2 нум мэдэгдэж байгаа бол өнцгийг хэрхэн олох вэ. Нумын уртыг тодорхойлох

ТойрогХаалттай хавтгай муруй гэж нэрлэгддэг бөгөөд нэг хавтгайд байрлах бүх цэгүүд нь төвөөс ижил зайд арилдаг.

Цэг ТУХАЙ тойргийн төв, Р нь тойргийн радиус - тойргийн аль ч цэгээс төв хүртэлх зай. Тодорхойлолтоор бол хаалттай бүх радиусууд

будаа. 1

муруйнууд ижил урттай байна.

Тойрог дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг хөвч гэж нэрлэдэг. Тойргийнхоо төвийг дайран хоёр цэгийг холбосон хэрчимийг диаметр гэнэ. Диаметрийн дунд цэг нь тойргийн төв юм. Тойрог дээрх цэгүүд нь битүү муруйг хоёр хэсэгт хуваадаг бөгөөд хэсэг бүрийг дугуй нум гэж нэрлэдэг. Хэрэв нумын төгсгөлүүд нь голчтой байвал ийм тойргийг хагас тойрог гэж нэрлэдэг бөгөөд уртыг нь ихэвчлэн тэмдэглэдэг. π . Нийтлэг төгсгөлтэй хоёр тойргийн хэмжүүр нь 360 градус байна.

Төвлөрсөн тойрог нь нийтлэг төвтэй тойрог юм. Ортогональ тойрог нь 90 градусын өнцгөөр огтлолцсон тойрог юм.

Тойргоор хүрээлэгдсэн хавтгайг тойрог гэнэ. Хоёр радиус ба нумаар хязгаарлагдсан тойргийн нэг хэсэг нь дугуй сектор юм. Салбарын нум нь салбарыг хязгаарлах нум юм.

Цагаан будаа. 2

Тойрог ба шулуун шугамын харьцангуй байрлал (Зураг 2).

Шулуун шугамаас тойргийн төв хүртэлх зай нь тойргийн радиусаас бага байвал тойрог ба шулуун шулуун хоёр нийтлэг цэгтэй байна. Энэ тохиолдолд тойрогтой холбоотой шулуун шугамыг секант гэж нэрлэдэг.

Шулуун шугамаас тойргийн төв хүртэлх зай нь тойргийн радиустай тэнцүү бол тойрог ба шулуун шугам нь нэг нийтлэг цэгтэй байна. Энэ тохиолдолд тойрогтой холбоотой шугамыг тойрогтой шүргэгч гэж нэрлэдэг. Тэдний нийтлэг цэгийг тойрог ба шугамын шүргэх цэг гэж нэрлэдэг.

Тойргийн үндсэн томъёо:

• C = 2πR , Хаана C - тойрог
• R = С/(2π) = D/2 , Хаана С/(2π) - тойргийн нумын урт
• D = C/π = 2R , Хаана Д - диаметр
• S = πR2 , Хаана С - тойргийн талбай
• S = ((πR2)/360)α , Хаана С - дугуй секторын талбай

Тойрог ба тойрог нь Эртний Грекд нэрээ авчээ. Эрт дээр үед хүмүүс дугуй хэлбэртэй биеийг сонирхож байсан тул тойрог нь төгс төгөлдөр байдлын титэм болжээ. Дугуй бие өөрөө хөдөлж чаддаг байсан нь дугуйг бүтээхэд түлхэц болсон юм. Энэ шинэ бүтээл юугаараа онцлогтой юм бэ? Гэхдээ дугуйнууд бидний амьдралаас хоромхон зуур алга болно гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэхүү шинэ бүтээл нь хожим тойрог хэмээх математикийн ойлголтыг бий болгосон.

Тойрог, түүний хэсгүүд, тэдгээрийн хэмжээ, харилцаа холбоо нь үнэт эдлэлийн хүн байнга тулгардаг зүйл юм. Бөгж, бугуйвч, каст, хоолой, бөмбөлөг, спираль - маш олон дугуй хэлбэртэй зүйлийг хийх хэрэгтэй. Та энэ бүхнийг яаж тооцоолох вэ, ялангуяа сургуульдаа геометрийн хичээл алгасах аз тохиосон бол?..

Эхлээд тойрог ямар хэсгүүдтэй, юу гэж нэрлэгддэгийг харцгаая.

• Тойрог нь тойрог доторх шугам юм.
• Нуман бол тойргийн нэг хэсэг юм.
• Радиус гэдэг нь тойргийн төвийг тойргийн дурын цэгтэй холбосон хэрчим юм.
• Хөвч нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент юм.
• Сегмент нь хөвч ба нумаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг юм.
• Сектор гэдэг нь хоёр радиус ба нумаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг юм.

