Пифагорын теорем Пифагорын өмд. Пифагорын теорем: түүх, нотолгоо, практик хэрэглээний жишээ. Товч намтар

Ромын архитектор Витрувий Пифагорын теоремыг "хөгжилд үйлчилгээ үзүүлсэн олон тооны нээлтүүдийн тухай" онцлон тэмдэглэжээ. хүний ​​амьдрал"гэж түүнд хамгийн их хүндэтгэлтэй хандахыг уриалав. Энэ нь МЭӨ 1-р зуунд болсон. д. 16-17-р зууны төгсгөлд Германы нэрт одон орон судлаач Йоханнес Кеплер үүнийг алтны хэмжүүртэй харьцуулахуйц геометрийн эрдэнэсийн нэг гэж нэрлэжээ. Бүх математикт илүү жинтэй, ач холбогдолтой мэдэгдэл байх магадлал багатай, учир нь шинжлэх ухаан, практик хэрэглээний тооны хувьд Пифагорын теоремтой тэнцэх зүйл байхгүй.

Адил хажуугийн тохиолдлын Пифагорын теорем зөв гурвалжин.

Шинжлэх ухаан ба амьдрал // Зураг

Хэмжих туйлын тухай трактаас (Хятад, МЭӨ 3-р зуун) Пифагорын теоремын дүрслэл ба түүн дээр үндэслэн сэргээн босгосон нотолгоо.

Шинжлэх ухаан ба амьдрал // Зураг

С.Пэркинс. Пифагор.

Пифагорын нотлох баримтыг зурах.

"Пифагорын мозайк" ба аль-Наиризигийн гурван квадратыг хуваах нь Пифагорын теоремын баталгаа.

П.де Хуч. Хашаанд байгаа эзэгтэй, үйлчлэгч хоёр. 1660 орчим.

Ж.Охтервельт. Баян байшингийн үүдэнд төөрсөн хөгжимчид. 1665

Пифагорын өмд

Пифагорын теорем нь математикийн түүхэн дэх хамгийн алдартай, эргэлзээгүй хамгийн алдартай нь байж магадгүй юм. Геометрийн хувьд үүнийг алхам тутамд шууд утгаар нь ашигладаг. Томъёоны энгийн хэдий ч энэ теорем нь тодорхой биш юм: a талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжинг харахад.< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «Пифагорын өмд"Бүх чиглэлд тэгш эрхтэй юу? Гэхдээ энд ижил "өмд", зөвхөн "атираат" хэлбэрээр байна (Зураг 2). Ийм зургийг Платоны "Мено" хэмээх нэгэн ярианы баатар, алдарт философич Сократ боол хүүгийн хамт талбайгаас хоёр дахин том талбай барих асуудлыг хэлэлцэж байх үед ашигласан байдаг. илүү их талбайэнэ талбайн. Түүний үндэслэл нь тодорхой гурвалжны хувьд ч гэсэн Пифагорын теоремыг батлахад буцалж байв.

Зурагт үзүүлсэн тоонууд. 1 ба 2 нь дөрвөлжин ба тэдгээрийн тэнцүү хэсгүүдийн хамгийн энгийн чимэглэлтэй төстэй - эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан геометрийн хэв маяг. Тэд онгоцыг бүрэн бүрхэж чаддаг. Математикч олон өнцөгттэй онгоцны ийм бүрээсийг паркет эсвэл хавтанцар гэж нэрлэдэг. Пифагор үүнтэй ямар холбоотой вэ? Тэрээр ердийн паркетны асуудлыг анх шийдэж, янз бүрийн гадаргуугийн хавтангуудыг судалж эхэлсэн нь харагдаж байна. Тиймээс Пифагор цэгийг тойрсон хавтгайг зөвхөн ижил тэгш олон өнцөгтүүд хоосон зайгүй бүрхэж болохыг харуулсан. гурван төрөл: зургаан гурвалжин, дөрвөн квадрат, гурван зургаан өнцөгт.

4000 жилийн дараа

Пифагорын теоремийн түүх эрт дээр үеэс эхэлдэг. Энэ тухай дурдсан нь Хаммурапи хааны үеэс (МЭӨ XVIII зуун), өөрөөр хэлбэл Пифагорыг төрөхөөс 1200 жилийн өмнөх Вавилоны дөрвөлжин бичээсүүдэд байдаг. Теоремыг олон бодлогод бэлэн дүрэм болгон ашигласан бөгөөд хамгийн энгийн нь квадратын хажуугийн диагональыг олох явдал байв. Вавилончууд дурын тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд a 2 + b 2 = c 2 харьцааг a 2 + a 2 = c 2 тэгшитгэлийг "ерөнхийлсөн" замаар олж авсан байж магадгүй юм. Гэхдээ энэ нь тэдний хувьд уучлагдах боломжтой практик геометрхэмжилт, тооцоололд хүрч ирсэн эртний нь хатуу үндэслэл шаарддаггүй.

Одоо бараг 4000 жилийн дараа бид янз бүрийн нотолгооны тоогоор дээд амжилт тогтоосон теоремтой харьцаж байна. Дашрамд хэлэхэд тэдгээрийг цуглуулах нь эртний уламжлал юм. Пифагорын теоремыг сонирхох оргил үе нь хоёрдугаарт тохиосон XIX зууны хагас- 20-р зууны эхэн үе. Хэрэв анхны цуглуулгад хоёроос гурван арван нотлох баримт агуулагдаж байсан бол 19-р зууны төгсгөлзуунд тэдний тоо 100-д ​​хүрч, хагас зууны дараа 360-аас давсан бөгөөд эдгээр нь зөвхөн янз бүрийн эх сурвалжаас цуглуулсан зүйлүүд юм. Нэр хүндтэй эрдэмтэд, шинжлэх ухааныг сурталчлагчдаас эхлээд конгрессмен, сургуулийн сурагчид хүртэл энэ мөнхийн зорилтын шийдлийг хэн гаргав. Хамгийн гайхалтай нь шийдлийн өвөрмөц байдал, энгийн байдлын хувьд бусад сонирхогчид мэргэжлийн хүмүүсээс дутахгүй байсан явдал юм!

Пифагорын теоремийн хамгийн эртний нотолгоо нь 2300 жилийн настай. Тэдний нэг нь хатуу аксиоматик нь МЭӨ 4-3-р зуунд амьдарч байсан эртний Грекийн математикч Евклидийнх юм. д. Элементүүдийн I дэвтэрт Пифагорын теоремыг "Бодол 47" гэж жагсаасан байдаг. "Пифагор өмд" -ийн хэлбэрийг өөрчлөхөд үндэслэсэн хамгийн үзэсгэлэнтэй, үзэсгэлэнтэй нотолгоо юм. Тэд ухаалаг дөрвөлжин огтлох оньсого шиг харагдаж байна. Гэхдээ хэсгүүдийг зөв хөдөлгө - тэгвэл тэд танд алдартай теоремын нууцыг илчлэх болно.

Энэ бол Хятадын эртний зохиолын зургийн үндсэн дээр олж авсан гоёмсог нотолгоо юм (Зураг 3) бөгөөд энэ нь дөрвөлжин талбайг хоёр дахин нэмэгдүүлэх асуудалтай шууд холбоотой юм.

Английн зохиолч Олдос Хакслийн “Бяцхан Архимед” өгүүллэгийн баатар, долоон настай Гвидо бага насны найздаа тайлбарлах гэж оролдсоны яг нотолгоо юм. Энэ зургийг ажигласан өгүүлэгч нотлох баримтын энгийн бөгөөд үнэмшилтэй байдлыг тэмдэглэж, түүнийг Пифагортой өөрөө холбосон нь сонин юм. Гэхдээ гол дүрЕвгений Велтистовын "Цахимчин - чемодантай хүү" хэмээх гайхалтай түүх нь Пифагорын теоремын 25 нотолгоог мэддэг байсан бөгөөд үүнд Евклидийн өгсөн; Гэсэн хэдий ч тэрээр үүнийг хамгийн энгийн гэж андуурсан боловч "Зарчмууд" сэтгүүлийн орчин үеийн хэвлэлд нэг хагас хуудас эзэлдэг!

Анхны математикч

Нэр нь гайхамшигтай теоремтой салшгүй холбоотой байсан Самосын Пифагорыг (МЭӨ 570-495) тодорхой утгаараа анхны математикч гэж нэрлэж болно. Түүнтэй хамт математик нь яг нарийн шинжлэх ухаан болж эхэлдэг бөгөөд аливаа шинэ мэдлэг нь туршлагаас олж авсан дүрслэл, дүрмийн үр дүн биш, харин үр дүн юм. логик үндэслэлболон дүгнэлт. Энэ бол математикийн аливаа саналын үнэнийг нэг удаа, бүрмөсөн тогтоох цорын ганц арга зам юм. Пифагороос өмнө зөвхөн дедуктив аргыг ашигладаг байсан эртний Грекийн гүн ухаантанМЭӨ 7-6-р зууны төгсгөлд амьдарч байсан эрдэмтэн Милетийн Фалес. д. Тэрээр нотлох баримтын санааг илэрхийлсэн боловч үүнийг системтэй биш, сонгомол байдлаар, дүрмээр бол "диаметр нь тойргийг хагасаар хуваадаг" гэх мэт тодорхой геометрийн мэдэгдлүүдэд хэрэглэсэн. Пифагор илүү хол явсан. Тэрээр анхны тодорхойлолт, аксиом, нотлох аргуудыг нэвтрүүлж, эртний Грекчүүдэд "Пифагорын уламжлал" нэртэй геометрийн анхны хичээлийг бий болгосон гэж үздэг. Тэрээр мөн тооны онол, стереометрийн гарал үүслийг бий болгосон.

