Тогтвортой байдлын үзэгдэл бол дундажЭнэ нь бодит байдал дээр явагддаг бол бидний санамсаргүй үзэгдлийг судалж буй математик загварт энэ баримтыг тусгасан теорем байх ёстой.
Энэ теоремын нөхцөлд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд хязгаарлалт тавьдаг X 1 , X 2 , …, Xn:

a) санамсаргүй хувьсагч бүр X iматематикийн хүлээлттэй байна

М(X i) = а;

б) санамсаргүй хэмжигдэхүүн бүрийн дисперс нь хязгаарлагдмал, эсвэл бид вариацууд нь дээрээс ижил тоогоор хязгаарлагддаг гэж хэлж болно, жишээлбэл ХАМТ, өөрөөр хэлбэл

Д(X i) < C, i = 1, 2, …, n;

в) санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хосоороо бие даасан, өөрөөр хэлбэл дурын хоёр X iТэгээд Xjцагт би¹ jбие даасан.

Дараа нь ойлгомжтой

Д(X 1 + X 2 + … + Xn)=Д(X 1) +Д(X 2) + ... + Д(Xn).

Олон тооны хуулийг Чебышев хэлбэрээр томъёолъё.

Чебышевын теорем:тооны хязгааргүй өсөлттэй nбие даасан тестүүд " санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь түүний математик хүлээлтэд нийлдэг. ", өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг зүйлийн хувьд ε

Р(| –a| < ε ) = 1. (4.1.1)

Илэрхийллийн утга "арифметик дундаж = магадлалаар нийлдэг" магадлал нь тийм үү аль болох бага ялгаатай байх болно а, тоо нэмэгдэх тусам 1-д хязгааргүй ойртоно n.

Баталгаа.Хязгаарлагдмал тооны хувьд nбие даасан тестийн хувьд бид Чебышевын тэгш бус байдлыг санамсаргүй хэмжигдэхүүнд ашигладаг = :

Р(|- М()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

a - b хязгаарлалтыг харгалзан бид тооцоолно М( ) Мөн Д( ):

М( ) = = = = = = А;

Д( ) = = = = = = .

Орлуулах М( ) Мөн Д( ) тэгш бус байдалд (4.1.2), бид олж авна

Р(| –a| < ε )≥1 – .

Хэрэв тэгш бус байдалд (4.1.2) бид дур зоргоороо жижиг авна ε >0i n® ¥, тэгвэл бид авна

Энэ нь Чебышевын теоремыг баталж байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн үл мэдэгдэх утгыг хангалттай олон тооны туршилтын үр дүнд олж авсан арифметик дундаж утгаар солих эрхтэй практик чухал дүгнэлт. Түүгээр ч зогсохгүй олон туршилт хийх тусам үүнийг солихтой холбоотой алдаа гарах магадлал өндөр (найдвартай) байх болно. - А) заасан утгаас хэтрэхгүй ε .

Үүнээс гадна та бусад практик асуудлыг шийдэж чадна. Жишээлбэл, магадлалын (найдвартай байдлын) утгуудын дагуу Р=Р(| – a|< ε ) болон хамгийн их зөвшөөрөгдөх алдаа ε шаардлагатай тооны туршилтыг тодорхойлох n; By РТэгээд nтодорхойлох ε; By ε Тэгээд nүйл явдлын магадлалын хязгаарыг тодорхойлох | – a |< ε.

Онцгой тохиолдол. Зөвшөөрөх nтуршилтууд ажиглагдсан nсанамсаргүй хувьсагчийн утгууд X,математикийн хүлээлттэй байх М(X) ба хэлбэлзэл Д(X). Хүлээн авсан утгыг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзэж болно X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,Xn,. Үүнийг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: цуврал nтуршилтыг олон удаа хийдэг тул үр дүнд нь би--р шалгалт би= l, 2, 3, ..., n, туршилтын цуврал бүрт санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг буюу өөр утга гарч ирнэ X, урьдчилж мэдэгдээгүй. Тиймээс, би-e утга x iонд олж авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн би-р тест, хэрэв та нэг цуврал тестээс нөгөөд шилжвэл санамсаргүй байдлаар өөрчлөгдөнө. Тиймээс үнэ цэнэ бүр x iсанамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзэж болно Ши.

Туршилтууд дараах шаардлагыг хангасан гэж үзье.

1. Туршилтууд бие даасан байна. Энэ нь үр дүн гарна гэсэн үг X 1 , X 2 ,
X 3 , ..., X nтестүүд – бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

2. Туршилтыг ижил нөхцөлд явуулдаг - энэ нь магадлалын онолын үүднээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийг X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,Xnанхны утгатай ижил хуваарилалтын хуультай X, Тийм учраас М(X i) = М(X) Мөн Д(X i) = Д(X), би = 1, 2, .... х.

Дээрх нөхцлийг харгалзан бид олж авна

Р(| –a| < ε )≥1 – . (4.1.3)

Жишээ 4.1.1. X 4-тэй тэнцүү байна. 0.9-өөс доошгүй магадлалаар энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж утга нь математикийн хүлээлтээс 0.5-аас бага зөрүүтэй байхын тулд хичнээн бие даасан туршилт хийх шаардлагатай вэ?

Шийдэл.Асуудлын нөхцөлийн дагуу ε = 0,5; Р(| – a|< 0,5) ≥ 0.9. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнд (4.1.3) томъёог хэрэглэж байна X, бид авдаг

П(|- М(X)| < ε ) ≥ 1 – .

Харилцаанаас

1 – = 0,9

тодорхойлъё

n= = = 160.

Хариулт: 160 бие даасан туршилт шаардлагатай.

Хэрэв бид арифметик дундаж гэж үзвэл ердийн байдлаар тархсан бол бид дараахь зүйлийг авна.

Р(| – a|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.

Лаплас функцийн хүснэгтийг ашиглан бид хаанаас авдаг ≥
≥ 1.645, эсвэл ≥ 6.58, i.e. n ≥49.

Жишээ 4.1.2.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл Xтэнцүү D( X) = 5. 100 бие даасан туршилт хийсэн бөгөөд үүнээс тооцоолсон . Математикийн хүлээлтийн үл мэдэгдэх утгын оронд Ахүлээн зөвшөөрсөн . Хамгийн багадаа 0.8 байх магадлалтай алдааны зөвшөөрөгдөх дээд утгыг тодорхойлно.

Шийдэл.Асуудлын нөхцлийн дагуу n= 100, Р(| –a|< ε ) ≥0.8. (4.1.3) томъёог хэрэгжүүлье

Р(| –a|< ε ) ≥1 – .

Харилцаанаас

1 – = 0,8

тодорхойлъё ε :

ε 2 = = = 0,25.

Тиймээс, ε = 0,5.

Хариулт: хамгийн их алдааны утга ε = 0,5.

4.2. Бернулли хэлбэрийн их тооны хууль

Хэдийгээр бүх статистик дүгнэлтийн үндэс нь магадлалын тухай ойлголт байдаг ч бид үйл явдлын магадлалыг шууд тодорхойлох цөөхөн тохиолдол байдаг. Заримдаа энэ магадлалыг тэгш хэм, тэгш боломж гэх мэт зүйлд үндэслэн тогтоож болох боловч дур зоргоороо үйл явдлын магадлалыг зааж өгөх бүх нийтийн арга байдаггүй. Бернуллигийн теорем нь бидний сонирхож буй үйл явдлын магадлалыг ойролцоогоор тооцоолох боломжийг олгодог. Абие даасан туршилтыг давтан хийж болно. Үүнийг үйлдвэрлэе nбие даасан туршилтууд, тус бүрдээ ямар нэгэн үйл явдал тохиолдох магадлал Атогтмол бөгөөд тэнцүү байна r.

Бернуллигийн теорем.Бие даасан тестийн тоог хязгааргүй нэмэгдүүлснээр nүйл явдлын харьцангуй давтамж Амагадлал нь магадлалд нийлдэг хүйл явдал тохиолдох А,Т. д.

П(½ - х½≤ ε) = 1, (4.2.1)

Хаана ε – дур зоргоороо жижиг эерэг тоо.

Финалын хувьд nСанамсаргүй хэмжигдэхүүний Чебышевын тэгш бус байдал дараах хэлбэртэй байна.

