Ердийн хавтгай тэгшитгэл

1.

4.

Шүргэдэг хавтгай ба гадаргуу хэвийн

Зарим гадаргууг өгье, А нь гадаргуугийн тогтмол цэг, В нь хувьсах цэггадаргуу,

(Зураг 1).

Тэг биш вектор

→

n

дуудсан хэвийн вектор А цэг дээрх гадаргуу руу, хэрэв

лим B → A j = π 2 .

Энэ цэг дээрх гадаргуугийн F (x, y, z) = 0 цэгийг энгийн гэж нэрлэдэг

1. хэсэгчилсэн деривативууд F " x , F " y , F " z тасралтгүй;
2. (F " x )2 + (F "y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Хэрэв эдгээр нөхцлүүдийн дор хаяж нэг нь зөрчигдсөн бол гадаргуугийн цэгийг дуудна гадаргуугийн тусгай цэг .

Теорем 1.Хэрэв M(x 0 , y 0 , z 0 ) нь F (x, y, z) = 0 гадаргуугийн энгийн цэг, тэгвэл вектор

→ n = градус F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → би + F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) → к

(1)

М цэг дээрх энэ гадаргууд хэвийн байна (x 0 , y 0 , z 0 ).

Баталгаа I.M-ийн номонд өгөгдсөн. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова `` Дээд математикийн курс: Интеграл тооцоо. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд. Дифференциал тэгшитгэл. М.: MPEI хэвлэлийн газар, 2002 (х. 128).

Гадаргуу дээр хэвийналь нэг цэгт чиглэлийн вектор нь энэ цэгийн гадаргууд хэвийн бөгөөд энэ цэгийг дайран өнгөрдөг шулуун шугам байдаг.

Каноник хэвийн тэгшитгэлхэлбэрээр төлөөлж болно

x − x 0 F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Шүргэдэг онгоцтодорхой цэгт гадаргуу руу энэ цэгээр дамжин өнгөрч байгаа хавтгай нь энэ цэг дэх гадаргуугийн нормальтай перпендикуляр байна.

Энэ тодорхойлолтоос ийм зүйл гарч байна шүргэгч хавтгай тэгшитгэлхэлбэртэй байна:

(3)

Хэрэв гадаргуу дээрх цэг нь ганц бие бол тэр үед гадаргууд хэвийн вектор байхгүй байж болох тул гадаргуу нь хэвийн ба шүргэгч хавтгайгүй байж болно.

Хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалын геометрийн утга

a (x 0, y 0) цэг дээр z = f (x, y) функцийг дифференциал болгоё. Түүний график нь гадаргуу юм

f (x, y) − z = 0.

z 0 = f (x 0 , y 0 ) гэж тавья. Дараа нь А цэг (x 0 , y 0 , z 0 ) гадаргууд хамаарна.

F (x, y, z) = f (x, y) − z функцийн хэсэгчилсэн деривативууд нь

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

ба А цэг дээр (x 0 , y 0 , z 0 )

1. тэдгээр нь тасралтгүй;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Иймд A нь F (x, y, z) гадаргуугийн энгийн цэг бөгөөд энэ цэг дээр гадаргуутай шүргэгч хавтгай байна. (3)-ын дагуу шүргэгч хавтгай тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

a (x 0, y 0) цэгээс дурын p (x, y) цэг рүү шилжих үед шүргэгч хавтгай дээрх цэгийн босоо шилжилт нь B Q (Зураг 2). Өргөдөл гаргагчийн харгалзах өсөлт нь байна

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Энд баруун талд дифференциал байна г z функц z = f (x, y) a цэг дээр (x 0, x 0). Тиймээс,
г f (x 0 , y 0 ). нь (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) цэг дээрх f (x, y) функцийн график руу чиглэсэн шүргэгч хавтгайн хэрэглээний өсөлт юм.

Дифференциалын тодорхойлолтоос харахад функцийн график дээрх P цэг ба шүргэгч хавтгай дээрх Q цэгийн хоорондох зай хязгааргүй их байна. өндөр захиалга p цэгээс а цэг хүртэлх зайнаас.

z = f(x,y) 2 хувьсагчтай функцийн график нь D функцийн тодорхойлолтын муж руу XOY хавтгайд туссан гадаргуу юм.
Гадаргууг анхаарч үзээрэй σ , тэгшитгэлээр өгөгдсөн z = f(x,y) , энд f(x,y) нь дифференциалагдах функц ба M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) нь σ гадаргуу дээрх тогтмол цэг байг, өөрөөр хэлбэл. z 0 = f(x 0 ,y 0). Зорилго. Онлайн тооцоолуур нь олоход зориулагдсан шүргэгч хавтгай ба гадаргуугийн хэвийн тэгшитгэл. Шийдлийг Word форматаар боловсруулсан болно. Хэрэв та муруй руу шүргэгчийн тэгшитгэлийг олох шаардлагатай бол (y = f(x)) энэ үйлчилгээг ашиглах хэрэгтэй.

Функцийг оруулах дүрэм:

Функцийг оруулах дүрэм:

1. Бүх хувьсагчдыг x,y,z-ээр илэрхийлнэ

Гадаргуутай шүргэгч хавтгай σ түүний цэг дээр М 0 нь гадаргуу дээр зурсан бүх муруйн шүргэгч байрлах хавтгай юм σ цэгээр дамжуулан М 0 .
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) цэг дээрх z = f(x,y) тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гадаргуутай шүргэгч хавтгайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Векторыг гадаргуугийн хэвийн вектор гэж нэрлэдэг σ M 0 цэг дээр. Хэвийн вектор нь шүргэгч хавтгайд перпендикуляр байна.
Гадаргуу дээр хэвийн σ цэг дээр М 0 нь энэ цэгийг дайран өнгөрөх ба N векторын чиглэлтэй шулуун шугам юм.
М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) цэгийн z = f(x,y) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог гадаргуугийн хэвийн байдлын каноник тэгшитгэлийг z 0 = f(x 0 ,y 0), хэлбэртэй байна:

Жишээ №1. Гадаргууг x 3 +5y тэгшитгэлээр тодорхойлно. М 0 (0;1) цэгийн гадаргуутай шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг ол.
Шийдэл. Шүргэх тэгшитгэлүүдийг бичье ерөнхий үзэл: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Бодлогын нөхцлийн дагуу x 0 = 0, y 0 = 1, тэгвэл z 0 = 5 болно.
z = x^3+5*y функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
M 0 (0,1) цэг дээр хэсэгчилсэн деривативын утгууд нь:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Томъёог ашиглан бид M 0 цэгийн гадаргуутай шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) эсвэл -5 y+z = 0

Жишээ №2. Гадаргууг y 2 -1/2*x 3 -8z гэж далд байдлаар тодорхойлсон. М 0 (1;0;1) цэг дээрх гадаргууд шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг ол.
Шийдэл. Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох. Функц нь далд байдлаар тодорхойлогдсон тул бид дараах томъёог ашиглан деривативуудыг хайдаг.