Пифагорын өөр нэг чухал гавьяа бол зуу гаруй жилийн турш энэ шинжлэх ухааны хөгжлийг тодорхойлсон математикчдын алдарт сургуулийг үүсгэн байгуулах явдал юм. Эртний Грек. Түүний нэр нь Пифагор ба түүний дагалдагчид болох Пифагорчуудын бүтээсэн геометр, арифметик, одон орон, гармоник гэсэн дөрвөн холбогдох мэдлэгийн тогтолцоог нэгтгэсэн "математик" (грек хэлний μαθημa - заах, шинжлэх ухаан) гэсэн нэр томъёотой холбоотой юм.

Пифагорын ололт амжилтыг шавь нарынх нь ололтоос салгах боломжгүй: заншлын дагуу тэд өөрсдийн санаа, нээлтээ багшдаа өгсөн. Эртний Пифагорчууд ямар ч бичвэр үлдээгээгүй бөгөөд тэд бүх мэдээллийг бие биедээ амаар дамжуулдаг байв. Тиймээс 2500 жилийн дараа түүхчдэд бусад хожмын зохиолчдын хуулбар дээр үндэслэн алдагдсан мэдлэгээ сэргээхээс өөр аргагүй болсон. Грекчүүдэд зохих ёсоор нь өгцгөөе: хэдийгээр тэд Пифагорын нэрийг олон домгоор хүрээлүүлсэн ч түүний нээж чадаагүй, онол болгон хөгжүүлж чадаагүй зүйлийг түүнд хамааруулаагүй. Мөн түүний нэрийг агуулсан теорем нь үл хамаарах зүйл биш юм.

Ийм энгийн нотолгоо

Пифагор өөрөө тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын урт хоорондын хамаарлыг олж мэдсэн үү эсвэл энэ мэдлэгийг зээлсэн үү гэдэг нь тодорхойгүй байна. Эртний зохиолчид түүнийг өөрөө гэж мэдэгдэж байсан бөгөөд Пифагор өөрийн нээлтийг хүндэтгэн бухыг хэрхэн тахил өргөсөн тухай домог ярих дуртай байв. Орчин үеийн түүхчид түүнийг Вавилончуудын математиктай танилцсанаар теоремийн талаар мэдсэн гэж үзэх хандлагатай байдаг. Пифагор теоремыг ямар хэлбэрээр томъёолсныг бид бас мэдэхгүй байна: арифметикийн хувьд, өнөөгийн заншил ёсоор гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү, эсвэл геометрийн хувьд эртний хүмүүсийн сүнсээр дөрвөлжин баригдсан байдаг. тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз дээр түүний хөл дээр барьсан квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Түүний нэрээр нэрлэгдсэн теоремийн анхны нотолгоог Пифагор өгсөн гэж үздэг. Энэ нь мэдээжийн хэрэг амьд үлдсэнгүй. Нэг хувилбарын дагуу Пифагор өөрийн сургуульд боловсруулсан пропорцын сургаалыг ашиглаж болно. Тэр дундаа учир шалтгааны үндэс болсон ижил төстэй байдлын онол түүнд тулгуурласан байв. Гипотенуз в хүртэлх өндрийг a ба b хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжин зуръя. Бид гурван ижил төстэй гурвалжин, түүний дотор анхны гурвалжинг авдаг. Тэдгээрийн харгалзах талууд нь пропорциональ, a: c = m: a ба b: c = n: b, эндээс a 2 = c · m ба b 2 = c · n. Дараа нь a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (Зураг 4).

Энэ бол зүгээр л шинжлэх ухааны түүхчдийн нэгний санал болгосон сэргээн босголт боловч нотлох баримт нь маш энгийн: энэ нь хэдхэн мөр л шаардлагатай, юу ч дуусгах, дахин хэлбэржүүлэх, тооцоолох шаардлагагүй ... Энэ нь гайхах зүйл биш юм. Энэ нь нэг бус удаа дахин нээгдсэн. Энэ нь жишээлбэл, Пизагийн Леонардогийн (1220) "Геометрийн практик" номд агуулагдаж байгаа бөгөөд одоо ч сурах бичигт иш татсан хэвээр байна.

Ийм нотолгоо нь Пифагорчуудын харьцуулшгүй байдлын талаархи санаатай зөрчилдсөнгүй: эхлээд тэд дурын хоёр сегментийн уртын харьцаа, тиймээс шулуун шугаман дүрсүүдийн талбайг натурал тоогоор илэрхийлж болно гэж үздэг байв. Тэд өөр ямар ч тоог авч үзээгүй, бутархай тоог ч зөвшөөрдөггүй, 1: 2, 2: 3 гэх мэт харьцаагаар сольсон. Гэсэн хэдий ч хачирхалтай нь Пифагорын теорем нь Пифагорчуудыг харьцуулшгүй байдлын нээлтэд хүргэсэн юм. квадратын диагональ ба түүний тал. Нэгж квадратын хувьд энэ нь √2-тэй тэнцүү - энэ диагональ уртыг тоогоор илэрхийлэх бүх оролдлого нь хаашаа ч хүргэсэнгүй. Асуудлыг шийдэх боломжгүй гэдгийг батлахад илүү хялбар болсон. Ийм тохиолдолд математикчдад батлагдсан арга байдаг - зөрчилдөөнөөр нотлох. Дашрамд хэлэхэд энэ нь бас Пифагортой холбоотой юм.

Натурал тоогоор илэрхийлэгдэхгүй харьцаа байгаа нь Пифагорчуудын олон санааг зогсоосон. Тэдний мэддэг тоо нь бүх геометр битгий хэл энгийн бодлогуудыг ч шийдвэрлэхэд хангалтгүй гэдэг нь тодорхой болов! Энэхүү нээлт нь Грекийн математикийн хөгжлийн эргэлтийн цэг, түүний гол асуудал байв. Нэгдүгээрт, энэ нь зүйрлэшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн тухай сургаалыг хөгжүүлэхэд хүргэсэн - иррациональ байдал, дараа нь тооны тухай ойлголтыг өргөжүүлэхэд хүргэсэн. Өөрөөр хэлбэл, бодит тооны олонлогийг судлах олон зуун жилийн түүх түүнээс эхэлжээ.

Пифагорын мозайк

Хэрэв та жижиг дөрвөлжин бүрийг дөрвөн том талбайгаар хүрээлж, хоёр өөр хэмжээтэй дөрвөлжин хэлбэртэй онгоцыг бүрхвэл "Пифагор мозайк" паркет авах болно. Энэхүү загвар нь Пифагорын теоремын эртний нотолгоог санагдуулдаг чулуун шалыг удаан хугацаагаар чимэглэсэн байдаг (иймээс түүний нэр). Паркетан дээр дөрвөлжин сүлжээг янз бүрийн аргаар хийснээр янз бүрийн математикчдийн санал болгосон тэгш өнцөгт гурвалжны хажуу тал дээр барьсан квадратуудын хуваалтыг олж авах боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв та сүлжээг түүний бүх зангилаа нь жижиг дөрвөлжингийн баруун дээд оройтой давхцаж байгаа бол дундад зууны үеийн Персийн математикч ан-Наиризигийн Евклидийн элементүүдийн тайлбарт байрлуулсан зургийн хэлтэрхийнүүд, гарч ирнэ. Паркетан хавтангийн анхны элементүүд болох том, жижиг квадратуудын талбайн нийлбэр нь түүн дээр байрлуулсан торны нэг квадратын талбайтай тэнцүү байгааг харахад хялбар байдаг. Энэ нь заасан хэлтэс нь паркетан тавихад үнэхээр тохиромжтой гэсэн үг юм: зурагт үзүүлсэн шиг үүссэн олон өнцөгтийг квадрат болгон холбосноор та бүхэл бүтэн хавтгайг цоорхой, давхцалгүйгээр дүүргэж болно.

Зарим хэлэлцүүлэг намайг маш их баярлуулдаг ...

