Квадрат гурвалсан тоог шугаман хүчин зүйл болгон хэрхэн хүчинжүүлэх вэ. Олон гишүүнт хүчин зүйлийн жишээ. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах

Факторинг олон гишүүнтийн 8 жишээг өгөв. Үүнд квадрат ба биквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ, харилцан олон гишүүнтийн жишээ, гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн олон гишүүнтийн бүхэл язгуурыг олох жишээ орно.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх арга
Квадрат тэгшитгэлийн үндэс
Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

1. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Бид x-г гаргаж авдаг 2 хаалтны гадна:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Тэгшитгэлийн үндэс:
, .

.

Жишээ 1.2

Гурав дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт хүчин зүйл:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Хаалтаас x-г авч үзье:
.
Х квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 + 6 x + 9 = 0:
Түүний ялгаварлагч: .
Дискриминант нь тэг тул тэгшитгэлийн үндэс олон байна: ;
.

Үүнээс бид олон гишүүнтийн хүчин зүйлчлэлийг олж авна.
.

Жишээ 1.3

Тав дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт хүчин зүйл:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Бид x-г гаргаж авдаг 3 хаалтны гадна:
.
Х квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 - 2 x + 10 = 0.
Түүний ялгаварлагч: .
Дискриминант нь тэгээс бага тул тэгшитгэлийн язгуур нь нийлмэл байна: ;
, .

Олон гишүүнтийг үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Хэрэв бид бодит коэффициент бүхий хүчин зүйлчлэлийг сонирхож байгаа бол:
.

Томьёог ашиглан олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах жишээ

Биквадрат олон гишүүнттэй жишээнүүд

Жишээ 2.1

Биквадрат олон гишүүнт хүчин зүйл:
x 4 + x 2 - 20.

Томъёог хэрэгжүүлье:
а 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
а 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Жишээ 2.2

Биквадрат болгон бууруулж буй олон гишүүнтийг үржүүлэх:
x 8 + x 4 + 1.

Томъёог хэрэгжүүлье:
а 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
а 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Давтагдах олон гишүүнтэй жишээ 2.3

Харилцан олон гишүүнт хүчин зүйл:
.

Харилцан олон гишүүнт сондгой зэрэгтэй байна. Тиймээс энэ нь үндэстэй x = - 1 . Олон гишүүнтийг х -д хуваа.(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Үүний үр дүнд бид:

Орлуулалт хийцгээе:

Бүхэл язгууртай олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх жишээ
.

Жишээ 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Олон гишүүнт хүчин зүйл:;
Тэгшитгэл гэж үзье;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
Тиймээс бид гурван үндэс олсон:
.

, x

Бүхэл язгууртай олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх жишээ
.

Жишээ 3.1

дор хаяж нэг бүхэл үндэстэй. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм 2 (х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын нэг байж болно:
-2, -1, 1, 2 .
Бид эдгээр утгыг нэг нэгээр нь орлуулж байна:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Тиймээс бид нэг үндэс олсон:
x 1 = -1 .
Олон гишүүнтийг x - x гэж хуваа 1 = x - (-1) = x + 1:


Дараа нь,
.

Одоо бид гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийг бүхэл язгууртай гэж үзвэл энэ нь тооны хуваагч болно. 2 (х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын нэг байж болно:
1, 2, -1, -2 .
x =-г орлуулъя -1 :
.

Тиймээс бид өөр нэг язгуур х олсон байна 2 = -1 .
.

Өмнөх тохиолдлын адил олон гишүүнтийг хуваах боломжтой боловч бид нэр томъёог бүлэглэх болно.

Хүчин зүйлд хуваахын тулд илэрхийллийг хялбарчлах шаардлагатай. Үүнийг цаашид багасгахын тулд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай. Олон гишүүнтийн тэлэлт нь түүний зэрэг нь хоёроос доошгүй үед утга учиртай болно. Нэгдүгээр зэрэгтэй олон гишүүнтийг шугаман гэж нэрлэдэг. Нийтлэл нь задралын бүх ойлголтыг хамрах болно,онолын үндэс

олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах аргууд.