Манай функцийн хувьд:

Дараа нь:

M 0 (1,0,1) цэг дээр хэсэгчилсэн деривативын утгууд:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Томъёог ашиглан бид M 0 цэгийн гадаргуутай шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) эсвэл 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Жишээ. Гадаргуу σ тэгшитгэлээр өгөгдсөн z= y/x + xy – 5x 3. Гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг ол σ цэг дээр М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), түүнд хамаарах бол x 0 = –1, y 0 = 2.
Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё z= е(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x.
Цэг М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) гадаргууд хамаарна σ , ингэснээр бид тооцоолж болно z 0 , өгөгдсөнийг орлуулах x 0 = –1 ба y 0 = 2 гадаргуугийн тэгшитгэлд:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Яг цэг дээр М 0 (–1, 2, 1) хэсэгчилсэн дериватив утгууд:
f x '( М 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( М 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Томъёо (5) ашиглан бид гадаргуутай шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна σ цэг дээр М 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Томъёо (6) ашиглан бид гадаргуугийн хэвийн байдлын каноник тэгшитгэлийг олж авна σ цэг дээр М 0: .
Хариултууд: шүргэгч хавтгай тэгшитгэл: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; хэвийн тэгшитгэл: .

Жишээ №1. z=f(x,y) функц ба A(x 0, y 0) ба B(x 1, y 1) гэсэн хоёр цэг өгөгдсөн. Шаардлагатай: 1) В цэг дээрх функцийн z 1 утгыг тооцоолох; 2) А цэгээс В цэг рүү шилжих үед функцийн өсөлтийг дифференциалаар сольж, А цэг дээрх функцийн z 0 утгыг үндэслэн В цэг дээрх функцийн z 1 ойролцоо утгыг тооцоолох; 3) C(x 0 ,y 0 ,z 0) цэг дээр z = f(x,y) гадаргуутай шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг үүсгэнэ.
Шийдэл.
Шүргэх тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичье.
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Бодлогын нөхцлийн дагуу x 0 = 1, y 0 = 2, тэгвэл z 0 = 25 болно.
z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
M 0 (1,2) цэг дээр хэсэгчилсэн деривативын утгууд нь:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Томъёог ашиглан бид M 0 цэг дээрх гадаргуутай шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна.
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
эсвэл
-26 x-36 y+z+73 = 0

Жишээ №2. (1;-1;3) цэг дээр зууван параболоидын z = 2x 2 + y 2 шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг бич.

Тангенс хавтгай нь геометрт томоохон үүрэг гүйцэтгэдэг. Шүргэдэг онгоц барих нь практикийн хувьд байна чухал, учир нь тэдгээрийн оршихуй нь контактын цэг дээр гадаргуу руу чиглэсэн хэвийн чиглэлийг тодорхойлох боломжийг олгодог. Энэ асуудлыг инженерийн практикт өргөн ашигладаг. Шүргэх онгоцыг мөн тойм зураг зурахад ашигладаг. геометрийн хэлбэрүүд, хаалттай гадаргуугаар хязгаарлагддаг. IN онолын хувьдгадаргуутай шүргэгч онгоцыг дифференциал геометрт контактын цэгийн бүсийн гадаргуугийн шинж чанарыг судлахад ашигладаг.

Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт

Гадаргуутай шүргэгч хавтгайг таслагчийн хавтгайн хязгаарлах байрлал гэж үзэх хэрэгтэй (муруй руу шүргэгч шугамтай адилтгаж, үүнийг мөн таслагчийн хязгаарлах байрлал гэж тодорхойлдог).

Гадаргуу дээр өгөгдсөн цэг дээр гадаргуутай шүргэгч хавтгай нь бүх шулуун шугамуудын багц юм - гадаргуу руу татсан шүргэгч. энэ цэг.

Дифференциал геометрийн хувьд энгийн цэг дээр зурсан гадаргуутай шүргэгч бүх шүргэгч нь хоорондоо уялдаатай (нэг хавтгайд хамаарах) болохыг баталсан.

Гадаргуу дээр шүргэгч шулуун шугамыг хэрхэн зурахыг олж мэдье. Гадаргуу дээр заасан M цэг дэх β гадаргуутай шүргэгч t (Зураг 203) нь гадаргуугийн хоёр цэгт (MM 1, MM 2, ..., MM n) огтлолцох l j secant-ийн хязгаарлах байрлалыг илэрхийлнэ. огтлолцох цэгүүд давхцдаг (M ≡ M n , l n ≡ l M). Мэдээжийн хэрэг (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, учир нь g ⊂ β. Дээрхээс үзэхэд дараахь тодорхойлолтыг гаргана. гадаргуутай шүргэгч нь гадаргууд хамаарах аливаа муруйтай шүргэгч шулуун шугам юм.

Хавтгай нь огтлолцсон хоёр шулуун шугамаар тодорхойлогддог тул гадаргуутай шүргэгч хавтгайг тодорхойлно. өгсөн оноо, энэ цэгээр гадаргууд хамаарах дурын хоёр шугамыг (хэлбэрийн хувьд илүү тохиромжтой) татахад хангалттай бөгөөд эдгээр шугамын огтлолцлын цэг дээр тус бүр рүү шүргэгчийг байгуулахад хангалттай. Баригдсан шүргэгч нь шүргэгч хавтгайг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Өгөгдсөн M цэг дээр β гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг зурах дүрслэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 204. Энэ зурагт мөн β гадаргуугийн хэвийн n-ийг харуулж байна.

