холбоосыг сааталгүйгээр дамжуулах функцийг зааж өгсөн болно.

- холбоосын давтамж дамжуулах функцийн модуль ба үе шатыг сааталгүйгээр.

Үүнээс бид дараах дүрмийг олж авна.

Сааталтай аливаа холбоосын далайц-фазын шинж чанарыг бий болгохын тулд та харгалзах энгийн холбоосын шинж чанарыг авч, түүний цэг бүрийг өгөгдсөн цэг дэх хэлбэлзлийн давтамжийн утга байх өнцгөөр цагийн зүүний дагуу эргүүлэх хэрэгтэй. шинж чанарын (Зураг 6.23, а).

эхлэлийн цэг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх ба шинж чанарын төгсгөл нь эхийн эргэн тойронд асимптотоор ороогдоно (хэрэв операторын олон гишүүнт B нь олон гишүүнт C-ээс бага бол).

Зураг дээрх хэлбэрийн бодит түр зуурын үйл явц (цаг хугацааны шинж чанар) гэж дээр дурдсан. 6.22, b-ийг ихэвчлэн тэгшитгэл (6.31) ба (6.34) хоёуланг нь ижил ойролцоо түвшинд тодорхойлж болно. (6.31) ба (6.34) тэгшитгэлийн далайц-фазын шинж чанарыг Зураг дээр үзүүлэв. 6.23, a ба b. Эхнийх нь үндсэн ялгаа нь тэнхлэгтэй огтлолцсон D цэгтэй байдаг (/. Бодит холбоосын туршилтын далайц-фазын шинж чанарыг бие биетэйгээ харьцуулахдаа зөвхөн хэлбэр дүрсийг харгалзан үзэх шаардлагатай. муруй, гэхдээ бас түүний дагуу давтамжийн тэмдгийн тархалтын шинж чанар.

Нээлттэй давталтын системийн функцийг цаг алдалгүй шилжүүлэх.

Бүлэгт үзүүлсэн шиг хаалттай циклийн системийн шинж чанарын тэгшитгэл. 5, харагдаж байна

тэгшитгэл нь хязгааргүй олон үндэстэй байж болно.

Давтамж дамжуулах функцийг ашиглан бүтээгдсэн нээлттэй давталтын утгын далайц-фазын шинж чанарын тойм ихээхэн өөрчлөгддөг.

Түүнээс гадна систем нь доор өгөгдсөн тодорхой дүрмийн дагуу нээгддэг.

Үүний үр дүнд эхний ба хоёрдугаар эрэмбийн шугаман системийн сааталтай тогтвортой байдлын хувьд зөвхөн эерэг коэффициентүүд хангалттай байхаа больсон бол гурав дахь ба түүнээс дээш түвшний сааталтай системүүдийн хувьд Вышнеградский, Рутийн тогтвортой байдлын шалгуур үзүүлэлтүүд нь хангалттай байхаа больсон. болон Хурвиц хамаарахгүй.

Доор бид тогтвортой байдлыг зөвхөн Nyquist шалгуураар тодорхойлохыг авч үзэх болно, учир нь энэ үрэлд ашиглах нь хамгийн энгийн зүйл юм.

1 Нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функцийг (6.38) хэлбэрээр үзүүлбэл далайц-фазын шинж чанарыг бий болгох, тогтвортой байдлын судалгааг Nyquist шалгуураар хийх нь дээр. Үүнд хүрэхийн тулд системийг зохих ёсоор нээх шаардлагатай.

Зурагт үзүүлсэн хэргийн хувьд. 6.24, а, нээлхийг үндсэн хэлхээний аль ч хэсэгт хийж болно, жишээ нь, үзүүлсэн шиг. Дараа нь нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функц нь (6.41) хэлбэртэй адил байна.

Зурагт үзүүлсэн хэргийн хувьд. 6.24, b, үндсэн хэлхээг нээх нь илэрхийлэлийг өгнө

Нээлттэй циклийн системийн функцууд нь цаашдын судалгаанд тохиромжгүй:

Эцэст нь, Зураг дээр үзүүлсэн тохиолдолд. 6.24, в, системийг заасан байршилд нээх үед бид (6.41)-тэй давхцах илэрхийлэлийг олж авна.