Сайн уу, та юу хийж байна вэ?
-Тийм ээ, би сэтгүүлээс асуудал шийдэж байна.
-За чи надад өгчих! Би чамаас ийм зүйл хүлээгээгүй.
-Юуг хүлээгээгүй юм бэ?
-Та оньсогоонд бөхийх болно. Чи ухаантай юм шиг хэрнээ янз бүрийн утгагүй зүйлд итгэдэг.
-Уучлаарай, би ойлгохгүй байна. Та юуг дэмий зүйл гэж нэрлэдэг вэ?
-Тийм ээ, таны энэ бүх математик. Энэ бол шал дэмий хоосон зүйл гэдэг нь ойлгомжтой.
-Яаж ингэж хэлж чадаж байна аа? Математик бол шинжлэх ухааны хатан хаан...
- Зүгээр л энэ замбараагүй байдлаас зайлсхийцгээе, тийм үү? Математик бол шинжлэх ухаан биш, харин тэнэг хууль, дүрмийн тасралтгүй овоо юм.
-Юу?!
-Өө, битгий нүдээ том болго, миний зөв гэдгийг чи өөрөө мэдэж байгаа. Үгүй ээ, би маргахгүй, үржүүлэх хүснэгт бол агуу зүйл, соёл, хүн төрөлхтний түүхийг бүрдүүлэхэд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн. Гэхдээ одоо энэ бүхэн хамааралгүй болсон! Тэгээд яагаад бүх зүйлийг төвөгтэй болгодог вэ? Байгальд интеграл эсвэл логарифм байдаггүй;
-Хүлээгээрэй. Математикчид юу ч зохион бүтээгээгүй бөгөөд батлагдсан арга хэрэгслийг ашиглан тоонуудын харилцан үйлчлэлийн шинэ хуулиудыг нээсэн...
- За, тийм ээ, мэдээжийн хэрэг! Мөн та үүнд итгэх үү? Тэд ямар утгагүй зүйл байнга ярьдагийг та харахгүй байна уу? Та надад жишээ хэлж чадах уу?
-Тийм ээ, сайхан сэтгэлтэй байгаарай.
-Тиймээ гуйя! Пифагорын теорем.
-За, юу нь болохгүй байгаа юм бэ?
-Тийм биш! "Пифагорын өмд бүх талаараа тэнцүү" гэж та ойлгож байна. Пифагорын үед Грекчүүд өмд өмсдөггүй байсныг та мэдэх үү? Яаж Пифагор өөрийн төсөөлөөгүй зүйлийн талаар ярьж чадаж байна аа?
-Хүлээгээрэй. Энэ өмдтэй ямар холбоотой вэ?
-За, тэд Пифагорчууд бололтой? Эсвэл үгүй ​​юу? Пифагор өмдгүй байсныг та хүлээн зөвшөөрөх үү?
- За, үнэндээ тийм биш байсан...
-Аха, энэ теоремын нэрэнд илт зөрүүтэй байна гэсэн үг! Та тэнд хэлсэн зүйлийг яаж нухацтай хүлээж авах вэ?
- Ганцхан минут. Пифагор өмдний тухай юу ч хэлээгүй...
-Та хүлээн зөвшөөрч байгаа биз дээ?
-Тиймээ... Тэгэхээр би үргэлжлүүлж болох уу? Пифагор өмдний талаар юу ч хэлээгүй бөгөөд бусад хүмүүсийн тэнэглэлийг түүнд хамааруулах шаардлагагүй ...
-Тийм ээ, энэ бүхэн дэмий зүйл гэдэгтэй та өөрөө санал нийлж байна!
- Би тэгж хэлээгүй!
-Би сая хэлсэн. Та өөртэйгөө зөрчилдөж байна.
-Тэгэхээр. Зогс. Пифагорын теорем юу гэж хэлдэг вэ?
-Бүх өмд тэнцүү байна.
-Хараал ид, чи энэ теоремыг уншсан уу?!
-Би мэднэ.
-Хаана?
- Уншсан.
-Та юу уншсан бэ?
-Лобачевский.
*түр зогсоох*
-Уучлаарай, Лобачевский Пифагортой ямар холбоотой вэ?
-За, Лобачевский ч бас математикч, тэр Пифагороос ч илүү эрх мэдэлтэй юм шиг байна, тийм үү?
*санаа алдах*
-За, Лобачевский Пифагорын теоремын талаар юу гэж хэлсэн бэ?
-Өмд тэнцүү байна гэж. Гэхдээ энэ бол утгагүй зүйл! Яаж ийм өмд өмсөж чадаж байна аа? Түүнээс гадна Пифагор огт өмд өмсдөггүй байсан!
-Лобачевский тэгж хэлсэн?!
*хоёр дахь түр зогсолт, итгэлтэйгээр*
-Тийм ээ!
-Хаана бичигдсэнийг үзүүлээч.
-Үгүй ээ, тэнд тийм шууд бичээгүй байна ...
-Номын нэр юу вэ?
-Тийм ээ, энэ бол ном биш, сонинд гарсан нийтлэл. Лобачевский бол үнэндээ Германы тагнуулын төлөөлөгч байсан тухай ... энэ нь утгагүй юм. Ямартай ч тэр ингэж хэлсэн байх. Тэр бас математикч бөгөөд энэ нь Пифагор болон Пифагор нар нэгэн зэрэг байдаг гэсэн үг юм.
-Пифагор өмдний талаар юу ч хэлээгүй.
- За, тийм ээ! Энэ бол бидний яриад байгаа зүйл юм. Энэ бүхэн дэмий хоосон зүйл.
-За дарааллаар нь явцгаая. Пифагорын теорем юу гэж хэлснийг та яаж мэдэх вэ?
-Өө, алив! Үүнийг хүн бүр мэддэг. Хэнээс ч асуу, тэр даруй танд хариулах болно.
-Пифагор өмд бол өмд биш...
-Өө, мэдээжийн хэрэг! Энэ бол зүйрлэл юм! Би үүнийг өмнө нь хэдэн удаа сонссоныг та мэдэх үү?
-Пифагорын теоремд хөлийн квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү гэж заасан байдаг. ТЭГЭЭД БАЙНА!
-Өмд хаана байна?
-Тийм ээ, Пифагор өмдгүй байсан!!!
-За, харж байна уу, би чамд ингэж хэлж байна. Чиний бүх математик бол тэнэг юм.
- Гэхдээ энэ бол тэнэг биш! Өөрөө хараарай. Энд гурвалжин байна. Энд гипотенуз байна. Энд хөл байна ...
-Яагаад гэнэт энэ хөл, энэ нь гипотенуз юм бэ? Магадгүй энэ нь эсрэгээрээ юм болов уу?
-Үгүй. Хөл нь зөв өнцөг үүсгэдэг хоёр тал юм.
-За ингээд өөр нэг зөв өнцгийг танд өгье.
-Тэр шулуун биш.
-Тэр ямар хүн бэ, муруй юм бэ?
-Үгүй ээ, хурц байна.
-Энэ нь бас халуун ногоотой.
-Онцгой биш, шулуун.
- Чи мэдэж байгаа, намайг битгий хуур! Үр дүнг хүссэн зүйлдээ тохируулахын тулд та зүгээр л зүйлийг өөрт тохирсон байдлаар дууддаг.
-Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр богино тал нь хөл юм. Урт тал нь гипотенуз юм.
-Тэгээд тэр тал нь хэн намхан бэ? Тиймээс гипотенуз эргэлдэхээ больсон уу? Өөрийгөө гаднаас нь сонс, ямар утгагүй юм яриад байгаа юм бэ. Энэ бол 21-р зуун, ардчиллын оргил үе, гэхдээ та ямар нэгэн байдлаар Дундад зууны үед байна. Түүний талууд тэгш бус байгааг та харж байна ...
-Тэгш талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжин гэж байдаггүй...
-Та итгэлтэй байна уу? Би чамд зориулж зуръя. Энд, хар. Тэгш өнцөгт үү? Тэгш өнцөгт. Мөн бүх талууд тэнцүү байна!
-Та дөрвөлжин зурсан.
-Тэгвэл яах вэ?
-Дөрвөлжин бол гурвалжин биш.
-Өө, мэдээжийн хэрэг! Энэ нь бидэнд тохирохгүй бол тэр даруй "гурвалжин биш" болно! Намайг битгий хуураарай. Өөрийгөө тоол: нэг булан, хоёр булан, гурван булан.
-Дөрөв.
-Тэгвэл яах вэ?
-Дөрвөлжин байна.
-Гурвалжин биш дөрвөлжин гэж юу вэ? Тэр илүү муу, тийм үү? Би зурсан болохоороо юу? Гурван булан байна уу? Байдаг, бас нэг сэлбэг ч бий. За, энд ямар ч буруу зүйл байхгүй, чи мэднэ ...
-За энэ сэдвээ орхиё.
-Тийм ээ, та аль хэдийн бууж өгч байна уу? Эсэргүүцэх зүйл байна уу? Та математик бол тэнэг гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх үү?
-Үгүй ээ, би хүлээн зөвшөөрөхгүй байна.
- За, бид дахин явлаа - гайхалтай! Би зүгээр л танд бүх зүйлийг нарийвчлан нотолсон! Хэрэв таны бүх геометрийн үндэс нь Пифагорын сургаал бөгөөд уучлалт гуйж байна, энэ бол утгагүй зүйл юм бол ... дараа нь та юу ярих вэ?
-Пифагорын сургаал дэмий хоосон зүйл биш...
- За, мэдээжийн хэрэг! Би Пифагорын сургуулийн талаар сонсоогүй! Тэд, хэрэв та мэдэхийг хүсэж байгаа бол, Оргид өөгшүүлсэн!
-Энэ ямар хамаатай юм...
-Тэгээд Пифагор үнэн хэрэгтээ фагот байсан! Тэр өөрөө Платоныг түүний найз гэж хэлсэн.
- Пифагор?!
-Чи мэдээгүй юм уу? Тийм ээ, тэд бүгд тэнэг байсан. Тэгээд толгой дээр нь гурван удаа тогшсон. Нэг нь торхонд унтаж, нөгөө нь нүцгэн хотоор гүйж...
-Диоген торхонд унтдаг байсан ч математикч биш философич байсан...
-Өө, мэдээжийн хэрэг! Хэрэв хэн нэгэн торх руу авирвал тэр математикч байхаа больсон! Бидэнд яагаад нэмэлт ичгүүр хэрэгтэй байна вэ? Бид мэднэ, бид мэднэ, бид өнгөрлөө. Гэхдээ чи надад гурван мянган жилийн өмнө амьдарч байсан, өмдгүй гүйж явсан янз бүрийн новшнууд яагаад миний эрх мэдэл байх ёстойг тайлбарлаж байна уу? Яагаад би тэдний үзэл бодлыг хүлээн зөвшөөрөх ёстой гэж?
-За, орхи...
- Үгүй ээ, сонс! Эцэст нь би ч бас чамайг сонссон. Энэ бол таны тооцоо, тооцоо ... Та нар бүгд яаж тоолохоо мэддэг! Хэрэв би чамаас ямар нэг зүйл асуувал: "энэ бол хувьсагч, энэ бол хувьсагч, эдгээр нь хоёр үл мэдэгдэх зүйл юм." Та надад ерөнхийд нь, тодорхой зүйлгүйгээр хэлээрэй! Мөн ямар ч үл мэдэгдэх, үл мэдэгдэх, оршин тогтнох зүйлгүй ... Энэ нь намайг өвдөж байна, та мэдэх үү?
-Ойлголоо.
-За, яагаад хоёр, хоёр дандаа дөрөв байдгийг тайлбарлаач? Үүнийг хэн гаргасан бэ? Тэгээд яагаад би үүнийг энгийн зүйл мэтээр хүлээж авах үүрэгтэй, эргэлзэх эрхгүй байна вэ?
-Тийм ээ, хүссэнээрээ эргэлз...
-Үгүй ээ, чи надад тайлбарла! Зөвхөн таны эдгээр жижиг зүйлсгүйгээр, гэхдээ ердийн байдлаар, хүнлэг байдлаар, энэ нь ойлгомжтой байх болно.
-Хоёр хоёрыг хоёроор үржүүлбэл дөрөвтэй тэнцэнэ.
- Газрын тосны тос. Та надад ямар шинэ зүйл хэлсэн бэ?
-Хоёр дахин хоёр гэдэг нь хоёрыг хоёроор үржүүлбэл. Хоёр, хоёрыг нь аваад нийлүүлээд...
-Тэгэхээр нэмэх үү, үржүүлэх үү?
-Яг л адилхан...
-Хоёулаа! Долоо, наймыг нэмээд үржүүлбэл бас л адилхан болж таарах нь ээ?
-Үгүй.
-Яагаад?
-Долоо нэмээд найм гэдэг нь тэнцэхгүй учраас...
-Тэгээд есийг хоёроор үржүүлбэл дөрөв гарах уу?
-Үгүй.
-Яагаад? Би хоёрыг үржүүлсэн, энэ нь ажиллаж байсан, гэвч гэнэт есөн нь бамбай болсон?
-Тиймээ. Хоёр ес гэдэг нь арван найм гэсэн үг.
-Хоёр долоог яах вэ?
-Арван дөрөв.
-Тэгээд хоёр удаа бол тав гэсэн үг үү?
- Арав.
-Тодорхой нэг тохиолдолд л дөрөв гарч байна гэсэн үг үү?
-Тийм л дээ.
-Одоо өөрөө бод. Та хэд хэдэн хатуу хууль, үржүүлгийн дүрэмтэй гэж байна. Тодорхой тохиолдол бүрт өөр өөр үр дүн гарвал бид ямар хуулийн талаар энд ярьж болох вэ?!
-Энэ нь огт үнэн биш. Заримдаа үр дүн нь ижил байж болно. Жишээлбэл, зургаа хоёр удаа бол арван хоёртой тэнцэнэ. Мөн дөрөв дахин гурав - бас ...
- Бүр муу! Хоёр, зургаа, гурав дөрөв - нийтлэг зүйл огт байхгүй! Үр дүн нь анхны өгөгдлөөс ямар ч хамааралгүй гэдгийг та өөрөө харж болно. Үүнтэй ижил шийдвэрийг хоёр үндсээр нь гаргадаг өөр өөр нөхцөл байдал! Хэдийгээр бидний байнга авдаг, юугаар ч өөрчлөгддөггүй ижил хоёр нь бүх тоогоор үргэлж өөр хариулт өгдөг. Логик хаана байна гэж гайхдаг.
- Гэхдээ энэ бол зүгээр л логик юм!
-Таны хувьд - магадгүй. Математикчид та нар үргэлж бүх төрлийн галзуу тэнэглэлд итгэдэг. Гэхдээ таны эдгээр тооцоо надад итгэхгүй байна. Тэгээд яагаад гэдгийг мэдэх үү?
-Яагаад?
-Учир нь би Би мэднэ, яагаад таны математик хэрэгтэй вэ? Энэ бүхэн юунд хүргэдэг вэ? "Катя халаасандаа нэг алимтай, Мишад таван алим байгаа бөгөөд тэд ижил тооны алимтай байхын тулд Катяад хэдэн алим өгөх ёстой вэ?" Тэгээд би чамд юу хэлэхийг чи мэдэх үү? Миша хэнд ч өргүйөг! Катя нэг алимтай, энэ нь хангалттай. Тэр хангалттай биш гэж үү? Түүнийг шаргуу хөдөлмөрлөж, алим, лийр, шампанскийн хан боргоцойд хүртэл мөнгө олохыг хичээгээрэй. Хэрэв хэн нэгэн ажил хийхгүй, зөвхөн асуудлаа шийдэхийг хүсч байвал тэр хүн ганц алимтайгаа сууж, гайхуулахгүй байг!

