Өнцгийн импульсийн өөрчлөлт. Төв ба тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгийн импульсийн момент Механик системийн импульсийн момент

Материаллаг цэгийг авч үзье Ммасс м, хүчний нөлөөн дор хөдөлж байна Ф(Зураг 3.1). Өнцгийн импульсийн (кинетик импульс) векторыг бичиж, байгуулъя. М0төвтэй харьцуулахад материаллаг цэг О:

Зураг 3.1

Өнцгийн импульсийн илэрхийлэлийг ялгаж үзье (кинетик момент k 0) цаг хугацааны хувьд:

Учир нь dr/dt=V, дараа нь вектор бүтээгдэхүүн V × m∙V(коллинеар векторууд ВТэгээд m∙V) тэгтэй тэнцүү байна. Үүний зэрэгцээ d(m∙V)/dt=Fматериаллаг цэгийн импульсийн тухай теоремын дагуу. Тиймээс бид үүнийг олж авдаг

dk 0 /dt = r×F, (3.3)

Хаана r×F = M 0 (F)– вектор-хүчний момент Фтогтмол төвтэй харьцуулахад О. Вектор k 0⊥ онгоц ( r, м×V) ба вектор M0(F)⊥ онгоц ( р, Ф), бид эцэст нь байна

dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)

Тэгшитгэл (3.4) нь төвтэй харьцуулахад материалын цэгийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремыг илэрхийлнэ. аливаа тогтмол төвтэй харьцуулахад материаллаг цэгийн импульсийн моментийн (кинетик момент) хугацааны дериватив нь ижил төвтэй харьцуулахад цэг дээр үйлчлэх хүчний моменттой тэнцүү байна.

Тэгш байдлыг (3.4) декартын координатын тэнхлэгт тусгаснаар бид олж авна

dk x /dt = M x (F);

dk y /dt = M y (F);

dk z /dt = M z (F). (3.5)

Тэгшитгэл (3.5) нь тэнхлэгтэй харьцуулахад материалын цэгийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремыг илэрхийлнэ. аливаа тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад материаллаг цэгийн импульсийн моментийн (кинетик момент) хугацааны дериватив нь ижил тэнхлэгтэй харьцуулахад энэ цэг дээр үйлчлэх хүчний моменттэй тэнцүү байна.

Теорем (3.4) ба (3.5)-аас үүсэх үр дагаврыг авч үзье.

Дүгнэлт 1

Хүчтэй үед тохиолдлыг авч үзье Фцэгийн бүх хөдөлгөөний явцад суурин төвөөр дамжин өнгөрдөг О(төвийн хүчний тохиолдол), i.e. Хэзээ M 0 (F) = 0. Дараа нь (3.4) теоремоос ийм зүйл гарч ирнэ k 0 = const, тэдгээр. төвийн хүчний хувьд энэ хүчний төвтэй харьцуулахад материаллаг цэгийн өнцгийн импульс (кинетик момент) хэмжээ болон чиглэлд тогтмол хэвээр байна.(Зураг 3.2).

Зураг 3.2

Нөхцөл байдлаас k 0 = constЭнэ нь хөдөлж буй цэгийн траектори нь хавтгай муруй бөгөөд түүний хавтгай нь энэ хүчний төвийг дайран өнгөрдөг.

Дүгнэлт 2

Болъё M z (F) = 0, өөрөөр хэлбэл хүч тэнхлэгийг гаталж байна zэсвэл түүнтэй зэрэгцээ.

Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн гурав дахь хэсгээс (3.5) харж болно. k z = const, тэдгээр. Хэрэв ямар нэгэн тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад цэг дээр үйлчлэх хүчний момент үргэлж тэг байвал энэ тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгийн өнцгийн импульс (кинетик момент) тогтмол хэвээр байна..

• 1. Алгебрийнтөвийн эргэн тойрон дахь өнцгийн импульс. Алгебрийн ТУХАЙ-- (+) эсвэл (-) тэмдгээр авсан скаляр хэмжигдэхүүн ба импульсийн модулийн үржвэртэй тэнцүү. мхол зайд h(перпендикуляр) энэ төвөөс вектор чиглэсэн шугам хүртэл м:
• 2. Төвтэй харьцуулахад импульсийн вектор момент.

