Координатын өнцгийн проекцын гурван хавтгайд цэгийг проекцлох нь түүний зургийг H хавтгайд - хэвтээ проекцын хавтгай дээр авахаас эхэлнэ. Үүний тулд проекцын цацрагийг Н хавтгайд перпендикуляр А цэгээр (Зураг 4.12, а) дамжуулна.

Зураг дээр H хавтгайд перпендикуляр Oz тэнхлэгтэй параллель байна. Цацрагийн H хавтгайтай огтлолцох цэгийг (а цэг) дур зоргоороо сонгоно. Аа сегмент нь А цэг нь H хавтгайгаас ямар зайд байрлаж байгааг тодорхойлдог бөгөөд ингэснээр зураг дээрх А цэгийн байрлалыг проекцын хавтгайтай харьцуулахад тодорхой зааж өгдөг. А цэг нь Н хавтгай дээрх А цэгийн тэгш өнцөгт проекц бөгөөд А цэгийн хэвтээ проекц гэж нэрлэгддэг (Зураг 4.12, а).

V хавтгай дээрх А цэгийн дүрсийг авахын тулд (Зураг 4.12,б) проекцын урд талын хавтгайд перпендикуляр А цэгээр проекцын цацрагийг дамжуулна. Зураг дээр V хавтгайд перпендикуляр нь Oy тэнхлэгтэй параллель байна. . H хавтгайд А цэгээс V хавтгай хүртэлх зайг Oy тэнхлэгтэй параллель, Окс тэнхлэгт перпендикуляр aa x хэрчмээр дүрслэнэ. Хэрэв бид проекцын туяа ба түүний дүрсийг V хавтгайн чиглэлд нэгэн зэрэг хийж байна гэж төсөөлвөл цацрагийн дүрс нь a x цэг дээр Ox тэнхлэгтэй огтлолцох үед туяа V хавтгайг a цэг дээр огтолно." Зураг V хавтгай дээрх а х цэгээс V хавтгай дээрх проекцын Аа туяаны дүрс болох Үхрийн тэнхлэгт перпендикуляр а цэгийг авав. "А" цэг нь А цэгийн урд талын проекц, өөрөөр хэлбэл V хавтгай дээрх түүний дүрс юм.

Профайлын проекцын хавтгай дээрх А цэгийн дүрсийг (Зураг 4.12, в) W хавтгайд перпендикуляр проекцын цацраг ашиглан бүтээв. А цэгээс W хавтгайд H хавтгайд тусах туяаг Ox тэнхлэгтэй параллель, Oy тэнхлэгт перпендикуляр aa y сегментээр дүрсэлнэ. Oy цэгээс Oz тэнхлэгтэй параллель ба Oy тэнхлэгт перпендикуляр, аА туяаны дүрсийг бүтээж, проекцын туяатай огтлолцох хэсэгт а цэгийг олж авна." a" цэг нь А цэгийн профилын проекц юм. , өөрөөр хэлбэл, W хавтгай дээрх А цэгийн дүрс.

a" цэгийг a" цэгээс Ox тэнхлэгтэй параллель a"a z сегмент (V хавтгай дээрх Аа туяаны дүрс) зурж, a z цэгээс Oy цэгтэй параллель a"a z сегментийг барьж байгуулж болно. тэнхлэгийг тусгах туяатай огтлолцох хүртэл.

Проекцын хавтгай дээрх А цэгийн гурван проекцийг хүлээн авсны дараа координатын өнцгийг нэг хавтгайд өргөжүүлсэн бөгөөд үүнийг Зураг дээр үзүүлэв. 4.11,б, А цэгийн проекц ба тусгах туяа, мөн А цэг ба тусгах Аа, Аа" ба Аа" туяаг арилгана. Хосолсон проекцын хавтгайн ирмэгийг зураагүй бөгөөд зөвхөн Oz, Oy ба Ox, Oy 1 проекцын тэнхлэгүүдийг зурсан байна (Зураг 4.13).

Цэгийн ортогональ зургийн дүн шинжилгээ нь орон зай дахь А цэгийн байрлалыг тодорхойлсон гурван зай - Аа, Аа ба Аа" (Зураг 4.12, в) проекцын объектыг өөрөө хаях замаар тодорхойлж болно - А цэг, нэг хавтгайд хувирсан координатын өнцөг дээр (Зураг 4.13). a"a z, aa y ба Oa x сегментүүд нь Aa"-тай тэнцүү бөгөөд харгалзах тэгш өнцөгтүүдийн эсрэг тал болно (Зураг 4.12c ба 4.13). Тэд профилын проекцын хавтгайгаас А цэгийн зайг тодорхойлдог. a"a x, a"a y1 ба Oa y сегментүүд нь А цэгээс хэвтээ проекцын хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлох Aa сегменттэй тэнцүү, aa x, a"a z ба Oa y 1 сегментүүд нь Aa сегменттэй тэнцүү байна. ", А цэгээс проекцын урд талын хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлох.

Проекцийн тэнхлэгүүд дээр байрлах Oa x, Oa y, Oa z сегментүүд нь А цэгийн X, Y, Z координатуудын хэмжээсийн график илэрхийлэл юм. Цэгийн координатыг харгалзах үсгийн индексээр зааж өгсөн болно. . Эдгээр сегментүүдийн хэмжээг хэмжсэнээр та цэгийн орон зай дахь байрлалыг тодорхойлж болно, өөрөөр хэлбэл цэгийн координатыг тохируулна.

Диаграммд a"a x ба aa x сегментүүд нь Ox тэнхлэгт перпендикуляр нэг шулуун байдлаар байрладаг ба a"a z ба a"a z - Oz тэнхлэгт перпендикуляр байрладаг. Эдгээр шугамыг проекцын холболтын шугам гэж нэрлэдэг. Тэдгээр нь хоорондоо огтлолцдог. A цэгийн хэвтээ проекцыг профиль нэгтэй холбосон проекцын холболтын шугам нь a y цэг дээр "таслагдсан" болж хувирав.

Нэг цэгийн хоёр төсөөлөл нь проекцуудын тэнхлэгт перпендикуляр нэг проекцын холболтын шугам дээр үргэлж байрладаг.

Орон зай дахь цэгийн байрлалыг илэрхийлэхийн тулд түүний хоёр проекц ба өгөгдсөн эх (O цэг) хангалттай. 4.14, b цэгийн хоёр проекц нь түүний орон зай дахь байрлалыг бүрэн тодорхойлно. Энэ хоёр проекцийг ашиглан А цэгийн проекцийг бүтээх боломжтой. Тиймээс ирээдүйд профилын проекц хийх шаардлагагүй бол диаграммууд гарч ирнэ. V ба H гэсэн хоёр проекцын хавтгай дээр бүтээгдэнэ.

Цагаан будаа. 4.14. Цагаан будаа. 4.15.

Цэгийн зургийг бүтээх, унших хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 1.Диаграммд заасан J цэгийн координатыг хоёр проекцоор тодорхойлох (Зураг 4.14). Гурван сегментийг хэмждэг: сегмент OB X (X координат), сегмент b X b (Y координат) ба сегмент b X b" (Z координат). Координатуудыг дараах дарааллаар бичнэ: X, Y, Z үсгийн дараа. цэгийн тэмдэглэгээ, жишээлбэл, B20;

Жишээ 2. Өгөгдсөн координат дээр цэг байгуулах. C цэгийг C30 координатаар өгсөн; 10; 40. Ox тэнхлэг дээр (Зураг 4.15) проекцын холболтын шугам проекцын тэнхлэгтэй огтлолцох c x цэгийг ол. Үүнийг хийхийн тулд Ox тэнхлэгийн дагуу эх үүсвэрээс (О цэг) X координатыг (хэмжээ 30) зурж, x-тэй цэгийг авна. Энэ цэгээр Ox тэнхлэгт перпендикуляр проекцын холболтын шугамыг зурж, Y координатыг (хэмжээ 10) цэгээс буулгаж, c цэгийг олж авна - C цэгийн хэвтээ проекц. Z координат (40 хэмжээ) нь проекцын холболтын шугамын дагуу c x цэгээс дээш зурсан c" - C цэгийн урд талын проекц.

