Профессор Стюартын гайхалтай тоо. Орчин үеийн өндөр технологи Бүх Пифагорын гурвалжин

Бескровный I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

Ажлын зорилго нь a2+b2=c2 хэлбэрийн Пифагорын гурвалсан тоог тооцоолох арга, алгоритмыг боловсруулах явдал юм. Шинжилгээний үйл явц зарчмын дагуу явагдсан системчилсэн хандлага. Математик загваруудын зэрэгцээ Пифагорын гурвалсан гишүүн бүрийг нийлмэл квадрат хэлбэрээр харуулсан график загваруудыг ашигласан бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь нэгж квадратуудын багцаас бүрддэг. Энэ нь Пифагорын гурвалсан хязгааргүй олонлогийг агуулдаг болохыг тогтоосон хязгааргүй тоо b–c утгын зөрүүгээр ялгагдах дэд олонлогууд. Энэ зөрүүг урьдчилан тодорхойлсон ямар ч утга бүхий Пифагорын гурвалсан хэлбэрийг бий болгох алгоритмыг санал болгож байна. Ямар ч 3≤a утгын хувьд Пифагорын гурвалсан байдаг болохыг харуулсан

Пифагорын гурав дахин

системийн шинжилгээ

математик загвар

график загвар

1. Аносов Д.Н. Математик болон түүнээс ямар нэг зүйлийг харах. – М.: МЦНМО, 2003. – 24 х.: өвчтэй.

2. Eierland K., Rosen M. Орчин үеийн тооны онолын сонгодог танилцуулга. - М.: Мир, 1987.

3. Бескровный I.M. Системийн шинжилгээ ба мэдээллийн технологибайгууллагуудад: Заавар. – М.: РУДН, 2012. – 392 х.

4. Саймон Сингх. Их теоремФерм.

5. Фермат П. Тооны онол ба диофантийн шинжилгээний судалгаа. - М.: Наука, 1992.

6. Яптро. Ucoz, эндээс авах боломжтой: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Пифагорын гурвалсан тоонууд нь Пифагорын x2 + y2 = z2 харьцааг хангадаг гурван бүхэл тооны когорт юм. Ерөнхийдөө энэ нь диофантийн тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол, тухайлбал үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тооноос их байдаг тэгшитгэлийн систем юм. Тэд Вавилоны эрин үеэс, өөрөөр хэлбэл Пифагороос эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан. Пифагор тэдний үндсэн дээр алдартай теоремоо нотолсоны дараа тэд нэрээ авсан. Гэсэн хэдий ч Пифагорын гурвалсан хүүхдийн асуудлыг аль нэг хэмжээгээр хөндсөн олон тооны эх сурвалжийн дүн шинжилгээнээс үзэхэд эдгээр гурвалсан хүүхдүүдийн одоо байгаа ангиуд, тэдгээрийн үүсэх боломжит арга замуудын талаархи асуулт хараахан бүрэн тайлагдаагүй байна.

Тиймээс Саймон Сингхийн номонд: - "Пифагорын шавь нар ба дагалдагчид ... Пифагорын гурван түлхүүр гэгдэх нууцыг дэлхийд хэлсэн" гэж бичсэн байдаг. Гэсэн хэдий ч бид үүнийг уншина: - "Пифагорчууд өөр Пифагор гурвалсан гурвалсан, гурав дахь том дөрвөлжин нугалж болох өөр квадратуудыг олохыг мөрөөддөг байв. ...Тоо олшрох тусам Пифагорын гурван ихэр ховор болж, олоход хэцүү болж байна. Пифагорчууд ийм гурван ихрийг олох аргыг зохион бүтээсэн бөгөөд үүнийг ашиглан Пифагорын гурван ихэр хязгааргүй олон байдгийг баталжээ."

Дээрх ишлэлд төөрөгдөл үүсгэж буй үгсийг онцлон тэмдэглэв. Яагаад "Пифагорчууд ийм гурван ихрийг олох аргыг зохион бүтээсэн бол ... олохыг мөрөөддөг байсан" гэж юу вэ, яагаад их тоо"Тэднийг олох нь улам хэцүү болж байна ..."

Ажиллаж байна алдартай математикчД.В. Аносов, шаардлагатай хариултыг өгсөн бололтой. - “Х, y, z натурал (өөрөөр хэлбэл эерэг бүхэл тоонууд) гурвалсан тоонууд байдаг.

x2 + y2 = z2. (1)

… x2+y2=z2 тэгшитгэлийн бүх шийдийг натурал тоогоор олох боломжтой юу? …Тиймээ. Хариулт нь: ийм шийдэл бүрийг хэлбэрээр илэрхийлж болно

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

хаана l, m, n - натурал тоонууд, m>n-тэй эсвэл үүнтэй төстэй хэлбэрээр, x ба y-г сольж байна. Бүх боломжит натурал l ба m > n нь (2)-ын x, y, z нь (1) -ийн x ба y-ийн сэлгэлт хүртэлх бүх боломжит шийдлүүд гэдгийг бид арай товчхон хэлж болно. Жишээлбэл, гурвалсан (3, 4, 5) -ийг l=1, m=2, n=1 гэж авна. ... Вавилончууд энэ хариултыг мэддэг байсан бололтой, гэхдээ тэд хэрхэн яаж ирсэн нь тодорхойгүй байна.”

Ерөнхийдөө математикчид томъёололынхоо нарийн ширийн талаар маш хатуу байдаг. Гэхдээ энэ ишлэлд тийм ноцтой байдал байхгүй. Тэгэхээр яг юу вэ: олох уу эсвэл төсөөлөх үү? Эдгээр нь огт өөр зүйл болох нь ойлгомжтой. Доорх нь "шинэхэн шатаасан" гурвалсан (доор тайлбарласан аргаар олж авсан) мөр юм.

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Эдгээр гурвалсан бүрийг (2) хамаарлын хэлбэрээр илэрхийлж, дараа нь l, m, n утгуудыг тооцоолж болно гэдэгт эргэлзэхгүй байна. Гэхдээ энэ нь гурвалсан бүх утгыг олсны дараа юм. Үүнээс өмнө юу хийх вэ?

Эдгээр асуултын хариулт эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсныг үгүйсгэх аргагүй юм. Гэвч зарим нэг шалтгааны улмаас тэд хараахан олдоогүй байна. Тиймээс энэхүү ажлын зорилго нь Пифагорын гурвалсан жишээнүүдийн багцад системчилсэн дүн шинжилгээ хийх, гурвалсан янз бүрийн бүлгүүдийн систем үүсгэгч харилцааг хайх, эдгээр бүлгүүдийн онцлог шинж чанарыг тодорхойлох, дараа нь тэдгээрийг хөгжүүлэх явдал юм. энгийн үр дүнтэй алгоритмуудурьдчилан тодорхойлсон тохиргоотой гурвалсан тоог тооцоолох. Тохиргоогоор бид гурвалсанд багтсан хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг ойлгодог.

Багаж хэрэгсэл болгон математикийн аппаратыг тус сургуульд заадаг математикийн хамрах хүрээнээс хэтрэхгүй түвшинд ашиглана. ахлах сургууль-д заасан аргууд дээр үндэслэн системийн шинжилгээ хийх.

Загварын барилга

Системийн шинжилгээний үүднээс авч үзвэл аливаа Пифагорын гурвалсан систем нь гурван тоо ба тэдгээрийн шинж чанаруудаас бүрддэг объектууд юм. Объектуудыг тодорхой харилцаанд байрлуулж, бие даасан объектууд эсвэл тэдгээрийн бусад багцад хамаарахгүй шинэ шинж чанартай системийг бүрдүүлдэг тэдгээрийн нэгдэл.

(1) тэгшитгэлд системийн объектууд нь энгийн алгебрийн харилцаагаар холбогдсон натурал тоонууд юм: тэгш байдлын тэмдгийн зүүн талд хоёр тооны нийлбэр нь 2-ын зэрэглэлд хүрсэн, баруун талд гурав дахь тоо, мөн өссөн байна. 2-ын хүч рүү. Хувь хүний ​​тоо, тэгш байдлын зүүн талд, 2-ын зэрэглэлд аваачиж, тэдгээрийн нийлбэрийн үйл ажиллагаанд ямар нэгэн хязгаарлалт тавьдаггүй - үр дүнд нь нийлбэр нь юу ч байж болно. Гэхдээ нийлбэрийн үйлдлийн дараа тавьсан тэнцүү тэмдэг нь энэ нийлбэрийн утгад системчилсэн хязгаарлалт тавьдаг: нийлбэр нь квадрат язгуурыг задлах үйлдлийн үр дүн нь натурал тоо байх тийм тоо байх ёстой. Гэхдээ тэгш байдлын зүүн талд орлуулсан тоонуудын хувьд энэ нөхцөл хангагдахгүй. Ийнхүү тэгшитгэлийн хоёр гишүүн ба гурав дахь гишүүний хооронд тэгш тэмдэг тавьсан нь гурван гишүүнийг систем болгон хувиргадаг. Энэхүү системийн шинэ онцлог нь анхны тоонуудын утгыг хязгаарлах явдал юм.