Давтамж дамжуулах функцийг (6.41) гэж дүрсэлж болно

Тиймээс (6.41) илэрхийллийг хэлбэрээр танилцуулж байна

Сааталтай тэгшитгэлийн бодлого. Удирдлага нь сааталтай тэгшитгэлийн хувьд Коши бодлогыг ашиглан системийн фазын траекторийг тодорхойлдог вариацын бодлогыг авч үзье.  

Уран зохиолд ийм системийг ихэвчлэн нэгэн зэрэг тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг бөгөөд энд нэг тэгшитгэлийн хамааралтай хувьсагч нь нэг буюу хэд хэдэн өөр тэгшитгэлд хувьсагч (гэхдээ бие даасан хувьсагч хэлбэрээр) нэгэн зэрэг гарч ирж болно гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд хамааралтай болон бие даасан хувьсагчдын хоорондын уламжлалт ялгаа нь утгагүй болно. Үүний оронд хоёр төрлийн хувьсагчийн хооронд ялгаа бий. Эдгээр нь нэгдүгээрт, харилцан хамааралтай хувьсагч (эндоген) бөгөөд тэдгээрийн нөлөөллийг судлах шаардлагатай (дээрх тэгшитгэлийн системийн Ay t нэр томъёоны А матриц). Хоёрдугаарт, урьдчилж тодорхойлсон хувьсагч нь эхнийхэд нөлөөлөх ёстой, гэхдээ тэдний нөлөөг мэдэрдэггүй, хоцрогдсон хувьсагчид, жишээлбэл. Энэ тэгшитгэлийн системээс гадуур тодорхойлогдсон хоцрогдсон (хоёр дахь гишүүн) болон экзоген хувьсагч.  

Гэсэн хэдий ч ерөнхий саатал бүхий тэгшитгэлийн хувьд, үлдэгдлийн талаар илүү их эсвэл бага хэмжээгээр тодорхойлсон үзүүлэлтүүдийн хувьд тооцооллын шинж чанарын талаар хангалттай найдвартай үр дүн гараагүй байна. Тиймээс ерөнхий олон гишүүнт хоцрогдолтой регрессийн тэгшитгэлийн тооцоолол нь зөвхөн тогтвортой байдлын шинж чанартай байдаг бөгөөд гурван шатлалт хамгийн бага квадратын аргаар олж авсан хоцрогдсон экзоген ба эндоген хувьсагчтай тэгшитгэлийн тооцоог (нэг зэрэгцэн нэгдүгээр эрэмбийн Марковын үлдэгдэл байгаа тохиолдолд) автокорреляци) ч гэсэн энэ өмч байхгүй (үзнэ үү. дахь үнэлгээний шинжилгээ).  

Тиймээс, хамгийн их тогтвортой байдлын өндөр хурдтай системийг нэгтгэхдээ эхлээд (4), ng ба co (1 = 1, n) нөхцлийн биелэлтийг хангах bj-ийн оновчтой утгыг тодорхойлж, дараа нь c-г олох шаардлагатай. / үүнд (10) тохирч, эцэст нь (12) нөхцөлөөс C-ийн өгөгдсөн утгыг сонгохдоо dj. Сэтгэгдэл. Харгалзан үзсэн тохиолдлуудаас үзэхэд оновчтой шийдлүүдийн бүтэц, тухайлбал туйлын баруун язгуурын бодит ба нийлмэл хосолсон хосуудын тоо, тэдгээрийн хослол, олон талт байдал, үүний үр дүнд X хавтгай дахь оновчтой шийдлийн годографын төрлүүд гарч ирнэ. хяналтын хэмжээс m (1.2) -аас хамаардаг ба хангалттай том дараалалтай n (1.1) нь n-ийн утгаас хамаардаггүй. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн m бүрийн хувьд оновчтой шийдлийн өөрийн сайн тодорхойлсон бүтэцтэй тохирч байна. (1.1) n = n тэгшитгэлийн дарааллын утга ба n > n дарааллын өсөлт нь шинэ оновчтой шийдлүүдийг гаргахад хүргэдэггүй тохиолдолд хүрдэг. Иймээс n - > QO үед хамгийн их тогтвортой байдлын зэрэгтэй системийг нэгтгэх боломж нь зөвхөн m-ээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь аливаа m-ийн хувьд оновчтой шийдлийн бүтэц нь хоцрогдсон объектуудад мэдэгддэг гэсэн үг юм.  