П(| –p|< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)

Баталгаа.Чебышевын теоремыг хэрэгжүүлье. Болъё X i- үйл явдлын тохиолдлын тоо АВ би- тест, би= 1, 2, . . . , n. Тоо хэмжээ тус бүр X iзөвхөн хоёр утгыг авч болно:

X i= 1 (үйл явдал Атохиолдсон) магадлалаар х,

X i= 0 (үйл явдал Атохиолдоогүй) магадлалаар q= 1–х.

Болъё Yn= . нийлбэр X 1 + X 2 + … + Xnтоотой тэнцүү байна мүйл явдлын тохиолдлууд АВ nтуршилт (0 м n) гэсэн үг Yn= – үйл явдал тохиолдох харьцангуй давтамж АВ nтуршилтууд. Хүлээлт ба зөрүү X iтэнцүү байна:

М( ) = 1∙х + 0∙q = х,

Жишээ 4.2.1.Бүтээгдэхүүний согогийн хувийг тогтоохын тулд 1000 нэгжийг буцаан түүвэрлэлтийн схемээр шалгасан. Хэрэв 10,000 бүтээгдэхүүн тутамд дунджаар 500 согогтой байдаг нь мэдэгдэж байгаа бол энэ дээжээр тодорхойлсон согогийн эзлэх хувь нь нийт багц дахь согогийн хувь хэмжээнээс 0.01-ээс ихгүй ялгаатай байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.Асуудлын нөхцлийн дагуу бие даасан туршилтын тоо n= 1000;

х= = 0,05; q= 1 – х= 0,95; ε = 0,01.

(4.2.2) томъёог хэрэглэснээр бид олж авна

П(| –p|< 0,01) ≥ 1 – = 1 – = 0,527.

Хариулт: хамгийн багадаа 0.527 байх магадлалтай бол согогийн түүврийн эзлэх хувь (гажигуудын харьцангуй давтамж) нь бүх бүтээгдэхүүний согогийн хувь хэмжээнээс (гажиг үүсэх магадлал) 0.01-ээс ихгүй байна гэж бид найдаж болно.

Жишээ 4.2.2.Эд ангиудыг тамгалах үед согогийн магадлал 0.05 байна. Доод тал нь 0.95-аас багагүй байх магадлалтай тул гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний харьцангуй давтамж нь гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний магадлалаас 0.01-ээс бага зөрүүтэй байхын тулд хичнээн хэсгийг шалгах шаардлагатай вэ?

Шийдэл.Асуудлын нөхцлийн дагуу r= 0,05; q= 0,95; ε = 0,01;

П(| – p|<0,01) ≥ 0,95.

Тэгш байдлаас 1 – = Бид 0.95-ыг олно n:

n= = =9500.

Хариулт: 9500 ширхэгийг шалгах шаардлагатай.

Сэтгэгдэл.Бернулли (эсвэл Чебышевын) теоремыг хэрэглэснээр олж авсан шаардлагатай тооны ажиглалтын тооцоог маш хэтрүүлсэн байна. Бернштейн, Хинчин нарын санал болгосон илүү нарийвчлалтай тооцоо байдаг боловч илүү нарийн төвөгтэй математикийн аппарат шаарддаг. Тооцооллыг хэтрүүлэхээс зайлсхийхийн тулд заримдаа Лапласын томъёог ашигладаг

П(| – p|< ε ) ≈ 2Φ .

Энэ томьёоны сул тал бол зөвшөөрөгдөх алдааны тооцоо байхгүй байх явдал юм.

Амжилттай борлуулагчдын нууц юу вэ? Хэрэв та аль ч компанид хамгийн сайн борлуулагчдыг ажиглавал тэд нэг нийтлэг зүйлтэй болохыг анзаарах болно. Тэд тус бүр нь амжилт муутай борлуулагчдаас илүү олон хүнтэй уулзаж, олон илтгэл тавьдаг. Эдгээр хүмүүс борлуулалт бол тооны тоглоом гэдгийг ойлгодог бөгөөд олон хүнд бүтээгдэхүүн, үйлчилгээнийхээ талаар ярих тусам тэд илүү олон хэлэлцээрийг хаах болно - энэ бол бүх зүйл. Хэрэв тэд зөвхөн "Тийм" гэж хэлэх цөөхөн хүмүүстэй төдийгүй тэдний саналыг тийм ч их сонирхдоггүй хүмүүстэй харилцаж байвал дундаж хэмжүүрийн хууль тэдний талд ажиллах болно гэдгийг тэд ойлгодог.

Таны орлого борлуулалтын тооноос хамаарна, гэхдээ тэр үед таны хийсэн илтгэлийн тоотой шууд пропорциональ байх болно. Дундаж хэмжүүрийн хуулийг ойлгож, дадлагажуулснаар шинэ бизнес эхлүүлэх, шинэ салбарт ажиллахтай холбоотой түгшүүр багасаж эхэлнэ. Үүний үр дүнд хяналт, мөнгө олох чадварт итгэх итгэл нэмэгдэж эхэлнэ. Хэрэв та зүгээр л илтгэл тавьж, ур чадвараа сайжруулах юм бол хэлэлцээрүүд гарах болно.

Хэлэлцээрийн тоог бодохын оронд илтгэлүүдийн тоог сайн бодоорой. Өглөө босоод, орой гэртээ ирээд бараагаа хэн авах бол гэж гайхаад байх нь утгагүй. Үүний оронд өдөрт хэдэн удаа дуудлага хийхээ төлөвлөх нь дээр. Тэгээд дараа нь юу ч байсан хамаагүй - эдгээр бүх дуудлагыг хий! Энэ арга нь таны ажлыг хөнгөвчлөх болно - учир нь энэ нь энгийн бөгөөд тодорхой зорилго юм. Хэрэв та тодорхой, хүрч болох зорилготой гэдгээ мэдэж байвал төлөвлөсөн тооны дуудлага хийхэд хялбар байх болно. Хэрэв та энэ үйл явцын туршид "тийм" гэж хэд хэдэн удаа сонсвол хамаагүй дээр!

Хэрэв "үгүй" гэвэл орой та чадах бүхнээ шударгаар хийсэн гэдгээ мэдэрч, хичнээн их мөнгө олсон, эсвэл өдөрт хичнээн хамтрагчтай болсон тухай бодолд шаналахгүй.

Танай компани эсвэл бизнест дунджаар нэг борлуулагч дөрвөн илтгэл тутамд нэг хэлцлийг хаадаг гэж бодъё. Одоо та тавцангаас карт зурж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Хүрз, очир алмааз, дугуй гэсэн гурван хослолын карт бүр нь бүтээгдэхүүн, үйлчилгээ, боломжоо мэргэжлийн түвшинд танилцуулах үзүүлэн юм. Та чадах чинээгээрээ сайн хийдэг ч гэрээгээ хаадаггүй. Мөн зүрхний карт бүр нь мөнгө авах эсвэл шинэ хамтрагч худалдаж авах боломжийг олгодог гэрээ юм.

Ийм нөхцөлд та тавцангаас аль болох олон карт зурахыг хүсэхгүй байна уу? Зүрхний карт сугалах болгондоо төлбөрөө төлж эсвэл шинэ хамтрагч санал болгож байтал хүссэн хэмжээгээрээ карт зурахыг санал болгож байна гэж бодъё. Та урам зоригтойгоор карт зурж эхлэх бөгөөд таны гаргасан карт ямар тохирохыг бараг анзаарах болно.

Тавин хоёр картын тавцанд арван гурван зүрх байдаг гэдгийг та мэднэ. Хоёр тавцан дээр хорин зургаан зүрхний карт гэх мэт. Хүз, очир алмааз, дугуй зурахдаа сэтгэл дундуур байх уу? Мэдээж үгүй! Ийм "мисс" бүр таныг юунд ойртуулдаг гэж та бодох болно? Зүрхний карт руу!

Гэхдээ та юу мэдэх вэ? Танд аль хэдийн ийм санал ирсэн. Та хүссэн хэмжээгээрээ олж, амьдралдаа зурахыг хүссэн олон зүрх сэтгэлийг татах онцгой байр суурьтай байна. Хэрэв та зүгээр л "хөзөр зурж", ур чадвараа дээшлүүлж, бага зэрэг хүрз, очир алмааз, дугуйг тэвчвэл та маш сайн худалдагч болж, амжилтанд хүрэх болно.