Тэмдэглэгээний хэлбэрт үндэслэн Пифагорын гурвалсан нь нийлбэр ба тэгш байдлын харьцаагаар холбогдсон гурван квадратаас бүрдэх геометрийн системийн математик загвар гэж үзэж болно. 1. Зураг. 1 нь авч үзэж буй системийн график загвар бөгөөд түүний аман загвар нь дараахь мэдэгдэл юм.

Хажуугийн урт c бүхий квадратын талбайг үлдэгдэлгүйгээр a ба b хажуугийн урттай хоёр квадрат болгон хувааж болох бөгөөд тэдгээрийн талбайн нийлбэр нь анхны дөрвөлжингийн талбайтай, өөрөөр хэлбэл бүх талбайтай тэнцүү байна. a, b, c гэсэн гурван хэмжигдэхүүн нь хамаарлаар холбогдоно

Квадрат задралын график загвар

Системийн шинжилгээний хуулиудын хүрээнд хэрэв математик загвар нь тодорхой геометрийн системийн шинж чанарыг хангалттай тусгадаг бол энэ системийн шинж чанарын дүн шинжилгээ нь түүний математик загварын шинж чанарыг тодруулах боломжийг олгодог. тэдгээрийг илүү гүнзгий ойлгож, тодруулж, шаардлагатай бол сайжруулах. Энэ бол бидний дагаж мөрдөх зам юм.

Системийн шинжилгээний зарчмуудын дагуу нэмэх, хасах үйлдлийг зөвхөн нийлмэл объектууд, өөрөөр хэлбэл энгийн объектуудын багцаас бүрдэх объектууд дээр гүйцэтгэх боломжтой гэдгийг тодруулцгаая. Тиймээс бид ямар ч квадратыг энгийн буюу нэгж квадратуудын цуглуулгаас бүрдсэн дүрс гэж үзэх болно. Тэгвэл натурал тоогоор шийдийг олж авах нөхцөл нь нэгж квадрат хуваагдахгүй байх нөхцөлийг хүлээн зөвшөөрсөнтэй тэнцэнэ.

Тал бүрийн урт нь нэгтэй тэнцүү квадратыг нэгж квадрат гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, нэгж квадратын талбайг дараах илэрхийллээр тодорхойлно.

Квадратын тоон параметр нь тухайн талбайд байрлуулж болох нэгж квадратуудын тоогоор тодорхойлогддог талбай юм. Дурын утга бүхий дөрвөлжингийн хувьд x2 илэрхийлэл нь x урттай хэсгүүдээс үүссэн квадратын талбайг тодорхойлно. ганц сегментүүд. Энэ квадратын талбай нь x2 нэгж квадратыг багтааж болно.

Дээрх тодорхойлолтууд нь өчүүхэн бөгөөд ойлгомжтой мэт санагдаж болох ч тийм биш юм. Д.Н. Аносов талбайн тухай ойлголтыг өөрөөр тодорхойлсон: - "... зургийн талбай нь түүний хэсгүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. Бид яагаад ийм байгаа гэдэгт итгэлтэй байна вэ? ...Бид ямар нэгэн нэгэн төрлийн материалаар хийсэн дүрсийг төсөөлөөд үзээд талбай нь агуулагдах бодисын хэмжээ буюу масстай пропорциональ байна. Үүнээс гадна бид биеийг хэд хэдэн хэсэгт хуваахад тэдгээрийн массын нийлбэр нь анхны биеийн масстай тэнцүү байна гэсэн үг юм. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь бүх зүйл атом, молекулуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн тоо өөрчлөгдөөгүй тул нийт масс нь ч өөрчлөгдөөгүй ... Эцсийн эцэст, нэг төрлийн материалын масс нь түүний эзэлхүүнтэй пропорциональ байна; Энэ нь өгөгдсөн дүрс хэлбэртэй "хуудас" -ын эзэлхүүн нь түүний талбайтай пропорциональ гэдгийг мэдэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Нэг үгээр хэлбэл, ... зургийн талбай нь түүний хэсгүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг геометрээр батлах ёстой. ...Киселевийн сурах бичигт бидний одоо хэлэлцэж байгаа өмчтэй газар нутаг байгаа нь нэг төрлийн таамаглал гэж шударгаар дэвшүүлсэн бөгөөд энэ нь үнэндээ үнэн байсан гэж хэлсэн боловч бид үүнийг батлахгүй. Тиймээс Пифагорын теоремыг талбайнуудаар нотлох юм бол цэвэр логик утгаараа бүрэн батлагдаагүй хэвээр үлдэнэ."

Дээр дурдсан нэгж квадратын тодорхойлолтууд нь заасан D.N-ийг хассан мэт санагдаж байна. Аносовын тодорхойгүй байдал. Эцсийн эцэст, хэрэв дөрвөлжин ба тэгш өнцөгтийн талбайг тэдгээрийг дүүргэх нэгжийн квадратуудын нийлбэрээр тодорхойлдог бол тэгш өнцөгтийг бие биетэйгээ зэргэлдээх дурын хэсгүүдэд хуваах үед тэгш өнцөгтийн талбай нь байгалийн байна. түүний бүх хэсгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү.

Нэмж дурдахад, танилцуулсан тодорхойлолтууд нь хийсвэр геометрийн дүрстэй холбоотой "хуваах", "нэмэх" гэсэн ойлголтыг ашиглах тодорхой бус байдлыг арилгадаг. Үнэхээр тэгш өнцөгт юмуу өөр зүйл хуваах нь юу гэсэн үг вэ хавтгай дүрсхэсэгчлэн? Хэрэв энэ нь цаасан хуудас бол хайчаар хайчилж болно. Хэрвээ газар бол хашаа тат. Өрөө - хуваалт тавих. Хэрэв энэ нь зурсан дөрвөлжин бол яах вэ? Хуваах шугам зурж, квадрат хуваагдсан гэж мэдэгдэнэ үү? Гэхдээ эцэст нь Д.И. Менделеев: “...Бүхнийг тунхаглаж болно, харин чи очоод жагсаа!

Санал болгож буй тодорхойлолтыг ашиглахдаа "Зураг хуваах" гэдэг нь энэ зургийг дүүргэх нэгж квадратуудын тоог хоёр (эсвэл түүнээс дээш) хэсэгт хуваахыг хэлнэ. Эдгээр хэсэг тус бүрийн нэгж квадратуудын тоо нь түүний талбайг тодорхойлно. Эдгээр хэсгүүдэд ямар ч тохиргоог өгч болно, гэхдээ тэдгээрийн талбайн нийлбэр нь үргэлж анхны зургийн талбайтай тэнцүү байх болно. Математикчид эдгээр аргументыг буруу гэж үзэж магадгүй, тэгвэл бид тэдгээрийг таамаглал болгон хүлээн зөвшөөрөх болно. Хэрэв Киселевын сурах бичигт ийм таамаглалыг хүлээн зөвшөөрвөл үүнтэй төстэй арга хэрэглэхгүй байх нь бидний хувьд ичмээр юм.

Системийн шинжилгээний эхний үе шат бол асуудлын нөхцөл байдлыг тодорхойлох явдал юм. Энэ үе шатны эхэнд хэдэн зуун Пифагор гурвалсан олддог янз бүрийн эх сурвалж. Үүний зэрэгцээ, хэвлэлд дурдсан Пифагорын гурвалсан бүхэл бүтэн багцыг тохиргоондоо ялгаатай хэд хэдэн бүлэгт хувааж болох нь анхаарал татав. Тодорхой тохиргооны шинж тэмдэг болгон бид анхны болон хасагдсан квадратуудын талуудын уртын зөрүүг авч үзэх болно, өөрөөр хэлбэл, c-b утга. Жишээлбэл, хэвлэлд c-b=1 нөхцөлийг хангасан гурвалсан хүүхдүүдийг жишээ болгон харуулдаг. Ийм Пифагорын гурвалсан бүх цуглуулга нь "Ангилал c-1" гэж нэрлэгдэх олонлогийг бүрдүүлдэг гэж бодъё, бид энэ ангийн шинж чанарыг шинжлэх болно.

Зурагт үзүүлсэн гурван квадратыг авч үзье, үүнд c нь багасгаж буй квадратын хажуугийн урт, b нь хасагдсан квадратын хажуугийн урт, а нь тэдгээрийн ялгаанаас үүссэн квадратын хажуугийн урт юм. Зураг дээр. 1-ээс харахад хасагдсан квадратын талбайг багасгасан квадратын талбайгаас хасах үед үлдсэн хэсэг нь нэгж квадратын хоёр тууз хэвээр үлдэнэ.

Энэ үлдэгдэлээс квадрат үүсэхийн тулд нөхцөлийг хангасан байх ёстой

Эдгээр харилцаа нь нэг өгөгдсөн c тоог ашиглан гурвалсан бүх гишүүдийн утгыг тодорхойлох боломжийг олгодог. (6) харьцааг хангадаг хамгийн бага c тоо нь c = 5. Тэгэхээр бүхний урт гурван тал(1) харьцааг хангасан квадратууд. Дундаж квадратын талын утгыг b гэдгийг санаарай

Бид анхны дөрвөлжингийн талыг нэгээр багасгаж дунд дөрвөлжин үүсгэхээр шийдсэн үед сонгосон. Дараа нь (5), (6) харилцаанаас. (7) бид дараах харьцааг олж авна.

