Тодорхойгүй коэффициентийн аргыг ашиглан рационал бутархайг нэгтгэх. Рационал бутархайг нэгтгэх

“Математикч зураач, яруу найрагчийн нэгэн адил хэв маягийг бүтээдэг. Мөн түүний хээ нь илүү тогтвортой байвал санаанаас бүрдсэн учраас л... Зураач, яруу найрагчийн хээ шиг математикч хүний ​​хээ ч сайхан байх ёстой; Өнгө, үгийн нэгэн адил санаанууд бие биетэйгээ нийцэх ёстой. Гоо сайхан бол хамгийн эхний шаардлага: энэ дэлхийд муухай математикт газар байхгүй».

G.H.Hardy

Эхний бүлэгт энгийн функцээр илэрхийлэх боломжгүй нэлээд энгийн функцүүдийн эсрэг деривативууд байгааг тэмдэглэв. Үүнтэй холбогдуулан тэдгээрийн эсрэг деривативууд нь анхан шатны функцууд гэж бид үнэн зөв хэлж чадах функцүүдийн ангиуд асар их практик ач холбогдолтой болж байна. Энэ ангиллын функцүүд орно оновчтой функцууд, хоёр алгебрийн олон гишүүнтийн харьцааг илэрхийлдэг. Олон асуудал нь рационал бутархайг нэгтгэхэд хүргэдэг. Тиймээс ийм функцуудыг нэгтгэх чадвартай байх нь маш чухал юм.

2.1.1. Бутархай рационал функцууд

Рационал бутархай(эсвэл бутархай рационал функц) хоёр алгебрийн олон гишүүнтийн хамаарал гэж нэрлэгддэг:

хаана ба олон гишүүнт байна.

Үүнийг сануулъя олон гишүүнт (олон гишүүнт, бүхэл бүтэн оновчтой функц) n-р зэрэгхэлбэрийн функц гэж нэрлэдэг

Хаана - бодит тоо. Жишээлбэл,

- нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт;

– дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнт гэх мэт.

Рационал бутархай (2.1.1) гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв зэрэг нь зэргээс доогуур байвал, i.e. n<м, эс бөгөөс бутархайг дуудна буруу.

Аливаа буруу бутархайг олон гишүүнт (бүхэл тоо) ба зөв бутархай (бутархай хэсэг) нийлбэрээр илэрхийлж болно.Бутархай бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг салгахдаа олон гишүүнтийг "булангаар" хуваах дүрмийн дагуу хийж болно.

Жишээ 2.1.1.Дараах буруу рационал бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг ол.

A) , б) .

Шийдэл . a) "Булангийн" хуваах алгоритмыг ашиглан бид олж авна

Тиймээс бид авдаг

.

б) Энд бид мөн "булангийн" хуваах алгоритмыг ашигладаг.

Үүний үр дүнд бид авдаг

.

Дүгнэж хэлье. Ерөнхий тохиолдолд рационал бутархайн тодорхойгүй интегралыг олон гишүүнт ба зөв рационал бутархайн интегралын нийлбэрээр илэрхийлж болно. Олон гишүүнтийн эсрэг деривативыг олох нь хэцүү биш юм. Тиймээс, дараагийн зүйлд бид зөв рационал бутархайг голчлон авч үзэх болно.

2.1.2. Хамгийн энгийн рационал бутархай ба тэдгээрийн интеграл

Зөв оновчтой бутархайн дотроос дөрвөн төрөл байдаг бөгөөд эдгээрийг дараах байдлаар ангилдаг хамгийн энгийн (анхны) рационал бутархай:

3) ,

4) ,

бүхэл тоо хаана байна, , өөрөөр хэлбэл квадрат гурвалжин жинхэнэ үндэс байхгүй.

1 ба 2 төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх нь тийм ч хэцүү биш юм.

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Одоо 3-р төрлийн энгийн бутархайн интеграцийг авч үзье, гэхдээ бид 4-р төрлийн бутархайг авч үзэхгүй.

Маягтын интегралаас эхэлье

.

Энэ интегралыг ихэвчлэн хуваагчийн төгс квадратыг тусгаарлах замаар тооцдог. Үр дүн нь дараах хэлбэрийн хүснэгтийн интеграл юм

эсвэл .

Жишээ 2.1.2.Интегралуудыг ол:

A) , б) .

Шийдэл . a) Квадрат гурвалсан гишүүнээс бүтэн квадратыг сонгоно уу:

Эндээс бид олдог

б) Квадрат гурвалсан гишүүнээс бүтэн квадратыг тусгаарласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс,

.