Өгөгдсөн цэг дээрх гадаргуугийн хэвийн хэмжээ нь шүргэгч хавтгайд перпендикуляр ба шүргэх цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм.

Гадаргуугийн хэвийн дундуур өнгөрөх хавтгайтай огтлолцох шугамыг гадаргуугийн хэвийн хэсэг гэнэ. Гадаргуугийн төрлөөс хамааран шүргэгч хавтгай нь гадаргуутай нэг эсвэл олон цэгтэй (шугам) байж болно. Шүргэх шугам нь нэгэн зэрэг гадаргуугийн хавтгайтай огтлолцох шугам байж болно.

Мөн гадаргуу дээр шүргэгч зурах боломжгүй цэгүүд байдаг; ийм цэгүүдийг ганц бие гэж нэрлэдэг. Жишээ болгон ганц бие цэгүүдХэрэв меридиан ба тэнхлэг нь зөв өнцгөөр огтлолцохгүй бол их биеийн гадаргуугийн буцах ирмэгт хамаарах цэгүүд эсвэл эргэлтийн гадаргуугийн голчид түүний тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг дурдаж болно.

Хүрэлцэх төрлүүд нь гадаргуугийн муруйлтаас хамаарна.

Гадаргуугийн муруйлт

Гадаргуугийн муруйлттай холбоотой асуудлыг Францын математикч Ф.Дюпин (1784-1873) судалж, гадаргуугийн хэвийн хэсгүүдийн муруйлтын өөрчлөлтийг дүрслэх дүрслэх аргыг санал болгосон.

Үүнийг хийхийн тулд M цэг дээр авч үзэж буй гадаргуутай шүргэгч хавтгайд (Зураг 205, 206) эдгээр хэсгүүдийн муруйлтын харгалзах радиусын утгуудын квадрат язгууртай тэнцүү сегментүүдийг шүргэгч дээр байрлуулна. энэ цэгийн хоёр талын хэвийн хэсгүүд. Цэгүүдийн багц - сегментүүдийн төгсгөлүүд гэж нэрлэгддэг муруйг тодорхойлдог Дупиний үзүүлэлт. Дупин индикатриц (Зураг 205) байгуулах алгоритмыг дараах байдлаар бичиж болно.

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

Энд R нь муруйлтын радиус юм.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) нь Дупин индикатрис юм.

Хэрэв гадаргуугийн Дупин индикатрикс нь эллипс байвал М цэгийг эллипс, гадаргууг эллипс цэгүүд гэж нэрлэдэг.(Зураг 206). Энэ тохиолдолд шүргэгч хавтгай нь гадаргуутай зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байх бөгөөд гадаргууд хамаарах бүх шугамууд шүргэгч хавтгайн нэг талд байрлана. Зууван цэг бүхий гадаргуугийн жишээ нь: эргэлтийн параболоид, эргэлтийн эллипсоид, бөмбөрцөг (энэ тохиолдолд Дупины индикатрикс нь тойрог гэх мэт).

Их биений гадаргуу руу шүргэгч хавтгайг зурахдаа шулуун генатриксийн дагуу энэ гадаргууд хүрнэ. Энэ шулуун дээрх цэгүүдийг дуудна параболик, гадаргуу нь параболик цэгүүдтэй гадаргуу юм. Энэ тохиолдолд Дупины индикатор нь хоёр зэрэгцээ шугам юм (Зураг 207*).

Зураг дээр. 208 нь цэгүүдээс бүрдэх гадаргууг харуулж байна

* Хоёр дахь эрэмбийн муруй - парабол - at тодорхой нөхцөлхоёр бодит зэрэгцээ шугам, хоёр төсөөлөл зэрэгцээ шугам, хоёр давхцах шугам болгон хувааж болно. Зураг дээр. 207 бид хоёр жинхэнэ зэрэгцээ шугамтай харьцаж байна.

Аливаа шүргэгч хавтгай гадаргууг огтолно. Ийм гадаргууг гэж нэрлэдэг гипербол, мөн түүнд хамаарах цэгүүд байна гипербол цэгүүд. Энэ тохиолдолд Дупины индикатрис нь гипербол юм.

Бүх цэгүүд нь гипербол байдаг гадаргуу нь эмээл хэлбэртэй байдаг (ташуу хавтгай, нэг хуудас гиперболоид, эргэлтийн хотгор гадаргуу гэх мэт).

Нэг гадаргуу нь цэгтэй байж болно янз бүрийн төрөлжишээлбэл, их биеийн гадаргуугийн ойролцоо (Зураг 209) M цэг нь зууван хэлбэртэй байна; N цэг нь параболик; K цэг нь гипербол юм.

Дифференциал геометрийн явцад муруйлтын утгууд K j = 1/ R j (үүнд R j нь авч үзэж буй хэсгийн муруйлтын радиус) хэвийн хэсгүүд нь хоёр хэсэгт байрладаг нь батлагдсан. харилцан перпендикуляр хавтгай.

Ийм муруйлт K 1 = 1/R макс. K 2 = 1/R min-ийг үндсэн гэж нэрлэдэг бөгөөд H = (K 1 + K 2)/2 ба K = K 1 K 2 утгууд нь гадаргуугийн дундаж муруйлт ба нийт (Гаусс) юм. тухайн цэг дээрх гадаргуугийн муруйлт. Зуйван цэгийн хувьд K > 0, гипербол цэг K

Monge диаграмм дээр гадаргуутай шүргэгч хавтгайг зааж өгөх

Доор бид тодорхой жишээнүүдийг ашиглан эллипс (жишээ 1), параболик (жишээ 2) ба гипербол (жишээ 3) цэгүүдтэй гадаргуутай шүргэгч хавтгай барихыг харуулах болно.

ЖИШЭЭ 1. Зууван цэгүүдтэй β эргэлтийн гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг байгуул. Энэ асуудлыг шийдэх хоёр хувилбарыг авч үзье: a) цэг M ∈ β ба b) цэг M ∉ β

Сонголт a (Зураг 210).