Үүнээс үзэхэд c = 5 сонгосон утга нь b = 4, a = 3 утгуудыг өвөрмөц байдлаар тогтоодог.

Үүний үр дүнд "c - 1" ангиллын аль ч Пифагорын гурвалсан утгыг бүх гурван нэр томъёоны утгыг заасан нэг параметрээр - c-ийн утгаар тодорхойлдог хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг бидэнд олгодог харилцааг олж авав.

Дээрх жишээн дэх 5-ын тоо нь натурал тоон дээрх тэгшитгэл (6)-ийн шийдэлтэй c-ийн бүх боломжит утгуудын хамгийн бага нь байсан гэдгийг нэмж хэлье. Ижил шинж чанартай дараагийн тоо нь 13, дараа нь 25, дараа нь 41, 61, 85 гэх мэт. Энэ цуврал тоонуудад хөрш тоонуудын хоорондын зай маш хурдан нэмэгдэж байгааг харж болно. Жишээлбэл, хүчинтэй утгын дараа дараагийн хүчинтэй утга нь , дараа нь дараагийн хүчинтэй утга нь , өөрөөр хэлбэл хүчинтэй утга нь өмнөхөөсөө тавин саяас илүү зайтай байна!

Номонд энэ хэллэг хаанаас ирсэн нь тодорхой болсон: - "Тоо нэмэгдэх тусам Пифагорын гурвалсан хүүхдүүд бага ба ховор тохиолддог бөгөөд тэдгээрийг олоход улам бүр хэцүү болж байна ...". Гэсэн хэдий ч энэ мэдэгдэл үнэн биш юм. Зөвхөн c-ийн хөрш зэргэлдээх утгуудын дээрх хосуудад тохирох Пифагор гурвыг харах хэрэгтэй бөгөөд нэг онцлог шинж чанар нь нэн даруй анхаарлыг татдаг - хоёр хосын хувьд c-ийн утгууд нь ийм том интервалаар тусгаарлагдсан байдаг. эргэх утгууд нь хөрш сондгой тоонууд болно. Үнэхээр эхний хосын хувьд бидэнд байна

мөн хоёр дахь хосын хувьд

Тиймээс гурвалсан хүүхдүүд өөрсдөө "бага, түгээмэл болж" байгаа нь биш, харин c-ийн зэргэлдээх утгуудын хоорондын зай нэмэгдэж байна. Доор үзүүлсэн шиг Пифагорын гурвалсан биетүүд аль ч натурал тооны хувьд байдаг.

Одоо дараагийн ангийн гурван ихэр болох "С-2" ангиудыг харцгаая. Зураг дээрээс харж болно. 1, c талтай квадратаас талтай квадратыг (c - 2) хасах үед хоёр нэгж судлын нийлбэр хэлбэрээр үлдэгдэл үүсдэг. Энэ дүнгийн утгыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

(10) тэгшитгэлээс бид "c-2" ангиллын гурвалсан хязгааргүй багцын аль нэгийг тодорхойлох харилцааг олж авна.

(11) тэгшитгэлийн шийдэл натурал тоонд байх нөхцөл нь а нь натурал тоо болох c-ийн дурын утга юм. Шийдэл байгаа c-ийн хамгийн бага утга нь c = 5. Дараа нь энэ гурвалсан ангиллын "эхлэх" гурвалсан нь a = 4, b = 3, c = 5 олонлогоор тодорхойлогддог. Өөрөөр хэлбэл, сонгодог Гурвалсан 3, 4, 5 үүссэн, зөвхөн одоо хасагдсан квадратын талбай нь үлдсэн хэсгийн талбайгаас бага байна.

Эцэст нь бид "s-8" ангийн гурвалсан хүүхдүүдэд дүн шинжилгээ хийх болно. Гурвалсан энэ ангиллын хувьд квадратын талбайг анхны дөрвөлжингийн c2 талбайгаас хасахдаа бид дараахь зүйлийг олж авна.

Дараа нь (12) тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.

Шийдэл байгаа c-ийн хамгийн бага утга нь c = 13 байна. Энэ утга дахь Пифагорын гурвалсан нь 12, 5, 13 хэлбэрийг авна. Энэ тохиолдолд дахин хасагдсан квадратын талбай нь ​-ийн талбайгаас бага байна. үлдэгдэл. Тэмдэглэгээг дахин цэгцэлснээр бид "c - 1" ангилалд багтдаг гурвалсан 5, 12, 13-ыг авдаг. Бусад боломжит тохиргоонуудын цаашдын дүн шинжилгээ нь цоо шинэ зүйлийг илрүүлэхгүй байх шиг байна.

Тооцоолсон харьцааны гаралт

Өмнөх хэсэгт шинжилгээний логикийг системийн шинжилгээний шаардлагын дагуу түүний таван үндсэн үе шатын дөрөвт нь боловсруулсан: асуудлын нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх, зорилгоо бүрдүүлэх, чиг үүргийг бүрдүүлэх, бүтцийг бий болгох. Одоо эцсийн, тав дахь шат руу шилжих цаг болжээ - ТЭЗҮ-ийг шалгах, өөрөөр хэлбэл зорилгодоо хэр хүрсэн эсэхийг шалгах. .

Хүснэгтийг доор үзүүлэв. "c - 1" ангилалд хамаарах Пифагорын гурвалсан утгыг харуулсан 1. Ихэнх гурвыг янз бүрийн хэвлэлд олдог боловч 999, 1001-тэй тэнцэх утгыг гурав дахин олдоггүй.

Хүснэгт 1

"c-1" зэрэглэлийн Пифагорын гурвалсан

Бүх гурвалсанууд (3) хамаарлыг хангаж байгааг баталж болно. Ийнхүү өмнөө тавьсан зорилтуудын нэг нь биеллээ. Өмнөх хэсэгт олж авсан (9), (11), (13) харьцаанууд нь нэг параметр c - багасгаж буй квадратын талыг зааж өгснөөр хязгааргүй гурвалсан багц үүсгэх боломжтой болгодог. Энэ нь мэдээжийн хэрэг (2) харьцаанаас илүү бүтээмжтэй хувилбар бөгөөд аль нэг нь ямар нэгэн утгатай l, m, n гэсэн гурван тоог дур мэдэн зааж өгөөд, эцэст нь Пифагор гэдгийг мэдэж байж шийдлийг хайх хэрэгтэй. гурвалсан байх нь гарцаагүй бөгөөд аль нь урьдаас тодорхойгүй байна. Манай тохиолдолд үүсэж буй гурвалсан тохиргоог урьдчилан мэддэг бөгөөд зөвхөн нэг параметрийг зааж өгөх шаардлагатай. Гэвч харамсалтай нь энэ параметрийн утга бүрийн шийдэл байдаггүй. Мөн та түүний зөвшөөрөгдөх утгыг урьдчилан мэдэх хэрэгтэй. Тиймээс олж авсан үр дүн нь сайн, гэхдээ хамгийн тохиромжтой зүйлээс хол байна. Дурын өгөгдсөн натурал тоогоор Пифагорын гурвалсан тоог тооцоолж болохуйц шийдлийг олж авах нь зүйтэй юм. Энэ зорилгоор бид дөрөв дэх үе шат руу буцаж очих болно - олж авсан математик харилцааны бүтцийг бий болгох.

Гурвалсан хэсгийн үлдсэн гишүүдийг тодорхойлох үндсэн параметр болох c-г сонгох нь тохиромжгүй болсон тул өөр хувилбарыг туршиж үзэх хэрэгтэй. Хүснэгтээс харж болно. 1-д энэ параметрийн утгууд нь сондгой натурал тоонуудын цувралд дараалсан байдаг тул a параметрийг суурь болгон сонгох нь зүйтэй юм. Энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид харилцааг (9) илүү бүтээлч хэлбэрт оруулдаг.

Харилцаа (14) нь a-ийн өгөгдсөн сондгой утгын хувьд Пифагорын гурвалсан тоог олох боломжийг бидэнд олгодог. Түүнчлэн b-ийн илэрхийллийн энгийн байдал нь тооцоолуургүйгээр ч тооцоолох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, 13-ын тоог сонгосноор бид дараахь зүйлийг олж авна.

Мөн 99 дугаарын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

Харилцаа (15) нь n=1-ээс эхлэн өгөгдсөн n-ийн хувьд Пифагорын мөрийн бүх гурван гишүүний утгыг олж авах боломжийг олгодог.

Одоо "c - 2" ангийн Пифагорын гурвалсан хэсгүүдийг авч үзье. Хүснэгтэнд 2-т жишээ болгон ийм арван гурвыг харуулав. Түүгээр ч барахгүй, мэдэгдэж буй хэвлэлд зөвхөн гурван хос гурвалсан хүүхэд олдсон - 8, 15, 23; 12, 35, 36; ба 16, 63, 65. Энэ нь тэдгээрийн үүссэн хэв маягийг тодорхойлоход хангалттай байсан. Үлдсэн долоо нь өмнө нь үүссэн харилцаанаас олдсон (11). Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс эдгээр харьцааг бүх параметрүүдийг a утгаар илэрхийлэхийн тулд өөрчилсөн. (11)-ээс харахад "c - 2" ангиллын бүх гурвалсан хүүхдүүд дараахь харьцааг хангаж байна.