Онол

Теорем 1

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + хэлбэртэй n зэрэгтэй олон гишүүнт байвал. . . + a 1 x + a 0 нь хамгийн өндөр зэрэгтэй a n ба n шугаман хүчин зүйл (x - x i), i = 1, 2, ..., n, дараа нь P n (x) зэрэг тогтмол хүчин зүйлтэй бүтээгдэхүүнээр илэрхийлэгдэнэ. = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , энд x i, i = 1, 2, …, n нь олон гишүүнтийн үндэс юм.

Теорем нь x i, i = 1, 2, …, n төрлийн язгуурууд ба a k, k = 0, 1, 2, …, n комплекс коэффициентүүдэд зориулагдсан. Энэ бол аливаа задралын үндэс юм. a k хэлбэрийн коэффициентүүд k = 0, 1, 2, …, n байнабодит тоо

, дараа нь хосолсон хосууд үүсэх цогц үндэс. Жишээлбэл, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + хэлбэрийн олон гишүүнт хамаарах x 1 ба x 2 үндэс. . . + a 1 x + a 0 нь нийлмэл коньюгат гэж тооцогддог, тэгвэл бусад язгуурууд нь бодит бөгөөд үүнээс олон гишүүнт P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) хэлбэртэй болохыг олж авна. . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, энд x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Сэтгэгдэл

Олон гишүүнтийн үндсийг давтаж болно. Безоутын теоремийн үр дагавар болох алгебрийн теоремын баталгааг авч үзье.

Алгебрийн үндсэн теорем

Теорем 2

n зэрэгтэй олон гишүүнт дор хаяж нэг үндэстэй байна.

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + хэлбэртэй олон гишүүнт хуваагдсаны дараа. . . + a 1 x + a 0 дээр (x - s), дараа нь бид s цэг дээрх олон гишүүнттэй тэнцүү үлдэгдлийг авна, дараа нь бид авна.

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , энд Q n - 1 (x) нь n - 1 зэрэгтэй олон гишүүнт юм.

Безоутын теоремын үр дүн

P n (x) олон гишүүнт язгуурыг s гэж үзвэл P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + болно. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Энэхүү үр дүн нь шийдлийг тайлбарлахад хангалттай юм.

Квадрат гурвалжны коэффициент

a x 2 + b x + c хэлбэрийн дөрвөлжин гурвалсан тоог шугаман хүчин зүйл болгон задлах боломжтой. тэгвэл бид a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) гэдгийг олж авна, энд x 1 ба x 2 нь үндэс (цогц эсвэл бодит).

Эндээс харахад өргөтгөл нь өөрөө шийдэл хүртэл буурдаг квадрат тэгшитгэлдараа нь.

Жишээ 1

Квадрат гурвалжны хүчин зүйл.

Шийдэл

4 x 2 - 5 x + 1 = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг олох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд та томьёог ашиглан ялгаварлагчийн утгыг олох хэрэгтэй, дараа нь бид D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9-ийг авна. Эндээс бидэнд ийм байна

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Эндээс бид 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 болно.

Шалгалт хийхийн тулд та хаалт нээх хэрэгтэй. Дараа нь бид хэлбэрийн илэрхийлэлийг олж авна:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Шалгасны дараа бид анхны илэрхийлэлд хүрнэ. Энэ нь задралыг зөв хийсэн гэж дүгнэж болно.

Жишээ 2

3 x 2 - 7 x - 11 хэлбэрийн квадрат гурвалжийг хүчин зүйлээр тооц.

Шийдэл

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг тооцоолох шаардлагатай болохыг бид олж мэдэв.

Үндэсийг олохын тулд ялгаварлагчийн утгыг тодорхойлох хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Эндээс бид 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 болно.

