Пи тоо гэж юу вэ. Энэ бол шидэт тоо pi юм. Пигийн түүх

Тойргийн тойргийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцаа нь бүх тойрогт ижил байна. Энэ харилцааг ихэвчлэн тэмдэглэдэг Грек үсэг("pi" нь Грек үгийн эхний үсэг юм , энэ нь "тойрог" гэсэн утгатай).

Архимед "Тойргийн хэмжилт" бүтээлдээ тойргийн диаметрийг диаметртэй (тоо) харьцааг тооцоолж, 3 10/71 ба 3 1/7 хооронд байгааг олж мэдэв.

5-р зуунд Хятадад 355/113 = 3.1415929... гэсэн ойролцоо утгатай байсан ч 22/7 тоог удаан хугацааны турш ойролцоо утга болгон ашиглаж байсан бөгөөд үүнийг Европт зөвхөн 16-р зуунд дахин нээжээ.

IN Эртний Энэтхэг= 3.1622…-тэй тэнцүү гэж үзнэ.

Францын математикч Ф.Вьет 1579 онд 9 оронтой тоогоор тооцоолжээ.

Голландын математикч Людольф Ван Зейлен 1596 онд арван жилийн ажлынхаа үр дүнг нийтэлсэн буюу 32 оронтой тоогоор тооцоолжээ.

Гэхдээ энэ тооны утгын талаархи эдгээр бүх тодруулгыг Архимедийн заасан аргуудыг ашиглан гүйцэтгэсэн: тойрог нь нэмэгдэж буй талуудтай олон өнцөгтөөр солигдсон. Бичсэн олон өнцөгтийн периметр нь тойргийн тойргоос бага, хүрээлэгдсэн олон өнцөгтийн периметр нь илүү байв. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ тоо нь оновчтой, өөрөөр хэлбэл хоёр бүхэл тооны харьцаа эсвэл иррациональ эсэх нь тодорхойгүй хэвээр байв.

Зөвхөн 1767 онд Германы математикч И.Г. Ламберт энэ тоо нь иррациональ гэдгийг баталсан.

Мөн зуу гаруй жилийн дараа буюу 1882 онд Германы өөр нэг математикч Ф.Линдеманн түүний давж гарах чадварыг нотолсон нь луужин болон захирагч ашиглан өгөгдсөн тойрогтой тэнцэх хэмжээтэй дөрвөлжин байгуулах боломжгүй гэсэн үг юм.

Хамгийн энгийн хэмжилт

Зузаан картон дээр диаметртэй тойрог зур г(=15 см), үүссэн тойргийг хайчилж, нимгэн утсаар боож өгнө. Уртыг хэмжих л(=46.5 см)утаснуудын нэг бүтэн эргэлт, хуваах л диаметр бүрийн урт г тойрог. Үр дүнгийн коэффициент нь тооны ойролцоо утгатай байх болно, өөрөөр хэлбэл. = л/ г= 46.5 см / 15 см = 3.1. Энэхүү бүдүүлэг арга нь ердийн нөхцөлд 1-ийн нарийвчлалтай тооны ойролцоо утгыг өгдөг.

Жинлэх замаар хэмжих

Картонон хуудсан дээр дөрвөлжин зур. Түүнд тойрог бичье. Дөрвөлжин хайчилж авцгаая. Сургуулийн жинг ашиглан картон квадратын массыг тодорхойлъё. Дөрвөлжин дээрээс тойрог хайчилж авцгаая. Түүнийг бас жинлэе. Талбайн массыг мэдэх м кв. (=10 гр)мөн дотор нь бичсэн тойрог м кр (=7.8 гр)томъёог ашиглацгаая

хаана p ба h- картон цаасны нягт ба зузаан, С- зургийн талбай. Тэнцүү байдлыг авч үзье:

Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд ойролцоо утга нь жинлэлтийн нарийвчлалаас хамаарна. Хэрэв жигнэж буй картон тоонууд нь нэлээд том бол энгийн жин дээр ч гэсэн 0.1-ийн нарийвчлалтай тоог ойртуулахын тулд ийм массын утгыг олж авах боломжтой.

Хагас тойрогт бичээстэй тэгш өнцөгтүүдийн талбайг нэгтгэн дүгнэх

Зураг 1

A (a; 0), B (b; 0) гэж үзье. AB дээрх хагас тойргийг диаметр гэж тайлбарлая. AB хэрчмийг x 1, x 2, ..., x n-1 цэгүүдээр n тэнцүү хэсэгт хувааж, тэдгээрээс хагас тойрогтой огтлолцох перпендикуляруудыг сэргээ. Ийм перпендикуляр бүрийн урт нь f(x)= функцийн утга юм. Зураг 1-ээс харахад хагас тойргийн S талбайг томъёогоор тооцоолж болно

S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.

Манай тохиолдолд b=1, a=-1. Дараа нь = 2 С.

AB сегмент дээр илүү олон хуваах цэгүүд байх тусам утгууд нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Нэг хэвийн тооцоолох ажлыг хөнгөвчлөхийн тулд компьютер туслах болно, үүнд BASIC дээр эмхэтгэсэн 1-р програмыг доор өгөв.

Хөтөлбөр 1

REM "Pi тооцоолол"
REM "Тэгш өнцөгтийн арга"
INPUT "Тэгш өнцөгтийн тоог оруулна уу", n
dx = 1/n
FOR i = 0 TO n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
ДАРААГИЙН i
p = 4 * dx * a
PRINT "Pi-ийн утга нь ", х
Төгсгөл

Програмыг янз бүрийн параметрийн утгуудаар бичиж, эхлүүлсэн n. Үр дүнгийн тоон утгыг хүснэгтэд бичнэ.

Монте Карло арга

Энэ нь үнэндээ статистикийн туршилтын арга юм. Энэ нь мөрийтэй тоглоомын газруудаараа алдартай Монакогийн вант улсын Монте Карло хотоос чамин нэрээ авсан. Энэ арга нь санамсаргүй тоонуудыг ашиглахыг шаарддаг бөгөөд санамсаргүй тоо үүсгэдэг хамгийн энгийн төхөөрөмжүүдийн нэг бол рулет юм. Гэсэн хэдий ч, та ... бороо ашиглан санамсаргүй тоо авч болно.

Туршилтын хувьд картон цаас бэлтгэж, түүн дээр дөрвөлжин зурж, дөрвөлжин дотор тойргийн дөрөвний нэгийг бичнэ. Хэрэв ийм зургийг бороонд хэсэг хугацаанд байлгавал түүний гадаргуу дээр дуслын ул мөр үлдэх болно. Дөрвөлжин доторх болон дөрөвний тойрог доторх замын тоог тоолъё. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийн харьцаа нь эдгээр зургуудын талбайн харьцаатай ойролцоогоор тэнцүү байх болно, учир нь дусал нь ижил магадлалтайгаар зургийн өөр өөр газарт унах болно. Болъё N cr- тойрог дахь дуслын тоо, N кв.нь дуслын тоо квадрат, тэгвэл

4 N cr / N кв.

Зураг 2

Rain-ийг тусгай програм ашиглан компьютер ашиглан эмхэтгэсэн санамсаргүй тоон хүснэгтээр сольж болно. Дуслын ул мөр бүрт түүний тэнхлэгийн дагуух байрлалыг тодорхойлсон хоёр санамсаргүй тоог өгье ӨөТэгээд Өө. Санамсаргүй тоонуудыг хүснэгтээс дурын дарааллаар, жишээлбэл, дарааллаар сонгож болно. Хүснэгтийн эхний дөрвөн оронтой тоог бичнэ үү 3265 . Үүнээс та тус бүр нь тэгээс их, нэгээс бага хос тоог бэлтгэж болно. x=0.32, y=0.65. Бид эдгээр тоонуудыг уналтын координат гэж үзэх болно, өөрөөр хэлбэл уналт нь цэгт хүрсэн бололтой (0.32; 0.65). Бид сонгосон бүх санамсаргүй тоонуудтай ижил зүйлийг хийдэг. Хэрэв энэ нь тодорхой болвол (x;y)Хэрэв тэгш бус байдал хэвээр байвал энэ нь тойргийн гадна байна. Хэрэв x + y = 1, тэгвэл цэг нь тойрог дотор байрлана.