Векторямар нэгэн төвтэй харьцуулахад материаллаг цэгийн импульсийн момент ТУХАЙ --векторыг энэ төвд хэрэглэж, векторуудын хавтгайд перпендикуляр чиглүүлнэ мТэгээд цэгийн хөдөлгөөн цагийн зүүний эсрэг харагдах чиглэлд. Энэ тодорхойлолт нь векторын тэгш байдлыг хангаж байна

Эрч хүчзарим тэнхлэгтэй харьцуулахад материаллаг цэг zнь (+) эсвэл (-) тэмдгээр авсан скаляр хэмжигдэхүүн бөгөөд модулийн үржвэртэй тэнцүү байна проекцын вектор энэ тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайд ногдох импульс h,тэнхлэгийн хавтгайтай огтлолцох цэгээс заасан проекцийг чиглэсэн шугам хүртэл буулгана.

Төв ба тэнхлэгтэй харьцуулахад механик системийн кинетик момент

1. Төвтэй харьцуулахад момент.

Кинетик мөчэсвэл заримтай харьцуулахад механик системийн хөдөлгөөний хэмжигдэхүүнүүдийн гол момент төвнэг төвтэй харьцуулахад системийн бүх материаллаг цэгүүдийн импульсийн моментуудын геометрийн нийлбэр гэнэ.

2. Тэнхлэгийг тойрсон кинетик момент.

Механик системийн хөдөлгөөний хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхой тэнхлэгтэй харьцуулахад кинетик момент буюу үндсэн момент нь ижил тэнхлэгтэй харьцуулахад системийн бүх материаллаг цэгүүдийн хөдөлгөөний хэмжигдэхүүнүүдийн моментуудын алгебрийн нийлбэр юм.

3. Өнцгийн хурдтай тогтмол z тэнхлэгийг тойрон эргэдэг хатуу биеийн кинетик момент.

Төв ба тэнхлэгтэй харьцуулахад материалын цэгийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем

1. Төвийн тухай моментуудын теорем.

Деривативямар нэгэн тогтмол төвтэй харьцуулахад материаллаг цэгийн импульсийн моментээс хойшхи хугацаанд ижил төвтэй харьцуулахад цэг дээр үйлчлэх хүчний моменттой тэнцүү байна.

2. Тэнхлэгийн моментуудын теорем.

Деривативтодорхой тэнхлэгтэй харьцуулахад материаллаг цэгийн импульсийн моментээс тухайн цэгт ижил тэнхлэгтэй харьцуулахад үйлчлэх хүчний моменттой тэнцүү байна.

Төв ба тэнхлэгтэй харьцуулахад механик системийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем

Төвийн тухай моментуудын теорем.

Деривативзарим тогтмол төвтэй харьцуулахад механик системийн кинетик моментээс эхлэн цаг хугацаа нь ижил төвтэй харьцуулахад системд үйлчилж буй бүх гадны хүчний моментуудын геометрийн нийлбэртэй тэнцүү байна;

Үр дагавар.Хэрэв зарим төвтэй харьцуулахад гадны хүчний гол момент тэг байвал энэ төвтэй харьцуулахад системийн өнцгийн импульс өөрчлөгдөхгүй (кинетик момент хадгалагдах хууль).

2. Тэнхлэгийн моментуудын теорем.

ДеривативМеханик системийн кинетик моментоос зарим тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад цаг хугацааны хувьд энэ тэнхлэгтэй харьцуулахад системд үйлчилж буй бүх гадны хүчний моментуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үр дагавар.Хэрэв тодорхой тэнхлэгтэй харьцах гадаад хүчний гол момент тэг байвал энэ тэнхлэгтэй харьцуулахад системийн кинетик момент өөрчлөгдөхгүй.

Жишээлбэл, = 0, тэгвэл Л z = const.

Хүчний ажил ба хүч

Хүчний ажил-- хүчний үйл ажиллагааны скаляр хэмжүүр.

1. Хүчний үндсэн ажил.