Шүргэх хавтгай нь β гадаргуугийн параллель ба меридиан руу M цэг дээр татсан t 1 ба t 2 хоёр шүргэгчээр тодорхойлогддог.

β гадаргуугийн h параллель t 1 шүргэгчийн проекцууд нь t" 1 ⊥ (S"M") ба t" 1 || x тэнхлэг М цэгийг дайран өнгөрөх β гадаргуугийн d меридиан руу t" 2 шүргэгчийн хэвтээ проекц нь меридианы хэвтээ проекцтой давхцах болно. t" 2 шүргэгчийн урд талын проекцийг олохын тулд меридианаль хавтгай γ(γ) ∋ M) гадаргуугийн тэнхлэгийг тойрон эргэснээр β нь γ 1 байрлалд шилжинэ. хавтгайтай зэрэгцээπ 2. Энэ тохиолдолд M → M 1 цэг (M" 1, M" 1 t" 2 rarr; t" 2 1 шүргэгчийн проекцийг (M" 1 S") тодорхойлно. Хэрэв бид одоо γ 1 хавтгайг анхны байрлалдаа буцавал S" цэг байрандаа (эргэлтийн тэнхлэгт хамаарах) хэвээр байх ба M" 1 → M" ба шүргэгч t" 2-ийн урд талын проекц нь тодорхойлох (M" S")

M ∈ β цэг дээр огтлолцсон t 1 ба t 2 хоёр шүргэгч нь β гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг тодорхойлно.

Сонголт b (Зураг 211)

Гадаргуунд хамаарахгүй цэгийг дайран өнгөрч буй гадаргуутай шүргэгч хавтгай байгуулахын тулд дараахь зүйлийг харгалзан үзэх шаардлагатай: зууван цэгүүдээс бүрдсэн гадаргуугийн гаднах цэгээр дамжуулан гадаргуутай шүргэгч олон хавтгайг зурж болно. Эдгээр гадаргуугийн дугтуй нь зарим конус гадаргуу байх болно. Тиймээс, хэрэв нэмэлт заавар байхгүй бол асуудал нь олон шийдэлтэй бөгөөд энэ тохиолдолд өгөгдсөн гадаргуутай β шүргэгч конус гадаргууг зурахад хүргэдэг.

Зураг дээр. 211-д β бөмбөрцөгт шүргэгч γ конус гадаргуугийн бүтцийг харуулав. Конус гадаргуутай γ шүргэгч аливаа хавтгай α β гадаргуутай шүргэнэ.

M" ба M" цэгүүдээс γ гадаргуугийн проекцийг бүтээхийн тулд бид h" ба f" тойрог руу шүргэгч зурдаг - бөмбөрцгийн проекцууд. 1 (1" ба 1"), 2 (2" ба 2"), 3 (3" ба 3") ба 4 (4" ба 4") мэдрэгчтэй цэгүүдийг тэмдэглэ. Тойргийн хэвтээ проекц - конус гадаргуу ба бөмбөрцгийн шүргэлтийн шугамыг [1"2"] проекцын урд талын хавтгайд уг тойргийг тусгах эллипсийн цэгүүдийг олохын тулд бид ашиглана. бөмбөрцгийн параллелууд.

Зураг дээр. 211 ийм байдлаар E ба F (E" ба F") цэгүүдийн урд талын проекцийг тодорхойлно. γ конус гадаргуутай тул бид түүнд шүргэгч α хавтгай байгуулна. Графикийн мөн чанар, дараалал

Үүний тулд хийх шаардлагатай барилга байгууламжийг дараах жишээнд үзүүлэв.

ЖИШЭЭ 2 Параболик цэгүүдтэй β гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг байгуул.

Жишээ 1-ийн нэгэн адил бид хоёр шийдлийг авч үзье: a) N ∈ β цэг; b) N ∉ β цэг

Сонголт a (Зураг 212).

Конус гадаргуу нь параболын цэгүүдтэй гадаргууг хэлнэ (207-р зургийг үз.) Конус гадаргуутай шүргэгч хавтгай нь шулуун шугамын дагуу хүрдэг.

1) өгөгдсөн N цэгээр SN (S"N" ба S"N" генераторыг зурна;

2) generatrix (SN) -ийн огтлолцох цэгийг d хөтөчтэй тэмдэглэнэ: (SN) ∩ d = A;

3) мөн А цэг дээрх t-д шүргэгч рүү үлээнэ.

generatrix (SA) ба түүнийг огтолж буй шүргэгч t нь өгөгдсөн N* цэг дээрх конус гадаргууд β шүргэгч α хавтгайг тодорхойлно.

Конус гадаргуутай β шүргэгч, N цэгийг дайран өнгөрөх α хавтгайг зурахын тулд хамаарахгүй.

* β гадаргуу нь параболын цэгүүдээс (S оройноос бусад) бүрддэг тул түүнтэй шүргэгч α хавтгай нь нэг N цэг биш харин шулуун шугам (SN) байх болно.

өгөгдсөн гадаргууг дарахад шаардлагатай:

1) өгөгдсөн N цэг ба конус гадаргуугийн S оройгоор дамжуулан шулуун шугамыг a (a" ба a") татна;

2) энэ шулуун шугамын хэвтээ ул мөрийг тодорхойлох H a;

3) H a-ээр h 0β муруйн t" 1 ба t" 2 шүргэгчийг зурах - конус гадаргуугийн хэвтээ ул мөр;

4) A (A" ба A") ба B (B" ба B") шүргэгч цэгүүдийг S (S" ба S") конус гадаргуугийн оройд холбоно.

t 1, (AS) ба t 2, (BS) огтлолцох шугамууд нь хүссэн шүргэгч α 1 ба α 2 хавтгайг тодорхойлно.

ЖИШЭЭ 3. Гипербол цэгүүдтэй β гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг байгуул.

K цэг (зураг 214) нь бөмбөрцгийн гадаргуу (цагирагны дотоод гадаргуу) дээр байрладаг.