Жишээ 3. Өгөгдсөн проекцуудыг ашиглан цэгийн профилын проекцийг бүтээх. D цэгийн проекцууд өгөгдсөн - d ба d". О цэгээр дамжуулан Oz, Oy ба Оу 1 проекцын тэнхлэгүүдийг зурсан (Зураг 4.16, a). D цэгийн проекцийг байгуулах d ", проекц. Холболтын шугамыг Оз тэнхлэгт перпендикуляр зурж, Оз тэнхлэгийн ард баруун тийш үргэлжлүүлнэ. D цэгийн профилын проекц нь энэ шугам дээр байрлах болно. Энэ нь Oz тэнхлэгээс d цэгийн хэвтээ проекцтэй ижил зайд байрлана: Ox тэнхлэгээс, өөрөөр хэлбэл dd x зайд. D z d" ба dd x сегментүүд нь ижил зайг тодорхойлдог тул D цэгээс проекцын урд талын хавтгай хүртэлх зай юм. Энэ зай нь D цэгийн Y координат юм.

Графикаар d z d" хэрчмийг проекцын хэвтээ хавтгайгаас профиль нэг рүү шилжүүлэн dd x сегментийг байгуулна. Үүнийг хийхийн тулд Ox тэнхлэгтэй параллель проекцын холболтын шугамыг зурж, Oy тэнхлэг дээр d y цэгийг авна ( Зураг 4.16, b) Дараа нь Od y сегментийн радиустай O цэгээс Oy 1 тэнхлэгтэй огтлолцох цэг хүртэл нум зурж Od y сегментийн хэмжээг 1-д шилжүүлнэ (Зураг 4.16). , b), бид dy 1 цэгийг олж авна. Энэ цэгийг d y цэгээс Oy тэнхлэгт 45° өнцгөөр зурж, 4.16, c-д үзүүлсэнчлэн байгуулж болно y1, Oz тэнхлэгтэй зэрэгцээ проекцын холболтын шугамыг зурж, түүн дээр d"d x сегменттэй тэнцүү сегментийг тавиад d цэгийг олж авна.

d x d сегментийн утгыг проекцын профилын хавтгайд шилжүүлэхийг зургийн тогтмол шулуун шугамыг ашиглан хийж болно (Зураг 4.16, d). Энэ тохиолдолд проекцын холболтын шугам dd y нь Oy 1 тэнхлэгтэй параллель цэгийн хэвтээ проекцоор тогтмол шулуун шугамтай огтлолцох хүртэл, дараа нь Oy тэнхлэгтэй параллель проекцын үргэлжлэлтэй огтлолцох хүртэл татагдана. холболтын шугам d"d z.

Проекцын хавтгайтай харьцуулахад цэгүүдийн байршлын онцгой тохиолдлууд

Проекцын хавтгайтай харьцуулахад цэгийн байрлалыг харгалзах координатаар, өөрөөр хэлбэл Окс тэнхлэгээс харгалзах проекц хүртэлх проекцын холболтын шугамын сегментийн хэмжээгээр тодорхойлно. Зураг дээр. 4.17 А цэгийн Y координатыг aa х сегментээр тодорхойлно - А цэгээс V хавтгай хүртэлх зай. А цэгийн Z координатыг a "a x - А цэгээс Н хавтгай хүртэлх зайгаар тодорхойлно. Хэрэв нэг координатуудынх нь 0 бол тухайн цэг нь проекцын хавтгайд байрлана.Зураг 4.17-д проекцын хавтгайтай харьцуулахад цэгүүдийн өөр өөр байршлын жишээг үзүүлэв. В цэгийн Z координат тэгтэй тэнцүү, цэг нь Н хавтгайд байрлана. Түүний урд талын проекц нь Үхрийн тэнхлэг дээр байх ба b x цэгтэй давхцаж байна C цэгийн Y координат нь V хавтгай дээр байрладаг, түүний хэвтээ проекц нь Ox тэнхлэг дээр байрладаг бөгөөд c цэгтэй давхцдаг x.

Тиймээс хэрэв проекцын хавтгай дээр цэг байгаа бол энэ цэгийн проекцуудын аль нэг нь проекцийн тэнхлэг дээр байрладаг.

Зураг дээр. 4.17, D цэгийн Z ба Y координатууд тэгтэй тэнцүү тул D цэг нь Ox проекцын тэнхлэг дээр байх ба түүний хоёр проекц давхцаж байна.

Төсөл(Латин projectio - урагш шидэх) - зураг (проекц) гэж нэрлэгддэг хавтгай дээрх гурван хэмжээст дүрсийн дүрс.

Төсөл гэсэн нэр томьёо нь ийм дүрсийг бүтээх арга, энэ аргад үндэслэсэн техникийн техникийг хэлдэг.

зарчим

Объектуудыг дүрслэх проекцийн арга нь тэдгээрийн харааны дүрслэлд суурилдаг. Хэрэв бид шулуун шугамтай (проекцийн туяа) объектын бүх цэгийг ажиглагчийн нүд гэж үздэг тогтмол S цэгтэй (проекцийн төв) холбовол эдгээр цацрагуудын аль ч хавтгайтай огтлолцох хэсэгт проекц үүснэ. объектын бүх цэгүүдийг олж авна. Эдгээр цэгүүдийг объектод холбогдсонтой ижил дарааллаар шулуун шугамаар холбосноор бид хавтгай дээр олж авна объектын хэтийн төлөв эсвэл төвийн проекц.

Хэрэв проекцын төв нь зургийн хавтгайгаас хязгааргүй зайд байвал бид ярьж байна зэрэгцээ проекц, хэрэв энэ тохиолдолд проекцын цацрагууд хавтгайд перпендикуляр унадаг бол ортогональ проекц.

Проекцийг инженерийн график, архитектур, уран зураг, зураг зүйд өргөн ашигладаг.

Дүрслэх геометр нь төсөөлөл, дизайны аргыг судалдаг.

Төслийн зураг– орон зайн объектуудыг хавтгайд тусгах аргаар бүтээсэн зураг. Энэ нь орон зайн дүрсийн шинж чанарыг шинжлэх гол хэрэгсэл юм.

Проекцийн төхөөрөмж:

Проекцийн төв (S)

Проекцийн туяа

Проекцийн объект

Төсөл

Нарийн төвөгтэй зураг- Монгегийн диаграмм. Декартын координатын систем, тэнхлэг (x,y,z)

Онгоц:

Урд талын - урд талын харагдах байдал;

Хэвтээ - дээд талаас нь харах;

Профайл - хажуугийн харагдац.

Цогцолбор зургийн найрлага:

1) Проекцын хавтгай

2) Проекцийн тэнхлэгүүд (проекцын хавтгайн огтлолцол)

3) төсөөлөл

Харилцаа холбооны шугамууд.

Ортогональ проекцын үндсэн шинж чанарууд.