Борлуулалтыг маш хөгжилтэй болгодог нэг зүйл бол та тавцангаа холих бүрт картууд өөр өөр холилдсон байдаг. Заримдаа бүх зүрх сэтгэл тавцангийн эхэнд дуусдаг бөгөөд азтай цувралын дараа (бид хэзээ ч алдахгүй юм шиг санагдаж байвал) өөр хувцасны урт эгнээ биднийг хүлээж байдаг. Мөн бусад үед эхний зүрхэнд хүрэхийн тулд та эцэс төгсгөлгүй олон тооны хүрз, дугуй, алмаазыг туулах хэрэгтэй болно. Заримдаа янз бүрийн костюмтай картууд дарааллаар нь харагдана. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд тавин хоёр картын тавцан бүрт ямар нэгэн дарааллаар үргэлж арван гурван зүрх байдаг. Картуудаа олох хүртлээ зүгээр л сугалж ав.

Хэнээс: Лейля,  

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц ба түүний шинж чанарууд.

Түгээлтийн функц X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь F(X) функц бөгөөд х тус бүрийн хувьд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг илэрхийлдэг. F(x)=P(X

F(x) функцзаримдаа дууддаг интеграл функцтүгээлт эсвэл хуваарилалтын салшгүй хууль.

Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь тэг ба нэгийн хоорондох сөрөг бус функц юм.

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь бүхэл тоон тэнхлэгт буурахгүй функц юм.

3. Хасах хязгааргүй үед тархалтын функц тэгтэй тэнцүү, хязгааргүй нэмэх үед нэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл: F(-∞)= , F(+∞)= .

4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн [x1,x2) (х1 орно) интервалд орох магадлал нь энэ интервал дээрх түүний тархалтын функцийн өсөлттэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. P(x 1 ≤ X< х 2) = F(x 2) - F(x 1).

Марков ба Чебышевын тэгш бус байдал

Марковын тэгш бус байдал

Теорем: Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь зөвхөн сөрөг бус утгыг авч, математикийн хүлээлттэй байвал ямар ч эерэг А тооны хувьд дараахь тэгшитгэл үнэн болно. P(x>A) ≤ .

X > A ба X ≤ A үйл явдлууд эсрэг талынх тул P(X > A)-г орлуулснаар бид 1 - P(X ≤ A) -ийг илэрхийлдэг тул Марковын тэгш бус байдлын өөр хэлбэрт хүрнэ: P(X ≥ A) ≥1 - .

Марковын k тэгш бус байдал нь аливаа сөрөг бус санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хамаарна.

Чебышевын тэгш бус байдал

Теорем:Математикийн хүлээлт ба дисперстэй аливаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд Чебышевын тэгш бус байдал хүчинтэй байна.

P (|X – a| > ε) ≤ D(X)/ε 2 эсвэл P (|X – a| ≤ ε) ≥ 1 – DX/ε 2, энд a= M(X), ε>0.

Чебышевын теоремын "хэлбэр дэх" их тооны хууль.

Чебышевын теорем:Хэрэв зөрүүтэй бол nбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд X1, X2,…. X nнь ижил тогтмол хэмжээнд, дараа нь тоо нь хязгааргүй нэмэгддэг nСанамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь тэдний математик хүлээлтийн арифметик дундажтай магадлалаар нийлдэг a 1 , a 2 ...., a n, i.e. .

Их тооны хуулийн утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгууд нь математикийн хүлээлттэй байх хандлагатай байдаг. n→ ∞ магадлалаар. Математикийн хүлээлтээс дундаж утгын хазайлт нь n нь хангалттай том бол нэгдмэл байдалд ойртох магадлал нь дур зоргоороо бага болдог. Өөрөөр хэлбэл, дундаж утгуудаас хазайх магадлал Аөсөх шигээ жижигхэн n.

30. Бернуллигийн теорем.

Бернуллигийн теорем:Үйл явдлын давтамж nдавтан бие даасан туршилтууд, тэдгээр нь тус бүрт ижил магадлалтай p, тоо нь хязгааргүй нэмэгдэх боломжтой. nТусдаа туршилтаар энэ үйл явдлын магадлалын p-д магадлалыг нэгтгэх: \

Үйл явдлын давтамжийг ижил тархалтын хуультай n бие даасан альтернатив санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундажаар илэрхийлж болох тул Бернуллигийн теорем нь Чебышевын теоремын үр дагавар юм.

18. Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тэдгээрийн шинж чанаруудын математик хүлээлт.

Математикийн хүлээлтЭнэ нь түүний бүх утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд:

Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд:

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:

1. Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна: M(S)=C

2. Тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж болно, өөрөөр хэлбэл. M(kX)=kM(X).

3. Хязгаарлагдмал тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний алгебрийн нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн ижил нийлбэртэй тэнцүү байна, i.e. M(X±Y)=M(X)±M(Y).

4. Хязгаарлагдмал тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна. M(XY)=M(X)*M(Y).

5. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгыг тогтмол C-ээр өсгөсөн (буурсан) бол энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ижил тогтмол C-ээр нэмэгдэх (буурах) болно: M(X±C)=M(X)±C.

6. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс хазайх математикийн хүлээлт тэг байна: M=0.

Их тооны хуульМагадлалын онолд тогтмол тархалтаас хангалттай том хязгаарлагдмал түүврийн эмпирик дундаж (арифметик дундаж) нь энэ тархалтын онолын дундажтай (математикийн хүлээлт) ойролцоо байна гэж заасан. Конвергенцийн төрлөөс хамааран нийлэх магадлалын хувьд их тооны сул хууль, бараг хаа сайгүй нийлдэг их тооны хүчтэй хуулийг хооронд нь ялгадаг.

Үргэлж хязгаарлагдмал тооны туршилтууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь урьдчилсан магадлалаар бага байдаг 1 зарим үйл явдлын харьцангуй давтамж нь түүний магадлалаас аль болох бага ялгаатай байх болно.

Олон тооны хуулийн ерөнхий утга нь: олон тооны ижил, бие даасан санамсаргүй хүчин зүйлсийн хамтарсан үйл ажиллагаа нь хязгаарт тохиолдлоос хамаардаггүй үр дүнд хүргэдэг.

Хязгаарлагдмал түүврийн шинжилгээнд үндэслэн магадлалыг тооцоолох аргууд нь энэ шинж чанарт суурилдаг. Үүний тод жишээ бол сонгогчдын түүвэр судалгаанд үндэслэн сонгуулийн үр дүнгийн таамаглал юм.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 5

✪ Их тооны хууль

✪ 07 - Магадлалын онол. Их тооны хууль

✪ 42 Их тооны хууль

✪ 1 - Чебышевын олон тооны хууль

✪ 11-р анги, 25-р хичээл, Гауссын муруй. Их тооны хууль

Хадмал орчуулга

Математик болон магадлалын онолын хамгийн зөн совингийн хууль болох их тооны хуулийг авч үзье. .. Би анх удаа тест хийхдээ 100 удаа зоос шиднэ, эсвэл зуун зоостой хайрцгийг аваад сэгсэрнэ, тэгээд хэдэн толгой авснаа тоолоод 55 гэсэн тоог авна. X1 байх болно. Хэзээ нэгэн цагт та пропорциональ бус олон тооны толгойтой болж эхэлнэ гэсэн үг биш юм. Дараагийн видеогоор уулзацгаая!

Их тооны сул хууль

Их тооны сул хуулийг 1713 онд баталсан Якоб Бернуллигийн нэрээр Бернуллийн теорем гэж бас нэрлэдэг.

Ижил тархсан ба хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хязгааргүй дараалал (дараалсан тоолол) байг. Энэ нь тэдний ковариац юм c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Let . Эхний түүврийн дундажаар тэмдэглэе n (\displaystyle n)гишүүд:

.

Дараа нь X ¯ n → P μ (\ displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Энэ нь аливаа эерэг зүйлийн хувьд ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Их тооны тухай хуулийг чангатгасан

Бие даасан ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хязгааргүй дараалал байг ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), нэг магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон (Ω , F , P) (\displaystyle (\Омега,(\маткал (F)),\mathbb (P))). Болъё E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). -ээр тэмдэглэе X ¯ n (\displaystyle (\бар (X))_(n))эхний жишээ дундаж n (\displaystyle n)гишүүд:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\нийлбэр \limits _(i=) 1)^(n)X_(i),\;n\-д \mathbb (N) ).