Интегралыг олохын тулд

Та хуваагчийн деривативыг тоологч хэсэгт тусгаарлаж, интегралыг хоёр интегралын нийлбэр болгон өргөжүүлж болно: эхнийх нь орлуулах замаар гадаад үзэмж дээр ирдэг

,

ба хоёр дахь нь - дээр дурдсан нэгэнд.

Жишээ 2.1.3.Интегралуудыг ол:

.

Шийдэл . Үүнийг анхаарна уу . Тоолуур дахь хуваарийн деривативыг салгая.

Эхний интегралыг орлуулах аргыг ашиглан тооцоолно :

Хоёр дахь интегралд бид хуваагч дахь төгс квадратыг сонгоно

Эцэст нь бид авдаг

2.1.3. Зөв оновчтой бутархай тэлэлт
энгийн бутархайн нийлбэрийн хувьд

Аливаа зөв рационал бутархай энгийн бутархайн нийлбэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно. Үүнийг хийхийн тулд хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах шаардлагатай. Дээд алгебраас харахад олон гишүүнт бүр бодит коэффициенттэй байдаг

2., 5.
,

3.
, 6.
.

1-3 интегралд гэж у хүлээн зөвшөөрөх . Дараа нь, дараа нь n-(19) томъёоны олон хэрэглээ нь хүснэгтийн интегралуудын аль нэгэнд хүрнэ

,
,
.

4-6-р интегралд ялгахдаа трансцендент хүчин зүйлийг хялбаршуулна
,
эсвэл
гэж авах ёстой у.

Дараах интегралуудыг тооцоол.

Жишээ 7.

Жишээ 8.

Интегралыг өөртөө багасгах

Хэрэв интеграл
хэлбэртэй байна:

,
,
гэх мэт

Дараа нь хэсгүүдээр хоёр удаа интеграл хийсний дараа бид анхны интегралыг агуулсан илэрхийлэлийг олж авна :

,

Хаана
- зарим тогтмол.

Үүссэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх , бид анхны интегралыг тооцоолох томъёог олж авна.

.

Хэсэгээр нэгтгэх аргыг хэрэглэх энэ тохиолдлыг " интегралыг өөртөө авчрах».

Жишээ 9.Интегралыг тооцоолох
.

Баруун талд анхны интеграл байна . Үүнийг зүүн тийш шилжүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

.

Жишээ 10.Интегралыг тооцоолох
.

4.5. Хамгийн энгийн зөв рационал бутархайг нэгтгэх

Тодорхойлолт.Хамгийн энгийн зөв бутархай I , II Тэгээд III төрөл Дараах фракцуудыг нэрлэнэ.

I. ;

II.
; (
- эерэг бүхэл тоо);

III.
;
.

(хүлээгчийн үндэс нь нарийн төвөгтэй, өөрөөр хэлбэл:

I.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Энгийн бутархайн интегралуудыг авч үзье.
Бид бутархайн тоологчийг тоологч дахь гишүүнийг тусгаарлах байдлаар хувиргадаг

, хуваагчийн деривативтай тэнцүү.

Олж авсан хоёр интегралын эхнийхийг авч үзээд түүнд өөрчлөлт оруулъя.

Хоёр дахь интеграл дээр бид хуваагчийг төгс квадрат руу нэмнэ.

=
+
. (22)

Эцэст нь, гурав дахь төрлийн бутархайн интеграл нь дараахтай тэнцүү байна.

Тиймээс I төрлийн хамгийн энгийн бутархайн интегралыг логарифмоор, II төрлийг рационал функцээр, III төрлийг логарифм ба арктангенсээр илэрхийлнэ.

4.6.Бутархай-рационал функцүүдийн интеграл

Элемент функцээр илэрхийлэгдсэн интегралтай функцүүдийн нэг анги бол алгебрийн рационал функцуудын анги, өөрөөр хэлбэл аргумент дээрх хязгаарлагдмал тооны алгебрийн үйлдлүүдийн үр дүнд бий болсон функцууд юм.
Рационал функц бүр
хоёр олон гишүүнтийн харьцаагаар илэрхийлж болно
:

. (23)

Тэгээд

Олон гишүүнт нийтлэг үндэсгүй гэж бид таамаглах болно. зөв(23) хэлбэрийн бутархай хэсгийг дуудна м< n, хэрэв тоологчийн зэрэг нь хуваагчийн зэрэгээс бага бол, өөрөөр хэлбэл, буруу.