α шүргэгч хавтгайн байрлалыг тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

1) K цэгээр дамжуулан β h(h", h") гадаргуутай параллель зурах;

2) K" цэгээр t" 1 (t" 1 ≡ h") шүргэгчийг зурна;

3) меридиал огтлолын шүргэгчийн проекцуудын чиглэлийг тодорхойлохын тулд K цэг ба гадаргуугийн тэнхлэгээр γ хавтгайг зурах шаардлагатай бөгөөд хэвтээ проекц t" 2 нь h 0γ-тай давхцах болно; барих. шүргэгчийн урд талын проекц t" 2, бид эхлээд γ хавтгайг эргэлтийн гадаргуугийн тэнхлэгийг тойрон эргүүлж γ 1 || π 2. Энэ тохиолдолд γ хавтгайгаар меридианаль хэсэг нь урд талын проекцын зүүн тойм нумантай тохирно - хагас тойрог g".

Меридиал огтлолын муруйд хамаарах K (K, K") цэг нь K 1 (K" 1, K" 1) байрлал руу шилжинэ. K" 1-ээр дамжуулан бид γ 1 || хавтгайтай хослуулсан t" 2 1 шүргэгчийн урд талын проекцийг зурна. π 2 байрлал ба түүний огтлолцлын цэгийг эргэлтийн тэнхлэгийн урд талын проекцоор тэмдэглэнэ S" 1. Бид γ 1 хавтгайг анхны байрлал руу нь буцаана, K" 1 → K" (цэг S" 1 ≡ S") t" 2" шүргэгчийн урд талын проекцийг K" ба S" цэгүүдээр тодорхойлно.

t 1 ба t 2 шүргэгч нь l муруйн дагуу β гадаргууг огтолж буй хүссэн шүргэгч хавтгай α-г тодорхойлно.

ЖИШЭЭ 4. К цэг дээр β гадаргуутай шүргэгч α хавтгайг байгуул. K цэг нь эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын гадаргуу дээр байрладаг (Зураг 215).

Өмнөх жишээнд ашигласан алгоритмыг дагаж мөрдөж, энэ асуудлыг шийдэж болох боловч эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын гадаргуу нь шулуун шугаман генераторын хоёр гэр бүлтэй, нэг генератор тус бүр нь нэг үүсгүүртэй байдаг захирамжтай гадаргуу юм. гэр бүл нь нөгөө гэр бүлийн бүх генераторыг огтолдог (§ 32, 138-р зургийг үз). Энэ гадаргуугийн цэг бүрээр огтлолцсон хоёр шулуун шугамыг зурж болно - генераторууд нь эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын гадаргуутай нэгэн зэрэг шүргэнэ.

Эдгээр шүргэгч нь шүргэгч хавтгайг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын гадаргуутай шүргэгч хавтгай нь g 1 ба g 2 гэсэн хоёр шулуун шугамын дагуу энэ гадаргууг огтолдог. Эдгээр шугамын төсөөллийг бий болгоход хангалттай хэвтээ проекц K цэгүүд, хэвтээ чиглэлд t" 1 ба t" 2 шүргэгчийг зурна

Тойргийн tal проекц d" 2 - эргэлтийн нэг хуудас гиперболоидын гадаргуугийн хоолой; t" 1 ба t" 2 нэг ба чиглүүлэх гадаргуу d 1 огтлолцох 1" ба 2 цэгүүдийг тодорхойлно. 1" ба 2"-ээс бид 1" ба 2"-ийг олдог бөгөөд энэ нь K"-тэй хамт шаардлагатай шугамуудын урд талын проекцийг тодорхойлдог.

Хэзээ нэгэн цагт үргэлжилсэн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг бөгөөд ядаж нэг нь алга болдоггүй бол энэ цэгийн ойролцоо тэгшитгэлээр тодорхойлсон гадаргуу нь (1) байх болно. зөв гадаргуу.

Дээрхээс гадна тодорхойлох далд аргагадаргууг тодорхойлж болно ойлгомжтой, хэрэв хувьсагчийн аль нэгийг, жишээ нь z, бусад хувьсагчаар илэрхийлж болно:

Бас байдаг параметрийнтомилох арга. Энэ тохиолдолд гадаргууг тэгшитгэлийн системээр тодорхойлно.

Энгийн гадаргуугийн тухай ойлголт

Илүү нарийн, энгийн гадаргуу нэгж квадратын дотоод хэсгийн гомеоморф зураглал (өөрөөр хэлбэл нэгийг харьцах ба харилцан тасралтгүй зураглал) дүрс гэж нэрлэдэг. Энэ тодорхойлолтыг аналитик илэрхийлэл болгон өгч болно.

Дотор цэгүүдийн координат нь 0 тэгш бус байдлыг хангадаг тэгш өнцөгт u ба v координатын системтэй хавтгайд квадрат өгье.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Жишээ энгийн гадаргуухагас бөмбөрцөг юм. Бүхэл бүтэн бөмбөрцөг тийм биш энгийн гадаргуу. Энэ нь гадаргуугийн тухай ойлголтыг цаашид ерөнхийд нь авч үзэх шаардлагатай болдог.

Цэг бүр нь хөрштэй байдаг орон зайн дэд хэсэг энгийн гадаргуу, дуудсан зөв гадаргуу .

Дифференциал геометрийн гадаргуу

Хеликоид

Катеноид

Метрик нь гадаргуугийн хэлбэрийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдоггүй. Жишээлбэл, геликоид ба катеноидын хэмжигдэхүүн нь тохирох параметртэй давхцдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн бүсүүдийн хооронд бүх уртыг (изометрийн) хадгалдаг захидал харилцаа байдаг. Изометрийн хувиргалтуудын үед хадгалагдах шинж чанаруудыг нэрлэдэг дотоод геометргадаргуу. Дотоод геометр нь гадаргуугийн орон зай дахь байрлалаас хамаардаггүй бөгөөд хурцадмал байдал, шахалтгүйгээр нугалахад өөрчлөгддөггүй (жишээлбэл, цилиндрийг конус болгон нугалах үед).

Метрийн коэффициент нь зөвхөн бүх муруйн уртыг төдийгүй ерөнхийдөө гадаргуугийн доторх бүх хэмжилтийн үр дүнг (өнцөг, талбай, муруйлт гэх мэт) тодорхойлдог. Тиймээс зөвхөн хэмжүүрээс хамаарах бүх зүйл нь дотоод геометрийг хэлнэ.