Дараа нь X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu )бараг үргэлж.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ баруун) = 1.) .

Математикийн аливаа хуулийн нэгэн адил их тооны хуулийг бодит ертөнцөд зөвхөн тодорхой хэмжээний нарийвчлалтайгаар биелүүлэх боломжтой тодорхой таамаглалын дагуу л хэрэглэж болно. Жишээлбэл, дараалсан туршилтын нөхцөлийг хязгааргүй, үнэмлэхүй нарийвчлалтайгаар хадгалах боломжгүй байдаг. Нэмж дурдахад, их тооны хууль зөвхөн ярьдаг магадлалгүйматематикийн хүлээлтээс дундаж утгын мэдэгдэхүйц хазайлт.

ЛЕКЦ 5

Хамтарсан зүйлийг давтах

1-р хэсэг - БҮЛЭГ 9. ТОМ ТООНЫ ХУУЛЬ. Хязгаарын ТЕОРЕМ

Статистикаар тодорхойлогдох үед
магадлалыг зарим гэж тайлбарладаг
хамаатан садан нь ханддаг тоо
санамсаргүй үйл явдлын давтамж. At
магадлалын аксиоматик тодорхойлолт -
Энэ нь үнэндээ багцын нэмэлт хэмжүүр юм
боломжийн үр дүн
үйл явдал. Эхний тохиолдолд бид харьцаж байна
эмпирик хязгаар, хоёрдугаарт - хамт
хэмжүүрийн онолын үзэл баримтлал. Огт үгүй
Тэд ижил зүйлийг хэлж байгаа нь ойлгомжтой
үзэл баримтлал. Янз бүрийн тодорхойлолтуудын хоорондын хамаарал
магадлалыг Бернуллигийн теоремоор тогтоодог.
Энэ нь томоохон хуулийн онцгой тохиолдол юм
тоо.

Туршилтын тоо нэмэгдэх тусам
бином хууль хандлагатай байдаг
хэвийн тархалт. Энэ бол теорем юм
Мойвр-Лаплас, энэ нь
төвлөрсөн хязгаарын онцгой тохиолдол
теоремууд. Сүүлийнх нь функц гэж заасан
бие даасан нийлбэрийн хуваарилалт
тоо нэмэгдэх тусам санамсаргүй хэмжигдэхүүн
нэр томъёо хэвийн байх хандлагатай байдаг
хууль.
Их тооны болон төвийн хууль
Суурь нь хязгаарын теорем юм
математик статистик.

9.1. Чебышевын тэгш бус байдал

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ-тэй байг
хязгаарлагдмал математик хүлээлт
M[ξ] ба дисперс D[ξ]. Дараа нь
дурын эерэг тоо ε
тэгш бус байдал нь үнэн:

Тэмдэглэл

Эсрэг үйл явдлын хувьд:
Чебышевын тэгш бус байдал нь хүчинтэй
аливаа хуваарилалтын хууль.
тавих
баримт:
, бид үл тоомсорлодог

9.2. Чебышев хэлбэрийн олон тооны хууль

Теорем Санамсаргүй хэмжигдэхүүн
нь хосоороо бие даасан, хязгаартай
ялгаа нь ижил хязгаарлагдмал
тогтмол
Дараа нь
ямар ч
бидэнд байгаа
Тиймээс их тооны хууль ингэж хэлдэг
санамсаргүй хэмжигдэхүүний (өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэмжигдэхүүн) арифметик дундажийн магадлалын нэгдэл
тэдгээрийн дэвсгэрийн арифметик дундаж руу. хүлээлт (жишээ нь.
санамсаргүй бус хувьсагч руу).

9.2. Чебышев хэлбэрийн олон тооны хууль: нэмэх

Теорем (Марков): их хэмжээний хууль
Хэрэв хэлбэлзэл байвал тоонууд хангагдана
санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр өсөхгүй
n өсөхөд хэтэрхий хурдан:

10. 9.3. Бернуллигийн теорем

Теорем: Бернулли схемийг авч үзье.
А үйл явдлын тохиолдлын тоог μn гэж үзье
n бие даасан туршилт, p – нэгд А үйл явдал тохиолдох магадлал
тест. Дараа нь хэнд ч
Тэдгээр. хазайлт үүсэх магадлал
-аас санамсаргүй үйл явдлын харьцангуй давтамж
түүний магадлал p нь дур зоргоороо модуль байх болно
жижиг, энэ нь тоо нэмэгдэх тусам нэгдмэл байх хандлагатай байдаг
тестүүд n.

11.

Баталгаа: Санамсаргүй хувьсагч μn
хоёр гишүүний хуулийн дагуу хуваарилагдсан тул
бидэнд байгаа

12. 9.4. Онцлог функцууд

Санамсаргүй функцийн онцлог
хэмжигдэхүүнийг функц гэж нэрлэдэг
Энд exp(x) = ex.
Тиймээс,
төлөөлдөг
зарим хүмүүсийн математикийн хүлээлт
комплекс санамсаргүй хэмжигдэхүүн
хэмжээтэй холбоотой. Ялангуяа, хэрэв
- дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн,
тархалтын цуваагаар өгөгдсөн (xi, pi), энд i
= 1, 2,..., n, тэгвэл

13.

Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд
түгээлтийн нягтралтай
магадлал

14.

15. 9.5. Төвийн хязгаарын теорем (Ляпуновын теорем)

16.

Хамтарсан зүйлээ давтлаа

17. МАГАДЛАЛЫН ОНОЛ, МАТЕМАТИК СТАТИСТИКИЙН ҮНДЭС

II ХЭСЭГ. МАТЕМАТИК
СТАТИСТИК

18. Эпиграф

“Худал гурван төрөл байдаг: худал,
илт худал, статистик"
Бенжамин Дизраели

19. Танилцуулга

Математикийн хоёр үндсэн асуудал
статистик:
статистик мэдээллийг цуглуулах, бүлэглэх
өгөгдөл;
шинжилгээний аргуудыг хөгжүүлэх
хамааран өгөгдөл хүлээн авсан
судалгааны зорилго.

20. Статистик мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх аргууд:

үйл явдлын үл мэдэгдэх магадлалын үнэлгээ;
үл мэдэгдэх функцийн тооцоо
хуваарилалт;
мэдэгдэж байгаа параметрүүдийн тооцоо
хуваарилалт;
зүйлийн талаарх статистик таамаглалыг шалгах
үл мэдэгдэх хуваарилалт эсвэл
мэдэгдэж байгаа параметрүүдийн утгууд
хуваарилалт.

21. БҮЛЭГ 1. МАТЕМАТИК СТАТИСТИКИЙН ҮНДСЭН ОЙЛГОЛТ

22. 1.1. Популяци ба дээж

Нийт хүн ам - бүх зүйл
судалж буй олон объект,
Түүвэрлэлт - санамсаргүй байдлаар объектуудын багц
нийт хүн амын дундаас сонгосон
судалгааны зориулалтаар.
Хүн амын тоо ба
түүврийн хэмжээ - ерөнхий популяци ба түүврийн объектын тоо - бид болно
N ба n гэж тус тус тэмдэглэв.

23.

Дээжийг хэзээ давтана
Өмнө нь сонгосон объект бүр
дараагийнхыг сонгох нь буцаж ирнэ
нийт хүн ам, ба
сонгосон бол давтах боломжтой
Нийт хүн амын дунд объект нь тийм биш юм
буцаж ирдэг.

24. Төлөөлөгчийн жишээ:

шинж чанаруудыг зөв илэрхийлдэг
нийт хүн ам, өөрөөр хэлбэл. байна
төлөөлөгч (төлөөлөгч).
Их тооны хуулийн дагуу ингэж хэлж болно
Энэ нөхцөл хангагдана, хэрэв:
1) түүврийн хэмжээ n хангалттай том;
2) түүврийн объект бүрийг санамсаргүй байдлаар сонгосон;
3) объект бүрийн хувьд авах магадлал
дээж дээр ижил байна.

25.

Популяци ба дээж
нэг хэмжээст байж болно
(нэг хүчин зүйл)
ба олон хэмжээст (олон хүчин зүйл)

26. 1.2. Түүвэр тархалтын хууль (статистикийн цуврал)

n хэмжээтэй түүвэр оруулъя
бидний сонирхсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ
(ямар ч объектын параметр
хүн ам) n1-ийг авна
x1-ийн утгыг үржүүлэх, n2-ыг x2-ын утгыг үржүүлэх,... ба
nk удаа - xk утга. Дараа нь ажиглагдах зүйлс
санамсаргүй хэмжигдэхүүний x1, x2,..., xk утгууд
ξ-г хувилбар гэж нэрлэдэг ба n1, n2,..., nk
- тэдгээрийн давтамж.