Хүснэгт 2

Пифагорын гурвалсан "c-2"

Хүснэгтээс харж болно. 2, "c - 2" ангиллын хязгааргүй гурвалсан багцыг хоёр дэд ангилалд хувааж болно. a утга нь үлдэгдэлгүйгээр 4-т хуваагддаг гурвалсан хүмүүсийн хувьд b ба c утгууд сондгой байна. GCD = 1 байх ийм гурвалуудыг команд гэж нэрлэдэг. a утгууд нь бүхэл тоонд 4-т хуваагддаггүй гурвалсан тоонуудын хувьд a, b, c гурвалсан гурван гишүүн бүгд тэгш байна.

Одоо тодорхойлсон ангиудын гурав дахь нь "c - 8" ангиллын шинжилгээний үр дүнг авч үзье. (13)-аас авсан энэ ангийн тооцоолсон хамаарал нь дараах хэлбэртэй байна.

Харилцаа (20), (21) нь үндсэндээ ижил байна. Цорын ганц ялгаа нь үйлдлийн дарааллыг сонгох явдал юм. Эсвэл (20) дагуу a-ийн хүссэн утгыг сонгоно (энэ тохиолдолд энэ утгыг 4-т хуваах шаардлагатай), дараа нь b ба c утгуудыг тодорхойлно. Эсвэл дурын тоог сонгоод дараа нь (21) харьцаанаас Пифагорын гурвалсан гурван гишүүнийг тодорхойлно. Хүснэгтэнд Зураг 3-т ийм аргаар тооцоолсон хэд хэдэн Пифагорын гурвыг харуулав. Гэсэн хэдий ч Пифагорын гурвалсан утгыг тооцоолох нь бүр ч хялбар байж болно. Хэрэв дор хаяж нэг утгыг мэддэг бол дараагийн бүх утгыг дараах хамаарлаар маш энгийнээр тодорхойлно.

Хүснэгт 3

(22) хамаарлын үнэн зөвийг хүснэгтээс гурвалсан тоог ашиглан шалгаж болно. 2, бусад эх сурвалжийн дагуу. Жишээлбэл, хүснэгтэд үзүүлэв. Налуу үсгээр бичсэн 4 нь Пифагорын гурвалсан (10,000 гурвалсан) дэлгэрэнгүй хүснэгтээс авсан гурвалсан тоо юм. компьютерийн програмхамаарлаар (2) ба тодоор - (20) хамаарлаар тооцсон гурвалсан. Эдгээр утгууд нь заасан хүснэгтэд байхгүй байсан.

Хүснэгт 4

"c-8" ангийн Пифагорын гурвалсан хүүхдүүд

Үүний дагуу гурвалсан хэлбэрийн хувьд дараахь харилцааг ашиглаж болно.

Мөн гурван ихэр хүүхдэд зориулсан<>, бид дараах харьцаатай байна:

Дээр дурдсан "c - 1", "c - 2", "c - 8" гурвалсан ангиуд нь өгөгдсөн хүснэгтээс эхний мянган гурвын 90 гаруй хувийг эзэлдэг гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь эдгээр ангиудыг үндсэн гэж үзэх үндэслэл болж байна. (22), (23), (24) харилцааг гаргахдаа бид тооны онолд судлагдсан тооны тусгай шинж чанарыг (анхны, хоёрдогч тоо гэх мэт) ашиглаагүй гэдгийг нэмж хэлье. Пифагорын гурвалсан үүсэх илэрсэн хэв маягийг зөвхөн эдгээр гурвалсан гурвалсан геометрийн дүрсүүдийн системийн шинж чанараар тодорхойлдог - нэгж квадратуудын багцаас бүрдсэн квадратууд.

Дүгнэлт

Эндрю Уайлс 1993 онд хэлэхдээ: "Би энд зогсох ёстой гэж бодож байна." Зорилго бүрэн биеллээ. Математик загваруудын шинж чанарын шинжилгээ нь бүтэцтэй холбоотой болохыг харуулж байна геометрийн хэлбэрүүд, хэрэв шинжилгээний явцад цэвэр математикийн тооцооллыг хийвэл мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан болно. геометрийн шинж чанаруудзагваруудыг судалж байна. Ялангуяа судлаач математикийн хувиргалт хийхгүйгээр хүссэн үр дүнгээ "хардаг" тул хялбаршуулсан.

Жишээлбэл, тэгш байдал

зүүн талд ямар ч өөрчлөлтгүйгээр тодорхой болно, та зүгээр л Зураг руу харах хэрэгтэй. Энэ тэгш байдлын график загварыг харуулсан 1.

Үүний үр дүнд дүн шинжилгээнд үндэслэн аль ч талтай квадратын хувьд b ба c талтай квадратуудыг олж, тэгш байдлыг хангаж, хамгийн бага тооцооллын үр дүнд хүрэх харьцааг олж авах боломжтой болохыг харуулж байна.

a-ийн сондгой утгуудын хувьд,

ба - тэгш утгын хувьд.

Ном зүйн холбоос

Бескровный I.M. Пифагорын гурвалсан шинж чанаруудын СИСТЕМИЙН ШИНЖИЛГЭЭ // Орчин үеийн өндөр технологи. – 2013. – No 11. – С. 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (хандалтын огноо: 2020-03-20). "Байгалийн Шинжлэх Ухааны Академи" хэвлэлийн газраас эрхлэн гаргадаг сэтгүүлүүдийг та бүхэнд хүргэж байна. Боловсролын: Пифагорын хэд хэдэн гурвыг судалж, тэдгээрийг ашиглах алгоритмыг боловсруул өөр өөр нөхцөл байдал, тэдгээрийн ашиглалтын талаар сануулагч үүсгэх.

Боловсролын: суралцах ухамсартай хандлагыг төлөвшүүлэх, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх, боловсролын ажлын соёл.

Хөгжлийн: геометрийн, алгебрийн болон тоон зөн совин, оюун ухаан, ажиглалт, санах ойг хөгжүүлэх.

Хичээлийн явц

I. Зохион байгуулалтын мөч

II. Шинэ материалын тайлбар

Багш: Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийн дур булаам хүчний нууц нь хүн төрөлхтний санааг зовоож ирсэн. Пифагорын гурвалсан хосуудын өвөрмөц шинж чанаруудыг тайлбарлаж байна онцгой үүрэгбайгаль, хөгжим, математикт. Пифагорын шившлэг, Пифагорын теорем нь олон сая хүний ​​тархинд, эсвэл хэдэн тэрбум хүний ​​тархинд үлджээ. Энэ бол сургуулийн сурагч бүр цээжлэхээс өөр аргагүй болсон үндсэн теорем юм. Хэдийгээр Пифагорын теоремыг арван жилийн хүүхдүүд ойлгох боломжтой ч математикийн түүхэн дэх хамгийн агуу оюун ухаантнууд Фермагийн теоремыг шийдэж чадаагүй асуудлын урам зоригтой эхлэл юм. Самос арлын Пифагор (үзнэ үү. Хавсралт 1 , слайд 4) математикийн хамгийн нөлөө бүхий боловч нууцлаг хүмүүсийн нэг байсан. Түүний амьдрал, уран бүтээлийн талаар ямар ч найдвартай мэдээлэл хадгалагдаагүй тул түүний амьдрал домог, домогт бүрхэгдсэн бөгөөд түүхчдэд баримтыг уран зохиолоос салгахад хэцүү байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч Пифагор тооны логикийн санааг хөгжүүлсэн бөгөөд бид математикийн анхны алтан үеийг түүнд өртэй гэдэгт эргэлзэх зүйл алга. Түүний суут ухааны ачаар тоо зөвхөн тоолох, тооцоолоход ашиглагдахаа больж, анх удаа үнэлэгдсэн. Пифагор тодорхой ангиллын тоонуудын шинж чанар, тэдгээрийн хоорондын хамаарал, тоог бүрдүүлдэг дүрсүүдийг судалжээ. Пифагор тоо нь материаллаг ертөнцөөс үл хамааран оршдог тул бидний мэдрэхүйн алдаа тоонуудын судалгаанд нөлөөлдөггүй гэдгийг ойлгосон. Энэ нь Пифагор хэн нэгний үзэл бодол, өрөөсгөл үзлээс үл хамааран үнэнийг олж мэдэх чадварыг олж авсан гэсэн үг юм. Үнэн бол өмнөх мэдлэгээс илүү үнэмлэхүй. Пифагорын гурвалсан байдлын талаар судалсан уран зохиолд үндэслэн бид тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд Пифагорын гурвалсан тоог ашиглах боломжийг сонирхох болно. Тиймээс бид Пифагорын хэд хэдэн гурвалсан гурвыг судалж, ашиглах алгоритмыг боловсруулж, тэдгээрийн ашиглалтын тухай санамж бичгийг эмхэтгэж, янз бүрийн нөхцөл байдалд ашиглах талаар судалгаа хийх болно.

Гурвалжин ( слайд 14), талууд нь тэнцүү байна Пифагорын тоо, тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. Түүнээс гадна аливаа ийм гурвалжин нь герониан, i.e. бүх тал ба талбай нь бүхэл тоо байдаг нэг. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь талуудтай (3, 4, 5) Египетийн гурвалжин юм.