» Уорвикийн их сургуулийн математикийн гавьяат профессор, шинжлэх ухааныг алдаршуулагч Иан Стюарт хүн төрөлхтний түүхэн дэх тоонуудын гүйцэтгэх үүрэг, бидний цаг үед тэдгээрийг судлах ач холбогдлын талаар бичсэн.

Пифагорын гипотенуз

Пифагорын гурвалжин нь тэгш өнцөгт, бүхэл талтай. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь хамгийн урт тал нь 5, бусад нь 3 ба 4. Нийт 5 байна. ердийн олон талт. Тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийг тав дахь үндэс эсвэл бусад язгуур ашиглан шийдвэрлэх боломжгүй. Онгоц болон доторх торууд гурван хэмжээст орон зайтаван дэлбээтэй эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаггүй тул талстуудад ийм тэгш хэм байдаггүй. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь сараалжтай ойролцоо байж болно дөрвөн хэмжээст орон зайба квазикристал гэж нэрлэгддэг сонирхолтой бүтэцтэй байдаг.

Хамгийн жижиг Пифагорын гурвалсан гипотенуз

Пифагорын теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал (муу нэртэй гипотенуз) нь энэ гурвалжны бусад хоёр талтай маш энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй холбоотой байдаг: гипотенузын квадрат нь гурвалжны квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. бусад хоёр тал.

Уламжлал ёсоор бид энэ теоремыг Пифагорын нэрээр нэрлэдэг боловч үнэн хэрэгтээ түүний түүх нэлээд бүрхэг байдаг. Шавар шахмалууд нь эртний Вавилончууд Пифагорын теоремыг Пифагороос хамаагүй өмнө мэддэг байсан гэж үздэг; Илчлэгчийн алдар нэрийг түүнд Пифагорчуудын математикийн шүтлэг авчирсан бөгөөд тэдний дэмжигчид орчлон ертөнц тоон хуулиуд дээр суурилдаг гэж үздэг байв. Эртний зохиолчид янз бүрийн математикийн теоремуудыг Пифагорчуудад, тиймээс Пифагортой холбодог байсан боловч үнэндээ Пифагор өөрөө ямар математикийн чиглэлээр ажилладаг байсныг бид мэдэхгүй. Пифагорчууд Пифагорын теоремыг баталж чадсан уу, эсвэл зүгээр л үнэн гэж итгэсэн үү гэдгийг бид мэдэхгүй. Эсвэл тэдний үнэнийг батлах нотолгоо байсан ч өнөөдрийн бидний үзэж байгаа нотлох баримтад хангалтгүй байх магадлалтай.

Пифагорын нотолгоо

Пифагорын теоремын анхны мэдэгдэж буй нотолгоог Евклидийн элементүүдээс олж болно. Энэ хангалттай нарийн төвөгтэй нотолгооВикторийн сургуулийн сурагчид "Пифагорын өмд" гэж шууд таних зургийг ашиглах; Энэ зураг үнэхээр шугаман дээр хатаж буй дотуур өмдтэй төстэй юм. Өөр олон зуун нотлох баримтууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн ихэнх нь нотолгоог илүү тодорхой болгодог.

// будаа. 33. Пифагорын өмд

Хамгийн энгийн нотолгооны нэг бол нэг төрлийн математикийн оньсого юм. Ямар ч тэгш өнцөгт гурвалжинг аваад дөрвөн хуулбарыг хийж, дөрвөлжин дотор угсарна. Нэг зохион байгуулалтанд бид гипотенуз дээрх квадратыг харж байна; нөгөөтэй нь - гурвалжны нөгөө хоёр тал дээрх квадратууд. Хоёр тохиолдолд талбайнууд тэнцүү байх нь тодорхой байна.