27.

Xmax - xmin ялгаа нь муж юм
дээж, харьцаа ωi = ni /n –
харьцангуй давтамжийн сонголтууд xi.
Энэ нь ойлгомжтой

28.

Хэрэв бид сонголтуудыг өсөх дарааллаар бичвэл вариацын цуваа гарч ирнэ. Эдгээрээс бүрдсэн хүснэгт
захиалгат хувилбарууд ба тэдгээрийн давтамж
(ба/эсвэл харьцангуй давтамж)
статистикийн цуврал буюу
дээж тараах хууль.
-- Дискрет тархалтын хуулийн аналог
магадлалын онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүн

29.

Хэрэв вариацын цуврал нь маш
олон тооны тоо эсвэл
зарим нь тасралтгүй
тэмдэг, бүлэглэсэн ашиглах
дээж. Үүнийг авахын тулд интервал байна
бүх ажиглагдах зүйлсийг агуулсан
шинж чанарын утгуудад хуваагдана
хэд хэдэн ихэвчлэн тэнцүү хэсгүүд
h урттай (дэд интервалууд). At
дахь статистикийн цуврал эмхэтгэл
xi-ийн хувьд дундыг нь ихэвчлэн сонгодог
дэд интервалууд ба ni нь тоотой тэнцүү байна
i-р дэд интервалд орох сонголт.

30.

40
- Давтамж -
35
30
n2
n3
ns
n1
25
20
15
10
5
0
а
a+h/2 a+3h/2
- Сонголтууд -
б-ц/2
б

31. 1.3. Давтамжийн олон өнцөгт, дээжийн тархалтын функц

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн xi-ийн утгыг зуръя
абсцисса тэнхлэг ба ординатын тэнхлэгийн дагуух ni утгууд.
Сегментүүд нь холбогдсон тасархай шугам
координаттай цэгүүд (x1, n1), (x2, n2),..., (xk,
nk), олон өнцөгт гэж нэрлэдэг
давтамж Хэрэв оронд нь
үнэмлэхүй утгууд ni
ординатын тэнхлэг дээр тавина
харьцангуй давтамж ωi,
тэгвэл харьцангуй давтамжийн олон өнцөгтийг авна

32.

Түгээлтийн функцтэй ижил төстэй байдлаар
дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн
дээжийн хуваарилалтын хууль байж болно
дээж бүтээх (эмпирик)
түгээлтийн функц
нийлбэрийг бүхэлд нь гүйцэтгэнэ
утгууд нь таарч байгаа давтамжууд
сонголт, жижиг x. Үүнийг анхаарна уу
эмпирик тархалтын функц
түүврийн хэмжээнээс хамаарна n.

33.

Функцээс ялгаатай
, олдсон
туршлагатай хүнээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ
статистик мэдээллийг боловсруулах замаар, үнэн функц
хуваарилалт
холбоотой
нийт хүн ам гэж нэрлэдэг
онолын. (Ихэвчлэн ерөнхий
нийт нь маш том юм
бүгдийг нь боловсруулах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл.
Та зөвхөн үүнийг судлах боломжтой
онолын хувьд).

34.

Үүнийг анхаарна уу:

35. 1.4. Эмпирик тархалтын функцийн шинж чанарууд

Алхсан
харах

36.

Өөр нэг график дүрслэл
Бидний сонирхож буй жишээ бол
гистограм - алхам дүрс,
суурь нь дэд интервалууд болох тэгш өнцөгтүүдээс бүрдэнэ
өргөн h, өндөр нь уртын сегмент юм
ni/h (давтамжийн гистограмм) эсвэл ωi/h
(харьцангуй давтамжийн гистограм).
Эхний тохиолдолд
гистограмын талбай нь эзэлхүүнтэй тэнцүү байна
дээж n, in
хоёр дахь - нэг

37. Жишээ

38. БҮЛЭГ 2. ДЭЭЖИЙН ТООН ШИНЖҮҮД.

39.

Математик статистикийн асуудал бол
боломжтой дээжээс авна уу
ерөнхий мэдээлэл
нийт. Төлөөлөгчийн түүврийн тоон шинж чанар - харгалзах шинж чанарын үнэлгээ
судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүн,
генералтай холбоотой
бүхэлд нь.

40. 2.1. Түүврийн дундаж ба түүврийн дисперс, эмпирик цэгүүд

Түүврийн дундажийг дуудна
утгын арифметик дундаж
дээж дээрх сонголт
Түүврийн дундаж нь хэрэглэгддэг
математикийн статистик үнэлгээ
судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт.

41.

Түүврийн хэлбэлзэл гэж нэрлэдэг
утгатай тэнцүү байна
Жишээ дундаж квадрат
хазайлт -

42.

Юу болж байгааг харуулах нь амархан
дараах харьцаа тохиромжтой
хэлбэлзлийн тооцоо:

43.

Бусад шинж чанарууд
вариацын цувралууд нь:
горим M0 – байгаа хувилбар
хамгийн өндөр давтамж ба медиан би –
вариацийг хуваах сонголт
тоотой тэнцүү хоёр хэсэг болгон эгнээ
сонголт.
2, 5, 2, 11, 5, 6, 3, 13, 5 (горим = 5)
2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 11.13 (медиан = 5)

44.

Харгалзахтай ижил төстэй байдлаар
онолын илэрхийлэл байж болно
эмпирик цэгүүдийг бий болгох,
статистикт ашигладаг
анхан шатны болон төвийн үнэлгээ
судлагдсан санамсаргүй мөчүүд
тоо хэмжээ.

45.

Агшинтай зүйрлэвэл
онолууд
магадлалыг анхны эмпирик
захиалгын момент m нь тоо хэмжээ
төв эмпирик цэг
захиалга m -

46. ​​2.2. Тархалтын параметрүүдийн статистик тооцооны шинж чанарууд: шударга бус байдал, үр ашиг, тууштай байдал

2.2. Статистикийн тооцооллын шинж чанарууд
түгээлтийн параметрүүд: шударга бус байдал, үр ашиг, тууштай байдал
Статистикийн тооцоог хүлээн авсны дараа
санамсаргүй тархалтын параметрүүд
ξ-ийн утгууд: түүврийн дундаж, түүврийн хэлбэлзэл гэх мэт, та итгэлтэй байх хэрэгтэй
Тэд сайн ойролцоо байна
харгалзах параметрүүдийн хувьд
онолын тархалт ξ.
Үүний тулд шаардлагатай нөхцөлүүдийг олж мэдье
гүйцэтгэнэ.

47.

48.

Статистикийн тооцооллыг A* гэж нэрлэдэг
хэрэв энэ нь математик бол шударга бус
хүлээлт нь тооцоолсон параметртэй тэнцүү байна
А хүн ам
дээжийн хэмжээ, жишээлбэл.
Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол үнэлгээ
нүүлгэн шилжүүлсэн гэж нэрлэдэг.
Шударга бус үнэлгээ хангалтгүй
статистикийг сайн ойртуулах нөхцөл
A* үнэн (онолын) утгыг оноо
тооцоолсон параметрийн А.

49.

Хувь хүний ​​үнэт зүйлсийн тархалт
дундаж утгатай харьцуулахад M
дисперсийн хэмжээнээс хамаарна D.
Хэрэв зөрүү их байвал утга
нэг жишээ мэдээллээс олдсон,
-аас ихээхэн ялгаатай байж болно
үнэлж буй параметр.
Тиймээс найдвартай
үнэлгээний хэлбэлзэл D байх ёстой
жижиг байх. Статистикийн үнэлгээ
бол үр дүнтэй гэж нэрлэдэг
өгөгдсөн түүврийн хэмжээ n байна
боломжит хамгийн бага хэлбэлзэл.

50.

Статистикийн тооцоолол руу
бас нэг шаардлага бий
төлбөрийн чадвар. Оноо гэж нэрлэдэг
тууштай бол n → it
байх магадлалтай
үнэлж буй параметр. Үүнийг анхаарна уу
шударга бус үнэлгээ байх болно
нийцтэй бол n → түүний
дисперс нь 0 байх хандлагатай байна.