2 харилцан уялдаатай ортогональ проекцууд нь проекцын хавтгайтай харьцуулахад цэгийн байрлалыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. 3-р төсөөллийг дур зоргоороо зааж өгөх боломжгүй.

Ортогональ проекцууд.

Ортогональ (тэгш өнцөгт) проекц нь бүх проекцын туяа проекцын хавтгайд перпендикуляр байх үед параллель проекцын онцгой тохиолдол юм. Ортогональ проекцууд нь параллель проекцуудын бүх шинж чанартай байдаг боловч тэгш өнцөгт проекцын хувьд хэрчмүүдийн проекц нь хэрвээ проекцын хавтгайтай параллель биш бол тухайн сегментээс үргэлж бага байдаг (Зураг 58). Энэ нь огторгуй дахь хэрчим нь өөрөө тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз, түүний проекц нь хөл юм: А "В" = ABcosa.

Тэгш өнцөгт проекцын хувьд хоёр тал нь проекцын хавтгайтай параллель байх ба түүний зөвхөн нэг тал нь проекцын хавтгайд параллель, хоёр дахь тал нь энэ проекцын хавтгайд перпендикуляр биш байх үед тэгш өнцөгт өнцгийг бүрэн хэмжээгээр төсөөлдөг.

Зөв өнцгийн проекцийн теорем. Хэрэв зөв өнцгийн нэг тал нь проекцын хавтгайтай параллель, нөгөө тал нь перпендикуляр биш бол ортогональ проекцын тусламжтайгаар тэгш өнцөг нь энэ хавтгайд тэгш өнцөгт тусна.

AB тал нь n" хавтгайтай параллель байх тэгш өнцөгт ABC өнцгийг өгье (Зураг 59). Проекцын хавтгай нь n" хавтгайд перпендикуляр байна. Энэ нь AB _|_S гэсэн үг, учир нь AB _|_ BC ба AB _|_ BB тул AB _|_ B"C" болно. Гэхдээ AB ||-ээс хойш A"B" _|_ B"C", өөрөөр хэлбэл n" хавтгай дээр A"B" ба B"C хоорондох өнцөг 90° байна.

Зургийн урвуу байдал. Нэг проекцын хавтгайд проекц хийх нь дүрслэгдсэн объектын хэлбэр, хэмжээсийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжийг олгодоггүй зургийг үүсгэдэг. А проекц (53-р зургийг үз) проекцын n хавтгайгаас хэр хол зайд байгаа нь мэдэгдэхгүй тул тухайн цэгийн байрлалыг тодорхойлохгүй түүний төсөөлөл. Нэг проекцтой байх нь дүрсний тодорхойгүй байдлыг бий болгодог. Ийм тохиолдолд тэд зургийн эргэлт буцалтгүй байдлын тухай ярьдаг, учир нь ийм зургийг ашиглан эх хувийг хуулбарлах боломжгүй юм. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд зургийг шаардлагатай мэдээллээр нэмж оруулсан болно. Практикт нэг проекцын зургийг нөхөхийн тулд янз бүрийн аргыг ашигладаг. Энэ курс нь хоёр ба түүнээс дээш тооны хооронд ортогональ проекцоор олж авсан зургуудыг судлах болно перпендикуляр хавтгайнуудпроекц (цогцолбор зураг) ба объектын туслах проекцийг проекцын үндсэн аксонометрийн хавтгайд дахин төлөвлөх замаар (аксонометрийн зураг).

Нарийн төвөгтэй зураг.

Нарийн төвөгтэй зураг дээрх шулуун шугам:

2 цэгийн төсөөлөл

Шулуун шугамын проекцоор шууд

Шулуун ерөнхий байр суурь – проекцын хавтгайд параллель эсвэл перпендикуляр биш.

Түвшингийн шугамууд- проекцын хавтгайтай параллель шугамууд:

Хэвтээ

Урд талын

Профайл

Ерөнхий өмч: түвшний шугамын хувьд нэг проекц нь байгалийн хэмжээтэй тэнцүү, бусад төсөөлөл нь проекцын тэнхлэгтэй параллель байна.

Шулуун шугамыг төлөвлөх– түвшний шугамаас хоёр дахин их (хэрэв нэг хавтгайд перпендикуляр бол нөгөө 2 хавтгайтай параллель байвал):

Хэвтээ проекц

Урд талын төлөвлөлт

Профайл төсөл боловсруулах

Өрсөлдөх оноо– нэг холбооны шугам дээр байрлах цэгүүд.

2 шулуун шугамын харьцангуй байрлал:

огтлолцох – 1 нийтлэг цэг ба энэ цэгийн нийтлэг проекцтэй байна

Зэрэгцээ - 2 зэрэгцээ шугамын проекцууд үргэлж параллель байна

Эрлийз - байхгүй нийтлэг цэгүүд, зөвхөн проекцууд огтлолцдог болохоос шугамууд нь огтлолцдоггүй

Өрсөлдөх - шулуун шугамууд нь проекцын аль нэгэнд перпендикуляр хавтгайд байрладаг (жишээлбэл, хэвтээ байдлаар өрсөлддөг)

4. Нарийн төвөгтэй зураг дээр заа.

Гурван проекцийн цогцолбор цэгийн зургийн элементүүд.

Сансар огторгуй дахь геометрийн биеийн байрлалыг тодорхойлж, тэдгээрийн зургийн талаар нэмэлт мэдээлэл авахын тулд гурав дахь проекцийг бүтээх шаардлагатай болно. Дараа нь гурав дахь проекцын хавтгай нь ажиглагчийн баруун талд, хэвтээ проекцын P1 хавтгай ба урд талын проекцын P2 хавтгайд перпендикуляр байрладаг (Зураг 62, а). Урд талын P2 ба профилын P3 проекцын хавтгайн огтлолцлын үр дүнд бид A1A2 босоо холболтын шугамтай зэрэгцээ цогцолбор зураг дээр байрлах шинэ тэнхлэг P2 / P3-ийг олж авдаг (Зураг 62, б). А цэгийн гурав дахь проекц - профиль нь A2 урд талын проекцтой хэвтээ гэж нэрлэгддэг шинэ холбооны шугамаар холбогдсон байна.

Ноа. Цэгүүдийн урд ба профилын төсөөлөл нь үргэлж ижил хэвтээ холболтын шугам дээр байрладаг. Түүнчлэн, A1A2 _|_ A2A1 ба A2A3, _|_ P2/P3.

Энэ тохиолдолд орон зай дахь цэгийн байрлал нь түүний өргөрөгөөр тодорхойлогддог - үүнээс P3 проекцын профилын хавтгай хүртэлх зайг бид p үсгээр тэмдэглэдэг.

Хүлээн авсан нарийн төвөгтэй зурагцэгийг гурван проекц гэж нэрлэдэг.

Гурван проекцийн зураг дээр AA2 цэгийн гүнийг P1 ба P2 хавтгайд гажуудалгүйгээр төсөөлдөг (Зураг 62, а). Энэ нөхцөл байдал нь А цэгийн хөндлөн A1 ба урд талын A2 проекцын дагуу гурав дахь - урд талын проекцийг бүтээх боломжийг бидэнд олгодог (Зураг 62, в). Үүнийг хийхийн тулд цэгийн урд талын проекцоор дамжуулан A2A3 _|_A2A1 хэвтээ холболтын шугамыг зурах хэрэгтэй. Дараа нь зургийн аль ч хэсэгт проекцын P2/P3 _|_ A2A3 тэнхлэгийг зурж, хэвтээ проекцийн талбар дээрх цэгийн гүнийг хэмжиж, P2/P3 проекцийн тэнхлэгээс хэвтээ холболтын шугамын дагуу байрлуулна. Бид А цэгийн профайлын A3 проекцийг олж авна.