Утгыг тооцоолохын тулд бид дахин томъёог (1) ашиглана. Энэ аргыг ашиглан тооцоолох алдаа нь ихэвчлэн -тэй пропорциональ байдаг бөгөөд D нь тогтмол, N нь туршилтын тоо юм. Манай тохиолдолд N = N кв. Энэ томъёоноос харахад алдааг 10 дахин багасгахын тулд (өөрөөр хэлбэл хариултын өөр зөв аравтын бутархайг авахын тулд) та N, өөрөөр хэлбэл ажлын хэмжээг 100 дахин нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Монте Карлогийн аргыг ашиглах нь зөвхөн компьютерийн ачаар боломжтой болсон нь тодорхой юм. Програм 2 нь тайлбарласан аргыг компьютер дээр хэрэгжүүлдэг.

Хөтөлбөр 2

REM "Pi тооцоолол"
REM "Монте Карло арга"
INPUT "Дусалын тоог оруулна уу", n
m = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
IF x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
ДАРААГИЙН i
p=4*м/н

Төгсгөл

Програмыг n параметрийн өөр утгуудаар бичиж, эхлүүлсэн. Үр дүнгийн тоон утгыг хүснэгтэд бичнэ.

n
n

Зүү дусаах арга

Энгийн оёдлын зүү, хуудас цаас авъя. Бид хуудсан дээр хэд хэдэн зэрэгцээ шугам зурж, тэдгээрийн хоорондох зай нь зүүний уртаас давсан байх болно. Санамсаргүй шидсэн зүү нь түүний хил хязгаараас гарахгүйн тулд зураг хангалттай том байх ёстой. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя. А- шугам хоорондын зай, л- зүүний урт.

Зураг 3

Зурган дээр санамсаргүй байдлаар шидсэн зүүний байрлалыг (3-р зургийг үз) түүний дундаас хамгийн ойрын шулуун шугам хүртэлх X зай ба зүүний дундаас зүүн тийш доошлуулсан перпендикуляраар хийсэн зүүг j өнцгөөр тодорхойлно. хамгийн ойрын шулуун шугам (4-р зургийг үз). Энэ нь ойлгомжтой

Зураг 4

Зураг дээр. 5 функцийг графикаар илэрхийлье y=0.5cos. Бүх боломжит зүү байрлалыг координат бүхий цэгүүдээр тодорхойлно (; у), ABCD хэсэгт байрладаг. AED-ийн сүүдэрлэсэн хэсэг нь зүү нь шулуун шугамтай огтлолцох тохиолдолд тохирох цэгүүд юм. Үйл явдлын магадлал а– “зүү шулуун шугамыг гаталсан” – дараах томъёогоор тооцоолно.

Зураг 5

Магадлал p(a)зүүг дахин дахин шидэх замаар ойролцоогоор тодорхойлж болно. Зүүг зураг дээр хая внэг удаа ба хучир нь энэ нь шулуун шугамын аль нэгийг даван туулахдаа унасан бөгөөд дараа нь хангалттай том хэмжээтэй вбидэнд байгаа p(a) = p/c. Эндээс = 2 л с / а к.

Сэтгэгдэл. Үзүүлсэн арга нь статистик тестийн аргын хувилбар юм. Энэ нь энгийн туршлагаас нэлээд төвөгтэй математик загварыг бий болгоход тусалдаг тул дидактикийн үүднээс сонирхолтой юм.

Тейлорын цуврал ашиглан тооцоо хийх

Дурын функцийг авч үзье f(x).Яг тэр мөчид түүний хувьд үүнийг төсөөлье x 0хүртэлх бүх захиалгын деривативууд байдаг n-ийг багтаасан. Дараа нь функцийн хувьд f(x)Бид Тейлорын цувралыг бичиж болно:

Энэ цувралыг ашигласан тооцоолол нь цувралын гишүүд илүү их байх тусам илүү нарийвчлалтай байх болно. Мэдээжийн хэрэг та 3-р програмыг ашиглаж болох компьютер дээр энэ аргыг хэрэгжүүлэх нь хамгийн сайн арга юм.

Хөтөлбөр 3

REM "Pi тооцоолол"
REM "Тэйлорын цувралын өргөтгөл"
INPUT n
a = 1
FOR i = 1 TO n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
ДАРААГИЙН i
p = 4 * a
PRINT "pi-ийн утга тэнцүү"; х
Төгсгөл

Програмыг бичиж, n параметрийн өөр утгуудаар ажиллуулсан. Үр дүнгийн тоон утгыг хүснэгтэд бичнэ.

Тооны утгыг санах маш энгийн мнемоник дүрмүүд байдаг:

"Пи" тооны утга, түүний бэлгэдэл нь дэлхий даяар алдартай. Энэ нэр томъёо нь иррационал тоонуудыг илэрхийлдэг (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн утгыг y/x бутархайгаар зөв илэрхийлэх боломжгүй, энд у ба х нь бүхэл тоонууд) бөгөөд эртний Грек хэллэгийн "переферия" хэллэгээс авсан бөгөөд үүнийг орос хэл рүү "тойрог" гэж орчуулж болно. ".
Математикийн "Pi" тоо нь тойргийн тойргийн уртыг диаметрийн урттай харьцуулсан харьцааг илэрхийлдэг."Пи" тооны гарал үүслийн түүх алс холын эрт дээр үеэс эхэлдэг. Олон түүхчид энэ тэмдгийг хэзээ, хэн зохион бүтээсэн болохыг тогтоохыг оролдсон боловч хэзээ ч олж чадаагүй.

Пинь трансцендент тоо буюу үг юм энгийн үгээрэнэ нь бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн үндэс байж болохгүй. Үүнийг бодит тоо эсвэл алгебрийн бус шууд бус тоо гэж тодорхойлж болно.

"Пи" тоо 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...

ПиЭнэ нь зөвхөн хэд хэдэн өөр тоогоор илэрхийлэх боломжгүй иррационал тоо биш байж болно. "Pi" тоог аравтын бутархайн дараа хязгааргүй тооны цифртэй тодорхой аравтын бутархайгаар илэрхийлж болно. Өөр нэг сонирхолтой зүйл бол эдгээр бүх тоог давтах боломжгүй юм.

Пи"гурвалсан октав" тэмдэг гэж нэрлэгддэг бутархай тоо 22/7-тэй уялдаж болно. Эртний Грекийн тахилч нар энэ тоог мэддэг байсан. Нэмж дурдахад, жирийн оршин суугчид ч үүнийг өдөр тутмын аливаа асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болохоос гадна булш гэх мэт нарийн төвөгтэй байгууламжийг зохион бүтээхэд ашиглаж болно.
Эрдэмтэн, судлаач Хайенсийн хэлснээр үүнтэй төстэй тоог Стоунхенжийн балгас, Мексикийн пирамидуудаас олж болно.