Тоонуудыг (3, 4, 5) 2, 3, 4-өөр үржүүлээд Пифагорын гурвалсан цуваа үүсгэцгээе. Бид Пифагорын гурвалсан цувааг олж аваад хамгийн их тоогоор өсөх дарааллаар эрэмбэлж, анхдагчуудыг сонгоно. .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Хичээлийн явц

1. Даалгавруудыг тойрон эргэцүүлье:

1) Ижил аргументийн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг ашиглан хэрэв бол болохыг ол

гэдэг нь мэдэгдэж байна.

2) Өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг олоорой, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байвал:

3) "Нэмэх томъёо" сэдвээр сургалтын даалгаврын систем

sin = 8/17, cos = 4/5, эхний улирлын өнцөг гэдгийг мэдэж байгаа тул илэрхийллийн утгыг ол.

гэдгийг мэдэж байгаа ба 2-р улирлын өнцөг, sin = 4/5, cos = – 15/17, ол: .

4) "Давхар өнцгийн томъёо" сэдвээр сургалтын даалгаврын систем.

a) Хоёрдугаар улирлын өнцөг нь sin = 5/13 байна. sin2, cos2, tg2, ctg2-ыг ол.

б) Энэ нь мэдэгдэж байна tg? = 3/4, – гуравдугаар улирлын өнцөг. sin2, cos2, tg2, ctg2-ыг ол.

в) , 0 гэдгийг мэддэг< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

г) Энэ нь мэдэгдэж байна , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) cos = 3/5, cos = 7/25 гэдгийг мэддэг бол tan( + )-ийг ол, энд ба нь эхний улирлын өнцөг юм.

е) олох , – гуравдугаар улирлын өнцөг.

Бид асуудлыг уламжлалт аргаар үндсэн тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан шийдэж, дараа нь ижил асуудлыг илүү оновчтой байдлаар шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид Пифагорын гурвалсан тоог ашиглан асуудлыг шийдэх алгоритмыг ашигладаг. Пифагорын гурвалсан аргыг ашиглан асуудлыг шийдэх гарын авлагыг бүтээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид синус, косинус, тангенс ба котангенсийн тодорхойлолт, тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тодорхойлолтыг санаж, асуудлын нөхцлөөс хамааран зурж, зөв ​​гурвалжны талууд дээр Пифагорын гурвалжинг зөв байрлуулна ( будаа. 1). Бид харьцааг бичиж, тэмдгүүдийг байрлуулна. Алгоритмыг боловсруулсан.

Зураг 1

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм

Онолын материалыг хянан үзэх (судлах).

Пифагорын анхдагч гурвыг цээжээр мэдэж, шаардлагатай бол шинээр бүтээх боломжтой.

Рационал координаттай цэгүүдэд Пифагорын теоремыг хэрэглээрэй.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг мэдэж, тэгш өнцөгт гурвалжинг зурж, асуудлын нөхцлөөс хамааран Пифагорын гурвалжинг гурвалжны талууд дээр зөв байрлуулах чадвартай байх.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж тэмдгийг тэдгээрийн байршлаас хамааран мэдэж аваарай координатын хавтгай.

Шаардлагатай шаардлага:

1. координатын хавтгайн дөрөвний нэг бүрд синус, косинус, тангенс, котангенс ямар тэмдэг байгааг мэдэх;
2. тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг мэдэх;
3. Пифагорын теоремыг мэддэг, хэрэглэж чаддаг байх;
4. үндсэн тригонометрийн адилтгал, нэмэх томъёо, давхар өнцгийн томъёо, хагас аргументын томъёог мэддэг байх;
5. бууруулах томъёог мэддэг.

Дээрх зүйлийг харгалзан хүснэгтийг бөглөцгөөе ( хүснэгт 1). Энэ нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтын дагуу эсвэл оновчтой координаттай цэгүүдэд Пифагорын теоремыг ашиглан дуусгах ёстой. Энэ тохиолдолд координатын хавтгай дахь байршлаас хамааран синус, косинус, тангенс, котангенсийн тэмдгүүдийг үргэлж санаж байх шаардлагатай.

Хүснэгт 1

		Гурвалсан тоо		нүгэл	cos	тг	ctg
		(3, 4, 5)	Би цаг
		(6, 8, 10)	II хэсэг			-	-
		(5, 12, 13)	III хэсэг	-	-
		(8, 15, 17)	IV хэсэг	-		-	-
		(9, 40, 41)	Би цаг

Учир нь амжилттай ажилТа Пифагорын гурвыг ашиглах зааврыг ашиглаж болно.

Хүснэгт 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Хамтдаа шийдье.

1) Бодлого: cos, tg, ctg, хэрэв sin = 5/13 бол, хэрэв - хоёрдугаар улирлын өнцгийг ол.

Пифагорын гурвалсан тоо

Бүтээлч ажил

оюутан 8 "А"анги

МАОУ "1-р биеийн тамирын заал"

Саратовын Октябрский дүүрэг

Панфилов Владимир

Дарга - дээд зэрэглэлийн математикийн багш

Гришина Ирина Владимировна

Агуулга

Танилцуулга…………………………………………………………………………………3

Онолын хэсэгажил

Пифагорын үндсэн гурвалжинг олох

(эртний Хиндучуудын томъёолол)………………………………………………………………4

Ажлын практик хэсэг

Пифагорын гурвалсан бүтээлийг янз бүрийн аргаар зохиох ……………………………………………………………………………………………….6

Пифагорын гурвалжны чухал шинж чанар………………………………………………………8

Дүгнэлт………………………………………………………………………………….9

Уран зохиол………………………………………………………………………………………………10

Танилцуулга

Үүнд хичээлийн жилМатематикийн хичээл дээр бид геометрийн хамгийн алдартай теоремуудын нэг болох Пифагорын теоремыг судалсан. Пифагорын теоремыг геометрт алхам тутамд ашигладаг бөгөөд энэ нь практик болон өдөр тутмын амьдралд өргөн хэрэглэгддэг. Гэхдээ бид теоремоос гадна Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг бас судалсан. Энэхүү теоремыг судлахтай холбогдуулан бид Пифагорын гурвалсан тоонуудтай танилцсан, өөрөөр хэлбэл. 3 натурал тооны олонлогтойа , б Тэгээдв , үүнд хамаарал хүчинтэй байна: = + . Ийм иж бүрдэлд жишээлбэл, дараах гурвалсанууд орно.

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Надад тэр даруй асуулт гарч ирэв: та хэдэн Пифагор гурвыг гаргаж чадах вэ? Тэднийг хэрхэн зохиох вэ?

Манай геометрийн сурах бичигт Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг танилцуулсны дараа нэгэн чухал тайлбарыг хийсэн: хөл нь хөл гэдгийг баталж болно.А Тэгээдб ба гипотенуз-тай Талуудын уртыг натурал тоогоор илэрхийлсэн тэгш өнцөгт гурвалжинг дараах томъёогоор олж болно.

А = 2км b = k( - ) c = k( + , (1)

Хаанак , м , n – дурын натурал тоо, бам > n .

Мэдээжийн хэрэг асуулт гарч ирнэ: эдгээр томъёог хэрхэн батлах вэ? Зөвхөн эдгээр томьёог ашиглан Пифагорын гурвалсан гурвыг зохиож болох уу?

Ажил дээрээ би өөрт үүсээд буй асуултуудад хариулахыг оролдсон.

Ажлын онолын хэсэг

Пифагорын үндсэн гурвалжныг олох (эртний Хинду томъёо)

Эхлээд бид томъёог (1) баталж байна:

Хөлийн уртыг дараах байдлаар тэмдэглэеX Тэгээдцагт , болон дамжин өнгөрөх гипотенузын уртz . Пифагорын теоремын дагуу бид тэгш эрхтэй байна:+ = .(2)

Энэ тэгшитгэлПифагорын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Пифагорын гурвалжныг судлах нь тэгшитгэлийг (2) натурал тоогоор шийдвэрлэхэд хүргэдэг.

Хэрэв тодорхой Пифагор гурвалжны тал бүрийг ижил тоогоор нэмэгдүүлбэл бид шинэ гурвалжинг авна. зөв гурвалжин, талуудыг натурал тоогоор илэрхийлсэн үүнтэй төстэй, i.e. дахин Пифагорын гурвалжин.

Бүх ижил төстэй гурвалжнуудын дунд хамгийн жижиг нь байдаг бөгөөд энэ нь талууд нь гурвалжин болно гэдгийг таахад хялбар байдаг.X Тэгээдцагт харилцан анхны тоогоор илэрхийлнэ

(GCD (x,y )=1).

Үүнийг Пифагорын гурвалжин гэж нэрлэегол .

Пифагорын үндсэн гурвалжныг олох.

гурвалжин (x , y , z ) нь Пифагорын үндсэн гурвалжин юм. ТоонуудX Тэгээдцагт харьцангуй анхдагч тул хоёулаа тэгш байх боломжгүй. Тэд хоёулаа хачирхалтай байж болохгүй гэдгийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд анхаарна ууСондгой тооны квадратыг 8-д хуваахад 1-ийн үлдэгдэл үлдэнэ. Үнэн хэрэгтээ ямар ч сондгой натурал тоог дараах байдлаар илэрхийлж болно2 к -1 , Хаанак харьяалагддагН .