Бага ангиХүчний ажил нь хүчний векторын скаляр үржвэр ба хүчний хэрэглээний цэгийн хязгааргүй жижиг шилжилтийн вектортой тэнцүү хязгааргүй жижиг скаляр хэмжигдэхүүн юм. ; - радиус векторын өсөлт хүч хэрэглэх цэг, годограф нь энэ цэгийн замнал юм. Анхан шатны хөдөлгөөн зам дагуух цэгүүд давхцаж байна жижиг хэмжээтэй учраас. Тийм ч учраас

хэрэв тэгвэл dA > 0; хэрэв, тэгвэл dA = 0; хэрэв , Тэр дА< 0.

2. Анхан шатны ажлын аналитик илэрхийлэл.

Векторуудыг төсөөлье Тэгээд гДекартын координатын тэнхлэг дээрх проекцоор дамжуулан:

, . Бид (4.40) авна.

3. Эцсийн шилжилтэд үзүүлэх хүчний ажил нь энэ шилжилтийн үндсэн ажлын интеграл нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хэрэв хүч тогтмол бөгөөд түүнийг хэрэглэх цэг нь шугаман хөдөлдөг бол,

4. Хүндийн хүчний ажил. Бид томъёог ашигладаг: Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;

Хаана h-хүч хэрэглэх цэгийг босоогоор доош (өндөр) шилжүүлэх.

Хүндийн хүчний хэрэглээний цэгийг дээш хөдөлгөх үед А 12 = -mgh(цэг М 1 -- доош, М 2 - дээд талд).

Тэгэхээр, . Таталцлын хүчээр хийсэн ажил нь траекторийн хэлбэрээс хамаардаггүй. Хаалттай замаар явахдаа ( М 2 тоглолт М 1 ) ажил тэг байна.

5. Пүршний уян харимхай хүчний ажил.

Хавар нь зөвхөн тэнхлэгийнхээ дагуу сунадаг X:

Ф y = Ф z = ТУХАЙ, Ф x = = -сх;

пүршний хэв гажилтын хэмжээ хаана байна.

Хүч хэрэглэх цэг нь доод байрлалаас дээд байрлал руу шилжих үед хүчний чиглэл ба хөдөлгөөний чиглэл давхцаж, дараа нь

Тиймээс уян хатан хүчний ажил

Эцсийн нүүлгэн шилжүүлэлт дээрх хүчний ажил; Хэрэв = const байвал

эцсийн эргэлтийн өнцөг хаана байна; , Хаана p --биеийн тэнхлэгийг тойрон эргэх тоо.

Материаллаг цэг ба механик системийн кинетик энерги. Коенигийн теорем

Кинетик энерги- механик хөдөлгөөний скаляр хэмжүүр.

Материаллаг цэгийн кинетик энерги -Нэг цэгийн масс ба хурдны квадратын үржвэрийн хагастай тэнцүү скаляр эерэг хэмжигдэхүүн;

Механик системийн кинетик энерги -Энэ системийн бүх материаллаг цэгүүдийн кинетик энергийн арифметик нийлбэр:

-аас бүрдэх системийн кинетик энерги nхарилцан уялдаатай биетүүд нь энэ системийн бүх биеийн кинетик энергийн арифметик нийлбэртэй тэнцүү байна.

Коенигийн теорем

Механик системийн кинетик энергихөдөлгөөний ерөнхий тохиолдолд системийн хөдөлгөөний кинетик энергийн нийлбэр массын төв ба массын төвтэй харьцуулахад хөдөлгөөний кинетик энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хаана Vkc --хурд к- th массын төвтэй харьцуулахад системийн цэгүүд.

Төрөл бүрийн хөдөлгөөний дор хатуу биеийн кинетик энерги

Урагшаа хөдөлгөөн.

Тогтмол тэнхлэгийг тойрон биеийг эргүүлэх . ,Хаана -- эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент.

3. Хавтгай-параллель хөдөлгөөн. , массын төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад хавтгай дүрсийн инерцийн момент хаана байна.

Хавтгай хөдөлгөөндбиеийн кинетик энерги нь биеийн массын төвийн хурдтай хөрвүүлэх хөдөлгөөний кинетик энергиэс бүрдэнэ. ба массын төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгийг тойрон эргэх хөдөлгөөний кинетик энерги, ;

Материаллаг цэгийн кинетик энергийн өөрчлөлтийн тухай теорем

Дифференциал хэлбэрийн теорем.