Жишээ 3

Олон гишүүнт 2 x 2 + 1-ийг үржүүлээрэй.

Шийдэл

Одоо 2 x 2 + 1 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, язгуурыг нь олох хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 би x 2 = - 1 2 = - 1 2 би

Эдгээр язгууруудыг цогц коньюгат гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь өргөтгөлийг өөрөө 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i гэж дүрсэлж болно гэсэн үг юм.

Жишээ 4

x 2 + 1 3 x + 1 квадрат гурвалжийг задла.

Шийдэл

Эхлээд та x 2 + 1 3 x + 1 = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, үндсийг нь олох хэрэгтэй.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Үндэсийг олж авсны дараа бид бичдэг

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

, дараа нь хосолсон хосууд үүсэх цогц үндэс. Жишээлбэл, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + хэлбэрийн олон гишүүнт хамаарах x 1 ба x 2 үндэс. . . + a 1 x + a 0 нь нийлмэл коньюгат гэж тооцогддог, тэгвэл бусад язгуурууд нь бодит бөгөөд үүнээс олон гишүүнт P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) хэлбэртэй болохыг олж авна. . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, энд x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Хэрэв ялгах утга сөрөг байвал олон гишүүнт хоёр дахь эрэмбийн олон гишүүнт хэвээр үлдэнэ. Үүнээс үзэхэд бид тэдгээрийг шугаман хүчин зүйл болгон өргөжүүлэхгүй.

Хоёроос дээш зэрэгтэй олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах аргууд

Задрах үед бүх нийтийн аргыг хэрэглэдэг. Ихэнх тохиолдлууд нь Безутын теоремын үр дүнд тулгуурладаг. Үүний тулд язгуур х 1-ийн утгыг сонгож, олон гишүүнтийг 1-д хуваах замаар (x - x 1) хуваах замаар түүний зэрэглэлийг багасгах хэрэгтэй. Үүссэн олон гишүүнт үндэс x 2-ыг олох шаардлагатай бөгөөд хайлтын процесс нь бид бүрэн өргөтгөлийг олж авах хүртэл мөчлөгтэй байдаг.

Хэрэв үндэс олдохгүй бол хүчин зүйл ангилах бусад аргыг хэрэглэнэ: бүлэглэх, нэмэлт нэр томъёо. Энэ сэдэв-тэй тэгшитгэлийн шийдлийг дэвшүүлнэ илүү өндөр зэрэгтэйба бүхэл тооны коэффициентүүд.

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж байна

Чөлөөт гишүүн нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд олон гишүүнтийн хэлбэр нь P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + болно. . . + a 1 x.

Ийм олон гишүүнтийн үндэс нь x 1 = 0-тэй тэнцүү байх тул олон гишүүнтийг P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + илэрхийллээр илэрхийлж болно. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Энэ арга нь нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж авдаг гэж үздэг.

Жишээ 5

Гурав дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт 4 x 3 + 8 x 2 - x-ийг үржүүлээрэй.

Шийдэл

Бид x 1 = 0 нь өгөгдсөн олон гишүүнтийн үндэс болохыг харж байгаа бол бүх илэрхийллийн хаалтнаас x-г хасаж болно. Бид авах:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

4 x 2 + 8 x - 1 гурвалсан квадратын язгуурыг олох руу шилжье. Ялгаварлагч ба үндсийг олцгооё:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Дараа нь үүнийг дагадаг

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Эхлэхийн тулд P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + хэлбэрийн бүхэл тоон коэффициентүүдийг агуулсан задралын аргыг авч үзье. . . + a 1 x + a 0, хамгийн дээд зэргийн коэффициент нь 1 байна.

Олон гишүүнт бүхэл язгууртай бол тэдгээрийг чөлөөт гишүүний хуваагч гэж үзнэ.

Жишээ 6

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 илэрхийллийг задла.