Эндээс: = -4 к +1 = 4 к ( к -1)+1.

Тоонууд( к -1) Тэгээдк – дараалсан, тэдгээрийн нэг нь заавал тэгш байх ёстой. Дараа нь илэрхийлэлк ( к -1) хуваасан2 , 4 к ( к -1) 8-д хуваагддаг бөгөөд энэ нь тоо гэсэн үг 8-д хуваагдвал үлдэгдэл нь 1 болно.

Хоёр сондгой тооны квадратуудын нийлбэр нь 8-д хуваагдахад 2-ын үлдэгдэл гардаг тул хоёр сондгой тооны квадратуудын нийлбэр нь тэгш тоо боловч 4-ийн үржвэр биш тул энэ тоонатурал тооны квадрат байж болохгүй.

Тэгэхлээр (2) тэгш байдал үүсэх боломжгүйx Тэгээдцагт хоёулаа хачин.

Тиймээс хэрэв Пифагорын гурвалжин (x, y, z ) - үндсэн, дараа нь тоонуудын дундX Тэгээдцагт нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байх ёстой. y тоог тэгш байг. ТоонуудX Тэгээдz сондгой (сонинz тэгшитгэлээс (2) үүснэ).

Eq-аас.+ = бид үүнийг ойлгодог= ( z + x )( z - x ) (3).

Тоонуудz + x Тэгээдz - x хоёр сондгой тооны нийлбэр ба зөрүү нь тэгш тоо тул (4):

z + x = 2 а , z - x = 2 б , ХаанаА Тэгээдб харьяалагддагН .

z + x =2 а , z - x = 2 б ,

z = a+b , x = а - б. (5)

Эдгээр тэгшитгэлээс дараахь зүйл гарч ирнэа Тэгээдб - харилцан анхны тоо.

Зөрчилдөөнөөр маргаж үүнийгээ баталъя.

GCD (а , б )= г , Хаанаг >1 .

Дараа ньг z Тэгээдx , улмаар тоонуудz + x Тэгээдz - x . Дараа нь тэгш байдал дээр үндэслэн (3) тоо хуваагч болно . Энэ тохиолдолдг тоонуудын нийтлэг хуваагч байх болноцагт ТэгээдX , гэхдээ тоонуудцагт ТэгээдX харьцангуй анхдагч байх ёстой.

Тооцагт , мэдэгдэж байгаагаар, тэгш байна, тиймээсy = 2c , Хаана-тай - натурал тоо. Тэгш байдал (4) дээр суурилсан тэгш байдал (3) нь дараах хэлбэртэй байна. =2а*2 б , эсвэл =ab.

Арифметикээс үүнийг мэддэгхэрэв харьцангуй анхны хоёр тооны үржвэр нь натурал тооны квадрат бол эдгээр тоо бүр нь натурал тооны квадрат болно.

гэсэн үг,a = Тэгээдб = , Хаанам Тэгээдn харьцангуй анхны тоонууд учир нь тэдгээр нь анхны тооны хуваагч юмА Тэгээдб .

Тэгш байдал (5) дээр үндэслэн бид:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = mn

Дараа ньy = 2 mn .

Тоонуудм Тэгээдn , учир нь харьцангуй анхдагч бөгөөд нэгэн зэрэг байж болохгүй. Гэхдээ тэд нэгэн зэрэг хачин байж чадахгүй, учир нь энэ тохиолдолдx = - жигд байх болно, энэ нь боломжгүй юм. Тиймээс тоонуудын нэгм эсвэлn тэгш, нөгөө нь сондгой. Мэдээжийн хэрэг,y = 2 mn 4-т хуваагддаг. Иймээс үндсэн Пифагор гурвалжин бүрт ядаж нэг хөл нь 4-т хуваагддаг. Үүнээс үзэхэд бүх тал нь анхны тоо байх Пифагор гурвалжин байдаггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг дараах теорем хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Бүх үндсэн гурвалжингуудцагт тэгш тоо, томъёоноос олж авсан

x = - , y =2 mn , z = + ( м > n ), Хаанам Тэгээдn – нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байх бүх хос хос тоо (аль нь хамаагүй). Пифагорын үндсэн гурвалсан бүр (x, y, z ), Хаанацагт – тэр ч байтугай, ийм байдлаар өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.

Тоонуудм Тэгээдn хоёулаа тэгш эсвэл хоёулаа сондгой байж болохгүй, учир нь эдгээр тохиолдолд

x = тэгш байх болно, энэ нь боломжгүй юм. Тэгэхээр тоонуудын нэгм эсвэлn тэгш, нөгөө нь сондгой (y = 2 mn 4-т хуваагддаг).

Ажлын практик хэсэг

Пифагорын гурван ихэрийг янз бүрийн аргаар зохиох

Хиндучуудын томъёололдм Тэгээдn – нь харьцангуй энгийн боловч дурын паритын тоо байж болох ба тэдгээрийг ашиглан Пифагорын гурвалсан дүрс үүсгэх нь нэлээд хэцүү байдаг. Тиймээс, Пифагорын гурвалсан бүтээлийг зохиох өөр арга замыг олохыг хичээцгээе.

= - = ( z - y )( z + y ), ХаанаX - хачин,y - тэгш,z - хачин

v = z - y , у = z + y

= uv , Хаанау - хачин,v - сондгой (хоёр тоо)

Учир нь хоёр сондгой анхны тооны үржвэр нь натурал тооны квадрат юму = , v = , Хаанак Тэгээдл – харьцангуй энгийн, сондгой тоо.

z - y = z + y = к 2 , Эндээс тэгшитгэлийг нэмж, нэгээс нөгөөг нь хасвал бид дараахь зүйлийг олж авна.

2 z = + 2 y = - тэр нь

z = у= x = kl

к

л

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (стэг)*(100…0 (стэг) +1)+1 =200…0 (с-1тэг) 200…0 (с-1тэг) 1

Пифагорын гурвалжны чухал шинж чанар

Теорем

Пифагорын үндсэн гурвалжны хувьд нэг хөл нь 4-т хуваагдах ёстой, нэг хөл нь 3-т хуваагдах ёстой бөгөөд Пифагорын гурвалжны талбай нь 6-ын үржвэртэй байх ёстой.

Баталгаа

Бидний мэдэж байгаагаар Пифагорын гурвалжин бүрт дор хаяж нэг хөл нь 4-т хуваагддаг.

Нэг хөл нь 3-т хуваагддаг болохыг баталцгаая.

Үүнийг батлахын тулд Пифагорын гурвалжинд (x , y , z x эсвэлy 3-ын олон.

Одоо бид Пифагор гурвалжны талбай 6-д хуваагддаг болохыг баталж байна.

Пифагорын гурвалжин бүр 6-д хуваагдах натурал тоогоор илэрхийлэгдсэн талбайтай байдаг. Энэ нь хамгийн багадаа нэг хөл нь 3-т хуваагдаж, хамгийн багадаа нэг хөл нь 4-т хуваагддаг гэсэн үг юм. Гурвалжны талбай , хөлний хагас үржвэрээр тодорхойлогддог нь 6-д хуваагдах тоогоор илэрхийлэгдэх ёстой.

Дүгнэлт

Ажиллаж байна

- Эртний Хиндучуудын томъёолол батлагдсан

- Пифагорын гурван ихэрүүдийн тоог судалсан (тэдгээрийн тоо хязгааргүй олон байдаг)

- Пифагорын гурвалсан тоог олох аргуудыг зааж өгсөн болно

- Пифагорын гурвалжны зарим шинж чанарыг судалсан

Миний хувьд маш их байсан сонирхолтой сэдэвмөн миний асуултуудын хариултыг олох нь маш их болсон сонирхолтой үйл ажиллагаа. Ирээдүйд би Пифагорын гурвалжны Фибоначчийн дараалал, Фермагийн теоремтой холбох талаар авч үзэж, Пифагор гурвалжны өөр олон шинж чанарыг судлахаар төлөвлөж байна.

Уран зохиол

Л.С. Атанасян "Геометр 7-9 анги" М.: Боловсрол, 2012.

В.Сиерпинский “Пифагорын гурвалжингууд” М.: Учпедгиз, 1959.

Саратов

2014

Дараа нь бид Пифагорын гурвалсан үр дүнтэй үүсгэх алдартай аргуудыг авч үзэх болно. Пифагорын шавь нар анх удаа Пифагорын гурвалсан хэсгүүдийг төлөөлөх томьёог ашиглан Пифагорын гурвыг үүсгэх энгийн аргыг зохион бүтээжээ.

м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ((м 2 + 1)/2) 2 ,

Хаана м- хосгүй, м>2. Үнэхээр,

4м 2 + м 4 − 2м 2 + 1
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((м 2 + 1)/2) 2 .
4

Үүнтэй төстэй жорыг санал болгосон эртний Грекийн гүн ухаантанПлатон:

(2м) 2 + (м 2 − 1) 2 = (м 2 + 1) 2 ,

Хаана м- дурын тоо. Учир нь м= 2,3,4,5-д дараах гурвалсан тоо үүснэ.