// будаа. 34. Зүүн талд: гипотенуз дээрх дөрвөлжин (нэмэх дөрвөн гурвалжин). Баруун талд: нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэр (ижил дөрвөн гурвалжинг нэмсэн). Одоо гурвалжинг арилга

Перигалийн задрал нь бас нэг оньсого нотолгоо юм.

// будаа. 35. Перигалийн задрал

Хавтгай дээрх квадратуудыг цэгцлэх теоремийн баталгаа бас бий. Пифагорчууд эсвэл тэдний үл мэдэгдэх өмнөх хүмүүс энэ теоремыг ингэж нээсэн байх. Хэрэв та хазайсан дөрвөлжин нь өөр хоёр квадраттай хэрхэн давхцаж байгааг харвал том дөрвөлжин хэсгийг хэсэг болгон хувааж, дараа нь хоёр жижиг дөрвөлжин болгон нэгтгэхийг харж болно. Та мөн тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг харж болно, тэдгээрийн талууд нь оролцсон гурван квадратын хэмжээсийг өгдөг.

// будаа. 36. Хучилтаар нотлох

Тригонометрт ижил төстэй гурвалжинг ашигласан сонирхолтой нотолгоонууд байдаг. Наад зах нь тавин өөр нотолгоо мэдэгдэж байна.

Пифагорын гурав дахин

Тооны онолын хувьд Пифагорын теорем нь алгебрийн тэгшитгэлийн бүхэл тооны шийдлийг олох гэсэн үр дүнтэй санааны эх сурвалж болсон. Пифагорын гурвалсан нь a, b, c бүхэл тоонуудын багц юм

Геометрийн хувьд ийм гурвалж нь бүхэл талтай тэгш өнцөгт гурвалжинг тодорхойлдог.

Пифагор гурвын хамгийн бага гипотенуз нь 5 байна.

Энэ гурвалжны нөгөө хоёр тал нь 3 ба 4. Энд

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Дараагийн хамгийн том гипотенуз нь 10, учир нь

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Гэсэн хэдий ч энэ нь үндсэндээ хоёр талтай ижил гурвалжин юм. Дараагийн хамгийн том бөгөөд үнэхээр ялгаатай гипотенуз бол 13 бөгөөд үүний төлөө

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклид байдаг гэдгийг мэдэж байсан хязгааргүй тооянз бүрийн сонголтууд Пифагорын гурав дахин, мөн бүгдийг нь олох томьёо гэж нэрлэж болох зүйлийг өгсөн. Хожим нь Александрийн Диофант Евклидийнхтэй ижил төстэй энгийн жор санал болгов.

Дурын хоёр натурал тоог аваад тооцоол.

тэдгээрийн давхар бүтээгдэхүүн;

тэдгээрийн квадратуудын ялгаа;

тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр.

Гарсан гурван тоо нь Пифагорын гурвалжны талууд болно.

Жишээ нь 2 ба 1 тоонуудыг авч үзье. Тооцоолъё:

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 2 × 1 = 4;

квадратуудын ялгаа: 22 - 12 = 3;

квадратуудын нийлбэр: 22 + 12 = 5,

Тэгээд бид алдартай 3-4-5 гурвалжинг авсан. Хэрэв бид 3 ба 2-ын тоог авбал бид дараахь зүйлийг авна.

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 3 × 2 = 12;

квадратуудын ялгаа: 32 - 22 = 5;

квадратуудын нийлбэр: 32 + 22 = 13,

Тэгээд бид дараагийн хамгийн алдартай гурвалжин болох 5 - 12 - 13-ыг авна. 42 ба 23 тоонуудыг авч үзье.

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 42 × 23 = 1932;

квадратуудын ялгаа: 422 - 232 = 1235;

квадратуудын нийлбэр: 422 + 232 = 2293,

1235-1932-2293 гурвалжингийн талаар хэн ч сонсож байгаагүй.

Гэхдээ эдгээр тоонууд бас ажилладаг:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Диофантийн дүрмийн өөр нэг онцлог нь аль хэдийн дурдсан байдаг: гурван тоог өгвөл бид өөр дурын тоог авч, бүгдийг нь үржүүлж болно. Тиймээс 3-4-5 гурвалжинг бүх талыг 2-оор үржүүлбэл 6-8-10 гурвалжин, бүгдийг нь 5-аар үржүүлбэл 15-20-25 гурвалжин болгож болно.

Хэрэв бид алгебрийн хэл рүү шилжих юм бол дүрэм дараах хэлбэрийг авна: let u, v, k натурал тоонууд. Дараа нь талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжин

2kuv ба k (u2 - v2) нь гипотенузтай

Үндсэн санааг илэрхийлэх өөр аргууд байдаг боловч бүгд дээр дурдсан нэгдлүүдийг нэгтгэдэг. Энэ арга нь бүх Пифагорын гурвыг олж авах боломжийг олгодог.

Ердийн олон талт

Яг таван ердийн олон өнцөгт байдаг. Ердийн олон өнцөгт (эсвэл полиэдрон) нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай нүүртэй гурван хэмжээст дүрс юм. Нүүр нь ирмэг гэж нэрлэгддэг шугамууд дээр бие биентэйгээ уулздаг; ирмэгүүд нь орой гэж нэрлэгддэг цэгүүдэд нийлдэг.

Евклидийн Принсипийн оргил нь зөвхөн таван энгийн олон талт, өөрөөр хэлбэл нүүр тус бүрийг төлөөлдөг олон талтууд байж болдгийн нотолгоо юм. ердийн олон өнцөгт(тэнцүү талууд, тэгш өнцөгтүүд), бүх нүүр нь ижил бөгөөд бүх оройнууд хүрээлэгдсэн байна тэнцүү тооижил зайтай ирмэгүүд. Энд таван энгийн олон талт:

дөрвөн гурвалжин нүүр, дөрвөн орой, зургаан ирмэг бүхий тетраэдр;

шоо, эсвэл зургаан өнцөгт, 6 дөрвөлжин нүүр, 8 орой, 12 ирмэг;

8 гурвалжин нүүр, 6 орой, 12 ирмэг бүхий октаэдр;

12 таван өнцөгт нүүр, 20 орой, 30 ирмэг бүхий додекаэдр;

20 гурвалжин нүүр, 12 орой, 30 ирмэг бүхий икосаэдр.

// будаа. 37. Таван ердийн олон талт

Ердийн олон талтуудыг мөн байгальд олж болно. 1904 онд Эрнст Геккель радиоляр гэж нэрлэгддэг жижиг биетүүдийн зургийг нийтэлсэн; Тэдний олонх нь ижил таван энгийн олон талт хэлбэртэй байдаг. Гэсэн хэдий ч тэрээр байгалийг бага зэрэг засч залруулсан байж магадгүй бөгөөд зураг нь тодорхой амьд биетүүдийн хэлбэрийг бүрэн тусгадаггүй. Эхний гурван бүтэц нь талстуудад бас ажиглагддаг. Талстуудаас та додекаэдр ба икосаэдрүүдийг олохгүй, гэхдээ заримдаа жигд бус додекаэдр болон икосахэдрүүд байдаг. Жинхэнэ додекаэдрүүд нь бараг талст хэлбэртэй байж болох бөгөөд тэдгээр нь атомууд нь үечилсэн тор үүсгэдэггүйг эс тооцвол талстуудтай бүх талаараа төстэй байдаг.

// будаа. 38. Геккелийн зураг: ердийн олон талт хэлбэртэй радиолярчууд

// будаа. 39. Тогтмол олон талтуудын хөгжил

Эхлээд хоорондоо холбогдсон нүүрний багцыг хайчилж аваад цаасан дээрээс ердийн олон өнцөгтийн загварыг хийх нь сонирхолтой байж болох юм - үүнийг олон өнцөгт хөгжүүлэх гэж нэрлэдэг; хөгжил нь ирмэгийн дагуу нугалж, холбогдох ирмэгийг наасан байна. Зурагт үзүүлсэн шиг ийм хос бүрийн хавирга дээр нэмэлт цавуу нэмэх нь ашигтай байдаг. 39. Хэрэв ийм тавцан байхгүй бол та наалдамхай туузыг ашиглаж болно.

Тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл

5-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх алгебрийн томъёо байхгүй.

IN ерөнхий үзэлТав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Асуудал нь ийм тэгшитгэлийн шийдлийн томъёог олох явдал юм (энэ нь тав хүртэлх шийдэлтэй байж болно). Квадрат болон куб тэгшитгэл, түүнчлэн дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд ийм томьёо байх ёстой бөгөөд онолын хувьд тав, гурав, хоёрдугаар зэргийн үндэс гарч ирэх ёстой гэж үздэг. Дахин хэлэхэд, хэрэв ийм томьёо байгаа бол маш нарийн төвөгтэй байх болно гэж бид итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Энэ таамаг нь эцэстээ буруу болж хувирав. Үнэндээ ийм томъёо байхгүй; наад зах нь нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, үндсийг авах замаар хийсэн a, b, c, d, e, f коэффициентуудаас бүрдэх томьёо байхгүй. Тиймээс 5-ын тоонд маш онцгой зүйл бий. Таван хүний ​​энэ ер бусын зан үйлийн шалтгаан нь маш гүн бөгөөд тэдгээрийг ойлгоход маш их цаг зарцуулсан.