ПиТухайн үеийн нэрт инженер Ахмес зохиолдоо дурдсан байдаг. Тэрээр тойргийн диаметрийг дотор нь зурсан квадратуудыг ашиглан хэмжиж аль болох нарийвчлалтай тооцоолохыг хичээсэн. Магадгүй энэ тоо нь эртний хүмүүсийн хувьд ямар нэгэн нууцлаг, ариун утгатай байдаг.

Пинь үндсэндээ хамгийн нууцлаг математикийн тэмдэг юм. Үүнийг дельта, омега гэх мэтээр ангилж болно. Энэ нь ажиглагч нь орчлон ертөнцийн хаана байхаас үл хамааран яг адилхан болж хувирах харилцааг илэрхийлдэг. Үүнээс гадна хэмжилтийн объектоос өөрчлөгдөхгүй байх болно.

Хамгийн түрүүнд "Пи" тоог тооцоолохоор шийдсэн хүн байж магадгүй юм математик аргаАрхимед юм. Тэрээр тойрог хэлбэрээр зурахаар шийджээ ердийн олон өнцөгтүүд. Эрдэмтэн тойргийн голчийг нэг гэж үзээд тойрогт зурсан олон өнцөгтийн периметрийг дээд, доод тойргийн периметр гэж тооцсон.

"Пи" тоо хэд вэ

Танилцуулга

Нийтлэл нь математикийн томьёог агуулсан тул уншихын тулд сайт руу орж тэдгээрийг зөв харуулах хэрэгтэй.\(\pi\) тоо нь баялаг түүхтэй. Энэ тогтмол нь тойргийн тойргийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцааг илэрхийлнэ.

Шинжлэх ухаанд \(\pi \) тоог тойрогтой холбоотой аливаа тооцоололд ашигладаг. Лаазтай ундааны эзэлхүүнээс эхлээд хиймэл дагуулын тойрог зам хүртэл. Зөвхөн тойрог биш. Үнэн хэрэгтээ муруй шугамыг судлахдаа \(\pi \) тоо нь үечилсэн болон хэлбэлзлийн системийг ойлгоход тусалдаг. Жишээлбэл, цахилгаан соронзон долгионтэр байтугай хөгжим.

1706 онд Британийн эрдэмтэн Уильям Жонс (1675-1749) "Математикийн шинэ танилцуулга" номонд Грек цагаан толгойн \(\pi\) үсгийг анх 3.141592 тоогоор тэмдэглэсэн байдаг.... Энэ тэмдэглэгээ нь περιϕερεια - тойрог, зах, περιμετρoς - периметр гэсэн грек үгийн эхний үсгээс гаралтай. Энэхүү тэмдэглэгээг 1737 онд Леонхард Эйлерийн ажлын дараа нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн.

Геометрийн үе

Аливаа тойргийн уртыг диаметртэй харьцуулсан харьцаа нь удаан хугацааны туршид ажиглагдсан. Месопотамийн оршин суугчид \(\pi\) тоог нэлээд бүдүүлэг байдлаар ашигласан. Эртний асуудлуудаас харахад тэд тооцоололдоо \(\pi ≈ 3\) утгыг ашигладаг.

\(\pi\)-ийн илүү нарийн утгыг эртний Египетчүүд ашигладаг байсан. Лондон, Нью Йорк хотод эртний Египетийн хоёр ширхэг папирус хадгалагддаг бөгөөд үүнийг "Ринда папирус" гэж нэрлэдэг. Папирусыг бичээч Армес 2000-1700 оны хооронд эмхэтгэсэн. МЭӨ Армес өөрийн папирус дээр \(r\) радиустай тойргийн талбай нь \(\frac(8)(9) \)-тэй тэнцүү талтай квадратын талбайтай тэнцүү гэж бичжээ. тойргийн диаметрийн \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), өөрөөр хэлбэл \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Тиймээс \(\pi = 3.16\).

Эртний Грекийн математикч Архимед (МЭӨ 287-212) тойрог хэмжих асуудлыг шинжлэх ухааны үндэслэлтэй анхлан тавьсан. Тэрээр \(3\frac(10)(71) оноо авсан.< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Энэ арга нь маш энгийн, гэхдээ бэлэн хүснэгт байхгүй тохиолдолд тригонометрийн функцуудҮндэс олборлолт хийх шаардлагатай болно. Нэмж дурдахад, ойролцоогоор \(\pi \) болж маш удаан нийлдэг: давталт бүрт алдаа ердөө дөрөв дахин буурдаг.

Аналитик үе

Гэсэн хэдий ч 17-р зууны дунд үе хүртэл Европын эрдэмтдийн \(\pi\) тоог тооцоолох бүх оролдлого нь олон өнцөгтийн талуудыг нэмэгдүүлэхэд буцалж байв. Жишээлбэл, Голландын математикч Людольф ван Зейлен (1540-1610) \(\pi\) тооны аравтын бутархайн 20 орон хүртэлх нарийвчлалтай ойролцоо утгыг тооцоолжээ.

Тооцоолоход 10 жил зарцуулсан. Архимедийн аргыг ашиглан бичээстэй болон хүрээлэгдсэн олон өнцөгтүүдийн талуудын тоог хоёр дахин нэмэгдүүлснээр 20 аравтын оронтой \(\pi \)-ийг тооцоолохын тулд \(60 \cdot 2^(29) \) - гурвалжинд хүрчээ.

Түүнийг нас барсны дараа түүний гар бичмэлүүдээс \(\pi\) тооны яг 15 оронтой тоо олдсон байна. Людольф түүний олсон тэмдгүүдийг булшных нь чулуун дээр сийлсэн байхыг гэрээсэлсэн. Түүний хүндэтгэлд \(\pi\) тоог заримдаа "Людольфын тоо" эсвэл "Людольфын тогтмол" гэж нэрлэдэг байв.

Архимедээс өөр аргыг анх нэвтрүүлсэн хүмүүсийн нэг бол Франсуа Вьет (1540-1603) юм. Үүний үр дүнд тэрээр диаметртэй тойрог гарч ирэв нэгтэй тэнцүү, талбайтай:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

Нөгөө талаас, талбай нь \(\frac(\pi)(4)\). Илэрхийлэлийг орлуулж, хялбаршуулснаар бид \(\frac(\pi)(2)\-ийн ойролцоо утгыг тооцоолох дараах хязгааргүй үржвэрийн томъёог олж авч болно:

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Үүссэн томъёо нь \(\pi\) тооны анхны аналитик илэрхийллийг илэрхийлнэ. Энэ томъёоноос гадна Вьетнам Архимедийн аргыг ашиглан 6 өнцөгтөөс эхлээд \(2^(16) \cdot 6 \) талтай олон өнцөгтөөр төгссөн бичээстэй, хүрээлэгдсэн олон өнцөгтүүдийг ашиглан ойролцоо тооцоолол гаргажээ. тооны \(\pi \) 9-тэй зөв тэмдэгтэй.

Английн математикч Уильям Броункер (1620-1684) үргэлжилсэн бутархайг ашиглан \(\frac(\pi)(4)\-г тооцоолохдоо дараах үр дүнг гаргажээ.

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Энэ арга\(\frac(4)(\pi)\) тооны ойролцоо утгыг тооцоолоход бага ч гэсэн ойролцоо тооцоолол гаргахын тулд нэлээд олон тооцоолол шаардагдана.

Орлуулалтын үр дүнд олж авсан утгууд нь \(\pi\) тооноос их эсвэл бага байдаг бөгөөд тэдгээр нь жинхэнэ утгад ойртох бүртээ 3.141592 утгыг олж авахын тулд нэлээд их зүйлийг хийх шаардлагатай болно. тооцоолол.

