Тригонометрийн үндсэн томьёо ба sin, cos, tg, ctg-ийн ялгах тэмдэг. Тригонометрийн томъёонууд cos2x томьёо гэж юу вэ?

Тригонометрийн үндсэн томьёо нь үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын холбоог тогтоох томъёо юм. Синус, косинус, тангенс, котангенс нь хоорондоо олон харилцаа холбоотой байдаг. Гол нь доор байна тригонометрийн томъёо, мөн тав тухтай байлгах үүднээс бид тэдгээрийг зориулалтын дагуу бүлэглэх болно. Эдгээр томъёог ашигласнаар та ердийн тригонометрийн хичээлээс бараг бүх асуудлыг шийдэж чадна. Доорх нь зөвхөн томъёолол бөгөөд тэдгээрийн дүгнэлтийг тусад нь өгүүллээр авч үзэх болно гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд

Тригонометрийн ижилсэл нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хоорондын хамаарлыг бий болгож, нэг функцийг нөгөө өнцгөөр илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Тригонометрийн ижил төстэй байдал

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Эдгээр таних тэмдэг нь нэгж тойрог, синус (син), косинус (cos), тангенс (tg) ба котангенс (ctg) гэсэн тодорхойлолтуудаас шууд гардаг.

Бууруулах томъёо

Бууруулах томьёо нь дурын болон дур зоргоороо том өнцгөөр ажиллахаас 0-ээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог.

Бууруулах томъёо

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 πz = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Бууруулах томъёо нь үечилсэн байдлын үр дагавар юм тригонометрийн функцууд.

Тригонометрийн нэмэх томъёо

Тригонометрийн нэмэлт томъёо нь эдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр өнцгийн нийлбэр эсвэл зөрүүний тригонометрийн функцийг илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Тригонометрийн нэмэх томъёо

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Нэмэлт томъёонд үндэслэн олон өнцгийн тригонометрийн томъёог гаргаж авдаг.

Олон өнцөгт зориулсан томьёо: давхар, гурвалсан гэх мэт.

Давхар ба гурвалсан өнцгийн томьёо

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α with t g 2 α = with t g 2 α - 1 2 · with t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Хагас өнцгийн томъёо

Тригонометрийн хагас өнцгийн томьёо нь хоёр өнцгийн томьёоны үр дагавар бөгөөд хагас өнцгийн үндсэн функц ба бүхэл өнцгийн косинусын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг.

Хагас өнцгийн томъёо

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Зэрэг бууруулах томъёо

Зэрэг бууруулах томъёо

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Тооцоолол хийхдээ хүнд хүч чадлаар ажиллах нь ихэвчлэн тохиромжгүй байдаг. Зэрэг бууруулах томьёо нь тригонометрийн функцын зэргийг дур зоргоороо томоос эхнийх хүртэл бууруулах боломжийг олгодог. Тэдний ерөнхий үзэл бодол энд байна:

Зэрэг бууруулах томъёоны ерөнхий дүр төрх

бүр n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

сондгой n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгаа

Тригонометрийн функцүүдийн зөрүү ба нийлбэрийг үржвэр хэлбэрээр илэрхийлж болно. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, илэрхийллийг хялбарчлахад синус ба косинусын зөрүүг хүчин зүйлээр ялгах нь маш тохиромжтой.

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгаа

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Тригонометрийн функцүүдийн бүтээгдэхүүн

Хэрэв функцүүдийн нийлбэр ба зөрүүний томъёонууд нь тэдний бүтээгдэхүүн рүү шилжих боломжийг олгодог бол тригонометрийн функцүүдийн бүтээгдэхүүний томъёо нь урвуу шилжилтийг - үржвэрээс нийлбэр рүү шилжүүлдэг. Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёог авч үзнэ.

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийн томъёо

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (нүгэл (α - β) + нүгэл (α + β))

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт

Бүх үндсэн тригонометрийн функцууд - синус, косинус, тангенс, котангенс - хагас өнцгийн шүргэгчээр илэрхийлэгдэж болно.

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 2 т г α 2

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Тригонометрийн үндсэн томъёо. Хичээл №1

Тригонометрт ашигласан томьёоны тоо нэлээд их байна ("томьёо" гэж бид тодорхойлолтыг хэлэхгүй (жишээлбэл, tgx=sinx/cosx), sin2x=2sinxcosx гэх мэт ижил тэгшитгэлүүдийг хэлдэг). Энэхүү элбэг дэлбэг томьёогоор удирдан чиглүүлэхэд хялбар болгохын тулд оюутнуудыг утгагүй шахалтаар ядраахгүйн тулд тэдний дундаас хамгийн чухал зүйлийг тодруулах шаардлагатай байна. Тэдгээрийн цөөхөн нь байдаг - ердөө гурав нь. Бусад бүх зүйл нь эдгээр гурван томъёоноос хамаарна. Энэ нь нийлбэр ба ялгааны синус ба косинусын үндсэн тригонометрийн ижилтлэл, томъёо юм.

Нүгэл 2 x+cos 2 x=1 (1)

Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

Эдгээр гурван томъёоноос синус ба косинусын бүх шинж чанарыг бүрэн дагаж мөрддөг (үе үе, хугацааны утга, синусын утга 30 0 = π/6=1/2 гэх мэт) Энэ үүднээс авч үзвэл сургуулийн сургалтын хөтөлбөралбан ёсоор шаардлагагүй, илүү олон мэдээллийг ашигладаг. Тиймээс "1-3" томъёо нь тригонометрийн хаант улсын захирагчид юм. Үр дүнгийн томъёонууд руу шилжье:

1) Олон өнцгийн синус ба косинусууд

Хэрэв бид x=y утгыг (2) ба (3) гэж орлуулбал бид дараахийг авна.

Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1

Бид sin0=0 гэсэн дүгнэлт гаргасан; cos0=1, синус ба косинусын геометрийн тайлбарыг ашиглахгүйгээр. Үүний нэгэн адил, "2-3" томьёог хоёр удаа хэрэглэснээр sin3x-ийн илэрхийлэлийг гаргаж болно; cos3x; sin4x; cos4x гэх мэт.

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x

Оюутнуудад зориулсан даалгавар: cos3x-ийн ижил төстэй илэрхийлэлүүдийг гаргаж авах; sin4x; cos4x

2) Зэрэг бууруулах томъёо

Синус ба косинусын хүчийг олон өнцгийн косинус ба синусаар илэрхийлэн урвуу бодлогыг шийд.

Жишээ нь: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, эндээс: cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, иймээс: sin 2 x=1/2-cos2x/2

Эдгээр томъёог ихэвчлэн ашигладаг. Тэднийг илүү сайн ойлгохын тулд зүүн, баруун талуудын графикийг зурахыг танд зөвлөж байна. Косинус ба синусын квадратуудын графикууд нь “y=1/2” шулуун шугамын графикийг тойрон “боодог” (энэ нь cos 2 x ба sin 2 x-ийн олон үеийн дундаж утга юм). Энэ тохиолдолд хэлбэлзлийн давтамж нь анхныхтай харьцуулахад хоёр дахин нэмэгддэг (cos 2 x sin 2 x функцуудын хугацаа нь 2π /2=π-тэй тэнцүү), хэлбэлзлийн далайц хоёр дахин багасдаг (cos2x-ийн өмнөх 1/2 коэффициент) .

Бодлого: Нүглийг илэрхийлэх 3 x; учир нь 3 x; нүгэл 4 х; cos 4 x олон өнцгийн косинус ба синусаар.

3) Бууруулах томъёо

Тэд тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн байдлыг ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн утгыг эхний улирлын утгуудаас тригонометрийн тойргийн аль ч хэсэгт тооцоолох боломжийг олгодог. Бууруулах томьёо нь "үндсэн" томьёоны (2-3) маш онцгой тохиолдлууд юм. Жишээ нь: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx.

Тэгэхээр Cos(x+ π/2) =sinx

Даалгавар: sin(x+ π/2)-ийн бууралтын томьёог гарга; cos(x+ 3 π/2)

4) Косинус ба синусын нийлбэр эсвэл зөрүүг үржвэр болгон хувиргадаг томьёо.

Хоёр өнцгийн нийлбэр ба зөрүүний синусын томъёог бичье.

Нүгэл(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)

Нүгэл(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)

Эдгээр тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг нэмье.

Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

Үүнтэй төстэй нэр томъёог цуцалсан тул:

Нүгэл(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)

a) (*) баруунаас зүүн тийш уншихад бид дараахь зүйлийг авна.

Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

Хоёр өнцгийн синусын үржвэр нь нийлбэр ба эдгээр өнцгийн зөрүүний синусын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

б) (*) зүүнээс баруун тийш уншихдаа дараахь зүйлийг тэмдэглэхэд тохиромжтой.

x-y = c. Эндээс бид олох болно XТэгээд цагтдамжуулан rТэгээд -тай, эдгээр хоёр тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг нэмэх, хасах:

x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, (x+y) болон (x-y)-ын оронд (*)-д орлуулан шинээр үүссэн хувьсагчид rТэгээд -тай, бүтээгдэхүүнээр дамжих синусын нийлбэрийг төсөөлье:

sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

Тиймээс нийлбэрийн синус ба өнцгийн зөрүүний үндсэн томъёоны шууд үр дагавар нь (4) ба (5) хоёр шинэ харилцаа болж хувирна.

в) одоо (1) ба (2) тэнцүү байдлын зүүн ба баруун талыг нэмэхийн оронд бид тэдгээрийг бие биенээсээ хасах болно.

sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)

Энэ таних тэмдгийг баруунаас зүүн тийш унших нь (4)-тэй төстэй томъёонд хүргэдэг бөгөөд энэ нь сонирхолгүй болж хувирдаг, учир нь Бид синус ба косинусын үржвэрийг синусуудын нийлбэр болгон задлах аргыг аль хэдийн мэддэг болсон (4-ийг үзнэ үү). (6)-г зүүнээс баруун тийш уншихад синусын зөрүүг бүтээгдэхүүн болгон задлах томъёо гарч ирнэ.

sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

Тиймээс, нэг үндсэн ялгах шинж чанараас (x±y) = sinxcosy±sinycosx, бид гурван шинэ (4), (5), (7) авсан.

Cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny өөр үндсэн таних тэмдэгтэй ижил төстэй ажил аль хэдийн дөрвөн шинэийг бий болгосон:

Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos(x-y)); cosp + cosc ​​= 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

Даалгавар: синус ба косинусын нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах:

Sinx +cozy =? Шийдэл: Хэрэв та томьёог гаргахгүй байхыг хичээсэн ч тригонометрийн томъёоны зарим хүснэгтийн хариултыг шууд харвал бэлэн үр дүн олдохгүй байж магадгүй юм. Оюутнууд sinx+cosy = ... гэсэн өөр томьёог цээжлээд хүснэгтэд оруулах шаардлагагүй гэдгийг ойлгох хэрэгтэй, учир нь дурын косинусыг синус хэлбэрээр илэрхийлж, эсрэгээр нь багасгах томъёог ашиглаж болно, жишээ нь: sinx = cos ( π/2 – x), тухтай = нүгэл (π/2 – у). Иймд: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.