Хэвийн ба хэвийн хэсэг

Гадаргуугийн цэг дээрх хэвийн векторууд

Гадаргуугийн гол шинж чанаруудын нэг нь түүний хэвийн- өгөгдсөн цэг дээрх шүргэгч хавтгайд перпендикуляр нэгж вектор:

.

Нормативын тэмдэг нь координатын сонголтоос хамаарна.

Гадаргууг хэвийн (өгөгдсөн цэг дээр) агуулсан хавтгайгаар зүсэх нь гадаргуу дээр тодорхой муруй үүсгэдэг бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг. ердийн хэсэггадаргуу. Хэвийн хэсгийн үндсэн норм нь гадаргуугийн хэвийн (тэмдэгт хүртэл) давхцдаг.

Хэрэв гадаргуу дээрх муруй нь хэвийн огтлол биш бол түүний үндсэн нормаль нь гадаргуугийн хэвийн өнцөгтэй тодорхой θ өнцөг үүсгэдэг. Дараа нь муруйлт кмуруйлттай холбоотой муруй к nхэвийн хэсэг (ижил шүргэгчтэй) Меуньегийн томъёогоор:

Гадаргууг тодорхойлох янз бүрийн аргуудын хэвийн нэгж векторын координатуудыг хүснэгтэд үзүүлэв.

	Гадаргуугийн цэг дээрх хэвийн координатууд
далд даалгавар
тодорхой даалгавар
параметрийн тодорхойлолт

Муруйлт

Учир нь өөр өөр чиглэлүүдгадаргуугийн өгөгдсөн цэг дээр хэвийн хэсгийн янз бүрийн муруйлтыг олж авдаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг хэвийн муруйлт; Хэрэв муруйн үндсэн нормаль нь гадаргуугийн нормтой ижил чиглэлд явбал нэмэх тэмдэг, хэрэв нормуудын чиглэлүүд эсрэг байвал хасах тэмдэг өгнө.

Ерөнхийдөө гадаргуугийн цэг бүрт хоёр перпендикуляр чиглэл байдаг д 1 ба д 2, хэвийн муруйлт нь хамгийн бага ба хамгийн их утгыг авдаг; Эдгээр чиглэлүүдийг нэрлэдэг гол. Үл хамаарах зүйл бол бүх чиглэлд хэвийн муруйлт ижил (жишээлбэл, бөмбөрцгийн ойролцоо эсвэл эргэлтийн эллипсоидын төгсгөлд) байх тохиолдолд цэг дээрх бүх чиглэлүүд үндсэн байна.

Сөрөг (зүүн), тэг (төв) ба эерэг (баруун) муруйлттай гадаргуу.

Үндсэн чиглэлд хэвийн муруйлт гэж нэрлэдэг үндсэн муруйлтууд; κ 1 ба κ 2 гэж тэмдэглэе. Хэмжээ:

К= κ 1 κ 2

дуудсан Гауссын муруйлт, бүрэн муруйлтэсвэл зүгээр л муруйлтгадаргуу. Мөн нэр томъёо байдаг муруйлт скаляр, энэ нь муруйлт тензорын эргэлтийн үр дүнг илэрхийлдэг; энэ тохиолдолд муруйлтын скаляр нь Гауссын муруйлтаас хоёр дахин их байна.

Гауссын муруйлтыг хэмжүүрээр тооцоолж болох тул гадаргуугийн дотоод геометрийн объект болдог (үндсэн муруйлт нь дотоод геометрт хамаарахгүй гэдгийг анхаарна уу). Та муруйлтын шинж тэмдэг дээр үндэслэн гадаргуугийн цэгүүдийг ангилж болно (зураг харна уу). Онгоцны муруйлт тэг байна. R радиустай бөмбөрцгийн муруйлт хаа сайгүй тэнцүү байна. Мөн байнгын сөрөг муруйлттай гадаргуу байдаг - псевдосфер.

Геодезийн шугам, геодезийн муруйлт

Гадаргуу дээрх муруйг гэж нэрлэдэг геодезийн шугам, эсвэл зүгээр л геодезийн, хэрэв түүний бүх цэгүүдэд муруйн үндсэн нормаль нь гадаргуугийн нормтой давхцаж байвал. Жишээ нь: хавтгай дээр геодези нь шулуун ба шулуун шугамын сегментүүд, бөмбөрцөг дээр - том тойрог ба тэдгээрийн сегментүүд юм.

Эквивалент тодорхойлолт: Геодезийн шугамын хувьд түүний үндсэн нормальыг оскулятор хавтгай дээрх проекц нь тэг вектор юм. Хэрэв муруй нь геодезийн биш бол заасан проекц нь тэг биш байна; түүний урт гэж нэрлэдэг геодезийн муруйлт к gгадаргуу дээрх муруй. Харилцаа байдаг:

,

Хаана к- өгөгдсөн муруйны муруйлт, к n- ижил шүргэгчтэй түүний хэвийн хэсгийн муруйлт.

Геодезийн шугамууд нь дотоод геометрийг хэлнэ. Тэдний гол шинж чанарыг жагсаацгаая.

• Өгөгдсөн гадаргуугийн цэгээр өгөгдсөн чиглэлд ганцхан геодезийн өнгөрдөг.
• Гадаргуугийн хангалттай бага талбайд хоёр цэгийг геодезийн тусламжтайгаар үргэлж холбож болно, үүнээс гадна зөвхөн нэг цэгээр. Тайлбар: Бөмбөрцөг дээр эсрэг туйлуудыг хязгааргүй тооны меридианууд холбодог бөгөөд хоёр ойрын цэгийг зөвхөн том тойргийн сегментээр төдийгүй бүрэн тойрогт нэмэх замаар холбож болох бөгөөд ингэснээр зөвхөн өвөрмөц байдлыг хадгална. жижигдээ.
• Геодези бол хамгийн дөт зам юм. Илүү нарийн яривал: гадаргуугийн жижиг хэсэг дээр өгөгдсөн цэгүүдийн хоорондох хамгийн богино зам нь геодезийн дагуу байрладаг.