Дифференциалматериаллаг цэгийн кинетик энерги нь тухайн цэг дээр ажиллаж буй хүчний үндсэн ажилтай тэнцүү байна.

Интеграл (хязгаарлагдмал) хэлбэрийн теорем.

ӨөрчлөхТодорхой шилжилтийн үед материаллаг цэгийн кинетик энерги нь ижил шилжилтийн үед тухайн цэг дээр үйлчлэх хүчний ажилтай тэнцүү байна.

Механик системийн кинетик энергийн өөрчлөлтийн тухай теорем

Дифференциал хэлбэрийн теорем.

Дифференциалмеханик системийн кинетик энерги нь системд үйлчилж буй гадаад ба дотоод хүчний үндсэн ажлын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Интеграл (хязгаарлагдмал) хэлбэрийн теорем.

ӨөрчлөхТодорхой шилжилтийн үед механик системийн кинетик энерги нь ижил шилжилтийн үед системд үйлчлэх гадаад ба дотоод хүчний ажлын нийлбэртэй тэнцүү байна. ; Хатуу биетүүдийн системийн хувьд = 0 (дотоод хүчний өмчийн дагуу). Дараа нь

Материаллаг цэг ба механик системийн механик энерги хадгалагдах хууль

Хэрэв материалын хувьдцэг эсвэл механик системд зөвхөн консерватив хүч үйлчилдэг бол цэг эсвэл системийн аль ч байрлалд кинетик ба боломжит энергийн нийлбэр тогтмол хэвээр байна.

Материаллаг цэгийн хувьд

Механик системийн хувьд T+ P= const

Хаана T+ P --системийн нийт механик энерги.

Хатуу биеийн динамик

Хатуу биеийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл

Эдгээр тэгшитгэлийг механик системийн динамикийн ерөнхий теоремуудаас олж авч болно.

1. Биеийн хөрвүүлэлтийн хөдөлгөөний тэгшитгэл - механик системийн массын төвийн хөдөлгөөний тухай теоремоос Декартын координатын тэнхлэг дээрх проекцууд дахь

2. Тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд хатуу биеийг эргүүлэх тэгшитгэл - тэнхлэгтэй харьцуулахад механик системийн кинетик моментийн өөрчлөлтийн тухай теоремоос, жишээлбэл, тэнхлэгтэй харьцуулахад.

Кинетик мөчөөс хойш Л z тэнхлэгтэй харьцуулахад хатуу бие, дараа нь хэрэв

эсвэл, тэгшитгэлийг эсвэл гэж бичиж болох тул тэгшитгэлийг бичих хэлбэр нь тухайн асуудалд юу тодорхойлох шаардлагатай байгаагаас хамаарна.

Хавтгай-параллель дифференциал тэгшитгэлхатуу биеийн хөдөлгөөн нь тэгшитгэлийн багц юм дэвшилтэтхавтгай дүрсийг массын төвтэй хамт хөдөлгөөн ба эргэлтийнмассын төвөөр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад хөдөлгөөн:

Физик дүүжин

Физик дүүжинбиеийн массын төвөөр дамждаггүй хэвтээ тэнхлэгийг тойрон эргэдэг, хүндийн хүчний нөлөөн дор хөдөлдөг хатуу бие юм.

Эргэлтийн дифференциал тэгшитгэл

Бага зэрэг хэлбэлзэлтэй тохиолдолд.

Тэгээд хаана

Энэхүү нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл.

зөвшөөрөх t=0Дараа нь

-- гармоник чичиргээний тэгшитгэл.

Савлуурын хэлбэлзлийн хугацаа

Өгөгдсөн уртфизик дүүжин нь хэлбэлзлийн хугацаа нь физик дүүжингийн хэлбэлзлийн үетэй тэнцүү математик дүүжингийн урт юм.