Английн өөр нэг математикч Жон Мачин (1686-1751) 1706 онд 100 аравтын оронтой \(\pi\) тоог тооцоолохдоо 1673 онд Лейбницийн гаргасан томьёог ашиглаж дараах байдлаар хэрэглэсэн байна.

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Цуврал хурдан нийлдэг бөгөөд түүний тусламжтайгаар та \(\pi \) тоог тооцоолох боломжтой гайхалтай нарийвчлал. Эдгээр төрлийн томъёог компьютерийн эрин үед хэд хэдэн рекорд тогтооход ашигладаг байсан.

17-р зуунд хувьсах хэмжигдэхүүнтэй математикийн үе эхэлсэн шинэ үе шат\(\pi\)-ийн тооцоонд. Германы математикч Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) 1673 онд \(\pi\) тооны тэлэлтийг олсон. ерөнхий үзэлдараах хязгааргүй цуваа хэлбэрээр бичиж болно.

\[ \pi = 1 — 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

x = 1-ийг \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + гэж орлуулснаар цуваа гарна. \frac (x^9)(9) — \cdots\)

Леонхард Эйлер \(\pi\) тоог тооцоолохдоо арктан х-ийн цуваа ашиглах тухай бүтээлдээ Лейбницийн санааг хөгжүүлсэн. “De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi” (On янз бүрийн арга 1738 онд бичсэн тойргийг ойролцоогоор тоогоор квадрат болгох илэрхийллүүд) Лейбницийн томъёог ашиглан тооцооллыг сайжруулах аргуудын талаар ярилцав.

Аргумент тэг рүү чиглэж байвал артангенсийн цуваа илүү хурдан нийлнэ гэж Эйлер бичжээ. \(x = 1\) хувьд цуваа нийлэх нь маш удаан байдаг: 100 цифрийн нарийвчлалтайгаар тооцоолохын тулд цувралын \(10^(50)\) гишүүнийг нэмэх шаардлагатай. Та аргументийн утгыг бууруулснаар тооцооллыг хурдасгаж болно. Хэрэв бид \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\) гэж авбал бид цувралыг авна.

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 — \frac(1)(3 \cdot) 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) — \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Эйлерийн хэлснээр, хэрэв бид энэ цувралын 210 гишүүнийг авбал бид тухайн тооны зөв 100 цифрийг авна. Үр дүнд нь цуваа тохиромжгүй, учир нь энэ нь иррационал тооны \(\sqrt(3)\) нэлээн үнэн зөв утгыг мэдэх шаардлагатай. Эйлер мөн өөрийн тооцоололдоо арктангенсуудыг жижиг аргументуудын арктангентын нийлбэр болгон өргөтгөхийг ашигласан:

\[энд x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Эйлер дэвтэртээ хэрэглэж байсан \(\pi\)-г тооцоолох бүх томьёо хэвлэгдээгүй байна. Хэвлэгдсэн бүтээлүүд болон тэмдэглэлийн дэвтэрт тэрээр арктангенсыг тооцоолох гурван өөр цувралыг авч үзсэн бөгөөд өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар \(\pi\)-ийн ойролцоо утгыг олж авахад шаардагдах нийлбэрийн тооны талаар олон мэдэгдэл өгсөн.

Дараагийн жилүүдэд \(\pi\) тооны утгыг сайжруулах нь илүү хурдан бөгөөд хурдан болсон. Жишээлбэл, 1794 онд Георг Вега (1754-1802) аль хэдийн 140 тэмдгийг тодорхойлсон бөгөөд үүнээс зөвхөн 136 нь зөв болжээ.

Тооцоолох хугацаа

20-р зуун нь \(\pi\) тоог тооцоолох цоо шинэ үе шатаар тэмдэглэгдсэн. Энэтхэгийн математикч Сриниваса Раманужан (1887-1920) \(\pi\)-ийн олон шинэ томьёог нээжээ. 1910 онд тэрээр Тейлорын цувралын арктангенсын тэлэлтээр \(\pi\)-ийг тооцоолох томъёог олж авсан:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100 үед \(\pi\) тооны 600 зөв цифрийн нарийвчлалд хүрнэ.

Компьютер гарч ирснээр олж авсан утгуудын нарийвчлалыг мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлэх боломжтой болсон богино хугацаа. 1949 онд Жон фон Нейман (1903-1957) тэргүүтэй хэсэг эрдэмтэд ENIAC программыг ашиглан ердөө 70 цагийн дотор \(\pi\) тооны аравтын бутархай 2037 оронтой болсон байна. 1987 онд Дэвид, Грегори Чудновский нар \(\pi\)-ийг тооцоолохдоо хэд хэдэн дээд амжилт тогтоож чадсан томьёог олж авсан:

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k) ))((3к)!(к!)^3(-640320)^(3к)).\]

Цувралын гишүүн бүр 14 оронтой тоог өгдөг. 1989 онд 1,011,196,691 аравтын бутархайг авсан. Энэ томъёо нь хувийн компьютер дээр \(\pi \) тооцоолоход тохиромжтой. Асаалттай одоогоорах нар Нью-Йоркийн их сургуулийн Политехникийн дээд сургуулийн профессорууд.

Сүүлийн үеийн чухал үйл явдал бол 1997 онд Саймон Плоуфф уг томъёог нээсэн явдал юм. Энэ нь өмнөх тоог тооцоолохгүйгээр \(\pi\) тоонуудын аль ч аравтын оронтой тоог гаргаж авах боломжийг олгодог. Томьёог анх нийтэлсэн нийтлэлийн зохиогчдын хүндэтгэлд зориулж "Бэйли-Борвейн-Плоуффын томъёо" гэж нэрлэдэг. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) — \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8к+6)) .\]

2006 онд Саймон PSLQ ашиглан \(\pi\)-г тооцоолох сайхан томьёог гаргаж ирэв. Жишээлбэл,

\[ \frac(\pi)(24) = \нийлбэр\хязгаар_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \нийлбэр\хязгаар_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n)) — 1) — \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

Энд \(q = e^(\pi)\). 2009 онд Японы эрдэмтэд T2K Tsukuba System супер компьютер ашиглан 2,576,980,377,524 аравтын оронтой \(\pi\) тоог гаргажээ. Тооцооллыг хийхэд 73 цаг 36 минут зарцуулсан. Уг компьютер нь 640 дөрвөлсөн цөмт AMD Opteron процессороор тоноглогдсон бөгөөд энэ нь секундэд 95 их наяд үйлдлийн гүйцэтгэлийг хангасан.

\(\pi\)-ийг тооцоолох дараагийн амжилт нь Францын программист Фабрис Беллард хамаарах бөгөөд 2009 оны сүүлээр Fedora 10 үйлдлийн системтэй хувийн компьютер дээрээ \(\pi\) тооны аравтын бутархайн 2,699,999,990,000-ыг тооцоолж дээд амжилт тогтоосон. ). Сүүлийн 14 жилийн хугацаанд энэ нь супер компьютер ашиглахгүйгээр тогтоосон дэлхийн анхны дээд амжилт юм. Өндөр гүйцэтгэлийн хувьд Фабрис ах дүү Чудновскийн томъёог ашигласан. Тооцоолол нийтдээ 131 хоног (тооцоолол хийхэд 103 хоног, үр дүнг баталгаажуулахад 13 хоног) зарцуулагдсан. Ийм тооцоо хийхэд супер компьютер хэрэггүй гэдгийг Белларын амжилт харуулсан.