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Бидний харж байгаагаар эдгээр томьёо нь бүх боломжит анхдагч гурвалсан тоог өгч чадахгүй.

Дараах олон гишүүнтийг авч үзье, үүнийг олон гишүүнтийн нийлбэр болгон өргөжүүлж болно.

(2м 2 + 2м + 1) 2 = 4м 4 + 8м 3 + 8м 2 + 4м + 1 =
=4м 4 + 8м 3 + 4м 2 + 4м 2 + 4м + 1 = (2м(м+1)) 2 + (2м +1) 2 .

Тиймээс анхдагч гурвыг олж авах дараах томъёонууд:

а = 2м +1 , б = 2м(м+1) = 2м 2 + 2м , в = 2м 2 + 2м + 1.

Эдгээр томьёо нь дундаж тоо нь хамгийн их тооноос яг нэгээр ялгаатай гурвалсан тоонуудыг үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл бүх боломжит гурвалсан тоо ч үүсдэггүй. Энд эхний гурвууд нь тэнцүү байна: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Бүх анхдагч гурвалсан төрлийг хэрхэн үүсгэхийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн шинж чанарыг судлах хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, хэрэв ( a,b,c) нь анхдагч гурвалсан, тэгвэл аТэгээд б, бТэгээд в, АТэгээд в- харьцангуй энгийн байх ёстой. Болъё аТэгээд бгэж хуваагддаг г. Дараа нь а 2 + б 2 - мөн хуваагдана г. тус тус, в 2 ба в-д хуваагдах ёстой г. Энэ бол анхдагч гурав биш юм.

Хоёрдугаарт, тоонуудын дунд а, бнэг нь хосолсон, нөгөө нь хосгүй байх ёстой. Үнэхээр, хэрэв аТэгээд б- тэгвэл хосолсон -тайхосолсон байх бөгөөд тоонуудыг дор хаяж 2-т хувааж болно. Хэрэв хоёулаа хосгүй бол 2-оор төлөөлж болно. к+1 би 2 л+1, хаана к,л- зарим тоо. Дараа нь а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+1+4л 2 +4л+1, өөрөөр хэлбэл, -тай 2, гэх мэт а 2 + б 2-ыг 4-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл гарна.

Болъё -тай- дурын тоо, өөрөөр хэлбэл -тай = 4к+би (би=0,…,3). Дараа нь -тай 2 = (4к+би) 2 нь 0 эсвэл 1 үлдэгдэлтэй ба үлдэгдэл 2 байж болохгүй. аТэгээд бсалгах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+4л 2 +4л+1 ба хэсгийн үлдсэн хэсэг -тай 2-оос 4 нь 1 байх ёстой, энэ нь гэсэн үг -тайхосгүй байх ёстой.

Пифагорын гурвалсан элементүүдэд тавигдах ийм шаардлагыг дараах тоонууд хангаж байна.

а = 2mn, б = м 2 − n 2 , в = м 2 + n 2 , м > n, (2)

Хаана мТэгээд n- өөр өөр хослолтой харьцангуй гайгүй. Эдгээр хамаарлыг анх 2300 онд амьдарч байсан Евклидийн бүтээлүүдээс олж мэдсэн. буцаж.

(2) хамаарлын үнэн зөвийг баталцгаая. Болъё А- тэгвэл хосолсон бТэгээд в- хосгүй. Дараа нь в + бби в − б- хосолсон. Тэдгээрийг төлөөлж болно в + б = 2уТэгээд в − б = 2v, Хаана у,v- зарим бүхэл тоо. Тийм ч учраас

а 2 = -тай 2 − б 2 = (в + б)(в − б) = 2у·2 v = 4uv

Тиймээс ( а/2) 2 = uv.

Үүний эсрэгээр нотлогдож болно уТэгээд v- харилцан энгийн. Болъё уТэгээд v- хуваагдана г. Дараа нь ( в + б) ба ( в − б) гэж хуваагдана г. Гэх мэт вТэгээд б-д хуваагдах ёстой г, мөн энэ нь Пифагорын гурвалсан нөхцөлтэй зөрчилдөж байна.

Учир нь uv = (а/2) 2 ба уТэгээд vхарьцангуй өндөр түвшинд байгаа тул үүнийг батлахад хялбар байдаг уТэгээд vзарим тооны квадратууд байх ёстой.

Тиймээс эерэг бүхэл тоонууд байдаг мТэгээд n, ийм у = м 2 ба v = n 2. Дараа нь

А 2 = 4uv = 4м 2 n 2 тийм
А = 2mn; б = у − v = м 2 − n 2 ; в = у + v = м 2 + n 2 .

Учир нь б> 0, тэгвэл м > n.

Үүнийг харуулах л үлдлээ мТэгээд nөөр өөр хослолтой. Хэрэв мТэгээд n- тэгвэл хосолсон уТэгээд vхосолсон байх ёстой, гэхдээ энэ нь боломжгүй, учир нь тэдгээр нь харьцангуй сайн байдаг. Хэрэв мТэгээд n- хосгүй, тэгвэл б = м 2 − n 2 ба в = м 2 + n 2-ыг хослуулах болно, энэ нь боломжгүй юм, оноос хойш вТэгээд б- харилцан энгийн.

Тиймээс ямар ч анхдагч Пифагорын гурвалсан нөхцөл (2) хангагдсан байх ёстой. Үүний зэрэгцээ тоонууд мТэгээд nгэж нэрлэдэг тоо үүсгэханхдагч гурван ихэрүүд. Жишээлбэл, Пифагорын анхдагч гурвалсан (120,119,169) байцгаая. Энэ тохиолдолд

А= 120 = 2·12·5, б= 119 = 144 − 25, мөн в = 144+25=169,

Хаана м = 12, n= 5 - тоо үүсгэх, 12 > 5; 12 ба 5 нь харилцан анхны бөгөөд өөр хосууд юм.

Та эсрэгээрээ, тоонууд гэдгийг баталж чадна м, n(2) томъёог ашиглан тэд анхдагч Пифагор гурвалсан (a,b,c) өгдөг. Үнэхээр,

А 2 + б 2 = (2mn) 2 + (м 2 − n 2) 2 = 4м 2 n 2 + (м 4 − 2м 2 n 2 + n 4) =
= (м 4 + 2м 2 n 2 + n 4) = (м 2 + n 2) 2 = в 2 ,

Энэ нь ( а,б,в) нь Пифагорын гурвалсан юм. Энэ тохиолдолд үүнийг нотолж үзье а,б,внь эсрэгээрээ анхны тоонууд юм. Эдгээр тоонууд нь хуваагддаг байг х> 1. Түүнээс хойш мТэгээд nтэгвэл өөр өөр хосууд байна бТэгээд в- хосгүй, өөрөөр хэлбэл х≠ 2. Түүнээс хойш rхуваадаг бТэгээд в, Тэр r 2 хуваах ёстой м 2 ба 2 n 2, гэхдээ энэ боломжгүй, учир нь х≠ 2. Тиймээс м, n- харилцан үндсэн ба а,б,в- бас харьцангуй энгийн.

Хүснэгт 1-д (2)-ын томъёог ашиглан үүсгэсэн бүх анхдагч Пифагор гурвыг харуулав м≤10.

Хүснэгт 1. Анхдагч Пифагорын гурвалсан м≤10

м	n	а	б	в	м	n	а	б	в
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Энэ хүснэгтийн дүн шинжилгээ нь дараахь цуврал хэв маяг байгааг харуулж байна.

• эсвэл а, эсвэл б 3-т хуваагддаг;
• тоонуудын нэг а,б,в 5-д хуваагддаг;
• тоо А 4-т хуваагдах;
• ажил а· б 12-т хуваагддаг.

1971 онд Америкийн математикч Тейган, Хедвин нар гурвалжинг үүсгэхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр гэх мэт бага мэддэг параметрүүдийг санал болгосон. h = в− b ба илүүдэл (амжилт) д = а + б − в. Зураг 1-д. Эдгээр хэмжигдэхүүнийг тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжин дээр харуулав.

Зураг 1. Тэгш өнцөгт гурвалжин ба түүний өсөлт ба илүүдэл

"Илүүдэл" гэсэн нэр нь гурвалжны хөлийн дагуу нэг оройноос эсрэг тал хүртэл, хэрэв диагональ дагуу явахгүй бол нэмэлт зайг туулах ёстой гэсэн үгнээс гаралтай.

Пифагорын гурвалжны хажуугийн илүүдэл ба өсөлтийг дараахь байдлаар илэрхийлж болно.

д 2 д 2
а = h + д, б = д + ——, в = h + д + ——, (3)
2h 2h

Бүх хослол биш hТэгээд дПифагорын гурвалжинтай тохирч болно. Өгөгдсөний төлөө hболомжит утгууд дтодорхой тооны бүтээгдэхүүн юм г. Энэ тоо гөсөлтийн нэртэй бөгөөд хамааралтай hдараах байдлаар: гквадрат нь 2-т хуваагддаг хамгийн жижиг эерэг бүхэл тоо юм h. Учир нь долон г, дараа нь гэж бичнэ д = кд, Хаана кэерэг бүхэл тоо юм.