51. 2.3. Түүврийн дундажийн шинж чанарууд

Бид x1, x2,..., xn гэсэн сонголтуудыг авч үзэх болно
харгалзах утгууд юм
бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн
,
математикийн хүлээлттэй байх
болон хэлбэлзэл
. Дараа нь
түүвэр дундаж боломжтой
санамсаргүй хувьсагч гэж үзнэ

52.

Нүүлгэн шилжүүлээгүй. Үл хөдлөх хөрөнгөөс
математикийн хүлээлт үүнийг дагадаг
тэдгээр. жишээ дундаж байна
Математикийн бодитой үнэлгээ
санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт.
Мөн үр дүнтэй байдлыг харуулж чадна
Математикийн хүлээлтийн түүврийн дундаж дээр үндэслэсэн тооцоолол (хэвийн хувьд
хуваарилалт)

53.

Эд баялаг. Үнэлгээ хийгдэж байгаа нь а байх болтугай
параметр, тухайлбал математик
хүн амын хүлээлт
- хүн амын хэлбэлзэл
.
Чебышевын тэгш бус байдлыг авч үзье
Бидэнд:
Дараа нь
. n → баруун талд
тэгш бус байдал нь ямар ч ε > 0 үед тэг болох хандлагатай, өөрөөр хэлбэл.
тиймээс түүврийг төлөөлж буй X утга
Тооцооллыг магадлалаар тооцсон a параметрт чиглүүлдэг.

54.

Тиймээс бид дүгнэж болно
түүврийн дундаж нь байна
нэг талыг барьсан, үр дүнтэй (дээр
наад зах нь хэвийн
хуваарилалт) ба чинээлэг
математикийн хүлээлтийн тооцоо
холбоотой санамсаргүй хэмжигдэхүүн
нийт хүн ам.

55.

56.

ЛЕКЦ 6

57. 2.4. Түүврийн дисперсийн шинж чанарууд

Түүврийн дисперсийн D*-ын шударга бус байдлыг шалгая
санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн тооцоо

58.

59.

60. Жишээ

Түүврийн дундаж утгыг ол
дисперс ба дундаж квадрат
хазайлт, горим ба залруулсан дээж
Дараахтай түүврийн зөрүү
түгээлтийн хууль:
Шийдэл:

61.

62. БҮЛЭГ 3. МЭДЭГДСЭН ТАРХАЛТЫН ҮЗҮҮЛЭЛТИЙН ЦЭГИЙН ТООЦОО.

63.

Бид хуулийн ерөнхий хэлбэр гэж үзэх болно
хуваарилалт бидэнд мэдэгдэж байгаа ба
Нарийвчилсан мэдээллийг тодруулах хэвээр байна -
түүнийг тодорхойлох параметрүүд
хүчинтэй хэлбэр. Байдаг
Үүнийг шийдэх хэд хэдэн арга
даалгавар, үүний хоёр нь бид
авч үзэх: мөчүүдийн арга ба арга
хамгийн их магадлалтай

64. 3.1. Агшин зуурын арга

65.

Карл боловсруулсан моментийн арга
Пирсон 1894 онд үндэслэсэн
Эдгээр ойролцоо тэгш байдлыг ашиглан:
мөчүүд
тооцоолсон
онолын хувьд мэдэгдэж байгаа хуулийн дагуу
θ параметртэй тархалт ба
сонгомол мөчүүд
тооцоолсон
боломжтой дээжийн дагуу. Тодорхойгүй
параметрүүд
онд тодорхойлогддог
r тэгшитгэлийн системийг шийдсэний үр дүнд,
холбогдохыг холбох
онолын болон эмпирик талууд,
Жишээлбэл,
.

66.

Тооцоолол гэдгийг харуулж болно
аргаар олж авсан параметрүүд θ
мөчүүд, чинээлэг, тэдний
математикийн хүлээлт өөр өөр байдаг
параметрийн жинхэнэ утгуудаас
n–1 дарааллын утга ба дундаж
стандарт хазайлтууд байна
n-0.5 дарааллын утгууд

67. Жишээ

Объектуудын ξ шинж чанар нь мэдэгдэж байна
нийт хүн ам, санамсаргүй байдлаар
хэмжээ, a ба b параметрүүдээс хамааран жигд тархалттай байна.
Моментийн аргаар тодорхойлох шаардлагатай
a болон b параметрүүдийг мэдэгдэж байгаа дээж дээр үндэслэн
дундаж
болон түүврийн зөрүү

68. Сануулах

α1 – математикийн хүлээлт β2 – дисперс

69.

(*)

70.

71. 3.2. Хамгийн их магадлалын арга

Энэ арга нь магадлалын функц дээр суурилдаг
L(x1, x2,..., xn, θ) нь хууль юм
вектор тархалт
, Хаана
санамсаргүй хэмжигдэхүүн
үнэт зүйлсийг авах
дээж авах сонголт, i.e. адилхан байна
хуваарилалт. Санамсаргүй хувьсагчаас хойш
бие даасан, магадлалын функц нь дараах хэлбэртэй байна.

72.

Хамгийн агуу аргын санаа
үнэмшилтэй байдал нь бид
Бид θ параметрүүдийн ийм утгыг хайдаг
гарч ирэх магадлалтай
түүврийн утгуудын сонголт x1, x2,..., xn
хамгийн том нь юм. Өөрөөр хэлбэл,
θ параметрийн тооцоолол
функцийг гүйцэтгэх векторыг авна
үнэмшил нь орон нутгийн шинж чанартай байдаг
Өгөгдсөн x1, x2, …, xn-ийн дээд хэмжээ:

73.

Хамгийн их аргыг ашиглан тооцоолно
магадлалыг авсан болно
экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл
цэг дээр L(x1,x2,..., xn,θ) функцууд

74. Тэмдэглэл:

1. Магадлалын функцийн дээдийг хайх үед
тооцоог хялбарчлахын тулд та хийж болно
үр дүнг өөрчилдөггүй үйлдлүүд: нэгдүгээрт,
L(x1, x2,..., xn,θ)-ын оронд l(x1, x2,..., xn,θ) лог-магадлалын функцийг ашиглана.
ln L(x1, x2,..., xn,θ); хоёрдугаарт, илэрхийлэлд хаях
θ-ээс хамааралгүй магадлалын функцийн хувьд
нэр томъёо (l хувьд) эсвэл эерэг
хүчин зүйлс (L хувьд).
2. Бидний авч үзсэн параметрийн тооцоолол нь
Учир нь цэгийн тооцоо гэж нэрлэж болно
үл мэдэгдэх θ параметрийг нэгээр тодорхойлно
ганц цэг
, энэ нь түүнийх
ойролцоо утга. Гэсэн хэдий ч энэ хандлага
бүдүүлэг алдаа, толбо үүсгэж болно
Тооцоолол нь бодит байдлаас эрс ялгаатай байж болно
тооцоолсон параметрийн утгууд (ялангуяа
түүвэр багатай тохиолдолд).

75. Жишээ

Шийдэл. Энэ асуудалд дүгнэлт хийх шаардлагатай байна
хоёр үл мэдэгдэх параметр: a ба σ2.
Бүртгэлийн магадлалын функц
шиг харагдаж байна

76.

Энэ томъёонд байхгүй нэр томъёог хаяснаар
a ба σ2-аас хамаарах тул тэгшитгэлийн системийг байгуулъя
найдвартай байдал
Шийдвэрлэснээр бид дараахь зүйлийг авна.

77. БҮЛЭГ 4. МЭДЭГДСЭН ТАРХАЛТЫН ҮЗҮҮЛЭЛТИЙН ИНТЕРВАЛИЙН ТООЦОО.

78.

(*)

79.

(*)

80. 4.1. Мэдэгдэж буй дисперстэй хэвийн тархсан хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тооцоо

жишээ дундаж
санамсаргүй утга хэлбэрээр

81.

Бидэнд:
(1)
(2)

82.

(2)
(1)
(*)
(*)

83. 4.2. Үл мэдэгдэх дисперстэй хэвийн тархсан хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тооцоо

84.

эрх чөлөөний зэрэг. Нягт

тоо хэмжээ байдаг

85.

86. n – 1 зэрэгтэй чөлөөтэй оюутны тархалтын нягт

87.

88.

89.