Математикчид ийм томьёог олох гэж хичнээн хичээсэн ч, хичнээн ухаантай байсан ч ямагт бүтэлгүйтдэг нь асуудлын эхний шинж тэмдэг байв. Хэсэг хугацааны турш хүн бүр шалтгаан нь томъёоны гайхалтай нарийн төвөгтэй байдалд оршдог гэдэгт итгэдэг байв. Энэ алгебрийг хэн ч зөв ойлгож чадахгүй гэж үздэг байсан. Гэсэн хэдий ч цаг хугацаа өнгөрөхөд зарим математикчид ийм томьёо байдаг гэдэгт эргэлзэж эхэлсэн бөгөөд 1823 онд Нилс Хендрик Абел эсрэгээр нь баталж чадсан юм. Ийм томъёо байхгүй. Үүнээс хойш удалгүй Эваристе Галуа нэг буюу өөр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг (5, 6, 7, аль ч төрлийн) ийм томьёо ашиглан шийдвэрлэх боломжтой эсэхийг тодорхойлох аргыг олсон.

Энэ бүхнээс дүгнэлт нь энгийн: 5-ын тоо онцгой юм. Та алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэж болно (үндэс ашиглан n-р зэрэг n-ийн өөр утгуудын хувьд 1, 2, 3, 4-р зэрэглэлийн хувьд, гэхдээ 5-р зэрэгт биш. Эндээс илэрхий загвар дуусна.

5-аас дээш зэрэгтэй тэгшитгэлүүд бүр ч муу ажиллаж байгаад хэн ч гайхдаггүй; ялангуяа ижил хүндрэл нь тэдэнтэй холбоотой: тэдгээрийг шийдвэрлэх ерөнхий томъёо байдаггүй. Энэ нь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй гэсэн үг биш юм; Энэ нь эдгээр шийдлүүдийн хувьд маш нарийн тоон утгыг олох боломжгүй гэсэн үг биш юм. Энэ нь уламжлалт алгебрийн хэрэгслүүдийн хязгаарлалтын тухай юм. Энэ нь захирагч, луужин ашиглан өнцгийг гурвалсан огтлох боломжгүйг санагдуулдаг. Хариулт байгаа боловч жагсаасан аргууд нь хангалтгүй бөгөөд энэ нь юу болохыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодоггүй.

Кристаллографийн хязгаарлалт

Хоёр ба гурван хэмжээст талстууд нь 5 цацрагийн эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаггүй.

Кристал дахь атомууд нь тор үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн бие даасан чиглэлд үе үе давтагддаг бүтэц юм. Жишээлбэл, ханын цаасны хэв маяг нь өнхрөх уртын дагуу давтагддаг; Үүнээс гадна, энэ нь ихэвчлэн хэвтээ чиглэлд давтагддаг, заримдаа ханын цаасны нэг хэсгээс нөгөө рүү шилждэг. Үндсэндээ ханын цаас нь хоёр хэмжээст болор юм.

Онгоцонд 17 төрлийн ханын цаасны загвар байдаг (17-р бүлгийг үзнэ үү). Тэдгээр нь тэгш хэмийн төрлөөр ялгаатай байдаг, өөрөөр хэлбэл хэв маягийг анхны байрлалдаа яг өөр дээрээ байрлуулахаар хатуу хөдөлгөх арга замаар ялгаатай байдаг. Тэгш хэмийн төрлүүд нь, ялангуяа эргэлтийн тэгш хэмийн янз бүрийн хувилбаруудыг агуулдаг бөгөөд хэв маягийг тодорхой цэгийн эргэн тойронд тодорхой өнцгөөр эргүүлэх ёстой - тэгш хэмийн төв.

Эргэлтийн тэгш хэмийн дараалал нь хэв маягийн бүх нарийн ширийн зүйлс анхны байрлалдаа буцаж очихын тулд биеийг бүтэн тойрог хэлбэрээр эргүүлэх тоо юм. Жишээлбэл, 90° эргүүлэх нь 4-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм юм*. Кристал тор дахь эргэлтийн тэгш хэмийн боломжит төрлүүдийн жагсаалт нь 5-ын тооны ер бусын байдлыг дахин харуулж байна: тэнд байхгүй. 2, 3, 4, 6-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэмтэй сонголтууд байдаг боловч ямар ч ханын цаасны 5-р эрэмбийн тэгш хэмтэй байдаггүй. 6-аас дээш эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм нь талстуудад байдаггүй боловч дарааллын эхний зөрчил 5-р тоонд тохиолддог.

Гурван хэмжээст орон зай дахь талстографийн системд ижил зүйл тохиолддог. Энд тор нь бие даасан гурван чиглэлд давтагдана. 219 өөр төрлийн тэгш хэм байдаг, эсвэл дизайны толин тусгал дүрсийг тусдаа хувилбар гэж үзвэл 230 байдаг - энэ тохиолдолд толин тусгал тэгш хэм байхгүй ч гэсэн. Дахин хэлэхэд 2, 3, 4, 6-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм ажиглагдаж байгаа боловч 5 биш. Энэ баримтыг кристаллографийн хязгаарлалт гэж нэрлэдэг.

Дөрвөн хэмжээст орон зайд 5-р дарааллын тэгш хэмтэй торууд байдаг; Ерөнхийдөө хангалттай өндөр хэмжээтэй торны хувьд эргэлтийн тэгш хэмийн урьдчилан тодорхойлсон дарааллыг хийх боломжтой.

// будаа. 40. Хоолны давсны болор тор. Харанхуй бөмбөлөг нь натрийн атомыг, цайвар бөмбөг нь хлорын атомыг илэрхийлдэг

Квазикристалууд

Хэдийгээр 5-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм нь 2 хэмжээст эсвэл 3 хэмжээст торонд боломжгүй ч энэ нь бараг талст гэгддэг арай бага тогтмол бүтэцтэй байж болно. Кеплерийн ноорог зургуудыг ашиглан Рожер Пенроуз илүү олон төрлийн хавтгай системийг нээсэн ерөнхий төрөлтав дахин тэгш хэм. Тэдгээрийг квазикристалл гэж нэрлэдэг.

Квазикристалууд байгальд байдаг. 1984 онд Даниел Шехтман хөнгөн цагаан ба манганы хайлш нь хагас талст үүсгэж болохыг олж мэдсэн; Эхэндээ кристаллографчид түүний захиасыг бага зэрэг эргэлзэж хүлээж авч байсан ч хожим нээлт нь батлагдаж, 2011 онд Шехтман шагнал хүртжээ. Нобелийн шагналхимийн чиглэлээр. 2009 онд Лука Бинди тэргүүтэй эрдэмтдийн баг Оросын Коряк уулын уулсаас хөнгөн цагаан, зэс, төмрийн нэгдэл болох эрдэст хагас талстыг илрүүлжээ. Өнөөдөр энэ эрдэсийг икосаэдрит гэж нэрлэдэг. Эрдэмтэд масс-спектрометр ашиглан эрдэс дэх янз бүрийн хүчилтөрөгчийн изотопуудын агуулгыг хэмжсэнээр энэ эрдэс дэлхий дээр үүсээгүй болохыг тогтоожээ. Энэ нь ойролцоогоор 4.5 тэрбум жилийн өмнө үүссэн нарны системдөнгөж нялх байхдаа байсан бөгөөд ихэнх цагаа астероидын бүсэд Нарыг тойрон эргэлдэж, зарим нэг эвдрэл нь тойрог замаа өөрчилж, эцэст нь дэлхий рүү авчрах хүртэл зарцуулсан.

// будаа. 41. Зүүн талд: яг тав дахин тэгш хэмтэй хоёр талст торны нэг. Баруун талд: Икосаэдр хөнгөн цагаан-палладий-манганы квазикристалын атомын загвар

Үзүүлэнг бие даасан слайдаар тайлбарлах:

1 слайд

Слайдын тайлбар:

MBOU Бондарская дунд сургуулийн сурагчдын төсөл: "Пифагор ба түүний теорем" Бэлтгэсэн: Константин Эктов, 7А ангийн сурагч Удирдагч: Математикийн багш Надежда Ивановна Долотова, 2015 он.

2 слайд

Слайдын тайлбар:

3 слайд

Слайдын тайлбар:

Тэмдэглэл. Геометр бол маш сонирхолтой шинжлэх ухаан юм. Энэ нь бие биентэйгээ төстэй биш боловч заримдаа маш их шаардлагатай олон теоремуудыг агуулдаг. Би Пифагорын теоремыг их сонирхож эхэлсэн. Харамсалтай нь бид хамгийн чухал мэдэгдлүүдийн нэгийг наймдугаар ангид л сурдаг. Би нууцын хөшгийг сөхөж, Пифагорын теоремыг судлахаар шийдсэн.