Зургаан сарын дараа Франсуагийн рекордыг инженер Александр И, Сингер Кондо нар эвджээ. \(\pi\)-ийн 5 их наяд аравтын оронтой дээд амжилт тогтоохын тулд хувийн компьютер ашигласан боловч илүү гайхалтай шинж чанартай: 3.33 ГГц давтамжтай хоёр Intel Xeon X5680 процессор, 96 ГБ санах ой, 38 ТБ дискний санах ой, үйлдлийн систем Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Тооцооллын хувьд Александр, Сингер нар ах дүү Чудновскийн томъёог ашигласан. Тооцооллын процесс нь 90 хоног, 22 TB дискний зай зарцуулсан. 2011 онд тэд \(\pi\) тооны аравтын бутархайн 10 триллион тоогоор дахин нэг дээд амжилт тогтоосон байна. Тооцооллыг тэдний өмнөх дээд амжилт тогтоосон компьютер дээр хийсэн бөгөөд нийт 371 хоног зарцуулсан. 2013 оны сүүлээр Александр, Сингеру нар дээд амжилтаа ахиулж \(\pi\) тооны 12.1 их наяд оронтой болсон бөгөөд үүнийг тооцоолоход ердөө 94 хоног зарцуулжээ. Энэхүү гүйцэтгэлийн сайжруулалт нь програм хангамжийн гүйцэтгэлийг оновчтой болгох, процессорын цөмийн тоог нэмэгдүүлэх, програм хангамжийн алдааг тэсвэрлэх чадварыг мэдэгдэхүйц сайжруулах замаар хийгддэг.

Одоогийн дээд амжилт нь Александр Йе болон Дуучин Кондо нарынх бөгөөд энэ нь 12.1 их наяд аравтын орон \(\pi\) юм.

Тиймээс бид эрт дээр үед хэрэглэж байсан \(\pi\) тоог тооцоолох аргуудыг авч үзсэн. аналитик аргууд, мөн түүнчлэн авч үзсэн орчин үеийн аргуудболон компьютер дээрх \(\pi \) тоог тооцоолох бичлэгүүд.

Эх сурвалжуудын жагсаалт

1. Жуков А.В. Хаа сайгүй байдаг тоо Пи - М.: LKI хэвлэлийн газар, 2007 - 216 х.
2. Ф.Рудио. Тойргийн квадрат дээр, Ф.Рудиогийн эмхэтгэсэн асуудлын түүхийн хэрэглээтэй. / Рудио Ф. – М.: ОНТИ NKTP ЗХУ, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Спрингер, 2001. – 270х.
4. Шухман, Е.В. Леонхард Эйлер / E.V.-ийн хэвлэгдсэн болон хэвлэгдээгүй бүтээлүүдэд арктан х-ийн цувралыг ашиглан Pi-ийн ойролцоо тооцоолол. Шухман. — Шинжлэх ухаан, технологийн түүх, 2008 – No4. – P. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Боть 9 – 222-236х.
6. Шумихин, С. Пи тоо. 4000 жилийн түүх / С.Шумихин, А.Шумихина. - М.: Эксмо, 2011. - 192 х.
7. Борвейн, Ж.М. Раманужан ба Пи тоо. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Шинжлэх ухааны ертөнцөд. 1988 он – №4. – хуудас 58-66.
8. Алекс Ее. Тооны ертөнц. Хандалтын горим: numberworld.org

Танд таалагдсан уу?

Хэл

Тооны утга(үндсэн "пи") нь харьцаатай тэнцүү математикийн тогтмол юм

Грек цагаан толгойн "pi" үсгээр тэмдэглэсэн. Хуучин нэр - Людольфын дугаар.

Pi нь хэдтэй тэнцүү вэ?Энгийн тохиолдолд эхний 3 шинж тэмдгийг мэдэхэд хангалттай (3.14). Гэхдээ илүү ихийг

нарийн төвөгтэй тохиолдлууд, илүү нарийвчлалтай байх шаардлагатай тохиолдолд та 3-аас илүү цифрийг мэдэх хэрэгтэй.

Пи гэж юу вэ? pi тооны эхний 1000 аравтын орон:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

Хэвийн нөхцөлд pi-ийн ойролцоо утгыг дараах алхмуудыг дагаж тооцоолж болно.

доор өгөгдсөн:

1. Тойрог аваад утсыг ирмэгээр нь нэг удаа боож өгнө.
2. Бид утасны уртыг хэмждэг.
3. Бид тойргийн диаметрийг хэмждэг.
4. Утасны уртыг диаметрийн уртаар хуваана. Бид pi тоог авсан.

Pi-ийн шинж чанарууд.

• пи- иррационал тоо, өөрөөр хэлбэл. pi-ийн утгыг хэлбэрээр зөв илэрхийлэх боломжгүй

бутархай м/н, Хаана мТэгээд nбүхэл тоонууд байна. Эндээс харахад аравтын дүрслэл

pi хэзээ ч дуусдаггүй бөгөөд энэ нь үе үе биш юм.

• пи- трансцендент тоо, өөрөөр хэлбэл. энэ нь бүхэл тоотой олон гишүүнтийн үндэс байж болохгүй

коэффициентүүд. 1882 онд профессор Коенигсбергский трансцендентийг нотолсон pi тоонууд, А

Дараа нь Мюнхений их сургуулийн профессор Линдеман. Нотлох баримтыг хялбаршуулсан

Феликс Клейн 1894 онд.

• Учир нь Евклидийн геометрт тойргийн талбай ба тойрог нь pi функц юм.

Пи-ийн давж гарсан нотолгоо нь тойргийн квадратын талаарх маргааныг эцэс болгов.

2.5 мянган жил.

• пицагирагийн элемент (өөрөөр хэлбэл тооцоолж болох ба арифметик тоо).

Гэхдээ энэ нь сарын тэмдгийн цагирагт хамаарах эсэхийг хэн ч мэдэхгүй.

Pi тооны томъёо.

• Франсуа Вьет:

• Уоллис томъёо:

• Лейбницийн цуврал:

• Бусад мөрүүд:

Бүтээлийн текстийг зураг, томъёололгүйгээр нийтэлсэн.
Бүрэн хувилбаражлыг "Ажлын файлууд" табаас PDF форматаар авах боломжтой

ТАНИЛЦУУЛГА

1. Ажлын хамаарал.

Хязгааргүй олон янзын тоон дунд орчлон ертөнцийн оддын нэгэн адил бие даасан тоонууд болон тэдгээрийн бүхэл бүтэн гайхалтай гоо үзэсгэлэнгийн "одны ордууд" нь онцгой шинж чанартай, зөвхөн тэдэнд хамаарах өвөрмөц зохицолтой тоонууд байдаг. Та эдгээр тоонуудыг харж, шинж чанарыг нь анзаарах чадвартай байх хэрэгтэй. Байгалийн тоонуудын цувааг сайтар ажиглаарай, та үүнээс олон гайхалтай, хачирхалтай, хөгжилтэй, ноцтой, гэнэтийн, сониуч зүйлсийг олж харах болно. Харж байгаа хүн хардаг. Эцсийн эцэст хүмүүс зуны одтой шөнө ... гэрэлтэхийг анзаардаггүй. Цагаан од, хэрэв тэд үүлгүй өндөрлөг рүү харцаа чиглүүлэхгүй бол.