томъёогоор олно

90. 4.3. Хэвийн тархалттай хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтыг тооцоолох

хазайлт σ.

үл мэдэгдэх математик
хүлээж байна.

91. 4.3.1. Математикийн алдартай хүлээлтийн онцгой тохиолдол

Тоо хэмжээг ашиглах
,


түүврийн хэлбэлзэл D*:

92.

тоо хэмжээ
хэвийн байна

93.

нөхцөл
Хаана
– тархалтын нягт χ2

94.

95.

96.

97. 4.3.2. Үл мэдэгдэх математик хүлээлтийн онцгой тохиолдол

(санамсаргүй хэмжигдэхүүн


χ2 n–1 зэрэгтэй эрх чөлөө.

98.

99. 4.4. Санамсаргүй түүврийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тооцоолох

том түүврийн хэмжээ (n >> 1).

100.

тоо хэмжээ
байх

тархалт
, үр дүн
жишээ дундаж
утга учир
санамсаргүй хувьсагч

хэмжээ
асимптот шинж чанартай байдаг


.

101.

томъёог ашиглах

102.

103.

Лекц 7

104.

Хамтарсан зүйлийг давтах

105. БҮЛЭГ 4. МЭДЭГДСЭН ТАРХАЛТЫН ҮЗҮҮЛЭЛТИЙН ИНТЕРВАЛИЙН ТООЦОО.

106.

Мэдэгдэж буй параметрийг тооцоолох асуудал
хуваарилалтыг шийдэж болно
өгөгдсөн интервал байгуулах
жинхэнэ утгыг олж авах магадлал
параметр. Энэхүү үнэлгээний арга
интервалын тооцоо гэж нэрлэдэг.
Дүгнэлт хийхэд ихэвчлэн математикийн хичээлд байдаг
параметр θ, тэгш бус байдал бий болно
(*)
δ тоо нь тооцооллын нарийвчлалыг тодорхойлдог:
δ бага байх тусмаа сайн тооцоолно.

107.

(*)

108. 4.1. Мэдэгдэж буй дисперстэй хэвийн тархсан хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тооцоо

Судалгаанд хамрагдаж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ нь мэдэгдэж буй хэвийн хуулийн дагуу тархсан байг
стандарт хазайлт σ ба
үл мэдэгдэх математик хүлээлт a.
Түүврийн дундаж утгаар шаардлагатай
математикийн хүлээлтийг тооцоолох ξ.
Өмнөх шиг бид үр дүнг авч үзэх болно
жишээ дундаж
санамсаргүй утга хэлбэрээр
утгууд ба утгууд нь x1, x2, ... түүвэр сонголт юм.
xn - тус тус хоёр утга ижил байна
тархсан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд
, тус бүр нь шалгагчтай. хүлээлт a ба стандарт хазайлт σ.

109.

Бидэнд:
(1)
(2)

110.

(2)
(1)
(*)
(*)

111. 4.2. Үл мэдэгдэх дисперстэй хэвийн тархсан хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тооцоо

112.

Мэдэгдэж байгаагаар санамсаргүй хэмжигдэхүүн tn,
ийм байдлаар өгсөн байна
k = n – 1-тэй оюутны t тархалт
эрх чөлөөний зэрэг. Нягт
магадлалын хуваарилалт гэх мэт
тоо хэмжээ байдаг

113.

114. n – 1 зэрэгтэй чөлөөтэй оюутны тархалтын нягт

115.

116.

117.

Анхаарна уу. Олон тооны зэрэгтэй
эрх чөлөө k Оюутны хуваарилалт
-тай хэвийн тархалттай болох хандлагатай байна
тэг математикийн хүлээлт ба
нэгжийн хэлбэлзэл. Тиймээс k ≥ 30-ийн хувьд
практикт итгэх интервал боломжтой
томъёогоор олно

118. 4.3. Хэвийн тархалттай хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтыг тооцоолох

Судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье
ξ нь хэвийн тархсан
математикийн хүлээлттэй a ба
үл мэдэгдэх дундаж квадрат
хазайлт σ.
Мэдэгдэж байгаа ба хоёр тохиолдлыг авч үзье
үл мэдэгдэх математик
хүлээж байна.

119. 4.3.1. Математикийн алдартай хүлээлтийн онцгой тохиолдол

M[ξ] = a утгыг мэдэж, шаардана
зөвхөн σ буюу дисперс D[ξ] = σ2-ийг тооцоол.
Мэдэгдэж буй дэвсгэрийг харгалзан үүнийг эргэн санацгаая. хүлээж байна
дисперсийн шударга бус үнэлгээ нь
түүврийн дисперс D* = (σ*)2
Тоо хэмжээг ашиглах
,
дээр тодорхойлсон, бид санамсаргүй байдлаар танилцуулж байна
хэмжигдэхүүн Y, утгыг авч байна
түүврийн хэлбэлзэл D*:

120.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье
Тэмдгийн доорх дүн нь санамсаргүй байна
тоо хэмжээ
хэвийн байна
fN нягттай тархалт (x, 0, 1).
Тэгвэл Hn нь n-тэй χ2 тархалттай байна
квадратуудын нийлбэрээр эрх чөлөөний зэрэг n
бие даасан стандарт (a = 0, σ = 1)
хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

121.

-аас итгэлийн интервалыг тодорхойлъё
нөхцөл
Хаана
– тархалтын нягт χ2
ба γ – найдвартай байдал (найдвар
магадлал). γ хэмжигдэхүүн нь тоон хувьд тэнцүү байна
Зураг дээрх сүүдэрлэсэн зургийн талбай.

122.

123.

124.

125. 4.3.2. Үл мэдэгдэх математик хүлээлтийн онцгой тохиолдол

Практикт хамгийн түгээмэл нөхцөл байдал
хэвийн параметрүүдийн аль аль нь тодорхойгүй үед
тархалт: математикийн хүлээлт a ба
стандарт хазайлт σ.
Энэ тохиолдолд итгэлцлийг бий болгох
интервал нь Фишерийн теорем дээр суурилдаг
муур. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэсэн үг юм
(санамсаргүй хэмжигдэхүүн
шударга бус үнэлэмжийг авах
түүврийн дисперс s2, тархалттай
χ2 n–1 зэрэгтэй эрх чөлөө.

126.

127. 4.4. Санамсаргүй түүврийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тооцоолох

Интервалын математик тооцоолол
хүлээлт M[ξ] хэвийн хувьд олж авсан
тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ,
ерөнхийдөө тохиромжгүй байдаг
өөр хэлбэртэй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд
хуваарилалт. Гэсэн хэдий ч нөхцөл байдал бий
дурын санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд боломжтой
ижил төстэй интервал ашиглана уу
харилцаа - энэ нь хэзээ тохиолддог
том түүврийн хэмжээ (n >> 1).

128.

Дээр дурдсанчлан бид сонголтуудыг авч үзэх болно
x1, x2,..., xn-ийг бие даасан утгуудаар,
санамсаргүй байдлаар ижилхэн тархсан
тоо хэмжээ
байх
математикийн хүлээлт M[ξi] = mξ ба
тархалт
, үр дүн
жишээ дундаж
утга учир
санамсаргүй хувьсагч
Төвийн хязгаарын теоремын дагуу
хэмжээ
асимптот шинж чанартай байдаг
хэвийн тархалтын хууль c
математикийн хүлээлт mξ ба дисперс
.

129.

Тиймээс хэрэв дисперсийн утга нь мэдэгдэж байгаа бол
санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ, тэгвэл бид чадна
ойролцоо томьёо ашиглах
Хэрэв хэмжигдэхүүний тархалтын утга ξ
тодорхойгүй бол том n хувьд энэ нь боломжтой
томъёог ашиглах
Энд s – засварласан дундаж утга. хазайлт

130.

Хамтарсан зүйлээ давтлаа

131. БҮЛЭГ 5. СТАТИСТИКИЙН ТААМАГЛАЛЫН ТУРШИЛТ

132.