Шийдэл

Бүрэн үндэс байгаа эсэхийг авч үзье. 18 гэсэн тооны хуваагчдыг бичих шаардлагатай. Бид ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 гэсэн утгыг авдаг. Үүнээс үзэхэд энэ олон гишүүнт бүхэл язгууртай байна. Та Horner-ийн схемийг ашиглан шалгаж болно. Энэ нь маш тохиромжтой бөгөөд олон гишүүнтийн тэлэлтийн коэффициентийг хурдан олж авах боломжийг танд олгоно.

Үүнээс үзэхэд x = 2 ба x = - 3 нь анхны олон гишүүнтийн үндэс бөгөөд үүнийг дараах хэлбэрийн үржвэрээр илэрхийлж болно.

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Бид x 2 + 2 x + 3 хэлбэрийн квадрат гурвалжны өргөтгөлийг үргэлжлүүлнэ.

Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг байдаг тул энэ нь гэсэн үг юм жинхэнэ үндэсҮгүй

Хариулт: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

, дараа нь хосолсон хосууд үүсэх цогц үндэс. Жишээлбэл, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + хэлбэрийн олон гишүүнт хамаарах x 1 ба x 2 үндэс. . . + a 1 x + a 0 нь нийлмэл коньюгат гэж тооцогддог, тэгвэл бусад язгуурууд нь бодит бөгөөд үүнээс олон гишүүнт P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) хэлбэртэй болохыг олж авна. . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, энд x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Хорнерийн схемийн оронд олон гишүүнт үндэс сонгох, олон гишүүнт хуваах аргыг ашиглахыг зөвшөөрнө. P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + хэлбэрийн бүхэл тоон коэффициент агуулсан олон гишүүнтийн өргөтгөлийг авч үзье. . . + a 1 x + a 0 , хамгийн их нь нэгтэй тэнцүү.

Энэ тохиолдол рационал бутархайн хувьд тохиолддог.

Жишээ 7

f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15-ыг үржүүлээрэй.

Шийдэл

y = 2 x хувьсагчийг солих шаардлагатай тул та хамгийн их хэмжээгээр 1-тэй тэнцүү коэффициент бүхий олон гишүүнт рүү шилжих хэрэгтэй. Та илэрхийллийг 4-ээр үржүүлж эхлэх хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 хэлбэрийн үр дүнд үүссэн функц нь бүхэл язгууртай бол тэдгээрийн байршил нь чөлөөт гишүүний хуваагчдын дунд байна. Оруулга нь дараах байдлаар харагдах болно.

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Үр дүнд нь тэгийг авахын тулд эдгээр цэгүүдэд g (y) функцийг тооцоолоход шилжье. Бид үүнийг ойлгодог

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 г (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 г (2) ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 г (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 г (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 гр (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 гр (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 гр (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 г (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 гр (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

y = - 5 нь y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 хэлбэрийн тэгшитгэлийн язгуур бөгөөд энэ нь x = y 2 = - 5 2 нь анхны функцийн үндэс юм.

Жишээ 8

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15-ыг x + 5 2 баганаар хуваах шаардлагатай.

Шийдэл

Үүнийг бичээд авцгаая:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Хуваагчийг шалгахад маш их цаг хугацаа шаардагдах тул х 2 + 7 x + 3 хэлбэрийн квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх нь илүү ашигтай байдаг. Тэгтэй тэнцүүлэх замаар бид ялгаварлагчийг олно.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Үүнийг дагадаг

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах зохиомол техник

Рационал үндэс нь бүх олон гишүүнтэд байдаггүй. Үүнийг хийхийн тулд та хүчин зүйлсийг олох тусгай аргуудыг ашиглах хэрэгтэй. Гэхдээ бүх олон гишүүнтийг үржүүлж эсвэл үржвэр болгон дүрслэх боломжгүй.

Бүлэглэх арга

Олон гишүүнтийн гишүүдийг бүлэглэж нийтлэг хүчин зүйлийг олж, хаалтанд оруулах тохиолдол байдаг.