Үзүүлэлт бүрийн цаг хугацааны хоцрогдлын утгыг хэрхэн тодорхойлох вэ гэсэн асуулт гарч ирж байна. Холбогдох хугацааны хоцролтыг тодорхойлохын тулд бид хугацааны цувааны өгөгдлийн корреляцийн шинжилгээг ашигладаг. Хугацааны хоцролтыг тодорхойлох гол шалгуур нь инфляцийн түвшинд үзүүлэх нөлөөллийн янз бүрийн хоцрогдолтой үзүүлэлтүүдийн цаг хугацааны цувааны харилцан хамаарлын коэффициентийн хамгийн том утга юм. Үүний үр дүнд тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийг авна  

Нэмж дурдахад SD арга нь нэг загварын хүрээнд олон тооны урсгал (биет удирдлага, мэдээлэл) болон хөрөнгийн хөрөнгө оруулалт, эдгээр урсгалыг хуримтлуулж буй хөрөнгийг захиран зарцуулах түвшинг үндсэн хөрөнгийн түвшинтэй холбох боломжийг олгодог. хүн амын насны бүтэцтэй янз бүрийн насны бүлэгт капитал, төрөлт, нас баралт гэх мэт. S. d арга нь харгалзан үзсэн бүх санал хүсэлтийн бүтцийг хамгийн тодорхой тусгасан, саатлын янз бүрийн хэлбэрийг харгалзан үзэхэд сайн зохицсон, хүргэдэг. Дифференциал тэгшитгэлийн системд -ry-ийн шийдлүүд нь загварын өөрийн параметр, бүтцээс хамааран тогтвортой байдлын талаар нэлээд энгийн туршилтын судалгаа хийх боломжтой байдаг.  

Дүрмүүдийг бусад шалгуурын дагуу бүлэглэж болно. Жишээлбэл, мөнгөний бодлогын хэрэглүүр (валютын ханш, хүү эсвэл мөнгөний агрегат) гадаад эдийн засгийн харилцаа (нээлттэй эсвэл хаалттай эдийн засаг) байгаа эсэх, тэгшитгэлийн дүрэмд эдийн засгийн хувьсагчдын таамаглалыг оруулах замаар (перетикийн болон дасан зохицох дүрмүүд). ) хоцрогдлын хэмжээгээр (хоцрогдолтой эсвэл хоцрогдолгүй) гэх мэт.  

Уг загвар нь пуужингийн нислэгийн хугацаа, гал дамжуулах саатлыг харгалзан дайсны пуужингийн довтолгооноос урьдчилан сэргийлэх систем, түүний цөмийн пуужингийн хүчний сансрын хяналтын системийн саатлыг харгалзан үзэх боломжийг бидэнд олгодог. Энэ загварыг тэгшитгэлээр тодорхойлно  

BPZ-2M тогтмол саатлын блок нь аналог тооцоолох төхөөрөмжид хоцрогдсон аргумент бүхий функцуудыг хуулбарлахад зориулагдсан бөгөөд үүнийг олон хүчин чадалтай объектуудын тэгшитгэлийг ойртуулах үед бодисыг зөөвөрлөх эсвэл эрчим хүч дамжуулахтай холбоотой үйл явцын цахилгаан загварчлалд ашиглаж болно; хоцролттой эхний ба хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлтэй.  