. Үгүй бол -

, (24)

Хаана
Хэрэв бутархай нь буруу байвал тоологчийг хуваагчаар (олон гишүүнийг хуваах дүрмийн дагуу) хуваах замаар бид бутархайг олон гишүүнт ба зөв бутархайн нийлбэр болгон үзүүлнэ. - олон гишүүнт,
- зөв бутархай, олон гишүүнтийн зэрэг n-1).

- зэргээс дээшгүй (

Жишээ.

Олон гишүүнтийн интеграл нь зэрэглэлийн функцийн хүснэгтлэгдсэн интегралуудын нийлбэр болж буурдаг тул рационал бутархайг нэгтгэх гол бэрхшээл нь зөв рационал бутархайн интегралд оршдог. Бүх зөв бутархай байдаг нь алгебрт батлагдсан дээрх нийлбэрт задардагэгэл биетэн
.

бутархай, хэлбэр нь хувагчийн язгуураар тодорхойлогддог Гурван онцгой тохиолдлыг авч үзье. Энд ба цаашдаа бид коэффициент гэж үзэх болно
хуваагчийн хамгийн дээд түвшинд нэгтэй тэнцүү=1, өөрөөр хэлбэл .

бууруулсан олон гишүүнтТохиолдол 1.
Хуваарийн үндэс, өөрөөр хэлбэл үндэс
тэгшитгэл

=0, хүчинтэй бөгөөд ялгаатай. Дараа нь бид хуваагчийг шугаман хүчин зүйлийн үржвэр болгон төлөөлнө.

, (26)

Хаана
ба зохих бутархайг I-готипийн хамгийн энгийн бутархай болгон задалдаг.

- тодорхой бус коэффициентийн аргаар олдог зарим тогтмол тоо.

Үүнийг хийхийн тулд танд хэрэгтэй:

1. Өргөлтийн баруун гар талыг (26) нийтлэг хуваагч руу аваач.
.

3. Үүссэн системийг шийдэж тодорхойгүй коэффициентүүдийг ол
.

Дараа нь бутархай-рационал функцийн интеграл (26) нь (20) томъёогоор тооцоолсон I төрлийн хамгийн энгийн бутархайн интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байх болно.

- зэргээс дээшгүй (Интегралыг тооцоолох
.

Шийдэл.Виетийн теоремыг ашиглан хуваагчийг үржвэрлэе.

Дараа нь интеграл функцийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задалдаг.

.

X:

олохын тулд гурван тэгшитгэлийн системийг бичье
Xзүүн ба баруун талд:

.

Тодорхойгүй коэффициентийг олох хялбар аргыг зааж өгье хэсэгчилсэн үнийн арга.

Тэгш байхаар тооцвол (27)
бид авдаг
, хаана
. Итгэж байна
бид авдаг
. Эцэст нь итгэх
бид авдаг
.

.

Тохиолдол 2.Хуваагчийн үндэс
хүчинтэй боловч тэдгээрийн дунд олон (тэнцүү) үндэс байдаг. Дараа нь бид хуваагчийг тухайн бүтээгдэхүүнд багтсан шугаман хүчин зүйлийн үржвэр болгон төлөөлнө, тэр хэмжээгээр харгалзах язгуурын үржвэр нь:

Хаана
.

Зөв бутархай I ба II төрлийн бутархайн нийлбэр задрах болно. Жишээлбэл, - үржвэрийн хуваагчийн үндэс к, болон бусад бүх хүмүүс ( n- к) үндэс нь өөр өөр байдаг.

Дараа нь өргөтгөл дараах байдлаар харагдах болно.

Үүний нэгэн адил, хэрэв өөр олон үндэс байгаа бол. Олон бус язгууруудын хувьд өргөтгөл (28) нь эхний төрлийн хамгийн энгийн бутархайг агуулдаг.

Жишээ.Интегралыг тооцоолох
.

Шийдэл.Бутархайг тодорхойгүй коэффициент бүхий эхний ба хоёр дахь төрлийн хамгийн энгийн бутархайнуудын нийлбэр гэж төсөөлье.

.

Баруун талыг нийтлэг хуваагч руу авчирч, зүүн ба баруун талын тоологч дахь олон гишүүнтүүдийг тэнцүүлье.