Дөрвөлжин

Гадаргуугийн өөр нэг чухал шинж чанар бол түүний гадаргуу юм дөрвөлжин, үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Тухайлбал, гарчигнаас юу харж байгаа талаар. Үндсэндээ энэ бол "орон зайн аналог" юм. тангенс олох асуудалТэгээд хэвийннэг хувьсагчийн функцийн графикт оруулах тул хүндрэл гарах ёсгүй.

Шүргэдэг хавтгай гэж юу вэ, хэвийн гэж юу вэ? гэсэн үндсэн асуултуудаас эхэлцгээе. Олон хүмүүс эдгээр ойлголтуудыг зөн совингийн түвшинд ойлгодог. Хамгийн их энгийн загварОюун санаанд орж ирдэг зүйл бол нимгэн хавтгай картон цаасан дээр байрладаг бөмбөг юм. Картон нь бөмбөрцөгт аль болох ойрхон байрладаг бөгөөд нэг цэг дээр хүрдэг. Нэмж дурдахад, холбоо барих цэг дээр шулуун зүүгээр бэхлэгдсэн байна.

Онолын хувьд шүргэгч хавтгайн тухай нэлээд ухаалаг тодорхойлолт байдаг. Үнэгүй гэж төсөөлөөд үз дээ гадаргууболон түүнд хамаарах цэг. Энэ цэгээр маш их зүйл дамждаг нь ойлгомжтой орон зайн шугамууд, энэ гадаргууд хамаарах . Хэн ямар холбоодтой вэ? =) ...би хувьдаа наймалжыг төсөөлж байсан. Ийм мөр бүрийг байна гэж үзье орон зайн шүргэгчцэг дээр.

Тодорхойлолт 1: шүргэгч хавтгайнэг цэг дээр гадаргуу руу - энэ бол онгоц, өгөгдсөн гадаргууд хамаарах бүх муруйн шүргэгчийг агуулсан ба цэгээр дамжин өнгөрдөг.

Тодорхойлолт 2: хэвийннэг цэг дээр гадаргуу руу - энэ бол шулуун, шүргэгч хавтгайд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх.

Энгийн бөгөөд дэгжин. Дашрамд хэлэхэд, та материалын энгийн байдлаас болж уйдаж үхэхгүйн тулд хэсэг хугацааны дараа би та бүхэнд янз бүрийн тодорхойлолтыг нэн даруй мартах боломжийг олгодог нэг гоёмсог нууцыг хуваалцах болно.

Бид ажлын томъёо, шийдлийн алгоритмтай шууд танилцах болно тодорхой жишээ. Ихэнх асуудлын хувьд шүргэгч хавтгай тэгшитгэл ба хэвийн тэгшитгэлийг хоёуланг нь байгуулах шаардлагатай.

Жишээ 1

Шийдэл:хэрэв гадаргууг тэгшитгэлээр өгсөн бол (өөрөөр хэлбэл далд хэлбэрээр), тэгвэл тухайн цэг дээрх өгөгдсөн гадаргуутай шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг дараах томъёогоор олно.

Би ер бусын хэсэгчилсэн деривативуудад онцгой анхаарал хандуулдаг - тэдний андуурч болохгүй-тай далд заасан функцийн хэсэгчилсэн дериватив (гадаргууг далд хэлбэрээр зааж өгсөн ч). Эдгээр деривативуудыг олохдоо хүн удирдан чиглүүлэх ёстой гурван хувьсагчийн функцийг ялгах дүрэм, өөрөөр хэлбэл аливаа хувьсагчийг ялгахдаа бусад хоёр үсгийг тогтмол гэж үзнэ.

Бэлэн мөнгөний бүртгэлээс гарахгүйгээр бид хэсэгчилсэн деривативыг дараах цэгээс олно.

Үүний нэгэн адил:

Энэ бол шийдвэрийн хамгийн тааламжгүй мөч байсан бөгөөд хэрэв зөвшөөрөхгүй бол алдаа байнга гарч ирдэг. Гэсэн хэдий ч байдаг үр дүнтэй техникминий анги дээр ярьсан эсэхийг шалгаарай Чиглэлийн дериватив ба градиент.

Бүх "найрлага" олдсон бөгөөд одоо илүү хялбарчлах замаар болгоомжтой орлуулах асуудал байна.

– ерөнхий тэгшитгэлхүссэн шүргэгч хавтгай.

Би шийдлийн энэ үе шатыг шалгахыг зөвлөж байна. Эхлээд та шүргэгч цэгийн координатууд олсон тэгшитгэлийг үнэхээр хангаж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

- жинхэнэ тэгш байдал.

Одоо бид коэффициентүүдийг "арилгаж байна" ерөнхий тэгшитгэлонгоцууд болон тэдгээрийн холбогдох утгуудтай давхцаж байгаа эсэхийг шалгана. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь пропорциональ байна. Таны санаж байгаагаар аналитик геометрийн курс, - Энэ хэвийн векторшүргэгч онгоц, мөн тэр мөн чиглүүлэгч векторхэвийн шулуун шугам. Зохиоцгооё каноник тэгшитгэлЦэг ба чиглэлийн вектороор нормууд:

Зарчмын хувьд хуваагчийг хоёроор багасгаж болох боловч үүнд онцгой шаардлага байхгүй

Хариулах:

Тэгшитгэлийг зарим үсгээр тэмдэглэхийг хориглодоггүй, гэхдээ яагаад? Энд юу болох нь маш тодорхой болсон.

Дараах хоёр жишээ нь бие даасан шийдвэр. Бяцхан "математик хэл эргүүлэх":

Жишээ 2

Шүргэх хавтгай ба цэг дээрх гадаргуугийн нормаль тэгшитгэлийг ол.

Мөн техникийн үүднээс авч үзвэл сонирхолтой даалгавар:

Жишээ 3

Нэг цэг дээрх гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг бич

Яг цэг дээр.

Зөвхөн андуураад зогсохгүй бичлэг хийх явцад бэрхшээлтэй тулгарах бүх боломж бий шугамын каноник тэгшитгэл. Таны ойлгож байгаагаар ердийн тэгшитгэлийг ихэвчлэн ийм хэлбэрээр бичдэг. Хэдийгээр зарим нэг нюансыг мартсан эсвэл үл тоомсорлосны улмаас параметрийн хэлбэр нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй.