хос ашиглах ( к,h) та бүх Пифагор гурвалжныг, түүний дотор анхдагч бус болон ерөнхий гурвалжингуудыг дараах байдлаар үүсгэж болно.

(dk) 2 (dk) 2
а = h + dk, б = dk + ——, в = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Түүнээс гадна хэрэв гурвалсан бол команд юм кТэгээд hхарьцангуй анхдагч ба хэрэв h =± q 2 цагт q- хосгүй.
Түүнээс гадна, хэрэв энэ нь яг Пифагорын гурвалсан байх болно к> √2· h/гТэгээд h > 0.

олохын тулд кТэгээд h-аас ( а,б,в), дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ.

• h = в − б;
• бичих hЯаж h = pq 2 хаана х> 0 ба дөрвөлжин биш;
• г = 2pqХэрэв х- хосгүй ба г = pq, хэрэв p хосолсон бол;
• к = (а − h)/г.

Жишээлбэл, гурвалсан (8,15,17) бидэнд байна h= 17−15 = 2 1, тэгэхээр х= 2 ба q = 1, г= 2, ба к= (8 − 2)/2 = 3. Тэгэхээр энэ гурвалсан тоог ( к,h) = (3,2).

Гурвалсан (459,1260,1341) хувьд бидэнд байна h= 1341 − 1260 = 81, тэгэхээр х = 1, q= 9 ба г= 18, эндээс к= (459 − 81)/18 = 21 тул энэ гурвалсан код нь ( к,h) = (21, 81).

Гурвалсан хүүхдийг тохируулах hТэгээд кхэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Параметр ктэнцүү байна

к = 4С/(dP), (5)

Хаана С = ab/2 нь гурвалжны талбай, ба П = а + б + в- түүний периметр. Энэ нь тэгш байдлаас үүдэлтэй eP = 4С, энэ нь Пифагорын теоремоос үүдэлтэй.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дгурвалжинд сийлсэн тойргийн диаметртэй тэнцүү байна. Энэ нь гипотенузаас үүдэлтэй -тай = (А − r)+(б − r) = а + б − 2r, Хаана r- тойргийн радиус. Эндээс h = в − б = А − 2rТэгээд д = а − h = 2r.

Учир нь h> 0 ба к > 0, кгурвалсаны дарааллын тоо юм а-б-внэмэгдэж байгаа Пифагор гурвалжны дарааллаар h. Хосоор үүсгэгдсэн гурвалсан хүүхдийн хэд хэдэн сонголтыг харуулсан Хүснэгт 2-оос h, к, нэмэгдэж байгаа нь тодорхой байна кгурвалжны талуудын хэмжээ нэмэгддэг. Тиймээс сонгодог дугаарлалтаас ялгаатай нь хосоор дугаарлах h, кгурвалсан дарааллаар илүү дараалалтай байна.

Хүснэгт 2. h, k хосоор үүсгэгдсэн Пифагорын гурвалсан.

h	к	а	б	в	h	к	а	б	в
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Учир нь h > 0, г 2√ тэгш бус байдлыг хангана h ≤ г ≤ 2h, доод хязгаарт хүрсэн байна х= 1, хамгийн дээд нь - at q= 1. Тиймээс утга г 2√-тай харьцуулахад hгэдэг нь хичнээн тооны тоог илэрхийлдэг хэмжүүр юм hтодорхой тооны квадратаас алслагдсан.

Натурал тоонуудын шинж чанарыг судлах нь Пифагорчуудыг онолын арифметикийн өөр нэг "мөнхийн" асуудал (тооны онол) руу хөтөлсөн бөгөөд энэ асуудал нь эртний Египет, Эртний Вавилон дахь Пифагороос эрт гарч ирсэн бөгөөд ерөнхий шийдэл олдоогүй байна. өдөр. Орчин үеийн хэллэгээр дараах байдлаар томъёолж болох асуудлаас эхэлье: тодорхойгүй тэгшитгэлийг натурал тоогоор шийдэх.

Өнөөдөр энэ даалгавар гэж нэрлэгддэг Пифагорын асуудал, ба түүний шийдлүүд - (1.2.1) тэгшитгэлийг хангасан натурал тоонуудын гурвалсан тоонууд гэж нэрлэгддэг. Пифагорын гурван ихэр. Пифагорын теоремыг Пифагорын асуудалтай илт холбосон тул сүүлийнх нь геометрийн томъёог өгч болно: бүхэл тоотой бүх тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг ол. x, yба бүхэл тооны гипотенуз z.

Пифагорын асуудлыг шийдэх тодорхой шийдлүүдийг эрт дээр үеэс мэддэг байсан. Берлин дэх Египетийн музейд хадгалагдаж байсан Фараон I Аменемхатын (МЭӨ 2000 он) үеийн папируст бид талуудын харьцаатай тэгш өнцөгт гурвалжинг олжээ. Германы математикийн агуу түүхч М.Канторын (1829 - 1920) хэлснээр Эртний Египтэд тусгай мэргэжил байжээ. гарпедонаптичууд- Ариун сүм, пирамидын суурийг тавих ёслолын үеэр 12 (= 3 + 4 + 5) ижил зайтай зангилаа олсоор тэгш өнцөгтийг тэмдэглэсэн "олс татагч". Харпедонаптууд зөв өнцгийг хэрхэн яаж барьж байгаа нь Зураг 36-аас тодорхой харагдаж байна.

Өөр нэг шинжээч Кантортой эрс санал нийлэхгүй байна гэж хэлэх ёстой эртний математик- Ван дер Ваерден, хэдийгээр эртний Египетийн архитектурын хувь хэмжээ нь Канторын талд байгааг гэрчилж байна. Гэсэн хэдий ч өнөөдөр талуудын харьцаатай тэгш өнцөгт гурвалжинг гэж нэрлэдэг Египет.

хуудсан дээр дурдсанчлан. 76, эртний Вавилоны эрин үеэс хамаарах, Пифагорын гурвалсан 15 мөр агуулсан шавар хавтан хадгалагдан үлджээ. Египетээс (3, 4, 5) 15 (45, 60, 75) үржүүлснээр олж авсан өчүүхэн гурваас гадна (3367, 3456, 4825), тэр ч байтугай (12709) гэх мэт маш нарийн төвөгтэй Пифагор гурвалууд байдаг. , 13500, 18541)! Эдгээр тоог энгийн хайлтаар бус тодорхой дүрэм журмын дагуу олсон гэдэгт эргэлзэхгүй байна.

Гэсэн хэдий ч гэсэн асуулт ерөнхий шийдвэр(1.2.1) тэгшитгэлийг натурал тоогоор зөвхөн Пифагорчууд гаргаж, шийдэж байсан. Математикийн аливаа асуудлын ерөнхий томъёолол нь эртний египетчүүд болон эртний вавилончуудад харь байсан. Зөвхөн Пифагороос л математикийг дедуктив шинжлэх ухаан болгон хөгжүүлэх эхлэл тавигддаг бөгөөд энэ зам дахь анхны алхамуудын нэг нь Пифагорын гурвалсан хүүхдийн асуудлыг шийдэх явдал байв. Эртний уламжлал нь тэгшитгэлийн анхны шийдлүүдийг (1.2.1) Пифагор, Платон нарын нэртэй холбодог. Эдгээр шийдлүүдийг дахин бүтээхийг хичээцгээе.

Пифагор (1.2.1) тэгшитгэлийг аналитик хэлбэрээр биш, харин дөрвөлжин тооны хэлбэрээр бодож байсан нь тодорхой бөгөөд түүний дотор квадрат тоог олох шаардлагатай байв. Энэ тоог талтай дөрвөлжин хэлбэрээр илэрхийлэх нь зүйн хэрэг байв yнэг тал нь бага zанхны дөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл. Дараа нь 37-р зурагнаас харахад хялбар (зүгээр л харна уу!) Үлдсэн квадрат тоо нь тэгш байдлыг хангах ёстой. Тиймээс бид шугаман тэгшитгэлийн системд хүрнэ

Эдгээр тэгшитгэлийг нэмж хасах замаар бид (1.2.1) тэгшитгэлийн шийдийг олно.

Үүссэн шийдэл нь зөвхөн сондгой тоогоор натурал тоог өгдөг гэдгийг батлахад хялбар байдаг. Тиймээс бид эцэст нь байна

Гэх мэт уламжлал нь энэ шийдвэрийг Пифагорын нэртэй холбодог.

(1.2.2) системийг тэгшитгэлээс (1.2.1) албан ёсоор авч болохыг анхаарна уу. Үнэндээ,

хаанаас бид (1.2.2) -д хүрдэг гэж үзвэл.

Пифагорын шийдэл нь нэлээд хатуу хязгаарлалт () дор олдсон нь тодорхой бөгөөд Пифагорын бүх гурвалсан хэсгүүдийг агуулаагүй болно. Дараагийн алхамыг тавьж болно , дараа нь , учир нь зөвхөн энэ тохиолдолд болно квадрат тоо. Ийм байдлаар систем үүсдэг бөгөөд энэ нь мөн Пифагорын гурвалсан байх болно. Одоо гол нь

Теорем.Хэрэв хТэгээд qөөр өөр паритетуудын анхны тоонууд, дараа нь бүх анхдагч Пифагор гурвыг томъёогоор олно.