Баруун талд бид ижил зэрэгтэй ижил төстэй зүйлсийг танилцуулж байна X:

олохын тулд дөрвөн тэгшитгэлийн системийг бичье
хоёр олон гишүүнтийн харьцаагаар илэрхийлж болно . Үүнийг хийхийн тулд бид ижил хүчин чадал дээр коэффициентүүдийг тэнцүүлдэг Xзүүн ба баруун талд

.

Тохиолдол 3.Хуваарийн үндэс дунд
нарийн төвөгтэй ганц үндэс байдаг. Өөрөөр хэлбэл, хуваагчийн тэлэлт нь хоёрдугаар зэргийн хүчин зүйлийг агуулдаг
, бодит шугаман хүчин зүйлд задардаггүй бөгөөд тэдгээр нь давтагдахгүй.

Дараа нь бутархайн задралд ийм хүчин зүйл бүр нь III төрлийн хамгийн энгийн бутархайтай тохирно. Шугаман хүчин зүйлүүд нь I ба II төрлийн хамгийн энгийн бутархайтай тохирч байна.

Жишээ.Интегралыг тооцоолох
.

Шийдэл.
.

.

.

Рационал функцүүдийн интеграл Бутархай - рационал функц Хамгийн энгийн рационал бутархай Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Энгийн бутархай интегралчлал Рационал бутархайг нэгтгэх ерөнхий дүрэм

зэрэгтэй олон гишүүнт n. Бутархай - рационал функц Бутархай - рационал функц нь хоёр олон гишүүнтийн харьцаатай тэнцүү функц юм: Хэрэв тоологчийн зэрэг нь хуваарийн зэрэгээс бага бол рационал бутархайг зөв гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл м.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Бутархай - рационал функц Бутархай бутархайг зөв хэлбэрт нь буулгана: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 63 x3 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Хамгийн энгийн рационал бутархай Хэлбэрийн зөв рационал бутархай: Тэдгээрийг төрлийн хамгийн энгийн рационал бутархай гэнэ. сүх А); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Теорем: Хуваарагч нь үржвэрлэгдсэн аливаа зөв рационал бутархайг: түүгээр ч барахгүй энгийн бутархайн нийлбэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Теоремын томъёололыг дараах жишээн дээр тайлбарлая: Тодорхой бус A, B, C, D... коэффициентүүдийг олохын тулд коэффициентийг харьцуулах арга ба арга гэсэн хоёр аргыг хэрэглэнэ. хувьсагчийн хэсэгчилсэн утгуудын. Жишээ ашиглан эхний аргыг авч үзье. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x)

Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлнэ: Хамгийн энгийн бутархайг нийтлэг хуваагчтай болгоё Үр дүн болон анхны бутархайн тоог тэнцүүлэх Ижил зэрэглэлийн коэффициентүүдийг тэнцүүлэх x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Хамгийн энгийн бутархайн интеграл Хамгийн энгийн рационал бутархайн интегралыг олцгооё: 3-р төрлийн бутархайн интегралыг жишээгээр авч үзье. dx ax A k dx qpxx NMx 2 axd axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Энгийн бутархайн интеграл dx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t t 9 23 2 9t 3) 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Энгийн бутархайн интеграл Орлуулах аргыг ашиглан ийм төрлийн интеграл: хоёр интегралын нийлбэр болгон бууруулна: Эхний интегралыг дифференциал тэмдгийн дор t оруулан тооцно. Хоёр дахь интегралыг давтагдах томьёог ашиглан тооцоолно: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt)

Энгийн бутархайн интеграл a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332ct 2 t ) ) (4)1(

Рационал бутархайг нэгтгэх ерөнхий дүрэм Хэрэв бутархай нь буруу бол олон гишүүнт ба зөв бутархайн нийлбэрээр илэрхийлнэ. Зөв оновчтой бутархайн хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваахдаа тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлнэ. Олон гишүүнт болон үүссэн энгийн бутархайн нийлбэрийг нэгтгэ.

Жишээ Бутархайг зөв хэлбэрт оруулъя. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx2 2 xx2 5 05 23 48 2 x x

Жишээ: Зөв бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлье. Тодорхойлогдоогүй коэффициентүүдийг ххх хх 23 2 2 48 2 2)1(48 хх хх 2) хувьсагчийн хэсэгчилсэн утгын аргаар олъё. )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx хх 23 2 2 48 2)1(3 1 124 хх

Жишээ dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Энэ сэдвээр танилцуулсан материал нь "Рационал бутархай. Рационал бутархайг энгийн (энгийн) бутархай болгон задлах" сэдвийн мэдээлэлд үндэслэсэн болно. Энэ материалыг уншихаасаа өмнө ядаж энэ сэдвийг сайтар судалж үзэхийг танд зөвлөж байна. Үүнээс гадна бидэнд тодорхойгүй интегралын хүснэгт хэрэгтэй болно.