Бидний сонирхож буй тоо хэмжээ, тэдгээрийн тэмдэглэгээ:

Одоо тойргийн хэсгүүдтэй холбоотой ямар асуудлыг шийдэх ёстойг харцгаая.

• Бөгжний (бугуйвч) аль ч хэсгийн хөгжлийн уртыг ол. Диаметр ба хөвчийг (сонголт: диаметр ба төв өнцөг) өгөгдсөн бол нумын уртыг ол.
• Онгоц дээр зураг байгаа тул та нуман хэлбэрээр нугасны дараа түүний хэмжээг проекцоор олж мэдэх хэрэгтэй. Нумын урт ба диаметрийг өгснөөр хөвчний уртыг ол.
• Хавтгай бэлдэцийг нуман хэлбэрээр нугалахад олж авсан хэсгийн өндрийг олоорой. Эх сурвалжийн өгөгдлийн сонголтууд: нумын урт ба диаметр, нумын урт ба хөвч; сегментийн өндрийг ол.

Амьдрал танд өөр жишээ өгөх болно, гэхдээ би эдгээрийг зөвхөн бусад бүх зүйлийг олохын тулд хоёр параметр тохируулах шаардлагатайг харуулахын тулд өгсөн. Энэ бол бидний хийх зүйл юм. Тухайлбал, бид сегментийн таван параметрийг авна: D, L, X, φ ба H. Дараа нь тэдгээрээс боломжит бүх хосыг сонгоод бид тэдгээрийг анхны өгөгдөл гэж үзэж, бусад бүх зүйлийг оюуны довтолгоогоор олох болно.

Уншигчдад шаардлагагүй дарамт учруулахгүйн тулд би нарийн шийдлийг өгөхгүй, зөвхөн үр дүнг томъёо хэлбэрээр танилцуулах болно (албан ёсны шийдэл байхгүй тохиолдолд би энэ талаар ярилцах болно).

Бас нэг тэмдэглэл: хэмжлийн нэгжийн тухай. Төв өнцгөөс бусад бүх хэмжигдэхүүнийг ижил хийсвэр нэгжээр хэмждэг. Энэ нь жишээлбэл, хэрэв та нэг утгыг миллиметрээр зааж өгсөн бол нөгөөг нь сантиметрээр зааж өгөх шаардлагагүй бөгөөд үр дүнгийн утгыг ижил миллиметрээр (мөн квадрат миллиметрээр) хэмжинэ гэсэн үг юм. Инч, фут, далайн милийн талаар мөн адил хэлж болно.

Бүх тохиолдолд зөвхөн төв өнцгийг градусаар хэмждэг бөгөөд өөр юу ч биш. Яагаад гэвэл дугуй хэлбэртэй ямар нэг зүйлийг зохион бүтээдэг хүмүүс өнцгийг радианаар хэмжих хандлагатай байдаггүй. "Өнцөг пи дөрөв" гэсэн хэллэг нь олныг төөрөлдүүлдэг бол "дөчин таван градусын өнцөг" нь ердийнхөөс ердөө тавхан градусаар өндөр байдаг тул хүн бүрт ойлгомжтой байдаг. Гэсэн хэдий ч бүх томъёонд өөр нэг өнцөг байх болно - α - завсрын утга. Энэ нь радианаар хэмжигддэг төв өнцгийн хагас нь гэсэн утгыг илэрхийлдэг боловч та энэ утгыг сайтар судалж чадахгүй.

1. D диаметр ба нумын урт L өгөгдсөн

; хөвчний урт ;
сегментийн өндөр ; төв өнцөг .

2. Өгөгдсөн D диаметр ба хөвчний урт X

; нумын урт;
сегментийн өндөр ; төв өнцөг .

Хөвч нь тойргийг хоёр сегмент болгон хуваадаг тул энэ асуудал нэг биш, хоёр шийдэлтэй байна. Хоёрдахь өнцгийг авахын тулд дээрх томьёо дахь α өнцгийг өнцгөөр солих хэрэгтэй.

3. D диаметр ба төвийн өнцөг φ өгөгдсөн

; нумын урт;
хөвчний урт ; сегментийн өндөр .

4. H сегментийн D диаметр ба өндрийг өгөгдсөн

; нумын урт;
хөвчний урт ; төв өнцөг .

6. Өгөгдсөн нумын урт L ба төвийн өнцөг φ

; диаметр;
хөвчний урт ; сегментийн өндөр .

8. Хөвчний урт X ба төвийн өнцөг φ өгөгдсөн

; нумын урт ;
диаметр; сегментийн өндөр .

9. Х хөвчний урт ба H сегментийн өндрийг өгөгдсөн

; нумын урт ;
диаметр; төв өнцөг .