Тиймээс гурваас бүрдсэн цогц зураг дээр ортогональ проекцуудцэгүүд, хоёр төсөөлөл нь нэг холбооны шугам дээр байна; холбооны шугамууд нь проекцын харгалзах тэнхлэгт перпендикуляр; цэгийн хоёр проекц нь түүний гурав дахь проекцын байрлалыг бүрэн тодорхойлдог.

Нарийн төвөгтэй зураг дээр дүрмийн дагуу проекцын хавтгай нь хязгаарлагдмал биш бөгөөд тэдгээрийн байрлалыг тэнхлэгээр тодорхойлдог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (Зураг 62, в). Асуудлын нөхцөл үүнийг шаарддаггүй тохиолдолд,

Тэнхлэгийг дүрслэхгүйгээр цэгүүдийн төсөөллийг өгч болно (Зураг 63, a, b). Ийм системийг үндэслэлгүй гэж нэрлэдэг. Харилцаа холбооны шугамыг мөн завсарлагатайгаар зурж болно (Зураг 63, b).

5. Нарийн төвөгтэй зургийн шулуун шугам. Үндсэн заалтууд.

Шулуун шугамын цогц зураг.

Сансар огторгуйн шулуун шугамыг хоёр цэгийн байрлалаар нь тодорхойлж болно гэж үзээд түүнийг зургаар бүтээхийн тулд эдгээр хоёр цэгийн нарийн төвөгтэй зургийг хийж, дараа нь ижил нэртэй цэгүүдийн проекцийг холбоход хангалттай. шулуун шугамууд. Энэ тохиолдолд бид шулуун шугамын хэвтээ ба урд талын проекцийг тус тус авдаг.

Зураг дээр. 69, l шулуун ба түүнд хамаарах А ба В цэгүүдийг үзүүлэв l2 шулуун шугамын нүүрэн талын проекцийг байгуулахын тулд А2 ба В2 цэгүүдийн урд талын проекцуудыг барьж шулуун шугамаар холбоход хангалттай. шугам. Үүний нэгэн адил А1 ба В1 цэгүүдийн хэвтээ проекцоор дамжин хэвтээ проекцийг бүтээдэг. P1 онгоцыг P2 хавтгайтай нэгтгэсний дараа бид l шулуун шугамын хоёр проекцийн цогц зургийг олж авна (Зураг 69, b).

Шугамын профилын проекцийг А ба В цэгүүдийн профилын проекцийг ашиглан барьж болно. Үүнээс гадна шугамын профилын проекцийг түүний хоёр цэгээс проекцын урд талын хавтгай хүртэлх зайны зөрүүг ашиглан байгуулж болно, өөрөөр хэлбэл. , цэгүүдийн гүн дэх ялгаа (Зураг 69, в). Энэ тохиолдолд зураг дээр проекцын тэнхлэгүүдийг зурах шаардлагагүй болно. Энэ аргыг илүү нарийвчлалтай тул техникийн зураг зурах практикт ашигладаг.

6. Ерөнхий байрлал дахь шулуун шугамын сегментийн натурал утгыг тодорхойлох.

Шулуун шугамын сегментийн байгалийн хэмжээг тодорхойлох.

Инженерийн графикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ зарим тохиолдолд шулуун шугамын сегментийн байгалийн хэмжээг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Энэ асуудлыг хэд хэдэн аргаар шийдэж болно: зөв гурвалжингийн арга, эргэлтийн арга, хавтгай-параллель хөдөлгөөн, проекцын хавтгайг солих.

Тэгш өнцөгт гурвалжингийн аргыг ашиглан нарийн төвөгтэй зураг дээр сегментийн дүрсийг жинхэнэ хэмжээгээр бүтээх жишээг авч үзье. Хэрэв сегмент проекцын аль нэг хавтгайтай параллель байрласан бол энэ хавтгайд байгалийн хэмжээгээр проекц хийнэ. Хэрэв сегментийг ерөнхий байрлалд шулуун шугамаар дүрсэлсэн бол түүний жинхэнэ утгыг проекцын хавтгайн аль нэгэнд тодорхойлох боломжгүй (69-р зургийг үз).

AB (A ^ P1) ерөнхий байрлалын сегментийг авч хэвтээ проекцын хавтгай дээр түүний ортогональ проекцийг байгуулъя (Зураг 78, а). Энэ тохиолдолд огторгуйд тэгш өнцөгт A1BB1 үүсдэг бөгөөд үүнд гипотенуз нь сегмент өөрөө, нэг хөл нь энэ сегментийн хэвтээ проекц, хоёр дахь хөл нь сегментийн А ба В цэгүүдийн өндрийн зөрүү юм. Шулуун шугамын зургаас түүний сегментийн цэгүүдийн өндрийн зөрүүг тодорхойлоход хэцүү биш тул сегментийн хэвтээ проекцоос (Зураг 78, б) тэгш өнцөгт гурвалжин байгуулах боломжтой. хоёр дахь хөлийн хувьд нэг цэгээс хэтэрсэн. Энэ гурвалжны гипотенуз нь AB сегментийн натурал утга болно.

Ижил төстэй бүтээцийг сегментийн урд талын төсөөлөл дээр хийж болно, зөвхөн хоёр дахь хөлийн хувьд P1 хавтгай дээр хэмжсэн түүний төгсгөлийн гүн дэх ялгааг авах шаардлагатай (Зураг 78, в).

Шулуун шугамын сегментийн байгалийн утгыг тодорхойлохын тулд та тэдгээрийн аль нэгтэй параллель байхаар проекцын хавтгайтай харьцуулахад эргэлтийг ашиглаж болно (§ 36-г үзнэ үү) эсвэл шинэ проекцын хавтгайг (проекцын хавтгайнуудын аль нэгийг орлуулж) нэвтрүүлж болно. энэ нь сегментийн проекцуудын аль нэгтэй параллель байна (§§58, 59-ийг үзнэ үү).

гурвалжин.

Шулуун шугамын сегментийн байгалийн утгыг проекцоос нь тодорхойлохын тулд тэгш өнцөгт гурвалжны аргыг ашигладаг.

Аман хэлбэр	График хэлбэр
1. Цогцолбор зургаар Аz, Bz, Ay, By-ийг тодорхойл. D z – А ба В цэгээс p1 хавтгай хүртэлх зайны зөрүү; D y – А ба В цэгээс p2 хавтгай хүртэлх зайны зөрүү
2. AB шулууны проекцын дурын цэгийг авч, түүгээр хэрчим рүү перпендикуляр зур. a) B2 эсвэл A2 цэгээр дамжуулан A2B2-т перпендикуляр; b) B1 эсвэл A1 цэгээр дамжуулан A1B1-д перпендикуляр
3. В2 цэгээс энэ перпендикуляр дээр D y график эсвэл B1 цэгээс хойш D z
4. A2 ба B"2; A1 ба B"1-ийг холбоно
5. AB сегментийн бодит хэмжээг заана уу (гурвалжны гипотенуз): |AB| = A1B"1 = A2B"2
6. Проекцийн p1 ба p2 хавтгайд налуу өнцгийг тэмдэглэ. a – AB сегментийн p1 хавтгайд налуу өнцөг; b – AB сегментийн p2 хавтгайд налуугийн өнцөг

Ийм асуудлыг шийдэхдээ сегментийн байгалийн утгыг зөвхөн нэг удаа (p 1 эсвэл p 2 дээр) олох боломжтой. Хэрэв проекцын хавтгайд шулуун шугамын налуу өнцгийг тодорхойлох шаардлагатай бол энэ барилгын ажлыг хоёр удаа - сегментийн урд ба хэвтээ проекц дээр гүйцэтгэнэ.