Би танд хэд хэдэн нэр томъёог сануулъя. Тэдгээрийг холбогдох сэдвээр хэлэлцсэн тул энд би товч томъёололоор хязгаарлагдах болно.

$\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ хоёр олон гишүүнтийн харьцааг рационал функц буюу рационал бутархай гэнэ. Рационал бутархай гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется буруу.

Анхан шатны (хамгийн энгийн) рационал бутархай нь дөрвөн төрлийн рационал бутархай юм.

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q)< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Тэмдэглэл (текстийг илүү бүрэн ойлгоход тохиромжтой): show\hide

$p^2-4q нөхцөл яагаад хэрэгтэй вэ?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Жишээлбэл, $x^2+5x+10$ илэрхийллийн хувьд бид дараахийг авна: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 оноос хойш< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Дашрамд хэлэхэд, энэ шалгалтын хувьд $x^2$-ийн өмнөх коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх шаардлагагүй. Жишээлбэл, $5x^2+7x-3=0$-ийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 доллар. $D > 0$ тул $5x^2+7x-3$ илэрхийллийг үржвэрлэх боломжтой.

Рационал бутархайн (зөв ба буруу) жишээнүүд, түүнчлэн рационал бутархайг энгийн хэсэг болгон задлах жишээг олж болно. Энд бид зөвхөн тэдний нэгдмэл байдлын талаархи асуултуудыг сонирхох болно. Энгийн бутархайн интегралаас эхэлье. Тиймээс дээрх дөрвөн төрлийн энгийн бутархай бүрийг доорх томьёог ашиглан нэгтгэхэд хялбар байдаг. (2) ба (4) төрлийн бутархайг нэгтгэхдээ $n=2,3,4,\ldots$ гэж үздэгийг сануулъя. Томъёо (3) ба (4) нь $p^2-4q нөхцөлийг биелүүлэхийг шаарддаг< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \int \frac(Mx+N)(x^2) +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \төгсгөл(тэгшитгэл)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$-ийн хувьд $t=x+\frac(p)(2)$ орлуулалт хийгдсэн бөгөөд үүний дараа үүссэн интервал нь байна. хоёр хуваагдсан. Эхнийх нь дифференциал тэмдгийн доор оруулах замаар тооцоолох ба хоёр дахь нь $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ хэлбэртэй байна. Энэ интегралыг давталтын хамаарлыг ашиглан авна

\эхлэх(тэгшитгэл) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; N\төгсгөлд(тэгшитгэл)

Ийм интегралын тооцоог жишээ No7-д авч үзсэн болно (гурав дахь хэсгийг үзнэ үү).

Рационал функцүүдийн интегралыг тооцоолох схем (рационал бутархай):

1. Хэрэв интеграл нь энгийн бол (1)-(4) томъёог хэрэглэнэ.
2. Хэрэв интеграл нь энгийн биш бол түүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр төлөөлж, дараа нь (1)-(4) томъёог ашиглан интеграци хийнэ.

Рационал бутархайг нэгтгэх дээрх алгоритм нь маргаангүй давуу талтай - энэ нь бүх нийтийнх юм. Тэдгээр. Энэ алгоритмыг ашиглан та нэгтгэж болно ямар чрационал бутархай. Тийм ч учраас тодорхой бус интеграл дахь бараг бүх хувьсагчийн өөрчлөлтүүд (Эйлер, Чебышев, бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт) нь ийм өөрчлөлтийн дараа интервалын дор рационал бутархайг авахаар хийгдсэн байдаг. Дараа нь алгоритмыг түүнд хэрэглэнэ. Бид жижиг тэмдэглэл хийснийхээ дараа жишээнүүдийг ашиглан энэ алгоритмын шууд хэрэглээг шинжлэх болно.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Зарчмын хувьд энэ интегралыг томъёоны механик хэрэглээгүйгээр олж авахад хялбар байдаг. Хэрэв бид интеграл тэмдгээс $7$ тогтмолыг аваад $dx=d(x+9)$ гэж тооцвол бид дараахийг авна.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Нарийвчилсан мэдээлэл авахын тулд би сэдвийг үзэхийг зөвлөж байна. Ийм интегралыг хэрхэн шийддэг талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Дашрамд хэлэхэд, томъёог "гараар" шийдвэрлэхдээ энэ догол мөрөнд ашигласан ижил өөрчлөлтүүдээр нотлогддог.