10. Төвийн өнцөг φ ба H сегментийн өндрийг өгөв

; диаметр ;
нумын урт; хөвчний урт .

Анхааралтай уншигч намайг хоёр сонголтыг алдсаныг анзаарахгүй байж чадсангүй.

5. Өгөгдсөн нумын урт L ба хөвчний урт X

7. L нумын урт ба H сегментийн өндрийг өгөгдсөн

Эдгээр нь асуудалд томъёо хэлбэрээр бичиж болох шийдэлгүй хоёр таагүй тохиолдол юм. Мөн даалгавар нь тийм ч ховор биш юм. Жишээлбэл, та L урттай хавтгай хэсэгтэй бөгөөд урт нь X (эсвэл өндөр нь H) болохын тулд нугалахыг хүсч байна. Би ямар диаметртэй мандал (хөндлөвч) авах ёстой вэ?

Энэ асуудал нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ирдэг.
; - 5-р хувилбарт
; - 7-р хувилбарт
мөн тэдгээрийг аналитик аргаар шийдвэрлэх боломжгүй ч программын аргаар хялбархан шийдэж болно. Мөн би ийм програмыг хаанаас авахаа мэддэг: яг энэ сайт дээр, нэрийн дор. Тэр миний хэлж байгаа бүх зүйлийг энд микросекундэд хийдэг.

Зургийг дуусгахын тулд бидний тооцооллын үр дүнд тойрог, талбайн гурван утгыг нэмнэ үү - тойрог, салбар, сегмент. (Бүх дугуй ба хагас дугуй хэсгүүдийн массыг тооцоолоход талбайнууд бидэнд маш их туслах болно, гэхдээ энэ талаар тусдаа өгүүллээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.) Эдгээр бүх хэмжигдэхүүнийг ижил томъёогоор тооцоолно.

тойрог;
тойргийн талбай ;
салбарын бүс ;
сегментийн талбай ;

Эцэст нь хэлэхэд, арктангенс гэж юу болох, түүнийг хаанаас хайхаа санах хэрэгцээнээс чөлөөлж, дээрх бүх тооцоог гүйцэтгэдэг туйлын үнэгүй програм байдгийг дахин сануулъя.

"А авах" видео хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг 60-65 оноотой амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын хурдан шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.

Цэгүүд нь ижил зайтай тойрог үүсгэдэг дүрсийг нум гэнэ. Хэрэв бид тойргийн төв цэгээс нумын төгсгөлүүдтэй давхцаж буй цэгүүд рүү туяа татвал түүний төв өнцөг үүснэ.

Нумын уртыг тодорхойлох

Дараахь томъёоны дагуу үйлдвэрлэв.

Энд L нь хүссэн нумын урт, π = 3.14, r нь тойргийн радиус, α нь төв өнцөг юм.

Л

3.14 x 10 x 85

14,82

Хариулт:

Тойргийн нумын урт нь 14.82 сантиметр юм.

Анхан шатны геометрийн хувьд нумыг түүн дээр байрлах хоёр цэгийн хооронд байрлах тойргийн дэд хэсэг гэж ойлгодог. Практикт асуудлыг шийдвэрлэх тодорхойлолттүүнийг уртЭнэхүү геометрийн элемент нь янз бүрийн загварт өргөн тархсан тул инженер, архитекторууд үүнийг байнга хийх шаардлагатай болдог.

Бөөрөнхий, олон өнцөгт эсвэл эллипс хэлбэрийн барилгуудын тулгуур хоорондын зайг нөхөхөд өргөн хэрэглэгддэг хонгил барихад энэ параметрийг ямар нэг байдлаар тодорхойлох шаардлагатай байсан эртний архитекторууд энэ даалгавартай хамгийн түрүүнд тулгарсан байх. Хэрэв та өнөөг хүртэл хадгалагдан үлдсэн эртний Грек, эртний Ром, ялангуяа Арабын архитектурын гайхамшигт бүтээлүүдийг анхааралтай ажиглавал нуман хаалга, хонгил нь тэдний хийц загварт маш түгээмэл байдгийг анзаарах болно. Орчин үеийн архитекторуудын бүтээлүүд тийм ч баялаг биш боловч эдгээр геометрийн элементүүд нь мэдээжийн хэрэг тэдгээрт байдаг.