Орон зай дахь цэгийн байрлалыг түүний хоёр ортогональ проекцоор тодорхойлж болно, жишээлбэл, хэвтээ ба урд, урд ба профиль. Дурын хоёр ортогональ проекцын хослол нь цэгийн бүх координатын утгыг олж мэдэх, гурав дахь проекцийг байгуулах, түүний байрлах октантыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Дүрслэх геометрийн хичээлээс хэд хэдэн ердийн бодлогуудыг авч үзье.

А ба В цэгүүдийн өгөгдсөн нарийн төвөгтэй зургийн хувьд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

Эхлээд A (x, y, z) хэлбэрээр бичиж болох А цэгийн координатыг тодорхойлъё. Х, у координаттай А цэгийн хэвтээ проекц - А цэг. А" цэгээс x, y тэнхлэгт перпендикуляр зурж, A x, A y-г тус тус олъё. А цэгийн х координат нь нэмэх тэмдэг бүхий A x O сегментийн урттай тэнцүү байна, учир нь A x нь x тэнхлэгийн эерэг утгуудын бүсэд оршдог. Зургийн масштабыг харгалзан бид x = 10-ийг олно. y координат нь хасах тэмдэгтэй A y O сегментийн урттай тэнцүү байна, учир нь A y нь t-ийн сөрөг утгын бүсэд оршдог y тэнхлэг. Зургийн масштабыг харгалзан үзвэл y = –30. А цэгийн урд талын проекц - А"" цэг нь x ба z координаттай байна. A""-аас z тэнхлэгт перпендикулярыг буулгаж A z-ийг олъё. A цэгийн z координат нь хасах тэмдэгтэй A z O сегментийн урттай тэнцүү, учир нь A z нь z тэнхлэгийн сөрөг утгуудын бүсэд оршдог. Зургийн масштабыг харгалзан z = –10. Ийнхүү А цэгийн координатууд (10, –30, –10) байна.

В цэгийн координатыг B (x, y, z) гэж бичиж болно. B цэгийн хэвтээ проекцийг авч үзье - B цэг". Энэ нь x тэнхлэг дээр байрладаг тул B x = B" ба координат B y = 0 байна. В цэгийн абсцисса х нь B х сегментийн урттай тэнцүү байна. Нэмэх тэмдэгтэй О. Зургийн масштабыг харгалзан x = 30. B цэгийн урд проекц нь t, x, z координаттай байна. B""-ээс z тэнхлэг рүү перпендикуляр зурж B z-ийг олъё. B цэгийн хэрэглээний z нь хасах тэмдэгтэй B z O сегментийн урттай тэнцүү байна, учир нь B z нь z тэнхлэгийн сөрөг утгуудын бүсэд оршдог. Зургийн масштабыг харгалзан бид z = –20 утгыг тодорхойлно. Тэгэхээр В-ийн координатууд (30, 0, -20) байна. Шаардлагатай бүх бүтээн байгуулалтыг доорх зурагт үзүүлэв.

Цэгүүдийн төсөөлөл байгуулах

P 3 хавтгай дахь А ба В цэгүүд нь дараах координатуудтай байна: A""" (y, z); B""" (y, z). Энэ тохиолдолд A"" ба A""" нь нийтлэг z координаттай тул z тэнхлэгт ижил перпендикуляр дээр байрладаг. Үүний нэгэн адил B"" ба B""" нь z тэнхлэгт нийтлэг перпендикуляр дээр байрладаг. А цэгийн проекцийг олохын тулд бид өмнө нь олдсон харгалзах координатын утгыг у тэнхлэгийн дагуу зурна. Зураг дээр энэ нь A y O радиустай дугуй нумыг ашиглан хийгдсэн. Үүний дараа A y цэгээс z тэнхлэгт A"" сэргээгдсэн перпендикуляртай огтлолцох хүртэл перпендикуляр зурна. Эдгээр хоёр перпендикулярын огтлолцлын цэг нь A""" байрлалыг тодорхойлно.

В""" цэг нь z тэнхлэг дээр байрладаг, учир нь энэ цэгийн у ординат нь тэг юм. Энэ бодлогын В цэгийн проекцийг олохын тулд B"" цэгээс z тэнхлэгт перпендикуляр зурахад л хангалттай. Энэ перпендикулярын z тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь B """ байна.

Орон зай дахь цэгүүдийн байрлалыг тодорхойлох

P 1, P 2 ба P 3 проекцын хавтгай, октантуудын байршил, мөн бүдүүвчийг диаграмм болгон хувиргах дарааллаас бүрдэх орон зайн байршлыг нүдээр төсөөлж, та А цэг III октантад байрлаж байгааг шууд тодорхойлох боломжтой. , мөн B цэг нь P 2 хавтгайд байрладаг.

Энэ асуудлыг шийдэх өөр нэг хувилбар бол үл хамаарах арга юм. Жишээлбэл, А цэгийн координатууд (10, -30, -10) байна. Эерэг абсцисса x нь цэг нь эхний дөрвөн октантад байрлаж байгааг дүгнэх боломжийг олгодог. Сөрөг y-ординат нь цэг нь хоёр, гуравдугаар октантад байгааг илтгэнэ. Эцэст нь, сөрөг хэрэглээний z нь А цэг нь гурав дахь октантад байрлаж байгааг харуулж байна. Дараах хүснэгт нь дээрх үндэслэлийг тодорхой харуулж байна.

Октантууд	Координатын тэмдэг
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

В цэгийн координат (30, 0, -20). В цэгийн ординат тэг байх тул энэ цэг нь проекцын P 2 хавтгайд байрлана. t-ийн эерэг абсцисса ба сөрөг аппликейшн нь гурав, дөрөв дэх октантын хил дээр байрлаж байгааг харуулж байна.

P 1, P 2, P 3 хавтгайн систем дэх цэгүүдийн харааны дүрсийг бүтээх

Урд талын изометрийн проекцийг ашиглан бид III октантын орон зайн байршлыг барьсан. Энэ бол тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд нүүр нь P 1, P 2, P 3 хавтгай бөгөөд өнцөг (-y0x) нь 45 º байна. Энэ системд x, y, z тэнхлэгийн дагуух сегментүүдийг гажуудалгүйгээр байгалийн хэмжээгээр зурна.

А цэгийн (10, -30, -10) хэвтээ проекцын хамт визуал дүрсийг бүтээж эхэлцгээе. Абсцисс болон ордны тэнхлэгийн дагуу харгалзах координатуудыг зурсны дараа бид перпендикуляруудын огтлолцол A x ба A y цэгүүдийг олно A x ба A y-ээс x ба y тэнхлэгүүд рүү тус тус сэргээсэн нь А цэгийн байрлалыг тодорхойлно". А"-аас z тэнхлэгтэй параллель AA сегментийг сөрөг утга руу нь чиглүүлснээр урт нь 10 бол бид А цэгийн байрлалыг олно.

B цэгийн харааны дүрсийг (30, 0, -20) ижил төстэй байдлаар бүтээдэг - P2 хавтгайд x ба z тэнхлэгийн дагуу та тохирох координатыг зурах хэрэгтэй. B x ба B z цэгээс сэргээн босгосон перпендикуляруудын огтлолцол нь В цэгийн байрлалыг тодорхойлно.