Жишээ 9

Олон гишүүнт x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2-г ​​үржүүлээрэй.

Шийдэл

Коэффициентүүд нь бүхэл тоо учраас үндэс нь бүхэл тоо байх магадлалтай. Шалгахын тулд эдгээр цэгүүдэд олон гишүүнтийн утгыг тооцоолохын тулд 1, - 1, 2 ба - 2 утгыг авна уу. Бид үүнийг ойлгодог

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Энэ нь ямар ч үндэс байхгүй гэдгийг харуулж байна өргөтгөл, шийдлийн өөр аргыг ашиглах шаардлагатай;

Бүлэглэх шаардлагатай:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8) x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Анхны олон гишүүнтийг бүлэглэсний дараа та үүнийг хоёр квадрат гурвалсан гишүүний үржвэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид хүчин зүйлд хуваах хэрэгтэй. бид үүнийг ойлгодог

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

, дараа нь хосолсон хосууд үүсэх цогц үндэс. Жишээлбэл, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + хэлбэрийн олон гишүүнт хамаарах x 1 ба x 2 үндэс. . . + a 1 x + a 0 нь нийлмэл коньюгат гэж тооцогддог, тэгвэл бусад язгуурууд нь бодит бөгөөд үүнээс олон гишүүнт P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) хэлбэртэй болохыг олж авна. . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, энд x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Бүлэглэх энгийн байдал нь нэр томъёог сонгоход хангалттай хялбар гэсэн үг биш юм. Тодорхой шийдлийн арга байхгүй тул тусгай теорем, дүрмийг ашиглах шаардлагатай.

Жишээ 10

Олон гишүүнт x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2-г үржүүлээрэй.

Шийдэл

Өгөгдсөн олон гишүүнт бүхэл үндэс байхгүй. Нэр томъёог бүлэглэх ёстой. Бид үүнийг ойлгодог

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Үржүүлгийн дараа бид үүнийг олж авна

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Олон гишүүнт үржүүлэхийн тулд товчилсон томьёо болон Ньютоны биномийг ашиглана

Гаднах төрх нь задралын үед ямар аргыг ашиглахыг үргэлж тодорхой зааж өгдөггүй. Өөрчлөлтийг хийсний дараа та Паскалийн гурвалжингаас бүрдэх шугамыг барьж болно, эс тэгвээс тэдгээрийг Ньютоны бином гэж нэрлэдэг.

Жишээ 11

Олон гишүүнт x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2-г ​​үржүүлээрэй.

Шийдэл

Илэрхийлэлийг хэлбэрт шилжүүлэх шаардлагатай

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Хаалтанд байгаа нийлбэрийн коэффициентүүдийн дарааллыг x + 1 4 илэрхийллээр илэрхийлнэ.

Энэ нь бидэнд x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 гэсэн үг юм.

Квадратуудын зөрүүг хэрэглэсний дараа бид авна

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Хоёр дахь хаалтанд байгаа илэрхийллийг авч үзье. Тэнд баатар байхгүй нь тодорхой тул квадратуудын зөрүүний томъёог дахин ашиглах хэрэгтэй. Бид хэлбэрийн илэрхийлэлийг олж авдаг

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Жишээ 12

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6-г үржүүлээрэй.

Шийдэл

Илэрхийлэлийг хувиргаж эхэлцгээе. Бид үүнийг ойлгодог

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Шоо дөрвөлжингийн зөрүүг товчилсон үржүүлэх томъёог хэрэглэх шаардлагатай. Бид авах:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Олон гишүүнт хүчин зүйл хийх үед хувьсагчийг орлуулах арга

Хувьсагчийг орлуулахдаа зэрэг нь буурч, олон гишүүнт хүчин зүйлээр ялгагдана.

Жишээ 13

x 6 + 5 x 3 + 6 хэлбэрийн олон гишүүнт хүчин зүйлүүдийг тооц.