Уртянз бүрийн нумавто зам, төмөр зам, түүнчлэн моторт замыг барих явцад тооцоолох ёстой бөгөөд ихэнх тохиолдолд хөдөлгөөний аюулгүй байдал нь тооцооллын зөв, үнэн зөв байдлаас ихээхэн хамаардаг. Баримт нь геометрийн үүднээс авч үзвэл хурдны замын олон эргэлт нь яг нуман хэлбэртэй байдаг бөгөөд тэдгээрийн дагуу хөдөлж байх үед янз бүрийн физик хүчнүүд тээврийн хэрэгсэлд үйлчилдэг. Тэдгээрийн үр дүнгийн параметрүүдийг нумын урт, түүнчлэн түүний төв өнцөг, радиусаар голчлон тодорхойлдог.

Машин, механизмын дизайнерууд янз бүрийн нэгжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг зөв, үнэн зөв байрлуулахын тулд янз бүрийн нумын уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд тооцооллын алдаа нь чухал, чухал хэсгүүд нь хоорондоо буруу харьцаж, механизм нь бүтээгчдийн төлөвлөснөөр ажиллах боломжгүй болно гэсэн үг юм. Нуман гэх мэт геометрийн элементүүдээр дүүрсэн байгууламжуудын жишээнд дотоод шаталтат хөдөлгүүр, хурдны хайрцаг, мод, металл боловсруулах төхөөрөмж, автомашин, ачааны машины биеийн хэсгүүд гэх мэт орно.

НумануудТэд анагаах ухаанд, ялангуяа шүдний эмчилгээнд нэлээд түгээмэл байдаг. Жишээлбэл, тэдгээр нь гажиг засахад ашиглагддаг. Хаалт (эсвэл хаалтны систем) гэж нэрлэгддэг, зохих хэлбэртэй, тусгай хайлшаар хийгдсэн засах элементүүд нь шүдний байрлалыг өөрчлөх байдлаар суурилуулсан байдаг. Эмчилгээ амжилттай болохын тулд эдгээр нумыг маш нарийн тооцоолох ёстой гэдгийг хэлэх нь зүйтэй. Нэмж дурдахад нуман хаалга нь гэмтлийн эмчилгээнд маш өргөн хэрэглэгддэг бөгөөд үүний хамгийн тод жишээ бол 1951 онд Оросын эмчийн зохион бүтээсэн алдартай Илизаров аппарат бөгөөд өнөөг хүртэл маш амжилттай ашиглагдаж байна. Үүний салшгүй хэсэг нь тусгай сүлжмэл зүүгээр урсдаг нүхээр тоноглогдсон металл нумууд бөгөөд эдгээр нь бүхэл бүтэн бүтцийн гол тулгуур юм.

Асуудал 10 (OGE - 2015)

О төвтэй тойрог дээр A ба B цэгүүдийг ∠ AOB = 18° гэж тэмдэглэв. Бага AB нумын урт 5. Тойргийн том нумын уртыг ол.

Шийдэл

∠ AOB = 18°. Бүх тойрог нь 360 ° байна. Тиймээс ∠ AOB нь тойргийн 18/360 = 1/20 байна.

Энэ нь жижиг нуман AB нь бүх тойргийн 1/20-ийг эзэлдэг тул том нум нь үлдсэн хэсэг, өөрөөр хэлбэл. 19/20 тойрог.

Тойргийн 1/20 нь нумын урттай 5. Дараа нь том нумын урт нь 5 * 19 = 95 байна.

Асуудал 10 (OGE - 2015)

О төвтэй тойрог дээр A ба B цэгүүдийг ∠ AOB = 40° гэж тэмдэглэв. Бага AB нумын урт 50. Тойргийн том нумын уртыг ол.

Шийдэл

∠ AOB = 40°. Бүх тойрог нь 360 ° байна. Тиймээс ∠ AOB нь тойргийн 40/360 = 1/9 байна.

Энэ нь жижиг нуман AB нь бүх тойргийн 1/9-ийг эзэлдэг тул том нум нь үлдсэн хэсэг, өөрөөр хэлбэл. 8/9 тойрог.

Тойргийн 1/9 нь 50 нумын урттай тохирч байвал том нумын урт 50*8 = 400 байна.

Хариулт: 400.

Даалгавар 10 (ТЕГ - 2014)

Тойргийн хөвчний урт 72, тойргийн төвөөс энэ хөвч хүртэлх зай 27. Тойргийн диаметрийг ол.

Шийдэл

Пифагорын теоремыг ашиглан AOB тэгш өнцөгт гурвалжнаас бид дараахь зүйлийг олж авна.

AO 2 = OB 2 +AB 2,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Дараа нь диаметр нь 2R = 2*45 = 90 байна.

Даалгавар 10 (ТЕГ - 2014)

О цэг нь ∠ABC = 134 ° ба ∠OAB = 75 ° байдаг нь A, B, C цэгүүд байрладаг тойргийн төв юм. BCO өнцгийг ол.Хариултаа градусаар өгнө үү.