Проекцийн төхөөрөмж

Проекцийн төхөөрөмж (Зураг 1) нь гурван проекцын хавтгайг агуулдаг.

π 1 -хэвтээ проекцын хавтгай;

π 2 -проекцын урд талын хавтгай;

π 3- профилын проекцын хавтгай .

Проекцын хавтгай нь харилцан перпендикуляр ( π 1^ π 2^ π 3), тэдгээрийн огтлолцлын шугамууд нь тэнхлэгүүдийг үүсгэдэг.

Онгоцуудын огтлолцол π 1Тэгээд π 2тэнхлэг үүсгэдэг 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Онгоцуудын огтлолцол π 1Тэгээд π 3тэнхлэг үүсгэдэг 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Онгоцуудын огтлолцол π 2Тэгээд π 3тэнхлэг үүсгэдэг 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Тэнхлэгүүдийн огтлолцох цэгийг (OX∩OY∩OZ=0) эхлэлийн цэг (0 цэг) гэж үзнэ.

Хавтгай ба тэнхлэгүүд нь харилцан перпендикуляр байдаг тул ийм аппарат нь декартын координатын системтэй төстэй юм.

Проекцийн онгоцууд нь бүхэл бүтэн орон зайг найман октант болгон хуваадаг (1-р зурагт тэдгээрийг Ромын тоогоор тэмдэглэсэн). Проекцийн онгоцыг тунгалаг гэж үздэг бөгөөд үзэгч үргэлж дотор байдаг I--р октант.

Проекцын төвүүдтэй ортогональ проекц S 1, S 2Тэгээд S 3хэвтээ, урд болон профилын проекцын хавтгайд тус тус.

А.

Проекцийн төвүүдээс S 1, S 2Тэгээд S 3проекц туяа гарч ирдэг л 1, л 2Тэгээд л 3 А

- А 1 А;

- А 2– цэгийн урд талын проекц А;

- А 3– цэгийн проекц А.

Сансар огторгуйн цэг нь координатаараа тодорхойлогддог А(x,y,z). Оноо А х, А yТэгээд А зтэнхлэгүүд дээр тус тус 0X, 0YТэгээд 0Zкоординатуудыг харуулах x, yТэгээд zоноо А. Зураг дээр. 1 шаардлагатай бүх тэмдэглэгээг өгч, цэгийн хоорондох холболтыг харуулав Аорон зай, түүний проекц, координат.

Цэгний диаграм

Нэг цэгийн тоймыг авахын тулд А(Зураг 2), проекцын аппаратад (Зураг 1) хавтгай π 1 А 1 0X π 2. Дараа нь онгоц π 3цэгийн төсөөлөлтэй А 3, тэнхлэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг эргүүлнэ 0Z, хавтгайтай зэрэгцэх хүртэл π 2. Онгоцны эргэлтийн чиглэл π 2Тэгээд π 3Зурагт үзүүлэв. 1 сум. Үүний зэрэгцээ шулуун A 1 A xТэгээд A 2 A x 0Xперпендикуляр A 1 A 2, ба шулуун шугамууд A 2 A xТэгээд A 3 A xнийтлэг тэнхлэгт байрлана 0Zперпендикуляр A 2 A 3. Дараах зүйлд бид эдгээр мөрүүдийг тус тус нэрлэх болно босоо Тэгээд хэвтээ холбооны шугамууд.

Проекцийн аппаратаас диаграм руу шилжих үед төлөвлөсөн объект алга болох боловч түүний хэлбэр, геометрийн хэмжээс, орон зай дахь байршлын талаархи бүх мэдээлэл хадгалагдан үлддэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

А(x A, y A, z Ax A, y AТэгээд з Адараах дарааллаар (Зураг 2). Энэ дарааллыг цэгийн диаграмм байгуулах арга гэж нэрлэдэг.

1. Тэнхлэгүүдийг ортогональ байдлаар зурсан ҮХ, ӨӨТэгээд О.З.

2. Тэнхлэг дээр ҮХЭР хАоноо Амөн цэгийн байрлалыг авна А х.

3. Цэгээр дамжуулан А хтэнхлэгт перпендикуляр ҮХЭР

А хтэнхлэгийн дагуу Өөкоординатын тоон утгыг зурсан болно y Аоноо А А 1диаграм дээр.

А хтэнхлэгийн дагуу О.Зкоординатын тоон утгыг зурсан болно з Аоноо А А 2диаграм дээр.

6. Цэгээр дамжуулан А 2тэнхлэгтэй зэрэгцээ ҮХЭРхэвтээ холбооны шугам татсан. Энэ шугам ба тэнхлэгийн огтлолцол О.Зцэгийн байрлалыг өгнө А з.

7. Нэг цэгээс хэвтээ холбооны шугам дээр А зтэнхлэгийн дагуу Өөкоординатын тоон утгыг зурсан болно y Аоноо Амөн цэгийн профилын проекцын байрлалыг тодорхойлно А 3диаграм дээр.

Цэгүүдийн шинж чанар

Орон зайн бүх цэгүүдийг тусгай болон ерөнхий байрлалын цэгүүдэд хуваана.

Тодорхой байрлалын цэгүүд. Проекцийн аппаратад хамаарах цэгүүдийг тодорхой байрлалын цэгүүд гэж нэрлэдэг. Үүнд проекцын хавтгай, тэнхлэг, гарал үүсэл, проекцын төвүүдэд хамаарах цэгүүд орно. Тодорхой байрлалын цэгүүдийн онцлог шинж чанарууд нь:

Метаматематик - нэг, хоёр эсвэл бүх тоон координатын утга нь тэг ба (эсвэл) хязгааргүйтэй тэнцүү;

Диаграмм дээр цэгийн хоёр буюу бүх проекцууд нь тэнхлэгүүд дээр байрладаг ба (эсвэл) хязгааргүйд байрладаг.

Ерөнхий байрлалын цэгүүд. Ерөнхий байрлалын цэгүүдэд проекцын аппаратад хамаарахгүй цэгүүд орно. Жишээлбэл, цэг АЗураг дээр. 1 ба 2.

Ерөнхий тохиолдолд цэгийн координатын тоон утгууд нь проекцын хавтгайгаас зайг тодорхойлдог: координат Xонгоцноос π 3; зохицуулах yонгоцноос π 2; зохицуулах zонгоцноос π 1. Координатын тоон утгын тэмдэг нь тухайн цэгийн проекцын хавтгайгаас холдох чиглэлийг заадаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тухайн цэгийн координатын тоон утгатай тэмдгүүдийн хослолоос хамааран энэ нь аль октанд байрлаж байгаагаас хамаарна.

Хоёр зургийн арга

Практикт бүрэн проекцын аргаас гадна хоёр зургийн аргыг ашигладаг. Энэ арга нь объектын гурав дахь төсөөллийг арилгаснаар ялгаатай. Хоёр зургийн аргын проекцийн аппаратыг авахын тулд проекцын төвтэй проекцын хавтгайг бүрэн проекцын аппаратаас хасна (Зураг 3). Түүнээс гадна тэнхлэг дээр 0Xлавлагааны цэгийг өгсөн (цэг 0 ) ба түүнээс тэнхлэгт перпендикуляр байна 0Xпроекцын хавтгайд π 1Тэгээд π 2тэнхлэг зурах 0YТэгээд 0Zтус тус.

Энэ төхөөрөмжид бүх орон зайг дөрвөн квадратад хуваадаг. Зураг дээр. 3 тэдгээрийг Ромын тоогоор тэмдэглэв.