Статистикийн таамаглал нь тухай таамаглал юм
үл мэдэгдэх тархалтын хэлбэр эсвэл параметрийн тухай
санамсаргүй хэмжигдэхүүний мэдэгдэж буй тархалт.
Турших боломжтой таамаглалыг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг
H0-ийг тэг буюу үндсэн таамаглал гэж нэрлэдэг.
Нэмэлт ашигласан таамаглал H1,
эсрэг H0 таамаглал гэж нэрлэдэг
өрсөлдөх эсвэл өөр хувилбар.
Нарийвчилсан null-ийн статистик тест
H0 таамаглал нь түүний харьцуулалтаас бүрдэнэ
жишээ өгөгдөл. Ийм чекээр
Хоёр төрлийн алдаа гарч болно:
а) эхний төрлийн алдаа - татгалзсан тохиолдол
зөв таамаглал H0;
б) хоёр дахь төрлийн алдаа - тохиолдлууд
H0 буруу таамаглалыг хүлээн зөвшөөрсөн.

133.

I төрлийн алдаа гарах магадлал нь байх болно
ач холбогдлын түвшинг дуудаж, тодорхойлох
α гэж.
Статистикийг шалгах үндсэн арга
таамаглал бол тэр
үнэ цэнийг боломжтой дээжээс тооцно
статистикийн шалгуур - зарим нь
мэдэгдэж байгаа санамсаргүй хэмжигдэхүүн T
хуваарилалтын хууль. T утгын хүрээ,
Үүний дагуу H0 гол таамаглал байх ёстой
татгалзахыг шүүмжлэлтэй гэж нэрлэдэг, ба
энэ таамаглал дэвшүүлсэн T-ийн утгын хүрээ
хүлээн зөвшөөрч болно, - хүлээн авах талбар
таамаглал.

134.

135. 5.1. Мэдэгдэж буй тархалтын параметрүүдийн талаархи таамаглалыг шалгах

5.1.1. Математикийн талаархи таамаглалыг шалгах
хэвийн тархсан санамсаргүй тохиолдлыг хүлээж байна
тоо хэмжээ
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ-тэй байг
хэвийн тархалт.
Бид ийм таамаглалыг шалгах хэрэгтэй
түүний математик хүлээлт тэнцүү байна
зарим a0 тоо руу. Тус тусад нь авч үзье
ξ дисперс нь мэдэгдэж байгаа тохиолдол, хэзээ
тэр танихгүй.

136.

Мэдэгдэж буй дисперсийн хувьд D[ξ] = σ2,
4.1-р хэсгийн нэгэн адил бид санамсаргүй байдлаар тодорхойлно
тоо хэмжээ авах утгууд
жишээ дундаж. Таамаглал H0
эхлээд M[ξ] = гэж томъёолсон
a0. Түүвэр дундаж учраас
нь M[ξ]-ийн бодитой тооцоолол юм
H0 таамаглалыг дараах байдлаар илэрхийлж болно

137.

Залруулсан хүмүүсийн шударга байдлыг харгалзан үзэх
түүврийн хэлбэлзэл, тэг таамаглал байж болно
дараах байдлаар бичнэ үү.
санамсаргүй хэмжигдэхүүн хаана байна
залруулсан дээжийн утгыг авна
ξ утгын дисперс бөгөөд санамсаргүйтэй төстэй
4.2-т заасан Z-ийн утга.
Статистикийн шалгуур болгон бид сонгодог
санамсаргүй хувьсагч
харьцааны утгыг их хэмжээгээр авна
түүврийн хэлбэлзэл бага.

145.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн F байна
Fischer–Snedecor түгээлттэй
эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо k1 = n1 – 1 ба k2
= n2 – 1, энд n1 нь түүврийн хэмжээ, дагуу
аль нь томыг тооцсон
зассан зөрүү
, ба n2 -
хоёр дахь дээжийн хэмжээ, үүний төлөө
бага тархалт илэрсэн.
Хоёр төрлийн өрсөлдөөнийг авч үзье
таамаглал

146.

147.

148. 5.1.3. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг харьцуулах

Эхлээд хэвийн тохиолдлыг авч үзье
мэдэгдэж байгаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалт
хэлбэлзэл, дараа нь үүн дээр үндэслэн - илүү ерөнхий
утгыг дур мэдэн хуваарилах тохиолдол
хангалттай том бие даасан дээж.
ξ1 ба ξ2 санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байг
нь хэвийн тархсан бөгөөд тэдгээрийн дисперсүүд нь D[ξ1] байх ёстой.
болон D[ξ2] нь мэдэгдэж байна. (Жишээ нь, тэдгээрийг олж болно
бусад туршлагаас эсвэл тооцоолсон
онолын хувьд). n1 ба n2 хэмжээтэй дээжийг гаргаж авдаг
тус тус. Болъё
- сонгомол
Эдгээр дээжийн дундаж. Сонголтоор шаардлагатай
өгөгдсөн ач холбогдлын түвшинд дундаж α
Математикийн тэгш байдлын талаархи таамаглалыг шалгах
авч үзэж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хүлээлтийг априори харгалзан үзсэний үндсэн дээр хийсэн,
туршилтын нөхцөлд үндэслэн, ба
дараа нь параметрүүдийн талаархи таамаглалууд
хуваарилалтыг үзүүлсэн шиг шалгана
өмнө нь. Гэсэн хэдий ч энэ нь ихэвчлэн тохиолддог
ахисан түвшнийг шалгах хэрэгцээ
тархалтын хуулийн талаархи таамаглал.
Төлөвлөсөн статистик туршилтууд
Ийм шалгалтыг ихэвчлэн дууддаг
зөвшөөрлийн шалгуур.

154.

Гэрээ байгуулах хэд хэдэн шалгуурыг мэддэг. Нэр төр
Пирсоны шалгуур бол түүний түгээмэл байдал юм. Түүнтэй хамт
янз бүрийн талаарх таамаглалыг шалгахад ашиглаж болно
хуваарилалтын хууль.
Pearson тест нь давтамжийн харьцуулалт дээр суурилдаг
дээжээс олсон (эмпирик давтамжууд), хамт
туршилтыг ашиглан тооцоолсон давтамж
тархалтын хууль (онолын давтамж).
Ихэвчлэн эмпирик болон онолын давтамжууд байдаг
ялгаатай. Энэ нь тохиолдлоор болсон эсэхийг олж мэдэх шаардлагатай
давтамжийн зөрүү эсвэл энэ нь ач холбогдолтой бөгөөд тайлбарласан байна
онолын давтамжийг үндэслэн тооцдог
нийт хүн амын тархалтын талаарх буруу таамаглал
нийт.
Пирсоны шалгуур нь бусадтай адил хариу үйлдэл үзүүлдэг
Энэ нь санал болгож буй таамаглалтай нийцэж байгаа эсэх асуудал юм
өгөгдсөн түвшний эмпирик өгөгдөл
ач холбогдол.

155. 5.2.1. Хэвийн тархалтын таамаглалыг шалгах

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ байг, болго
хангалттай том хэмжээтэй n-ийн түүвэр том хэмжээтэй
янз бүрийн утгын сонголтын тоо. Шаардлагатай
ач холбогдлын α түвшинд тэг таамаглалыг шалгана
ξ санамсаргүй хэмжигдэхүүн тархсан H0
Сайн байна.
Дээж боловсруулахад хялбар болгохын тулд хоёр тоог авч үзье
α ба β:
мөн [α, β] интервалыг s-д хуваана
дэд интервалууд. Бид үнэ цэнийг сонголт гэж үзэх болно,
дэд интервал бүрд орох нь ойролцоогоор тэнцүү байна
дэд интервалын дундыг зааж өгөх тоо.
α (0< α < 1) непрерывной
санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ нь xα тоо юм
Үүний төлөө тэгш байдал бий болно
.
x½ квантилыг санамсаргүй медиан гэж нэрлэдэг
ξ хэмжигдэхүүнүүд, x0 ба x2 квантилууд нь түүний квартилууд, a
x0.1, x0.2,..., x0.9 – аравтын тоогоор.
Стандарт хэвийн тархалтын хувьд (a =
0, σ = 1) ба тиймээс,
Энд FN (x, a, σ) нь хэвийн тархалтын функц юм
тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба Φ(x) –
Лаплас функц.
Стандарт хэвийн тархалтын тоо хэмжээ
өгөгдсөн α-ийн xα-г хамаарлаас олж болно

162. 6.2. Оюутны хуваарилалт

Хэрэв
- бие даасан
санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй
тэгтэй хэвийн тархалт
математикийн хүлээлт ба
нэгж дисперс, тэгвэл
санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт
Оюутны хуваарилалт гэж нэрлэдэг
эрх чөлөөний n зэрэгтэй (W.S. Gosset).