Шийдэл

Нөхцөлийн дагуу y = x 3 гэж солих шаардлагатай нь тодорхой байна. Бид авах:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Үүссэн квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь у = - 2 ба у = - 3 байвал

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Шоо нийлбэрийг товчилсон үржүүлэх томъёог хэрэглэх шаардлагатай. Бид маягтын илэрхийлэлүүдийг авдаг:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Өөрөөр хэлбэл, бид хүссэн задралыг олж авсан.

Дээр дурдсан тохиолдлууд нь олон гишүүнтийг янз бүрийн аргаар авч үзэх, хүчин зүйлд тооцоход тусална.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Энэ хичээлээр бид квадрат гурвалсан тоог шугаман хүчин зүйл болгон хэрхэн хүчин зүйл болгох талаар сурах болно. Үүнийг хийхийн тулд бид Вьетагийн теорем ба түүний эсрэг зүйлийг санах хэрэгтэй. Энэхүү ур чадвар нь квадрат гурвалжныг шугаман хүчин зүйл болгон хурдан бөгөөд хялбараар өргөжүүлэхээс гадна илэрхийллээс бүрдэх бутархайг багасгах ажлыг хялбаршуулах болно.

Ингээд квадрат тэгшитгэл рүү буцъя, энд .

Зүүн талд байгаа зүйлийг квадрат гурвалжин гэж нэрлэдэг.

Теорем үнэн:Хэрэв квадрат гурвалжны язгуур нь ижил утгатай байна

Тэргүүлэх коэффициент хаана байна, тэгшитгэлийн үндэс байна.

Тиймээс, бид квадрат тэгшитгэлтэй - квадрат гурвалсан бөгөөд квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг квадрат гурвалсан язгуур гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв бид дөрвөлжин гурвалжны үндэстэй бол энэ гурвалжинг шугаман хүчин зүйл болгон задалж болно.

Нотолгоо:

Энэ баримтын нотолгоо нь өмнөх хичээлүүд дээр хэлэлцсэн Виетийн теоремыг ашиглан хийгдсэн болно.

Виетийн теорем бидэнд юу хэлснийг санацгаая.

Хэрэв квадрат гурвалжны язгуур нь аль нь бол .

Энэ теоремоос дараах мэдэгдэл гарна.

Виетийн теоремын дагуу, өөрөөр хэлбэл дээрх утгыг дээрх томъёонд орлуулснаар бид дараах илэрхийллийг олж авна.

Q.E.D.

Хэрэв дөрвөлжин гурвалжны язгуурууд байвал тэлэлт хүчинтэй болно гэсэн теоремыг бид нотолсон гэдгийг санаарай.

Одоо бид Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг сонгосон квадрат тэгшитгэлийн жишээг санацгаая. Энэ баримтаас бид батлагдсан теоремын ачаар дараах тэгш байдлыг олж авч болно.

Одоо зүгээр л хаалт нээх замаар энэ баримтын зөв эсэхийг шалгацгаая.

Бид зөв үржвэрлэсэн болохыг харж байгаа бөгөөд хэрэв үндэстэй бол ямар ч гурвалсан гишүүнийг энэ теоремын дагуу томъёоны дагуу шугаман хүчин зүйл болгон хуваах боломжтой.

Гэхдээ ямар ч тэгшитгэлд ийм хүчин зүйлчлэл хийх боломжтой эсэхийг шалгацгаая.

Жишээлбэл, тэгшитгэлийг ав. Эхлээд ялгах тэмдгийг шалгая

Бидний сурсан теоремыг биелүүлэхийн тулд D нь 0-ээс их байх ёстой тул энэ тохиолдолд бидний сурсан теоремын дагуу хүчин зүйлчлэл хийх боломжгүй гэдгийг бид санаж байна.

Тиймээс бид шинэ теоремыг томъёолдог: хэрэв дөрвөлжин гурвалжин үндэсгүй бол түүнийг шугаман хүчин зүйл болгон задалж болохгүй.