Проекцийн онгоцыг тунгалаг гэж үздэг бөгөөд үзэгч үргэлж дотор байдаг I-р квадрат.

Цэгийг проекцлох жишээн дээр төхөөрөмжийн ажиллагааг авч үзье А.

Проекцийн төвүүдээс S 1Тэгээд S 2проекц туяа гарч ирдэг л 1Тэгээд л 2. Эдгээр туяа нь цэгээр дамждаг Аба проекцын хавтгайтай огтлолцох нь түүний проекцийг бүрдүүлдэг.

- А 1– цэгийн хэвтээ проекц А;

- А 2– цэгийн урд талын проекц А.

Нэг цэгийн тоймыг авахын тулд А(Зураг 4), проекцын аппаратад (Зураг 3) хавтгай π 1цэгийн үр дүнд үүссэн проекцын хамт А 1тэнхлэгийг тойрон цагийн зүүний дагуу эргүүлнэ 0X, хавтгайтай зэрэгцэх хүртэл π 2. Онгоцны эргэлтийн чиглэл π 1Зурагт үзүүлэв. 3 сум. Энэ тохиолдолд хоёр зургийн аргаар олж авсан цэгийн диаграмм дээр зөвхөн нэг л үлддэг босоохолбоос A 1 A 2.

Практик дээр цэгийн зураглал А(x A, y A, z A) нь координатын тоон утгын дагуу хийгддэг x A, y AТэгээд з Адараах дарааллаар (Зураг 4).

1. Тэнхлэгийг зурсан ҮХЭРмөн лавлах цэгийг өгсөн (цэг 0 ).

2. Тэнхлэг дээр ҮХЭРкоординатын тоон утгыг зурсан болно хАоноо Амөн цэгийн байрлалыг авна А х.

3. Цэгээр дамжуулан А хтэнхлэгт перпендикуляр ҮХЭРхолбооны босоо шугам татсан.

4. Нэг цэгээс босоо холбооны шугам дээр А хтэнхлэгийн дагуу Өөкоординатын тоон утгыг зурсан болно y Аоноо Амөн цэгийн хэвтээ проекцын байрлалыг тодорхойлно А 1 Өөзураагүй боловч эерэг утгууд нь тэнхлэгийн доор байрладаг гэж үздэг ҮХЭР, сөрөг нь илүү өндөр байна.

5. Нэг цэгээс босоо холбооны шугам дээр А хтэнхлэгийн дагуу О.Зкоординатын тоон утгыг зурсан болно з Аоноо Амөн цэгийн урд талын проекцын байрлалыг тодорхойлно А 2диаграм дээр. Диаграммд тэнхлэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй О.Ззураагүй боловч түүний эерэг утгууд нь тэнхлэгээс дээш байрладаг гэж үздэг ҮХЭР, сөрөг нь бага байна.

Өрсөлдөх оноо

Ижил туссан цацраг дээрх цэгүүдийг өрсөлдөх цэг гэж нэрлэдэг. Төслийн цацрагийн чиглэлд тэдгээр нь нийтлэг төсөөлөлтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл. Тэдний төсөөлөл ижил байна. Онцлог шинж чанарДиаграм дээрх өрсөлдөж буй цэгүүд нь ижил нэртэй проекцуудын ижил давхцал юм. Өрсөлдөөн нь ажиглагчтай харьцуулахад эдгээр төсөөллийн харагдах байдалд оршдог. Өөрөөр хэлбэл, ажиглагчийн хувьд орон зайд нэг цэг нь харагдаж, нөгөө нь харагдахгүй байна. Үүний дагуу зураг дээр: өрсөлдөж буй цэгүүдийн нэг төсөөлөл харагдаж, нөгөө цэгийн төсөөлөл нь үл үзэгдэх болно.

Өрсөлдөгч хоёр цэгээс орон зайн проекцийн загвар (Зураг 5) дээр АТэгээд INхарагдах цэг Абие биенээ нөхөх хоёр шинж чанарын дагуу. Гинжээр нь дүгнэвэл S 1 →A→Bцэг Ацэгээс илүү ажиглагчид ойртож байна IN. Үүний дагуу проекцын хавтгайгаас цааш π 1(тэдгээр. з А > з А).

Цагаан будаа. 5 Зураг 6

Хэрэв цэг нь өөрөө харагдаж байвал А, дараа нь түүний проекц нь бас харагдаж байна А 1. Түүнтэй давхцаж буй төсөөлөлтэй холбоотой Б 1. Тодорхой болгохын тулд, шаардлагатай бол бүдүүвч дээр цэгүүдийн үл үзэгдэх төсөөллийг ихэвчлэн хаалтанд оруулдаг.

Загвар дээрх цэгүүдийг хасъя АТэгээд IN. Тэдний онгоц дээрх давхцах төсөөлөл хэвээр байх болно π 1болон тусдаа төсөөлөл – дээр π 2. Проекцын төвд байрлах ажиглагчийн урд талын проекцийг (⇩) нөхцөлт үлдээе S 1. Дараа нь зургийн гинжин хэлхээний дагуу ⇩ → А 2 → Б 2үүнийг шүүх боломжтой болно з А > з Бмөн цэг нь өөрөө харагдаж байна Аба түүний төсөөлөл А 1.

Үүнтэй адилаар өрсөлдөх оноог авч үзье ХАМТТэгээд Дπ 2 хавтгайтай харьцуулахад гадаад төрхөөрөө. Эдгээр цэгүүдийн нийтлэг проекцын цацраг оноос хойш л 2тэнхлэгтэй зэрэгцээ 0Y, дараа нь өрсөлдөгч онооны харагдах байдлын тэмдэг ХАМТТэгээд Дтэгш бус байдлаар тодорхойлогддог y C > y D. Тиймээс, тэр цэг Дцэгээр хаагдсан ХАМТмөн үүний дагуу цэгийн проекц D 2цэгийн проекцоор хамрах болно C 2онгоцонд π 2.

Нарийн төвөгтэй зураг дээр өрсөлдөж буй цэгүүдийн харагдах байдал хэрхэн тодорхойлогддогийг авч үзье (Зураг 6).

Давхцсан төсөөллөөс харахад А 1≡Б 1оноо нь өөрсдөө АТэгээд INтэнхлэгтэй параллель нэг проекцын цацраг дээр байна 0Z. Энэ нь координатуудыг харьцуулж болно гэсэн үг юм з АТэгээд з Бэдгээр цэгүүд. Үүнийг хийхийн тулд бид цэгүүдийн тусдаа дүрс бүхий урд талын проекцын хавтгайг ашигладаг. Энэ тохиолдолд з А > з Б. Үүнээс үзэхэд төсөөлөл харагдаж байна А 1.

Оноо CТэгээд Давч үзэж буй нийлмэл зураг (Зураг. 6) нь мөн адил проекцын цацраг дээр, гэхдээ зөвхөн тэнхлэгтэй зэрэгцээ байна. 0Y. Тиймээс харьцуулалтаас y C > y DС 2 проекц харагдаж байна гэж бид дүгнэж байна.

Ерөнхий дүрэм . Өрсөлдөгч цэгүүдийн проекцийг тааруулах харагдах байдлыг нийтлэг проекцын цацрагийн чиглэлд тэдгээр цэгүүдийн координатыг харьцуулах замаар тодорхойлно. Координат нь их байгаа цэгийн проекц харагдана. Энэ тохиолдолд координатуудыг проекцын хавтгай дээр цэгүүдийн тусдаа зургуудаар харьцуулна.

Орон зайн зохион байгуулалтыг ашиглан төсөөлье. Сансарт нэг цэг өгье Аба гурван харилцан перпендикуляр проекцын хавтгай.