Хичээлийн төгсгөлд шийдлүүдийн эцсийн гүйцэтгэлийн ойролцоо жишээнүүд.

Гадаргуугийн аль ч цэг дээр шүргэгч хавтгай байна уу? Ерөнхийдөө мэдээж үгүй. Сонгодог жишээ- Энэ конус гадаргуу ба цэг - энэ цэг дэх шүргэгч нь конус хэлбэрийн гадаргууг шууд үүсгэдэг бөгөөд мэдээжийн хэрэг, нэг хавтгайд хэвтэхгүй. Ямар нэг зүйл буруу байгааг аналитик байдлаар шалгахад хялбар байдаг: .

Асуудлын өөр нэг эх сурвалж бол баримт юм байхгүй байдалцэг дээрх аливаа хэсэгчилсэн дериватив. Гэсэн хэдий ч энэ нь тухайн цэг дээр нэг шүргэгч хавтгай байхгүй гэсэн үг биш юм.

Гэхдээ энэ нь практик ач холбогдолтой мэдээлэл гэхээсээ илүү алдартай шинжлэх ухаан байсан тул бид тулгамдсан асуудлууд руу буцаж ирэв.

Нэг цэгийн шүргэгч хавтгай ба хэвийн тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ
хэрэв гадаргууг тодорхой функцээр тодорхойлсон бол?

Үүнийг далд хэлбэрээр дахин бичье:

Мөн ижил зарчмуудыг ашиглан бид хэсэгчилсэн деривативуудыг олдог:

Тиймээс шүргэгч хавтгайн томьёог дараах тэгшитгэл болгон хувиргав.

Үүний дагуу каноник хэвийн тэгшитгэлүүд:

Таны таамаглаж байгаачлан - эдгээр нь аль хэдийн "бодит" хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудБидний "z" үсгээр тэмдэглэдэг байсан цэг дээр 100500 удаа олдсон.

Энэ нийтлэлд шаардлагатай бол бусад бүх зүйлийг гаргаж авахад хялбар анхны томъёог санахад хангалттай гэдгийг анхаарна уу. (Мэдээжийн хэрэг, байгаа үндсэн түвшинбэлтгэл). Энэ бол яг нарийн шинжлэх ухааныг судлахдаа ашиглах ёстой арга юм, өөрөөр хэлбэл. Хамгийн бага мэдээллээс бид хамгийн их дүгнэлт, үр дагаврыг "зурахыг" хичээх ёстой. "Анхаарал" болон одоо байгаа мэдлэг нь туслах болно! Энэ зарчим нь бас ашигтай, учир нь энэ нь таныг аврах болно эгзэгтэй нөхцөл байдалчи маш бага мэддэг байхдаа.

"Өөрчлөгдсөн" томъёог хэд хэдэн жишээгээр боловсруулцгаая:

Жишээ 4

Гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг бич цэг дээр.

Энд тэмдэглэгээтэй бага зэрэг давхардсан байна - одоо энэ үсэг нь онгоцны цэгийг илэрхийлж байна, гэхдээ та юу хийж чадах вэ - ийм алдартай үсэг ...

Шийдэл: томьёог ашиглан хүссэн шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулъя.

Тухайн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Тооцоолъё 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативэнэ үед:

Тиймээс:

болгоомжтой, яарах хэрэггүй:

Нормативын каноник тэгшитгэлийг цэг дээр бичье.

Хариулах:

Мөн өөрийн шийдлийн эцсийн жишээ:

Жишээ 5

Цэг дэх гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг бич.

Эцсийн - учир нь би бараг бүх техникийн цэгүүдийг тайлбарласан бөгөөд нэмж хэлэх онцгой зүйл байхгүй. Энэ даалгаварт санал болгож буй функцууд нь хүртэл уйтгартай, нэг хэвийн байдаг - практик дээр та "олон гишүүнтэй" тулгарах нь бараг баталгаатай бөгөөд энэ утгаараа экспоненттай 2-р жишээ нь "хар хонь" шиг харагдаж байна. Дашрамд хэлэхэд, тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гадаргуутай тулгарах магадлал илүү өндөр бөгөөд энэ нь функцийг нийтлэлд хоёрдугаарт оруулсан бас нэг шалтгаан юм.

Эцэст нь, амласан нууц: тиймээс яаж тодорхойлолтуудыг чихэхээс зайлсхийх вэ? (Мэдээжийн хэрэг, би оюутан шалгалтын өмнө ямар нэгэн зүйлийг халуу оргиж байгаа нөхцөл байдлыг хэлээгүй)

Аливаа ойлголт/үзэгдэл/объектийн тодорхойлолт нь юуны түрүүнд дараах асуултын хариултыг өгдөг: ЭНЭ ЮУ ВЭ? (хэн/тийм/ийм/нь). УхамсартайгаарЭнэ асуултад хариулахдаа та эргэцүүлэн бодохыг хичээх хэрэгтэй ач холбогдолтойтэмдэг, гарцаагүйтодорхой ойлголт/үзэгдэл/объектыг тодорхойлох. Тийм ээ, эхэндээ энэ нь зарим талаараа хэл амтай, алдаатай, илүүц зүйл болж хувирдаг (багш таныг засаж залруулах болно =)), гэхдээ цаг хугацаа өнгөрөхөд нэлээд зохистой шинжлэх ухааны яриа бий болдог.

Хамгийн хийсвэр объектууд дээр дадлага хий, жишээлбэл, Чебурашка гэж хэн бэ? Энэ тийм ч энгийн биш ;-) Энэ бол " үлгэрийн дүртом чихтэй, нүдтэй, бор үстэй"? Тодорхойлолтоос хол бөгөөд маш хол - ийм шинж чанартай дүрүүд байдаг гэдгийг та хэзээ ч мэдэхгүй ... Гэхдээ энэ нь тодорхойлолтод илүү ойрхон байна: "Чебурашка бол зохиолч Эдуард Успенскийн 1966 онд зохион бүтээсэн дүр бөгөөд ... (гол дүрүүдийн жагсаалт) өвөрмөц онцлог)» . Энэ нь хэр сайн эхэлснийг анзаараарай