Тиймээс бид Виетийн теорем, квадрат гурвалжийг шугаман хүчин зүйл болгон задлах боломжийг авч үзсэн бөгөөд одоо бид хэд хэдэн асуудлыг шийдэх болно.

Даалгавар №1

Энэ бүлэгт бид асуудлыг тавьсантай урвуу байдлаар шийдэх болно. Бид тэгшитгэлтэй байсан бөгөөд үүнийг хүчин зүйлээр ялгаж үндсийг нь олсон. Энд бид эсрэгээр нь хийх болно. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд байна гэж бодъё

Урвуу асуудал нь: үндсийг нь ашиглан квадрат тэгшитгэл бич.

Энэ асуудлыг шийдэх 2 арга бий.

Тэгшитгэлийн үндэс нь учраас язгуур нь тоо өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл юм. Одоо хаалтуудыг нээж, шалгацгаая:

Аливаа квадрат тэгшитгэл дээд тал нь хоёр язгууртай байдаг тул өгөгдсөн язгууртай квадрат тэгшитгэлийг бүтээсэн анхны арга нь өөр үндэсгүй юм.

Энэ арга нь ашиглах явдал юм эсрэг теоремВьетнам.

Хэрэв тэгшитгэлийн язгуурууд нь бол нөхцөлийг хангана.

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн хувьд , , өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд, ба .

Тиймээс бид өгөгдсөн язгууртай квадрат тэгшитгэлийг үүсгэв.

Даалгавар №2

Энэ нь фракцыг багасгах шаардлагатай.

Бид хуваагчдаа гурвалсан гишүүн, хуваагчдаа гурвалсан гишүүнтэй, гурвалсан тоог үржвэрлэх ч юм уу, үгүй ​​ч юм уу. Хэрэв тоологч ба хуваагч хоёулаа хүчин зүйлээр тооцогдсон бол тэдгээрийн дунд бууруулж болох ижил хүчин зүйлүүд байж болно.

Юуны өмнө та тоологчийг хүчинжүүлэх хэрэгтэй.

Эхлээд та энэ тэгшитгэлийг хүчин зүйлээр ангилж болох эсэхийг шалгах хэрэгтэй, ялгаварлагчийг олъё. , тэмдэг нь бүтээгдэхүүнээс хамаардаг тул (0-ээс бага байх ёстой), энэ жишээнд, i.e. өгөгдсөн тэгшитгэлүндэстэй.

Шийдвэрлэхийн тулд бид Виетийн теоремыг ашигладаг.

Энэ тохиолдолд бид үндэстэй харьцаж байгаа тул үндсийг нь сонгоход маш хэцүү байх болно. Гэхдээ бид коэффициентүүд тэнцвэртэй байгааг харж байна, өөрөөр хэлбэл бид үүнийг гэж үзээд энэ утгыг тэгшитгэлд орлуулбал дараах системийг авна: , өөрөөр хэлбэл 5-5 = 0. Тиймээс бид энэ квадрат тэгшитгэлийн нэг язгуурыг сонгосон.

Бид тэгшитгэлийн системд аль хэдийн мэдэгдэж байсан зүйлийг орлуулах замаар хоёр дахь үндсийг хайх болно, жишээлбэл, , i.e. .

Тиймээс бид квадрат тэгшитгэлийн хоёр язгуурыг олсон бөгөөд тэдгээрийн утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулж хүчин зүйл хийж болно.

Анхны асуудлыг санацгаая, бид бутархайг багасгах хэрэгтэй байсан.

-ийг орлуулах замаар асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе.

Энэ тохиолдолд хуваагч нь 0-тэй тэнцүү байх боломжгүй гэдгийг мартаж болохгүй, өөрөөр хэлбэл , .

Хэрэв эдгээр нөхцөл хангагдсан бол бид анхны бутархайг хэлбэр болгон бууруулсан болно.

Асуудал №3 (параметр бүхий даалгавар)

Параметрийн ямар утгуудад квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр байна

Хэрэв үндэс бол өгөгдсөн тэгшитгэлтэгвэл оршино , асуулт: хэзээ.