2) Дахин хэлэхэд хоёр арга бий: бэлэн томъёог ашиглах эсвэл түүнгүйгээр хийх. Хэрэв та томьёог хэрэглэвэл $x$ (4-р тоо)-ийн өмнөх коэффициентийг хасах шаардлагатай болно гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд энэ дөрвийг хаалтнаас гаргаж авъя:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\баруун)\баруун)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8). $$

Одоо томъёог хэрэглэх цаг болжээ:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\зүүн(x+\frac(19)(4) \баруун)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\зүүн(x+\frac(19)(4) \баруун)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \баруун )^7)+C. $$

Та томъёог ашиглахгүйгээр хийж болно. Тогтмол $4$-ыг хаалтнаас гаргаагүй ч гэсэн. Хэрэв бид $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ гэдгийг харгалзан үзвэл бид дараахыг авна.

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Ийм интегралыг олох дэлгэрэнгүй тайлбарыг "Орлуулах замаар интеграл (дифференциал тэмдгийн дор орлуулах)" сэдвээр өгсөн болно.

3) Бид $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй. Энэ бутархай нь $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ бүтэцтэй бөгөөд $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Гэхдээ энэ нь үнэхээр гурав дахь төрлийн энгийн бутархай мөн эсэхийг шалгахын тулд $p^2-4q нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x) +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ижил жишээг шийдье, гэхдээ бэлэн томъёо ашиглахгүйгээр. Хугарагчийн деривативыг тоологчд тусгаарлахыг оролдъё. Энэ юу гэсэн үг вэ? Бид $(x^2+10x+34)"=2x+10$ гэдгийг мэднэ. Энэ нь $2x+10$ илэрхийлэлийг тоологчдоо тусгаарлах ёстой. Одоогийн байдлаар тоологч зөвхөн $4x+7$-г агуулж байна. Гэхдээ энэ нь тийм ч удаан үргэлжлэхгүй. Дараах хувиргалтыг тоологч дээр хэрэгжүүлье.

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Одоо шаардлагатай $2x+10$ илэрхийлэл тоологч хэсэгт гарч ирнэ. Мөн бидний интегралыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Интегралыг хоёр хувааж үзье. За, үүний дагуу интеграл нь өөрөө "хоёр хуваагдсан":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \баруун)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Эхлээд эхний интегралын талаар ярилцъя, i.e. ойролцоогоор $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ тул интегралын хүртэгч нь хуваагчийн дифференциалыг агуулна. Товчхондоо оронд нь $( 2x+10)dx$ илэрхийллийн бид $d(x^2+10x+34)$ бичнэ.

Одоо хоёр дахь интегралын талаар хэдэн үг хэлье. Бүтэн квадратыг хуваагчаар сонгоцгооё: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Үүнээс гадна бид $dx=d(x+5)$-г харгалзан үздэг. Одоо бидний өмнө нь олж авсан интегралуудын нийлбэрийг арай өөр хэлбэрээр дахин бичиж болно.

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Хэрэв бид эхний интегралд $u=x^2+10x+34$ орлуулгыг хийвэл энэ нь $\int\frac(du)(u)$ хэлбэрийг авах бөгөөд ердөө хоёр дахь томьёог хэрэглэснээр олж авч болно. . Хоёрдахь интегралын хувьд $u=x+5$ өөрчлөлт хийх боломжтой бөгөөд үүний дараа $\int\frac(du)(u^2+9)$ хэлбэрийг авна. Энэ бол тодорхойгүй интегралын хүснэгтээс хамгийн цэвэр арван нэг дэх томьёо юм. Тиймээс интегралуудын нийлбэр рүү буцаж ирэхэд бид дараах байдалтай байна.

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Бид томьёог хэрэглэхтэй ижил хариултыг авсан бөгөөд энэ нь хатуухан хэлэхэд гайхмаар зүйл биш юм. Ерөнхийдөө томьёо нь энэ интегралыг олоход ашигласан аргуудаар нотлогддог. Анхааралтай уншигч энд нэг асуулт гарч ирж магадгүй гэж би бодож байна, тиймээс би үүнийг томъёолох болно:

Асуулт №1

Хэрэв бид тодорхой бус интегралын хүснэгтээс $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ интегралд хоёрдахь томьёог хэрэглэвэл дараахийг гаргана.