өнцгийн импульс

ХӨДӨЛГӨӨНИЙ ХӨДӨЛГӨӨ (кинетик импульс, өнцгийн импульс, өнцгийн импульс) нь ямар нэг төв (цэг) эсвэл тэнхлэгтэй харьцуулахад бие буюу биеийн системийн механик хөдөлгөөний хэмжүүр юм. Материаллаг цэгийн (биеийн) импульсийн К моментийг тооцоолохын тулд тэдгээрийн доторх хүчний векторыг импульсийн mv вектороор, тухайлбал K0 = сольж байвал хүчний моментийг тооцоолохтой ижил томъёонууд хүчинтэй байна. Төв (тэнхлэг) -тэй харьцуулахад системийн бүх цэгүүдийн өнцгийн импульсийн нийлбэрийг энэ төв (тэнхлэг) -тэй харьцуулахад системийн үндсэн өнцгийн импульс (кинетик момент) гэнэ. Хатуу биеийн эргэлтийн хөдөлгөөнд биеийн эргэлтийн z тэнхлэгтэй харьцуулахад үндсэн өнцгийн импульс нь Iz инерцийн момент ба өнцгийн хурдын үржвэрээр илэрхийлэгдэх вэ? бие, өөрөөр хэлбэл. КZ = Из?.

Эрч хүч

кинетик момент, материаллаг цэг буюу системийн механик хөдөлгөөний хэмжүүрүүдийн нэг. Механик хөдөлгөөн нь эргэлтийн хөдөлгөөнийг судлахад онцгой чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Хүчний моментийн нэгэн адил төв (цэг) болон тэнхлэгтэй харьцуулахад механик үйлдлийг хооронд нь ялгадаг.

Материалын цэгийн k механик үр ашгийг O төв эсвэл z тэнхлэгтэй харьцуулахад тооцоолохын тулд F векторыг mv импульсийн вектороор сольсон тохиолдолд хүчний моментийг тооцоолох бүх томъёо хүчинтэй байна. Иймд ko =, О төвөөс татсан хөдөлж буй цэгийн r ≈ радиус вектор ба kz нь О цэгийг дайран өнгөрөх z тэнхлэгт ko векторын проекцтой тэнцүү байна. цэг нь хэрэглэсэн хүчний мо (F) моментийн нөлөөн дор үүсдэг ба M. үр ашгийн өөрчлөлтийн тухай теоремоор тодорхойлогдоно, dko/dt = mo(F) тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ. Жишээ нь, төвийн хүчний хувьд mo(F) = 0 байх үед цэгийн хөдөлгөөн талбайн хуульд захирагдана. Энэ үр дүн нь селестиел механик, дэлхийн хиймэл дагуулын хөдөлгөөний онол, сансрын хөлөг гэх мэт чухал ач холбогдолтой юм.

Механик системийн гол механик коэффициент (эсвэл кинетик момент) төв O буюу z тэнхлэгтэй харьцуулахад системийн бүх цэгүүдийн механик коэффициентийн геометрийн эсвэл алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. , өөрөөр хэлбэл Ко = Ской, Кз = Скзи. Ко векторыг координатын тэнхлэгүүд дээрх Kx, Ky, Kz проекцуудаар тодорхойлж болно. Хөдөлгөөнгүй z тэнхлэгийг w өнцгийн хурдтайгаар эргэдэг биеийн хувьд Kx = ≈ Ixzw, Ky = ≈Iyzw, Kz = Izw, энд lz ≈ тэнхлэг, Ixz, lyz ≈ төвөөс зугтах инерцийн момент. Хэрэв z тэнхлэг нь О эхийн инерцийн үндсэн тэнхлэг бол Ko = Izw байна.

Системийн үндсэн M. үр ашгийн өөрчлөлт нь зөвхөн гадны хүчний нөлөөн дор явагддаг бөгөөд тэдгээрийн гол мөчөөс Moe хамаарна. Энэ хамаарлыг dKo/dt = Moe тэгшитгэлээр илэрхийлсэн системийн үндсэн M. үр ашгийн өөрчлөлтийн тухай теоремоор тодорхойлно. Үүнтэй төстэй тэгшитгэл нь Kz ба Mze моментуудтай холбоотой. Хэрэв Moe = 0 эсвэл Mze = 0 бол Ko эсвэл Kz нь тогтмол хэмжигдэхүүн байх болно, өөрөөр хэлбэл механик үр ашгийг хадгалах хууль хэрэгжинэ (Хадгалалтын хуулиудыг үзнэ үү). Тиймээс дотоод хүч нь системийн үр ашгийг өөрчлөх боломжгүй боловч системийн бие даасан хэсгүүдийн үр ашиг эсвэл эдгээр хүчний нөлөөн дор өнцгийн хурд өөрчлөгдөж болно. Жишээлбэл, босоо z тэнхлэгийг тойрон эргэдэг уран гулгагч (эсвэл балетчин) хувьд Kz = Izw утга нь тогтмол байх болно, учир нь бараг Mze = 0. Гэхдээ инерцийн моментийн утгыг гарынхаа хөдөлгөөнөөр lz өөрчилснөөр lz. эсвэл хөл, тэр w өнцгийн хурдыг өөрчилж болно. Доктор. Механик үр ашгийг хадгалах хуулийн хэрэгжилтийн жишээ бол эргэдэг босоо ам (ротор) бүхий хөдөлгүүрт реактив момент гарч ирэх явдал юм. Механик динамикийн тухай ойлголтыг хатуу биеийн динамик, ялангуяа гироскопын онолд өргөн ашигладаг.