Энэ нь дөрвөлжин бөгөөд гурван гишүүн () -ээс бүрдэнэ. Тэгэхээр энэ нь болж байна - дөрвөлжин гурвалжин.

Жишээ Үгүйдөрвөлжин гурвалсан тоо:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - куб квадрат
\(2x+1\) - шугаман бином

Гурвалсан гишүүний квадрат язгуур:

Жишээ:
Гурвалсан гишүүн \(x^2-2x+1\) нь \(1\) үндэстэй, учир нь \(1^2-2 1+1=0\)
Гурвалсан гишүүн \(x^2+2x-3\) нь \(1\) ба \(-3\) үндэстэй, учир нь \(1^2+2-3=0\) ба \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

Жишээ нь:Хэрэв та квадрат гурвалсан гишүүн \(x^2-2x+1\) язгуурыг олох шаардлагатай бол бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж \(x^2-2x+1=0\) тэгшитгэлийг шийднэ.

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Бэлэн. Үндэс нь \(1\).

Квадрат гурвалжны задрал:

\(ax^2+bx+c\) тэгшитгэл нь \(ax^2+bx+c=0\) байвал \(ax^2+bx+c\) дөрвөлжин гурвалжинг \(a(x-x_1)(x-x_2)\) гэж томруулж болно. тэгээс их \ (x_1\) ба \(x_2\) нь ижил тэгшитгэлийн үндэс юм).

Жишээ нь, \(3x^2+13x-10\) гурвалсан тоог авч үзье.
\(3x^2+13x-10=0\) квадрат тэгшитгэл нь 289-тэй тэнцүү (тэгээс их) ялгавартай, \(-5\) ба \(\frac(2)(3)\)-тэй тэнцүү үндэстэй. . Тиймээс \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Энэ мэдэгдлийн зөв эсэхийг шалгахад хялбар байдаг - хэрэв бид , тэгвэл бид анхны гурвалсан тоог авах болно.

Хэрэв \(ax^2+bx+c=0\) тэгшитгэлийн ялгаварлагч нь \(ax^2+bx+c\) гурвалсан квадратыг \(a(x-x_1)^2\) гэж илэрхийлж болно. тэг.

Жишээ нь, \(x^2+6x+9\) гурвалсан тоог авч үзье.
\(x^2+6x+9=0\) квадрат тэгшитгэл нь \(0\)-тай тэнцэх дискриминант, \(-3\)-тэй тэнцүү өвөрмөц язгууртай. Энэ нь \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) гэсэн үг (энд коэффициент нь \(a=1\) тул хаалтны өмнө бичээгүй - шаардлагагүй). -ээр ижил хөрвүүлэлтийг хийж болно гэдгийг анхаарна уу.

\(ax^2+bx+c\) тэгшитгэлийн дискриминант нь тэгээс бага бол \(ax^2+bx+c\) квадрат гурвалсан гишүүнийг үржүүлэхгүй.

Жишээ нь, \(x^2+x+4\) ба \(-5x^2+2x-1\) гурвалсан тоонууд нь тэгээс бага дискриминанттай байна. Тиймээс тэдгээрийг хүчин зүйлээр тооцох боломжгүй юм.

Жишээ . Фактор \(2x^2-11x+12\).
Шийдэл :
\(2x^2-11x+12=0\) квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё.

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Тэгэхээр, \(2x^2-11x+12=2(x-1.5)(x-4)\)
Хариулах : \(2(x-1.5)(x-4)\)

Үр дүнгийн хариултыг өөрөөр бичиж болно: \((2x-3)(x-4)\).

Жишээ . (OGE-аас өгсөн даалгавар)Гурвалсан квадратыг хүчин зүйлээр хуваана \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). \(a\) олох.
Шийдэл:
\(5х^2+33х+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1.6)\)
Хариулах : \(-1,6\)