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Яагаад шийдэлд модуль байхгүй байсан бэ?

№1 асуултын хариулт

Асуулт нь бүрэн байгалийн юм. R$ дахь дурын $x^2+10x+34$ илэрхийлэл тэгээс их байгаа тул модуль алга болсон. Үүнийг хэд хэдэн аргаар харуулахад маш хялбар байдаг. Жишээ нь, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ба $(x+5)^2 ≥ 0$, дараа нь $(x+5)^2+9 > 0$ . Бүрэн квадратыг сонгохгүйгээр та өөрөөр бодож болно. $10^2-4\cdot 34=-16 тул< 0$, то $x^2+10x+34 >Аливаа $x\in R$-д 0$ (хэрэв энэ логик хэлхээ нь гайхмаар байвал квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргыг үзэхийг танд зөвлөж байна). Ямар ч байсан $x^2+10x+34 > 0$, дараа нь $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. Модулийн оронд та ердийн хаалт ашиглаж болно.

№1 жишээний бүх цэгүүд шийдэгдсэн тул хариултыг бичих л үлдлээ.

Хариулт:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Жишээ №2

$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ интегралыг ол.

Эхлээд харахад $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ интеграл бутархай нь гурав дахь төрлийн энгийн бутархайтай маш төстэй, өөрөөр хэлбэл. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Ганц ялгаа нь $3$-ын $x^2$-ын урд байгаа коэффициент юм шиг санагдаж байна, гэхдээ коэффициентийг арилгахад удаан хугацаа шаардагдахгүй (хаалтнаас гаргаж ав). Гэсэн хэдий ч энэ ижил төстэй байдал илт харагдаж байна. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ бутархайн хувьд $p^2-4q нөхцөл заавал байх ёстой.< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Бидний $x^2$-ын өмнөх коэффициент нэгтэй тэнцүү биш тул $p^2-4q нөхцөлийг шалгана уу< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, тиймээс $3x^2-5x-2$ илэрхийллийг хүчин зүйлээр ангилж болно. Энэ нь $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ бутархай нь гурав дахь төрлийн элементийн бутархай биш бөгөөд $\int\frac(7x+12)(3x^2-) гэсэн үг юм. ) интеграл руу 5x-2)dx$ томьёо хийх боломжгүй.

За, хэрэв өгөгдсөн рационал бутархай нь энгийн бутархай биш бол түүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр төлөөлж, дараа нь нэгтгэх хэрэгтэй. Товчхондоо, мөрийн давуу талыг ашигла. Рационал бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгон задлах талаар дэлгэрэнгүй бичсэн болно. Хүсэгчийг хүчин зүйлээр ялгаж эхэлцгээе:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\баруун)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2). $$

Бид дэд интеркаль фракцыг дараах хэлбэрээр үзүүлэв.

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2)). $$

Одоо $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ бутархайг энгийн хэсэг болгон задалъя:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун))(\зүүн(x+) \frac(1)(3)\баруун)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)( 3)\баруун). $$

$A$ ба $B$ коэффициентүүдийг олохын тулд тодорхойгүй коэффициентийн арга ба хэсэгчилсэн утгыг орлуулах гэсэн хоёр стандарт арга байдаг. $x=2$, дараа нь $x=-\frac(1)(3)$-ийг орлуулах хэсэгчилсэн утгыг орлуулах аргыг хэрэглэцгээе:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\зүүн(2+\frac(1)(3)\баруун); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \баруун)+4=A\зүүн(-\frac(1)(3)-2\баруун)+B\зүүн (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\баруун); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Коэффициент олдсон тул дууссан өргөтгөлийг бичихэд л үлддэг.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Зарчмын хувьд та энэ оруулгыг орхиж болно, гэхдээ надад илүү нарийвчлалтай сонголт таалагдаж байна:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Анхны интеграл руу буцаж очоод бид үүссэн өргөтгөлийг түүн рүү орлуулна. Дараа нь бид интегралыг хоёр хувааж, тус бүрт томъёог хэрэглэнэ. Би тогтмолуудыг интеграл тэмдгийн гадна шууд байрлуулахыг илүүд үздэг.

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\баруун)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\баруун)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\баруун)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Хариулт: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\баруун| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Жишээ №3

$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ интегралыг ол.