Хэмжээ M. k.d ≈ L2MT-1, хэмжилтийн нэгж ≈ кг×м2/сек, г×см2/сек. MKD нь цахилгаан соронзон, таталцлын болон бусад физик оронтой байдаг. Ихэнх энгийн хэсгүүд нь өөрийн гэсэн дотоод соронзон динамик үр ашигтай ≈ спинтэй байдаг. MQD нь квант механикт чухал ач холбогдолтой.

Гэрэлтүүлэг. урлагийн доор үзнэ үү. Механик.

Цэгийн кинетик момент ба механик систем

Цагаан будаа. 3.14

Материаллаг цэг ба механик системийн хөдөлгөөний динамик шинж чанаруудын нэг нь кинетик момент буюу өнцгийн импульс юм.

Материаллаг цэгийн хувьд дурын төвтэй харьцуулахад өнцгийн импульс нь энэ төвтэй харьцуулахад цэгийн өнцгийн импульс юм (Зураг 3.14),

Материалын цэгийн тэнхлэгтэй харьцуулахад кинетик момент нь энэ тэнхлэгийн аль ч төвтэй харьцуулахад тухайн цэгийн кинетик моментийн энэ тэнхлэг дээрх проекц юм.

О төвтэй харьцуулахад механик системийн кинетик момент нь ижил төвтэй харьцуулахад системийн бүх цэгүүдийн кинетик моментуудын геометрийн нийлбэр юм (Зураг 3.15).

(3.20)

Кинетик моментийг цэг дээр хэрэглэнэ ТУХАЙ, тооцоолсон харьцангуй.

Хэрэв бид (3.20)-ыг декартын координатын системийн тэнхлэгүүд рүү проекц хийвэл эдгээр тэнхлэгүүд дээрх кинетик моментийн проекцууд буюу координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад кинетик моментуудыг олж авна.

Биеийн эргэлтийн тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад кинетик моментийг тодорхойлъё z(Зураг 3.16).

(3.21) томъёоны дагуу бид байна

Харин бие w өнцгийн хурдтай эргэх үед хурд мөн цэгийн хөдөлгөөний хэмжээ сегментэд перпендикуляр dkба эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайд байрладаг Оз, тиймээс,

Цагаан будаа. 3.15

Цагаан будаа. 3.16

Бүх биеийн хувьд:

Хаана J z– эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн момент.

Үүний үр дүнд, эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад хатуу биеийн өнцгийн импульс нь тухайн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент ба биеийн өнцгийн хурдны үржвэртэй тэнцүү байна.

2. Өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем
механик систем

Хөдөлгөөнгүй төвтэй харьцуулахад системийн кинетик момент О(Зураг 3.15)

Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас цаг хугацааны деривативыг авч үзье.

(3.22)

Үүнийг анхаарч үзье дараа нь илэрхийлэл (3.22) хэлбэрийг авна

Эсвэл үүнийг өгсөн

– төвтэй харьцуулахад гадны хүчний моментуудын нийлбэр О, бид эцэст нь:

(3.23)

Тэгш байдал (3.23) өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремыг илэрхийлнэ.

Өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем.Тогтмол төвтэй харьцуулахад механик системийн кинетик моментийн цаг хугацааны дериватив нь ижил төвтэй харьцуулахад системийн гадаад хүчний үндсэн моменттэй тэнцүү байна.