Ангиас анги руу шилжихдээ натурал, бутархай, аравтын бутархай, сөрөг, рациональтай танилцсан. Энэ жил би irrasional судалсан. Иррационал тоонуудын дунд нарийн тооцоог эрдэмтэд олон зууны турш хийж ирсэн тусгай тоо байдаг. Би 6-р ангидаа "Тойргийн тойрог ба талбай" сэдвийг судалж байхдаа үүнийг олж мэдсэн. Түүнтэй ахлах сургуулийн хичээл дээр нэлээд олон удаа уулзана гэж онцолсон. Сонирхолтой байсан практик даалгаварπ тооны тоон утгыг олох. π тоо нь нэг юм хамгийн сонирхолтой тоонуудматематикийн судалгаанд тулгардаг. Энэ нь янз бүрийн сургуулийн хичээлүүдээс олддог. Пи тоо нь маш их хамааралтай сонирхолтой баримтууд, тиймээс энэ нь суралцах сонирхлыг төрүүлдэг.

Энэ тооны талаар олон сонирхолтой зүйл сонсоод би өөрөө судлахаар шийдсэн нэмэлт уран зохиолЭнэ талаар аль болох их мэдээлэл олж, асуудалтай асуултуудад хариулахын тулд интернетээс хайж олоорой:

Хүмүүс пи тоог хэр удаан мэддэг болсон бэ?

Яагаад заавал судлах шаардлагатай байна вэ?

Үүнтэй холбоотой ямар сонирхолтой баримтууд байдаг вэ?

Пи-ийн утга ойролцоогоор 3.14 гэсэн үнэн үү

Тиймээс би өөрийгөө тавьсан зорилтот:π тооны түүх, π тооны ач холбогдлыг судлах орчин үеийн үе шатматематикийн хөгжил.

Даалгаварууд:

π тооны түүхийн талаархи мэдээллийг олж авахын тулд уран зохиолыг судлах;

"-аас зарим баримтыг тогтооно уу. орчин үеийн намтар» тоо π;

Тойрог ба диаметрийн харьцааны ойролцоо утгын практик тооцоо.

Судалгааны объект:

Судалгааны объект: PI дугаар.

Судалгааны сэдэв: PI дугаартай холбоотой сонирхолтой баримтууд.

2. Үндсэн хэсэг. Гайхалтай pi тоо.

Дуусашгүй алдартай тоо нь Пи шиг нууцлагдмал тоо гэж байхгүй тооны цуврал. Математик, физикийн олон салбарт эрдэмтэд энэ тоо болон түүний хуулиудыг ашигладаг.

Математикт ашигладаг бүх тоонуудаас цөөхөн нь байгалийн шинжлэх ухаан, инженерийн болон өдөр тутмын амьдрал, pi тоонд өгөгдсөн хэмжээгээр анхаарал хандуулдаг. Нэг номонд “Пи нь дэлхийн өнцөг булан бүрт байгаа шинжлэх ухааны суут ухаантнууд болон сонирхогч математикчдын сэтгэлийг татдаг” (“Ангид зориулсан фракталууд”) гэж бичсэн байдаг.

Үүнийг магадлалын онол, асуудлыг шийдвэрлэхэд олж болно нийлмэл тооболон бусад гэнэтийн, математикийн геометрийн салбараас хол. Английн математикч Август де Морган нэгэнтээ пи-г “... хаалгаар, цонхоор, дээврээр мөлхөж буй нууцлаг тоо 3.14159...” гэж нэрлэжээ. Энэ бол гурвын аль нэгтэй холбоотой нууцлаг тоо юм сонгодог асуудлуудЭртний үе - талбай нь тухайн тойргийн талбайтай тэнцэх талбай барих нь гайхалтай түүхэн, сонирхолтой зугаа цэнгэлийн баримтуудыг агуулдаг.

Зарим нь үүнийг математикийн хамгийн чухал таван тооны нэг гэж үздэг. Гэвч "Ангид зориулсан фракталууд" номонд тэмдэглэснээр, "пи"-тэй адил чухал зүйл бол "шинжлэх ухааны тооцоололд pi-ийн аравтын 20-аас дээш орон шаардлагатай хэсгийг олоход хэцүү байдаг."

3. Пи-ийн тухай ойлголт

π тоо нь тойргийн тойргийн уртыг диаметрийн урттай харьцуулсан математик тогтмол юм.. π тоо (үндсэн "пи") нь тойргийн тойргийн уртыг диаметрийн урттай харьцуулсан харьцааг илэрхийлдэг математикийн тогтмол юм. Грек цагаан толгойн "pi" үсгээр тэмдэглэсэн.

Тоон утгаараа π нь 3.141592 гэж эхэлдэг ба математикийн хязгааргүй үргэлжлэх хугацаатай.

4. "Пи" тооны түүх

Шинжээчдийн үзэж байгаагаар Энэ тоог Вавилоны илбэчид нээсэн. Үүнийг алдарт Бабелийн цамхаг барихад ашигласан. Гэсэн хэдий ч Pi-ийн үнэ цэнийг хангалттай зөв тооцоолоогүй нь төслийг бүхэлд нь сүйрүүлэхэд хүргэсэн. Домогт Соломон хааны сүмийг барьж байгуулахад энэхүү математикийн тогтмол байдал орсон байж магадгүй юм.

Тойргийн тойргийн диаметрийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцааг илэрхийлдэг pi-ийн түүх Эртний Египтээс эхэлсэн. Диаметр бүхий тойргийн талбай гЕгипетийн математикчид үүнийг гэж тодорхойлсон (Ө-Ө/9) 2 (энэ оруулгыг энд орчин үеийн тэмдэгтээр өгсөн болно). Дээрх илэрхийллээс бид тухайн үед p тоог бутархайтай тэнцүү гэж үзсэн гэж дүгнэж болно (16/9) 2 , эсвэл 256/81 , өөрөөр хэлбэл π = 3,160...

IN ариун номЖайнизм (нэг эртний шашинууд, Энэтхэгт оршин байсан бөгөөд 6-р зуунд үүссэн. BC) тухайн үеийн p тоог тэнцүү авсан гэсэн заалт байгаа бөгөөд энэ нь бутархайг өгдөг. 3,162... Эртний Грекчүүд Евдокс, Гиппократболон бусад нь тойргийн хэмжилтийг сегментийг барих, тойргийн хэмжилтийг тэнцүү квадрат барих болгон бууруулсан. Олон зууны туршид математикчид гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй өөр өөр улс орнуудмөн ард түмэн тойргийн диаметрийн харьцааг оновчтой тоогоор илэрхийлэхийг оролдсон.

Архимед 3-р зуунд МЭӨ "Тойрог хэмжих нь" хэмээх богино хэмжээний бүтээлдээ тэрээр гурван саналыг нотолсон:

Тойрог бүр ижил хэмжээтэй байна зөв гурвалжин, хөл нь тойргийн урт ба түүний радиустай тэнцүү байна;

Тойргийн талбайнууд нь голч дээр баригдсан квадраттай холбоотой байдаг 11-ээс 14 хүртэл;

Аливаа тойргийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцаа бага байна 3 1/7 болон бусад 3 10/71 .

Яг нарийн тооцооллын дагуу Архимедтойргийн диаметр ба харьцааг тоонуудын хооронд хавсаргасан болно 3*10/71 Тэгээд 3*1/7 , энэ нь гэсэн үг юм π = 3,1419... Энэ харилцааны жинхэнэ утга учир 3,1415922653... 5-р зуунд МЭӨ Хятадын математикч Зу ЧонжиЭнэ тооны илүү нарийвчлалтай утгыг олсон: 3,1415927...