Орон зайн эхний октантад байрлах А цэгийн проекцуудыг байгуулъя. Үүнийг хийхийн тулд бид проекцын хавтгайд перпендикуляр гүйж буй цэгээр дамжуулж буй туяа татдаг. Эдгээр цацрагуудын проекцын хавтгайтай огтлолцох хэсэгт H, V, Wнь А цэгийн проекцууд (A`, A, A"`).

Гурван координатаар тодорхойлогддог ( x, y, z), проекцын хавтгайгаас салгах зайг харуулав.
Эдгээр зайг тодорхойлохын тулд цэгийг ашиглахад хангалттай Апроекцын хавтгайд перпендикуляр шулуун шугам татах, цэгүүдийг тодорхойлох A`, A", A"`Эдгээр шугамыг проекцын хавтгайтай холбож, сегментийн утгыг хэмжинэ [ AA`], [АА"], [AA"`] бөгөөд энэ нь өргөдлийн утгыг зохих ёсоор зааж өгнө z, ординатууд y, абсцисса xоноо А.

Оноо A`, A", A"`цэгийн ортогональ проекц гэж нэрлэдэг А, мөн хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээний дагуу:
А`- цэгийн хэвтээ проекц А;
А"- цэгийн урд талын проекц А;
А"`- цэгийн проекц А.

Хэсгүүд:
[AA`] - [ОА х] - цэгийн абсцисса А;
[АА"] - [ОА ж] - цэгийн ординат А;
[AA"`] - [ОА з] - хэрэглэх цэг А.

Шулуун ( AA` ⊥ Х), (АА" ⊥ В), (AA"` ⊥ В) гэж нэрлэдэг проекц шулуун шугамуудэсвэл проекцын туяа.
Шууд ( AA`), төсөөлөх цэг Адээр хэвтээ проекцын хавтгай, дуудсан хэвтээ шугам (цацраг).
Шууд ( АА") төсөөлөх цэг Адээр проекцын урд талын хавтгайдуудсан урд талын шулуун шугам (цацраг).
Шууд ( AA"`) төсөөлөх цэг Адээр профилын проекцын хавтгайдуудсан профиль-төсгөх шулуун шугам (цацраг).
Нэг цэгийг дайран өнгөрөх хоёр проекцын шугам А, хавтгайг тодорхойлох бөгөөд үүнийг ихэвчлэн проекц гэж нэрлэдэг.

Нэг цэгийн тоймыг авахын тулд А, орон зайн байршлыг Monge диаграм руу хөрвүүлье:
- цэгийн урд талын проекц Аонгоцонд хамаарах мэт байрандаа үлддэг В, энэ нь авч үзэж буй өөрчлөлтийн явцад байр сууриа өөрчилдөггүй.
- хэвтээ проекц А`хэвтээ проекцын хавтгайтай хамт доошоо бууж тэнхлэгт нэг перпендикуляр байрлана. xурд талын проекцтой А".
- профайлын төсөөлөл AA"`профилын проекцын хавтгайтай хамт эргэлдэж, хувиргалтын төгсгөлд зурагт заасан байрлалыг авна. Үүний зэрэгцээ AA"`тэнхлэгт перпендикулярд хамаарах болно z, дамжуулан гүйцэтгэсэн А"ба тэнхлэгээс хасагдсан zхэвтээ проекцтой ижил зайд А`тэнхлэгээс хол x.

Цэгийн хэвтээ ба профилын проекцуудын хоорондох холболтыг хоёр ортогональ сегмент ашиглан тогтоож болно. А'А ж] Мөн [ A y A"`] ба тэдгээрийг холбосон тойргийн нум, төв нь координатын тэнхлэгүүдийн огтлолцлын цэгт байна.
Тэмдэглэгдсэн холболт нь дутуу профайл эсвэл хэвтээ проекцийг олоход ашиглагддаг.

Өгөгдсөн хэвтээ (профайл) болон урд талын проекцуудаас профилын (хэвтээ) проекцын байрлалыг дугуй нум зурахгүйгээр олж болно. Энэ тохиолдолд хэвтээ ба профилын төсөөллийн хоорондох холболтыг тасархай шугам ашиглан тогтоож болно A`, A o, A"`оройтой А отэнхлэгүүдийн үүсгэсэн өнцгийн биссектрист дээр y.
Биссектрис O, A o, A"`тогтмол шугам гэж нэрлэдэг к оМонж диаграм.

Зурагт үзүүлсэн хавтгай загвар (диаграмм) нь орон зайн зохион байгуулалтад агуулагдсантай ижил мэдээллийг агуулна.
Үнэн хэрэгтээ: тодорхойлох орон зай дахь цэгийн байрлал, та цэгийн гурван координатыг мэдэх хэрэгтэй А - (x, y, z) нь сегментүүдийн урт [ AA"`], [АА"], [AA`].
Эдгээр сегментүүдийн утгыг диаграм дээр хялбархан тодорхойлж болно.
[AA"`] ≅ [А'А ж] ≅ [А"А з];
[АА"] ≅ [А'А х] ≅ [A"`A z];
[AA`] ≅ [A "A x] ≅ [A"`A y].

Цэгийн хэвтээ проекц Аабсциссоор тодорхойлогддог xболон захирах y
Урд талын проекц - абсцисса xболон хуруугаараа z
Профайлын төсөөлөл - ординат yболон хуруугаараа z

А[А`(x, y); А"(x, z); А"`(у, з)]

Бичлэгээс дараах байдалтай байна.
1. Сансар огторгуйн цэгийг устгасан:
a) проекцын хавтгайгаас В А` тэнхлэгээс хол y(эсвэл урд талын проекц А"тэнхлэгээс z);
б) проекцын хавтгайгаас Вэнэ цэгийн хэвтээ проекцтой ижил хэмжээгээр А` тэнхлэгээс хол x(эсвэл түүний проекц А"`тэнхлэгээс z);
в) проекцын хавтгайгаас Хтүүний урд талын төсөөлөлтэй ижил хэмжээгээр А"тэнхлэгээс хол x(эсвэл түүний проекц А"`тэнхлэгээс y).

2. түүний хоёр ортогональ проекцын байрлалаар бүрэн тодорхойлогдоно.
Үүний үр дүнд цэгийн аль ч өгөгдсөн хоёр ортогональ проекцоос түүний алга болсон гурав дахь ортогональ проекцийг бүтээх боломжтой байдаг.
Үнэн хэрэгтээ: бид хоёр ортогональ проекцын аль ч хослолыг авахаас үл хамааран тэдгээр нь бидэнд цэгийн бүх гурван координатын утгыг өгдөг.
3. а) аливаа цэгийн хэвтээ ба урд проекцууд нь тэнхлэгт ижил перпендикулярд хамаарна. x.

Диаграммд проекцуудын тэнхлэгт перпендикуляр ба цэгүүдийн эсрэг проекцуудыг холбосон шулуун шугамуудыг холбооны шугам (проекцийн холболт) гэж нэрлэснийг харгалзан үзвэл 3. а) цэгийг өөрөөр томъёолж болно.
Аливаа цэгийн хэвтээ ба урд проекцууд нь нэг холбооны шугамд хамаарна.

б) аливаа цэгийн хэвтээ ба профилын проекцууд нь тэнхлэгт ижил перпендикуляр (нэг холболтын шугам) хамаарна. y;
в) дурын цэгийн урд болон профилын проекцууд нь тэнхлэгт ижил перпендикуляр (нэг холболтын шугам) хамаарна. z.