Декартын координатын тогтмол тэнхлэгүүд дээр тэгш байдлыг (3.23) төлөвлөсний дараа бид эдгээр тэнхлэгүүдийн проекц дахь теоремын дүрслэлийг олж авна.

(3.23)-аас үзэхэд аливаа тогтмол төвтэй харьцуулахад гадны хүчний гол момент тэг байвал энэ төвтэй харьцуулахад кинетик момент тогтмол хэвээр байна, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв

(3.24)

Хэрэв аливаа тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад системийн гадаад хүчний моментуудын нийлбэр тэг байвал кинетик моментийн харгалзах проекц тогтмол хэвээр байна.

(3.25)

(3.24) ба (3.25) заалтууд нь системийн өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийг илэрхийлдэг.

Кинетик моментийг тооцоолохдоо цэгийг цэг болгон сонгох замаар системийн кинетик моментийн өөрчлөлтийн тухай теоремыг олж авцгаая. А, хурдтай инерцийн жишиг хүрээтэй харьцангуй хөдөлж байна

Цэгтэй харьцуулахад системийн кинетик момент А(Зураг 3.17)

Цагаан будаа. 3.17

учир нь Тэр

Үүнийг харгалзан үзвэл Системийн массын төвийн хурд хаана байгааг бид олж авна

Өнцгийн импульсийн цаг хугацааны деривативыг тооцоолъё

Үр дүнгийн илэрхийлэлд:

Хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг нэгтгэж, үүнийг харгалзан үзэх

эцэст нь бид авдаг

Хэрэв цэг нь системийн массын төвтэй давхцаж байвал C, Тэр ба теорем хэлбэрийг авна

тэдгээр. энэ нь тогтсон цэгтэй ижил хэлбэртэй байна ТУХАЙ.

3. Хатуу биеийн эргэлтийн дифференциал тэгшитгэл
тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд

Хатуу биеийг тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлье Аз(Зураг 3.18) гадны хүчний системийн нөлөөн дор
Эргэлтийн тэнхлэг дээрх проекц дахь системийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремын тэгшитгэлийг бичье.

Цагаан будаа. 3.18

Тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд хатуу биеийг эргүүлэх тохиолдолд:

Хаана J z– эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн тогтмол момент; w – өнцгийн хурд.

Үүнийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хэрэв бид j биеийн эргэлтийн өнцгийг оруулбал тэгш байдлыг харгалзан үзнэ бидэнд байгаа

(3.26)

Илэрхийлэл (3.26) нь хатуу биеийг тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх дифференциал тэгшитгэл юм.

4. Системийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем
массын төвтэй харьцуулахад харьцангуй хөдөлгөөнтэй

Механик системийг судлахын тулд бид тогтмол координатын системийг сонгодог Үхэр 1 y 1 z 1 ба хөдлөх Cxyzмассын төвд гарал үүсэлтэй C, урагшлах (Зураг 3.19).

Вектор гурвалжингаас:

Цагаан будаа. 3.19

Энэ тэгш байдлыг цаг хугацааны хувьд ялгаж, бид олж авдаг

эсвэл

цэгийн үнэмлэхүй хурд хаана байна Мк, - массын төвийн үнэмлэхүй хурд ХАМТ,
- цэгийн харьцангуй хурд Мк, учир нь

Нэг цэгийн момент ТУХАЙ

ба утгыг орлуулснаар бид авна

Энэ илэрхийлэлд: - системийн масс; ;

– координатын систем дэх харьцангуй хөдөлгөөний массын төвтэй харьцуулахад системийн кинетик момент Сxyz.

Кинетик момент хэлбэрээ авдаг

Цэгтэй харьцуулахад өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем ТУХАЙшиг харагдаж байна

ба гэсэн утгыг орлуулъя бид авдаг

Үүнийг харгалзан энэ илэрхийлэлийг өөрчилье

эсвэл

Энэ томьёо нь массын төвтэй хөрвүүлэн хөдөлж буй координатын системтэй харьцуулахад системийн харьцангуй хөдөлгөөний массын төвтэй харьцуулахад системийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремыг илэрхийлдэг. Энэ нь массын төв нь тогтмол цэг байсантай адил томъёолсон.