15-р зууны эхний хагаст. ажиглалтын газар Улугбек, ойролцоо Самарканд, одон орон судлаач, математикч аль-Каши pi-г аравтын 16 орон хүртэл тооцсон. Аль-Каши-ийн үе шаттайгаар синусын хүснэгтийг бүрдүүлэхэд шаардлагатай өвөрмөц тооцоог хийсэн 1" . Эдгээр хүснэгтүүд нь одон орон судлалд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн.

Зуун хагасын дараа Европт Ф.Вьетолон өнцөгтийн талуудын тоог 16 дахин нэмэгдүүлснээр ердөө 9 аравтын оронтой pi тоог олов. Гэхдээ тэр үед Ф.Вьеттодорхой цувралын хязгаарыг ашиглан pi-г олж болохыг анзаарсан анхны хүн юм. Энэ нээлт гайхалтай байсан

Энэ нь pi-г ямар ч нарийвчлалтайгаар тооцоолох боломжийг бидэнд олгосон тул утга юм. Зөвхөн 250 жилийн дараа аль-Кашитүүний үр дүн давсан.

"" тооны төрсөн өдөр.

"PI Day" албан бус баярыг 3-р сарын 14-нд тэмдэглэдэг бөгөөд энэ нь Америкийн форматаар (өдөр/огноо) 3/14 гэж бичигдсэн бөгөөд энэ нь PI-ийн ойролцоо утгатай тохирч байна.

Амралтын өөр хувилбар байдаг - 7-р сарын 22. Үүнийг ойролцоогоор Пи өдөр гэж нэрлэдэг. Баримт нь энэ огноог бутархай (22/7) болгон төлөөлөх нь үр дүнд нь Pi тоог өгдөг. Энэ баярыг 1987 онд Сан Францискогийн физикч Ларри Шоу зохион бүтээсэн бөгөөд огноо, цаг нь π тооны эхний цифрүүдтэй давхцаж байгааг анзаарсан гэж үздэг.

"" тоотой холбоотой сонирхолтой баримтууд

Профессор Ясумаса Канадаар ахлуулсан Токиогийн их сургуулийн эрдэмтэд Пи тоог 12,411 их наяд оронтой тоогоор тооцоолж дэлхийн дээд амжилт тогтоож чаджээ. Үүний тулд хэсэг програмист, математикчдад тусгай программ, супер компьютер, 400 цагийн компьютерийн цаг хэрэгтэй байв. (Гиннесийн амжилтын ном).

Германы хаан II Фредерик энэ тоонд маш их татагдсан тул түүнд зориулав ... Кастел дель Монтегийн бүх ордон, тэдгээрийн харьцаагаар PI-г тооцоолж болно. Одоо ид шидийн ордон ЮНЕСКО-гийн хамгаалалтад байна.

"" тооны эхний цифрүүдийг хэрхэн санах вэ.

 = 3.14... тооны эхний гурван орон нь санахад хэцүү биш юм. Мөн санахын тулд илүүхөгжилтэй үгс, шүлэг байдаг шинж тэмдэг. Жишээлбэл, эдгээр:

Та зүгээр л хичээх хэрэгтэй

Мөн бүх зүйлийг байгаагаар нь санаарай:

Ерэн хоёр, зургаа.

С.Бобров. "Шидэт хоёр эвэрт"

Энэ дөрвөлжин дөрвөлжинг сурсан хүн  тооны 8 тэмдгийг үргэлж нэрлэх боломжтой.

Дараах хэллэгт  тоон тэмдгийг үг бүрийн үсгийн тоогоор тодорхойлж болно.

“Би дугуйлангийн талаар юу мэдэх вэ?" (3.1416);

“Тиймээс би Пи гэдэг тоог мэднэ. - Сайн байна!"

(3,1415927);

“Дугаарын цаад дугаар, аз тохиохыг хэрхэн анзаарах вэ гэдгийг мэдэж, мэдэж аваарай."

(3,14159265359)

5. Pi-ийн тэмдэглэгээ

Тойргийн тойргийг түүний диаметртэй харьцуулах орчин үеийн pi тэмдгийг анхлан нэвтрүүлсэн хүн бол Английн математикч юм. В.Жонсон 1706 онд Грек үгийн эхний үсгийг бэлгэдэл болгон авчээ "захын", орчуулсан гэсэн үг "тойрог". Оруулсан В.ЖонсонЭнэхүү тэмдэглэгээ нь бүтээлүүд хэвлэгдсэний дараа түгээмэл хэрэглэгддэг болсон Л.Эйлер, оруулсан тэмдэгтийг анх удаа ашигласан 1736 Г.

18-р зууны төгсгөлд. A.M.Lagendreбүтээлүүд дээр үндэслэсэн И.Г.Ламберт pi нь иррационал гэдгийг баталсан. Дараа нь Германы математикч Ф.Линдемансудалгаанд үндэслэсэн С.Эрмита, энэ тоо нь зөвхөн үндэслэлгүй төдийгүй трансцендентал гэсэн хатуу нотолгоог олсон, i.e. үндэс болж чадахгүй алгебрийн тэгшитгэл. Ажил дууссаны дараа pi-ийн яг илэрхийлэлийг хайх ажил үргэлжилсэн Ф.Вьета. IN XVII эхэн үеВ. Кельн хотын Голландын математикч Людольф ван Зейлен(1540-1610) (зарим түүхчид түүнийг дууддаг Л. ван Кеулен) 32 зөв тэмдгийг оллоо. Түүнээс хойш (хэвлэгдсэн он 1615) аравтын 32 оронтой p тооны утгыг тоо гэж нэрлэх болсон. Людольф.

6. "Pi" тоог арван нэгэн оронтой тоогоор хэрхэн зөв санах вэ

"Pi" тоо нь тойргийн тойргийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцаа бөгөөд үүнийг хязгааргүй гэж илэрхийлдэг. аравтын. Өдөр тутмын амьдралд бид гурван тэмдгийг мэдэхэд хангалттай (3.14). Гэсэн хэдий ч зарим тооцоолол нь илүү нарийвчлалтай байхыг шаарддаг.

Бидний өвөг дээдэс компьютер, тооны машин, лавлах номгүй байсан ч I Петрийн үеэс одон орон судлал, механик инженерчлэл, хөлөг онгоцны үйлдвэрлэлд геометрийн тооцоолол хийж ирсэн. Дараа нь цахилгааны инженерчлэл энд нэмэгдсэн - "дугуй давтамж" гэсэн ойлголт байдаг. АС"Пи" тоог санахын тулд хос шүлгийг зохион бүтээжээ (харамсалтай нь бид зохиогч, түүний анхны хэвлэгдсэн газрыг мэдэхгүй байна; гэхдээ 20-р зууны 40-өөд оны сүүлээр Москвагийн сургуулийн сурагчид Киселевийн геометрийн сурах бичгээс суралцаж байсан. өгсөн).

Хослол нь хуучин Оросын зөв бичгийн дүрмийн дагуу бичигдсэн бөгөөд үүний дагуу бичигдсэн байдаг гийгүүлэгчүгийн төгсгөлд заавал байх ёстой "зөөлөн"эсвэл "хатуу"тэмдэг. Энэ бол гайхамшигт түүхэн шүлэг юм:

Хэн, хошигнолоор удахгүй хүсэх болно

"Пи" тоог мэддэг - тэр аль хэдийн мэддэг.

Ирээдүйд нарийн тооцоолол хийхээр төлөвлөж буй хэн бүхэнд үүнийг санах нь утга учиртай юм. Тэгэхээр "Пи" тоо нь хэдэн арван нэг оронтой тоонд үнэн зөв байх вэ? Үг бүр дэх үсгийн тоог тоолж, эдгээр тоог дараалан бич (эхний тоог таслалаар тусгаарла).