4 слайд

Слайдын тайлбар:

5 слайд

Слайдын тайлбар:

6 слайд

Слайдын тайлбар:

Зорилго: Пифагорын намтар түүхийг судлах. Теоремын түүх, нотолгоог судлаарай. Урлагт теоремыг хэрхэн ашигладаг болохыг олж мэдээрэй. Пифагорын теоремыг ашигласан түүхэн асуудлуудыг ол. Энэ теоремд янз бүрийн үеийн хүүхдүүдийн хандлагатай танилц. Төсөл үүсгэх.

7 слайд

Слайдын тайлбар:

Судалгааны явц Пифагорын намтар. Пифагорын зарлиг ба афоризмууд. Пифагорын теорем. Теоремын түүх. Яагаад "Пифагорын өмд бүх чиглэлд тэнцүү" вэ? Бусад эрдэмтдийн Пифагорын теоремын янз бүрийн нотолгоо. Пифагорын теоремын хэрэглээ. Судалгаа. Дүгнэлт.

8 слайд

Слайдын тайлбар:

Пифагор - тэр хэн бэ? Самосын Пифагор (МЭӨ 580 - 500) эртний Грекийн математикч, идеалист философич. Самос арал дээр төрсөн. Хүлээн авсан сайн боловсрол. Домогт өгүүлснээр, Пифагор Дорнодын эрдэмтдийн мэргэн ухаантай танилцахын тулд Египетэд очиж, 22 жил амьдарсан. Египетчүүдийн бүх шинжлэх ухаан, тэр дундаа математикийг сайн эзэмшсэн тэрээр Вавилон руу нүүж, тэнд 12 жил амьдарч, тэдэнтэй танилцжээ. шинжлэх ухааны мэдлэгВавилоны тахилч нар. Уламжлал ёсоор Пифагорыг Энэтхэгт айлчилсан гэж үздэг. Иония, Энэтхэг тэр үед худалдааны харилцаатай байсан тул энэ нь маш их магадлалтай юм. Эх орондоо буцаж ирээд (МЭӨ 530 он) Пифагор өөрийн гүн ухааны сургуулийг зохион байгуулахыг оролдов. Гэсэн хэдий ч үл мэдэгдэх шалтгаанаар тэрээр удалгүй Самосыг орхин Кротон (Италийн хойд хэсэгт орших Грекийн колони) хотод суурьшжээ. Энд Пифагор бараг гучин жил ажилласан сургуулиа зохион байгуулж чаджээ. Пифагорын сургууль, эсвэл Пифагорын холбоо гэж нэрлэгддэг сургууль нь философийн сургууль байсан. улс төрийн нам, шашны ахан дүүс. Пифагорын эвслийн байдал маш хатуу байсан. Философийн үзэл бодлоороо Пифагор бол боол эзэмшдэг язгууртнуудын ашиг сонирхлыг хамгаалагч, идеалист байсан. Магадгүй энэ нь түүний Самосыг орхих шалтгаан байсан байх, учир нь ардчилсан үзлийг дэмжигчид Иониад маш их нөлөө үзүүлсэн. Нийгмийн асуудалд "захиалгаар" Пифагорчууд язгууртнуудын ноёрхлыг ойлгодог байв. Тэд эртний Грекийн ардчиллыг буруушааж байсан. Пифагорын гүн ухаан нь боол эзэмшигч язгууртнуудын засаглалыг зөвтгөх анхны оролдлого байв. 5-р зууны төгсгөлд. МЭӨ д. Грек болон түүний колониудыг ардчилсан хөдөлгөөний давалгаа нөмрөв. Кротон хотод ардчилал ялав. Пифагор шавь нартайгаа хамт Кротоныг орхин Тарентум руу, дараа нь Метапонтум руу явав. Пифагорчууд Метапонтумд ирсэн нь тэнд ард түмний бослого дэгдсэнтэй давхцсан юм. Шөнийн мөргөлдөөний нэгэнд бараг ерэн настай Пифагор нас барав. Түүний сургууль оршин тогтнохоо больсон. Пифагорын шавь нар хавчлагаас зугтан Грек болон түүний колони даяар суурьшжээ. Амьжиргаагаа залгуулж, тэд ихэвчлэн арифметик, геометрийн хичээл заадаг сургуулиудыг зохион байгуулжээ. Тэдний ололт амжилтын талаархи мэдээллийг хожмын эрдэмтэд болох Платон, Аристотель гэх мэт бүтээлүүдэд багтаасан болно.

Слайд 9

Слайдын тайлбар:

Пифагорын зарлиг ба афоризмууд Дэлхий дээрх хүмүүсийн хоорондын бодол санаа нь бүхнээс илүү байдаг. Тарианы хэмжүүр дээр сууж болохгүй (өөрөөр хэлбэл зүгээр сууж болохгүй). Явахдаа эргэж бүү хар (өөрөөр хэлбэл үхэхээсээ өмнө амьдралд бүү наалд). Зодсон замаар бүү алхаарай (өөрөөр хэлбэл олны санаа бодлыг биш, харин ойлгодог цөөхөн хүмүүсийн санаа бодлыг дагаж мөрдөөрэй). Гэртээ хараацай бүү хадгал (өөрөөр хэлбэл яриа хөөрөөтэй эсвэл хэлээрээ даруухан зочдыг хүлээж авахгүй). Ачаа үүрч байгаа хүмүүстэй хамт бай, ачааг үүрдэг хүмүүстэй хамт байж болохгүй (өөрөөр хэлбэл хүмүүсийг дэмий хоосон байдалд биш, буян, хөдөлмөрт уриалах). Амьдралын талбарт тариачин шиг жигд, тогтмол алхаж яв. Жинхэнэ эх орон бол зөв ёс суртахуунтай газар юм. Эрдэмтэй нийгмийн гишүүн байж болохгүй: хамгийн ухаалаг нь нийгмийг бүрдүүлснээр энгийн хүмүүс болдог. Тоо, жин, хэмжүүрийг нандин тэгш байдлын хүүхдүүд гэж үз. Хүсэл хүслээ хэмжиж, бодлоо хэмжиж, үгээ тоол. Юунд ч бүү гайх: бурхад гайхсан.

10 слайд

Слайдын тайлбар:

Теоремын мэдэгдэл. Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын уртын квадрат нь хөлний уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

11 слайд

Слайдын тайлбар:

Теоремын баталгаа. Асаалттай одоогоорЭнэхүү теоремын 367 нотолгоог шинжлэх ухааны ном зохиолд тэмдэглэсэн байдаг. Магадгүй Пифагорын теорем бол ийм гайхалтай тооны баталгаатай цорын ганц теорем юм. Мэдээжийн хэрэг, бүгдийг нь цөөн тооны ангиудад хувааж болно. Тэдгээрийн хамгийн алдартай нь: талбайн аргын нотолгоо, аксиоматик ба чамин нотолгоо.

12 слайд

Слайдын тайлбар:

Пифагорын теоремын нотолгоо a, b ба гипотенуз в бүхий тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдсөн. c² = a² + b² гэдгийг баталцгаая. Бид гурвалжинг a + b талтай дөрвөлжин болгож дуусгана. Энэ квадратын S талбай (a + b)² байна. Нөгөө талаас квадрат нь ½ a b-тэй тэнцүү S-тэй тэнцүү дөрвөн тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас тогтоно. S = 4 ½ a b + c² = 2 a b + c² Тиймээс (a + b)² = 2 a b + c², үүнээс c² = a² + b² c c c c c a b

Слайд 13

Слайдын тайлбар:

Пифагорын теоремын түүх Пифагорын теоремын түүх сонирхолтой. Хэдийгээр энэ теорем нь Пифагорын нэртэй холбоотой боловч түүнээс өмнө мэдэгдэж байсан. Вавилоны бичвэрүүдэд энэ теорем Пифагороос 1200 жилийн өмнө гардаг. Тухайн үед түүний нотлох баримт хараахан мэдэгдээгүй байж магадгүй бөгөөд гипотенуз ба хөлийн хоорондын хамаарлыг хэмжилт дээр үндэслэн эмпирик байдлаар тогтоосон байдаг. Пифагор энэ харилцааны нотолгоог олсон бололтой. Пифагор өөрийн нээлтийг хүндэтгэн бурхдад нэг бух, бусад нотлох баримтын дагуу зуун бухыг тахил өргөсөн гэсэн эртний домог хадгалагдан үлджээ. Дараагийн хэдэн зууны туршид Пифагорын теоремийн бусад янз бүрийн нотолгоо олдсон. Одоогийн байдлаар тэдгээрийн зуу гаруй нь байгаа боловч хамгийн алдартай нь өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглан квадрат барих тухай теорем юм.

Слайд 14

Слайдын тайлбар:

Теорем дотор Эртний Хятад"Хэрэв тэгш өнцөг нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задарвал суурь нь 3, өндөр нь 4 байх үед түүний хажуугийн төгсгөлүүдийг холбосон шугам нь 5 болно."

15 слайд

Слайдын тайлбар:

Эртний Египетийн теорем Кантор (Германы математикийн хамгийн агуу түүхч) 3² + 4² = 5² тэгшитгэлийг МЭӨ 2300 оны үед египетчүүдэд аль хэдийн мэддэг байсан гэж үздэг. д., Аменемхет хааны үед (Берлиний музейн 6619 папирусын дагуу). Канторын хэлснээр харпедонапт буюу "олс татагч" нь 3, 4, 5 талтай тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг ашиглан зөв өнцгийг бүтээжээ.