Материаллаг цэгийн импульс(кинетик момент) орон зайн сонгосон цэгтэй харьцуулахад материаллаг цэгийн импульсийн вектороор хүчний үйлчлэлийн шугамын аль ч цэг рүү сонгосон цэгээс векторын вектор үржвэрийн үр дүн юм.

Механик системийн импульс(системийн кинетик момент) орон зайн сонгосон цэгтэй харьцуулахад ижил цэгтэй харьцуулахад системийн бүх материаллаг цэгүүдийн өнцгийн импульсийн нийлбэр юм.

Зөвхөн онгоцны асуудлыг авч үзэхээр хязгаарлъя. Энэ тохиолдолд хүчний моменттой адил цэгийн импульсийн момент нь скаляр хэмжигдэхүүн бөгөөд дараахтай тэнцүү байна гэж үзэж болно.

Хаана v i– цэгийн хурдны векторын модуль;

h i- мөрөн.

Импульсийн моментийн тэмдэг нь хүчний моментийн тэмдэгтэй ижил аргаар сонгогддог.

Теорем:Хөрвүүлэн хөдөлж буй биеийн өнцгийн импульс нь биеийн масс ба биеийн аль ч цэгийн хурд ба сонгосон цэгтэй харьцуулахад массын төвийн хурдны хөшүүргийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Хаана h c– сонгосон цэгтэй харьцуулахад системийн массын төвийн хурдны гар.

Теорем:Эргэдэг биеийн импульсийн момент нь эргэлтийн тэнхлэг ба өнцгийн хурдтай харьцуулахад биеийн инерцийн моментийн үржвэртэй тэнцүү байна.

тухайн цэгээс эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зай хаана байна.

Теорем:Хавтгай-параллель хөдөлж буй биеийн өнцгийн импульс нь сонгосон цэгтэй харьцуулахад биеийн массын төвийн өнцгийн импульсийн нийлбэр ба биеийн өөрийн инерцийн момент ба өнцгийн хурдны үржвэртэй тэнцүү байна.

Анхан шатны импульс– энэ нь хүчний момент ба хүчний үйлчлэлийн үндсэн хугацааны интервалын үржвэр юм

1.3.11. Боломжит хөдөлгөөний зарчим

Нүүлгэн шилжүүлэх боломжтой- энэ нь биеийн дурын цэгийн хязгааргүй жижиг хөдөлгөөн бөгөөд энэ нь холболтыг өөрөө өөрчлөхгүйгээр биед ногдуулсан холболтоор зөвшөөрөгддөг.

Төгс холболтЭнэ нь системийн бүх боломжит хөдөлгөөнд үзүүлэх бүх урвалын боломжит ажлын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байх холболт юм.

Барзгар гадаргууг эс тооцвол өмнө нь авч үзсэн бүх холболтууд нь байна хамгийн тохиромжтой.

Идэвхтэй хүч– урвалын хүчийг эс тооцвол системд үйлчилж буй аливаа хүч. Идеал холболтын тодорхойлолтоос харахад хамгийн тохиромжтой холболттой системийн реактив хүчний ажил үргэлж тэгтэй тэнцүү байна.

Системийн эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоонь системийн шугаман бие даасан байж болох ерөнхий хөдөлгөөнүүдийн тоо юм. Бие даасан хөдөлгөөнийг дур зоргоороо сонгож болно. Тэгэхээр хавтгай дээр тулгуурласан хавтгай бие (Зураг 1.52) олон боломжит хөдөлгөөнтэй (баруун, зүүн, дээш өнцгөөр), гэхдээ шугаман бие даасан байдаг.

Зөвхөн гурав (жишээлбэл, хэвтээ шилжилт dx, босоо шилжилт дээш dyмөн цэгийн эргэн тойронд эргэх өнцөг А - dj).

Боломжит хөдөлгөөнийг " тэмдгээр тэмдэглэх нь заншилтай байдаг. δ ” хөдлөхийн өмнө. Боломжит хөдөлгөөнийг бодит байдлаас ялгах шаардлагатай. Олон боломжит хувилбар байж болох ч бодит нэг нь л байна. Бодит хөдөлгөөнийг боломжит хөдөлгөөнд оруулах шаардлагатай.