Шийдвэрлэх функцууд нь түвшний талаарх бэлэн мэдээлэл нь одоогийн урсгалын хурдтай холбоотой шийдвэр гаргахад хэрхэн хүргэдэг болохыг тодорхойлдог зан үйлийн мэдэгдэл юм. Шийдлийн функц нь нэг буюу хоёр түвшний төлөв байдалд материалын урсгалын хамгийн энгийн урвалыг тодорхойлдог энгийн тэгшитгэлийн хэлбэрийг авч болно (иймээс тээврийн системийн бүтээмжийг ихэвчлэн дамжин өнгөрөх барааны тоогоор хангалттай илэрхийлж болно. түвшин, тогтмол - тээвэрлэлтийн хугацааны дундаж саатлыг илэрхийлнэ). Нөгөө талаас, шийдвэрийн функц нь хэд хэдэн нэмэлт нөхцлийн өөрчлөлтийг харгалзан гүйцэтгэсэн урт, нарийвчилсан тооцооллын гинжин хэлхээ байж болно.  

Хүйтний улиралд Байгаль нуурт диатом байхгүй байх гол шалтгаан нь ямар хүчин зүйл болох нь одоогоор бүрэн тодорхойгүй байна. [Грачев нар, 1997]-д шийдвэрлэх хүчин зүйл нь уулын мөсөн голуудын ажлын улмаас үүссэн усны булингаршил ихэссэн гэж үздэг [Гавшин нар, 1998], гол хүчин зүйл нь уналт гэж үздэг Байгаль нуурын ус зайлуулах сав газрын элэгдэл бүдгэрсний улмаас цахиурын агууламж. Загварын өөрчлөлт (2.6.7), эхний тэгшитгэл нь цахиурын концентрацийн динамикийг, хоёр дахь нь суспензийн хуримтлалын динамикийг тодорхойлсон нь эдгээр хоёр хүчин зүйлийн аль нь гол хүчин зүйл болохыг тодорхойлох хандлагыг санал болгох боломжийг бидэнд олгодог. Усны асар их массын улмаас Байгаль нуурын биота нуурын ус зайлуулах сав дахь ургамлын бүлгүүдийн хариу үйлдэлтэй харьцуулахад цаг уурын өөрчлөлтөд бага зэрэг удаашралтай хариу үйлдэл үзүүлэх нь тодорхой юм. Тиймээс диатомын дохио нь палинологийн дохионоос хоцрох ёстой. Хэрэв хүйтэн үед диатомууд алга болох гол шалтгаан нь цахиурын концентраци буурсан бол дулааралтын хариу урвалын саатал нь хөргөлтийн саатлаас их байх ёстой. Хэрэв диатомийг дарах гол хүчин зүйл нь мөсөн голын улмаас булингартдаг бол хүйтэнд үзүүлэх хариу урвалын саатал нь дулаарсантай ижил эсвэл бүр их байх ёстой.  

Сүүлчийн тэгшитгэл нь уншигчдын анзаарсанчлан пропорциональ саатал бүхий хамгийн энгийн өөрийгөө тохируулах механизмын үйл ажиллагааг дүрсэлсэн болно. Хавсралт А-д блок диаграммыг үзүүлэв  

PERRON97 процедур нь энэ тохиолдолд завсарлагааны огноог сонгохдоо нэгж язгуур шалгуур үзүүлэлтийн ta=i-ийн хамгийн бага -статистикийн дагуу бүх боломжит таслах цэгүүдийг авч үзвэл завсарлагааны өдрийг 1999 07 гэж тодорхойлдог. Энэ тохиолдолд ta= = - 3.341 нь эгзэгтэй түвшин - 5.59-ийн 5%-иас дээш байх ба нэгж язгуур таамаглалыг үгүйсгэхгүй. Тэгшитгэлийн баруун талд орсон ялгааны хамгийн том хоцролтыг 10% -ийн ач холбогдлын түвшинтэй загварыг багасгахын тулд GS процедурын хэрэглээний нэг хэсэг болгон 12-той тэнцүү сонгосон.