Энэ нарийвчлал нь инженерийн тооцоолол хийхэд хангалттай юм. Эртнийхээс гадна орчин үеийн цээжлэх арга бас байдаг бөгөөд үүнийг Георгий гэж өөрийгөө тодорхойлсон нэгэн уншигч:

Бид алдаа гаргахгүйн тулд,

Та үүнийг зөв унших хэрэгтэй:

Гурав, арван дөрөв, арван тав,

Ерэн хоёр, зургаа.

Та зүгээр л хичээх хэрэгтэй

Мөн бүх зүйлийг байгаагаар нь санаарай:

Гурав, арван дөрөв, арван тав,

Ерэн хоёр, зургаа.

Гурав, арван дөрөв, арван тав,

Ес, хоёр, зургаа, тав, гурав, тав.

Шинжлэх ухаан хийх,

Үүнийг хүн бүр мэдэж байх ёстой.

Та зүгээр л оролдож болно

Мөн илүү олон удаа давтана:

"Гурав, арван дөрөв, арван тав,

Ес, хорин зургаа, тав."

Орчин үеийн компьютерийн тусламжтайгаар математикчид Pi-ийн бараг бүх тооны цифрийг тооцоолж чаддаг.

7. Pi санах ойн бичлэг

Хүн төрөлхтөн удаан хугацааны турш пигийн шинж тэмдгийг санахыг хичээж ирсэн. Гэхдээ хэрхэн хязгааргүйг санах ойд оруулах вэ? Мэргэжлийн мнемонистуудын дуртай асуулт. Олон зүйлийг боловсруулсан өвөрмөц онолуудасар их хэмжээний мэдээллийг эзэмших арга техник. Тэдний олонх нь pi дээр туршиж үзсэн.

Өнгөрсөн зуунд Германд тогтоосон дэлхийн дээд амжилт нь 40,000 тэмдэгт юм. Пи утгын Оросын дээд амжилтыг 2003 оны 12-р сарын 1-нд Челябинск хотод Александр Беляев тогтоожээ. Богино завсарлагатайгаар нэг цаг хагасын дотор Александр самбар дээр 2500 оронтой pi бичжээ.

Үүнээс өмнө 2000 тэмдэгтийг жагсаасан нь Орост дээд амжилт гэж тооцогддог байсан бөгөөд 1999 онд Екатеринбург хотод хүрсэн байна. Дүрслэх ой санамжийг хөгжүүлэх төвийн тэргүүн Александр Беляевын хэлснээр бидний хэн нь ч ой санамжаараа ийм туршилт хийж болно. Зөвхөн тусгай цээжлэх арга техникийг мэдэж, үе үе дадлага хийх нь чухал юм.

Дүгнэлт.

Пи тоо нь олон талбарт хэрэглэгддэг томъёонд гарч ирдэг. Физик, цахилгааны инженерчлэл, электроник, магадлалын онол, барилга угсралт, навигаци зэрэг нь хэдхэн юм. Пи тооны шинж тэмдгүүдийн төгсгөл гэж байдаггүйн адил энэхүү ашигтай, баригдашгүй pi тоог практикт хэрэглэх боломж хязгааргүй мэт санагдаж байна.

Орчин үеийн математикийн хувьд pi тоо нь зөвхөн тойргийн диаметр ба диаметрийн харьцаа биш юм. их тооянз бүрийн томъёо.

Энэ болон бусад харилцан хамаарал нь математикчдад pi-ийн мөн чанарыг ойлгох боломжийг олгосон.

π тооны яг утга орчин үеийн ертөнцөөрийн шинжлэх ухааны үнэ цэнийг илэрхийлээд зогсохгүй маш их ашигладаг үнэн зөв тооцоолол(жишээ нь, хиймэл дагуулын тойрог зам, аварга том гүүр барих), түүнчлэн орчин үеийн компьютеруудын хурд, хүчийг тооцоолох.

Одоогийн байдлаар π тоо нь харахад хэцүү томьёо, математик, физикийн баримтуудтай холбоотой юм. Тэдний тоо хурдацтай өссөөр байна. Энэ бүхэн хамгийн чухал зүйлд сонирхол нэмэгдэж байгааг харуулж байна математикийн тогтмол, судалгаа нь хорин хоёр зуун гаруй жилийн өмнө эхэлсэн.

Миний хийсэн ажил сонирхолтой байсан. Би pi тооны түүхийн талаар мэдэхийг хүссэн. практик хэрэглээмөн би зорилгодоо хүрсэн гэж бодож байна. Ажлаа нэгтгэн дүгнэхэд би ийм дүгнэлтэд хүрч байна энэ сэдэвхамааралтай. π тоотой холбоотой олон сонирхолтой баримтууд байдаг тул энэ нь судлах сонирхлыг төрүүлдэг. Ажил дээрээ би нэг тоог илүү мэддэг болсон мөнхийн үнэт зүйлс, үүнийг хүн төрөлхтөн олон зууны турш хэрэглэж ирсэн. Үүний зарим талыг олж мэдсэн баялаг түүх. Яагаад гэдгийг олж мэдэв эртний ертөнцтойргийн диаметр ба зөв харьцааг мэдэхгүй байсан. Би дугаарыг авах арга замыг тодорхой харлаа. Туршилт дээр үндэслэн би тооны ойролцоо утгыг тооцоолсон янз бүрийн аргаар. Туршилтын үр дүнг боловсруулж, дүн шинжилгээ хийсэн.

Өнөөдөр ямар ч сургуулийн хүүхэд тоо гэдэг нь юу гэсэн үг, ойролцоогоор тэнцүү болохыг мэддэг байх ёстой. Эцсийн эцэст хүн бүр тоотой анхны танилцах, тойргийн тойрог, тойргийн талбайг тооцоолоход ашиглах нь 6-р ангид тохиолддог. Гэвч харамсалтай нь энэ мэдлэг олон хүний ​​хувьд албан ёсны хэвээр байгаа бөгөөд нэг эсвэл хоёр жилийн дараа цөөхөн хүн тойргийн уртыг диаметртэй харьцуулсан харьцаа бүх тойрогт ижил байдгийг санаж байгаа төдийгүй тоон утгыг санахад хэцүү байдаг. тоо, 3 ,14-тэй тэнцүү.

Хүн төрөлхтний олон зууны турш хэрэглэж ирсэн тооны арвин түүхийн хөшгийг тайлахыг хичээсэн. Би өөрөө бүтээлийнхээ танилцуулга хийсэн.

Тооны түүх бол гайхалтай, нууцлаг юм. Би математикийн бусад гайхалтай тоонуудыг үргэлжлүүлэн судлахыг хүсч байна. Энэ нь миний дараагийн судалгааны сэдэв байх болно.

Лавлагаа.

1. Глэйзер Г.И. Сургуулийн IV-VI ангийн математикийн түүх. - М.: Боловсрол, 1982.

2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард - М.: Просвещение, 1989.

3. Жуков A.V. Хаа сайгүй байдаг "пи" тоо. - М.: Редакцийн URSS, 2004.

4. Kympan F. “Pi” тооны түүх. - М.: Наука, 1971.

5. Свечников А.А. Математикийн түүхэнд хийсэн аялал - М.: Педагогика - Хэвлэл, 1995.

6. Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. Т.11.Математик - М.: Аванта +, 1998.

Интернет нөөц:

- http:// crow.academy.ru/materials_/pi/history.htm

Http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/