Бид $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй. Тоолуур нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт, хуваагч нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнийг агуулна. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваагч дахь олон гишүүнтийн зэрэгтэй харьцуулахад бага байдаг тул өөрөөр хэлбэл. 2 доллар< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$

Бидний хийх ёстой зүйл бол өгөгдсөн интегралыг гурав болгон хувааж, тус бүрт томъёог хэрэглэх явдал юм. Би тогтмолуудыг интеграл тэмдгийн гадна шууд байрлуулахыг илүүд үздэг.

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \баруун)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Хариулт: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Энэ сэдвийн жишээнүүдийн шинжилгээний үргэлжлэлийг хоёрдугаар хэсэгт байрлуулна.

Рационал функц гэдэг нь олон гишүүнт буюу олон гишүүнтийн үржвэрийн тоо болон хуваагч хэлбэрийн бутархай юм.

Жишээ 1. Алхам 2.

.

Бид тодорхойлогдоогүй коэффициентийг энэ тусдаа бутархайд байхгүй, харин бусад үр дүнд бий болсон олон гишүүнтүүдээр үржүүлнэ.

Хаалтанд нээж, анхны интегралын хүртэгчийг үүссэн илэрхийлэлтэй тэнцүүл.

Тэгш байдлын хоёр тал дээр бид х-ийн ижил чадалтай нэр томъёог хайж, тэдгээрээс тэгшитгэлийн системийг зохиодог.

.

Бид бүх x-ийг цуцалж, ижил тэгшитгэлийн системийг авна.

.

Тиймээс интегралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон эцсийн өргөтгөл нь:

.

Жишээ 2. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

.

Одоо бид тодорхойгүй коэффициентүүдийг хайж эхэлж байна. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийн илэрхийлэл дэх анхны бутархайн хуваагчийг бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа олж авсан илэрхийллийн хүртэгчтэй адилтгана.

Одоо та тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, шийдвэрлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид хувьсагчийн коэффициентийг функцийн анхны илэрхийллийн тоологч дахь харгалзах зэрэгтэй тэнцүүлж, өмнөх алхам дээр олж авсан илэрхийлэл дэх ижил төстэй коэффициентүүдийг тэгшитгэдэг.

Бид үүссэн системийг шийддэг:

Тэгэхээр эндээс

.

Жишээ 3. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

Бид тодорхойгүй коэффициентүүдийг хайж эхэлдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийн илэрхийлэл дэх анхны бутархайн хуваагчийг бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа олж авсан илэрхийллийн хүртэгчтэй адилтгана.

Өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.

Бид x-ийг багасгаж, тэнцүү тэгшитгэлийн системийг авна.

Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.

Бид интегралын эцсийн задралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон олж авна.

.

Жишээ 4. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

.

Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задалж, энэ нийлбэрийг нийтлэг хуваагчтай болгосны дараа олж авсан хуваагч дахь илэрхийлэлтэй анхны бутархайн хуваагчийг хэрхэн тэнцүүлэхийг бид өмнөх жишээнүүдээс аль хэдийн мэдэж байсан. Тиймээс зөвхөн хяналтын зорилгоор бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг танилцуулж байна.

Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.

Бид интегралын эцсийн задралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон олж авна.

Жишээ 5. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

.

Бид бие даан энэ нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, энэ илэрхийллийн хүртэгчийг анхны бутархайн хүртэгчтэй адилтгадаг. Үр дүн нь дараахь тэгшитгэлийн систем байх ёстой.

Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.

.

Бид интегралын эцсийн задралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон олж авна.

.

Жишээ 6. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

Бид өмнөх жишээнүүдийн адил энэ хэмжээгээр ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Үр дүн нь дараахь тэгшитгэлийн систем байх ёстой.

Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.

.

Бид интегралын эцсийн задралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон олж авна.

.

Жишээ 7. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

.

Үр дүнгийн хэмжээтэй тодорхой үйлдлүүдийн дараа дараахь тэгшитгэлийн системийг авах шаардлагатай.

Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.

Бид интегралын эцсийн задралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон олж авна.

.

Жишээ 8. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

.

Тэгшитгэлийн системийг олж авахын тулд автоматжуулсан үйлдлүүдэд зарим өөрчлөлтийг хийцгээе. Зарим тохиолдолд шаардлагагүй тооцооллоос зайлсхийхэд тусалдаг хиймэл техник байдаг. Бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, бид энэ илэрхийллийн хүртэгчийг анхны бутархайн хүрдэгчтэй тэнцүүлж, олж авна.