16 слайд

Слайдын тайлбар:

Вавилон дахь теоремийн тухай “Талес, Пифагор, Пифагорчууд зэрэг Грекийн анхны математикчдын гавьяа бол математикийн нээлт биш, харин түүнийг системчлэх, зөвтгөх явдал юм. Тэдний гарт тодорхойгүй санаан дээр үндэслэсэн тооцооллын жор яг нарийн шинжлэх ухаан болсон."

Слайд 17

Слайдын тайлбар:

Яагаад "Пифагорын өмд бүх чиглэлд тэнцүү" вэ? Хоёр мянган жилийн турш Пифагорын теоремын хамгийн түгээмэл нотолгоо бол Евклидийн онол байв. Энэ нь түүний алдарт "Зарчмууд" номонд бичигдсэн байдаг. Евклид CH өндрийг баруун өнцгийн оройноос гипотенуз хүртэл буулгаж, түүний үргэлжлэл нь гипотенуз дээр дууссан квадратыг хоёр тэгш өнцөгт болгон хувааж, талбайнууд нь хажуу тал дээр баригдсан харгалзах квадратуудын талбайтай тэнцүү болохыг нотолсон. Энэ теоремыг батлахад ашигласан зургийг "Пифагорын өмд" гэж хошигнон нэрлэдэг. Удаан хугацааны туршид энэ нь математикийн шинжлэх ухааны бэлгэдлийн нэг гэж тооцогддог.

18 слайд

Слайдын тайлбар:

Эртний хүүхдүүдийн Пифагорын теоремыг батлахад хандах хандлагыг Дундад зууны үеийн оюутнууд маш хэцүү гэж үздэг байв. Сул оюутнуудТеоремыг цээжээр, ямар ч ойлголтгүйгээр цээжилдэг байсан тул "илжиг" гэж хочилдог байсан тэд Пифагорын теоремыг даван туулж чадаагүй бөгөөд энэ нь тэдний хувьд дийлдэшгүй гүүр болсон юм. Пифагорын теоремыг дагалдан зурсан зургуудаас болж оюутнууд үүнийг "салхин тээрэм" гэж нэрлэж, "Пифагорын өмд тал талдаа тэнцүү" гэх мэт шүлэг зохиож, хүүхэлдэйн кино зурдаг байв.

Слайд 19

Слайдын тайлбар:

Теоремын баталгаа Теоремын хамгийн энгийн баталгааг тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд олж авна. Үнэн хэрэгтээ теоремын үнэн зөв гэдэгт итгэлтэй байхын тулд тэгш өнцөгт гурвалжны мозайкийг харахад л хангалттай. Жишээлбэл, ABC гурвалжны хувьд: АС гипотенуз дээр баригдсан квадрат нь 4 анхны гурвалжныг агуулж байгаа бөгөөд хажуу тал дээр барьсан квадратууд нь хоёрыг агуулна.

20 слайд

Слайдын тайлбар:

"Сүйт бүсгүйн сандал" Зураг дээр хөл дээр барьсан квадратуудыг нэг нэгээр нь шатлан ​​байрлуулсан байна. Энэ тоо нь манай эриний өмнөх 9-р зуунаас хойшхи нотлох баримтад харагдаж байна. э., Хиндучууд үүнийг "сүйт бүсгүйн сандал" гэж нэрлэдэг.

21 слайд

Слайдын тайлбар:

Пифагорын теоремын хэрэглээ Одоогийн байдлаар шинжлэх ухаан, технологийн олон салбарыг хөгжүүлэх амжилт нь хөгжлөөс хамаардаг гэдгийг нийтээрээ хүлээн зөвшөөрдөг. янз бүрийн чиглэлүүдматематик. Чухал нөхцөлүйлдвэрлэлийн үр ашгийг нэмэгдүүлэх нь математикийн аргыг технологид өргөнөөр нэвтрүүлэх ба үндэсний эдийн засаг, үүнд шинээр бий болгох, үр дүнтэй аргуудпрактикт тулгарч буй асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгодог чанарын болон тоон судалгаа.

22 слайд

Слайдын тайлбар:

Барилгад теоремыг хэрэглэх Готик болон Романескийн барилгуудад цонхны дээд хэсгүүд нь чулуун хавиргаар хуваагддаг бөгөөд энэ нь зөвхөн гоёл чимэглэлийн үүрэг гүйцэтгэдэг төдийгүй цонхны бат бөх байдалд хувь нэмэр оруулдаг.

Слайд 23

Слайдын тайлбар:

24 слайд

Слайдын тайлбар:

Түүхэн даалгаварууд шигүү мөхлөгт бэхлэхийн тулд та 4 кабель суурилуулах хэрэгтэй. Кабелийн нэг төгсгөлийг 12 м-ийн өндөрт, нөгөөг нь шонгоос 5 м-ийн зайд газар дээр нь бэхэлсэн байх ёстой. 50 м кабель нь тулгуурыг бэхлэхэд хангалттай юу?

Пифагорын өмд нь бүх талаасаа тэнцүү байна.
Үүнийг батлахын тулд хальсанд буулгаж, харуулах хэрэгтэй.

Энэ шүлгийг дунд сургуулиас эхлээд бид геометрийн хичээл дээр Пифагорын алдарт теоремыг судалснаас хойш хүн бүр мэддэг байсан: тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын уртын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Пифагор теоремоо батлахын тулд гурвалжны хажуугийн дөрвөлжин элсэнд дүрс зуржээ. Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийн квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү, А квадрат дээр B квадрат нь С квадраттай тэнцүү байна. Энэ нь МЭӨ 500 онд болсон. Өнөөдөр Пифагорын теоремыг хэрэгжүүлж байна ахлах сургууль. Гиннесийн амжилтын номонд Пифагорын теорем нь хамгийн их баталгаатай теорем юм. Үнэхээр ч 1940 онд Пифагорын теоремын гурван зуун далан баталгааг агуулсан ном хэвлэгджээ. Тэдний нэгийг АНУ-ын Ерөнхийлөгч Жеймс Абрам Гарфилд санал болгосон. Теоремын цорын ганц нотолгоо нь бидний хэнд ч мэдэгдээгүй хэвээр байгаа нь Пифагорын өөрийнх нь нотолгоо юм. Удаан хугацааны туршид Евклидийн нотолгоог Пифагорын нотолгоо гэж үздэг байсан бол одоо математикчид энэ нотолгоог Евклидийнх гэж үздэг.

Евклидийн сонгодог нотолгоо нь гипотенузын дээрх квадратыг хөл дээрх квадратуудтай тэгш өнцөгтийн өндрөөр задлах замаар үүссэн тэгш өнцөгтүүдийн хоорондох талбайн тэгш байдлыг тогтооход чиглэгддэг.

Баталгаажуулахад ашигласан бүтэц нь дараах байдалтай байна: тэгш өнцөгт C өнцөгтэй ABC гурвалжны хувьд ACED ба BCFG хөлний дээрх квадратууд ба ABIK гипотенузын дээрх квадратууд CH өндөр ба түүний үргэлжлэл s туяаг байгуулж, дээрх квадратыг хуваана. гипотенузыг AHJK ба BHJI хоёр тэгш өнцөгт болгон хувиргана. Нотолгоо нь AC хөл дээрх квадраттай AHJK тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдлыг тогтооход чиглэгддэг; Гипотенузын дээрх дөрвөлжин ба нөгөө хөлний дээрх тэгш өнцөгтийг бүрдүүлдэг хоёр дахь тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдлыг ижил төстэй байдлаар тогтооно.

AHJK ба ACED тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдлыг ACK ба ABD гурвалжнуудын конгруэнцээр тогтоодог бөгөөд тус бүрийн талбай нь AHJK ба ACED тэгш өнцөгтүүдийн талбайн талтай тэнцүү байна. Дараах шинж чанарууд: гурвалжны талбай нь нийтлэг талтай бол гурвалжны талбайн талтай, гурвалжны өндөр нь нийтлэг талтай тэнцүү бол тэгш өнцөгтийн нөгөө талтай тэнцүү байна. Гурвалжны тохирол нь хоёр тал (квадратуудын талууд) ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн тэгшитгэлээс (зөв өнцөг ба өнцгөөс бүрдэх A цэгээс бүрдэнэ.

Ийнхүү AHJK ба BHJI тэгш өнцөгтүүдээс бүрдэх гипотенузын дээрх квадратын талбай нь хөлний дээрх квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү болохыг нотолж байна.

Германы математикч Карл Гаусс Сибирийн тайгын модноос Пифагорын аварга том өмдийг огтлохыг санал болгов. Эдгээр өмдийг сансраас харахад харь гарагийнхан манай гариг ​​дээр ухаалаг амьтад амьдардаг гэдэгт итгэлтэй байх ёстой.

Пифагор өөрөө хэзээ ч өмд өмсдөггүй байсан нь инээдтэй юм - тэр үед Грекчүүд ийм хувцасны шүүгээний зүйлийн талаар огт мэддэггүй байв.

Эх сурвалжууд:

• sandbox.fizmat.vspu.ru
• en.wikipedia.org
• kuchmastar.fandom.com

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.